Gonzalo Adán Micó (*) - Instituto Balear de Estudios ... · de MDS en su conjunto, sus objetivos, su historia y sus aplicaciones más importantes. El ... Años más tarde, Messick

Universidad de las Illes Balears Departamento de Psicología

Area de Metodología

ESCALAMIENTO MULTIDIMENSIONAL MÉTRICO VS. NO-MÉTRICO:

Intervalos de error en la interpretación de los resultados

Gonzalo Adán Micó (*) Doctor en Psicología

(monografía expuesta en noviembre de 1999 para

la obtención del Título de Suficiencia Investigadora, y ampliada en abril de 2012)

(*) Profesor de la Universidad de las Illes Balears Director del Instituto Balear de Estudios Sociales (IBES: www.ibesinvestigacion.com)

http://www.uib.cat/

Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.

2

Resumen

El escalamiento multidimensional (MDS) es una técnica estadística multivariante que

combina su potencia analítica para reducir datos con su potencia gráfica para representarlos

en un espacio de baja dimensionalidad. De todo ello se deriva una gran utilidad para

descifrar constructos teóricos y su estructura subyacente a partir de complejas colecciones

de datos multivariados donde la relación entre los estímulos (sujetos, objetos o variables),

están medidos en términos de proximidad.

Si bien los primeros algoritmos eficaces se formularon en la década de los sesenta del

siglo XX, el MDS no se ha hecho popular hasta la aparición de los paquetes estadísticos más

recientes, siendo todavía escasos los trabajos orientados a optimizar su correcta utilización.

Observaciones empatadas, número de dimensiones o condicionabilidad son aspectos poco

tratados, estando este trabajo centrado en uno que nos parece de máximo interés: los

errores esperados según determinadas características de los datos.

Analíticamente, el MDS puede abordarse desde una perspectiva métrica (donde se espera

una relación lineal entre las proximidades de entrada y las distancias euclídeas resultantes) o

desde una perspectiva no-métrica (relación entre ambas sólo monotónica). Aunque esta

segunda perspectiva es la que goza de mayor popularidad al proporcionar mejores ajustes

entrada-salida, tiene una importante limitación, y es que para la correcta interpretación de

los resultados, se necesita disponer de la función monotónica citada. Los resultados del

procedimiento métrico, aunque con mayores dificultades de ajuste, son en cambio más

fácilmente interpretables.

En el presente trabajo nos preguntamos precisamente por dichos “desajustes” o errores

esperados, tabulándolos en sus valores máximos y mínimos desde una amplia gama de

características de los datos. Dicha tabla estará orientada a facilitar al usuario de MDS el

procedimiento y la interpretación de menor error según el tamaño, la dispersión, la precisión

y la distribución de sus datos.


3

Indice

página

Introducción……………………………. 4 Justificación teórica 4 Planteamiento analítico 15

Método ………………………………….. 36

Variables 36 Muestreo 40 Procedimiento 40

Resultados …………………………….. 41 Conclusiones ………………………….. 49 Discusión …………………………….. 56 Bibliografía …………………………….. 58 Anexos ……………………………… 62


4

Introducción

A lo largo de la introducción expondremos los objetivos de nuestro trabajo, centrándonos

para ello en dos grandes apartados: la justificación teórica y la explicación analítica.

La justificación teórica se basa en describir los fundamentos teóricos sobre los que

descansa el Escalamiento Multidimensional (MDS) y que han dado lugar al planteamiento de

nuestro objetivo de investigación. Ello en tres apartados: el primero hace referencia a la idea

de MDS en su conjunto, sus objetivos, su historia y sus aplicaciones más importantes. El

segundo se centra en los conceptos de distancia y proximidad, que representa la mayor

diferencia del MDS con otras técnicas de reducción de datos. Por último, el tercer apartado

describe los objetivos y los límites del trabajo.

El planteamiento analítico describe los pormenores matemáticos del MDS en general y

aquellos que han sido empleados para el contraste de nuestros objetivos. Lo hemos dividido

en tres apartados que hacen referencia, respectivamente, a la formulación matemática del

procedimiento métrico, del no-métrico y de nuestros criterios de investigación.

1.- Justificación teórica

El término escalamiento multidimensional se refiere a una familia de métodos de análisis

de datos los cuales tienen como objetivo final representar un conjunto de estímulos1

relacionados en un espacio de baja dimensionalidad (habitualmente dos o tres ejes).

Conceptualmente se trata de convertir la medida de relación entre ellos (proximidad) en una

medida de distancia euclídea. El cuadro siguiente ilustra lo dicho:

1 Traducción literal del inglés “stimulus”, que, en literatura de MDS, se refiere a objetos, eventos, sujetos,

atributos, categorías, cualidades, etc. En general, todo aquello que puede ser represenatdo mediante un punto en el espacio euclídeo.


5

Entrada (matriz de distancias)

Salida (gráfico de distancias)

S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8

S1 -

S2 3 -

S3 7 4 -

S4 5 3 4 -

S5 4 5 6 3 -

S6 6 3 8 9 4 -

S7 5 3 5 7 5 2 -

S8 5 5 6 6 10 5 5 -

FF

s8

s7

s6

s5

s4

s3

s2

s1

3,0 2,0 1,0 0,0 -1,0 -2,0 -3,0

3,0

2,0

1,0

0,0

-1,0

-2,0

-3,0

Aunque el fundamento del MDS es esencialmente geométrico, su utilidad alcanza

aspectos importantes y variados de la inferencia estadística. Por un lado, el MDS pertenece a

las técnicas de reducción factorial, partiendo de n estímulos en un espacio de n-1

dimensiones y llegando a una representación de los n estímulos en un espacio de una

dimensionalidad fácilmente interpretable2. En este sentido, el MDS facilita la interpretación

de dichas dimensiones mediante el peso (coordenadas) de cada estímulo sobre cada

dimensión. Por otro lado, ya que la distancia entre los estímulos representa la mayor o

menor similitud entre ellos, el MDS se convierte en una herramienta útil para concluir sobre

estructuras de semejanza subyacente, de forma similar a como se realiza en el análisis de

clusters.

Un conjunto de estímulos es candidato para el análisis mediante MDS si, en su forma

matricial, las casillas indican alguna medida de relación entre los estímulos representados

2 Para ello puede partirse bien de matrices cuadradas (donde filas y columnas representan los mismos

estímulos) o a partir de matrices rectangulares (donde filas y columnas representan distintos estímulos, por ejemplo sujetos x variables). En el primer caso, la configuración resultante consistirá en una mera transformación gráfica de las proximidades entre los estímulos, pero en el segundo caso, además, informará sobre la reducción factorial efectuada sobre el estímulo no escogido para su representación (por ejemplo representar a los sujetos sobre una reducción factorial de las variables o las variables sobre una reducción factorial de los sujetos). Este segundo caso, no contemplado en nuestro estudio, es el que creemos que convierte el MDS en un complemento interesante al análisis factorial. .


6

por las filas y las columnas de la matriz. Estas medidas pueden hacer referencia a

correlaciones, distancias, proximidades, similaridades, clasificaciones, preferencias,

puntuaciones o cualquier otra forma de medir relaciones. Así mismo, las matrices pueden

presentarse en formas simétricas o asimétricas, rectangulares o cuadradas, con dos o tres

vías, y algunos tipos más.

Aunque cada tipología exige algoritmos distintos de resolución, en la base de todos ellos

se encuentran uno de los dos procedimientos siguientes: el métrico o el no-métrico. En

términos generales, si la transformación de las medidas de proximidad en distancias

euclídeas se realiza asumiendo una relación lineal – proporcional -, deberá utilizarse el

procedimiento métrico (Torgerson, 1938). En cambio, si somos menos restrictivos y

asumimos una relación solo monotónica entre ambas, deberá utilizarse el no-métrico

(Shepard-Kruskal, 1962). Dicho en un ejemplo, si tenemos dos proximidades, una doble que

la otra, el procedimiento métrico (función lineal) tendería a buscar dos distancias, una doble

que la otra. En cambio, el no-métrico (función monotónica), tendería a buscar dos

distancias, una mayor que la otra.

Es un hecho que la mayoría de los trabajos utiliza el procedimiento no-métrico, pues al ser

menos exigente proporciona menor error en la transformación. No obstante tiene una

limitación, y es que la interpretación monotónica que debe hacerse en la configuración es

menos intuitiva y por lo tanto más compleja que la lineal del procedimiento métrico. ¿ Que

error cometemos si no realizamos esta interpretación monotónica y aplicamos una

interpretación de las distancias lineal, es decir, proporcional ?. Nuestro trabajo está

centrado en responder ésta y otras cuestiones colaterales, tales como tabular este error en

función del número máximo de estímulos con los que puede utilizarse MDS para obtener

configuraciones significativas. Aunque volveremos sobre ello, el trabajo está limitado al

siguiente formato de los datos: dos vías (rango dos), un modo (filas y columnas son los

mismos estímulos), simétrica (proximidad entre i y j es la misma que entre j e i), y la medida

de proximidad es desemejanza (es decir, a mayor magnitud, mayor desemejanza). El

algoritmo de resolución ha sido ALSCAL, (Takane, Young y Leeuw, 1977) implementado en

SPSS.


7

a) Breve reseña histórica del MDS

Numerosos autores proponen dividir la historia del MDS en cuatro fases, coincidiendo

cada una de ella con los cuatro pasos más importantes dados en el descubrimiento de

nuevos y más eficaces algoritmos de resolución.

La primera fase, centrada en la década de 1950, está caracterizada por la propuesta del

primer método de MDS, (Torgerson, 1952), acuñado como método métrico. Torgerson se

basó en el teorema matemático propuesto por Young y Housholder (1938) según el cual

“Una matriz de productos escalares derivada a partir de una matriz de distancias euclidianas

(de n puntos en un espacio de r dimensiones) puede descomponerse en el producto de una

matriz de coordenadas (de los n puntos en las r dimensiones) y su transpuesta”, pero

optimizando el algoritmo para el caso de que las distancias no cumplieran totalmente las

condiciones euclídeas3. Años más tarde, Messick y Abelson (1956) lograron simplificar el

modelo de Torgerson, añadiendo en los cálculos la denominada “constante aditiva” que

mejoraba aún más el cumplimiento de la condición euclídea de desigualdad triangular y por

lo tanto mejoraba el ajuste de la configuración.

La segunda fase abarca la década de 1960 y está protagonizada por los trabajos de

Shepard (1962), introduciendo el concepto de MDS no-métrico. Su mérito consistió en

resolver los mismos problemas que el MDS métrico, pero utilizando sólo la información

ordinal contenida en los datos, con lo que se evitaban ciertos supuestos sobre la distribución

y la variabilidad de los mismos. Los datos de partida ya no eran magnitudes de razón, sino de

rango. Su método supuso la generalización del procedimiento a un amplio número de

disciplinas científicas: arquitectura, geografía, política, psicología, etc.

De las muchas investigaciones que originó el método de Shepard, la más importante fue

3 Que es precisamente el caso que nos trata. Los datos empíricos presentados en forma de matriz de

proximidades suelen cumplir las condiciones euclídeas de simetría (Pij=Pji) y nulidad (Pij=0 si i=j), pero no la de desigualdad triangular (Pik>Pij+Pjk). Los errores de transformaciones de MDS se deben, entre otros, a este incumplimiento.


8

sin duda la realizada por Kruskal (1964). Mientras que el procedimiento de Shepard consistía

en obtener una representación de n puntos en n-1 dimensiones, y reducir progresivamente

la dimensionalidad, el procedimiento de Kruskal comenzaba obteniendo la mejor

representación posible de los n puntos en el espacio r-dimensional, siendo r mucho más

pequeño que n y estando especificado antes del análisis en vez de después. Kruskal, además,

introdujo el estadístico “stress” como medida de discrepancia entre los datos de entrada

(proximidades) y los datos de salida (distancias de la configuración). Al hablar hoy en día del

MDS no-métrico, se entiende este último modelo, siendo conocido como el de Shepard-

Kruskal.

Recientes mejoras de este modelo, la mayoría hechas por el propio Kruskal, han

consistido en la posibilidad de tratar matrices incompletas o con datos missing, realizar

configuraciones en espacios no-Euclídeos o la posibilidad de “desempatar” proximidades con

el mismo valor.

La tercera fase, centrada en la década de 1970, es conocida por los trabajos sobre MDS de

diferencias individuales. Hasta el momento, en los casos en que los datos se presentaban

medidos bajo tres vías en vez de en dos, (por ejemplo varias matrices estímulos x estímulos

originadas cada una de ellas por un sujeto, un tiempo, una condición experimental, etc.), se

procedía obteniendo una media en una de las tres vías y se reducía la matriz a una de doble

entrada, o bien se analizaba separadamente cada matriz y se concluía en función de los

resultados obtenidos. En esta tercera década se da una respuesta a este problema, y se

desarrollan los modelos de tres vías o también llamados de “diferencias individuales.

Anteriormente a la década que se trata ya hubo algunos intentos por resolver el

problema, por ejemplo Tuker y Messick (1963) o McGee (1968). No obstante, el MDS de

diferencias individuales más importante fue el formulado por Carrol y Chang (1970). El

modelo presupone que existe un conjunto de r dimensiones o “factores” subyacentes a los n

estímulos, y que estas dimensiones son comunes a todas las fuentes de datos (sujetos). La

estructura del modelo asume que la relación entre las proximidades y las distancias es lineal,

pero que puede ser distinta para cada sujeto. El resultado son dos matrices, que representan


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dos espacios distintos, uno para las coordenadas de los estímulos (común para todos los

sujetos) y uno para los pesos de los sujetos (para cada dimensión).

Por otro lado, con el fin de representar estímulos y sujetos en un mismo espacio, Carrol

(1972, 1980) se centra en las preferencias en vez de en las proximidades, y elabora una

teoría general que la componen cuatro modelos: El modelo I (el más general) se denomina

Unfolding general, el modelo II Unfolding ponderado, el modelo III unfolding simple y el

modelo IV (el más específico) modelo vectorial. Esta tercera década está también

caracterizada por una unificación de criterios, métodos y procedimientos, apoyada por el

uso incipiente de ordenadores que facilitaban los cálculos. De esta manera, Takane, Young y

Leeuw (1977) trabajaron en un algoritmo capaz de usar análisis métricos y no métricos,

dando como resultado ALSCAL (Alternativa de Escalamiento por mínimos cuadrados), y fue

rápidamente incorporado a lenguajes informáticos a través de los programas SAS y SPSS,

haciendo a partir de este momento el MDS mucho más popular de lo que ya lo había sido

hasta ese momento.

La cuarta fase, que abarca la década de 1980, se caracteriza por modelos más complejos.

El más significativo es sin duda el llamado modelo potencial de Ramsay (1983), basado en un

procedimiento de estimación de parámetros por máxima verosimilitud que asume una

relación potencial entre las proximidades y distancias. Dado que se basa en un

comportamiento muy concreto de la distribución de los datos, el modelo está casi

exclusivamente orientado a análisis de tipo confirmatorio, utilizándose para ello un gran

número de estadísticos de contraste, por ejemplo para confirmar hipótesis sobre el número

de dimensiones a retener o sobre la bondad del tipo de modelo aplicado.

b) Conceptos de distancia y de proximidad

Hemos considerado importante tratar ambos conceptos por dos motivos esenciales: en

primer lugar porque el MDS, técnica básicamente gráfica, descansa precisamente en

intuiciones espaciales de tipo métrico, y en segundo lugar, porque la gran cantidad de

términos relacionados (proximidad, relación, similaridad, similitud, etc.) no son igualmente


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utilizados y tampoco igualmente traducidos.

En psicología, es costumbre trabajar con relaciones entre variables, y esta relación puede

medirse mediante escalas de similitud o de asociación El concepto métrico más

ampliamente utilizado para representar dicha similitud o asociación es quizás la de

proximidad (Shepard, 1962).

El MDS necesita asumir este concepto intuitivo y cuasi-métrico de proximidad para poder

representar dichas proximidades en un espacio métrico (normalmente euclídeo) con todas

sus propiedades, siendo precisamente esta transformación de proximidades a distancias la

que diferencia la mayoría de los procedimientos de MDS y más concretamente, el métrico y

el no métrico. Aunque volveremos sobre ello con más detalle, la diferencia más notable

entre ambos es que el procedimiento métrico asume que entre proximidades y las distancias

existe (o debe existir) una relación lineal, conocida, mientras que el no métrico asume que

esta relación es desconocida y, al menos, monotónica.

Parece que hay cierto acuerdo en definir los conceptos de similaridad y disimilaridad

como formas de entender la proximidad (algunos textos en castellano las traducen como

semejanza y desemejanza). Operativamente implica que la magnitud de esta proximidad

será mínima (0 o próxima a cero) en el caso de máxima similaridad/semejanza (mínima

disimilaridad/desemejanza), lo que a su vez exige que las proximidades adecuadas al MDS

sean disimilaridades/desemejanzas. Habitualmente se utiliza un re-escalamiento donde la

mínima desemejanza sea 1, dejando el valor 0 para designar la desemejanza de un estímulo

consigo mismo.

Para MDS, la asunción de que las proximidades (psicológicas) sean cuasi-distancias obliga

a que éstas deban cumplir las condiciones de distancia euclídea. Así, mientras son de fácil

cumplimiento las condiciones de nulidad (Pij = 0 si y solo si i=j) y simetría (Pij = Pji), los datos

empíricos no siempre satisfacen el axioma de desigualdad triangular (Pjk > Pij + Pik), lo que

origina una de las principales fuentes de error del ajuste proximidades-distancias.


11

Un último aspecto hace referencia a la obtención de los datos de proximidad. Existen

multitud de medidas de proximidad. Davison (1983), las agrupa en tres: a) Juicios directos, b)

Probabilidades condicionales o conjuntas y c) Indices de perfil. Al igual que Arce (1993),

nosotros añadiríamos los datos de preferencia, aunque no existe acuerdo en este sentido

porque mientras unos autores los incluyen como datos de proximidad, otros los orientan

exclusivamente al procedimiento “Unfolding” (Cox, 1994; Young, 1987).

Los juicios directos de proximidad son la forma tradicionalmente utilizada cuando se

aplica MDS Se trata de pedir a un sujeto que emita juicios de semejanza sobre pares de

estímulos (en este caso estaríamos ante una matriz de dos vías), aunque el procedimiento de

MDS de “Diferencias Individuales” (de tres vías) permitiría la posibilidad – empíricamente

más eficaz – de ser varios sujetos los que efectúan juicios sobre la semejanza entre varios

estímulos. La subjetividad de los juicios emitidos es precisamente el sesgo a que antes nos

hemos referido al hablar del axioma de la desigualdad triangular, axioma que quedaría

perfectamente cumplimentado en el caso de que las proximidades fueran en sí mismas

distancias métricas.

Los datos de probabilidad no representan, para nosotros, un formato de datos en sí

mismos, sino una forma de presentar la matriz. Una probabilidad representa, al igual que

una correlación, una forma de medida de proximidad, por lo que desde este punto de vista,

las probabilidades quedarían encuadradas en el apartado anterior. No obstante, puede

ocurrir que una matriz de probabilidades no sea simétrica, e incluso que la probabilidad de

un estímulo consigo mismo no sea 0. Es el caso, por ejemplo, de una matriz factorial de

transición. Incluso pueden presentarse juicios de proximidad (por ejemplo sociométricos)

que incumplan la simetría. En todos estos casos lo de menos es el tipo de medida, y lo

importante es por lo tanto como transformar la matriz asimétrica en una simétrica con

mayor cumplimiento de los axiomas métricos. Existen varios procedimientos para esta

transformación, por ejemplo Kruskal (1964), Gower (1977) o Harshman (1978).

Con relación a los datos de preferencia, ya hemos dicho que los consideramos como una

forma de juicios de proximidad. El hecho de que algunos autores los traten por separado es


12

debido a que la forma de la matriz no es cuadrada (m x m) sino rectangular (m x n) donde m

son los sujetos que emiten sus juicios de preferencia, lo que indujo en su momento a idear

un procedimiento que representara en un mismo espacio métrico a los sujetos y a los

estímulos. Este es el motivo por el cual muchos autores prefieren clasificar los datos por la

forma en que se presentan los modos de la matriz que por la información de los datos en sí

mismos (Young y Hamer, 1987). Una excepción a la matriz sujetos x estímulos reside en la

sociometría, donde pueden existir datos de preferencia en una matriz sujetos x sujetos.

Por último, los datos pueden presentarse en forma multivariada, quizás el formato de

mayor frecuencia en psicología. En este caso, la matriz tiene la forma sujetos x variables, y

los datos no son proximidades ni preferencias, sino puntuaciones. En este caso, se necesita

una transformación que convierta la matriz en una sujetos x sujetos o en una variables x

variables. Las transformaciones más utilizadas son (Cox y Cox, 1994): euclídea, euclídea

ponderada, Mahalanobis, city block, Minkowski, Canberra, Bray-Curtis, separación angular y

correlación. Incluso para datos binarios se han establecido como distancias: Hamman,

Ochiai, Phi, Yule, y otras.

c) Objeto y límites de la investigación

Si exceptuamos el modelo potencial de Ramsay, para todos los procedimientos descritos,

así como para todas las formas de presentarse los datos, se precisa de la decisión de

emplear el procedimiento métrico o el procedimiento no-métrico.

Es un hecho que desde la generalización del procedimiento no-métrico, es mayoritario su

uso frente al métrico, pues como ya hemos dicho, la menor exigencia en la transformacion

proporciona mejores ajustes. Operativamente ello se explica porque es más sencillo que las

distancias y las proximidades se hagan coincidir a través de sus rangos que a través de sus

valores absolutos.

No obstante, emplear el procedimiento no-métrico pasa por asumir dos importantes

cuestiones: en primer lugar que los datos (proximidades) sean susceptibles de una


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conversión ordinal, y la segunda, mucho más importante, que la interpretación de la

configuración se realice teniendo en cuenta la función monotónica que relaciona las

proximidades con una transformación previa de las distancias denominadas disparidades.

Ello se ilustra en los siguientes gráficos:


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G1: Función monotónica

R2 = 87,68 %

Proximidades

12,010,08,06,04,02,00,0

Dis

pa

rid

ad

es

3,5

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

,5

G2: Configuración final

R2 = 86,29%

Disparidades

3,53,02,52,01,51,0,5

Dis

tancia

s

3,5

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

,5

MDS no-métrico

G3: Función lineal

R2 = 100%

Proximidades

121086420

Dis

pa

rid

ad

es

4,0

3,5

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

,5

MDS métrico

G4: Configuración final

R2 = 65,51%

Disparidades

4,03,53,02,52,01,51,0,5

Dis

tancia

s

4,0

3,5

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

,5


15

G2 representa el ajuste (o error) a la solución no-métrica correspondiente a la matriz de

proximidades anteriormente expuesta, y G4 representa el ajuste (o error) a la

transformación métrica. La transformación G2 tiene menos error porque su referencia es la

función monotónica G1, mientras que el error de G4 es mayor porque su referencia es una

función lineal, más exigente de cumplir.

A raíz de lo dicho nos planteamos las siguientes cuestiones: 1.- Comparando ambos

procedimientos con sus restricciones específicas ¿ Siempre tiene menor error el

procedimiento no-métrico ?. 2.- Si escogemos el procedimiento no-métrico... ¿ Qué error

cometemos si la interpretación de la configuración es lineal en vez de monotónica?. 3.- Ante

una interpretación lineal... ¿ Cuál es el procedimiento de menor error?

Tanto el procedimiento métrico como el no-métrico puede emplearse bajo una gran

variedad de formatos de datos y matrices. Con el fin de delimitar los que han sido

empleados en la presente investigación presentamos el cuadro siguiente, donde éstos se

han sombreado en color gris.

Nº de vías (rango de la

matriz)

Nº de modos (conjunto diferente de estímulos)

Tipo de medida

Configuración buscada

Nombre

2 Vías

1 Modo (Matriz cuadrada m x m)

Proximidades 1 modo (m ó n) CMDS

(Clasiccal)

2 Modos (Matriz rectangular m x n)

Puntuaciones o perfil

1 modo (m ó n)

Preferencias 2 modos (m y n)

UMDS (Unfolding)

3 Vías Mismas opciones que para dos vías,

añadiendo los sujetos como tercera vía. INDSCAL

Dentro del tipo de datos de preferencia, hemos intentado contestar a las cuestiones antes

expuestas en un amplio rango de posibilidades, es decir, de formato de datos. En el apartado

correspondiente al método se describirán pormenorizadamente dichos tipos, que

adelantamos que han sido los siguientes: distribución normal y uniforme, dispersión alta y

baja, precisión de la medida alta y baja y número de estímulos 5, 10 y 15.


16

Otro de los límites se ha fijado en los algoritmos utilizados, habiéndose realizado toda la

investigación con la versión de ALSCAL (Takane, Young y de Leeuw, 1977) implementada en

SPSS-7.

2.- PLANTEAMIENTO ANALITICO DEL PROBLEMA

En términos de teoría psicológica, queremos averiguar el error cometido al interpretar las

relaciones entre estímulos mediante la intuición de que entre las proximidades empíricas y

las distancias de la configuración debe existir una relación lineal, cuando en realidad esta

relación es de tipo monotónico.

Con el fin de tabular dicho error en sus valores máximo y mínimo utilizaremos como

variables moduladoras aquellas que mejor definen las posibles formas de los datos de

proximidad: a) el tamaño de la matriz de proximidades, b) su forma de distribución, c) la

precisión (entera o decimal) de la medida y d) la dispersión de los datos. Los criterios serán

los ajustes (y discrepancias) utilizando los procedimientos métrico y no-métrico de MDS

Como única restricción al estudio hemos impuesto la bidimensionalidad de la configuración

resultante y el tipo de medida continuo. Sobre todo ello insistiremos más adelante.

En esta segunda parte de la introducción exponemos la cuestión que se trata bajo el

punto de vista analítico, revisando para ello los pormenores matemáticos de los algoritmos

métrico y no-métrico y definiendo los criterios de contraste empleados.

Utilizaremos el mismo ejemplo que el empleado en la primera parte de la introducción.

Imaginemos un grupo de ocho estímulos S1-S8 (variables, sujetos u objetos) y las

proximidades empíricas entre ellos (cuadro siguiente). Mediante escalamiento

multidimensional se pretende obtener una configuración gráfica bidimensional en la cual las

distancias entre los estímulos representados reproduzcan de la mejor manera posible las

proximidades de dicha matriz.


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Datos de entrada (proximidades)

S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8

S1 -

S2 3 -

S3 7 4 -

S4 5 3 4 -

S5 4 5 6 3 -

S6 6 3 8 9 4 -

S7 5 3 5 7 5 2 -

S8 5 5 6 6 10 5 5 -

Por tratarse de una matriz de proximidades no necesita de transformaciones previas, y los

datos se introducen en cualquiera de los programas de ordenador tal y como los hemos

presentado en la matriz. En nuestro caso, en SPSS vs. 7.0.

a) Análisis con el procedimiento métrico

Ya sabemos que el procedimiento métrico trabaja bajo la hipótesis de que los datos de

entrada (proximidades) y los datos de salida de la configuración (distancias), están

relacionados mediante una función lineal. Esta forma de relación, la más obvia e intuitiva,

fue expuesta primeramente por Torgerson (1958).

Como ya expusimos en la introducción, el algoritmo matemático de Torgerson está

basado en el teorema de Young y Householder (1938) según el cual una matriz de productos

escalares derivada a partir de una matriz de distancias euclidianas (de n puntos en un

espacio de r dimensiones) puede descomponerse en el producto de una matriz de

coordenadas (de los n puntos en las r dimensiones) y su transpuesta.

ALSCAL se basa en el algoritmo de Torgerson, pero añade algunos pasos que mejoran la

configuración final. Por ejemplo, a pesar de que el concepto de disparidad es específico del

caso no-métrico, introduce el concepto también en el caso métrico, con el fin de unificar los

criterios de ajuste bajo los mismos términos. De esta manera, las disparidades en el caso


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métrico no son más que una transformación lineal de las proximidades en que la variancia es

la unidad, con lo que puede utilizar el estadístico “stress” como criterio de ajuste

disparidades-distancias de igual forma que en el caso no-métrico. Lo mismo ocurre con los

pasos iterativos de optimización “en fino” de las coordenadas finales, utilizando el mismo

índice “s-stress” que en el caso no-métrico como criterio de convergencia para llegar a la

solución final.

El cuadro siguiente representa un esquema del algoritmo de resolución.

El primer paso consiste en transformar las proximidades en disparidades mediante una

estandarización en que la variancia es la unidad. A continuación se calcula la constante

aditiva que acerca las proximidades a un mejor cumplimiento de la condición euclídea de

desigualdad triangular. El siguiente paso consiste en la obtención de la matriz B de productos

escalares. Después se obtiene la matriz X de coordenadas (según B=XX’) mediante la

factorización por componentes principales y a continuación se entra en un proceso de

cálculo iterativo donde se intentan optimizar las coordenadas finales comparando las

distancias entre los puntos con las disparidades mediante el estadístico s-stress. Por último,

encontrado el mejor de los ajustes posibles, se rota ortogonalmente la configuración y se

hallan los estadísticos de ajuste final: stress y RSQ (R2).

Como ya hemos dicho, uno de los pasos que más caracterizan ALSCAL es el empleo del

estadístico s-stress para optimizar la configuración resultante (el nombre de Alternating

Cálculo de

Disparidades

y

Normalización

Estimación de

la constante

aditiva

Cálculo de

productos

escalares

Obtención de

coordenadas

por CP.

Cálculo de

distancias

Cálculo de

s-stress (1)

Movimiento de

coordenadas

por gradiente

Calculo de

s-stress (2)

Convergencia

entre s-stress

(1) y (2)

Configuración

final y cálculo

de stress

c < 0,001

c> 0,001


19

Least Squares sCALing proviene precisamente del uso de s-stress). Así, una vez halladas las

coordenadas mediante componentes principales, se halla dicho índice como factor de

discrepancia entre las distancias y las disparidades. Su cálculo responde a la siguiente

fórmula: (Sum (dp2 – de2)2 / Sum (de2)2)1/2, donde Sum = sumatorio, dp = disparidad y de =

distancia estimada. (Como puede verse, responde a una suma residual cuadrática de

cuadrados disparidades-distancias normalizada en las distancias).

Una vez hallado s-stress, se mueven todas las coordenadas un poco (según el método del

gradiente o del descenso profundo) y se vuelve a hallar dicho índice. Cuando la diferencia

entre dos sucesivos s-stress es menor o igual a un valor dado (en nuestro caso 0,001), se da

por finalizada la optimización y ALSCAL proporciona las coordenadas finales. En ese

momento se hallan las distancias definitivas y a partir de ellas el ajuste final disparidades-

distancias, tanto a través del estadístico stress como del estadístico RSQ (R-SQuared).

Proximidades (P), disparidades finales (d) y distancias finales (D) del ejemplo fueron:

S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7

P d D P d D P d D P d D P d D P d D P d D

S2 3 1.13 1.05

S3 7 2.64 2.46 4 1.51 1.63

S4 5 1.89 2.07 3 1.13 1.67 4 1.51 1.03

S5 4 1.51 0.98 5 1.89 1.76 6 2.27 2.66 3 1.13 1.91 - - -

S6 6 2.27 1.52 3 1.13 1.62 8 3.02 3.21 9 3.40 3.25 4 1.51 2.47 - - -

S7 5 1.89 1.28 3 1.13 0.87 5 1.89 2.39 7 2.64 2.55 5 1.89 2.24 2 0.76 0.84 - - -

S8 5 1.89 2.69 5 1.89 1.74 6 2.27 2.14 6 2.27 2.88 10 3.77 3.50 5 1.89 2.25 5 1.89 1,59

Y los resultados, tal y como son dados por ALSCAL en el output de SPSS-7 fueron:


20

SOLUCION SEGÚN MDS METRICO Iteration history for the 2 dimensional solution (in squared distances)

Iterations stopped because S-stress improvement is less than ,001000

Stress = ,20927 RSQ = ,65511

Configuration derived in 2 dimensions: Stimulus Coordinates

Estimulus 1 2

1 S1 -,1005 ,9701

2 S2 ,0722 -,0662

3 S3 -,9358 -1,3454

4 S4 -1,5412 -,5151

5 S5 -1,0169 1,3165

6 S6 1,4101 ,8516

7 S7 ,9097 ,1765

8 S8 1,2025 -1,3880

Iteration S-stress Improvement

1 ,35999

2 ,31837 ,04163

3 ,31801 ,00036

Derived Stimulus Configuration

2,01,51,0,50,0-,5-1,0-1,5-2,0

2,0

1,5

1,0

,5

0,0

-,5

-1,0

-1,5

-2,0

s8

s7

s6

s5

s4

s3

s2

s1


21

El stress de 0,209 proviene de aplicar la fórmula de Kruskal (1964) siguiente: (Sum (dp –

df)2 / Sum (df)2)1/2, donde Sum = sumatorio, dp = disparidad y df = distancia final. (Como

puede verse, responde a una suma residual de cuadrados disparidades-distancias

normalizada en las distancias). Al igual que s-stress, es una medida de error o discrepancia

entre ambas variables, adimensional y siempre positiva. Aunque la información que

proporciona stress puede considerarse suficiente, suele acompañarse de RSQ, que

representa el % de variancia de las disparidades que es explicada por las distancias de la

configuración. (Aritméticamente idéntico a R2 de la recta de regresión y al valor del

coeficiente de correlación elevado al cuadrado).

Los gráficos que exponemos a continuación ilustran las tres transformaciones más

importantes habidas a lo largo del proceso de cálculo, así como el ajuste (medido mediante

RSQ y representado por R2) que explica la bondad de la transformación. (Los puntos que

representan los datos se han unido con una línea para una mejor interpretación de su ajuste

respecto de la recta de regresión. Por lo tanto, debe abstraerse cualquier tipo de inferencia

temporal o serial).

Así pues, en el Gráfico-1 queda representada la transformación de las proximidades en

disparidades, realizada mediante una mera normalización y obviamente dando como

resultado un RSQ = 100%.

En el Gráfico-2 se representa la transformación de las disparidades en distancias y cuyo

RSQ = 65,51. Este valor representa precisamente el ajuste dado por SPSS como solución

definitiva. Su interpretación podría hacerse diciendo que el 65,51 % de la variancia en la

configuración ha sido debida a las disparidades, por lo que puede cifrarse el error de la

configuración en un 100-65,51=34,49%.

Por último, el Gráfico-3 representa la relación entre las proximidades (entrada) y las

distancias (salida). Dado que la relación de variancia proximidades-disparidades era del

100%, no podía esperarse otra cosa de que este ajuste proximidades-distancias coincidiera

con el hallado en disparidades-distancias, es decir, 65,51%. Este gráfico, que consideramos el


22

más importante, ha sido incluido por ser precisamente el que nos informará (en el caso no-

métrico) sobre la variancia “perdida” por la transformación monotónica de las proximidades,

no existiendo esta pérdida de información en el caso métrico por ser la transformación

proximidades-disparidades lineal. Sobre todo ello incidiremos en el capítulo siguiente.


23

Gráfico-3

R2 = 65,51%

Proximidades

121086420

Dis

tancia

s

4,0

3,5

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

,5

Gráfico-2

R2 = 65,51%

Disparidades

4,03,53,02,52,01,51,0,5

Dis

tanc

ias

4,0

3,5

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

,5

Gráfico-1

R2 = 100%

Proximidades

121086420

Dis

pa

rid

ad

es

4,0

3,5

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

,5


24

b) Procedimiento No-métrico

El fundamento teórico del MDS no-métrico es esencialmente distinto al métrico. Se basa,

igual que en el caso métrico, en ajustar las distancias a las disparidades, pero mientras que

en éste último las disparidades estaban relacionadas linealmente con las proximidades, en el

no-métrico están relacionadas monotónicamente. Esta condición de monoticidad incluye no

sólo a la propia función lineal, sino también a la exponencial, potencial, logarítmica y en

general, aquellas monótonamente crecientes o decrecientes.

Esta mayor libertad para relacionar proximidades y distancias implica como ventaja

fundamental mayor facilidad para encontrar configuraciones ajustadas. Por otro lado, al

bastar el rango de las proximidades para encontrar la solución, se ahorran los supuestos

acerca de la distribución de los datos que son necesarios en las técnicas basadas en la

variabilidad. A nivel analítico, ALSCAL trabaja en un proceso iterativo de cálculo que se

resume en el cuadro siguiente:

Configuración Inicial y cálculo de distancias estimadas: Los cálculos parten de una

configuración inicial dada. ALSCAL utiliza la proporcionada por el algoritmo métrico en la

fase de factorización de la matriz de productos escalares, hallando a continuación las

distancias entre los estímulos. A estas distancias se les denomina distancias estimadas.

Configuración

Incial

estimada

Cálculo de

Disparidades

Cálculo de

s-stress (1)

Normalización

Coordenadas

estimadas

Configuración

final y cálculo

de stress

Cálculo de

s-stress (2)

Movimiento de

coordenadas

Covergencia

entre s-stress

(1) y (2)

c > 0,001

c < 0,001

Cálculo de

distancias

estimadas


25

Disparidades: Las disparidades son producto de la (mejor) transformación monotónica de las

proximidades, y, a su vez, origen del (mejor) ajuste de la configuración final.

Para su cálculo se opera de la siguiente manera: 1) se ordenan las proximidades según su

rango, 2) se asigna a cada valor el correspondiente a su distancia estimada, 3) se aplica una

transformación monotónica de mínimos cuadrados (sustituyendo aquellos valores que no

cumplen el orden por su media) y 4) los valores así hallados (disparidades) se sustituyen por

las distancias estimadas.

Normalización y cálculo de s-stress (1): Dado que s-stress es un estadístico normalizado,

también deben serlo los valores de disparidad trasformados mediante regresión

monotónica. Esta normalización se realiza multiplicando cada valor de disparidad por un

factor que es el cociente entre la suma de las distancias al cuadrado y la suma de los

productos distancias x disparidades.

El cálculo de s-stress, igual que en el caso métrico, responde a la raíz cuadrada del

cuadrado de la suma de las diferencias de los cuadrados de distancias y disparidades dividido

por la suma de la potencia 4 de las distancias.

Movimiento de coordenadas y cálculo de s-stress (2): Este paso es el que se encarga de

buscar una nueva configuración cuyo s-stress sea menor que el hallado en el paso anterior.

Esta nueva configuración se halla mediante el movimiento de cada coordenada de cada

punto una magnitud que viene dada por una constante que define el tamaño del paso,

multiplicada por la derivada del stress respecto de la coordenada en cuestión. Este método

de incremento es denominado de gradiente negativo o del “descenso profundo”, ya

mencionado en el procedimiento métrico.

A continuación se halla el nuevo s-stress (2) de la configuración y se compara con el (1). Si

no ha variado o su diferencia es menor de 0,001, se da finalizado el proceso de cálculo


26

iterativo. En cambio, si la diferencia es mayor de 0,001 comienza un nuevo ciclo por si la

configuración pudiera mejorar mediante un nuevo movimiento de sus coordenadas.

Proximidades (P), disparidades finales (d) y distancias finales (D) fueron las siguientes:

S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7

P d D P d D P d D P d D P d D P d D P d D

S2 3 1,02 1,02

S3 7 2,69 2,45 4 1,73 1,82

S4 5 1,73 1,68 3 1,48 1,68 4 1,48 1,33

S5 4 1,48 0,58 5 1,73 1,59 6 2,69 2,81 3 1,48 1,79

S6 6 2,29 1,81 3 1,48 1,65 8 3,31 3,43 9 3,31 3,25 4 1,73 2,23

S7 5 1,73 1,68 3 0,99 0,96 5 2,29 2,52 7 2,69 2,64 5 2,25 2,25 2 0,99 1,02

S8 5 2,29 2,66 5 1,73 1,65 6 2,29 2,06 6 2,69 2,84 10 3,31 3,23 5 2,29 2,32 5 1,73 1,34

Configuración final y cálculo de stress: Al igual que en el procedimiento métrico, el output de

SPSS incluye los sucesivos pasos de iteracción y el s-stress de cada uno, stress, RSQ y las

coordenadas finales de la configuración. Los resultados a nuestro ejemplo, tal y como

fueron dados en pantalla se describen en el cuadro siguiente:


27

SOLUCION SEGÚN MDS NO-METRICO Iteration history for the 2 dimensional solution (in squared distances)

Iteration S-stress Improvement

1 ,25706

2 ,21193 ,04512

3 ,18951 ,02242

4 ,17778 ,01174

5 ,17311 ,00467

6 ,17113 ,00197

7 ,17019 ,00094

Iterations stopped because S-stress improvement is less than ,001000

Stress = ,12603 RSQ = ,86287

Configuration derived in 2 dimensions: Stimulus Coordinates

Dimension

Estimulus 1 2

1 S1 -,3380 -,8975

2 S2 ,0976 ,0249

3 S3 -1,0283 1,4536

4 S4 -1,5721 ,2354

5 S5 -,7166 -1,3414

6 S6 1,4709 -,8979

7 S7 1,0591 ,0403

8 S8 1,0273 1,3826

Derived Stimulus Configuration

Dimension 1

2,01,51,0,50,0-,5-1,0-1,5-2,0

Dim

ensio

n 2

2,0

1,5

1,0

,5

0,0

-,5

-1,0

-1,5

-2,0

s8

s7

s6

s5

s4

s3

s2

s1


28

Los gráficos de la página siguiente ilustran mejor las transformaciones descritas. En el

Gráfico-4 se muestra la ocurrida al convertir las proximidades en disparidades, y en el

Gráfico-5 se muestra la ocurrida entre disparidades y distancias finales. El valor de R2

representa RSQ en %.

Ya dijimos en el procedimiento métrico que ALSCAL no incluye ningún índice que informe

sobre la relación proximidades-distancias, pues las primeras dejaron de ser relevantes para

el proceso una vez encontrada su mejor transformación monotónica (disparidades).

Recordemos que en el caso métrico stress también estaba medido entre distancias y

disparidades, pero dado que la transformación proximidades-disparidades era lineal, el

índice coincidía con el ajuste proximidades-distancias.

El Gráfico-6 representa precisamente la relación entrada-salida, es decir, proximidades y

distancias. La proporción de variancia es del 63,90 %, un valor muy semejante al 65,51 %

obtenido por el procedimiento métrico.

Sobre este último aspecto incidimos en el punto siguiente.


29

Gráfico-4

R2 = 87,68 %

Proximidades

12,010,08,06,04,02,00,0

Dis

pari

dades

3,5

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

,5

Gráfico-5

R2 = 86,29%

Disparidades

3,53,02,52,01,51,0,5

Dis

tancia

s

3,5

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

,5

Gráfico-6

R2 = 63,90 %

Proximidades

12,010,08,06,04,02,00,0

Dis

tancia

s

3,5

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

,5


30

c) Criterios de contraste

¿ Qué procedimiento debemos pues utilizar ?. Si nos atenemos al único criterio de

escoger aquél de mejor ajuste disparidades-distancias, es obvio escoger el no-métrico,

pues siempre proporcionará mayores significaciones (es un hecho que la gran mayoría de

los estudios utilizan este procedimiento), pero si el criterio es el ajuste proximidades-

distancias la respuesta no es ya tan evidente.

Incluso escoger el procedimiento no-métrico pasa por tener en cuenta dos importantes

aspectos. En primer lugar si los datos de proximidad son susceptibles de una conversión

ordinal, y en segundo lugar, mucho más importante, la interpretación monotónica. Somos

de la opinión de que no siempre se tiene en cuenta no ya la propia restricción

monotónica, sino la forma de la función que relaciona las proximidades y las disparidades.

Si éste es el caso... ¿ Qué error estamos cometiendo ?.

La primera cuestión puede analizarse bajo dos puntos de vista según el criterio de

contraste empleado. Si éste se centra en las disparidades (es decir, asumiendo la

linealidad en el caso métrico y la monoticidad en el no-métrico), escogeríamos el 86,29 %

del procedimiento no-métrico frente al 65,51 % del métrico. Por otro lado, si el criterio se

centra en las proximidades de entrada (es decir, asumiendo la linealidad en ambos

procedimientos), escogeríamos el 65,51 % del procedimiento métrico frente al 63,90% del

no-métrico.

La segunda cuestión, quedaría contestada con el valor ya mencionado del ajuste lineal

proximidades-distancias en el procedimiento no-métrico, sin más que restárselo de 100.

En nuestro caso, 100 - 63,90 = 36,10 %.

Las tres cuestiones planteadas configuran el eje del trabajo.


31

Para llegar a los datos expuestos ha sido necesario previamente tabular y analizar los

ajustes de cada transformación en cada procedimiento.

El cuadro siguiente representa todos ellos (T1 a T4) entre las proximidades (P),

disparidades (d) y Distancias (D).

Y la tabla siguiente la que refleja los estadísticos RSQ de cada relación:

T1

(Prox-Disp) T2

(Disp-Dist) T3

(Prox-Dist) T4

(Dist-Dist)

Procedimiento Métrico

100 65,51 65,51

92,87 Procedimiento No-Métrico

87,68 86,29 63,90

De esta manera, conocidos dichos datos se podrían contestar otras cuestiones que

ayudarían a explicar las dos ya planteadas... ¿ Cuál es el grado de coincidencia entre la

configuración métrica y la no-métrica ?, ¿ Cuánto es la variancia perdida cuando se aplica

la transformación monotónica a las proximidades en el caso no-métrico ?, ¿ Cuánto es la

variancia ganada al ajustar disparidades en vez de proximidades ?.

Aunque las conclusiones están centradas en las tres cuestiones ya planteadas, los análisis

han abarcado todas las relaciones descritas. Para su mejor tratamiento se han

operativizado en conceptos de error (1-R2.) según el siguiente cuadro de criterios:

P DdT1 T2

T3

P DdT1 T2

T3 T4

No-métrico

métrico


32

Procedimiento Criterio Valor

Métrico Error de ajuste métrico 1 – T3

No-métrico

Error en la transformación monotónica 1 – T1

Error de ajuste no-métrico 1 – T2

Error en el ajuste métrico 1 – T3

Entre ambos Ajuste mediante R2 T4

Discrepancia T3m – T3nm

1.- Procedimiento métrico: Error en el ajuste métrico (proximidades-disparidades)

Si entendemos que T2 representa el % del ajuste entre el modelo y los datos de

entrada (o el % de variancia del modelo que es explicada a partir de las proximidades de

entrada), su diferencia hasta el 100% puede ser entendida como el error de la

configuración respecto de los datos de entrada. Aunque en el caso métrico T2 coincide

con T3, es más coherente con el procedimiento emplear el valor T2 (en nuestro caso 100 -

65,51 = 34,49 %).

2.- Procedimiento no-métrico: Error en la transformación monotónica

Recordemos que la transformación monotónica consiste en convertir las proximidades

de entrada en unos valores (disparidades) que sólo conservan de éstas sus rangos. Ello

quedó ilustrado en el Gráfico-4.

La condición de monoticidad consiste en que proximidades y disparidades crecen (o

decrecen) a la vez, pero no lo hacen necesariamente de forma lineal. Si entendemos que

T1 representa el ajuste P-d, el valor 100 - T1 representará la pérdida de linealidad. En

nuestro caso 100 - 87,68 = 32,32 %.


33

3.- Procedimiento no-métrico: Error en la transformación d-D

Al igual que con el procedimiento métrico, es T2 el valor que representa el ajuste de la

configuración no-métrica, y el valor 100-T2 será por lo tanto el error de dicha

transformación (en nuestro caso 100 – 86,29 = 13,71 %.

4.- Procedimiento no-métrico: Error en la transformación P-D

Dado que los dos anteriores índices definen todas las transformaciones ocurridas en

ambos procedimientos, podría pensarse que el valor T3 no es ya pertinente. Con relación

al procedimiento métrico porque su valor coincide con T2, y con relación al no-métrico

porque sería introducir una conceptualización métrica en unos cálculos únicamente

ordinales.

El motivo de introducirlo ha sido precisamente para poner a prueba la potencia del

procedimiento no-métrico para realizar interpretaciones métricas, facilitando su

comparación por lo tanto con el T3 (=T2) del procedimiento métrico. En nuestro caso, 100

– 63,90 = 36,10 %.

5.- Discrepancia Métrico/No-Métrico: Ajuste D-D

Este valor (T4), representado por el R2 entre las distancias finales de ambas

configuraciones, representa una de las mejores formas de comparación entre ambos

procedimientos.

En el Gráfico siguiente hemos superpuesto las configuraciones resultantes de ambos

procedimientos (Sm para los estímulos de la configuración métrica y So para los de a

configuración no-métrica). Se ha tenido que realizar una rotación de 180o en el eje Y de la

configuración no-métrica para equipararla a la métrica, lo que no supone ninguna

distorsión en las distancias.


34

Podemos pues preguntarnos... ¿ Cuál es el grado de ajuste entre ambas configuraciones

?. En el Gráfico-7 hemos representado esta relación, siendo T4 (R2 ) el 92,87 %.

Gráfico-7

R2 = 92,87 %

Distancias (procedimiento métrico)

4,03,53,02,52,01,51,0,5

Dis

tancia

s (p

rocedim

iento

no-m

étr

ico) 3,5

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

,5

s8o

s7o

s6o

s5o

s4o

s3o

s2o

s1o

s8m

s7m

s6m

s5m

s4m

s3m

s2m

s1m

2,01,00,0-1,0-2,0

2,0

1,0

0,0

-1,0

-2,0


35

- Discrepancia Métrico/No-Métrico: Mejor procedimiento P-D

El hecho de que la coincidencia no sea del 100% implica que las configuraciones son

distintas y que por lo tanto, una se ajustará más que la otra a las proximidades iniciales.

¿Cuál es pues el procedimiento que mejor ajusta?. La respuesta es bastante simple: aquél

cuyo T3 sea mayor, en nuestro caso el procedimiento métrico.

Esta medida puede representarse tanto por su valor absoluto como por su valor

relativo, y debe establecerse uno de los dos procedimiento como referencia de dicho

valor. Así pues, tomando el procedimiento métrico como referencia nuestro caso

arrojaría como resultado que la configuración es mejor representada mediante el

procedimiento métrico, por 65,51-63,90 = 1,61 puntos porcentuales, o que el métrico es

un 100 - (63,90 / 65,51) = 2,46 % mejor.


36

Método

A continuación se describen las variables y el procedimiento empleado.

VARIABLES

a) Variables criterio

Los criterios han sido los seis expuestos en el capítulo anterior, codificados y calculados

según el cuadro siguiente. En los resultados se hará referencia también a los datos fuente

Indicadores de ajuste Código1 Cálcuo2

Datos fuente

Proc. Métrico Proximidades-Distancias V2 R2 P-D

Proc. No-métrico

Proximidades-Disparidades V4 R2 P-d

Disparidades-Distancias V5 R2 d-D

Proximidades-Distancias V6 R2 P-D

Criterios de contraste

Proc. Métrico Error de ajuste métrico V7 1-V2

Proc. No-métrico

Error de transf. monotónica V8 1-V4

Error de ajuste no-métrico V9 1-V5

Error de ajuste métrico V10 1-V6

Entre ambos Ajuste V11 R2 D-D

Discrepancia V12 V2-V6 1 El código será el empleado a lo largo del capítulo para hacer referencia a los indicadores de ajuste 2 Cálculo para el estadístico del error , ajuste o discrepancia

b) Variables moduladoras

Por variables moduladoras hemos entendido aquellas que nos van a permitir tabular los

indicadores en las formas con que habitualmente se presentan los datos de proximidad.

Aunque la única variable que determina un mejor o peor ajuste es el cumplimiento de la

condición euclídea de desigualdad triangular, algunas características de los datos influyen


37

sobre ella. Hemos considerado, como más importantes, la forma de la distribución, la

dispersión de los datos, la precisión de la medida y el tamaño de la matriz.

No obstante a lo dicho, mención aparte nos parece la influencia de los datos empatados o

coincidentes, pues el procedimiento no-métrico necesita de su desempate para establecer

su rango y ordenar.

Existen dos formas de abordar el problema. Si se asume que las proximidades están

medidas en una escala continua (nuestro caso), se fuerza el desempate reasignando a las

proximidades empatadas el rango correspondiente a sus distancias estimadas. Si se

asumiera un proceso de medida discreto el rango de las proximidades empatadas se

asignaría aleatoriamente.

El procedimiento de desempate (opción “Untie tied” en ALSCAL) proporciona, en general,

mejores ajustes que el aleatorio, pero desconocemos si el mayor o menor número total de

empates en la matriz de proximidades tendrá un efecto significativo sobre la configuración

final.

No hemos querido dejar pasar por alto la influencia de ello, pero hemos entendido su

efecto como subyacente a las variables distribución, dispersión y precisión. De esta manera,

una distribución normal, con escasa dispersión y precisión sin decimales tendrá una

concentración de empates sobre escasos valores muy superior a la combinación contraria.

(Hay que tener en cuenta que el producto nº de empates x nº de valores con empates es

siempre constante).

1) Tipo de distribución de los datos

Las formas habituales de distribución de dichos datos podemos generalizar diciendo que

tenderán a la forma normal, a la forma uniforme o a formas logarítmicas o exponenciales.

Dado que las dos primeras son las más habituales, y que el efecto subyacente del número de

empates podía quedar interpolado entre las formas normal y uniforme, se rechazaron las

dos últimas.


38

2) Dispersión de los datos

Siendo la dispersión otra de las características definitorias de todo conjunto de datos, se

tuvieron en cuenta los extremos alta dispersión y baja dispersión.

3) Precisión de la medida

Para forzar el efecto de los empates, se ha incluido como posibilidades un tipo de medida

discreto, con valores enteros, y un tipo de medida continuo, con dos decimales.

4) Tamaño de la matriz de datos

El MDS utilizado como herramienta gráfica tiene una fuerte limitación en cuanto al

número de estímulos que puede representar. Este límite está basado, esencialmente, en la

claridad interpretativa de la configuración y en el ajuste estadístico del modelo. Con el fin de

conciliar estas limitaciones con unos valores que nos proporcionaran un espectro de

posibilidades reales, escogimos los tamaños 5, 10 y 15. En el cuadro siguiente hemos

representado todas las posibles combinaciones de las variables expuestas.

Distribución NORMAL

Dispersión BAJA

Entero

n=5

n=10

n=15

Decimal

n=5

n=10

n=15

Dispersión ALTA

Entero

n=5

n=10

n=15

Decimal

n=5

n=10

n=15

Distribución UNIFORME

Dispersión BAJA

Entero

n=5

n=10

n=15

Decimal

n=5

n=10

n=15

Dispersión ALTA

Entero

n=5

n=10

n=15

Decimal

n=5

n=10

n=15


39

MUESTREO

Para cada una de las 24 posibilidades de presentarse los datos se diseñaron cinco series

aleatorias de datos de proximidad con los mismos requisitos de distribución, dispersión,

precisión y tamaño, lo que arrojó un total de 120 series y que a su vez fueron convertidas en

120 matrices simétricas de proximidad. En los anexos 1, 2 y 3 se muestran, para cada

tamaño, las condiciones impuestas a las series y los estadísticos obtenidos de las mismas

(cada serie tenía un tamaño de n(n-1)/2, correspondiente a una de las partes simétricas de la

matriz menos la diagonal principal, que se supone 0). En los anexos 4, 5 y 6 se muestran las

series propiamente dichas.

PROCEDIMIENTO

Una vez elaboradas las 120 series de datos se procedió de la siguiente manera:

1) Transformación de la serie de proximidades (P) en matriz de datos, asignando el primer

valor a la celda (1,2), el segundo valor a la celda (1,3) y así sucesivamente.

2) Aplicación de MDS métrico a dicha matriz

Extracción de las disparidades (d)

Extracción de coordenadas y transformación a distancias (D)

Cálculo de R2 P-d (V1) y comprobación de que = 100

Cálculo de R2 d-D (V2)

Cálculo de R2 P-D (V3) y comprobación de que = V2

3) Aplicación de MDS no-métrico a la misma matriz

Extracción de las disparidades (d)

Extracción de coordenadas y transformación a distancias (D)

Cálculo de R2 P-d (V4)

Cálculo de R2 d-D (V5)

Cálculo de R2 P-D (V6)

4) Cálculo de los criterios V7 a V12 según lo siguiente:


40

V7 = 1-V2

V8 = 1-V4

V9 = 1-V5

V10 = 1-V6

V11 = R2 D (métrico)-D (no-métrico)

V12 = V2 – V6


41

Resultados

Los resultados (variables V7 a V12) obtenidos para cada uno de los 120 casos (3 tamaños x

2 distribuciones x 2 dispersiones x 2 precisiones x 5 series) son los que se expresan en los

anexos 7,8 y 9. Para nuestros propósitos de análisis se ha utilizado una reducción de dichas

tablas, consistente en independizar los datos por tamaño y hallar para cada uno de ellos la

media de V7 a V12 de cada par de variables moduladoras, añadiendo además una media

total, su intervalo de confianza para P<0,05 y la dispersión medida mediante el coeficiente

de variación. Los datos quedaron recogidos y agrupados de la siguiente manera4

4 La media total, su intervalo de confianza y el coeficiente de variación están calculados respecto de las 40 observaciones de

cada tamaño (2 distribuciones x 2 dispersiones x 2 precisiones x 5 series). Obviamente, la media coincide con la correspondiente a cada par de variables moduladoras.


42

5 No se contempla por existir valores negativos y positivos 6 No se contempla por existir valores negativos y positivos 7 No se contempla por existir valores negativos y positivos

Medias para n=5 v7 v8 v9 v10 v11 v12

D. Normal 29,24 19,32 0,06 19,87 85,62 -9,38

D. Uniforme 19,18 18,52 1,85 22,53 87,31 3,36

D. Baja 32,42 21,56 0,73 23,22 82,00 -9,19

D. Alta 16,00 16,27 1,18 19,18 90,92 3,18

Entero 28,73 22,93 0,02 23,45 86,75 -5,28

Decimal 19,69 14,91 1,89 18,95 86,18 -0,74

Media Total 24.21 18.92 0.96 21.20 86.46 -3.01

Interv. Confianza () 5,81 4,97 1,13 5,62 4,90 4,54

Coeficiente variación 77.49 84.85 382.80 85.83 18.28 5


D. Normal 56,71 29,43 24,68 59,12 67,07 2,41

D. Uniforme 54,18 22,90 24,82 54,88 76,63 0,70

D. Baja 58,20 31,58 18,80 56,35 65,83 -1,85

D. Alta 52,69 20,75 30,69 57,65 77,87 4,97

Entero 57,85 32,74 17,41 58,74 70,58 0,89

Decimal 53,04 19,59 32,09 55,26 73,12 2,22

Media 55.45 26.17 24.75 57.00 71.85 1.56

Interv. Confianza () 2,56 4,03 4,24 3,32 6.73 2,41



D. Normal 67,72 27,14 38,95 68,77 64,21 1,05

D. Uniforme 66,96 31,09 43,72 72,52 56,13 5,55

D. Baja 70,14 36,66 35,07 71,84 48,75 1,70

D. Alta 64,55 21,57 47,60 69,45 71,59 4,90

Entero 67,19 34,73 27,97 68,75 64,11 1,55

Decimal 67,49 23,49 54,71 72,54 56,23 5,05

Media 67.34 29.11 41.34 70.64 60.17 3.30

Int. Confianza () 1,87 4,27 5,73 2,50 7,41 1,72


N=10

N=15

N=10


43

Dichos resultados son tratados con detalle a continuación

1) Variable V7: ERROR EN EL AJUSTE METRICO

La variable V7 informa sobre el error cometido en la transformación disparidades-

distancias del procedimiento métrico. En función del tamaño del grupo, en el gráfico-7 se

muestran las medias globales y su intervalo de confianza, y en el gráfico-8 se muestran las

medias para cada par de variables moduladoras.

De dichos gráficos se concluye lo siguiente:

Aumento de la media de error conforme el tamaño de la matriz, del 24,21% para n=5 al 67,34% en n=15. Se observa una tendencia a la estabilización alrededor del 70%.

Teniendo en cuenta los intervalos de confianza, puede afirmarse, con P<0,05, que los errores estarán comprendidos entre 18-30% para n=5 y 66-69% para n=15 (valores redondeados).

En términos generales, se observa escasa diferencia en el efecto de las variables moduladoras, disminuyendo ésta con el tamaño de la matriz.

Los mayores errores se observan cuando los datos cumplen una baja dispersión, una distribución normal y se emplea un precisión sin decimales.

Gráfico-8: Variable V7

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

90,00

100,00

5 10 15

D. Normal

D. Uniforme

D. Baja

D. Alta

Entero

Dec imal


24,21

55,45

67,34

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

90,00

100,00

5 10 15


44

2) Variable V8: ERROR EN LA TRANSFORMACIÓN MONOTÓNICA

La variable V8 informa sobre el error cometido en la transformación monotónica

proximidades-disparidades del procedimiento no-métrico. Más que un error de

transformación debe interpretarse como una pérdida de “linealidad” en dicha

transformación. En función del tamaño del grupo, en el gráfico-9 se muestran las medias

globales y su intervalo de confianza, y en el gráfico-10 se muestran las medias para cada par

de variables moduladoras.



0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

90,00

100,00

5 10 15

D. Normal

D. Uniforme

D. Baja

D. Alta

Entero

Dec imal


18,92

26,1729,11

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

90,00

100,00

1 2 3

Aumento de la media de error conforme el tamaño de la matriz, aunque con escaso incremento, del 18.92% para n=5 al 29.11% en n=15. Parece tender a un valor estable alrededor del 30%.


En relación a las variables moduladoras se aprecian notables diferencias en su efecto sobre la media, acentuándose éstas con el aumento de tamaño de la matriz.

Así, los mayores errores se observan cuando los datos cumplen una baja dispersión, y se emplea un precisión sin decimales. El efecto de la distribución es impreciso y sin tendencia definida.


45

3) Variable V9: ERROR EN EL AJUSTE NO-METRICO

La variable V9, al igual que la V7, informa sobre el error cometido en la transformación

disparidades-distancias, pero esta vez referida al procedimiento no-métrico. La mayor

diferencia con V7 es que las disparidades, en vez de relacionarse linealmente con las

proximidades lo han hecho de forma monotónica según la transformación analizada en V8.

En función del tamaño del grupo, en el gráfico-11 se muestran las medias globales de este

error y su intervalo de confianza, y en el gráfico-12 se muestran las medias para cada par de

variables moduladoras.



0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

90,00

100,00

5 10 15

D. Normal

D. Uniforme

D. Baja

D. Alta

Entero

Dec imal


0,96

24,75

41,34

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

90,00

100,00

1 2 3

Aumento de la media de error conforme el tamaño de la matriz, en forma lineal, del 0,96% para n=5 al 41.34% en n=15.

Según los intervalos de confianza, puede afirmarse, con P<0,05, que los errores estarán comprendidos entre 0-2% para n=5 y 36-47% para n=15 (valores redondeados).

En relación a la dispersión, cabe señalar que la serie de valores para n=5 incluyen dos valores “outlayer” de 21,21 y 9,84, lo que explicaría el coeficiente de variación de 382.80%. Obviando dichos valores, el intervalo de la media quedaría entre 0-1%.

En relación a las variables moduladoras se observa que las diferencias son nulas para n=5 y aumentan muy notablemente conforme aumenta el tamaño de la matriz.

Los mayores errores se observan, en n=10 y n=15 cuando los datos cumplen una distribución uniforme, una alta dispersión y se emplea un precisión con decimales.


46

4) Variable V10: ERROR DE AJUSTE METRICO

La variable V10 informa sobre el error cometido en la transformación proximidades-

distancias referida al procedimiento no-métrico. Los resultados pueden compararse pues

con los de V7, pues los valores de esta última coinciden con los que se hubieran obtenidos

relacionando proximidades-distancias. En función del tamaño del grupo, en el gráfico-13 se

muestran las medias globales de este error y su intervalo de confianza, y en el gráfico-14 se

muestran las medidas para cada par de variables moduladoras.



0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

90,00

100,00

5 10 15

D. Normal

D. Uniforme

D. Baja

D. Alta

Entero

Dec imal


21,20

57,00

70,64

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

90,00

100,00

5 10 15

Aumento de la media de error conforme el tamaño de la matriz, del 21,20% para n=5 al 70.64% en n=15. Se observa una tendencia a la estabilización alrededor del 75%.


En términos generales, se observa una muy escasa diferencia en el efecto de las variables moduladoras en relación al tamaño de la matriz, pudiéndo ésta considerarse nula y sin ninguna tendencia.

No se aprecia por lo tanto ninguna variable moduladora que explique en mayor medida que otra la aparición de los errores.


47

5) Variable V11: AJUSTE METRICO/NO-METRICO

La variable V11 informa sobre la relación, medida mediante R2, entre las distancias

obtenidas mediante el procedimiento métrico y las distancias obtenidas mediante el

procedimiento no-métrico. En función del tamaño del grupo, en el gráfico-15 se muestran

las medias globales de este error y su intervalo de confianza, y en el gráfico-16 se muestran

las medidas para cada par de variables moduladoras.



0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

90,00

100,00

5 10 15

D. Normal

D. Uniforme

D. Baja

D. Alta

Entero

Dec imal


86,46

71,85

60,17

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

90,00

100,00

5 10 15

Disminución de la relación conforme el tamaño de la matriz, del 86.46% para n=5 al 60.17% en n=15.

Teniendo en cuenta los intervalos de confianza, puede afirmarse, con P<0,05, que esta relación estará comprendida entre 82-91% para n=5 y 63-68% para n=15 (valores redondeados).

Respecto de la influencia de las variables moduladoras sobre la media, se observa un efecto apreciable de la dispersión sobre la relación entre ambas variables, aumentando éste conforme el tamaño de la matriz. El efecto del resto es impreciso y sin tendencia definida.

En este sentido, se evidencia una mejor relación entre las variables cuando la dispersión es alta.


48

6) Variable V12: DISCREPANCIA METRICO/NO-METRICO

La variable V12 es, junto a V11, otra de las formas escogidas para relacionar

conjuntamente los procedimientos métrico y no métrico. En este caso, V12 informa sobre la

diferencia, en valores absolutos, de las variables V2 y V6, es decir, entre las relaciones

proximidades-distancias de ambos procedimientos. Por lo tanto, valores positivos indicarán

que el ajuste métrico (lineal) del procedimiento métrico (V2) es mejor que el ajuste métrico

(lineal) del procedimiento no-métrico (V6), y viceversa. En función del tamaño del grupo, en

el gráfico-17 se muestran las medias globales de este error y su intervalo de confianza, y en

el gráfico-18 las medidas para cada par de variables moduladoras.



-50,00

-40,00

-30,00

-20,00

-10,00

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

5 10 15

D. Normal

D. Uniforme

D. Baja

D. Alta

Entero

Dec imal


-3,01

1,563,30

-50,00

-40,00

-30,00

-20,00

-10,00

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

5 10 15

Leve aumento en el signo de la diferencia entre ambas variables. Esta diferencia oscila entre –3,01 y + 3,30 puntos, lo que indica que el ajuste P-D del procedimiento métrico (V2) es mayor que el ajuste P-D del procedimiento no-métrico conforme aumenta el tamaño de la matriz.

Teniendo en cuenta los intervalos de confianza, puede afirmarse, con P<0,05, que esta relación estará comprendida entre –8 y +2 en n=5 y +2 y +5 en n=15 (valores redondeados).

En relación a las variables moduladoras, se observa que su efecto diferencial disminuye conforme el tamaño de la matriz, tendiendo a unas diferencias nulas.

Sólo parece tener un efecto significativo la dispersión, cuyos valores altos parecen favorecer la preponderancia del ajuste métrico sobre el no-métrico.


49

Conclusiones

En este último apartado se da respuesta a las dos cuestiones planteadas como objetivo de

la investigación: ¿ Es mejor el procedimiento métrico o el no-métrico?. Caso de escogerse el

procedimiento no-métrico... ¿ Que error cometemos si la interpretación no asume la

transformación monotónica y se realiza exclusivamente bajo intuiciones métricas lineales?.

1.- En términos generales... ¿ Procedimiento métrico o procedimiento no-métrico?

El gráfico-19 representa una superposición de los gráficos 7 y 11, y en él se representan

los errores en las transformaciones disparidades-distancias de los procedimientos métrico y

no métrico (variables V7 y V9 respectivamente).

Dado que los valores representados son exactamente los proporcionados por ALSCAL

cuando se efectúa sobre una matriz uno u otro procedimiento, esta sería la forma más

sencilla de comparar la bondad de ajuste de ambos procedimientos.

24,21

55,45

67,34

0,96

24,75

41,34

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

90,00

100,00

5 10 15

Gráfico-19: Variables V7 y V9

V7

V9


50

Se observa que el error cometido en el procedimiento métrico es siempre mayor que el

obtenido en el no-métrico, debido, como ya hemos explicado anteriormente, a la

transformación monotónica previa del no-métrico.

A nivel de interpretación de los resultados, la respuesta a la cuestión planteada parece

pues bastante evidente, y podemos formularla en los siguientes términos: Siempre que se

tenga en cuenta la función monotónica que relaciona las proximidades con las disparidades,

el procedimiento no-métrico proporciona una configuración de menor error, alrededor de 27

puntos, al menos en tamaños que oscilen entre 5 y 15 estímulos.

Una vez asumida esta afirmación, puede concretarse respecto del procedimiento no-

métrico lo siguiente:

1.- El error se incrementa linealmente conforme el tamaño de la matriz.

2.- Para el caso en que no se conozcan o no puedan escogerse ciertas características

de los datos (gráfico-15), los intervalos de confianza para P<0,05 no recomiendan el

empleo de MDS no-métrico con un número de estímulos superior a 10, dado que el

error esperado superaría el 20%.

3.- Para el caso en que se conozcan o puedan escogerse dichas características, puede

esperarse un reducción considerable de los errores. Así, el error medio disminuiría en

el caso de que la distribución fuera normal, la dispersión de los datos fuera, o se

emplearan puntuaciones enteras en vez de puntuaciones decimales. Caso de

combinarse las tres posibilidades (NBE) los errores todavía serían menores.

Todo lo anterior queda más claramente expuesto en el cuadro siguiente:


51

Error medio

(intervalo a P<0,05) Error mínimo Error máximo

n=5 0.96

(0 - 2,09)

* 0,06 con D. Normal * 0,73 con D. Baja * 0,02 con Entero * 0,00 con NBE

* 1,85 con D. Uniforme * 1,18 con D. Alta * 1,89 con Decimal * 4,48 con UAD

n=10 24.75

(20,51 - 28,99)


* 24,82 con D. Uniforme * 30,69 con D. Alta * 32,09 con Decimal * 33,38 con UBD

n=15 41.34

(35,61 - 47,07)


* 43,72 con D. Uniforme * 47,60 con D. Alta * 54,71 con Decimal * 58,26 con UBD

2.- Dado el procedimiento no-métrico... ¿ Que error cometemos si la interpretación es de

intuición lineal en vez de monotónica ?

El gráfico-20 representa una superposición de los gráficos 11 y 13, y en él se representan,

respectivamente, los errores cometidos en el procedimiento no-métrico cuando la

interpretación se realiza teniendo en cuenta la transformación monotónica y cuando se

realiza sin tener en cuenta, es decir, asumiendo una relación lineal proximidades-distancias.

Esta última relación nos dará precisamente la respuesta a la cuestión planteada, mientras

que la primera nos servirá de referencia para comparar la magnitud de dicho error.

0,96

24,75

41,34

21,20

57,00

70,64

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

90,00

100,00

5 10 15


V9

V10


52

Del gráfico se observa que el error cometido con la relación lineal proximidades-distancias

(V10) es sustancialmente mayor que el cometido con la interpretación tradicional

disparidades-distancias (V9).

La respuesta a la cuestión planteada podría quedar formulada en los siguientes términos:

Utilizando el procedimiento no-métrico, el error cometido cuando las distancias de la

configuración se interpretan intuyendo una relación lineal con las proximidades, tiene un

valor mayor, alrededor de 27 puntos, respecto del error cometido cuando esta interpretación

se realiza intuyendo una relación monotónica conocida, menos en tamaños que oscilen entre

5 y 15 estímulos.

Asumido este mayor error, puede concretarse respecto a la interpretación lineal lo

siguiente:

1.- El error se incrementa en forma logarítmica conforme aumenta el tamaño de la

matriz.

2.- Los valores son prácticamente insensibles a las características de los datos

(gráfico-18). No se aprecian diferencias significativas en relación a ninguna de las

variables moduladoras estudiadas cuando estas se estudian de forma independiente,

lo que implica utilizar los intervalos de confianza como único criterio para decidir la

bondad óptima del procedimiento. Así pues, con P<0,05, no parece recomendable

utilizar este procedimiento con un número de estímulos superior a 5, dado que el

error superaría aproximadamente el 20%.

3.- Cuando las variables moduladoras se estudian de manera dependiente su efecto

parece más considerable, y puede observarse una variabilidad mayor en los errores

esperados. Aunque este efecto no es el mismo para todos los tamaños de la matriz,

destaca el valor de error 9,55% para n=5 cuando se combinan la distribución normal,

una alta dispersión y se usan valores decimales. Para tamaños mayores el efecto es

impreciso.


53

Todo lo anterior queda más claramente expuesto en el cuadro siguiente:

Error medio


n=5 21,20

(15,58 - 26,82)

* 19,87 con D. Normal * 19,18 con D. Alta * 18,95 con Entero * 9,55 con NBD

* 22,53 con D. Uniforme * 23,22 con D. Baja * 23,45 con Decimal * 32,53 con NBE

n=10 57,00

(53,68 - 60,32)


* 59,12 con D. Normal * 57,65 con D. Baja * 58,74 con Entero * 67,27 con NAE

n=15 70,64

(68,14 - 73,14)

* 68,77 con D. Normal * 69,45 con D. Alta * 68,75 con Entero * 63,93 con NBE

* 72,52 con D. Uniforme * 71,84 con D. Baja * 72,54 con Decimal * 78,16 con UBD

3.- Dada la interpretación lineal en vez de monotónica ..... ¿ Procedimiento métrico o procedimiento no-métrico?

El gráfico-21 representa una superposición de los gráficos 7 y 13, y en él se representan,

respectivamente, los errores cometidos en el procedimiento métrico y en el no-métrico

cuando la interpretación se realiza teniendo en cuenta una relación lineal proximidades-

distancias.

Del gráfico se observa que el error cometido por el procedimiento métrico (V7) es, en

relación al cometido por el no-métrico (V10), aparentemente mayor para n=5, igual para

n=10 y menor para n=15. No obstante, realizada la prueba t para dichas diferencias, ésta dio,

24,21

55,45

67,34

21,20

57,00

70,64

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

90,00

100,00

5 10 15


V7

V10


54

respectivamente, los valores t=-1,30 (P=0,202), t=1,27 (P=0,212) y t=3,76 (P=0,001), lo que

sólo señala como significativa la diferencia para n=15.

La respuesta a la cuestión planteada podría quedar formulada en los siguientes términos:

Cuando utilicemos una interpretación de las distancias de tipo lineal respecto de las

proximidades, el procedimiento no-métrico proporciona, menos error que el procedimiento

métrico, al menos para tamaños superiores a 12 estímulos. Aunque en tamaños inferiores

este efecto tiende a invertirse, no puede ello afirmarse con una precisión igual o mayor del

95%.

Esta afirmación puede matizarse en los siguientes puntos:

1.- A partir de n=10, cuando comienza a ser más eficaz el procedimiento no-métrico,

las diferencias explicadas por las variables moduladoras disminuyen y tienden a ser

nulas. Ello puede observarse en el gráfico-24, que es coherente con lo explicado para

el gráfico-18.

2.- En cambio, para valores de n inferiores, las diferencias observadas en las variables

moduladoras aumentan en relación inversa con el tamaño. Para n=5 la mayor

diferencia entre los procedimientos (a favor del métrico) se da con distribución

normal, valores enteros o baja dispersión. Para ésta última característica, el

procedimiento métrico es incluso mejor que el no-métrico para N=10 y n=15.

3.- Cuando las variables se estudian de manera dependiente su efecto queda aún más

discriminado, observándose que con las combinaciones NBE, NBD y UBD es preferible

el procedimiento métrico en los tres intervalos, quedando el resto de combinaciones

como predictoras de mejores ajustes en el procedimiento no-métrico también para

los tres intervalos.

Todo lo anterior queda más claramente expuesto en el cuadro siguiente (valores

negativos indican mejor ajuste del procedimiento métrico y viceversa. En el cuadro se

resaltan en negrilla).


55

Error medio


n=5 -3,01

(-7,55 a 1,53)

* -9,38 con D. Normal * -9,19 con D. Baja * -5,28 con Entero * -25,17 con NBE

* 3,36 con D. Uniforme * 3,18 con D. Alta * -0,74 con Decimal * 7,01 con UAD

n=10 1,56

(-0,85 a 3,97)

* 0,70 con D. Uniforme * -1,85 con D. Baja * 0,89 con Entero * -4,66 con UBE

* 2,41 con D. Normal * 4,.97 con D. Alta * 2,22 con Decimal * 7,61 con NAD

n=15 3,30

(1,58 a 5,02)

* 1,05 con D. Normal * 1,70 con D. Baja * 1,55 con Entero * -5,54 con NBE


4.- Dadas las tres posibilidades... ¿ Cuál es el número máximo de estímulos que pueden

representarse con un error igual o menor que el 20%.

El cuadro siguiente representa una forma alternativa de presentar los resultados.

Conocidas las limitaciones de cada procedimiento se trata de decidir el número máximo de

estímulos que pueden representarse caso de conocerse o no conocerse las características de

los datos de proximidad.

Total D. Normal D. Uniforme D. Baja D. Alta Entero Decimal NBE NBD NAE NAD UBE UBD UAE UAD

V7 3 2 4 5 2 4 3 4 5 3 4 6 5

V9 9 9 9 10 8 11 8 38 8 8 15 7 9 8

V10 4 4 4 3 4 3 4 6 4 5 3 3 5 3

Se han reflejado los valores para el caso métrico (V7), no-métrico con interpretación

monotónica (V9) y no-métrico con interpretación lineal (V10), para cada uno de los tres

casos: a) No se conocen las características de los datos (fila “Total”), b) Se conoce sólo una

de las característica y c) Se conocen las tres características.


56

Discusión

De todo lo expuesto hasta el momento, sobresalen algunas cuestiones que es

conveniente aclarar.

Más allá del objetivo empírico del trabajo, se encontraba la idea de establecer unos

límites al uso del MDS, basados esencialmente en los errores que pueden tolerarse en la

configuración gráfica. De manera aproximada, nuestra experiencia aconseja establecer este

límite de error entre el 10% y el 20% aunque ello dependerá siempre del uso que quiera

dársele a la gráfica resultante. Si éste uso está orientado a las agrupaciones o clusters de los

estímulos, quizás basten ajustes del 80%, pero si su uso está orientado a la interpretación de

las dimensiones (uso no tratado en nuestro trabajo) el rigor del ajuste debe elevarse más allá

del 90%.

El uso 100-R2 como indicador de dichos errores ha demostrado tener una potente

capacidad interpretativa, más incluso que el índice “stress” propuesto por Kruskal. De hecho,

hemos podido constatar la relación lineal entre ambos, siendo además nuestro límite del

20% coherente con los estudios del propio Kruskal (1964), donde califica de “pobre” niveles

de stress superiores al 20% (y que equivale, según nuestras investigaciones, al un R2 del 85%

y por lo tanto a un error del 15%).

Dada esta matización, la implicación más importante de nuestra investigación es la

relativa al número máximo de estímulos que deben utilizarse según los errores esperados.

Este número variará según el procedimiento escogido entre 4-5 para los procedimientos con

interpretación lineal y 9-10 para el procedimiento no-métrico con interpretación

monotónica. Recomendamos pues el uso de la interpretación monotónica caso de un

número elevado de estímulos, aunque ello exija tener delante el gráfico (o los valores) de

dicha transformación.


57

El último aspecto a subrayar es el ámbito de aplicación de nuestro estudio. Las medidas

directas de proximidad fueron las inicialmente empleadas como aplicación del MDS, pero en

psicología no son tan habituales. Quedan por lo tanto abiertas dos opciones de análisis, con

metodología similar a la empleada por nosotros y que hacen referencia a la forma de

presentarse los datos. Por un lado, caso de seguir empleando medidas directas de

proximidad sería conveniente estudiar la opción de que fueran varios sujetos los que

realizaran éstas, con una matriz de proximidad para cada uno de ellos (procedimiento

INDSCAL). Ello añadiría el efecto de la variable “número de sujetos”. Por otro lado quedaría

la posibilidad de que las medidas de proximidad fueran una transformación de una matriz

sujetos x variables. En este caso, además de la variable “número de sujetos” habría que

estudiar el efecto del “número de variables”.


58

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59

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60

Anexos


61

ANEXO-1 Condiciones impuestas y estadísticos de las series aleatorias para N=5

(Tamaño de cada serie = n(n-1)/2) = 10

(1) (2) (3) (4) condiciones (5) media media DS media asimetría media curtosis media

Normal Baja Entero S1 X=5, DS=0,5, e 5,50 5,34 0,53 0,47 0,00 1,03 -2,60 0,32

S2 X=5, DS=0,5, e 5,10 0,32 3,16 10,00

S3 X=5, DS=0,5, e 5,40 0,52 0,48 -2,30

S4 X=5, DS=0,5, e 5,40 0,52 0,48 -2,30

S5 X=5, DS=0,5, e 5,30 0,48 1,04 -1,20

Decimal S1 X=5, DS=0,5, d2 5,09 4,95 0,16 0,50 0,62 0,07 1,12 -0,31

S2 X=5, DS=0,5, d2 5,00 0,75 -0,22 -0,09

S3 X=5, DS=0,5, d2 5,20 0,47 -0,33 -1,20

S4 X=5, DS=0,5, d2 4,78 0,61 0,25 -0,06

S5 X=5, DS=0,5, d2 4,68 0,52 0,02 -1,34

Alta Entero S1 X=5, DS=2, e 5,20 5,28 1,99 1,96 0,50 -0,35 -0,30 -0,23

S2 X=5, DS=2, e 5,50 2,27 0,28 -1,50

S3 X=5, DS=2, e 5,90 2,13 -0,44 -0,40

S4 X=5, DS=2, e 4,90 1,52 -0,73 0,04

S5 X=5, DS=2, e 4,90 1,91 -1,37 1,01

Decimal S1 X=5, DS=2, d2 5,16 4,90 1,94 2,05 -0,09 -0,03 -0,42 -0,49

S2 X=5, DS=2, d2 3,47 2,06 0,08 -1,44

S3 X=5, DS=2, d2 4,85 1,84 -0,16 -1,61

S4 X=5, DS=2, d2 6,16 2,03 -0,59 0,25

S5 X=5, DS=2, d2 4,86 2,36 0,59 0,76

Uniforme Baja Entero S1 I=1-10, e 5,80 5,98 0,92 0,82 0,47 0,05 -1,80 -1,26

S2 I=1-10, e 5,90 0,74 0,17 -0,70

S3 I=1-10, e 6,00 0,82 0,00 -1,40

S4 I=1-10, e 6,10 0,88 -0,22 -1,70

S5 I=1-10, e 6,10 0,74 -0,17 -0,70

Decimal S1 I=1-10, d2 5,59 5,74 0,80 0,88 -0,79 -0,67 -0,03 -0,34

S2 I=1-10, d2 5,82 0,92 -0,77 -0,14

S3 I=1-10, d2 5,79 0,99 -0,52 -1,23

S4 I=1-10, d2 5,76 0,85 -0,10 -1,48

S5 I=1-10, d2 5,75 0,83 -1,17 1,17

Alta Entero S1 I=4-7, e 6,90 6,58 2,60 2,57 -0,62 -0,08 -0,20 -0,54

S2 I=4-7, e 6,90 2,47 -0,74 0,56

S3 I=4-7, e 5,80 2,53 0,38 -0,07

S4 I=4-7, e 7,30 2,11 0,22 -1,20

S5 I=4-7, e 6,00 3,16 0,37 -1,80

Decimal S1 I=4-7, d2 6,26 5,69 2,33 2,66 0,15 0,18 -1,92 -1,61

S2 I=4-7, d2 4,84 3,07 0,41 -1,92

S3 I=4-7, d2 5,27 2,61 0,31 -1,09

S4 I=4-7, d2 6,14 2,48 0,17 -1,41

S5 I=4-7, d2 5,94 2,83 -0,12 -1,70

(1) Distribución (Normal/Uniforme) (2) Dispersión (Alta/Baja) (3) Precisión (Entero/Decimal) (4) Serie (5) X=media, DS=Desviación Standard, e=entero, d2=2 decimales, I=intervalo


62

ANEXO-2

Condiciones impuestas y estadísticos de las series aleatorias para N=10 (Tamaño de cada serie = n(n-1)/2) = 45


Normal

Baja

Entero

S1 X=5, DS=0,5, e 4,36

4,46

0,48

0,57

0,62

0,11

-1,69

-0,79

S2 X=5, DS=0,5, e 4,42 0,66 -0,20 -0,22

S3 X=5, DS=0,5, e 4,47 0,55 -0,30 -1,06

S4 X=5, DS=0,5, e 4,53 0,59 -0,13 -0,41

S5 X=5, DS=0,5, e 4,53 0,59 0,57 -0,58

Decimal

S1 X=5, DS=0,5, d2 5,16

5,06

0,45

0,45

-0,09

0,04

-0,43

0,03

S2 X=5, DS=0,5, d2 5,03 0,52 0,81 0,34

S3 X=5, DS=0,5, d2 5,03 0,41 -0,70 0,92

S4 X=5, DS=0,5, d2 5,10 0,44 0,30 -0,02

S5 X=5, DS=0,5, d2 4,97 0,44 -0,12 -0,66

Alta

Entero

S1 X=5, DS=2, e 4,82

4,45

2,20

1,95

0,12

0,34

-0,29

0,03

S2 X=5, DS=2, e 3,96 1,89 0,78 1,11

S3 X=5, DS=2, e 4,60 1,68 0,07 -1,24

S4 X=5, DS=2, e 4,73 1,89 0,49 0,62

S5 X=5, DS=2, e 4,16 2,10 0,26 -0,07

Decimal

S1 X=5, DS=2, d2 4,80

4,96

1,78

1,88

0,22

0,16

-0,79

0,00

S2 X=5, DS=2, d2 4,90 1,78 0,08 0,10

S3 X=5, DS=2, d2 5,30 1,54 0,50 1,05

S4 X=5, DS=2, d2 4,79 1,92 0,26 -0,04

S5 X=5, DS=2, d2 5,00 2,38 -0,27 -0,32

Uniforme

Baja

Entero

S1 I=1-10, e 5,18

5,03

0,81

0,80

-0,34

-0,05

-1,37

-1,37

S2 I=1-10, e 4,82 0,83 0,35 -1,48

S3 I=1-10, e 5,02 0,72 -0,03 -1,02

S4 I=1-10, e 5,04 0,85 -0,09 -1,63

S5 I=1-10, e 5,07 0,78 -0,12 -1,33

Decimal

S1 I=1-10, d2 5,62

5,61

0,81

0,87

-0,19

-0,18

-1,00

-1,17

S2 I=1-10, d2 5,55 0,97 0,01 -1,56

S3 I=1-10, d2 5,58 0,81 -0,14 -0,90

S4 I=1-10, d2 5,61 0,89 -0,24 -1,18

S5 I=1-10, d2 5,70 0,89 -0,36 -1,22

Alta

Entero

S1 I=4-7, e 4,18

4,84

2,69

2,49

0,28

0,13

-1,46

-1,11

S2 I=4-7, e 5,16 2,36 0,00 -0,90

S3 I=4-7, e 5,27 2,44 0,03 -1,28

S4 I=4-7, e 4,96 2,34 0,26 -0,67

S5 I=4-7, e 4,62 2,61 0,07 -1,27

Decimal

S1 I=4-7, d2 6,49

5,70

2,48

2,55

-0,63

-0,15

-0,54

-1,07

S2 I=4-7, d2 5,95 2,48 -0,19 -1,39

S3 I=4-7, d2 5,12 2,48 0,20 -0,94

S4 I=4-7, d2 5,28 2,86 0,00 -1,51

S5 I=4-7, d2 5,68 2,46 -0,13 -0,97



63

ANEXO-3

Condiciones impuestas y estadísticos de las series aleatorias para N=15 (Tamaño de cada serie = n(n-1)/2) = 105


Normal

Baja

Entero

S1 X=5, DS=0,5, e 5,52

5,52

0,56

0,56

0,08

0,17

-0,82

-0,82

S2 X=5, DS=0,5, e 5,59 0,57 -0,04 -0,60

S3 X=5, DS=0,5, e 5,44 0,54 0,25 -1,00

S4 X=5, DS=0,5, e 5,51 0,59 0,37 -0,48

S5 X=5, DS=0,5, e 5,55 0,54 0,17 -1,18

Decimal

S1 X=5, DS=0,5, d2 4,99

5,02

0,56

0,51

-0,29

-0,05

0,45

-0,13

S2 X=5, DS=0,5, d2 5,07 0,50 -0,01 -0,01

S3 X=5, DS=0,5, d2 5,04 0,49 0,02 -0,12

S4 X=5, DS=0,5, d2 4,99 0,49 -0,02 -0,18

S5 X=5, DS=0,5, d2 5,04 0,50 0,04 -0,80

Alta

Entero

S1 X=5, DS=2, e 5,61

5,60

1,84

2,02

-0,23

-0,11

-0,12

-0,25

S2 X=5, DS=2, e 5,59 2,36 0,10 -0,52

S3 X=5, DS=2, e 5,48 2,11 0,02 -0,52

S4 X=5, DS=2, e 5,61 1,83 0,01 -0,20

S5 X=5, DS=2, e 5,70 1,97 -0,45 0,10

Decimal

S1 X=5, DS=2, d2 5,03

5,00

1,89

1,95

0,17

0,13

-0,54

-0,48

S2 X=5, DS=2, d2 5,05 2,02 0,13 -0,55

S3 X=5, DS=2, d2 5,26 1,98 0,05 -0,50

S4 X=5, DS=2, d2 5,03 1,92 0,13 -0,46

S5 X=5, DS=2, d2 4,65 1,96 0,18 -0,36

Uniforme

Baja

Entero

S1 I=1-10, e 5,91

5,94

0,82

0,83

0,16

0,11

-1,50

-1,55

S2 I=1-10, e 5,96 0,84 0,07 -1,59

S3 I=1-10, e 5,95 0,84 0,09 -1,57

S4 I=1-10, e 5,91 0,82 0,16 -1,50

S5 I=1-10, e 5,97 0,84 0,05 -1,58

Decimal

S1 I=1-10, d2 5,65

5,56

0,86

0,86

-0,18

-0,10

-1,09

-1,16

S2 I=1-10, d2 5,42 0,86 -0,03 -1,21

S3 I=1-10, d2 5,56 0,93 -0,08 -1,34

S4 I=1-10, d2 5,55 0,81 -0,15 -0,96

S5 I=1-10, d2 5,59 0,86 -0,08 -1,20

Alta

Entero

S1 I=4-7, e 6,10

6,20

2,71

2,64

-0,08

-0,13

-1,34

-1,27

S2 I=4-7, e 5,95 2,59 0,05 -1,24

S3 I=4-7, e 6,40 2,54 -0,15 -1,16

S4 I=4-7, e 6,36 2,65 -0,24 -1,24

S5 I=4-7, e 6,18 2,70 -0,22 -1,35

Decimal

S1 I=4-7, d2 5,39

5,63

2,44

2,64

-0,02

-0,09

-0,93

-1,15 S2 I=4-7, d2 5,40 2,75 -0,03 -1,38 S3 I=4-7, d2 5,52 2,79 0,11 -1,30

S4 I=4-7, d2 5,79 2,65 -0,12 -1,16

S5 I=4-7, d2 6,05 2,55 -0,38 -1,01



64

ANEXO-4

Series para N=15

Distribucion NORMAL Distribución UNIFORME

dt = 0,5 dt = 2 dt = 0,5 dt = 2

enteros decimales enteros decimales enteros decimales enteros decimales

NBE NBD NAE NAD UBE UBD UAE UAD

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

5 5 5 6 5 4,98 4,4 4,76 3,94 5,38 4 3 4 5 1 7,8 0,38 3,47 6,37 3,97 5 7 7 5 6 5,69 6,77 5,93 6,63 5,78 7 4 10 6 10 3,62 7,01 6,29 5,94 5,16

5 5 5 5 6 5,2 3,63 5,53 5,85 4,79 6 9 8 2 5 2,69 1,82 3,98 4,79 6,95 5 6 6 5 7 6,05 6,61 4,44 4,53 6,05 5 10 4 6 3 7,03 4,04 6,27 5,83 2,16

6 5 6 6 5 5,01 5,4 5,48 4,78 4,58 9 8 7 5 5 6,12 5,82 5,29 4,3 9,58 5 5 6 7 5 5,97 6,62 6,81 6,37 5,95 10 8 6 4 8 8,01 8,41 3,03 4,07 7,83

6 5 5 5 5 5,2 5,7 4,44 5,23 4,57 6 4 6 6 6 5,45 5,97 6,46 5,68 1,26 6 5 6 5 7 5,89 4,75 6,97 5,32 6,33 7 10 4 6 4 8,54 9,12 8,61 9,81 4,55

6 5 5 5 5 5,06 5,53 5,88 4,96 3,98 7 3 7 3 6 5,08 6,14 7,07 7,83 6,25 6 6 5 6 6 4,19 5,67 4,22 4,68 5,94 9 7 4 10 10 4,63 2,13 5,23 9,13 2,57

6 5 5 6 5 4,84 5,2 5,24 4,3 4,76 3 6 9 4 7 8,04 3,47 4,08 2,19 2,6 7 5 7 6 7 6,73 5,46 6,34 5,07 6,45 10 8 5 7 4 9,62 8,52 9,54 7,46 8,82

6 5 5 5 5 5,41 4,51 4,67 5,44 4,02 3 6 5 6 2 4,72 4,56 2,68 7,81 3,4 7 6 5 7 6 5,16 6,01 6,59 5,72 5,47 7 7 8 8 4 4,5 2,3 6,24 2,66 8,17

5 6 6 5 6 5,03 4,77 4,94 4,76 4,14 3 3 2 5 5 4,06 2,67 6,52 7,37 4,92 5 6 5 7 6 5,74 6,75 5,51 6,62 6,76 2 6 2 10 10 4,57 2,13 2,55 8,46 9,84

5 5 6 6 6 5,03 6,2 5,57 4,55 5,19 5 8 4 6 6 2 2,45 6,9 9,09 5,25 7 7 7 6 5 4,35 5,54 4,85 6,92 4 8 2 9 10 5 3,49 3,27 2,9 4,42 2,86

5 5 6 5 5 5,15 4,66 5,52 4,01 5,35 6 5 7 7 6 5,67 1,46 2,08 6,13 4,4 5 6 6 7 6 6,15 4,04 6,21 5,73 4,76 4 7 6 6 2 8,6 1,48 2 3,62 7,41

ANEXO-5 Series para N=10


dt = 0,5 dt = 2 dt = 0,5 dt = 2



1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

4 4 4 5 4 5,83 5,11 4,01 4,96 4,37 8 3 3 6 1 7,51 4,67 5,38 4,87 6,5 5 5 4 6 6 6,56 4,15 5,82 5,09 5,13 3 1 4 9 1 8,2 2,26 4,88 1,54 6,16

4 5 5 4 5 4,84 5,53 4,66 4,88 4,74 7 3 4 7 4 3,58 3,74 2,25 3,38 7,41 6 4 4 5 4 5,61 6,37 6,74 6,44 5,93 6 9 3 5 1 6,85 6,18 1,12 1,82 8,73

4 5 5 4 6 5,78 4,81 4,72 5,05 4,51 6 4 3 7 2 3,11 4,2 10 5,05 3,35 6 4 6 6 5 5,97 4,36 5,61 5,97 4,68 1 5 7 4 3 8,11 7,75 7,53 3,42 2,53

4 5 5 5 4 4,99 4,28 5,24 5,01 4,72 5 4 7 3 4 4,86 6,12 5,63 2,95 0,25 4 5 5 4 4 6,91 4,2 6,39 4,47 6,21 1 4 8 8 3 9,89 2,75 4,21 6,83 7,1

4 5 5 5 5 4,69 5,18 5,61 5,33 5,27 5 1 4 6 3 3,28 3,48 6,5 3,12 3,8 4 4 5 4 6 5,28 4,86 5,38 4,69 6,21 2 4 3 1 8 3,51 2,95 8,82 3,01 4,28

4 4 4 5 4 4,97 5,4 5,35 5,2 4,35 5 1 4 4 7 2,13 6,55 3,69 5,22 5,19 5 4 5 5 5 5,69 6,55 6,01 4,59 6,74 4 7 9 6 3 1,86 7,89 6,66 7,33 1,91

4 3 4 4 4 6,07 4,82 4,69 5,38 5,24 1 2 6 4 5 3,48 5,28 5,61 7,05 5,07 6 4 6 6 6 4,76 4,58 5,65 6,83 5,24 7 1 5 3 1 7,82 9,22 8,9 9,04 5,71

5 5 4 5 4 5,27 5,35 4,72 5,14 4,97 5 2 3 4 2 7,28 6,31 4,41 2,76 1,24 5 6 4 5 5 6,51 4,65 6,79 6,07 6,34 1 8 3 5 6 9,91 3,7 1,29 8 7,64

4 5 4 5 5 5,47 4,77 5,2 4,92 4,66 3 3 7 5 4 2,86 4,9 8,45 5,21 4,22 4 4 4 6 5 5,36 6,24 5,18 6,46 6,05 1 6 2 7 3 9,34 3,7 8,72 3,43 9,92

4 5 5 5 4 5,58 4,89 5,1 5,53 5,2 5 6 7 3 0 5,24 1,94 5,16 5,5 5,62 6 5 5 4 5 5,75 4,64 4,45 5,88 6,09 7 9 9 5 7 8,62 8,99 1,28 9,01 1,53

4 5 4 5 4 5,46 4,58 5,32 4,96 4,35 1 4 4 3 2 3,49 4,66 7,05 4,81 0,34 6 5 4 5 6 6 5,83 5,95 5,23 6,42 2 7 1 9 2 2,5 5,46 4,76 8,01 3,54

4 4 5 4 4 5,24 5,86 4,57 5,83 4,26 6 4 4 3 4 4,89 8,55 4,77 7,19 5,54 5 4 6 4 4 4,37 4,57 5,25 4,45 4,29 2 7 5 5 3 1,19 8,7 3,89 8,75 1,82

5 4 5 4 5 5,09 6,42 5,37 5,2 5,16 3 7 6 1 5 2,74 6,59 4,75 2,34 6,56 6 4 5 4 5 6,25 4,54 6,65 5,45 6,46 1 7 4 6 4 5,54 3,57 2,35 8,73 8,85

4 6 4 4 5 5,56 4,85 5,23 4,73 5,04 5 6 5 5 5 8,49 3,94 2,8 0,7 9,16 5 5 5 4 6 5,12 6,67 6,75 4,26 4,3 6 9 4 3 6 8,26 7,91 3,03 7,58 4,45

4 4 4 5 6 4,73 4,84 5,2 5,25 5,06 4 5 2 4 9 2,37 5,19 5 6,28 3,48 5 4 5 4 5 6,3 6,34 5,23 4,28 4,38 8 5 3 3 9 6,61 7,54 7,77 9,39 6,58

4 4 5 3 4 5,07 4,85 5,38 4,43 4,28 5 5 5 5 3 6,48 1,25 5,76 5,57 9,24 6 5 4 6 6 6,62 4,06 6,59 5,55 5,77 3 4 7 4 1 8,57 4,47 2,26 2,83 6,01

4 5 5 4 4 5,29 4,72 4,88 4,59 5,4 10 6 7 8 6 3,19 5,28 5 1,46 5,68 6 4 4 5 4 4,77 4,43 4,95 6,68 6,49 1 3 7 4 8 7,2 6,01 9,86 6,83 7,27


65

5 5 4 5 4 5,88 5,79 4,74 4,96 4,82 3 1 6 3 2 4,1 5,09 7,67 7,13 7,05 5 5 6 6 6 5,38 6,61 5,34 5,97 6,64 7 5 9 5 8 5,28 3,49 3,41 9,46 4,42

5 4 5 5 5 5,51 4,68 5,2 5,86 4,55 3 5 6 5 8 3,36 1,97 6,36 3,34 3,58 6 4 5 6 6 6,28 6,87 5,4 6,56 5,53 1 5 4 2 1 5,28 5,29 2,09 2,93 1,97

5 5 4 5 5 5,2 4,82 4,41 4,37 5,73 5 3 7 5 6 4,95 5,07 5,84 4,7 7,98 6 6 5 5 4 5,68 5,27 6,46 6,78 6,51 9 9 7 2 4 8,72 8,36 6,91 2,68 4,57

5 5 4 4 5 4,62 4,96 4,6 5,3 5,12 6 5 3 7 3 6,4 1,17 5,2 6,84 4,4 4 5 6 4 5 5,06 4,78 5,97 6,7 6,34 6 6 8 3 5 9,17 4,37 8,18 1,08 9,86

4 4 5 4 4 5,37 5,95 5 5,22 5,64 5 2 3 3 3 1,76 4,41 4,62 6,13 6,05 6 6 5 5 5 6,19 6,27 4,52 5,47 4,24 4 5 2 9 8 1,71 1,88 7,59 6,17 2,45

5 4 5 4 5 4,57 4,55 5,28 5,3 5,52 8 3 7 6 4 5,03 2,56 7,2 5 2,58 4 6 5 4 4 6,1 5,46 5,94 5,36 4,7 8 3 2 5 5 3,78 9,13 9,13 4,82 8,36

4 5 5 4 4 5,17 4,54 5,1 4,62 4,97 1 2 5 3 2 5,48 4,1 4,61 8,5 4,34 5 4 6 6 6 4,65 5,34 5,59 6 5,23 2 1 7 5 1 1,75 3,66 1,45 1,67 6,43

4 5 5 4 4 4,98 6,06 4,98 4,86 5,61 4 5 7 5 5 3,33 7,64 3,44 5,36 7,89 4 6 5 6 5 6,89 6,73 4,28 5,87 6,28 2 5 9 2 4 6,32 8,63 2,73 1,1 6,54

5 3 5 4 5 5,12 4,47 4,55 4,24 5,91 2 6 3 7 7 5,82 7,98 7,03 3,28 3,13 4 6 5 4 5 4,46 6,66 5,79 5,96 5,97 4 4 4 3 2 2,5 3,27 5,02 7,61 4,41

4 5 4 4 4 4,7 4,39 4,99 4,6 4,46 6 8 6 5 5 7,44 5,07 6,34 3,82 7,71 6 6 5 4 5 6 4,71 4,87 4,01 5,09 7 3 7 6 7 9,8 9,06 4,07 4,75 6,21

4 4 4 5 5 5,59 4,42 5,44 4,94 5,29 5 2 4 9 1 5,33 6,1 5,36 5,29 2,45 4 4 4 6 6 5,58 6,45 6,26 5,65 5,62 1 7 4 9 3 6,09 3,9 4,57 7,81 9,1

5 5 4 5 5 5,41 5,22 4,78 5,18 4,63 6 3 5 3 2 4,58 5,64 3,96 6,78 5,89 4 4 4 6 6 5,57 5,61 4,08 5,61 6,87 8 9 3 5 3 3,15 6,52 2,53 1,04 6,09

4 4 5 5 5 4,47 5,14 4,92 5,8 4,9 4 4 2 6 5 6,88 6,74 4,32 3,53 2,96 4 4 5 5 4 5,9 6,68 6,83 4,4 6,66 3 3 7 1 6 7,87 6,72 6,35 2,74 1,48

4 4 4 4 4 5,33 4,78 4,84 5,35 4,16 5 2 2 5 9 5,42 4,54 3,24 3,12 3,64 5 4 5 4 5 4,08 4,54 5,24 4,85 6,87 6 5 3 7 5 4,25 5,47 6,64 7,03 7,2

5 5 4 4 5 5,23 6,16 5,75 4,91 4,13 9 6 4 3 1 2,72 4,84 2,41 6,36 5,06 5 6 5 5 4 5,16 4,11 6,24 6,02 6,93 4 2 2 9 1 5,18 3,7 6,36 1,68 4,39

4 4 4 5 5 4,51 5,24 5,21 4,95 4,74 5 3 2 3 4 4 4,16 5,5 9,66 6,16 6 4 6 6 5 6,87 6,36 5,49 5,21 6,28 8 8 5 4 1 7,87 4,16 3,18 8,95 4,48

4 4 5 5 4 4,71 5,02 5,45 4,78 5,19 3 5 6 1 3 6,4 3,27 3,91 8,24 3,86 6 6 5 6 5 5,34 6,85 5,17 6,44 4,6 3 7 7 3 9 8,42 1,9 6,24 1,48 8,47

4 4 4 4 5 5 4,43 5,07 4,65 5,24 2 3 4 2 4 1,7 6,56 3,59 4,66 4,17 6 5 6 5 6 4,57 5,49 4,26 6,28 5,5 3 5 1 2 2 9,89 1,37 5,08 1,92 3,34

4 5 4 5 5 5,8 4,49 5,19 4,34 5,24 7 5 5 5 4 6,18 2,79 4,4 4,01 9,34 6 4 6 6 5 5,76 4,88 5,02 6,67 4,7 4 8 4 5 6 6,59 7,37 4,82 9,39 8,04

4 4 5 4 4 5,46 5,32 3,84 5,58 5,18 6 4 3 10 5 5,24 4,1 5,42 1,98 4,46 5 5 6 5 6 4,87 4,59 4,34 6,91 5,01 8 7 8 4 8 7,43 8,38 3,11 5,65 5,34

5 4 4 4 5 4,82 5,04 4,5 5,58 4,68 4 4 7 6 6 6,41 9,04 5,64 4,68 5,87 6 5 5 4 4 5,1 6,91 5,27 4,37 5,07 2 5 8 5 7 9,45 7,5 3,28 3,92 5,49

5 4 5 5 4 5,17 4,23 4,88 5,24 5,21 3 5 4 5 4 8,26 4,31 6,62 5,5 0,1 5 6 5 6 4 6,53 6,91 4,35 5,33 4,89 1 6 4 4 6 6,66 7,31 4,69 5,52 5,87

4 3 5 5 5 5,1 5,14 5,21 4,9 5,5 2 5 3 4 5 3,52 7 6,37 3,76 6,83 5 6 4 5 5 4,11 5,94 5,64 6,93 6,9 2 2 6 6 6 6,48 8,69 9,74 7,99 8,98

4 4 3 4 4 5,92 5,22 5,31 5,93 5,21 8 2 5 4 5 5,9 5,16 7,09 6,52 7,68 5 5 4 6 4 4,85 6,06 4,28 6,63 6,57 8 3 3 6 9 7,59 3,76 5,63 4,66 8,46

5 4 4 5 5 4,98 5,1 5,21 5,16 5,25 1 10 3 5 5 7,51 6,24 5,14 2,6 0,69 6 5 5 5 4 6,6 4,77 5,62 6,41 4,32 6 2 8 1 6 6,81 9,66 6,52 4,81 8,26

5 4 4 5 4 4,21 5,38 5,33 6,18 4,79 5 3 5 4 6 5 4,89 4,35 2,84 6,13 4 4 6 6 5 4,32 7 6,73 4,49 4,01 1 5 7 6 6 6,92 8,83 2,49 3,37 3,83

5 5 5 6 4 4,27 5,08 5,37 5,39 5,14 7 4 7 6 6 4,6 4,02 4,95 5,02 6,72 6 4 6 4 6 6,46 4,98 6,74 5,23 6,58 8 2 5 9 3 7,4 8,64 5,81 3,17 5,8

5 5 5 5 4 5,28 4,53 5,84 4,83 5,17 8 2 2 5 1 3,75 3,27 5,75 3,62 5,42 5 6 5 4 6 6,64 5,93 5,88 4,06 5,94 6 4 9 8 7 5,59 7,87 5,54 8,74 1,59


66

ANEXO-6 Resultados para N=15


dt = 0,5 dt = 2 dt = 0,5 dt = 2



1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

5 6 6 6 5 4,99 4,4 6,06 5,57 5,05 6 8 8 5 8 9,11 2,58 5,47 6,47 3,94 5 6 5 5 7 4,97 5,02 4,62 4,1 6,39 8 9 7 3 8 4,75 5,61 1,74 9,87 1,55 5 6 6 5 6 5,19 4,63 5,13 4,95 4,98 7 10 5 7 7 8,11 7,44 4,8 3,77 5,18 6 7 6 5 5 6,08 6,76 5,53 6,32 6,91 4 10 7 5 7 5,83 4,01 5,78 1,74 7,79

5 6 5 6 6 4,97 5,42 4,72 5,73 5,49 3 4 8 6 7 5,44 5,53 4,47 2,59 3,01 6 5 6 5 5 5,55 4,95 6,17 6,4 6,77 6 2 10 9 8 5,62 4,59 3,4 9,53 1,47

5 5 5 6 5 4,59 6,07 5,44 6,17 4,37 7 6 6 6 6 3,63 5,48 4,04 5,42 4,59 6 6 6 5 7 6,76 5,31 6,2 5,77 6,68 6 10 6 7 10 7,71 4,45 4,31 2,82 7,24 6 5 5 5 5 5,01 5,44 4,66 4,78 4,9 6 5 4 7 7 7,28 4,81 5,18 6,62 2,45 6 5 5 5 7 6,06 6,21 5,95 6,6 5,6 2 5 6 6 4 3,88 6,47 7,48 6,98 6,09

5 5 5 6 6 4,49 4,88 4,95 4,71 4,58 7 1 5 9 10 4,74 8,99 3,06 7,25 2,89 5 5 5 5 6 6,99 4,1 6,86 5,44 5,35 10 5 2 9 8 5,79 3,32 8,49 1,86 7,01 5 5 4 6 5 4,53 5,15 5,29 5,33 5,3 6 4 4 6 7 3,07 2,43 5,88 2,92 1,66 5 5 7 6 6 6,27 4,26 6,36 5,86 6,65 4 7 4 9 2 3,14 5,45 6,68 9,18 3,12

5 5 5 6 6 5,06 5,12 4,25 5,09 4,04 5 4 6 7 8 5,66 6,95 7,17 4,52 5,92 7 7 5 6 7 4,05 4,93 5,12 6,47 6,87 10 8 10 9 2 7,74 2,87 8,82 1,53 8,13

6 6 5 5 6 5,51 5,27 5,09 4,85 5,19 6 10 2 4 5 5,09 6,96 6,18 7,76 0,83 6 7 7 5 6 6,86 4,13 6,75 4,81 6,17 2 7 8 5 3 2,15 1,95 2,76 6,61 5 5 6 5 6 6 4,44 4,14 5,9 5 5,63 7 5 5 6 3 4,64 2,77 10 3,95 1,69 6 6 7 6 5 6,64 4,18 4,44 5,69 6,62 3 3 8 9 5 1,16 1,16 7,48 8,8 5

5 6 5 5 6 5,05 4,77 4,83 4,68 5,25 6 7 6 6 6 1,51 5,97 4 7,45 7,59 7 5 7 7 6 6,46 5,93 6,64 4,94 6,68 2 8 3 6 7 3,21 1,4 4,29 3,56 2,9

7 5 6 6 5 5,12 4,33 4,12 4,18 5,58 6 3 7 8 5 2,7 5,68 4,45 4,16 6,78 5 5 7 5 5 4,62 6,2 6,95 5,55 6,06 8 10 2 4 9 4,1 2,27 4,58 1,14 1,57 5 6 5 6 6 4,95 5,09 5,19 5,13 5,02 8 4 3 6 7 3,01 4,02 7,52 6,65 3,23 7 7 5 5 6 5,87 4,49 4,07 5,02 4,79 8 6 2 4 3 6,35 6,82 8,52 8,68 3,27

5 6 5 6 6 5,55 5,02 4,37 3,97 5,62 9 2 3 7 4 1,96 4,73 5,96 5,13 7,82 7 5 7 6 7 6,8 5,21 5,81 4,3 4,52 6 8 9 2 7 6,53 4,22 5,07 4,39 8,24

5 7 6 7 5 4,33 4,54 5,07 4,96 5,98 5 3 8 6 5 5,04 6,92 1,23 3,5 6,33 5 6 5 5 7 5,33 6,67 4,28 5,35 6,8 10 2 7 10 3 5,75 6,38 3,64 7,51 7,88 6 6 6 5 5 3,57 4,53 4,87 4,05 4,35 4 1 8 6 4 4,27 1,36 7,23 5,61 7,36 5 5 7 5 6 4,31 4,45 5,01 6,43 4,8 3 10 10 8 3 4,15 9,29 9,67 6,91 8,36

6 5 6 6 5 5,32 4,8 5,1 5,53 5,94 7 6 6 6 6 5,64 5,42 6,92 1,88 2,54 6 5 7 5 5 4,17 5,81 6,26 5,19 4,9 9 4 10 4 6 6,29 1,15 2,13 4,25 4,08 5 5 6 6 5 5,14 4,94 4,89 4,25 4,67 4 10 6 2 2 6,1 5,01 4,83 3,56 6,8 5 7 7 5 5 5,75 6,52 4,91 6,52 6,6 3 9 6 4 6 3,75 1,48 8,29 2,35 5,38

7 5 6 5 5 4,11 5,52 5,03 4,92 4,48 7 8 8 10 7 3,21 5,26 4,7 3,78 4,02 7 5 5 5 6 5,1 5,2 4,84 5,39 6,25 3 5 8 9 3 7,96 8,9 4,5 4,17 3,27

6 5 5 5 5 5,53 5,76 4,62 4,01 5,59 4 6 8 7 7 7,92 5,61 2,7 7,5 5,03 6 5 7 5 6 6,21 6,9 6,23 6,25 4,88 3 9 5 8 5 8,23 9,86 6,6 2,06 1,64 6 5 6 5 6 4,59 4,99 5,38 5,09 5,71 6 8 5 6 6 6,04 7,45 4,71 6,82 4,8 7 5 6 7 7 7 4,41 6,76 4,05 5,48 3 6 4 7 2 7,92 7,57 5,52 9,49 9,04

5 6 5 5 5 4,93 5,83 5,46 4,51 5,02 7 9 4 6 8 3,52 1,83 2,32 6,28 5,39 6 6 6 7 5 5,35 5,4 6,94 4,17 5,76 2 7 5 2 9 4,41 1,66 9,89 5,78 1,14

5 5 6 6 6 5,46 4,31 5,17 4,81 5,97 5 7 4 6 9 7,09 3,32 5,18 3,11 7,06 6 7 5 5 6 5,97 5,67 4,39 5,43 4,37 2 4 6 2 8 8,01 1,1 9,32 7,4 3 6 6 5 7 6 5,28 4,47 5,55 5,21 4,33 7 5 5 3 6 5,45 2,86 7,52 6,44 7,3 5 7 6 6 6 6,09 5,21 6,37 6,26 5,55 10 8 3 4 9 4,26 8,5 7,69 4,74 1,54

6 5 5 6 6 5 6,21 4,16 5,13 4,65 1 5 7 4 6 1,48 5,83 6,82 5,92 4,95 7 5 6 7 7 4,2 5,98 4,27 5,03 5,69 7 6 5 10 7 6,38 1,99 9,8 2,78 9,18

5 5 5 6 5 5,87 5,13 5,93 5,22 5,18 9 5 8 1 8 7,7 4,29 6,21 7,96 4,59 5 7 6 7 5 5,15 4,45 5,34 6,76 4,22 10 2 6 2 10 7,65 9 6,17 8,49 4,24 6 6 6 5 5 5,09 3,83 4,84 4,68 4,87 6 6 4 6 4 6,04 3,62 4,18 2,39 4,18 6 6 5 6 5 4,52 6,62 5,55 4,71 5,49 7 3 9 8 5 2,68 8,61 7,19 8,57 2,4

6 5 6 5 5 4,57 4,66 5,22 5,03 5,25 7 10 7 6 4 2,82 4,58 5,41 5,29 4,73 6 7 7 6 5 6,43 4,52 5,56 6,75 4,65 5 8 10 7 9 4,79 4,08 8,54 1,64 8,92 6 5 6 6 6 4,7 4,81 5,9 4,17 5,32 7 7 5 5 6 2,42 3,14 5,9 3,07 8,99 6 7 6 5 6 5,49 5,43 6,3 6,05 5,67 7 8 10 5 7 5,07 1,62 2,03 9,54 9,21

6 6 5 5 6 5,07 4,41 5,32 5,54 6,02 5 3 4 8 9 5,39 8,92 2,23 4,45 5,12 5 6 6 6 5 5,98 5,33 5,3 6,35 4,2 6 7 8 7 7 7,98 1,13 3,84 2,44 8,11

6 6 5 6 5 5,45 5,36 5,01 4,9 5,46 10 3 5 7 4 6,83 2,96 5,01 3,44 9,54 7 6 6 5 5 6,77 5,79 4,08 5,12 5,06 9 3 7 8 3 2,86 8,18 9,89 6,87 3,35 5 6 5 6 6 4,63 4,91 5,66 4,73 4,42 5 6 7 6 6 2,84 6,04 4,09 4,16 4,85 5 6 5 5 6 6,18 5 6,8 6,85 6,93 2 4 9 2 9 1,11 7,96 3,29 8,07 1,38


67

5 5 5 5 5 4,53 5,26 5,45 4,55 5,53 8 1 3 3 8 7,65 8,22 5,03 7,1 4,06 7 6 5 6 6 4,85 5,72 6,91 5,53 6,99 4 5 3 8 7 9,86 3,68 6,96 8,89 3,84 5 6 6 5 6 5,34 4,77 5,21 5,1 5,5 5 8 4 4 5 4,1 5,16 4,27 4,43 3,85 5 6 5 7 5 5,14 5,58 4,65 6,89 6,6 4 4 5 6 2 1,01 8,34 2,66 1,68 6,76

5 5 5 5 6 6,16 5,54 5,61 4,92 4,69 6 5 7 6 7 4,43 7,19 6,95 6,46 5,74 5 5 7 7 6 5,72 5,79 6,89 6,11 5,15 10 4 6 4 10 6,56 2,85 8,16 9,03 7,09

6 5 6 5 5 5,81 5,28 4,55 5,74 5,44 7 9 4 5 7 3,04 6,27 2,6 5,19 2,87 6 6 5 6 7 4,97 6,85 6,32 4,3 6,32 9 7 5 2 7 4,12 7,68 4,33 7,81 7,88 6 6 5 5 6 4,92 4,43 5,17 5,53 4,38 9 8 8 8 4 4,8 3,9 4,08 7,84 2,6 7 6 6 7 5 5,87 4,2 5,57 5,3 5,8 10 7 7 7 2 9,91 6,87 4,46 2,92 5,5

6 6 6 6 5 4,75 5,52 4,88 5,94 5,86 5 1 5 8 3 5,38 5,3 3,16 6,58 4,87 6 7 5 6 6 6,64 4,26 6,05 5,77 5,87 8 10 7 7 10 2,93 2,64 9,64 7,7 5,82

5 6 5 6 5 4,25 5,19 5,33 4,94 4,6 5 8 6 6 3 5,6 6,69 5,15 8,35 6,45 6 5 7 7 7 4,42 6,52 4,6 5,75 6,87 3 10 9 10 2 6,47 2,03 9,83 4,81 3,05 5 6 5 5 5 4,92 4,98 4,97 4,67 5,09 3 5 8 2 4 5,81 5,2 2,27 4,56 5,96 7 7 7 5 5 5,2 6,38 5,58 5,24 6,79 5 4 3 8 3 1,91 2,58 8,57 2,78 6,64

6 5 6 5 5 5,13 5,37 5,64 5,57 5,1 8 8 6 7 7 5,13 0,86 6,6 4,07 8,51 7 7 7 7 7 6,34 5,1 6,09 5,46 4,02 6 9 2 10 9 2,56 2,94 7,95 8,46 6

6 6 6 4 6 4,69 4,98 4,82 5,17 5,23 6 4 7 5 5 4,34 5,36 7,67 4,91 5,34 7 7 5 7 7 6,9 6,93 6,74 4,84 5,36 10 4 2 3 7 2,49 6,95 1,16 9,97 8,22 6 6 5 5 6 5,38 4,36 4,66 4,25 4,9 4 4 1 5 2 3,88 9,28 2,87 3,57 3,25 5 7 7 6 6 4,77 4,31 5,45 5,88 5,17 7 2 9 4 10 3,42 3,84 7,66 1,68 9,43

5 5 7 5 6 4,4 4,86 4,96 5 5,4 7 5 5 2 7 5,73 8,41 7,66 4,31 6,69 7 6 7 7 5 6,88 4,29 4,93 5,02 4,62 8 10 7 4 9 5,3 3,81 1,38 1,66 6,05 6 6 5 6 6 4,46 5,72 4,87 5,08 4,47 7 5 2 6 6 5,24 6,25 3,56 2,57 4,38 5 5 7 5 7 4,45 6,18 6,87 4,12 6,3 5 9 6 4 2 5,46 1,18 3,22 4,47 9,66

6 5 5 6 6 5 5,48 5,47 6,01 5,15 6 4 6 10 6 4,04 6,45 8,66 7,16 3,6 5 7 6 6 6 5,06 6,09 4,17 4,13 6,62 8 4 3 10 9 4,27 2,08 2,56 5,07 9,7

6 5 5 7 6 4,65 5,7 4,95 5,11 5,2 4 9 4 7 5 6,56 3,04 3,32 3,22 5,91 6 5 5 6 7 5,54 6,49 4,16 4,36 5,99 6 6 9 2 5 7,87 9,15 3,75 4,9 9,71 6 5 5 5 5 5,37 4,91 4,38 5,41 4,98 5 10 8 4 8 2,41 8,6 8,73 8,37 5,62 7 7 6 5 5 4,29 6,72 4,2 6,3 6,13 5 8 10 2 4 4,3 3,84 5,77 6,28 7,31

5 5 5 6 5 5,6 4,04 4,5 5,63 5,24 5 4 9 4 6 8,2 4,53 8,5 2,06 4,66 6 7 6 5 5 4,94 5,13 5,66 5,13 4,66 6 7 6 7 9 5,99 5,78 2,76 8,48 7,55

5 5 5 5 5 4,59 5,42 4,64 5,18 4,66 5 10 3 4 1 5,4 6,74 6,19 6,56 4,58 5 5 7 5 5 4,44 6,55 4,97 6,84 6,04 8 6 7 10 9 4,65 8,35 1,18 4,11 9,38 6 6 6 6 5 3,33 5,5 4,61 4,39 4,06 8 8 2 9 6 4,55 4,86 6,6 4,48 4,16 6 6 5 5 7 6,81 4,18 4,57 6,48 5,93 9 6 3 8 3 3,02 7,55 3,12 3,87 9,77

5 6 5 6 6 4,7 5,45 4,41 4,62 5,69 2 6 4 7 8 6,51 2,82 6,97 5,24 4,79 6 5 5 7 6 4,92 6,15 6,36 5,95 6,36 7 3 10 10 4 9,31 7,75 3,59 7,58 6,56

5 6 5 5 5 5,05 4,9 5,25 4,5 5,57 3 3 3 8 6 2,99 2,1 5,18 5,06 3,16 7 6 5 7 5 6,4 5,92 5,4 5,96 4,57 6 10 6 3 2 3,95 7,22 3,06 8,81 3,95 5 6 6 5 5 5,02 4,31 4,89 4,65 5,3 5 4 3 6 2 4,98 2,48 7,57 7,41 6,67 7 5 7 7 7 5,65 6,02 4,32 4,98 5,82 3 9 5 9 3 5,71 6,06 9,98 4,18 2,21

6 5 5 5 7 4,06 5,47 4,4 5,71 4,16 6 5 6 4 6 6,92 4,15 3,86 6,1 2,11 5 7 7 7 5 6,01 4,05 4,45 6,36 6,8 9 2 5 2 9 5,42 7,21 2,84 1,06 8,63 6 6 6 5 5 4,81 5,09 5,62 5,36 5,33 7 8 2 8 4 2,97 6,65 6,03 5,46 2,39 5 6 7 7 7 6,92 5,61 4,34 5,42 5,93 3 2 3 5 4 1,05 2,81 4,65 9,14 4,17

5 6 6 6 6 5,16 4,65 5,13 4,88 4,71 7 6 8 4 6 5,14 3,85 2,97 1,09 4,2 5 5 5 7 6 6,84 5,97 6,65 5,08 5,44 3 4 8 9 6 3,63 6,5 4,61 6,26 6,1

5 6 5 6 6 3,84 4,5 4,62 5,18 5,3 3 4 6 4 8 5,75 5,13 4,97 4,39 4,24 5 7 6 7 7 5,99 5,88 4,46 6,77 6,5 7 5 8 10 8 1,98 4,81 9,37 4,95 2,75 5 6 5 6 6 5,13 5,01 4,1 4,46 5,65 7 10 2 4 5 6,57 4,99 3,95 5,69 3,4 7 5 5 5 6 4,95 5,33 5,84 6,51 4,51 2 3 9 7 8 8,27 2,2 6,72 1,94 3,85

6 5 6 5 5 5,39 5,29 5,53 4,86 4,88 5 4 2 4 8 8,46 5,5 2,54 5,35 3,11 5 5 6 7 6 5,89 6,09 5,78 4,77 6,01 10 6 2 5 4 4,06 6,04 1,17 5,95 4,1

5 6 6 5 5 6,04 5,46 5,66 5 4,39 7 7 4 3 5 8,18 4,71 4,15 1,84 5,26 5 6 5 6 7 6,47 4,36 4,92 4,71 4,2 7 5 9 8 8 6,15 6,66 5,21 7,64 7,36 5 6 5 6 5 4,62 4,7 4,49 5,84 4,46 8 5 8 4 7 5,13 3,95 4,94 3,47 2,85 7 7 5 5 5 6,39 4,76 4,31 4,16 5,04 4 4 9 2 10 1,17 10 5,97 6,3 5,18

5 6 6 7 6 6,06 4,96 5,2 5,14 5,01 4 1 7 5 10 5,08 8,09 5,79 6,09 1,81 7 6 6 6 5 6,95 5,33 4,54 4,21 4,89 7 10 8 7 9 2,23 8,26 1,34 4,22 9,72

6 6 6 5 5 5,17 3,94 5,4 5,18 5,16 6 4 6 4 6 5,71 7,47 3,4 10 5,66 7 5 6 7 7 5,95 6,2 4,97 6,02 4,59 4 3 7 8 8 9,4 5,93 3,34 5,88 7,45 6 6 6 5 7 5,51 5,78 4,5 4,81 4,36 6 4 10 5 6 7,21 4,56 7,77 6,86 2,34 5 7 7 5 5 5,95 6,63 4,1 6,5 5,4 7 9 5 4 6 2,11 2,24 4,54 4,38 5,45

6 6 6 5 6 4,64 4,77 4,71 5,46 5,6 4 6 4 4 4 6,74 4,75 8,22 4,97 2,1 6 7 7 6 7 6,93 4,21 4,34 6,03 5,89 9 4 10 10 5 7,8 2,27 1,51 7,75 9,37 6 6 6 5 6 5,75 5,52 4,99 4,74 5,81 2 9 5 3 5 7,12 3,65 3,45 4,04 4,01 5 5 7 6 5 4,37 6,04 6,9 4,74 6,11 8 5 8 2 7 6,77 7,4 7,48 5,51 1,47

6 6 5 5 5 4,85 5,32 5,3 5,15 4,17 7 6 10 4 4 5,51 7,74 7,3 1,03 4,97 5 5 5 5 6 5,3 4,03 5,29 4,41 6,28 2 9 9 3 7 5,04 2,35 9,62 5,81 8,43

4 4 5 6 6 5,26 4,64 5,83 4,7 4,83 1 5 4 6 7 8,24 5,88 1,47 5,53 2,88 5 7 7 7 6 4,13 6,08 5,69 4,31 4,86 3 2 10 5 8 1,33 8,28 2,61 6,53 6,46 5 6 6 6 5 4,39 5,22 6,07 4,89 4,58 7 10 5 9 8 6,35 9,17 7,46 6,91 4,22 5 5 5 7 7 6,64 5,46 4,3 6,34 4,63 9 9 3 5 10 9,86 3,15 6,67 2,14 8,67

5 5 6 5 6 4,84 5,6 6,14 5,28 5,33 5 6 6 6 8 2,31 6,23 4,32 3,03 6,68 7 5 6 5 7 5,26 5,03 4,4 6,9 4,64 4 5 7 6 2 8,17 4,7 6,72 1,32 9,13

6 6 6 6 6 5,72 6,46 4,55 5,28 4,91 4 5 7 5 7 3,23 2,31 5,61 4,02 2,55 6 5 5 5 7 6,41 5,79 6,65 4,76 4,99 9 8 7 7 3 2,24 2,53 2,29 8,83 5,71


68

6 5 5 6 6 4,53 4,92 4,12 4,96 5,12 7 6 5 3 6 1,63 3,76 5,15 8,91 7,75 7 6 5 6 5 6,17 5,08 6,91 5,5 6,93 6 4 6 7 2 6,41 3,67 6,49 8,29 2,66 6 6 6 6 5 5,68 4,66 4,62 5,79 4,68 8 5 3 5 6 8,05 4,72 8,01 3,22 8,4 7 7 5 7 6 5,65 5,2 5,54 4,54 5,71 3 2 4 9 10 3,14 8,65 7,26 5,32 8,37

6 5 5 6 5 4,36 5,3 5,09 5,52 4,66 3 5 7 8 7 7,34 9,21 7,2 4,31 4,67 5 7 5 7 7 6,47 5,13 4,74 5,65 4,79 2 7 3 9 8 1,38 7,22 9,26 4,55 6,75

6 6 6 6 5 5,22 5,27 5,23 4,01 5,95 4 6 7 6 5 3,57 4,13 3,37 5,07 2,94 6 6 5 6 6 5,72 4,45 5,79 4,3 6,17 9 8 10 9 5 6,54 5,43 1,27 8,33 7,11 6 5 5 5 6 4,49 4,81 4,98 4,96 4,69 3 7 2 2 7 3,54 6,74 5,79 5,86 4,3 6 6 7 5 7 5,69 4,97 6,92 6,85 6,71 7 8 5 9 3 6,12 9,3 2,76 9,57 8,66

5 6 5 6 6 4,66 5,11 5,29 4,96 4,59 5 6 7 7 5 10 2,26 1,23 3,89 3,41 5 7 6 5 6 5,47 5,83 4,8 5,88 4,53 10 5 4 9 3 8,98 7,15 9,93 1,86 8,34

5 7 5 5 6 5,02 5,64 5,01 5,35 4,3 7 6 6 4 5 7,84 4 6 3,95 8,14 6 5 7 5 5 4,5 4,52 5,5 5,7 4,69 4 2 3 3 8 7,61 7,3 4 8,47 6,12 6 5 5 5 6 5,29 5,45 5,33 5,56 4,95 7 5 6 4 4 5,13 5,18 3,99 5,16 3,47 6 6 6 6 7 4,25 5,28 6,01 5,59 5,2 3 3 9 7 8 8,26 8,32 1,43 8,02 1,73

6 5 6 5 6 4,71 5,16 3,64 5,17 5,76 5 5 10 5 8 3,92 4,48 5,98 5,01 5,76 7 5 7 6 7 5,97 4 4,24 5,26 5,05 6 7 7 7 2 9,33 2,86 4,34 7,43 1,37

6 6 5 5 6 4,79 4,97 4,9 4,63 5,17 5 8 2 6 8 6,21 2,54 1,86 4,16 5,69 6 7 6 7 5 4,06 4,54 6,84 5,78 5,84 6 6 4 10 6 5,44 9,27 6,06 5,32 6,6 6 6 6 5 6 6,33 4,8 4,76 4,8 5,01 5 9 1 5 5 3,79 4,36 3,74 4,58 4,36 5 7 5 6 7 6,44 6,38 5,97 5,32 5,09 7 6 7 7 8 5,65 5,16 5,39 6,34 5,47

6 6 5 5 5 4,86 5,13 5,39 4,67 5,78 7 6 6 7 4 5,08 4,79 4,82 3,64 4,5 5 5 6 7 7 6,8 5,54 5,5 4,05 6,35 10 8 4 8 3 9,96 2,86 8,48 9,68 3,78 6 6 6 6 6 5,22 5,22 4,46 4,48 5,35 2 7 6 3 7 3,76 6,56 4,92 7,51 5,43 5 7 6 6 7 5,31 4,6 6,72 5,45 6,11 2 10 10 10 6 8,68 8,42 9,24 5,44 7,91

5 5 5 5 5 3,78 5,45 4,66 3,76 4,66 5 2 8 8 7 5,23 1,88 7,48 3,17 3,22 7 6 7 6 7 6,24 6,1 6,77 6,97 4,55 5 3 6 8 10 2,47 9,98 3,25 2,02 7,13

6 5 5 6 5 5,46 5,37 5,28 4,44 4,54 6 7 8 8 5 5,26 6,28 3,1 2,23 2,21 6 5 7 6 5 4,93 6,86 4,65 6,08 6,12 8 6 7 7 4 8,87 5,78 9,66 9,98 6,38 5 5 6 5 6 5,67 4,63 4,99 5,71 4,51 4 5 6 7 8 3,03 6,05 7,47 6,24 1,08 7 5 7 6 6 5,01 4,38 4,12 4,83 5,72 3 3 4 5 10 1,47 6,68 9,91 6,73 7,8

6 6 5 5 6 3,69 5,6 4,29 4,57 4,72 7 3 6 4 0 6,77 3,86 5,96 4,93 0,49 5 5 5 5 5 6,19 6,75 6,44 5,77 4,59 8 2 3 10 9 5,08 2,11 2,74 4,26 6,84

6 6 6 5 6 5,28 5,67 4,56 5,82 5,25 3 4 4 7 1 4,61 7,93 2,57 6,65 6,69 5 6 6 7 6 5,56 6,09 6,16 6,48 4,61 8 3 10 10 9 6,09 3,93 4,86 3,27 6,03 5 6 6 6 5 5,43 4,33 5,9 4,74 4,11 5 1 7 7 5 3,15 3,16 5,58 8,96 4,3 6 5 5 5 5 5,15 6,52 6,33 4,78 4,68 9 4 4 8 6 6 1,06 8,74 4,52 7,3

6 5 5 5 5 5,11 4,49 4,94 4,61 4,82 2 2 10 7 4 3,36 3,94 3,86 4,21 3,35 5 7 7 6 5 4,88 6,34 6,31 6,67 5,9 3 10 5 9 9 6,65 8,13 4,23 5,96 7,99

5 6 6 6 5 5,26 4,73 4,71 4,89 5,06 5 5 4 5 4 6,06 6,67 3,76 4,44 0,41 7 6 7 5 6 6,43 6,11 6,66 6,34 6,15 5 2 5 10 7 5,68 9,09 2,13 6,04 9,81 5 7 6 5 5 4,91 4,29 5,08 4,98 5,05 5 3 3 4 4 2,36 6,71 8,83 6,83 6,85 5 6 6 6 5 4,24 4,59 5,61 5,74 5,24 9 8 7 3 5 4,64 1,48 9,6 7,85 7,84

5 6 6 5 6 4,38 5,29 4,99 4,78 4,9 4 4 9 7 5 4,62 1,67 7,5 3,66 5,09 6 6 6 5 6 5,61 6,18 5,55 5,4 5,71 10 6 10 9 3 8,24 9,67 6,33 5,37 2,05 6 5 5 5 5 4,58 5,97 5,83 5,74 5,38 7 8 6 6 2 7 6,62 5,51 5,26 5,5 6 5 6 7 5 6,38 4,42 5,85 6,43 6,73 10 3 8 4 6 8,75 3,06 7,59 2,62 7,44

5 5 6 5 5 5,69 5,14 5,27 4,96 4,87 6 4 5 4 7 4,51 2,64 8,08 1,05 2,39 7 7 5 7 6 6,67 6,4 6,31 5,92 6,41 2 3 8 6 2 7,29 2,15 2,45 4,5 5,87

6 6 5 6 5 5,75 5,11 5,52 4,2 4,49 9 7 7 7 6 1,95 4,58 5,36 8,37 8,16 7 5 5 6 7 4,41 5,55 6,63 5,58 6,9 9 10 2 6 8 4,13 6,35 1,35 5,13 8,65 6 6 5 5 6 5,36 4,86 5,01 5,2 5,6 9 8 4 4 8 1,93 8,65 4,37 6,92 3,52 6 6 5 6 5 4,42 4,02 4,06 5,81 4,16 8 3 10 2 6 4,15 8,59 3,97 5,31 5,17

6 5 5 6 6 5,86 5,25 5,03 4,21 5,16 6 6 5 4 4 4,11 5,33 5,68 2,51 2,26 5 6 5 5 7 5,11 5,04 5,11 4,59 5,71 2 5 6 4 9 6,11 9,41 1,4 9,58 8,52

5 5 6 6 6 5,43 5,82 4,7 5,05 5,15 4 4 6 9 7 5,12 4,05 1,09 6,61 5,87 6 7 6 5 5 5,14 4,55 4,89 5,72 5,34 3 6 8 7 6 7,66 4,79 5,49 10 6,32 5 5 5 5 6 5,04 4,72 5,91 5,01 4,6 3 5 4 5 7 2,84 0,8 5,05 1,76 5,76 5 7 5 6 6 5,13 4,27 5,35 5,09 4,67 7 9 3 8 4 7,96 6,51 8,03 2,33 5,16

5 6 5 6 6 5,13 5,46 5,46 4,66 5,91 7 3 5 6 3 5,07 2,22 5 6,77 6,9 5 5 6 7 5 5,58 5,34 6,62 5,69 4,01 10 7 10 4 9 5,81 5,5 9,15 5,82 9,73

5 5 5 6 6 4,54 5,15 4,96 5,66 4,28 5 3 6 6 6 6,31 4,29 7,29 3,43 4,53 7 7 5 6 7 5,67 4,99 6,53 4,56 4,06 6 8 8 4 9 4,37 8,41 2,88 7,35 3,05 5 6 5 6 5 4,79 5,01 4,64 4,88 4,97 5 7 3 6 2 2,34 2,81 9,68 3,2 7,39 6 6 6 6 5 6,85 6 5,31 5,79 4,83 6 6 3 3 2 1,88 8,63 3,94 9,74 4,65


69


(1) (2) (3) (4) (5) v2 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11 v12 S1 Normal Baja Entero NBE 53,61 70,45 100,00 70,44 46,39 29,55 0,00 29,56 90,09 -16,83

Decimal NBD 45,64 89,50 99,99 89,39 54,36 10,50 0,01 10,61 79,14 -43,75 Alta Entero NAE 57,27 50,79 99,93 49,34 42,73 49,21 0,07 50,66 92,81 7,94

Decimal NAD 92,49 91,96 99,78 90,01 7,51 8,04 0,22 9,99 98,43 2,48 Uniforme Baja Entero UBE 86,95 96,19 100,00 96,20 13,05 3,81 0,00 3,80 94,86 -9,25

Decimal UBD 80,52 88,95 97,74 86,74 19,48 11,05 2,26 13,26 85,65 -6,22 Alta Entero UAE 80,05 69,82 99,99 69,10 19,95 30,18 0,01 30,90 92,78 10,95

Decimal UAD 98,36 97,91 100,00 97,91 1,64 2,09 0,00 2,09 99,72 0,45 S2 Normal Baja Entero NBE 22,44 65,78 100,00 65,78 77,56 34,22 0,00 34,22 38,12 -43,33

Decimal NBD 94,75 96,21 100,00 96,16 5,25 3,79 0,00 3,84 93,32 -1,42 Alta Entero NAE 94,90 97,40 100,00 97,29 5,10 2,60 0,00 2,71 94,12 -2,39

Decimal NAD 67,27 65,21 99,38 62,89 32,73 34,79 0,62 37,11 90,48 4,38 Uniforme Baja Entero UBE 65,93 75,24 99,98 74,42 34,07 24,76 0,02 25,58 75,47 -8,50

Decimal UBD 82,75 81,86 99,99 81,38 17,25 18,14 0,01 18,62 79,65 1,37 Alta Entero UAE 99,30 99,06 100,00 99,06 0,70 0,94 0,00 0,94 99,87 0,24


Decimal NBD 76,94 94,92 100,00 94,92 23,06 5,08 0,00 5,08 89,90 -17,99 Alta Entero NAE 92,56 89,68 100,00 89,57 7,44 10,32 0,00 10,43 99,28 2,99

Decimal NAD 91,73 90,44 100,00 90,36 8,27 9,56 0,00 9,64 99,60 1,38 Uniforme Baja Entero UBE 67,72 67,28 99,97 65,91 32,28 32,72 0,03 34,09 97,58 1,81

Decimal UBD 74,45 67,82 99,99 67,42 25,55 32,18 0,01 32,58 90,94 7,03 Alta Entero UAE 85,59 74,80 99,99 74,51 14,41 25,20 0,01 25,49 81,58 11,08

Decimal UAD 79,05 67,48 99,18 65,51 20,95 32,52 0,82 34,49 83,59 13,53 S4 Normal Baja Entero NBE 26,67 25,59 100,00 25,59 73,33 74,41 0,00 74,41 98,43 1,08

Decimal NBD 78,86 93,16 99,99 92,97 21,14 6,84 0,01 7,03 60,21 -14,10 Alta Entero NAE 81,23 90,40 99,99 90,14 18,77 9,60 0,01 9,86 87,51 -8,90

Decimal NAD 98,19 98,68 100,00 98,61 1,81 1,32 0,00 1,39 99,96 -0,42 Uniforme Baja Entero UBE 71,23 73,39 100,00 73,04 28,77 26,61 0,00 26,96 67,16 -1,81

Decimal UBD 78,43 91,37 90,16 73,40 21,57 8,63 9,84 26,60 95,81 5,03 Alta Entero UAE 85,47 87,67 99,84 85,67 14,53 12,33 0,16 14,33 98,32 -0,20


Decimal NBD 85,96 79,74 99,88 78,79 14,04 20,26 0,12 21,21 95,60 7,17 Alta Entero NAE 67,59 58,48 99,90 55,50 32,41 41,52 0,10 44,50 97,10 12,09

Decimal NAD 78,24 89,64 99,99 89,34 21,76 10,36 0,01 10,66 73,93 -11,10 Uniforme Baja Entero UBE 80,93 74,59 100,00 74,59 19,07 25,41 0,00 25,41 98,17 6,34

Decimal UBD 69,12 61,11 97,68 52,83 30,88 38,89 2,32 47,17 75,67 16,29 Alta Entero UAE 97,21 99,28 100,00 99,28 2,79 0,72 0,00 0,72 97,35 -2,07

Decimal UAD 88,36 90,11 99,80 87,82 11,64 9,89 0,20 12,18 98,53 0,55 Media ............................................... Desviación Standard ........................

Intervalo Confianza () ....................

75,79 81,08 99,04 78,80 24,21 18,92 0,96 21,20 86,46 -3,01 18,76 16,05 3,66 18,13 18,76 16,05 3,66 18,13 15,80 14,66

5,81 4,97 1,13 5,62 5,81 4,97 1,13 5,62 4,90 4,54

(1) Serie simulada , Distribución (Normal/Uniforme), Dispersión (Alta/Baja) , Precisión (Entero/Decimal), Nomenclatura de cada análisis


70


(1) (2) (3) (4) (5) v2 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11 v12

S1 Normal Baja Entero NBE 36,97 54,32 99,74 52,54 63,03 45,68 0,26 47,46 47,69 -15,57

Decimal NBD 46,13 85,77 66,48 47,61 53,87 14,23 33,52 52,39 93,20 -1,48

Alta Entero NAE 38,87 67,92 73,26 32,90 61,13 32,08 26,74 67,10 88,55 5,96

Decimal NAD 41,46 69,80 61,32 28,91 58,54 30,20 38,68 71,09 72,96 12,55

Uniforme Baja Entero UBE 46,26 63,12 94,63 46,57 53,74 36,88 5,37 53,43 64,50 -0,30

Decimal UBD 46,12 80,61 67,00 42,90 53,88 19,39 33,00 57,10 79,04 3,22

Alta Entero UAE 49,46 77,67 78,43 48,09 50,54 22,33 21,57 51,91 82,80 1,37

Decimal UAD 61,20 90,54 76,69 63,34 38,80 9,46 23,31 36,66 90,07 -2,14

S2 Normal Baja Entero NBE 47,55 54,54 93,46 34,94 52,45 45,46 6,54 65,06 44,45 12,61

Decimal NBD 48,69 80,26 72,17 50,15 51,31 19,74 27,83 49,85 83,19 -1,46

Alta Entero NAE 51,74 78,53 79,52 50,30 48,26 21,47 20,48 49,70 83,20 1,44

Decimal NAD 39,57 75,76 55,39 29,01 60,43 24,24 44,61 70,99 24,11 10,56


Decimal UBD 33,14 78,43 55,60 34,29 66,86 21,57 44,40 65,71 83,11 -1,15

Alta Entero UAE 46,58 69,71 80,90 42,77 53,42 30,29 19,10 57,23 79,52 3,81

Decimal UAD 51,48 84,48 72,91 51,82 48,52 15,52 27,09 48,18 54,64 -0,34


Decimal NBD 28,56 71,26 50,49 25,54 71,44 28,74 49,51 74,46 36,47 3,02

Alta Entero NAE 33,88 38,25 57,58 4,89 66,12 61,75 42,42 95,11 6,63 28,99

Decimal NAD 59,35 92,86 69,10 58,89 40,65 7,14 30,90 41,11 96,97 0,46


Decimal UBD 49,92 75,81 77,76 48,25 50,08 24,19 22,24 51,75 78,34 1,67

Alta Entero UAE 41,56 81,15 65,33 36,88 58,44 18,85 34,67 63,12 89,55 4,68

Decimal UAD 44,53 72,88 68,13 37,44 55,47 27,12 31,87 62,56 88,42 7,09


Decimal NBD 39,70 70,86 76,00 40,66 60,30 29,14 24,00 59,34 50,75 -0,97

Alta Entero NAE 42,63 84,09 73,67 42,80 57,37 15,91 26,33 57,20 84,88 -0,17

Decimal NAD 66,53 90,06 72,95 57,51 33,47 9,94 27,05 42,49 87,89 9,02


Decimal UBD 54,48 77,80 72,77 49,31 45,52 22,20 27,23 50,69 63,07 5,17

Alta Entero UAE 38,15 80,05 63,41 33,50 61,85 19,95 36,59 66,50 77,85 4,64

Decimal UAD 45,65 86,37 66,49 43,63 54,35 13,63 33,51 56,37 87,19 2,02


Decimal NBD 31,63 73,85 78,18 48,22 68,37 26,15 21,82 51,78 36,72 -16,59

Alta Entero NAE 34,36 89,23 55,49 32,75 65,64 10,77 44,51 67,25 94,65 1,61

Decimal NAD 54,35 78,97 76,57 48,89 45,65 21,03 23,43 51,11 91,49 5,46


Decimal UBD 45,42 84,59 59,99 40,45 54,58 15,41 40,01 59,55 81,39 4,97

Alta Entero UAE 53,66 89,40 76,79 54,68 46,34 10,60 23,21 45,32 92,65 -1,02

Decimal UAD 51,24 87,26 62,19 47,91 48,76 12,74 37,81 52,09 83,36 3,33

Media ................................................... Desviación Standard ...........................

Intervalo Confianza () ........................

44,55 73,83 75,25 43,00 55,45 26,17 24,75 57,00 71,85 1,56

8,26 13,00 13,68 10,72 8,26 13,00 13,68 10,72 21,72 7,77

2,56 4,03 4,24 3,32 2,56 4,03 4,24 3,32 6,73 2,41

(1) Serie simulada , (2) Distribución (Normal/Uniforme), (3) Dispersión (Alta/Baja) , (4) Precisión (Entero/Decimal), (5) Nomenclatura de cada análisis


71


(1) (2) (3) (4) (5) v2 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11 v12


Decimal NBD 26,93 82,37 44,47 27,20 73,07 17,63 55,53 72,80 56,78 -0,27

Alta Entero NAE 36,60 75,32 67,59 32,17 63,40 24,68 32,41 67,83 90,08 4,43

Decimal NAD 47,34 91,78 56,76 47,29 52,66 8,22 43,24 52,71 94,07 0,05


Decimal UBD 28,81 71,80 40,62 22,89 71,19 28,20 59,38 77,11 49,12 5,92

Alta Entero UAE 31,51 79,18 58,06 31,35 68,49 20,82 41,94 68,65 83,98 0,16

Decimal UAD 40,09 87,14 47,10 36,33 59,91 12,86 52,90 63,67 53,45 3,76


Decimal NBD 29,80 82,88 46,28 31,09 70,20 17,12 53,72 68,91 76,02 -1,29

Alta Entero NAE 23,63 70,03 54,06 22,52 76,37 29,97 45,94 77,48 54,19 1,10

Decimal NAD 40,12 92,39 43,53 34,80 59,88 7,61 56,47 65,20 93,01 5,32

Uniforme Baja Entero UBE 26,40 49,69 76,26 20,70 73,60 50,31 23,74 79,30 31,59 5,71

Decimal UBD 27,07 57,60 38,75 14,15 72,93 42,40 61,25 85,85 18,90 12,92

Alta Entero UAE 31,82 56,68 50,16 17,67 68,18 43,32 49,84 82,33 44,14 14,15

Decimal UAD 40,10 78,40 51,02 31,05 59,90 21,60 48,98 68,95 83,95 9,05


Decimal NBD 23,05 67,19 44,69 15,51 76,95 32,81 55,31 84,49 6,04 7,54

Alta Entero NAE 28,09 82,50 42,76 20,54 71,91 17,50 57,24 79,46 57,80 7,55

Decimal NAD 30,73 78,02 46,37 27,28 69,27 21,98 53,63 72,72 82,20 3,45


Decimal UBD 27,32 76,11 48,53 30,33 72,68 23,89 51,47 69,67 56,95 -3,02

Alta Entero UAE 39,18 82,68 57,36 35,11 60,82 17,32 42,64 64,89 92,56 4,07

Decimal UAD 40,24 89,41 50,22 37,04 59,76 10,59 49,78 62,96 68,93 3,19


Decimal NBD 30,47 88,20 39,66 29,55 69,53 11,80 60,34 70,45 91,17 0,92

Alta Entero NAE 35,37 85,70 59,15 33,82 64,63 14,30 40,85 66,18 96,37 1,55

Decimal NAD 31,69 81,07 45,83 29,95 68,31 18,93 54,17 70,05 45,26 1,74


Decimal UBD 33,94 81,05 38,31 23,38 66,06 18,95 61,69 76,62 32,61 10,56

Alta Entero UAE 45,14 84,95 60,54 39,18 54,86 15,05 39,46 60,82 88,65 5,96

Decimal UAD 23,32 56,26 38,28 12,32 76,68 43,74 61,72 87,68 40,94 11,00


Decimal NBD 30,70 63,30 41,30 21,64 69,30 36,70 58,70 78,36 34,93 9,06

Alta Entero NAE 41,64 83,15 66,31 39,64 58,36 16,85 33,69 60,36 89,97 2,00

Decimal NAD 36,71 76,09 51,93 31,22 63,29 23,91 48,07 68,78 38,89 5,50


Decimal UBD 27,05 57,01 42,52 18,46 72,95 42,99 57,48 81,54 34,29 8,60

Alta Entero UAE 31,08 65,78 51,19 24,05 68,92 34,22 48,81 75,95 66,31 7,03

Decimal UAD 34,65 72,14 49,73 27,67 65,35 27,86 50,27 72,33 67,08 6,99

Media ................................................... Desviación Standard ...........................

Intervalo Confianza () .......................

32,66 70,89 58,66 29,36 67,34 29,11 41,34 70,64 60,17 3,30

6,02 13,76 18,50 8,06 6,02 13,76 18,50 8,06 23,92 5,55

1,87 4,27 5,73 2,50 1,87 4,27 5,73 2,50 7,41 1,72

(1) Serie simulada, (2) Distribución (Normal/Uniforme), (3) Dispersión (Alta/Baja) , (4) Precisión (Entero/Decimal, ((5) Nomenclatura de cada análisis

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