Graf funkcije 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Graf funkcije 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

▪ Nakon posebnih oblika kvadratne funkcije došao je red da naučimo nacrtati i graf opće kvadratne funkcije 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

▪ Danas ćemo naučiti još jedan način kako nacrtati graf određivanjem ključnih točaka

▪ Slijedite prezentaciju i korake postupka zapišite u bilježnicu

▪ Prvi primjer rješavam detaljno uz objašnjenja, drugi vas vodim te uz moju pomoć vi rješavate, a treći primjer ćete pokušati sami po naučenim koracima

Zapišimo zadatak:

1. Nacrtaj graf funkcije 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3

Kao što vidimo, riječ je o kvadratnoj funkciji kojoj su svi koeficijenti različiti od nule pa si odredimo i zapišimo koeficijente:

𝑎 = 1𝑏 = −4𝑐 = 3

Postupak crtanja grafa:

1.korak - Određivanje otvora parabole

Znamo već od ranije da otvor parabole ovisi o koeficijentu a.

Kako je u našem primjeru:𝑎 = 1

Znači, a >0 pa zaključujemo da će naša parabola imati otvor prema gore

Skicirajmo si:

2.korak - Određivanje tjemena parabole

Ponovimo formulu po kojoj smo rekli da ćemo određivati koordinate tjemena naše parabole:

𝑇 𝑥0, 𝑦0 = 𝑇 −𝑏

2𝑎,4𝑎𝑐 − 𝑏2

4𝑎

Izračunajmo sada koordinate tjemena naše parabole po navedenim formulama

𝑥0 = −𝑏

2𝑎= −

−4

2 ∙ 1= −

−4

2= 2

𝑦0 =4𝑎𝑐 − 𝑏2

4𝑎=4 ∙ 1 ∙ 3 − −4 2

4 ∙ 1=12 − 16

4=−4

4= −1

Znači, tjeme je točka: 𝑻 𝟐,−𝟏

3.korak - Određivanje nultočaka funkcije

Ponovimo od lani što su nultočke funkcije!

Nultočke funkcije su realni brojevi u kojima je vrijednost funkcije jednaka nuli. Znači: 𝒇 𝒙 = 𝟎

Na grafu naše funkcije, to će biti točke u kojima parabola siječe os x.

Izračunajmo sada nultočke naše funkcije. Kako je 𝑓 𝑥 = 0 pišemo:

𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3

𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0 i vidimo da odrediti nultočke znači riješiti pripadnu kvadratnu jednadžbu

𝑥1,2 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1,2 =4 ± −4 2 − 4 ∙ 1 ∙ 3

2 ∙ 1

𝑥1,2 =4 ± 16 − 12

2

𝑥1,2 =4 ± 4

2=4 ± 2

2

𝑥1 =4 + 2

2=6

2= 3

𝑥2 =4 − 2

2=2

2= 1

Znači, nultočke su: 𝟑 i 𝟏

4.korak - Određivanje sjecišta s y osi

Ponovimo od lani!

Znamo da sve točke na y osi imaju koordinatu x jednaku nuli pa ako izračunamo vrijednost funkcije u točki nula, dobit ćemo drugu koordinatu točke u kojoj parabola siječe y os.

Znači, moramo izračunati: 𝒇 𝟎 =?

𝒇 𝟎 = ?

𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3

𝑓 0 = 02 − 4 ∙ 0 + 3

𝑓 0 = 0 − 0 + 3

𝑓 0 = 3 uočavamo da će vrijednost funkcije u točki nula uvijek biti jednaka koeficijentu c

Znači, parabola siječe y os u točki: S 𝟎, 𝟑

5.korak - Određivanje osi simetrije

Već smo se uvjerili kako su parabole simetrične krivulje.

Zaključili smo da su simetrične s obzirom na pravac koji prolazi tjemenom parabole, a paralelan je s osi y.

Znači, ova parabola će biti simetrična s obzirom na pravac: 𝑥 = 2 jer je x koordinata tjemena jednaka 2.

6.korak - Crtanje grafa

Sada sve što smo izračunali i zaključili u prethodnim koracima prikažimo u koordinatnom sustavu.

1. korak

2. korak

3. korak

4. korak

5. korak

𝑻 𝟐,−𝟏

nultočke su: 𝟑 i 𝟏

S 𝟎, 𝟑

𝑥 = 2

Također, odredimo i prikažimo i točku S’ koja će biti simetrična točki S

6.korak - Crtanje grafa

I za kraj povežimo glatkom krivuljom točke koje smo ucrtali u koordinatni sustav.

Riješimo sada jedan zadatak zajedno:

2. Nacrtaj graf funkcije 𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 2𝑥 + 3

Za početak odredite koeficijente:

𝑎 =𝑏 =𝑐 =

Sada slijedite postupak i izračunajte potrebno:

𝑎 = ___________ pa će naša parabola imati otvor okrenut prema _______________

1.korak - Određivanje otvora parabole

2.korak - Određivanje tjemena parabole

𝑥0 = −𝑏

2𝑎=

𝑦0 =4𝑎𝑐 − 𝑏2

4𝑎=

3.korak - Određivanje nultočaka funkcije

−𝑥2 + 2𝑥 + 3 = 0

𝑥1,2 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

4.korak - Određivanje sjecišta s y osi

S 𝟎, 𝒄

S __, __

5.korak - Određivanje osi simetrije

𝑥 =

𝑥1,2 =

6.korak - Crtanje grafa

Provjerite svoja rješenja, trebali ste dobiti:

1. korak

2. korak

3. korak

4. korak

5. korak

𝑻 𝟏, 𝟒

nultočke su: 𝟑 i -𝟏

S 𝟎, 𝟑

𝑥 = 1

Za kraj jedan zadatak pokušajte samostalno riješiti:

3. Nacrtaj graf funkcije 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 6𝑥 + 5