Ante Mihanovi Boris Trogrli

Graevna statika I.

U PRIPREMI-SAMO ZA INTERNU UPORABU

(Rukopis, nije lektorirano, nije recenzirano)

SVEUILITE U SPLITU GRAEVINSKO-ARHITEKTONSKI FAKULTET

Split 2009.

2

xxxx

Mihanovi, Trogrli 3 Graevna statika I.

Proslov

Udbenik Graevna statika I. namijenjen je studentima preddiplomskog i diplomskog studija graevinskih fakulteta, a u zajedno s udbenikom Graevna statika II, namijenjen je i poslijediplomantima na kolegijima u granama Mehanike konstrukcija te Inenjerskih konstrukcija. Veliki broj izraenih praktinih primjera ini ga korisnim pomagalom inenjerima koji se bave projektiranjem i proraunima konstrukcija. Uspjeno praenje izloene materije pretpostavlja solidna znanja itatelja iz podruja mehanike krutih tijela, rjeavanja diferencijalnih jednadbi, zatim poznavanja matrinih metoda u proraunu konstrukcija te openitih znanja iz metode konanih elemenata.

U udbeniku su isprepleteni klasini pristup graevnoj statici s temeljnim objanjenjima pojmova na jednostavnim sustavima s novijim pristupima, koji naglasak imaju na razvoju matrinih i numerikih postupaka i fizikalnim pokusima. Zahvaljujui vrlo brzom razvoju raunala dolo je do stroge selekcije postojeih metoda te do pojave mnogih novih metoda. To je omoguilo skraivanje opsega one materije koja namijenjena analitici i proraunima konstrukcije te posveivanje vie prostora koncepciji i kreaciji konstrukcija, kao i njihovim posebnostima u kojima se mogu nai u tijeku ivotnog vijeka.

Premda fizikalni pokusi zauzimaju sve vei znaaj, osobito u proizvodnji posebnih dijelova i serija, njihovo uee u metodama provjere graevinskih konstrukcija jo uvijek je skromno, iz dobro poznatog razloga visoke cijene kotanja. Stoga je i stupanj opisa fizikalnih pokusa u ovoj knjizi prilagoen toj injenici. Praenjem ove materije itatelj e doi do zakljuka kako dananje raunalne a osobito numerike metode sve vie povezuju materiju graevne statike s ostalim disciplinama teorije konstrukcija, osobito stabilnosti i dinamike konstrukcija, jer koriste gotovo iste numerike metode analize.

U prvom poglavlju predstavljena je osnovna zadaa graevne statike. U njemu su izloeni osnovni pojmovi geometrijske nepromjenjivosti, kinematike stabilnosti i statike odreenosti. Gradivo o ravninskim statiki odreenim grednim nosaima, okvirima, lukovima i rotiljima izloeno je u drugom poglavlju. Obraeni su zadaci kinematike i statike stabilnosti, selektirane su metode prorauna te pokazane osnovne karakteristike pojedinih sustava.

Svesrdnu pomo u tehnikoj obradi teksta i crtea kao i provjeri obraenih primjera pruili su inenjeri Marija Crnjac, Hrvoje Smoljanovi, Ivan Bali i Marija Smodlaka te studentice, Antonija Jeri i Anita Jurko, na emu im duboko zahvaljujemo. Posebnu zahvalnost izraavamo recenzentima na upornoj podrci, korisnim savjetima i sugestijama.

U Splitu, 2009. Autori

4

XXXX

5

Kazalo

1. UVOD X

1.1 ZADAA GRAEVNE STATIKE.......................................................................... 13 1.2 POVIJESNI RAZVITAK ......................................................................................... 14 1.3 VRSTE KONSTRUKCIJA....................................................................................... 16

Podjela konstrukcija prema obliku nosivih dijelova 16 Podjela konstrukcija prema stupnju kinematike stabilnosti 18 Podjela konstrukcija prema dimenzionalnosti 18 Podjela konstrukcija prema razini iskoristivosti njihovih dijelova 18

1.4 STATIKA DJELOVANJA..................................................................................... 18 1.5 STRUKTURA KONSTRUKCIJE ........................................................................... 19

vorovi, oslonci i leajevi 23 1.6 KINEMATIKA I STATIKA STABILNOST .................................................... 26

Stupnjevi slobode gibanja 26 1.6.1 Kinematika stabilnost 26 1.6.2 Statika stabilnost 28

Stabilnost ravnotee kinematiki labilnih konstrukcija 29 1.7 DOKAZIVANJE KINEMATIKE I STATIKE STABILNOSTI ..................... 30

1.7.1 Dokaz kinematike stabilnosti 30 Statike metode 36

1.7.2 Dokazivanje statike stabilnosti 37 1.8 NAPREZANJA I DEFORMACIJE......................................................................... 38

1.8.1 Vrste naprezanja 38 Prikaz naprezanja u troosnom stanju 39

1.8.2 Vrste deformacija 39 1.8.3 Uzajamnost deformacija i pomaka 42

Uzdune deformacije na pravocrtnom tapu 43 Inenjerske ili uobiajene deformacije 43 Greenove deformacije 43 Logaritamske deformacije 44 Almansijeve deformacije 44 Meusobna usporedba deformacija 45

6

1.8.4 Zakon materijala (veza naprezanja i deformacija) 45 Hookeov zakon 45 Ravninsko stanje deformacija, osnosimetrino i ravninsko stanje naprezanja 46 Rastavljena veza naprezanja i deformacija na volumenske i devijatorske komponente 47 Lamova veza naprezanja i deformacija 47 Veza naprezanja i deformacija kod nelinearnih materijala 48

1.9 JEDNADBE STATIKE........................................................................................... 50 Jednadbe ravnotee 50 Jednadbe uzajamnosti 50 Jednadbe konstitucije 50 Geometrijske jednadbe 50

1.10 NAELO VIRTUALNOGA RADA ...................................................................... 51 1.11 NAELO POTENCIJALNE ENERGIJE............................................................. 52 1.12 NAELO SUPERPOZICIJE ................................................................................. 53 1.13 NAELO SIMETRIJE I ANTISIMETRIJE ........................................................ 54 1.14 LITERATURA......................................................................................................... 55

2. PUNOSTIJENI STATIKI ODREENI NOSAI U RAVNINI 55

2.1 OPE PRETPOSTAVKE O NOSAIMA.............................................................. 57 Sustav oznaka 57 Postavljanje lokalnog sustava tapa 58 Diferencijalne veze izmeu vanjskih i unutranjih sila 62 Openito o metodama prorauna i naelu presijecanja 63

2.2 GREDNI NOSAI ..................................................................................................... 64 Kinematika stabilnost i statika odreenost 64 Diferencijalne veze i predznaci reznih sila 64 2.2.1 GREDE, KONZOLE I GREDE S PREPUSTIMA 65 (a) Obina greda 65 (b) Obina greda izloena uspravnom optereenju 65

Jednoliko optereenje na obinoj gredi 66 Jednoliko antisimetrino optereenje na obinoj gredi 67 Jednoliko nesimetrino optereenje na obinoj gredi 68 Trokutno optereenje na obinoj gredi 69 Koncentrirana sila na obinoj gredi 69 Opa koncentrirana sila i moment na obinoj gredi 70 Sloeno uspravno optereenje na obinoj gredi 71

(c) Konzole 71 Desna konzola izloena uspravnom optereenju 71

7

Lijeva konzola izloena sloenom optereenju 72 (d) Grede s prepustima 72 2.2.2 Gerberovi nosai 74 2.2.3 Poligonalne grede 77

Poluokvirna greda izloena uspravnom optereenju 77 Poluokvirna greda izloena horizontalnom optereenju 78

2.2.4 Ojaane grede 82 Ojaane grede izloene uspravnom optereenju 82

2.2.5 Poduprte grede 86 Poduprta greda izloena uspravnom optereenju 87

2.2.6 Ovjeene grede 92 Mjeovite ovjeeno-poduprte grede 92 Gredni visei most 93

2.3 OKVIRNI NOSAI................................................................................................... 95 2.3.1 Trozglobni okvir 95

Trozglobni okvir izloen uspravnom optereenju 95 2.3.2 Okviri sa zategom 100

Okvir s jednom zategom izloen uspravnom optereenju 100 2.3.3 Okviri sa zategama i vjealjkama 101

Okvir s vjealjkom i dvije zatege 101 Okvir s vie vjealjki i zatega 102

2.4 LUNI NOSAI...................................................................................................... 105 2.4.1 Trozglobni luk 105

Trozglobni luk izloen uspravnom optereenju 105 Trozglobni luk izloen horizontalnom optereenju 108 Izbor osi trozglobnog luka 109 Trozglobni parabolini luk 109 Tlana linija i jezgre presjeka luka 111

2.4.2 Trozglobni luk sa zategom 111 Horizontalno optereenje luka sa zategom 114

2.4.3 Trozglobni lukovi sa vjealjkama i zategama 115 Luk s vjealjkom i dvije zatege 115 Luk s vie vjealjki i zatega 118 Luk s vie zatega i vjealjki izloen horizontalnom optereenju 120

2.5 PROGIBLJIVOST PUNOSTIJENIH NOSAA.................................................. 121 2.5.1 Progibljivost naelom virtualnoga rada 121 2.5.2 Primjeri progibljivosti 124

Primjer 1. Obina greda izloena koncentriranoj sili 124 Primjer 2. Greda oslonjena na vjealjki 124 Primjer 3. Trozglobni okvir izloen horizontalnoj sili 125 Primjer 4. (za vjebu): Konzolni nosa 126 Primjer 5. (za vjebu): Gerberov nosa 126 Primjer 6. (za vjebu): Progib poduprte grede 126

2.6 TEMPERATURNO DJELOVANJE ..................................................................... 127

8

2.6.1 Deformacije jednolike i nejednolike temperature 127 Deformiranje diferencijalnog elementa tapa jednolikom temperaturom 127 Deformiranje diferencijalnog elementa tapa nejednolikom temperaturom 127

2.6.2 Temperaturna progibljivost naelom virtualnoga rada 129 2.6.3 Primjeri temperaturne progibljivosti 130

Primjer 1. Progib i zaokret Gerberovog nosaa sa stupom 130 Primjer 2. Progib poligonalne grede 131 Primjer 3. (za vjebu): Konzolni nosa izloen nejednolikoj temperaturi 132

2.7 POKRETNO OPTEREENJE I UTJECAJNE LINIJE..................................... 132 2.7.1 Utjecajne linije i jedinina pokretna sila 132 Kinematiki postupak 132

Primjer 1. Poligonalni nosa 134 Primjer 2. Trozglobni luk 136

Analitiki postupak odreivanja utjecajnih linija 139 Utjecajne linije obinoj gredi 139 Utjecajne linije na konzoli 140

Postupak ciljane deformacije-temperaturne analogije 141 2.7.2 Primjer utjecajnih linija nekih karakteristinih nosaa 143

Utjecajne linije Gerberovog nosaa 143 Trozglobni luk 144 Primjer ovjeene grede 145

2.7.3 Ekstremni utjecaji pokretnog optereenja 146 Uporaba utjecajnih linija 146 Utjecaj kao konvolucija 147

2.7.4 Primjeri uporabe utjecajnih linija 149 Primjer 1: Ekstrem poprene sile 149 Primjer 2: Gerberov nosa 149

2.8 TEHNIKE ANVELOPE.......................................................................................... 150 2.8.1 Ekstremalni utjecaji 150 2.8.2 Anvelopa niza optereenja 150 2.8.3 Primjeri anvelopa 151 2.8.4 Aproksimacija ekstremale anvelopom 152 2.8.5 Primjeri 152

Primjer 1. Anvelope pokretnih raspodijeljenih sila na obinoj gredi 152 Primjer 2. Anvelope koncentrirane sile na Gerberovom nosau 153 Primjer 3. Anvelope raspodijeljenog optereenja na konzoli 153 Primjer 4. Anvelope sloenih sila na sloenijem sustavu 154

9

3. PUNOSTIJENI STATIKI ODREENI NOSAI U PROSTORU 155

2.9 LITERATURA......................................................................................................... 155 Ope pretpostavke o nosaima 158

3.1 PROSTORNI GREDNI NOSAI .......................................................................... 158 3.1.1 Prostorni konzolni nosai 158

Pravocrtna konzola 158 Poligonalne konzole 159

3.1.2 Prostorna obina greda 160 3.1.3 Poligonalna prostorna greda 161 3.1.4 Sustavi prostornih greda 162

Prostorna greda na gredi 162 Prostorna greda iznad grede 162

3.2 PROSTORNA PODUPRTA GREDA.................................................................... 163 3.3 PROSTORNI LUKOVI .......................................................................................... 166

3.3.1 Prostorni trozglobni lukovi 166 3.3.2 Prostorni trozglobni lukovi s vjealjkama i zategama 167

3.4 LITERATURA......................................................................................................... 168 Pretpostavke o konstrukciji 169 Sustav oznaka 169 Openito o metodama prorauna 171

4. REETKASTI NOSAI 166

4.1 STATIKI ODREENE REETKASTE KONSTRUKCIJE U RAVNINI ..... 172 Kinematika stabilnost i statika odreenost 172 Nazivlje 172 Vrste reetki 172 Metode prorauna 176

4.1.1 Metode vorova 176 (a) Metoda vor po vor-grafika primjena 176 (b) Metoda vor po vor-analitika primjena 178 (c) Metoda ravnotee svih vorova odjednom 181

4.1.2 Metode presjeka 183 (a) Metoda presjeka-grafika primjena (Culmannova metoda) 183 (b) Metoda presjeka-analitika primjena (Ritterova metoda) 185 Posebnosti analitike metode presjeka u sluaju paralelnih pojaseva187

4.1.3 Hennebergova metoda 187 4.1.4 Pomaci reetkastih konstrukcija 189

(a) Williotov plan pomaka 189

10

(b) Diskretni pomaci prema naelu virtualnoga rada 190 4.2 STATIKI ODREENE REETKASTE KONSTRUKCIJE U PROSTORU. 192

Kinematika i statika stabilnost 192 Vrste reetki 192 Metode prorauna 195

4.2.1 Metode vorova 195 (a) Metoda vor po vor 195 (b) Metoda svih vorova odjednom 197

4.2.2 Metode presjeka 198 4.2.3 Metoda ravninskih reetki 199 4.2.4 Hennebergova metoda 202

4.3 STATIKI NEODREENI REETKASTI NOSAI ......................................... 204 Kinematika stabilnost i statika neodreenost 204 Metode prorauna 204

4.3.1 Metoda pomaka 204 (a) Osno deformirani tap 204

Analiza jedininog stanja pomaka tapa 207 Primjer 1. Drveni tap 208 Primjer 2. elina ipka 208 Analiza stanja pune upetosti 208 Primjer 1. Koncentrirana sila 209 Primjer 2. Jednoliko raspodijeljeno optereenje 209 Primjer 3. Linearno raspodijeljeno optereenje 211 Primjer 4. Optereenje silama opeg oblika 211 Temperaturno djelovanje 211 Osvrt na tonost predloene metode 212

(b) Prikaz rjeenja u globalnom sustavu 212 (c) Kanonski oblik metode pomaka 214

(c1) Neovisni pomaci i diskretizacija reetke 214 (c2) Prikaz odgovora sustava 215 (c3) Stanje pune upetosti 215 (c4) Stanje jedininih pomaka 216 Sinteza promatranih stanja 218 (c5) Ravnotea vorova globalnog sustava 218 (c7) Uvrtavanje rubnih uvjeta 219

(c7) Posebni pridrajni uvjeti 221 Primjer 1: Proraun reetkaste konstrukcije metodom pomaka 221

4.3.2 PRIMJERI ODGOVORA RAZLIITIH REETKASTIH KONSTRUKCIJA U RAVNINI 227

1. Primjer gredne V reetke 227 2. Primjer gredne N reetke 229 3. Primjer gredne K reetke 231 4. Primjer gredne X reetke 233 5. Primjer gredne mreaste reetke 236 6. Primjer krovne reetke 236

11

7. Primjer konzolne X reetke 238 8. Primjer gredne X reetke s prepustima 239 9. Primjer reetkastog viseeg mosta 240

4.4 POKRETNO OPTEREENJE I UTJECAJNE LINIJE..................................... 243 4.4.1 Pokretno optereenje 243 4.4.2 Sekundarni nosai 243 4.4.3 Utjecajne linije 244

(a) Utjecajne linije kod statiki odreenih reetki 244 Primjer: Statiki odreena reetka - izraun unutarnjih sila pomou utjecajnih linija 245 (c) Ciljana deformacija-Temperaturna analogija 248 (d) Utjecajne linije kod statiki neodreenih reetki 250

4.4.4 Anvelopa odgovora 252 4.5 PROSTORNE REETKE....................................................................................... 253

4.5.1 Metoda pomaka kod prostornih reetki 253 4.5.2 Primjeri odgovora prostornih reetki 255

Prostorna trokutna gredna reetka 255 Graevinska dizalica 257 Prostorni reetkasti most 258 Prostorna reetka sa zategom 259 Prostorna reetkasta nadstrenica 259 Hala prostorna reetka 261

4.6 LITERATURA......................................................................................................... 263

5. PRILOZI 258

5.1 ODGOVORI NEKIH JEDNOSTAVNIH NOSAA............................................ 265

6. KAZALO POJMOVA X

Mihanovi, Trogrli 13 Graevna statika I.

1. Uvod

1.1 Zadaa graevne statike Kolegij Graevna statika usko je vezan s djelatnou svakog graevinskog inenjera.

Tako je bilo u prolosti, tako je danas, a tako e zasigurno biti i u budunosti. Djelatnost graevinskog inenjera primarno je usredotoena na graevine. Promatrajui graevine razlikujemo etiri faze u nastajanju i vijeku trajanja graevine i to: (1) planiranje, (2) projektiranje, (3) graenje i (4) gospodarenje. Ciljeve svake faze postie se timskim radom u kojima je graevinski inenjer voditelj ili suradnik.

Svaka graevina ima glavne cjeline poput: nosivog sklopa, zavrne radove i opremu. Nosivi sklop, jo nazivamo i nosivim sustavom ili konstrukcijom. Poznavanje konstrukcija potrebno je za djelovanje inenjera u bilo kojoj od navedene etiri faze. Najsloenija zadaa u tom slijedu je planiranje i projektiranje konstrukcija koje zajedno nazivamo i kreacijom konstrukcija.

Kreacija konstrukcija podrazumijeva: (1) Kreiranje geometrijskog oblika ujedno i vrste konstrukcije, (2) Osiguranje geometrijske nepromjenjivosti, odnosno kinematike stabilnosti, (3) Predvianje optereenja, (4) Izbor poetnih dimenzija, (5) Proraun mehanike otpornosti i stabilnosti, (6) Potvrivanje dimenzija i rjeenje detalja.

Zadaa kolegija graevna statika je osposobljavanje studenta za sudjelovanje u veini nabrojanih aktivnosti zadae kreacije konstrukcija. Cjelovitu zadau student odnosno inenjer moe obaviti kada stekne dostatna znanja i iskustva iz podruja mehanike konstrukcija i inenjerskih konstrukcija. Graevna statika se jo moe nazvati i statikom graevnih konstrukcija. Njen je zadatak upoznati studente s vrstama uestalih nosivih sustava, bitnim svojstvima tih sustava od najjednostavnijih do najsloenijih te metodama prorauna. Uz globalni osjeaj za konstrukciju i metode analize, treba razvijati konstruktorsku logiku, imaginaciju, percepciju, sposobnost sinteze i potrebu shvaanja vanosti timskog rada.

Na putu upoznavanja s pojedinim nosivim sustavima i metodama analize, graevna statika mora polaziti od najjednostavnijih linijskih grednih nosaa do sloenijih poligonalnih, lunih, okvirnih te reetkastih konstrukcija svih vrsta. Nakon toga se upoznaju plone nosive konstrukcije kako iz ploa i zidnih stijena tako i sloenica, te na kraju sloene konstrukcije.

Slijedom nailaska sve sloenijih konstrukcija moraju se upoznati metode analize. Zapoinje se tradicionalnim-jednostavnim, zatim nailaze sve sloenije da bi na kraju graevna statika zaokruila metode analiza razvijene kroz raunalne programe (software).

1. Uvod

14

Pojavom snanih raunala mogunosti svladavanja gradiva graevne statike znatno je olakano ali zauzvrat dubina ulaska u metode analize i njihove mogunosti znatno se proirila o emu se u izlaganju materije graevne statike i te kako mora voditi rauna.

1.2 Povijesni razvitak Pouzdane tragove o najstarijim konstrukcijama nalazimo na dnu nekoliko vicarskih

jezera, vidjeti [1.T6]. Bile su to vrlo primitivne kue, ponekad nazivane sojenicama, izgraene od drva, postavljene na drvene pilote uz obalu jezera. Pripadaju razdoblju ranog paleolitika. Pronaeni su i mnogo stariji megalitski ostaci u Europi i Aziji, ali za njih nemamo dokaza da su bila konstruktorska umijea.

Arheoloka istraivanja pokazala su postojanje niza konstrukcija iz razdoblja egipatske, grke i rimske civilizacije, te brojnih antikih civilizacija Azije i Bliskog istoka.

Veliku panju dananjih konstruktora izazivaju one vrste konstrukcija koje su gradili pojedini stari graditelji. U Grkoj su to bile konstrukcije iz stupova i greda, u Rimu su to bili lukovi, svodovi, kupole, drvene reetke te graevine iz betona u doba romanike, poput krinih i rebrastih svodova, zatim konstrukcije gotike, iljati svodovi i visoki stupovi koje sreemo u konstrukcijama najveih europskih katedrala.

Antiki su graditelji svoje umijee temeljili na iskustvu i empirizmu. Prvi napredak teorije sreemo kod Grka, iji su filozofi Aristotel (384-322 p.n.e) i Arhimed (287-212 p.n.e) poloili temelje mehanike konstrukcija formulirajui temeljna naela statike. Mnoga grka i rimska konstruktorska znanja zaboravljena su u srednjem vijeku, a ponovo se otkrivaju u razdoblju renesanse. Leonardo da Vinci (1452-1519) bio je veliki umjetnik ali i znanstvenik i inenjer. Iz njegovih zapisa znamo da je bio vidovit te vrlo dobro poznavao strukturu materijala. Njegovi radovi mogu se smatrati zaetkom razvitka teorije konstrukcija. Razvijajui dalje njegove spoznaje, Galileo (1564-1642) utemeljitelj moderne znanosti i istraivanja, u svojoj publikaciji Nove Spoznaje iz 1638. godine, objasnio je vrstou nekoliko konstruktivnih elemenata ukljuujui i nosivost konzole. Galileo i da Vinci su vie pozornosti davali nosivosti elemenata nego rasporedu naprezanja i deformacija.

Potom slijedi niz istraivaa kao to su: Hooke (1635-1703), Mariotte (1620-1684), Jacob Bernoulli (1654-1705), Johann Bernoulli (1667-1748), Daniel Bernoulli (1700-1782), Euler (1707-1783), Lagrange (1736-1813), Parent (1666-1748) i Coulomb (1736-1806). Coulomb u svojim memoarima iz 1773. godine daje kompletnu elastinu analizu elemenata izloenih savijanju. Nakon toga susreemo 1826. godine Navierovu (1785-1836) prvu tiskanu knjigu iz otpornosti materijala. Navier i Coulomb teite su davali istraivanju granice elastinog ponaanja elemenata.

Nakon njih slijede zlatne godine u razvoju teorije konstrukcija. Meu ostalima za takav razvoj zasluni su: Lam (1795-1870), Saint-Venant (1797-1886), Clapeyron (1799-1864), Clebsh (1833-1872), Rankine (1820-1872), Airy (1801-1892), Maxwell (1831-1879), Castigliano (1847-1884), Culmann (1821-1881), Mohr (1835-1918), Mller-Breslau (1851-1925), Engesser (1848-1931), Wohler (1819-1914), Foppl (1854-1924), urawski (1821-1891), Bauschinger (1833-1893), von Tetmajer (1850-1905) i ainski (1856-1899).

1. Uvod

15

Jedna od dominantnih metoda, metoda pomaka, razvijena je poetkom dvadesetog stoljea. Glavni doprinos u njenom razvoju dali su: A. Bendixen (1914), A. Ostenfeld (1926) i L. Mann (1927).

Dvadeseto stoljee predstavlja suvremeno doba inenjerskog konstruktorstva, a obiljeeno je sljedeim znaajkama:

1. Tiskanje vrijednih knjiga sa sadrajima iz podruja elastinosti, plastinosti, stabilnosti, ploa i ljuski, dinamike konstrukcija.

U svjetskoj literaturi to su: Love [1.L3], Foppl [1.F4], Lorenz [1.L2], Nadai [1.N1], Timoshenko [1.T3,T4,T5], Southwell [1.S4], Sokolnikoff [1.S3], Bleich [1.B3], Flugge [1.F2,F3], Girkmann [1.G2].

U hrvatskoj literaturi tiskane knjige se pojavljuju tek iza Drugog svjetskog rata, meu prvima Bazjanac [1.B1,B2], Andrejev [1.A1,A2], Tonkovi [1.T1], Kostreni [1.K1].

2. Razvoj strojeva, instrumenata i tehnike za ispitivanje materijala i konstrukcija. 3. Otkrivanje metode raspodjele momenata, Hardy Cross i poopenih metoda

relaksacije prema R.V. Southwellu. 4. Obnovljeni interes za granino stanje nosivosti i metode plastinosti. 5. Primjena teorije vjerojatnosti i statistikih metoda te teorije vjerojatnosti sloma. 6. Pojava raunala i prvih raunalnih programa, STRESS 1954. god. u SAD. 7. Obnovljeni interes za beton i armirani beton. Razvoj prednapinjanja. 8. Ljuske, stijene, i tankostijene konstrukcije u zrakoplovnom inenjerstvu ali i utjecaj

na primjenu ovih ideja u metalnim i armirano betonskim konstrukcijama. 9. Razvoj novih materijala iz elika, aluminija, plastike, betona, industrijskog drva,

laminata, uslojenih materijala, keramike, kompozita. 10. Najnoviji razvoj opreme, metoda predgotovljenja, prijevoza, gradnje i smiljanja

konstrukcija. Dananje doba je obiljeeno itavim nizom impresivnih konstrukcija kao to su: (1) most

Akashi Kaikyo u Japanu, (2) most Oresund izmeu Danske i vedske, (3) sustav morskih brana u Nizozemskoj, (4) brana na utoj rijeci u Kini, (5) niz nebodera u SAD-u, Hong Kongu, Kuala Lumpuru, (6) televizijski tornjevi u Torontu i Moskvi, (7) podmorski tunel ispod kanala La Manchea.

1. Uvod

16

1.3 Vrste konstrukcija Izraz konstrukcija u najuem tehnikom smislu podrazumijeva mehaniki sustav koji je

sposoban prihvatiti i stabilno prenijeti optereenja na referentnu podlogu. Dakle konstrukciju ine njena geometrija i njeno optereenja.

Geometriju konstrukcije tvore prostorni poloaj, elementi i njihovi presjeci i svojstva materijala, nain spajanja, vezivanja te oslonci. U geometriju konstrukcije pripada i svojstvo linearnosti i nelinearnosti a s tim u vezi i konzervativnost i nekonzervativnost. Poseban segment geometrije konstrukcije je kinematika konstrukcije. Pod kinematikom konstrukcije podrazumijeva se svojstva kinematike stabilnosti i labilnosti. Do tih svojstava dolazimo idealizacijom konstrukcije na kinematika kruta tijela, materijalne toke, zatim idealizacijom veza te kinematikom analizom takvog sustava.

Pod optereenjem konstrukcije podrazumijeva se prostorni raspored, dranje optereenja i promjene izazvane deformiranjem konstrukcije kao i svojstvo konzervativnosti i nekonzervativnosti optereenja.

etiri su uobiajene podjele konstrukcija. Slijedei uestalost uporabe tih podjela razlikujemo konstrukcije: (1) prema obliku osnovnih dijelova konstrukcije, (2) prema nivou kinematike stabilnosti, (3) prema poloaju konstrukcije u prostoru i (4) prema iskoristivosti dijelova konstrukcije.

Podjela konstrukcija prema obliku nosivih dijelova

U tom smislu razlikujemo linijske, plone, masivne i sloene konstrukcije. Pod linijskim konstrukcijama podrazumijevamo one koje se sastoje iz dijelova ije se

dvije dimenzije (dimenzije poprenog presjeka) mogu zanemariti u odnosu na treu dimenziju tj. duljinu. Shematski prikaz pojedinog dijela konstrukcije je crta odnosno linija. U ove konstrukcije pripadaju, lananice, lanani poligoni, reetke, grede, stupovi, okviri, lukovi, rotilji i njihove kombinacije. Primjeri linijskih konstrukcija prikazani su na crteu 1.1.

Crte 1.1 Linijske konstrukcije

U plone konstrukcije pripadaju one ija se jedna dimenzija, debljina, moe zanemariti u odnosu na druge dvije. To su: stijene, ploe, membrane i ljuske te njihova kombinacija. Primjeri plonih konstrukcija prikazani su na crteu 1.2.

1. Uvod

17

U masivne konstrukcije pripadaju sve one iji su dijelovi takvi da su im sve tri dimenzije istoga reda veliine. Primjeri masivnih konstrukcija prikazani su na crteu 1.3.

Sloene konstrukcije odnosno mjeovite konstrukcije nastaju kao kombinacija prethodnih vrsta. Primjer sloene konstrukcije prikazan je na crteu 1.4.

Crte 1.2 Plone konstrukcije

vijadukt

arena

brana

Crte 1.3 Masivne konstrukcije

Crte 1.4 Sloena konstrukcija

1. Uvod

18

Podjela konstrukcija prema stupnju kinematike stabilnosti

U ovoj podjeli razlikujemo statiki odreene i statiki neodreene konstrukcije. Statiki odreene konstrukcije su one koje su kinematiki stabilne, ali uz minimalni broj

veza. Statiki neodreene konstrukcije su one koje su kinematiki stabilne, ali imaju vie od minimalnog broja veza. U tradicionalnoj statici ova podjela bila je veoma vana, jer su se metode prorauna razvijale razliito za odreene i neodreene konstrukcije. Zahvaljujui pojavi raunala i prikladnih metoda, razlika u postupcima prorauna se izgubila jer se one jednako primjenjuju na statiki odreene i statiki neodreene konstrukcije.

Vanost ove podjele ostaje aktualna zbog dokazivanja nivoa kinematike stabilnosti i zbog bitno razliitih posljedica djelovanja nekih vrsta posrednih optereenja na statiki odreene i neodreene konstrukcije.

Podjela konstrukcija prema dimenzionalnosti

U ovoj podjeli razlikujemo konstrukcije u ravnini i konstrukcije u prostoru. Kada su svi elementi konstrukcije u jednoj ravnini kao i sva optereenja, tada se obino takav zadatak promatra kao ravninski. No pritom treba osigurati pridranje okomito na promatranu ravninu.

Podjela konstrukcija prema razini iskoristivosti njihovih dijelova

Ovisno o rasporedu naprezanja u elementima konstrukcije pri djelovanju dominantnih optereenja razlikujemo: (1) konstrukcije s jednolikim naprezanjima i (2) konstrukcije s nejednolikim naprezanjima.

U konstrukcije s jednolikim naprezanjima pripadaju: konstrukcije s lananicama i kablovima, lukovi, reetke, ljuske i membrane. Dakle kod svih dominira uzduno naprezanje.

U konstrukcije s nejednolikim naprezanjima pripadaju: grede, okviri, ploe i stijene. Kod njih dominira naprezanje izazvano savijanjem.

1.4 Statika djelovanja Utjecajem europske tehnike regulative u hrvatski tehniki jezik je uveden pojam

djelovanja na konstrukcije. On sublimira klasini pojam optereenja silama, temperaturne utjecaje, poputanje oslonaca, potresna i poarna djelovanja i ostalo.

Sile u klasinom smislu je mogue razvrstavati po vie osnova, poput fizikalnog porijekla, promjenjivosti u vremenu, geometrijskom nainu i slijedu nanoenja itd. Glede fizikalnog porijekla dovoljno je kazati da su sve sile na konstrukcije gravitacijske. Glede promjenjivosti u vremenu, sile dijelimo na statike i dinamike. Zbog sloenosti dinamikih analiza vrlo esto dinamika djelovanja na konstrukcije pojednostavnjujemo i svodimo na ekvivalentna statika. Glede geometrijskog naina djelovanja, sile dijelimo na koncentrirane i raspodijeljene na crtama, na plohama te na volumenu.

Sveukupna djelovanja u praktinom inenjerskom smislu dijelimo na: (1) stalna djelovanja, (2) promjenjiva djelovanja i (3) udesna djelovanja.

1. Uvod

19

Stalna djelovanja predstavljaju optereenja silama vlastite teine i svih nepokretnih dijelova koja se nalaze na konstrukciji. Odreujemo ih iz geometrije i tipa gradiva konstrukcije i njene opreme, a najee se oznaavaju slovom G. Zapreminske teine pojedinih gradiva redovito su sastavni dio tehnikih propisa i normi.

Promjenjiva djelovanja predstavljaju ona optereenja koja mijenjaju svoj poloaj ili intenzitet, ili jedno i drugo ali nemaju dinamiki karakter. Meu promjenjiva djelovanja ubrajaju se: (1) vozila na cestovnim mostovima, (2) optereenja na eljeznikim mostovima, (3) pokretne sile u zgradama, (4) udarna optereenja (vertikalna promjenjiva djelovanja koja izaziva pokretni teret), (5) optereenje vjetra, snijega i leda, (6) pritisci tla, (7) hidrostatiki tlakovi, (8) temperaturna djelovanja. Oznaavaju se slovom Q i indeksom optereenja (kao npr. Q1, Q2,...Qi).

Udesna djelovanja su ona koja su rijetka odnosno ija je vjerojatnost pojave mala. Meu njih se ubrajaju: (1) potresna djelovanja, (2) poarna djelovanja, (3) eksplozije i udar vozila. Oznaavaju se slovom A.

Glavnina nabrojenih optereenja, u smislu iznosa smjera i poloaja djelovanja, regulira se tehnikim propisima i normama.

Osim optereenja vlastitom teinom, djelovanje niza ostalih optereenja ovisi i o svojstvima samih konstrukcija kao i o slijedu kojim je konstrukcija graena. Tipini primjeri su: postupak prethodnog i naknadnog napinjanja konstrukcija ili zadaci u kojima je interakcija temeljnog tla i konstrukcije znaajna.

Inenjer mora pratiti graenje konstrukcije i analizirati sve njene faze nastajanja i optereivanja. Dakle, kod mnogih konstrukcija, potrebno je pratiti povijest optereenja i povijest nastajanja konstrukcije. Konana faza graenja i optereivanja nuno ne mora davati najnepovoljnije utjecaje. Osobito to vrijedi za armirano betonske konstrukcije te metalne i drvene predgotovljene konstrukcije.

Glede svojstava same konstrukcije, strogo gledano, gotovo pri svakom djelovanju optereenja javljaju se pomaci i deformacije, tako da neizbjeno dolazi do, barem male, promjene poloaja napadnih sila i osi konstrukcije. Kada takve promjene ne uvjetuju dinamike utjecaje, optereenje nazivamo statikim ili kvazistatikim. Statikim ga tretiramo onda kada promjenu poloaja moemo zanemariti, a kvazistatikim ga nazivamo onda kada promjenu poloaja ne moemo zanemariti. Kvazistatiko optereenje poseban je vid statikog djelovanja. Usko je vezano za ogranak statike koji nazivamo stabilnost konstrukcija.

1.5 Struktura konstrukcije Neovisno o kinematikoj funkciji u strukturi konstrukcije susreemo sljedee dijelove:

(1) tapove, (2) niti, (3) stijene, (4) ploe, (5) membrane, (6) tijela, (7) vorove i oslonce. tap u irem smislu predstavlja naziv za skupinu dijelova koje moemo predstaviti kao

jednodimenzionalne. ine ga: (1) tap ili ipka kao dio koji prenosi uzdune sile, zbog ega je pravocrtan, (2) greda kao dio koji prenosi sile i momente pri emu su uzdune sile

1. Uvod

20

sekundarne, (3) stup kao dio koji prenosi sile i momente pri emu dominiraju uzdune sile. Primjeri tapova prikazani su na crteu 1.5.

Crte 1.5 Primjeri tapova: a) tapovi; b) stup; c) greda

Niti predstavljaju naziv za dijelove koji su jednodimenzionalni, promjenjive geometrije i prenose samo uzdune vlane sile. Kao niti susreemo: lananice i lanane poligone, dijelove kablovskih konstrukcija te niti ili uad kao dijelove koji pridravaju visoke stupove i jarbole. Primjer niti prikazan je na crteu 1.6.

Crte 1.6 Niti: a) lananica; b) lanani poligon; c) stup s uadima

Stijene (diskovi) predstavljaju naziv za skupinu dijelova koje moemo predstaviti kao dvodimenzionalne dijelove kontinuuma, ali su im sva bitna optereenja i vezivanja u ravnini, pri emu mogu biti izravno dani kao kontinuirani lik u ravnini u obliku visokostijenog nosaa, konzolnog zida, zida s otvorima i slino. Primjer stijena vidljiv je na crteu 1.7.

Crte 1.7 Stijene: a) visoka stijena; b) zid; c) zid s otvorima

Ploe predstavljaju naziv za skupinu dijelova koje moemo predstaviti kao dvodimenzionalne, ali su im primarna optereenja uvijek okomita na ravninu ploe. U

a) b) c)

a) b)

c)

a) b) c)

1. Uvod

21

pogledu vezivanja, ploe se tretiraju isto kao i kruta tijela. Primjeri ploa prikazani su na crteu 1.8.

Membrane predstavljaju naziv za plone dijelove koji su zakrivljeni i dvodimenzionalni, promjenjive su geometrije i prenose samo uzdune vlane sile. Primjeri membrana prikazani su na crteu 1.9.

Ljuske predstavljaju naziv za plone dijelove koji su zakrivljeni i dvodimenzionalni te stalne geometrije.

Kupole su posebne osnosimetrine ljuske. Ljuske i ploe dijelovi su kontinuuma. Primjeri ljuski i kupola prikazani su na crteu 1.10.

Crte 1.8 Ploe: a) pravokutna-konzolna; b) kruna-na stupu; c) kontinuirana-preko greda

Crte 1.9 Membrane: a) visee platno; b) balon pod tlakom; c) jedro na jarbolu

Crte 1.10 Ploni elementi: a) ljuske; b) kupola

a) b) c)

a)

b)

c)

a)

b)

1. Uvod

22

Tijela predstavljaju naziv za dijelove koje moemo predstaviti kao trodimenzionalne, kojima optereenja i vezivanja mogu biti u bilo kojem smjeru. Tijela su dijelovi trodimenzionalnog kontinuuma, npr. valjak, kvadar i kugla.

1. Uvod

23

vorovi, oslonci i leajevi

vorovi predstavljaju mjesta i dijelove gdje se i s kojima se vezuju (spajaju) meusobni dijelovi konstrukcije. Kad vezujemo jednodimenzionalne dijelove, vorovi su diskretni. Ako pak vezujemo dvodimenzionalne ili trodimenzionalne dijelove bez jednodimenzionalnih, vezivanje je raspodijeljeno.

Kada se dijelovi konstrukcije vezuju za referentnu podlogu takva mjesta nazivamo osloncima. One oslonce kod kojih dominira tlano djelovanje na podlogu nazivamo leajevima.

U ravnini razlikujemo vorove sa: (1) zglobnim vezivanjem, jednostrukim i viestrukim, (2) krutim vezivanjem, jednostrukim i viestrukim, (3) tapnom vezom. Primjeri vorova mogu se vidjeti na crteima 1.11 i 1.12.

Crte 1.11 Zglobni vorovi: a) tapom (klizna veza); b) zglob; c) trostruki zglob

Crte 1.12 Kruti vorovi: a) u pravcu; b) pod kutom; c) trostruki

U prostoru razlikujemo vorove s diskretnim i raspodijeljenim vezivanjem. Diskretno vezivanje javlja se kao: zglobno, kruto i slobodni dodir. Slobodni dodir, dok postoji, funkcionira kao zglobna veza. Primjeri diskretnih prostornih vorova prikazani su na crteu 1.13. Raspodijeljene veze susreemo kao: linijski klizni zglob, linijski zglob, te linijska upetost. Primjere prostornih vorova vidi se na crteu 1.14.

a) b) c)

a) b) c)

1. Uvod

24

a) b)

Crte 1.13 Prostorni diskretni vorovi: a) zglobni; b) kruti

Crte 1.14 Prostorni raspodijeljeni vorovi: a) linijski klizni zglob;

b) linijski zglob; c) linijsko ukljetenje

U pogledu oslonaca u ravnini razlikujemo: (1) klizne, (2) zglobne, (3) uklijetene. Primjeri oslonaca u ravnini mogu se vidjeti na crteu 1.15.

a) b) c)

Crte 1.15 Oslonci u ravnini: a) klizni; b) zglobni; c) uklijeteni

U prostoru razlikujemo diskretne i kontinuirane oslonce. Tipini predstavnici diskretnih oslonaca su: (1) prostorni zglob, (2) diskretno ukljetenje i (3) slobodni dodir. Slobodni dodir dok postoji, funkcionira kao prostorni diskretni zglob. Primjeri prostornih diskretnih oslonaca prikazani su na crteu 1.16.

Raspodijeljeni prostorni oslonci su: (1) linijski klizni, (2) linijski zglobni, (3) linijsko ukljetenje i (4) oslonci sa slobodnim dodirom. Dok postoji, slobodni dodir funkcionira kao linijski klizni ili puni zglob. Primjeri prostornih oslonaca vide se na crteu 1.17.

a) b) c)

a) b)

1. Uvod

25

Crte 1.16 Prostorni diskretni oslonci: a) zglobni; b) uklijeteni

Crte 1.17 Raspodijeljeni oslonci u prostoru: a) linijski klizni;

b) linijski zglobni; c) linijski uklijeteni

S kinematikog gledita, dijelovi konstrukcije su tijela i veze. Tijelima u kinematikom smislu smatramo one dijelove koje vezujemo, a mogu biti tijela u uem smislu i materijalne toke.

Veze su elementi koji sprjeavaju gibanje vezanih dijelova. Veze koji sprjeavaju gibanje unutar konstrukcije, poput vorova, zovemo unutranjim vezama, a veze koje sprjeavaju gibanje izmeu dijelova konstrukcije i podloge, poput oslonaca, nazivamo vanjskim vezama.

Vezu koja sprjeava gibanje u jednom pravcu ili rotaciju oko pravca nazivamo jednostrukom vezom. Jednostranu vezu koja sprjeava gibanje samo u jednom smjeru, poput niti, nazivamo jednostrukom jednostranom vezom. Jednostruku vezu koja sprjeava gibanje u oba smjera poput tapa, nazivamo jednostrukom dvostranom vezom. Vezu koja sprjeava gibanje u n pravaca nazivamo n-terostrukom vezom.

Diskretno i kontinuirano vezivanje. Ako su u vezanom paru bilo veza ili vezano tijelo jednodimenzionalni, tada je vezivanje diskretno. Diskretno vezivanje znai da je broj pravaca u kojima je sprijeeno gibanje poznat i konaan. Ako u vezanome paru nema jednodimenzionalnih elemenata, vezivanje je raspodijeljeno, a broj pravaca u kojima je sprijeeno gibanje je beskonaan.

a) b)

a) b) c)

1. Uvod

26

1.6 Kinematika i statika stabilnost

Stupnjevi slobode gibanja

U kinematikom smislu tijela moemo promatrati kao materijalne toke i tijela i njihovu kombinaciju. Ovisno o dimenzionalnosti prostora u kojem promatramo mogue gibanje, broj stupnjeva slobode gibanja materijalne toke i tijela iznositi e:

Broj stupnjeva slobode gibanja s

Dimenzionalnost Materijalna toka Kruto tijelo

1D s=1 (translacija) s=1 (translacija)

2D s=2 (dvije translacije) s=3 (dvije translacije+rotacija)

3D s=3 (tri translacije) s=6 (tri translacije+tri rotacije)

U jednom sustavu slobodnih materijalnih toaka (M) i krutih tijela (T) ukupni broj

stupnjeva slobode gibanja iznositi e: u 1D prostoru T1M1s += u 2D prostoru T3M2s += u 3D prostoru T6M3s +=

openito jTiMs += (1.1) Vezivanjem tijela meusobno ili za podlogu smanjuje se broj stupnjeva slobode. Ako nema veza koje se preklapaju tj. sprjeavaju gibanje u istom pravcu, tada se broj

stupnjeva slobode gibanja odreuje prema izrazu vjTiMs += (1.2) gdje je v broj jednostrukih veza. Sve viestruke veze svode se na jednostruke.

1.6.1 Kinematika stabilnost

U sluaju kada se postigne 0s (1.3) a nema preklapanja veza, nastupa potpuno pridranje sustava odnosno geometrijska nepromjenjivost koju jo nazivamo i kinematika stabilnost. Relacija (1.3) predstavlja nuan uvjet kinematike stabilnosti. Dovoljan uvjet je nepreklapanje veza. Grafiki prikaz kinematiki stabilne materijalne toke i krutog tijela, ovisno o dimenzionalnosti prostora, dan je na crteima 1.18, 1.19 i 1.20. Jednodimenzionalni prostor ima samo teorijsko znaenje jer ga se praktino ne moe rabiti. U takvom prostoru slobodna toka i tijelo mogu se gibati po pravcu, dakle imaju jedan stupanj slobode gibanja. U matematikom obliku poloaj im se moe opisati jednom jednadbom x=x(t). Toka odnosno tijelo biti e pridrani vezivanjem jednom vezom.

1. Uvod

27

Crte 1.18 Kinematika stabilnost po pravcu

(u 1D prostoru)

U dvodimenzionalnom prostoru toka se moe nezavisno gibati u dva pravca te ima dva stupnja slobode gibanja. Matematiki se poloaj toke dade opisati jednadbama x=x(t) i y=y(t). Toku moemo vezati s dvije veze koje nisu na istom pravcu.

Nepreklapanje veza znai da one nisu na istom pravcu. U protivnome, kada su dvije veze na istom pravcu postoji mogunost, barem diferencijalnog pomaka toke. U ravnini (2D prostoru) gibanje tijela moe se promatrati kao gibanje referentne toke, npr. ishodita, te gibanje bilo koje druge toke oko ishodita. Gibanje ishodita prati se u dva pravca i s dvije jednadbe kao i kod materijalne toke, dok se gibanje bilo koje druge toke oko ishodita prati kao rotacija oko tog ishodita. Dakle jo jedan stupanj slobode gibanja, a matematiki ga pratimo kao rotaciju oko osi z po zakonu =(t). Vidimo da tijelo u ravnini ima tri stupnja slobode gibanja. Potpuno ga moemo pridrati s tri veze. Nepreklapanje veza podrazumijeva da se tri veze ne sijeku u jednoj toki. Iskljuuju se i tri paralelne veze jer se sijeku u beskonanosti. To e biti geometrijski ostvareno ako je udaljenost bilo kojeg tapa od sjecita preostala dva (na crteu 1.19 veliina a) razliita od nule. U protivnome, kad bi se tri tapa sjekla u istoj toki bila bi mogua rotacija oko te toke. Ako je ta toka u beskonanosti, znai da su tri tapa paralelna te je mogua translacija tijela.

Crte 1.19 Kinematika stabilnost ravnini (u 2D prostoru)

U prostoru toka se moe nezavisno gibati u tri pravca te ima tri stupnja slobode gibanja. Matematiki se poloaj toke dade opisati jednadbama x=x(t), y=y(t) i z=z(t). Vezati toku moemo s tri veze koje nisu u istoj ravnini. Nepreklapanje veza znai da one nisu u istoj ravnini. U protivnome, kada su tri veze u istoj ravnini postoji mogunost, barem diferencijalnog pomaka toke okomito na ravninu. U prostoru gibanje tijela se moe promatrati kao gibanje referentne toke, npr. ishodita, te gibanje bilo koje druge toke oko ishodita. Gibanje ishodita prati se u tri pravca i s tri jednadbe kao i kod materijalne toke, dok se gibanje bilo koje druge toke oko ishodita prati kao rotacija oko tog ishodita. Rotacija oko ishodita daje jo tri stupnja slobode gibanja, a matematiki ih pratimo kao tri rotacije oko tri osi po zakonima =(t), =(t) i =(t). Vidimo da tijelo u prostoru ima est stupnjeva slobode gibanja. Potpuno ga moemo pridrati sa est veza.

1. Uvod

28

Nepreklapanje veza podrazumijeva da ne postoji pravac koji presijeca sve veze. To e biti geometrijski ostvareno ako je povrina trokuta a, b, c na crteu 1.20, konana i razliita od nule.

Crte 1.20 Kinematika stabilnost u prostoru

Kinematiku stabilnost moemo jo opisati kao stanje sustava u kome nisu mogui pomaci sustava kao skupa krutih tijela, odnosno nije mogu pomak ni jedne toke sustava bez deformacije barem jednog elementa ili pomaka barem jednog oslonca.

Ako je 0s > (1.4) sustav je kinematiki labilan. Zapravo se radi o mehanizmu sa s stupnjeva slobode gibanja.

Dokazati prethodnu pretpostavku o nepreklapanju veza kao dovoljni uvjet uz relaciju (1.3) jedan je od najsloenijih zadataka inenjerskog posla. U njemu je vrlo vaan osjeaj za prostor i geometriju konstrukcije i njenih dijelova.

Posebno, kada je broj stupnjeva slobode u relaciji (1.3) 0s = (1.5) kaemo da je sustav statiki odreen.

Suprotno tome, kada je 0s < (1.6) sustav je statiki neodreen. Posjeduje upravo |s| prekobrojnih veza. Ujedno je sustav neodreen (s) puta.

Geometrijska stabilnost konstrukcije. Obuhvaa utjecaj deformacija i njima pripadnih pomaka na stabilnost konstrukcije. Kada kod neke konstrukcije zanemarujemo utjecaj deformacija na geometriju konstrukcije, tada geometrijska stabilnost prelazi u kinematiku stabilnost.

1.6.2 Statika stabilnost Statika stabilnost konstrukcije izvire iz stabilnosti ravnotee konstrukcije, pri emu

hipotetski postoje konstrukcije koje su stabilne za bilo koja konana optereenja, ali postoje i konstrukcije koje su stabilne samo za neke vrste optereenja. Prve nazivamo bezuvjetno stabilnim, a druge uvjetno stabilnim. Gubitak stabilnosti neke konstrukcije moe proistei iz: (1) gubitka stabilnosti ravnotenog oblika (deformacijske forme), (2) iz gubitka stabilnosti geometrijskog poloaja ili (3) iz kombinacije prva dva sluaja, vidjeti [1.M1]. Ako se za sva

1. Uvod

29

mogua optereenja na konstrukciju smiju zanemariti deformacije, tada za sve kinematiki stabilne konstrukcije, dakle geometrijski stabilne, vrijedi da su bezuvjetno statiki stabilne.

U sluaju prisutnih deformacija, kinematika stabilnost ne osigurava a priori geometrijsku stabilnost a s time nema ni bezuvjetne stabilnosti statike ravnotee odnosno stabilnosti konstrukcije, jer ona ovisi i o deformabilnim svojstvima elemenata te o vrsti i razini optereenja. Za takve konstrukcije kaemo da su uvjetno stabilne, a samu stabilnost moramo dokazivati za svako optereenje. Druga vrsta uvjetno stabilnih konstrukcija su kinematiki labilne konstrukcije koje, zahvaljujui nainu optereivanja, mogu zauzeti stabilan geometrijski poloaj u pravilu ga prilagoavajui vrsti optereenja. Premda sustav nije kinematiki stabilan, zbog mogunosti stabilnog prijenosa optereenja nazivamo ih konstrukcijama. Tipini predstavnici ovakvih konstrukcija su lanane i kablovske konstrukcije te membrane (crtei 1.6a, 1.6b i 1.9a).

Stabilnost ravnotee kinematiki labilnih konstrukcija

U posebnim sluajevima ak i kinematiki labilni sustavi, odnosno geometrijski promjenjivi, mogu primiti i prenijeti optereenja. Kod toga se moe raditi samo o: (a) labilnoj ravnotei ili (b) o stabilnoj ravnotei.

Primjerice, svi mehanizmi s jednim stupnjem slobode mogu prenijeti optereenje koncentriranim silama iji pravci djelovanja prolaze kroz apsolutne polove rotacija tijela mehanizma. Meutim, samo dio tih sustava zadrat e geometrijski poloaj i stabilnu ravnoteu. U primjeru s crtea 1.21 ravnotea postoji za sve sile koje prolaze kroz apsolutni pol 2. Meutim, stabilnu ravnoteu dat e sile koje u svim tapovima stvaraju vlane sile. To je ispunjeno za sve sile koje djeluju pod kutom 0

1. Uvod

30

Crte 1.22 Uvjetno stabilan sustav s dva stupnja slobode

(Stabilna ravnotea za sva optereenja koja daju vlane sile u tapovima)

1.7 Dokazivanje kinematike i statike stabilnosti

1.7.1 Dokaz kinematike stabilnosti

Kinematiku stabilnost dokazujemo kinematikim ili statikim metodama. Kinematike metode moemo razvrstati u dvije skupine: (1) izravne metode i (2) posredne metode.

Izravne kinematike metode svode se na odreivanje polova rotacija promatranog sustava i konstruiranje plana pomaka, odnosno plana brzina. Ako sustav nema jednoznane polove rotacija ili ima trivijalni plan pomaka (nulti), tada je on kinematiki stabilan. Poblie o tim postupcima moe se vidjeti u [1.A1] ili slinoj literaturi iz kinematike.

Posredne kinematike metode svode se na dokaz nunog i dovoljnog uvjeta kinematike stabilnosti. Najprije se provjerava nuan uvjet, a potom se provjerava dovoljan uvjet. Slijed provjere ovisi o tipu konstrukcije koji se promatra. Moe ih se razvrstati na: (1) konstrukcije sastavljene na elementaran nain, (2) konstrukcije sastavljene na sloen nain.

Konstrukcije sastavljene na elementaran nain. To su one konstrukcije gdje je prvi element vezan i pridran za referentnu podlogu, zatim je na taj element i podlogu vezan slijedei i tako redom. Svaki novi element vezuje se na sustav koji je ve kinematiki stabilan.

U nastavku se obrauju jednostavniji i uestaliji primjeri konstrukcija vezanih na elementaran nain.

Reetka u ravnini vezana na elementaran nain prikazana je na crteu 1.23. Dijelovi koji se vezuju su toke smjetene u vorovima, a veze su tapovi reetke. Redni broj vorova i tapova ukazuju na slijed vezivanja. Ukupno ima 9 vorova i 18 veza. Broj stupnjeva slobode iznosi s=9218=0, ime je zadovoljen nuan uvjet (1.13). Pratei vezivanje vor po vor vidi se da je zadovoljen i dovoljan uvjet te je promatrana reetka kinematiki stabilna. Valja primijetiti da se zbog pravilnosti vezivanja u i-tom voru vezuju tapovi s rednim brojevima 2i-1, 2i.

Crte 1.23 Sklapanje konzolne reetke u ravnini

1. Uvod

31

Prostorna reetka vezana na elementaran nain prikazana je na crteu 1.24 gdje redni broj vorova i tapova takoer ukazuje na slijed vezivanja. Postoji 13 vorova, a 39 tapova. Sukladno relaciji (1.1) imamo s=13339=0 ime je zadovoljen nuan uvjet. Pratei vezivanje vor po vor zakljuujemo da je zadovoljen i dovoljan uvjet.

Crte 1.24

Sklapanje konzolne reetke u prostoru

Sljedei primjer konstrukcija vezanih na elementaran nain su jednostavni gredni nosai u ravnini i Gerberovi nosai, prikazani na crteu 1.25. Za konzolni nosa i prostu gredu zadovoljen je nuan uvjet, jer je prema (1.1) s=13-3=0. U oba sluaja zadovoljen je i dovoljan uvjet. Kod Gerberovog nosaa imamo 3 tijela u ravnini te ukupno 9 veza, na crteu 1.25 postavljenih u pravokutnike. Prema (1.1) izlazi s=33-4-5=0 da je zadovoljen nuan uvjet. U ovom primjeru postoje 4 unutranje veze i 5 vanjskih. Dokaz zadovoljenja nepreklapanja veza kree od tijela 1, koje je pridrano kao obina greda s prepustom. Na njega i podlogu dalje je vezana obina greda 2 s prepustom. Na kraju na gredu 2 i podlogu vezana je obina greda 3.

konzola obina greda Gerberov nosa

Crte 1.25 Vezivanje grednih nosaa u ravnini

U nastavku slijedi primjer okvira u ravnini (vidjeti crte 1.26) vezanog na elementaran nain. Slijed vezivanja dan je rednim brojem tijela i rednim brojem veza (u pravokutnicima). Vie je moguih naina vezivanja ovog okvira na elementaran nain, jer se slijed stupova 1-4 moe alternirati po volji. Grede 5-7 mogu se meusobno alternirati a mogu se alternirati i s gredama 8 i 9. Greda 9 ne moe se postaviti prije grede 8. Broj stupnjeva slobode jednak je s=93-15-43=0, dakle zadovoljen je nuan uvjet. Nepreklapanje veza dokazuje se slijedom: (1) etiri konzolna stupa nemaju preklapanje, (2) katne grede postavljene na

1. Uvod

32

stupove nemaju preklapanje veza i (3) krovna greda 8 nema preklapanja veza, a postavljanjem krovne grede 9 takoer nema preklapanja veza.

Crte 1.26 Vezivanje okvirnih nosaa u ravnini

Okvir u prostoru vezan na elementaran nain prikazan je na crteu 1.27. On se sastoji od 4 ploe i 16 stupova. Veza stupova s ploama i podlogom je diskretno kruta. Broj stupnjeva slobode iznosi s=206-326-46=120-216=-96, dakle nuan uvjet je zadovoljen, a sustav je statiki neodreen s 96 prekobrojnih veza. Slijed vezivanja prati slijed numeracije elemenata na crteu. Dokaz nepreklapanja veza polazi od etiri konzolna stupa na koji se krutim vorovima vezuje ploa i tako redom do vrha konstrukcije.

Crte 1.27

Vezivanje okvirnih nosaa u prostoru

Konstrukcije sastavljene na sloen nain. Kod ovakvih konstrukcija najprije dokazujemo nuan, a potom dovoljan uvjet. Premda se vrlo esto s dokazom dovoljnog dokazuje i nuan uvjet, ipak je razumno najprije dokazati nuan uvjet kako bi uope imalo smisla dokazivati

1. Uvod

33

dovoljan. U dokazivanju nepreklapanja veza nastojimo pratiti nain vezivanja pri emu postoje dva stupnja: (1) traenje temeljnog kinematiki nepromjenljivog dijela na kojeg se onda vezuju slijedei dijelovi koji tvore makro tijela i (2) vezivanje makro tijela u sustav.

Primjere s baznim nepromjenljivim likom predstavljaju ravninske i prostorne reetke prikazane na crteima 1.28, 1.29 i 1.30.

Ravninska V reetka s crtea 1.28 ima zadovoljen nuan uvjet jer je s=92-15-3=0. Za bazni nepromjenljivi dio uzet je trokut s vorovima 1, 2, 3 koji sam za sebe ini kruto tijelo u ravnini. Na njega su slijedom rednih brojeva vezani ostali vorovi, tako da cijela reetka u ravnini ini kruto tijelo. To kruto tijelo je kao obina greda s tri veze pridrano za referentnu podlogu a s time je dokazan i nuan i dovoljan uvjet kinematike stabilnosti. U ovom primjeru za temeljni dio moe se uzeti bilo koji trokut.

Slian postupak vrijedi i za K reetku s crtea 1.28. Zadovoljen je nuan uvjet jer s=202-37-3=0. Za bazni nepromjenjivi dio usvojen je trokut s vorovima 1,2,3 na njega se slijedom rednih brojeva vezuju vorovi na lijevu, a potom i na desnu stranu. Reetka sama za sebe predstavlja kruto tijelo (stijenu) u ravnini, a s tri veze je kao obina greda vezana za podlogu te je s time dokazan i nuan i dovoljan uvjet.

V-reetka K-reetka

Crte 1.28 Vezivanje i kreiranje reetki u ravnini

Prostorna gredna reetka s crtea 1.29 ima zadovoljen nuan uvjet jer je s=183-48-6=0. Za temeljni nepromjenljivi dio uzet je tetraedar, prikazan podebljanim stranicama na crteu, koji sam za sebe ini kruto tijelo u prostoru. Na njega se s po tri tapa redom vezuje vor po vor dok se ne sklopi reetka u prostoru kao kruto tijelo. To kruto tijelo je sa est veza pridrano za podlogu ime je dokazan i nuan i dovoljan uvjet kinematike stabilnosti.

1. Uvod

34

Crte 1.29

Sklapanje gredne reetke u prostoru

Prvi primjer s makro tijelima u ravnini prikazan je na crteu 1.30. Konstrukcija se naziva trozglobni reetkasti luk. Svaka reetka za sebe, primjenjujui prethodni postupak, je makro tijelo u ravnini. Dva tijela su vezana za podlogu s est veza bez preklapanja. Preklapanje veza postojalo bi u sluaju da su tri makro zgloba na istom pravcu. S time je dokazan nuan i dovoljan uvjet. Kao naknadna provjera kinematike stabilnosti, neka bude dokaz nunog uvjeta, prebrojavanjem tapova i vorova kao da se radi o jednoj reetki. Tada je broj vorova 21 i broj tapova 42 pa izlazi s=21 2-42=0.

Crte 1.30 Sklapanje konstrukcije u ravnini sustavom ravninskih reetki

Primjer s okvirnim makro tijelima u ravnini prikazan je na crteu 1.31. Konstrukcija se naziva jednopoljni etverokatni okvir. Prvi kat je makro konstrukcija-trozglobni okvir, pridran za podlogu. Na njega se postavlja drugi kat koji je takoer trozglobni okvir pridran za ve pridrani prvi kat i tako redom. S time je dokazan nuan i dovoljan uvjet. U zasebnoj provjeri dokazuje se nuan uvjet prebrojavanjem tapova i vorova kao da se radi o jednom okviru. Tada je broj tijela 8 i broj zglobova 12 pa izlazi s=83-102-22=0.

1. Uvod

35

Crte 1.31

Sklapanje viekatnog okvira u ravnini pomou makro dijelova

esto je primjenljiv i postupak ravninskih makro tijela. Tim postupkom se nastoji pokazati da pojedine cjeline tvore stijenu u ravnini, a potom vezivanjem tih stijena stvara se kinematiki stabilan sustav u prostoru. Ilustrativan primjer takvog sklapanja konstrukcija je Schwedlerova1 kupola, prikazana na crteu 1.32. Bridovi uz dva susjedna oslonca (crte 1.32a), sa tapovima u pripadnoj ravnini, ine kinematiki stabilnu reetku u toj ravnini. Svaki vor u toj ravnini pridran je u dva pravca. Vezivanjem za susjednu ravninsku reetku, koja nije u istoj ravnini, vorovi na tom bridu dobili su i treu vezu pa su prema tome pridrani. To isto vrijedi i za vorove na dodirnom bridu susjedne reetke. Vezujui tako ostale ravninske reetke tvori se kinematiki stabilna prostorna reetka.

Kod Schwedlerove kupole dokaz vrijedi i u sluaju da bridovi drugog kata imaju razliit nagib od bridova prvoga kata (crte 1.32b), samo sada dokaz vezivanja ravninskih reetki valja nainiti najprije za prvi kat pa potom za sljedei. Naelo po kojemu dvije pridrane reetke u razliitim ravninama tvore pridrane vorove na zajednikom bridu je univerzalno. Isto naelo vrijedi i za bridove stijena pridranih u svojim ravninama.

1 Johann Wilhelm Schwedler (1823.1894.) njemaki inenjer

1. Uvod

36

1

1

2

Crte 1.32 Sklapanje Schwedlerove kupole sustavom ravninskih reetki: a) s jednakim nagibima katnih reetki - nacrt; b) s razliitim nagibima katnih reetki - nacrt; c) tlocrt Schwedlerove kupole

Statike metode

U jednadbama statike kojih ima nekoliko vrsta, kao to e biti pokazano u odjeljku 1.9, neizostavne su jednadbe globalne ravnotee sustava. Statike metode dokaza kinematike stabilnosti temelje se na dokazu regularnosti matrice sustava jednadbi globalne ravnotee pri nultom optereenju. Nulto optereenje ovdje znai da su iznosi bilo koje sile nula, tj. da ga zapravo nema. Ova pretpostavka je nuna kako bi se iskljuila mogunost da optereenje statiki stabilizira sustav. U ovom sluaju se kinematika, geometrijska te statika stabilnost poistovjeuju.

U ovako formiranoj matrici globalne ravnotee izvjesne su dvije mogunosti: (1) matrica je regularna (determinanta razliita od nule) i (2) matrica je singularna (determinanta jednaka nuli). U numerikim priblienjima praktino je nemogue postii Det=0, ali je i mala vrijednost determinante znak blizine singulariteta matrice sustava.

Regularnost matrice sustava, sloene uz prethodne uvjete, znak je kinematike, geometrijske i statike stabilnosti. Obrnuto, singularitet matrice globalne ravnotee znak je kinematike labilnosti.

1. Uvod

37

Hennebergova metoda posebna je statika metoda kojom se moe provjeravati kinematika stabilnost. Metoda je inae detaljno izloena u odjeljku 2.1.3. Bit Hennebergove metode sastoji se u fiktivnoj zamjeni tapova kojom se polazni sustav preoblikuje u novi-kinematiki stabilan. Postupak ponitavanja sila u fiktivnim tapovima dovodi do sustava jednadbi ija matrica ovisi o kinematici polaznog sustava. U sluaju regularnosti matrice, polazni sustav je kinematiki stabilan. U protivnome, polazni sustav je kinematiki labilan.

Matrica globalne statike ravnotee i matrica polaznog sustava u Hennebergovoj metodi iskazuju istu bit. Stoga daju istovjetan rezultat glede dokaza kinematike stabilnosti.

1.7.2 Dokazivanje statike stabilnosti

Stvarno statiko stanje uvijek podrazumijeva i stvarno tj. ne-nulto optereenje. Regularnost matrice globalne ravnotee ponovo je i ovdje kriterij za utvrivanje statike stabilnosti. Regularnost matrice sustava jednadbi ravnotee znak je statike stabilnosti za date uvjete. Singularitet matrice sustava jednadbi ravnotee znak je da je sustav bezuvjetno statiki nestabilan.

Tome moe biti vie uzroka: (1) Ako je globalna ravnotea sloena samo uz pomo jednadbi ravnotee, dakle bez jednadbi uzajamnosti i konstitucije, tada je promatrani sustav kinematiki labilan, to ima za posljedicu i statiku nestabilnost. (2) Ako je sustav sastavljen od jednadbi ravnotee, uzajamnosti i konstitucije, ali se ukupna krutost sustava sastoji samo od statike krutosti tada je, takoer, promatrani sustav kinematiki labilan, to opet ima za posljedicu statiku nestabilnost. (3) Ako uz statiku krutost globalne jednadbe sadre i geometrijsku krutost, tada treba razdvojiti njihove matrice te zasebno provjeriti regularnost matrice statike krutosti. Regularna matrica statike krutosti znai kinematiki stabilan sustav i obratno, singularna matrica znai kinematiki labilan sustav. Kod kinematiki stabilnog sustava dogodilo se da je geometrijska krutost ponitila statiku krutost i proizvela statiku nestabilnost.

1. Uvod

38

1.8 Naprezanja i deformacije Kod statiki odreenih sklopova, sile veza i unutranje sile ne ovise o deformabilnim

svojstvima konstrukcija. Jednostavno, deformiranje jednog elementa ili njegovog dijela, zatim posredna optereenja, nemaju za posljedicu promjene sila veza i unutranjih sila.

Ovdje u deformabilna svojstva ulaze i sporedne dimenzije elementa. U posredna djelovanja ubrajamo: (1) jednolike i nejednolike temperature, (2) male pogreke izvedbe (kada se bitno ne mijenja geometrija konstrukcije), (3) pomaci u smjeru oslonaca (pomaci sklopa kao krutog tijela). Naravno da deformabilna svojstva i posredna optereenja znaajno utjeu na pomake statiki odreene konstrukcije.

Kod statiki neodreenih sklopova, sile veza i unutranje sile i naprezanja ovise o deformabilnim svojstvima konstrukcije. Stoga se i logika statikog funkcioniranja neodreenih i odreenih konstrukcija moe bitno razlikovati i kada su one po svojoj konstrukcijskoj vrsti vrlo sline.

1.8.1 Vrste naprezanja

Promatra se stvarno materijalno tijelo koje je, prema crteu 1.33, izloeno ravnotenom djelovanju vanjskih sila Fi. U proizvoljnom presjeku prikazanom na istom crteu, neka je ukupna unutranja sila na plohi povrine A jednaka U. Na svakom konanom dijelu plohe, kojeg se smatra ravninom s plotinom A, djeluje pripadna sila U. Tu silu rastavimo na dvije komponente: normalnu komponentu N koja se nalazi na normali postavljenoj u sreditu konane plohe i tangencijalnu ili posminu komponentu T koja se nalazi na tangenti na konanu plohu odreenoj ravninom normale i sile U.

Crte 1.33 Vrste naprezanja

Omjer sile na konanoj plohi i plotine plohe naziva se srednjim naprezanjem pa imamo ukupno, normalno i posmino srednje naprezanje dano kao

AT,

AN,

AU

srsrsr

rr

rr

rr === (1.7)

1. Uvod

39

U graninom sluaju kada ploha degenerira u toku, a njena plotina tei k nuli, srednja naprezanja prelaze u stvarna, te je

ATlimlim,

ANlimlim

AUlimlim

0Asr

0A0Asr

0A

0Asr

0A

rrr

rrr

rrr

====

== (1.8)

Ukratko, naprezanje definiramo kao granino stanje omjera sile na plohi i plotine plohe kada plotina plohe tei k nuli.

Prikaz naprezanja u troosnom stanju Potpuno stanje naprezanja u jednoj toki biti e poznato ako je poznato stanje naprezanja

u tri ortogonalna smjera. Tad je u troosnom stanju naprezanje u toki predstavljeno s devet komponenti, kao to je prikazano na crteu 1.34.

Crte 1.34

Komponente naprezanja

U vektorskom zapisu naprezanje ima oblik ( )zxyzxyzzyyxxT ,,,,, = (1.9) jer iz uvjeta ravnotee slijedi naelo simetrije po kome je zxxzyzzyxyyx ,, === (1.10)

U matrinom obliku naprezanje moemo zapisati kao

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

(1.11)

1.8.2 Vrste deformacija Svako stvarno materijalno tijelo sainjeno je iz isto tako stvarnog materijala. Iz mehanike

materijala je poznato da djelovanje sila na tijelo uvjetuje pojavu naprezanja u esticama materijala, a pojava naprezanja uvjetuje pomake estica i deformacije u materijalu. Iznimku predstavljaju temperaturna optereenja kod kojih je mogue naprezanje bez deformacija i obratno. To svojstvo materijala da trpei naprezanja doivljava deformiranje nazivamo deformabilnost. Iz svojstva deformabilnosti materijala u toki slijedi i deformabilnost konstrukcije iz koje je materijal nainjen. Promatrajmo kakve se vrste deformacija mogu pojaviti na jednom ravnom presjeku tijela prikazanom na crteu 1.35 koje je u ravnotei.

1. Uvod

40

Crte 1.35 Pomaci i deformacije

a) prije optereenja

b) poslije optereenja

1. Uvod

41

Neka je polje pomaka opisano funkcijama ( ) ( ) ( )y,xvy,xuy,xp rrr += (1.12)

Usporedbom poloaja karakteristinih toaka u ravnini, prije i poslije djelovanja sila na tijelo, dolazimo do zakljuka da su apsolutni pomaci tih toaka QQQPPPOOO vup,vup,vup

rrrrrrrrr +=+=+= (1.13) Relativne pomake izmeu toaka PO i QO moemo izraziti kao

( ) ( ) ( ) ( )OQOQQOOPOPPO vvuup,vvuup rrrrrrrrrr +=+= (1.14) Neka je udaljenost toaka xPO = . Ako pretpostavimo da je pomak pPO malen u

odnosu na polaznu duljinu, tada srednji relativni pomak u smjeru osi x iznosi

( )[ ] ( )

xxvvuux

p2

OP2

OPPOsr

++= (1.15) Ako se u prethodnom izrazu pod korijenom zanemare lanovi nieg reda, dakle

zadravamo se na inenjerskom pristupu, tada je

( )x

xu)xx(uxuup xxsrOPPOsr

+=== (1.16)

to je veliina srednje normalne deformacije, naravno u smjeru osi x. Stvarna normalna deformacija definira se kao granina vrijednost srednje normalne deformacije kada duljina x tei k nuli ( )

xu

x0u)x0(ulimlim

0xxxsr

0xxx

=+==

(1.17)

Analogno je u smjeru druge osi

( )yv

y0u)y0(vlimlim

0yyysr

0yyy

=+==

(1.18)

Srednja promjena pravoga kuta izmeu pravaca PO i PQ, uz zanemarenja kao u prethodnom sluaju, iznosi

( ) ( )

+++=y

0u)y0(ux

0v)x0(vxysr

(1.19) Stvarna promjena kuta predstavlja posminu deformaciju i jednaka je graninoj

vrijednosti promjene pravog kuta kada duljine stranica kuta tee k nuli

( ) ( )yu

xv

y0u)y0(u

x0v)x0(vlimlim

0y0x

sr

0y0x

xy

+=

+++==

(1.20)

Iz prethodne definicije slijedi xyyx = (1.21)

1. Uvod

42

Analogno naprezanjima, potpuno stanje deformacija poznato je u troosnom stanju a predstavljeno je s devet komponenti. U vektorskom zapisu, zbog simetrije, vektor deformacija ima oblik

( )zxyzxyzzyyxxT ,,,,, = (1.22) ije su pojedinane komponente

zw,

yv,

xu zzyyxx

===

zv

xw,

yw

zv,

xv

yu

zxyzxy

+=+=+= (1.23)

U matrinom obliku, deformacije u toki moemo prikazati kao

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

(1.24)

1.8.3 Uzajamnost deformacija i pomaka

Pod uzajamnou se podrazumijeva analitika veza izmeu deformacija i pomaka. Ta veza bitno ovisi o tretmanu veliina pomaka. Ako su veliine pomaka maloga reda u odnosu na osnovnu duljinu na kojoj je pomak registriran, tada je mogue definirati relativni pomak, srednji relativni pomak i deformaciju u odnosu na osnovnu duljinu. Uzajamnost deformacija i pomaka je tada linearna, a nastale deformacije u matematikom smislu su male deformacije. Uobiajeno ih nazivamo inenjerskim. Deformacije izvedene u prethodnom odjeljku inenjerske su vrste.

Kada se za baznu duljinu uzima onu u pomaknutom stanju tada se pomaci ne zanemaruju, premda i mogu biti veliine maloga reda. Nadalje, sukcesivno pratei pomicanje sustava postavlja se pitanje od kojeg stanja uope mjeriti pomake. U svim ovim kombinacijama nastaju nelinearne veze deformacija i pomaka. Tako susreemo: Greenove2, logaritamske, Lagrange3ove i Almansi4jeve deformacije. U matematikom nazivlju kaemo da se radi o velikim deformacijama. Valja primijetiti da veliki pomaci nuno za sobom ne povlae velike deformacije i obratno, jer su deformacije derivacije pomaka. Npr. jednaki pa makar i veliki pomaci u dijelu konstrukcije ne izazivaju nikakve deformacije. Obrnuto, mjesta plastifikacije u konstrukciji dovode do velikih deformacija iako pomaci mogu biti sasvim mali. Radi jednostavnosti ove su deformacije u nastavku definirane na pravocrtnom tapu. Njihovo poopenje na 3D prostor jednostavno je, a moe se vidjeti u lit. [1.C1].

2 George Green (1793.1841.) britanski matematiar i fiziar 3 Joseph-Louis Lagrange (1736.1813.) talijanski matematiar i astronom 4 Emilio Almansi (1869.1948.) talijanski fiziar i matematiar

1. Uvod

43

Uzdune deformacije na pravocrtnom tapu

Pregled vrsta deformacija izlae se na najjednostavnijem primjeru deformiranja a to je uzduno deformiranje pravocrtnog tapa. tap je konstantnog prizmatinog presjeka izloen jednolikom uzdunom naprezanju u svim njegovim dijelovima, kao to je prikazano na crteu 1.36. U ovom se sluaju srednja deformacija i deformacija u toki poistovjeuju.

Inenjerske ili uobiajene deformacije

Inenjersku ili uobiajenu deformaciju definiramo kao omjer produljenja i polazne duljine tapa. Analitiki je moemo zapisati u obliku

0

0nE l

ll = ili dxdu

E = (1.25) gdje je l0 polazna duljina tapa, odnosno duljina prije deformiranja, a ln novonastala duljina, odnosno duljina poslije deformiranja. Naprezanje izraeno inenjerskom deformacijom predstavlja uobiajeno ili inenjersko naprezanje, a jo se naziva prvo Piola5-Kirchhoffovo6 naprezanje.

Crte 1.36

tap izloen osnom naprezanju

Greenove deformacije

Inenjerska deformacija moe se prikazati i u obliku

( )( )

( ) ( )E2020

2n

0n0

0n0n

0

0nE

2lll

lllllll

lll

+=+

+== (1.26a)

Kako je E mala veliina, moe se pisati 2

0

20

2n

G l2ll = (1.26)

to je Greenova deformacija. Veza izmeu Greenove i inenjerske deformacije dana je kao

+= EEG 211 ili

+=

dxdu

211

dxdu

G (1.27) Naprezanje izraeno Greenovom deformacijom naziva se drugo Piola-Kirchhoffovo

naprezanje.

5 Gabrio Piola (1794.1850.) talijanski fiziar 6 Gustav Robert Kirchhoff (1824.1887.) njemaki fiziar

1. Uvod

44

Logaritamske deformacije

U sluaju velikih pomaka usvaja se deformacija koju nazivamo logaritamska deformacija, a zasnovana je na inkrementalnom obliku

ll = (1.28)

gdje je l novonastala duljina (trenutna konfiguracija). Pretpostavlja se da nema promjene volumena. Sada je

==

0

ne

l

lL l

llogn

0

(1.29)

ili

+=dxdu1logeL (1.30)

Veza izmeu logaritamske deformacije, inenjerske deformacije i Greenove deformacije dana je izrazom

( ) ( )GeEeL 21log211log +=+= (1.31)

Almansijeve deformacije

Deformacija u Lagrangeovoj obnovljivoj konfiguraciji moe se definirati kao

( )( )( ) ( )02n20

2n

0nn

0n0n

n

0nO

2lll

lllllll

lll

=+

+== (1.32)

Zanemarimo li lan 0 u nazivniku kao malu veliinu u odnosu na broj 2, dobivamo Almansijevu deformaciju

2n

20

2n

A l2ll = ili

=

dxdu

211

dxdu

A (1.33)

Veza izmeu Almansijeve i deformacije na obnovljivoj konfiguraciji glasi

= 00A 211 (1.34)

Naprezanja izraunata na temelju Almansijevih deformacija nazivaju se stvarnim ili Cauchyevim7 naprezanjima.

7 Augustin Louis Cauchy (1789.1857.) francuski matematiar

1. Uvod

45

Meusobna usporedba deformacija

Meusobna usporedba deformacija grafiki je prikazana na crteu 1.37. Veoma je vano uoiti da se kod malih deformacija sve deformacije praktino podudaraju. U velikom dijelu zadataka graevne statike biti e dovoljno uporabiti uobiajenu ili inenjersku deformaciju.

E -Inenjerska deformacija G -Greenova deformacija L -Logaritamska deformacija A -Almansijeva deformacija

Crte 1.37

Usporedba razliitih deformacija

1.8.4 Zakon materijala (veza naprezanja i deformacija)

Hookeov8 zakon

U sluaju da su usvojene inenjerske deformacije linearno elastinog, homogenog i izotropnog, tj. Hookeovog materijala, veza naprezanja i deformacija dana je relacijom D= (1.35) i naziva se poopeni Hookeov zakon. Matrica D u prethodnoj relaciji naziva se matrica svojstava materijala ili jo konstitutivna matrica.

Za sluaj trodimenzionalne zadae matrica je dana kao

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

2210221sim.00221000100010001

211

+=D (1.36)

pri emu je E Youngov9 modul elastinosti, a je Poissonov10 koeficijent. 8 Robert Hooke (1635.1703.) engleski fiziar, matematiar i izumitelj

1. Uvod

46

Ravninsko stanje deformacija, osnosimetrino i ravninsko stanje naprezanja

U sluaju ravninskog stanja deformacija (vidjeti crte 1.38b) i osnosimetrinog stanja (vidjeti crte 1.38c) trodimenzionalna formulacija zamjenjuje se dvodimenzionalnom uz uvrtenje 0yzxzyzxz ==== (1.37)

a) b) c)

Crte 1.38 Dvodimenzionalna stanja naprezanja: (a) ravninsko stanje naprezanja; b) ravninsko stanje deformacija; c) osnosimetrino stanje

Tada konstitutivni zakon (1.35) prima oblik

( )( )( )

( )( )

( )

+

+=

=xy

zz

yy

xx

xy

zz

yy

xx

21.sim010101

211E

(1.38)

U sluaju osne simetrije zz se uzima kao radijalno naprezanje gdje smjer z odgovara smjeru kuta . Za ravninsko stanje deformacija postavlja se zz=0.

U ravninskom stanju naprezanja (vidjeti crte 1.37a) imamo zz=0 pa se jednadba (1.40) reducira na oblik

( )

=

xy

y

x

2

xy

y

x

1.sim0101

1E

(1.39)

9 Thomas Young (1773.1829.) engleski fiziar, lijenik i astronom 10 Simon-Denis Poisson (1781.1840.) francuski matematiar i fiziar

1. Uvod

47

Rastavljena veza naprezanja i deformacija na volumenske i devijatorske komponente

Naprezanje i deformacije u toki moe se predoiti rastavljanjem na volumensku (srednju) i devijatorsku komponentu. Rastavljeni prikaz naprezanja ima oblik

( ) ( )

( )

+

=+=

srzzzyzx

yzsryyyx

xzxysrxx

sr

sr

sr

dsr

000000

I (1.40)

gdje je ( ) 1zzyyxxsr 3131 =++= srednje naprezanje, odnosno treina prve invarijante naprezanja. Rastavljeni prikaz deformacija ima oblik

( ) ( )

( )

+

=+=

srzzzyzx

yzsryyyx

xzxysrxx

sr

sr

sr

dsr00

0000

I (1.41)

gdje je ( ) 31

31

zzyyxxsr =++= srednja uzduna deformacija, odnosno treina prve invarijante deformacija ili treina volumenske dilatacije [1.B2].

Veza naprezanja i deformacija moe se uspostaviti zasebno za volumenske i zasebno za devijatorske komponente, te izlazi srsr V3 = (1.42) dd G2 = (1.43) gdje je V volumenski modul, a G= modul posmika s vrijednostima ( ) ( ) +== 12

EG213

EV , (1.44)

Lamova11 veza naprezanja i deformacija

Iz relacija (1.40), (1.41) i (1.43) izlazi ( ) G2G2 srsr += I (1.45) a iz (1.42) izlazi ( ) G2G2V3 sr += I (1.46)

Srednju deformaciju moemo prikazati pomou matematike operacije trag matrice (tr), to znai zbroj dijagonalnih lanova matrice, pa imamo

( ) tr31

sr = (1.47)

11 Gabriel Lam (1795.1870.) francuski matematiar

1. Uvod

48

Sada relaciju (1.46) moemo napisati u obliku

( ) ( ) 2trG2tr3

G2V3 ++

= II = (1.48) gdje su i Lamove konstante. U skalarnim oznakama prethodna relacija, veza naprezanja i deformacija, ima oblik ijkkijij 2 += (1.49) gdje je ij Kronecker12 delta.

Alternativno, prethodnu relaciju moe se napisati u obliku klijklij C = (1.50) gdje je Cijkl tenzor etvrtoga reda koji opisuje linearno elastino izotropno tijelo, a moe ga se prikazati kao ( ) klijjkiljlikijklC ++= (1.51) Veza naprezanja i deformacija kod nelinearnih materijala

Nelinearni zakon materijala openito gledano moe imati razliite oblike. Kod toga se pokazuje da je za isti materijal zakon ovisan o dimenzionalnosti zadae koju promatramo (meu ostalim vidjeti [1.M1]).

Na crteu 1.39 prikazan je zakon materijala pri jednoosnom stanju vlaka za uobiajene vrste graevinskih materijala.

U sluaju nelinearnih svojstava materijala konstitutivni zakon se mijenja za svaku promjenu naprezanja. Relaciju (1.35) moe se poopiti u oblik TD= (1.52) gdje je DT tangentna matrica svojstava materijala. Relaciju (1.52) je mogue interpretirati u inkrementalnom obliku dd TD= (1.53)

Nelinearni materijal takoer, ima za posljedicu nelinearne jednadbe stanja konstrukcije. Jedan od moguih i esto rabljenih naina rjeavanja zadae je uzastopna linearizacija koju se jo naziva i inkrementalni postupak. Vrijednosti matrice materijala tada se usvajaju na temelju relacije (1.53).

Potpunu sliku o nelinearnosti materijala mogue je dati tek na temelju zakona materijala pri ciklikom naprezanju. U tom sluaju se razlikuju dvije glavne skupine: (1) nelinearno elastini materijali i (2) nelinearno neelastini materijali. Nelinearno elastine materijale ine oni kod kojih je zakon pri smanjenju naprezanja po istoj krivulji kao i u porastu naprezanja. Uestaliji su nelinearno neelastini materijali kod kojih povrat naprezanja nije po istoj krivulji kao i porast naprezanja. Tipini predstavnici ovakvih materijala su elastoplastini materijali. ak i unutar njih sami zakoni ponaanja u podruju pune plastinosti mogu biti

12 Leopold Kronecker (1823.1891.) njemaki matematiar

1. Uvod

49

vrlo razliiti. Dvije krajnosti dranja materijala su: (1) asocijativna plastinost i (2) neasocijativna plastinost. Poblie o ovim pojmovima moe se vidjeti u literaturi [1. M1, N1].

Crte 1.39 Konstitutivni zakon za niz materijala u jednoosnom stanju naprezanja

1. Uvod

50

1.9 Jednadbe statike Odrediti statiki odgovor konstrukcije u najopenitijem sluaju znai rijeiti i statike

jednadbe koje opisuju odgovarajuu zadau. Jednadbe statike dijele se u etiri grupe: (1) jednadbe ravnotee, (2) jednadbe uzajamnosti, (3) jednadbe konstitucije i (4) geometrijske jednadbe.

Jednadbe ravnotee

Temelje se na uvjetima ravnotee. Formulacija im ovisi o kinematikoj stabilnosti i statikoj odreenosti sustava.

Kod svih statiki odreenih kinematiki stabilnih konstrukcija dovoljne su jednadbe globalne ravnotee na razini sustava krutih tijela. Jednadbe izraavaju ravnoteu aktivnih sila i sila veza.

Kod svih statiki neodreenih kinematiki stabilnih konstrukcija pojavljuju se na razini elementa (lokalno) i na razini sustava (globalno). Kad se pojavljuju na razini diferencijalnog elementa iskazuju vezu izmeu raspodijeljenog optereenja unutranjih sila i naprezanja. Pojavljuju se kao diferencijalne jednadbe. Broj jednadbi ovisi o dimenzionalnosti zadae. Kad se pojavljuju na razini sustava, jednadbe ravnotee iskazuju vezu izmeu vornih sila i optereenja. Pri tome je djelovanje optereenja svedeno na vorove. Pojavljuju se kao sustav obinih jednadbi. Broj jednadbi ovisi o veliini i diskretizaciji konstrukcije. U ovom sluaju nuno se uz jednadbe ravnotee ukljuuju jednadbe uzajamnosti i jednadbe konstitucije.

Kod svih kinematiki labilnih konstrukcija, uz jednadbe globalne ravnotee, ukljuuju se i geometrijske jednadbe. Alternativno je mogue ukljuiti i jednadbe lokalne ravnotee, jednadbe uzajamnosti i konstitucije.

Kod kontinuuma stalne geometrije, po prirodi stvari ukljuuju se jednadbe globalne i lokalne ravnotee, jednadbe uzajamnosti i konstitucije. Kod kontinuuma promjenjive geometrije jo se ukljuuju i geometrijske jednadbe.

Jednadbe uzajamnosti

Izraavaju odnos izmeu deformacija i pomaka, dakle geometrijskog su karaktera na razini diferencijalnog elementa. Detaljno su obrazloene u odjeljku 1.8.3.

Jednadbe konstitucije

Jo se nazivaju fizikalne jednadbe ili zakon materijala. Iskazuju vezu naprezanja i deformacija. Predstavljene su prethodno u odjeljku 1.8.4.

Geometrijske jednadbe

Izraavaju geometrijski poloaj odnosno oblik kinematiki labilnih konstrukcija.

1. Uvod

51

1.10 Naelo virtualnoga rada Naelo virtualnoga rada vrlo esto se rabi u analizi konstrukcija. Moe se primijeniti na

bilo koji dio konstrukcije, ali i na konstrukciju kao cjelinu. Jednako tako moe biti primijenjen na kruta kao i na deformabilna tijela. Naelo virtualnoga rada za kruta tijela prvi je formulirao John Bernoulli13 1717. godine.

Promatra se izdvojeni dio ili cijela konstrukcija koji se u nastavku naziva sustav. Neka se promatrani sustav nalazi u ravnotei. Neka je izloen optereenju silama F kojima ravnoteu dre reaktivne sile R na rubovima. Sustav za trenutak zamislimo kao deformabilan. Pretpostavimo postojanje prvog polja virtualnih pomaka p1=p1(u,v,w) gdje je svaki od pomaka u,v,w=u,v,w(x,y,z) takoer polje pomaka. Umjesto jedinstvenim funkcijama neka je polje virtualnih pomaka predstavljeno generaliziranim funkcijama tako da bude ( )up zyx11 ,,= (1.54) gdje su 1(x,y,z) generalizirane funkcije, dok je u vektor diskretnih pomaka.

Odabrani virtualni pomaci moraju biti geometrijski mogui. Preporuljivo je, ali ne i nuno da zadovoljavaju rubne uvjete.

Deformacije u prvom polju virtualnih pomaka moemo smatrati virtualnim deformacijama a predstavljati e ih opi izraz u obliku

uu 11 L == (1.55)

gdje je L linearni diferencijalni operator. Nad istom diskretizacijom moe se postaviti nove pomake. Oznaimo ih s p2=2(u,v,w)u. Pretpostavimo da su drugi pomaci traeno, dakle priblino, rjeenje promatrane zadae, tada su naprezanja odnosno unutranje sile u sustavu dane zakonom materijala uDDS 22 L == (1.56)

Naelo virtualnoga rada glasi: Ako je promatrani sustav u ravnotei tada rad vanjskih i unutranjih sila mora biti jednak na bilo kojim virtualnim pomacima.

Umjesto bilo kojih, postavimo prve virtualne pomake kao one na kojima primjenjujemo naelo virtualnog rada, pa imamo

uDuFuRu 2T1

TT1

TT1

T LL =+ (1.57) gdje je na lijevoj strani jednadbe rad vanjskih, a na desnoj strani rad unutranjih sila. Ako se jednadba skrati za uT, s lijeva ostaje

uDFR 2T1

T1

T1 LL =+ (1.58)

odnosno pp FKuR = (1.59)

13 Johann Bernoulli (1667.1748.) vicarski matematiar

1. Uvod

52

gdje su: Rp, Fp, K generalizirane reakcije, generalizirano optereenje i matrica statike krutosti promatranog sustava, slijedom. Gornja jednadba zapravo je jednadba ravnotee konstruirana naelom virtualnoga rada.

Vrijedi primijetiti da se isti pomaci mogu uporabiti za konstrukciju virtualnih pomaka i prikaz traenog rjeenja. Dapae, postupak se pojednostavnjuje pogotovo to matrica krutosti nuno postaje simetrina.

Kada je promatrani sustav kruto tijelo tada su deformacije jednake nuli kao i matrica krutosti. Inae, unutranje sile na krutom tijelu ne vre virtualni rad. Jednadba ravnotee (1.59) tada prima oblik

0FR =+ pp (1.60) a izraava ravnoteu pasivnih sila i aktivnih sila.

1.11 Naelo potencijalne energije Kljuni preduvjet za primjenu ovog naela je konzervativnost promatrane konstrukcije i

optereenja. U tom sluaju postoji totalna potencijalna energija kao funkcija generaliziranih pomaka p i sila. Generalizirane sile u takvom sustavu mogu se razdvojiti na vanjske F i unutranje S. Ukupna potencijalna energija u sustavu moe se prikazati po komponentama sila i iznosi ( ) ( )vNv2v1uNu2u1vuT E..EEE..EEEEE +++++=+= (1.61)

Izraz za potencijalnu energiju u okolini ravnotenog poloaja p moe se razviti u Taylorov14 red

( ) ( )

( ) ( ) 2v2v

v2

u2uu

2

T2TTT

E21EEE

21EE

..E21EEE

ppp

pp

ppp

pp

ppp

pppp

+++++=

+++=+ (1.62)

pri emu gradijent ukupne potencijalne energije predstavlja vektorski zbroj unutranjih i vanjskih generaliziranih sila

FSppp

+=+=

vuT EEE (1.63)

dok veliina

Kp

=2T2 E

(1.64)

predstavlja matricu krutosti. Relacija (1.63) utemeljena je prvim Castiglianovim15 teoremom iz 1879. godine. Teorem glasi: U svakoj konstrukciji iz linearnog ili nelinearno-elastinog

14 Brook Taylor (1685.1731.) engleski matematiar 15 Carlo Alberto Castigliano (1847.1884.) talijanski matematiar i fiziar

1. Uvod

53

materijala, prva parcijalna derivacija potencijalne energije na bilo kojem mjestu i u bilo kojom smjeru jednaka je komponenti sile na tom mjestu i u tom smjeru.

U sluaju da je promatrani poloaj ravnoteni, prva varijacija potencijalne energije jednaka je nuli pa relacija (1.63) daje 0FS =+ (1.65)

U stabilnom stanju ravnotee potencijalna energija ima minimum, to e biti ispunjeno ako je 0T >pKp (1.66)

Dakle uvjet statike stabilnosti je pozitivna definitnost matrice krutosti K. Matrica e biti pozitivno definitna ako su joj sve vlastite vrijednosti realne i pozitivne. Statiki to znai da su svi podsustavi promatranog sustava statiki stabilni.

Kao i naelo virtualnih pomaka, naelo potencijalne energije moe se primijeniti na itavu konstrukciju ili na njene izdvojene dijelove.

1.12 Naelo superpozicije Ovo naelo primjenljivo je u svim onim sluajevima odgovora konstrukcija u kojima su

jednadbe statike linearne. To podrazumijeva postojanje materijalne i geometrijske linearnosti te kinematike stabilnosti sustava. Naelo superpozicije ili naelo zbrajanja poznato je matematiko pravilo koje vrijedi u prostoru linearnog operatora L, gdje je ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ]ufufLufLufL 2121 +=+ (1.67)

Funkciju linearnog operatora u statici imaju jednadbe statike. Rezultat primjene operatora mogu biti rezne sile na konkretnom mjestu, njihovi dijagrami, konkretni pomaci ili njihovi dijagrami. Primjena naela u statici znai da se odgovor konstrukcije na djelovanje dva ili vie optereenja moe dobiti kao zbroj odgovora na pojedinana optereenja. Primjena superpozicije prikazana je na sluaju dijagrama momenata savijanja, vidi crte 1.40.

Crte 1.40 Superpozicija dijagrama momenata savijanja

Naelo superpozicije uvelike ubrzava postupak prorauna. Ono je ugraeno u hrvatske i europske propise i norme i temelj je za primjenu metoda suvremene kontrole nosivosti i dimenzioniranja kod prorauna konstrukcija.

1. Uvod

54

1.13 Naelo simetrije i antisimetrije Prije obrazloenja ovog naela, razlae se pojam simetrije i antisimetrije. Pojam simetrije

u ovom sluaju odnosi se na geometriju konstrukcije, geometriju optereenja i rubnih uvjeta. Osna simetrija ravninskih sustava te ravninska simetrija prostornih stanja predmet su simetrije i antisimetrije koja se ovdje promatra. Osna ravninska simetrija podrazumijeva da svakom djeliu sustava s jedne strane osi simetrije pripada isti takav, simetrino na os, postavljen djeli sustava. Ravninska simetrija prostornog sustava podrazumijeva da svakom djeliu sustava s jedne strane ravnine simetrije pripada isti takav, simetrino na ravninu, postavljen djeli sustava.

Kada je u pitanju geometrija sustava tada je uz punu simetriju mogua i posredna simetrija. Pod tim se podrazumijeva stanje blisko simetriji koje tek nain optereenja dovodi u stanje prave simetrije ili antisimetrije. Tipian primjer posredne simetrije je obina greda, koju samo vertikalno optereenje moe dovesti u stanje simetrije ili antisimetrije.

Kad ve postoji simetrija konstrukcije, optereenje na njoj moe biti: (1) simetrino, (2) antisimetrino, (3) nesimetrino, odnosno ope.

Korisnost svojstva simetrije konstrukcije pri djelovanju simetrinog ili antisimetrinog optereenja je u tome to je dovoljno statiki odgovor odrediti za jednu polovicu konstrukcije, a s time je naelom simetrije i antisimetrije poznat odgovor na drugoj polovici.

Korisnost naela simetrije i antisimetrije pri djelovanju opeg optereenja je u tome to se ono moe rastaviti na simetrini i antisimetrini dio, a zatim svaki za sebe postaviti na konstrukciju te odrediti statiki odgovor. Potom se superpozicijom moe doi do odgovora konstrukcije na ope optereenje. Ovaj put redovito je krai od izravnog puta traenja odgovora konstrukcije na ope optereenje. Posebna vanost naela simetrije i antisimetrije jo je u tome to pokazuje koja vrst odnosno komponenta optereenja daje nepovoljnije utjecaje. U ravnini se javlja jedna simetrina i jedna antisimetrina komponenta.

Rastavljanje opeg optereenja, idealiziranog jednom silom, na simetrinu i antisimetrinu komponentu prikazan je na crteu 1.41. Svaka komponenta sile rastavi se na dva dijela. Simetrino optereenje nastaje ako zadrimo polovicu optereenja te mu jo na simetrinoj poziciji postavimo simetrini par. Antisimetrino optereenje nastaje ako ponovo zadrimo polovicu optereenja te mu jo na simetrinoj poziciji postavimo antisimetrini par. Simetrinost druge polovice sustava moe se modelirati njegovim odbacivanjem