Hay un concepto que es el corruptor y eldesatinador de los otros. No hablo del Mal cuyo

limitado imperio es la ética: hablo del infinito.Jorge Luis Borges

Godel y la Crisis de los FundamentosAndres Abeliuk

El concepto de infinito

La noción de infinito como idea de algo ilimitado, ha sido una fuente de confusión a través de la historia.

Los antiguos griegos, trataron de comprenderlo sometiendo el infinito a la intuición del sentido común, el cual, estaba inspirada en un mundo finito.

Los condujo a conclusiones contradictorias y paradójicas.

Aristóteles y el infinito

Infinito potencial:

“Se centra en la operación reiterativa e ilimitada, por muy grande que sea un número natural, siempre podemos concebir uno mayor, y uno mayor que este y así sucesivamente donde esta última expresión “así sucesivamente” encierra la misma idea de reiteración ilimitada, al infinito”.(Ortiz,1994)

Infinito actual:

Se refiere al infinito existente como un todo o unidad y no como un proceso.

Kant aceptaba la posición de Aristoteles y rechazaba el infinito actual por ser imposible de ser alcanzado por la experiencia.

Paradoja de Zenón

Este tipo de contradicción es la que llevó a los griegos a negar la existencia del infinito.Pensaban que el infinito no podía existir pues dicha existencia producía la aniquilación de los números al ser sumados al infinito, esto es:

De esto se deriva que la lógica empleada para explicar los fenómenos finitos puede no ser aplicable a situaciones en las que medie el concepto del infinito.

∞=∞+a

El Paraiso Transfinito

de Cantor

Cantor desarrolla una teoría formal sobre el infinito actual.Antes que él, el infinito, era más un objeto de reflexión filosófica que matemática.Mostro que existen diferentes tipos de infinito y que es posible clasificarlos mediante nuevos números.

“La existencia de un infinito potencial presupone la existencia de un infinito actual.” (Ortiz,1994)

Intuicionismo

Las ideas de Kant dan origen a la tendencia intuicionista puesto que se admite en ella la subjetividad de los fundamentos de la Matemática.Los intuicionistas afirman que en los comienzos de nuestra ciencia existen ciertas nociones y proposiciones provenientes de la intuición (intelectual), e irreductibles a la Lógica.Para los intuicionistas la Matemática es una libre creación del hombre, el cual no descubre sino crea la Matemática.

●Paradoja de Russell

Un barbero de cierto pueblo afeita a todos los hombres que no se afeitan a sí mismos.

¿Debe el barbero afeitarse a sí mismo?

Formalmente:El conjunto S de los conjuntos que no son elementos de sí mismos.S = {X tal que X no pertenece a X}.

Ahora bien: ¿S pertenece a S?Si S pertenece a S, es uno de los X que verifica la propiedad entre llaves, por lo tanto, S no pertenece a S.Si S no pertenece a S, es uno de los X que verifica la propiedad entre llaves, por lo tanto S pertenece a S.

Crisis de Los Fundamentos

Los matemáticos se percataron de la excesiva confianza concedida a la intuición hasta ahora.

Las evidencias sobre las que se habían descansado, no debían ser consideradas más criterios inobjetables de verdad

Esta crisis lleva a revisar el sistema aceptado de intuiciones consideradas como elementales.

Se ven afectado pilares tan esenciales de la ciencia como son los conceptos de verdad y de demostración

Definiciones:

Un sistema lógico está constituido por proposiciones a las cuales se les asigna dos valores posibles, verdadero o falso. Axioma:

Premisa que se considera «evidente» y es aceptada sin requerir una demostración previa

Consistencia:Si está libre de contradicciones, es decir, ninguna proposición P tal que tanto P como su negación sean demostrables verdaderos a partir de los axiomas.

Completitud:Toda proposición P o su negación son demostrables

●Escuela Formalista

Se plantea reemplazar los razonamientos intuitivos por formulas y reglas (axiomas), las cuales deben ser traducidas a formalismos.

Demostraciones, razonamientos y las construcciones conceptuales, queden integrados en el edificio de la matemática como constituyentes formales, según el modelo del cálculo lógico.

Establece como requisitos y problemas fundamentales de un sistema formal matemático la consistencia y la completitud.

Programa Formalista de Hilbert

Formalismo:Todas las afirmaciones matemáticas deberían ser escritas en un lenguaje preciso y formal, y manipuladas de acuerdo a reglas bien definidas.

Integridad: Todas las afirmaciones matemáticas pueden ser probadas en el formalismo.

Consistencia:Ninguna contradicción puede ser obtenida del razonamiento finitista en el formalismo de las matemáticas.

Decidibilidad:Debería haber un algoritmo finito para decidir la verdad o falsedad de cualquier afirmación matemática.

●Lo Verdadero y lo Demostrable

En muchos campos del conocimiento están representados estos dos mundos (ej. justicia)

Demostración:Cadena de afirmaciones afirmativas dadas por reglas lógicas bien determinadas.

Verificar una demostración es un procedimiento mecánico

●Ejemplo: Demostración de que 1 + 1 = 2.

 (Recordar que la letra S significa “sucesor” de un número. Por ejemplo, S(0) = 1, S(1) = 2, S(2) = 3, etc.) 

Demostración:

Axioma: Cualquiera sea el número x, vale que x + 0 = x

En particular, si x = 1, vale que 1 + 0 = 1

Axioma: Cualesquiera sean los números x e y, vale que

             x + S(y) = S(x + y)

En particular, si x = 1 e y = 0, vale que 1 + S(0) = S(1 + 0) = S(1)

Entonces 1 + S(0) = S(1)

Pero S(0) = 1 y S(1) = 2

Por lo tanto, 1 + 1 = 2

                                q.e.d

●Teorema de Gödel

Paradoja de Epimenides:

“Esta afirmación mía es falsa”

Gödel, de manera análoga construye la afirmación:

“Yo no soy demostrable”

●Teorema de incompletitud de Gödel (1931)

 ”Cualquier sistema axiomático que se proponga para la aritmética, si es consistente, tendrá

enunciados indecidibles (es decir, enunciados que no pueden ser demostrados ni refutados por el

sistema). Más aún, se puede encontrar un enunciado que es verdadero pero no es

demostrable (para ese sistema).”

Segundo teorema de Gödel: La consistencia del sistema es uno de los enunciados que no puede demostrarse dentro del sistema.

●Gödel fuera de la Matemática

La mente humana supera el poder de cualquier máquina finita.

Argumento:

Para cualquier sistema formalizado o maquina finita, existe un enunciado de Gödel que es indemostrable, pero la mente humana

puede ver que es verdadero.

●objeción

 “Si el sistema para la aritmética es consistente, entonces habrá un enunciado indecidible.”

Consistencia → Incomplitud

Si el sistema no es consistente, todo es demostrable y todo es refutable.

Por lo tanto requiere que la mente humana sea capaz de ver si la teoría formalizada es consistente.

●Gödel en el psicoanálisis

La analogía de Lacan (Definición de lo real)

    La experiencia del análisis instaura un discurso que podría

articularse con una estructura lógica. 

   Tal como sucede en la aritmética, la textura lógica de ese discurso tiene “fallas” o “aberturas”.

   Dentro de la analogía, en esas aberturas está “lo que puede salir del lenguaje” y se corresponderían con los enunciados indecidibles

de la aritmética. 

   Esas “fallas” o “aberturas” lógicas deben ser privilegiadas por los analistas. Allí estaría el “modelo de lo que debe interesar a los

analistas”, “lo que entrega la exploración del inconsciente”.

●objeciones

¿tendrá algo que ver con la lógica binaria y estricta de la matemática la estructura del inconciente?

¿Por qué se parecería el discurso del inconsciente a la aritmética con la suma y la multiplicación?

●Gödel en la politica

Una sociedad no puede quedar "cerrada" con sus elementos internos, necesita algo de fuera , que el gobierno del pueblo para el pueblo es imposible porque todo queda dentro, y que todo conjunto necesita una causa externa que lo engendre. (¿la Causa Primera?; Debray rechaza la existencia de Dios).

●De vuelta en la matematica

El teorema de Gödel inspiro a Turing a encontrar problemas indecidibles,

Es decir que no existe una maquina que pueda resolverlos.