二次函数 y=ax2+bx+c的图象与性质

抛物线 y ＝ a(x-h)2+k 的性质（ 1 ）对称轴是直线 x ＝ _________

（ 2 ）顶点坐标是 ___________ (3) 当 a>0 时，开口向上，在对称轴的

左侧 y 随 x 的增大而 _______ ；在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而 ________ 。

（ 4 ）当 a<0 时，开口向下，在对称轴的左侧 y 随 x 的增大而 _________; 在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而 ___________

h

(h 、 k)

减小增大

增大减小

指出下列抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标

（ 1 ） y=2(x+3)2+5

(2) y= － 3(x-1)2-2

(3) y= 4(x-3)2+7

(4) y=-5(x+2)2-6

如何简洁的画出 的图象呢 ?2162

1 2 xxy

我们知道 ,像 y=a(x-h)2+k这样的函数 ,

容易确定相应抛物线的顶点为 (h,k),二次函数 也能化成这样的形式吗 ?216

2

1 2 xxy

5 10

5

10

O x

y

x … 3 4 5 6 7 8 9 …

3)6(2

1 2 xy … 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 …

例 . 求次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标．

函数 y=ax²+bx+c的图象 一般地 , 对于二次函数 y=ax²+bx+c, 我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标 .

想一想

1. 配方 :

cbxaxy 2

a

cx

a

bxa 2

提取二次项系数

a

c

a

b

a

bx

a

bxa

222

22

配方 : 加上并减去一次项系数一半的平方

2

22

4

4

2 a

bac

a

bxa

整理 : 前三项化为平方形式 , 后两项合并同类项

.4

4

2

22

a

bac

a

bxa

化简 : 去掉中括号

老师提示 :这个结果通常称为求顶点坐标公式 .

.4

4

2

22

a

bac

a

bxay

。轴和顶点坐标，并画图

的对称求抛物线例2

53

2

11 2 xxy

解 :

)56(2

1 2 xxy

4)3(2

1 2 x

2)3(2

1 2 x

所以 ,顶点坐标是 (-3,2), 对称轴是 x= -3 ．

配方得：将2

53

2

1 2 xx

2)3(2

1 2 xy

2

1 1 2 3

x0-5 -4 -3 -2 -1

-4-3

-2-1

y

2

53

2

1 2 xxy

x … - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 … y … …

1.5 0 -2.52 -2.5 0 1.5

注意：列表时自变量取值要均匀和对称。

巩固练习1. 确定下列二次函数图形的开口方向、对称轴和顶点坐标：

xxy 2)1( 2 882)2( 2 xxy

342

1)3( 2 xxy

742)4(432)3(

106)2(5)1(

:

)(2

22

22

2

xxyxxy

xxyxxy

khxay

不画图），对称轴和顶点坐标（指出其图象的开口方向的形式，化成、用配方法把下列函数

解：

4

25)

2

5()1( 2 xy

19)3()2( 2 xy

8

41)

4

3(2)3( 2 xy

），顶点坐标：（对称轴：4

25

2

5,

2

5x

），顶点坐标：（对称轴： 193,3 x

），顶点坐标：（对称轴：8

41

4

3,

4

3x

），顶点坐标：（对称轴： 91,1 x9)1(2)4( 2 xy

742)4(432)3(

106)2(5)1(

:

)(2

22

22

2

xxyxxy

xxyxxy

khxay

不画图），对称轴和顶点坐标（指出其图象的开口方向的形式，化成、用配方法把下列函数

1. 二次函数 y=x2+2x-5 取最小值时 , 自变量 x的值是 .2. 已知抛物线 y=3x2-mx-2 的对称轴是 x=1,则 m= .3. 已知抛物线经过原点和第二、三、四象限 , 则 y=ax2+bx+c 中 ,a ,b c .4. 抛物线 y=2x2+bx+c 的顶点坐标是 (-1,-2),则 b= c= .5. 已知点 A(2,5), 点 B(4,5) 是抛物线y=4x2+bx+c 上的两点 , 则这条抛物线的对称轴是直线 .

x=-1

6

＜ 0 ＜ 0 =0

4 0

X=3

6. 已知 .(1) 写出抛物线的开口方向 , 顶点坐标 , 对称轴 , 最值 ;(2) 求抛物线与 x 轴 ,y 轴的交点坐标 ;(3) 作出函数的草图 ;(4) 观察图象 : x 为何值时 ,y 随 x 的增大而增大 ;x 为何值时 ,y 随 x 的增大而减小 ;(5) 观察图象 : 当 x 何值时 ,y ＞ 0; 当 x 何值时 ,y=0; 当 x 何值时 ,y ＜ 0.

122

1 2 xxy

范例

例 2 、如图，二次函数 的图象如图所示，则 ( )A. a>0 ， b>0 ， c>0B. a>0 ， b<0 ， c>0C. a<0 ， b>0 ， c>0D. a<0 ， b<0 ， c>0

cbxaxy 2

x

y

o

巩固

1. 如图，若 a<0 ， b>0 ， c>0 ，则二次函数 的图象大致是 ( )cbxaxy 2

x

y

oA

B

C

D

x

y

o

x

y

o xo

巩固2. 若函数 的顶点坐标是 (1 ， -2) ，则 b= ， c= 。

cbxxy 22

3. 已知二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象不经过第 象限。

cbxaxy 2

acbxy

x

y

o

小结抛物线 的对称轴及顶点坐标：

cbxaxy 2

(1) 对称轴：

(2) 顶点坐标：

直线 a

bx

2

)4

4,

2(

2

a

bac

a

b

( 公式法 )

1

1

1

0

思考题 :

时，抛物线经过原点。当时，抛物线开口向下；当时，图象为抛物线；当时，图象为直线；当

，已知

_____

_____

_____

_____

2)1(: 2

m

m

m

m

mxxmy