Embed Size (px)
Citation preview
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 114
MATEMATIKA DISKRIT
Beberap983137 Graf Sederhan983137
Subgraf da983150 Graf Gabunga983150
OLEH
Fitri Rezky Hamzani (13051032)
Nursyamsiah Tambunan (13051035)
Reni Amelia (13051043)
Sri Asmarani alimunthe (13051023)
Fatmaati (1305102)
Ferry Fernan$ (13051003)
$sen enampamu ata uliah Syahriani Sirait+ S+
FA-TAS -R-AN - NAN
NAN ATATA
-NRSTAS ASAHAN
201
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 214
ATA NANTAR
Asslamualaikum WrWb
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT karena berkat rahmat dan
hidayahnya makalah ini dapat diselesaikan dengan baik dan tepat waktu Dan dengan
tidak mengurangi rasa hormat kami kami ucapkan banyak terima kasih kepada Ibu
Dosen atematika Diskrit Ibu Syahriani Sirait SPd Pd yang telah memberikan
iin kepada kami untuk menyusun makalah ini
akalah ini di susun dalam rangka memenuhi tugas mata kuliah atematika
Diskrit sekaligus menjadi bahan reerensi bagi pembaca agar dapat memahami ateri
$ra khusus nya mengenai beberapa gra sederhana subgra dan gra gabungan
ami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari kata sempurna ampntuk itu
kami sangat mengharapkan adanya kritik dan saran dari semua pihak demi perbaikan
makalah ini pada masa mendatang Semoga makalah ini dapat bermanaat dan
menambah ilmu tidak hanya untuk penyusun tetapi juga untuk para pembaca
Wassalamualaikum WrWb
isaran ( aret )+
Penyusun
1
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 314
AFTAR S
ata Pengantar i
Datar Isi ii
A I P-DAamp0ampA
0atar elakang
1umusan asalah
2 Tujuan
A II P-AASA
eberapa $ra Sederhana husus Subgra 3
2 $ra $abungan 3
A III P-ampTampP )
2 esimpulan)
2 Saran444 )
DA5TA1 PampSTAA
2
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 414
Page
A
NAH--AN
11 atar elakanamp
Teori gra merupakan pokok bahasan yang banyak penerapannya pada masa kini
Pemakaian teori gra telah banyak dirasakan dalam berbagai ilmu antara lain optimisasi
jaringan ekonomi psikologi genetika riset operasi 6718 dan lain9lain akalah
pertama tentang teori gra ditulis pada tahun 32+ oleh seorang matematikawan Swiss
yang bernama 0eonard -uler Ia menggunakan teori gra untuk menyelesaikan masalah
jembatan oumlnigsberg 6sekarang bernama aliningrad8
$ra digunakan untuk mempresentasikan objek9objek diskrit dan hubungan antar objek9objek tersebut 1epresentasi isual dari gra adalah dengan menyatakan objek
yang dinyatakan sebagai noktah bulatan dan titik sedangkan hubungan antara objek
dinyatakan dengan garis
$ra memiliki beberapa jenis diantaranya yaitu gra sederhana dan gra tak
sederhana $ra sederhana yaitu gra yang tidak mengandung gelang maupun sisi9ganda
dan sebaliknya gra yang mengandung sisi ganda atau gelang dinamakan gra tak
sederhana Dalam makalah ini akan dibahas beberapa jenis gra sederhana khusus
subgra dan gra gabungan 6terhubung8
21 Rumusan asalah
agaimana bentuk beberapa jenis gra sederhana khusus
Apakah yang dimaksud dengan subgra
2 agaimana bentuk gra gabungan 6terhubung8
31 Tu6uan
Adapun tujuan dari pembuatan makalah ini adalah untuk
engetahui bentuk beberapa jenis gra sederhana khusus
engetahui deenisi dan bentuk dari subgra
2 engetahui deenisi dan bentuk gra gabungan 6terhubung8
A
AHASAN
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 514
Page
21 eberaa ra7 Seerhana husus
Ada beberapa gra sederhana khusus yang dijumpai pada banyak aplikasi eberapa
diantaranya diperkenalkan di bawah ini
a ra7 lenampka (8$mlete rah)
$ra lengkap ialah gra sederhana yang setiap simpulnya mempunyai sisi ke semua
simpul lainnya $ra lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan K n
Setiap simpul pada K n berderajat n lt
8$nt$h
-nam buah gra lengkap K
1 sampai K
6 diperagakan pada gambar dibawah
ini
$ambar $ra lengkap n le nle 6
=umlah sisi pada gra lengkap yang terdiri dari n buah simpul adalah n6n98gt 1umus
ini diperoleh sebagai berikut untuk buah simpul terdapat 6n98 buah sisi ke6n98
simpul lainnya maka untuk n buah simpul terdapat n6n98 buah sisi arena setiap sisiterhitung dua kali untuk pasangan simpul yang bersisian dengannya maka jumlah sisi
seluruhnya dibagi dua yaitu n6n98gt
b ra7 inampkaran
ra7 linampakaran adalah gra sederhana yang setiap simpulnya berderajat dua $ra
lingkaran dengan n simpul dilambangkan dengan n adalah n maka sisi9
K 1 K 2 K 3 K 4
K 5 K 6
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 614
(i)Derajat (ii)Derajat 1(iii)Derajat 2
Page
sisinya adalah 6 8 628 6n9 n8 dan 6n 8 Dengan kata lain ada sisi dari
simpul terakhir n ke simpul pertama
ontoh
$ambar dibawah adalah empat buah gra lingkaran Salah satu topologi jaringankomputer area lokal 60A8 adalah topologi cincin (ring topology) yang
direpresentasikan sebagai gra lingkaran
$ambar $ra 0ingkaran n 2lenle 6
9 ra7 Teratur (Regular Graphs)
$ra yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama disebut gra teratur
Apabila derajat setiap simpul adalah r maka gra tersebut disebut sebagai gra teratur
derajat r
ontoh
$ambar dibawah adalah gra teratur berderajat ) dan
$ambar 2 $ra teratur derajat )
atatlah bahwa gra lengkap n juga adalah gra teratur berderajat 6n98 Demikian
pula gra lingkaran n juga gra teratur berderajat udah dihitung bahwa jumlah
sisi pada gra teratur derajat r dengan n buah simpul adalah nrgt
ontoh
$ra 6i8 pada gambar adalah gra teratur berderajat 2 dengan ( buah simpul 6ii8 gra
teratur derajat 2 dengan + buah simpul dan 6iii8 adalah gra teratur derajat 2 dengan
buah simpul
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 714
Page
$ambar ( $ra teratur berderajat 2 masing9masing dengan ( + dan simpul
ontoh
erapa jumlah maksimum dan jumlah minimum simpul pada gra sederhana yang
mempunyai buah sisi dan setiap simpul berderajat sama yang ge 2
enyelesaian
Tiap simpul berderajat sama berarti gra teratur
=umlah sisi pada gra teratur berderajat r adalah e nrgt =adi n egtr 6868gtr
(gtr
ampntuk r 2 jumlah simpul yang dapat dibuat adalah maksimum yaitu n (gt2
ampntuk r yang lain 6r iquest 2 dan r merupakan pembagi bilangan bulat dari (8
r ( rarr n (gt( +
r + rarr n (gt+ ( rarr tidak mungkin membentuk gra sederhana
r rarr
n (gt 2rarr
tidak mungkin membentuk gra sederhana
r rarr n (gt rarr tidak mungkin membentuk gra sederhana
r ( rarr n (gt( rarr tidak mungkin membentuk gra sederhana
=adi jumlah simpul paling sedikit + buah dan paling banyak buah
ra7 iartit (iartite rah)
(i) 4 r 3 (ii) 6 r 3
(iii) $ r 3
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 814
Page
$ra $ yang himpunan simpulnya dapat dikelompokkan menjadi dua himpunan
bagian B dan B sedemikian sehingga setiap sisi di dalam $ menghubungkan sebuah
simpul di B ke sebuah simpul di B disebut gra bipartit dan dinyatakan sebagai
$6B B8 Dengan kata lain setiap pasang simpul di B 6demikian pula dengan
simpul9simpul di B8 tidak bertetangga Apabila setiap simpul di B bertetangga
dengan semua simpul di B maka $6B B8 disebut sebagi gra bipartit lengkap
6complete bipartite graph8 dilambangkan dengan m n =umlah sisi pada gra bipartit
lengkap adalah mn
$ambar C $ra bipartit $6BB8
$ra lengkap adalah gra bipartit tetapi gra lengkap 2 bukan gra bipartit ampntuk
menunjukkan 2 bukan gra bipartit bagilah simpul9simpulnya menjadi dua bagian
B dan B y+ang dalam hal ini B berisi satu buah simpul dan B mengandung dua
buah simpul Ternyata dua simpul di B terhubung oleh sebuah sisi al ini jelas tidak
sesuai dengan deinisi gra bipartit
ontoh
$ra $ pada gambar adalah gra bipartit karena simpul9simpulnya dapat dibagi
menjadi B a b d dan B c e f g dan setiap sisi menghubungkan
simpul di B ke simpul di B Dengan cara yang sama perlihatkan bahwa + adalah
gra bipartit
ontoh
$ra $ pada gambar adalah gra bipartit lengkap 2 22 (
1 2
K 23 K 33 K 24
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 914
Page
$ambar + $ra bipartit lengkap 2 22 dan (
ontoh persoalan yang dinyatakan sebagai gra bipartit adalah persoalan utilitas
misalkan ada tiga buah rumah 6gambar 6a88 2 masing9masing rumah
dihubungkan dengan tiga buah utilitas lt air 6W8 gas 6$8 dan listrik 6-8 lt dengan alat
pengantar berupa pipa kabel dsb $ra pada gambar a adalah gra bipartit lengkap
22
ontoh gra bipartit yang lain adalah topologi bintang 6star topology8 pada jaringan
komputer 0A 6$ambar 6b88 Disini B berisi sebuah simpul di pusat sedangkan
B berisi simpul9simpul sisanya atatlah bahwa gra topologi bintang dengan n
simpul 6n terminal komputer8 adalah gra n
$ambar 3 6a8 $ra persoalan utilitas dan 6b8 topologi bintang keduanya adalah
gra bipartit 6unir+ ))C)
22 ra7 abunampan (Terhubunamp)
=ika setiap pasang simpul didalam gra terhubung maka gra tersebut dikatakan
gra gabungan 6terhubung8 Secara ormal deinisi gra terhubung adalah sebagai berikut
e7enisi
$ra tak9berarah $ disebut ampra7 terhubunamp jika untuk setiap pasang simpul u dan didalam
himpunan V terdapat lintasan dari u ke 6yang juga harus berarti ada lintasan dari u ke 8
=ika tidak maka $ disebut gra tak9terhubung
H1 H2 H3
amp E
(a) ()
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1014
Page
ontoh
$ambar gra berikut merupakan contoh gra terhubung
Sedangkan gra dibawah ini merupakan gra tak9terhubung
Sebagai catatan gra yang hanya terdiri atas satu simpul saja 6tidak ada sisi8 tetap
dikatakn terhubung karena simpul tunggalnya terhubung dengan dirinya sendiri
23 Subampra7
e7inisi
isalkan $ 6B -8 adalah sebuah gra $ 6B - 8 adalah subgra dari $ jika B B dan
- -
$ambar 6b8 adalah subgra dari gra pada gambar 6a8
Defenisi
K+-e+e ari 0gra 1 teraa gra aa-a gra 2 (2E2)
ee+iia eigga E2 EE1 a 2 aa-a i+0a i+0- ag
aggta aggta E2 eriia egaa7
a+ar 17$ (8) aa-a +-e+e ari 0gra aa ga+ar 17$()
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1114
Page
$ambar 6a8 gra $ 6b8 sebuah subgra dari $ dan
6c8 komplemen dari subgra yang bersesuaian
isalkan G1 6V 1 E 18 merupakan subgra dari gra G 6V E 8 =ika V 1 V 6yaitu
G1 memuat semua simpul dari G8 maka G1 dinamakan Spanning Subgraph 6Subgra
merentang8
6a8 6b8 6c8
$ambar 6a8 gra $ Sketsa 6b8 merupaan Spanning Subgraph dari $ sedangkan
6c8 bukan Spanning Subgraph dari $ 6hanya komplemen dari subgra 6b88
=ika gra tidak terhubung maka gra tersebut terdiri atas beberapa komponen
terhubung 6connected componen8 omponen terhubung 6atau disingkat EkomponenF saja 8
adalah subgra terhubung dari gra $ yang tidak terdapat di dalam subgra terhubung dari $
yang lebih besar Ini berarti setiap komponen terhubung didalam gra $ saling lepas
6disjoint8 Pada gambar 3 dibawah ini gra $ mempunyai 2 buah komponen terhubung
yaitu $$ dan $ 2 atatlah bahwa gra terhubung hanya terdiri dari satu komponen yaitu
gra itu sendiri
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1214
Page
9 3
a+ar 171 gra ag +e+0ai 3 0a +e ait0 1 2 a
3
(Munir 25)
ontoh
Tanpa menggambar granya tentukan komponen terhubung dari $ 6B-8 yang dalam hal ini
B GabcdeH dan - G6ad86cd8H
Penyelesaian
Simpul a bertetangga dengan d sedangkan simpul d bertetangga dengan c ini berarti a juga
terhubung dengan c simpul9simpul lainnyabe dan merupakan simpul terpencil Dengan
demikian ada ( buah komponen terhubung di dalam $ yaitu
$ 6B -8 dengan B GacdH dan - G6ad86cd8H
$ 6B -8 dengan B GbH dan - GH
$2 6B2 -28 dengan B2 GeH dan -2 GH
$( 6B( -(8 dengan B( GH dan -( GH
Dan Bcup
B B 2 B ( B - - - 2 - ( - $ B BB2B( empty
A
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1314
Page
N-T-
31 esimulan
o eeraa jei gra eeraa 00 ait0
1 ra -ega (Complete Graph)2 ra -igara3 ra terat0r (Regular Graphs)4 ra iartit
o $ra tak9berarah $ disebut gra terhubung jika untuk setiap pasang simpul u dan
didalam himpunan V terdapat lintasan dari u ke 6yang juga harus berarti ada lintasan
dari u ke 8
o isalkan $ 6B -8 adalah sebuah gra $ 6B - 8 adalah subgra dari $ jika B
B dan - -o K+-e+e ari 0gra 1 teraa gra aa-a gra 2 (2E2)
ee+iia eigga E2 EE1 a 2 aa-a i+0a i+0- ag
aggta aggta E2 eriia egaa7
32 Saran
Dalam mempelajari teori gra khususnya mengenai jenis9jenis gra sederhana
subgra maupun gra gabungan 6terhubung8 pembaca harus memiliki lebih dari dua
reerensi karena disetiap reerensi representasi mengenai gra disajikan dengan kata9
kata gtpenyebutan yang berbeda
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1414
Page
AFTAR -STAA
unir 1inaldi ))C Matematika Diskrit 1eisi elima andung Inormatika
httpgtgtrikiJkosasihstagunadarmaacidgtDownloadsgtilesgt23C3)gtabKK9
KDasarKTeoriK$raK60anjutan8pd 6diunduh pada tanggal C aret )+8
httpsgtgtyohananugraheniileswordpresscomgt))gtgtteori9gra9completeppt 6diunduh
pada tanggal C aret )+8
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 214
ATA NANTAR
Asslamualaikum WrWb
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT karena berkat rahmat dan
hidayahnya makalah ini dapat diselesaikan dengan baik dan tepat waktu Dan dengan
tidak mengurangi rasa hormat kami kami ucapkan banyak terima kasih kepada Ibu
Dosen atematika Diskrit Ibu Syahriani Sirait SPd Pd yang telah memberikan
iin kepada kami untuk menyusun makalah ini
akalah ini di susun dalam rangka memenuhi tugas mata kuliah atematika
Diskrit sekaligus menjadi bahan reerensi bagi pembaca agar dapat memahami ateri
$ra khusus nya mengenai beberapa gra sederhana subgra dan gra gabungan
ami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari kata sempurna ampntuk itu
kami sangat mengharapkan adanya kritik dan saran dari semua pihak demi perbaikan
makalah ini pada masa mendatang Semoga makalah ini dapat bermanaat dan
menambah ilmu tidak hanya untuk penyusun tetapi juga untuk para pembaca
Wassalamualaikum WrWb
isaran ( aret )+
Penyusun
1
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 314
AFTAR S
ata Pengantar i
Datar Isi ii
A I P-DAamp0ampA
0atar elakang
1umusan asalah
2 Tujuan
A II P-AASA
eberapa $ra Sederhana husus Subgra 3
2 $ra $abungan 3
A III P-ampTampP )
2 esimpulan)
2 Saran444 )
DA5TA1 PampSTAA
2
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 414
Page
A
NAH--AN
11 atar elakanamp
Teori gra merupakan pokok bahasan yang banyak penerapannya pada masa kini
Pemakaian teori gra telah banyak dirasakan dalam berbagai ilmu antara lain optimisasi
jaringan ekonomi psikologi genetika riset operasi 6718 dan lain9lain akalah
pertama tentang teori gra ditulis pada tahun 32+ oleh seorang matematikawan Swiss
yang bernama 0eonard -uler Ia menggunakan teori gra untuk menyelesaikan masalah
jembatan oumlnigsberg 6sekarang bernama aliningrad8
$ra digunakan untuk mempresentasikan objek9objek diskrit dan hubungan antar objek9objek tersebut 1epresentasi isual dari gra adalah dengan menyatakan objek
yang dinyatakan sebagai noktah bulatan dan titik sedangkan hubungan antara objek
dinyatakan dengan garis
$ra memiliki beberapa jenis diantaranya yaitu gra sederhana dan gra tak
sederhana $ra sederhana yaitu gra yang tidak mengandung gelang maupun sisi9ganda
dan sebaliknya gra yang mengandung sisi ganda atau gelang dinamakan gra tak
sederhana Dalam makalah ini akan dibahas beberapa jenis gra sederhana khusus
subgra dan gra gabungan 6terhubung8
21 Rumusan asalah
agaimana bentuk beberapa jenis gra sederhana khusus
Apakah yang dimaksud dengan subgra
2 agaimana bentuk gra gabungan 6terhubung8
31 Tu6uan
Adapun tujuan dari pembuatan makalah ini adalah untuk
engetahui bentuk beberapa jenis gra sederhana khusus
engetahui deenisi dan bentuk dari subgra
2 engetahui deenisi dan bentuk gra gabungan 6terhubung8
A
AHASAN
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 514
Page
21 eberaa ra7 Seerhana husus
Ada beberapa gra sederhana khusus yang dijumpai pada banyak aplikasi eberapa
diantaranya diperkenalkan di bawah ini
a ra7 lenampka (8$mlete rah)
$ra lengkap ialah gra sederhana yang setiap simpulnya mempunyai sisi ke semua
simpul lainnya $ra lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan K n
Setiap simpul pada K n berderajat n lt
8$nt$h
-nam buah gra lengkap K
1 sampai K
6 diperagakan pada gambar dibawah
ini
$ambar $ra lengkap n le nle 6
=umlah sisi pada gra lengkap yang terdiri dari n buah simpul adalah n6n98gt 1umus
ini diperoleh sebagai berikut untuk buah simpul terdapat 6n98 buah sisi ke6n98
simpul lainnya maka untuk n buah simpul terdapat n6n98 buah sisi arena setiap sisiterhitung dua kali untuk pasangan simpul yang bersisian dengannya maka jumlah sisi
seluruhnya dibagi dua yaitu n6n98gt
b ra7 inampkaran
ra7 linampakaran adalah gra sederhana yang setiap simpulnya berderajat dua $ra
lingkaran dengan n simpul dilambangkan dengan n adalah n maka sisi9
K 1 K 2 K 3 K 4
K 5 K 6
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 614
(i)Derajat (ii)Derajat 1(iii)Derajat 2
Page
sisinya adalah 6 8 628 6n9 n8 dan 6n 8 Dengan kata lain ada sisi dari
simpul terakhir n ke simpul pertama
ontoh
$ambar dibawah adalah empat buah gra lingkaran Salah satu topologi jaringankomputer area lokal 60A8 adalah topologi cincin (ring topology) yang
direpresentasikan sebagai gra lingkaran
$ambar $ra 0ingkaran n 2lenle 6
9 ra7 Teratur (Regular Graphs)
$ra yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama disebut gra teratur
Apabila derajat setiap simpul adalah r maka gra tersebut disebut sebagai gra teratur
derajat r
ontoh
$ambar dibawah adalah gra teratur berderajat ) dan
$ambar 2 $ra teratur derajat )
atatlah bahwa gra lengkap n juga adalah gra teratur berderajat 6n98 Demikian
pula gra lingkaran n juga gra teratur berderajat udah dihitung bahwa jumlah
sisi pada gra teratur derajat r dengan n buah simpul adalah nrgt
ontoh
$ra 6i8 pada gambar adalah gra teratur berderajat 2 dengan ( buah simpul 6ii8 gra
teratur derajat 2 dengan + buah simpul dan 6iii8 adalah gra teratur derajat 2 dengan
buah simpul
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 714
Page
$ambar ( $ra teratur berderajat 2 masing9masing dengan ( + dan simpul
ontoh
erapa jumlah maksimum dan jumlah minimum simpul pada gra sederhana yang
mempunyai buah sisi dan setiap simpul berderajat sama yang ge 2
enyelesaian
Tiap simpul berderajat sama berarti gra teratur
=umlah sisi pada gra teratur berderajat r adalah e nrgt =adi n egtr 6868gtr
(gtr
ampntuk r 2 jumlah simpul yang dapat dibuat adalah maksimum yaitu n (gt2
ampntuk r yang lain 6r iquest 2 dan r merupakan pembagi bilangan bulat dari (8
r ( rarr n (gt( +
r + rarr n (gt+ ( rarr tidak mungkin membentuk gra sederhana
r rarr
n (gt 2rarr
tidak mungkin membentuk gra sederhana
r rarr n (gt rarr tidak mungkin membentuk gra sederhana
r ( rarr n (gt( rarr tidak mungkin membentuk gra sederhana
=adi jumlah simpul paling sedikit + buah dan paling banyak buah
ra7 iartit (iartite rah)
(i) 4 r 3 (ii) 6 r 3
(iii) $ r 3
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 814
Page
$ra $ yang himpunan simpulnya dapat dikelompokkan menjadi dua himpunan
bagian B dan B sedemikian sehingga setiap sisi di dalam $ menghubungkan sebuah
simpul di B ke sebuah simpul di B disebut gra bipartit dan dinyatakan sebagai
$6B B8 Dengan kata lain setiap pasang simpul di B 6demikian pula dengan
simpul9simpul di B8 tidak bertetangga Apabila setiap simpul di B bertetangga
dengan semua simpul di B maka $6B B8 disebut sebagi gra bipartit lengkap
6complete bipartite graph8 dilambangkan dengan m n =umlah sisi pada gra bipartit
lengkap adalah mn
$ambar C $ra bipartit $6BB8
$ra lengkap adalah gra bipartit tetapi gra lengkap 2 bukan gra bipartit ampntuk
menunjukkan 2 bukan gra bipartit bagilah simpul9simpulnya menjadi dua bagian
B dan B y+ang dalam hal ini B berisi satu buah simpul dan B mengandung dua
buah simpul Ternyata dua simpul di B terhubung oleh sebuah sisi al ini jelas tidak
sesuai dengan deinisi gra bipartit
ontoh
$ra $ pada gambar adalah gra bipartit karena simpul9simpulnya dapat dibagi
menjadi B a b d dan B c e f g dan setiap sisi menghubungkan
simpul di B ke simpul di B Dengan cara yang sama perlihatkan bahwa + adalah
gra bipartit
ontoh
$ra $ pada gambar adalah gra bipartit lengkap 2 22 (
1 2
K 23 K 33 K 24
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 914
Page
$ambar + $ra bipartit lengkap 2 22 dan (
ontoh persoalan yang dinyatakan sebagai gra bipartit adalah persoalan utilitas
misalkan ada tiga buah rumah 6gambar 6a88 2 masing9masing rumah
dihubungkan dengan tiga buah utilitas lt air 6W8 gas 6$8 dan listrik 6-8 lt dengan alat
pengantar berupa pipa kabel dsb $ra pada gambar a adalah gra bipartit lengkap
22
ontoh gra bipartit yang lain adalah topologi bintang 6star topology8 pada jaringan
komputer 0A 6$ambar 6b88 Disini B berisi sebuah simpul di pusat sedangkan
B berisi simpul9simpul sisanya atatlah bahwa gra topologi bintang dengan n
simpul 6n terminal komputer8 adalah gra n
$ambar 3 6a8 $ra persoalan utilitas dan 6b8 topologi bintang keduanya adalah
gra bipartit 6unir+ ))C)
22 ra7 abunampan (Terhubunamp)
=ika setiap pasang simpul didalam gra terhubung maka gra tersebut dikatakan
gra gabungan 6terhubung8 Secara ormal deinisi gra terhubung adalah sebagai berikut
e7enisi
$ra tak9berarah $ disebut ampra7 terhubunamp jika untuk setiap pasang simpul u dan didalam
himpunan V terdapat lintasan dari u ke 6yang juga harus berarti ada lintasan dari u ke 8
=ika tidak maka $ disebut gra tak9terhubung
H1 H2 H3
amp E
(a) ()
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1014
Page
ontoh
$ambar gra berikut merupakan contoh gra terhubung
Sedangkan gra dibawah ini merupakan gra tak9terhubung
Sebagai catatan gra yang hanya terdiri atas satu simpul saja 6tidak ada sisi8 tetap
dikatakn terhubung karena simpul tunggalnya terhubung dengan dirinya sendiri
23 Subampra7
e7inisi
isalkan $ 6B -8 adalah sebuah gra $ 6B - 8 adalah subgra dari $ jika B B dan
- -
$ambar 6b8 adalah subgra dari gra pada gambar 6a8
Defenisi
K+-e+e ari 0gra 1 teraa gra aa-a gra 2 (2E2)
ee+iia eigga E2 EE1 a 2 aa-a i+0a i+0- ag
aggta aggta E2 eriia egaa7
a+ar 17$ (8) aa-a +-e+e ari 0gra aa ga+ar 17$()
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1114
Page
$ambar 6a8 gra $ 6b8 sebuah subgra dari $ dan
6c8 komplemen dari subgra yang bersesuaian
isalkan G1 6V 1 E 18 merupakan subgra dari gra G 6V E 8 =ika V 1 V 6yaitu
G1 memuat semua simpul dari G8 maka G1 dinamakan Spanning Subgraph 6Subgra
merentang8
6a8 6b8 6c8
$ambar 6a8 gra $ Sketsa 6b8 merupaan Spanning Subgraph dari $ sedangkan
6c8 bukan Spanning Subgraph dari $ 6hanya komplemen dari subgra 6b88
=ika gra tidak terhubung maka gra tersebut terdiri atas beberapa komponen
terhubung 6connected componen8 omponen terhubung 6atau disingkat EkomponenF saja 8
adalah subgra terhubung dari gra $ yang tidak terdapat di dalam subgra terhubung dari $
yang lebih besar Ini berarti setiap komponen terhubung didalam gra $ saling lepas
6disjoint8 Pada gambar 3 dibawah ini gra $ mempunyai 2 buah komponen terhubung
yaitu $$ dan $ 2 atatlah bahwa gra terhubung hanya terdiri dari satu komponen yaitu
gra itu sendiri
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1214
Page
9 3
a+ar 171 gra ag +e+0ai 3 0a +e ait0 1 2 a
3
(Munir 25)
ontoh
Tanpa menggambar granya tentukan komponen terhubung dari $ 6B-8 yang dalam hal ini
B GabcdeH dan - G6ad86cd8H
Penyelesaian
Simpul a bertetangga dengan d sedangkan simpul d bertetangga dengan c ini berarti a juga
terhubung dengan c simpul9simpul lainnyabe dan merupakan simpul terpencil Dengan
demikian ada ( buah komponen terhubung di dalam $ yaitu
$ 6B -8 dengan B GacdH dan - G6ad86cd8H
$ 6B -8 dengan B GbH dan - GH
$2 6B2 -28 dengan B2 GeH dan -2 GH
$( 6B( -(8 dengan B( GH dan -( GH
Dan Bcup
B B 2 B ( B - - - 2 - ( - $ B BB2B( empty
A
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1314
Page
N-T-
31 esimulan
o eeraa jei gra eeraa 00 ait0
1 ra -ega (Complete Graph)2 ra -igara3 ra terat0r (Regular Graphs)4 ra iartit
o $ra tak9berarah $ disebut gra terhubung jika untuk setiap pasang simpul u dan
didalam himpunan V terdapat lintasan dari u ke 6yang juga harus berarti ada lintasan
dari u ke 8
o isalkan $ 6B -8 adalah sebuah gra $ 6B - 8 adalah subgra dari $ jika B
B dan - -o K+-e+e ari 0gra 1 teraa gra aa-a gra 2 (2E2)
ee+iia eigga E2 EE1 a 2 aa-a i+0a i+0- ag
aggta aggta E2 eriia egaa7
32 Saran
Dalam mempelajari teori gra khususnya mengenai jenis9jenis gra sederhana
subgra maupun gra gabungan 6terhubung8 pembaca harus memiliki lebih dari dua
reerensi karena disetiap reerensi representasi mengenai gra disajikan dengan kata9
kata gtpenyebutan yang berbeda
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1414
Page
AFTAR -STAA
unir 1inaldi ))C Matematika Diskrit 1eisi elima andung Inormatika
httpgtgtrikiJkosasihstagunadarmaacidgtDownloadsgtilesgt23C3)gtabKK9
KDasarKTeoriK$raK60anjutan8pd 6diunduh pada tanggal C aret )+8
httpsgtgtyohananugraheniileswordpresscomgt))gtgtteori9gra9completeppt 6diunduh
pada tanggal C aret )+8
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 314
AFTAR S
ata Pengantar i
Datar Isi ii
A I P-DAamp0ampA
0atar elakang
1umusan asalah
2 Tujuan
A II P-AASA
eberapa $ra Sederhana husus Subgra 3
2 $ra $abungan 3
A III P-ampTampP )
2 esimpulan)
2 Saran444 )
DA5TA1 PampSTAA
2
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 414
Page
A
NAH--AN
11 atar elakanamp
Teori gra merupakan pokok bahasan yang banyak penerapannya pada masa kini
Pemakaian teori gra telah banyak dirasakan dalam berbagai ilmu antara lain optimisasi
jaringan ekonomi psikologi genetika riset operasi 6718 dan lain9lain akalah
pertama tentang teori gra ditulis pada tahun 32+ oleh seorang matematikawan Swiss
yang bernama 0eonard -uler Ia menggunakan teori gra untuk menyelesaikan masalah
jembatan oumlnigsberg 6sekarang bernama aliningrad8
$ra digunakan untuk mempresentasikan objek9objek diskrit dan hubungan antar objek9objek tersebut 1epresentasi isual dari gra adalah dengan menyatakan objek
yang dinyatakan sebagai noktah bulatan dan titik sedangkan hubungan antara objek
dinyatakan dengan garis
$ra memiliki beberapa jenis diantaranya yaitu gra sederhana dan gra tak
sederhana $ra sederhana yaitu gra yang tidak mengandung gelang maupun sisi9ganda
dan sebaliknya gra yang mengandung sisi ganda atau gelang dinamakan gra tak
sederhana Dalam makalah ini akan dibahas beberapa jenis gra sederhana khusus
subgra dan gra gabungan 6terhubung8
21 Rumusan asalah
agaimana bentuk beberapa jenis gra sederhana khusus
Apakah yang dimaksud dengan subgra
2 agaimana bentuk gra gabungan 6terhubung8
31 Tu6uan
Adapun tujuan dari pembuatan makalah ini adalah untuk
engetahui bentuk beberapa jenis gra sederhana khusus
engetahui deenisi dan bentuk dari subgra
2 engetahui deenisi dan bentuk gra gabungan 6terhubung8
A
AHASAN
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 514
Page
21 eberaa ra7 Seerhana husus
Ada beberapa gra sederhana khusus yang dijumpai pada banyak aplikasi eberapa
diantaranya diperkenalkan di bawah ini
a ra7 lenampka (8$mlete rah)
$ra lengkap ialah gra sederhana yang setiap simpulnya mempunyai sisi ke semua
simpul lainnya $ra lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan K n
Setiap simpul pada K n berderajat n lt
8$nt$h
-nam buah gra lengkap K
1 sampai K
6 diperagakan pada gambar dibawah
ini
$ambar $ra lengkap n le nle 6
=umlah sisi pada gra lengkap yang terdiri dari n buah simpul adalah n6n98gt 1umus
ini diperoleh sebagai berikut untuk buah simpul terdapat 6n98 buah sisi ke6n98
simpul lainnya maka untuk n buah simpul terdapat n6n98 buah sisi arena setiap sisiterhitung dua kali untuk pasangan simpul yang bersisian dengannya maka jumlah sisi
seluruhnya dibagi dua yaitu n6n98gt
b ra7 inampkaran
ra7 linampakaran adalah gra sederhana yang setiap simpulnya berderajat dua $ra
lingkaran dengan n simpul dilambangkan dengan n adalah n maka sisi9
K 1 K 2 K 3 K 4
K 5 K 6
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 614
(i)Derajat (ii)Derajat 1(iii)Derajat 2
Page
sisinya adalah 6 8 628 6n9 n8 dan 6n 8 Dengan kata lain ada sisi dari
simpul terakhir n ke simpul pertama
ontoh
$ambar dibawah adalah empat buah gra lingkaran Salah satu topologi jaringankomputer area lokal 60A8 adalah topologi cincin (ring topology) yang
direpresentasikan sebagai gra lingkaran
$ambar $ra 0ingkaran n 2lenle 6
9 ra7 Teratur (Regular Graphs)
$ra yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama disebut gra teratur
Apabila derajat setiap simpul adalah r maka gra tersebut disebut sebagai gra teratur
derajat r
ontoh
$ambar dibawah adalah gra teratur berderajat ) dan
$ambar 2 $ra teratur derajat )
atatlah bahwa gra lengkap n juga adalah gra teratur berderajat 6n98 Demikian
pula gra lingkaran n juga gra teratur berderajat udah dihitung bahwa jumlah
sisi pada gra teratur derajat r dengan n buah simpul adalah nrgt
ontoh
$ra 6i8 pada gambar adalah gra teratur berderajat 2 dengan ( buah simpul 6ii8 gra
teratur derajat 2 dengan + buah simpul dan 6iii8 adalah gra teratur derajat 2 dengan
buah simpul
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 714
Page
$ambar ( $ra teratur berderajat 2 masing9masing dengan ( + dan simpul
ontoh
erapa jumlah maksimum dan jumlah minimum simpul pada gra sederhana yang
mempunyai buah sisi dan setiap simpul berderajat sama yang ge 2
enyelesaian
Tiap simpul berderajat sama berarti gra teratur
=umlah sisi pada gra teratur berderajat r adalah e nrgt =adi n egtr 6868gtr
(gtr
ampntuk r 2 jumlah simpul yang dapat dibuat adalah maksimum yaitu n (gt2
ampntuk r yang lain 6r iquest 2 dan r merupakan pembagi bilangan bulat dari (8
r ( rarr n (gt( +
r + rarr n (gt+ ( rarr tidak mungkin membentuk gra sederhana
r rarr
n (gt 2rarr
tidak mungkin membentuk gra sederhana
r rarr n (gt rarr tidak mungkin membentuk gra sederhana
r ( rarr n (gt( rarr tidak mungkin membentuk gra sederhana
=adi jumlah simpul paling sedikit + buah dan paling banyak buah
ra7 iartit (iartite rah)
(i) 4 r 3 (ii) 6 r 3
(iii) $ r 3
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 814
Page
$ra $ yang himpunan simpulnya dapat dikelompokkan menjadi dua himpunan
bagian B dan B sedemikian sehingga setiap sisi di dalam $ menghubungkan sebuah
simpul di B ke sebuah simpul di B disebut gra bipartit dan dinyatakan sebagai
$6B B8 Dengan kata lain setiap pasang simpul di B 6demikian pula dengan
simpul9simpul di B8 tidak bertetangga Apabila setiap simpul di B bertetangga
dengan semua simpul di B maka $6B B8 disebut sebagi gra bipartit lengkap
6complete bipartite graph8 dilambangkan dengan m n =umlah sisi pada gra bipartit
lengkap adalah mn
$ambar C $ra bipartit $6BB8
$ra lengkap adalah gra bipartit tetapi gra lengkap 2 bukan gra bipartit ampntuk
menunjukkan 2 bukan gra bipartit bagilah simpul9simpulnya menjadi dua bagian
B dan B y+ang dalam hal ini B berisi satu buah simpul dan B mengandung dua
buah simpul Ternyata dua simpul di B terhubung oleh sebuah sisi al ini jelas tidak
sesuai dengan deinisi gra bipartit
ontoh
$ra $ pada gambar adalah gra bipartit karena simpul9simpulnya dapat dibagi
menjadi B a b d dan B c e f g dan setiap sisi menghubungkan
simpul di B ke simpul di B Dengan cara yang sama perlihatkan bahwa + adalah
gra bipartit
ontoh
$ra $ pada gambar adalah gra bipartit lengkap 2 22 (
1 2
K 23 K 33 K 24
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 914
Page
$ambar + $ra bipartit lengkap 2 22 dan (
ontoh persoalan yang dinyatakan sebagai gra bipartit adalah persoalan utilitas
misalkan ada tiga buah rumah 6gambar 6a88 2 masing9masing rumah
dihubungkan dengan tiga buah utilitas lt air 6W8 gas 6$8 dan listrik 6-8 lt dengan alat
pengantar berupa pipa kabel dsb $ra pada gambar a adalah gra bipartit lengkap
22
ontoh gra bipartit yang lain adalah topologi bintang 6star topology8 pada jaringan
komputer 0A 6$ambar 6b88 Disini B berisi sebuah simpul di pusat sedangkan
B berisi simpul9simpul sisanya atatlah bahwa gra topologi bintang dengan n
simpul 6n terminal komputer8 adalah gra n
$ambar 3 6a8 $ra persoalan utilitas dan 6b8 topologi bintang keduanya adalah
gra bipartit 6unir+ ))C)
22 ra7 abunampan (Terhubunamp)
=ika setiap pasang simpul didalam gra terhubung maka gra tersebut dikatakan
gra gabungan 6terhubung8 Secara ormal deinisi gra terhubung adalah sebagai berikut
e7enisi
$ra tak9berarah $ disebut ampra7 terhubunamp jika untuk setiap pasang simpul u dan didalam
himpunan V terdapat lintasan dari u ke 6yang juga harus berarti ada lintasan dari u ke 8
=ika tidak maka $ disebut gra tak9terhubung
H1 H2 H3
amp E
(a) ()
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1014
Page
ontoh
$ambar gra berikut merupakan contoh gra terhubung
Sedangkan gra dibawah ini merupakan gra tak9terhubung
Sebagai catatan gra yang hanya terdiri atas satu simpul saja 6tidak ada sisi8 tetap
dikatakn terhubung karena simpul tunggalnya terhubung dengan dirinya sendiri
23 Subampra7
e7inisi
isalkan $ 6B -8 adalah sebuah gra $ 6B - 8 adalah subgra dari $ jika B B dan
- -
$ambar 6b8 adalah subgra dari gra pada gambar 6a8
Defenisi
K+-e+e ari 0gra 1 teraa gra aa-a gra 2 (2E2)
ee+iia eigga E2 EE1 a 2 aa-a i+0a i+0- ag
aggta aggta E2 eriia egaa7
a+ar 17$ (8) aa-a +-e+e ari 0gra aa ga+ar 17$()
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1114
Page
$ambar 6a8 gra $ 6b8 sebuah subgra dari $ dan
6c8 komplemen dari subgra yang bersesuaian
isalkan G1 6V 1 E 18 merupakan subgra dari gra G 6V E 8 =ika V 1 V 6yaitu
G1 memuat semua simpul dari G8 maka G1 dinamakan Spanning Subgraph 6Subgra
merentang8
6a8 6b8 6c8
$ambar 6a8 gra $ Sketsa 6b8 merupaan Spanning Subgraph dari $ sedangkan
6c8 bukan Spanning Subgraph dari $ 6hanya komplemen dari subgra 6b88
=ika gra tidak terhubung maka gra tersebut terdiri atas beberapa komponen
terhubung 6connected componen8 omponen terhubung 6atau disingkat EkomponenF saja 8
adalah subgra terhubung dari gra $ yang tidak terdapat di dalam subgra terhubung dari $
yang lebih besar Ini berarti setiap komponen terhubung didalam gra $ saling lepas
6disjoint8 Pada gambar 3 dibawah ini gra $ mempunyai 2 buah komponen terhubung
yaitu $$ dan $ 2 atatlah bahwa gra terhubung hanya terdiri dari satu komponen yaitu
gra itu sendiri
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1214
Page
9 3
a+ar 171 gra ag +e+0ai 3 0a +e ait0 1 2 a
3
(Munir 25)
ontoh
Tanpa menggambar granya tentukan komponen terhubung dari $ 6B-8 yang dalam hal ini
B GabcdeH dan - G6ad86cd8H
Penyelesaian
Simpul a bertetangga dengan d sedangkan simpul d bertetangga dengan c ini berarti a juga
terhubung dengan c simpul9simpul lainnyabe dan merupakan simpul terpencil Dengan
demikian ada ( buah komponen terhubung di dalam $ yaitu
$ 6B -8 dengan B GacdH dan - G6ad86cd8H
$ 6B -8 dengan B GbH dan - GH
$2 6B2 -28 dengan B2 GeH dan -2 GH
$( 6B( -(8 dengan B( GH dan -( GH
Dan Bcup
B B 2 B ( B - - - 2 - ( - $ B BB2B( empty
A
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1314
Page
N-T-
31 esimulan
o eeraa jei gra eeraa 00 ait0
1 ra -ega (Complete Graph)2 ra -igara3 ra terat0r (Regular Graphs)4 ra iartit
o $ra tak9berarah $ disebut gra terhubung jika untuk setiap pasang simpul u dan
didalam himpunan V terdapat lintasan dari u ke 6yang juga harus berarti ada lintasan
dari u ke 8
o isalkan $ 6B -8 adalah sebuah gra $ 6B - 8 adalah subgra dari $ jika B
B dan - -o K+-e+e ari 0gra 1 teraa gra aa-a gra 2 (2E2)
ee+iia eigga E2 EE1 a 2 aa-a i+0a i+0- ag
aggta aggta E2 eriia egaa7
32 Saran
Dalam mempelajari teori gra khususnya mengenai jenis9jenis gra sederhana
subgra maupun gra gabungan 6terhubung8 pembaca harus memiliki lebih dari dua
reerensi karena disetiap reerensi representasi mengenai gra disajikan dengan kata9
kata gtpenyebutan yang berbeda
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1414
Page
AFTAR -STAA
unir 1inaldi ))C Matematika Diskrit 1eisi elima andung Inormatika
httpgtgtrikiJkosasihstagunadarmaacidgtDownloadsgtilesgt23C3)gtabKK9
KDasarKTeoriK$raK60anjutan8pd 6diunduh pada tanggal C aret )+8
httpsgtgtyohananugraheniileswordpresscomgt))gtgtteori9gra9completeppt 6diunduh
pada tanggal C aret )+8
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 414
Page
A
NAH--AN
11 atar elakanamp
Teori gra merupakan pokok bahasan yang banyak penerapannya pada masa kini
Pemakaian teori gra telah banyak dirasakan dalam berbagai ilmu antara lain optimisasi
jaringan ekonomi psikologi genetika riset operasi 6718 dan lain9lain akalah
pertama tentang teori gra ditulis pada tahun 32+ oleh seorang matematikawan Swiss
yang bernama 0eonard -uler Ia menggunakan teori gra untuk menyelesaikan masalah
jembatan oumlnigsberg 6sekarang bernama aliningrad8
$ra digunakan untuk mempresentasikan objek9objek diskrit dan hubungan antar objek9objek tersebut 1epresentasi isual dari gra adalah dengan menyatakan objek
yang dinyatakan sebagai noktah bulatan dan titik sedangkan hubungan antara objek
dinyatakan dengan garis
$ra memiliki beberapa jenis diantaranya yaitu gra sederhana dan gra tak
sederhana $ra sederhana yaitu gra yang tidak mengandung gelang maupun sisi9ganda
dan sebaliknya gra yang mengandung sisi ganda atau gelang dinamakan gra tak
sederhana Dalam makalah ini akan dibahas beberapa jenis gra sederhana khusus
subgra dan gra gabungan 6terhubung8
21 Rumusan asalah
agaimana bentuk beberapa jenis gra sederhana khusus
Apakah yang dimaksud dengan subgra
2 agaimana bentuk gra gabungan 6terhubung8
31 Tu6uan
Adapun tujuan dari pembuatan makalah ini adalah untuk
engetahui bentuk beberapa jenis gra sederhana khusus
engetahui deenisi dan bentuk dari subgra
2 engetahui deenisi dan bentuk gra gabungan 6terhubung8
A
AHASAN
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 514
Page
21 eberaa ra7 Seerhana husus
Ada beberapa gra sederhana khusus yang dijumpai pada banyak aplikasi eberapa
diantaranya diperkenalkan di bawah ini
a ra7 lenampka (8$mlete rah)
$ra lengkap ialah gra sederhana yang setiap simpulnya mempunyai sisi ke semua
simpul lainnya $ra lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan K n
Setiap simpul pada K n berderajat n lt
8$nt$h
-nam buah gra lengkap K
1 sampai K
6 diperagakan pada gambar dibawah
ini
$ambar $ra lengkap n le nle 6
=umlah sisi pada gra lengkap yang terdiri dari n buah simpul adalah n6n98gt 1umus
ini diperoleh sebagai berikut untuk buah simpul terdapat 6n98 buah sisi ke6n98
simpul lainnya maka untuk n buah simpul terdapat n6n98 buah sisi arena setiap sisiterhitung dua kali untuk pasangan simpul yang bersisian dengannya maka jumlah sisi
seluruhnya dibagi dua yaitu n6n98gt
b ra7 inampkaran
ra7 linampakaran adalah gra sederhana yang setiap simpulnya berderajat dua $ra
lingkaran dengan n simpul dilambangkan dengan n adalah n maka sisi9
K 1 K 2 K 3 K 4
K 5 K 6
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 614
(i)Derajat (ii)Derajat 1(iii)Derajat 2
Page
sisinya adalah 6 8 628 6n9 n8 dan 6n 8 Dengan kata lain ada sisi dari
simpul terakhir n ke simpul pertama
ontoh
$ambar dibawah adalah empat buah gra lingkaran Salah satu topologi jaringankomputer area lokal 60A8 adalah topologi cincin (ring topology) yang
direpresentasikan sebagai gra lingkaran
$ambar $ra 0ingkaran n 2lenle 6
9 ra7 Teratur (Regular Graphs)
$ra yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama disebut gra teratur
Apabila derajat setiap simpul adalah r maka gra tersebut disebut sebagai gra teratur
derajat r
ontoh
$ambar dibawah adalah gra teratur berderajat ) dan
$ambar 2 $ra teratur derajat )
atatlah bahwa gra lengkap n juga adalah gra teratur berderajat 6n98 Demikian
pula gra lingkaran n juga gra teratur berderajat udah dihitung bahwa jumlah
sisi pada gra teratur derajat r dengan n buah simpul adalah nrgt
ontoh
$ra 6i8 pada gambar adalah gra teratur berderajat 2 dengan ( buah simpul 6ii8 gra
teratur derajat 2 dengan + buah simpul dan 6iii8 adalah gra teratur derajat 2 dengan
buah simpul
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 714
Page
$ambar ( $ra teratur berderajat 2 masing9masing dengan ( + dan simpul
ontoh
erapa jumlah maksimum dan jumlah minimum simpul pada gra sederhana yang
mempunyai buah sisi dan setiap simpul berderajat sama yang ge 2
enyelesaian
Tiap simpul berderajat sama berarti gra teratur
=umlah sisi pada gra teratur berderajat r adalah e nrgt =adi n egtr 6868gtr
(gtr
ampntuk r 2 jumlah simpul yang dapat dibuat adalah maksimum yaitu n (gt2
ampntuk r yang lain 6r iquest 2 dan r merupakan pembagi bilangan bulat dari (8
r ( rarr n (gt( +
r + rarr n (gt+ ( rarr tidak mungkin membentuk gra sederhana
r rarr
n (gt 2rarr
tidak mungkin membentuk gra sederhana
r rarr n (gt rarr tidak mungkin membentuk gra sederhana
r ( rarr n (gt( rarr tidak mungkin membentuk gra sederhana
=adi jumlah simpul paling sedikit + buah dan paling banyak buah
ra7 iartit (iartite rah)
(i) 4 r 3 (ii) 6 r 3
(iii) $ r 3
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 814
Page
$ra $ yang himpunan simpulnya dapat dikelompokkan menjadi dua himpunan
bagian B dan B sedemikian sehingga setiap sisi di dalam $ menghubungkan sebuah
simpul di B ke sebuah simpul di B disebut gra bipartit dan dinyatakan sebagai
$6B B8 Dengan kata lain setiap pasang simpul di B 6demikian pula dengan
simpul9simpul di B8 tidak bertetangga Apabila setiap simpul di B bertetangga
dengan semua simpul di B maka $6B B8 disebut sebagi gra bipartit lengkap
6complete bipartite graph8 dilambangkan dengan m n =umlah sisi pada gra bipartit
lengkap adalah mn
$ambar C $ra bipartit $6BB8
$ra lengkap adalah gra bipartit tetapi gra lengkap 2 bukan gra bipartit ampntuk
menunjukkan 2 bukan gra bipartit bagilah simpul9simpulnya menjadi dua bagian
B dan B y+ang dalam hal ini B berisi satu buah simpul dan B mengandung dua
buah simpul Ternyata dua simpul di B terhubung oleh sebuah sisi al ini jelas tidak
sesuai dengan deinisi gra bipartit
ontoh
$ra $ pada gambar adalah gra bipartit karena simpul9simpulnya dapat dibagi
menjadi B a b d dan B c e f g dan setiap sisi menghubungkan
simpul di B ke simpul di B Dengan cara yang sama perlihatkan bahwa + adalah
gra bipartit
ontoh
$ra $ pada gambar adalah gra bipartit lengkap 2 22 (
1 2
K 23 K 33 K 24
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 914
Page
$ambar + $ra bipartit lengkap 2 22 dan (
ontoh persoalan yang dinyatakan sebagai gra bipartit adalah persoalan utilitas
misalkan ada tiga buah rumah 6gambar 6a88 2 masing9masing rumah
dihubungkan dengan tiga buah utilitas lt air 6W8 gas 6$8 dan listrik 6-8 lt dengan alat
pengantar berupa pipa kabel dsb $ra pada gambar a adalah gra bipartit lengkap
22
ontoh gra bipartit yang lain adalah topologi bintang 6star topology8 pada jaringan
komputer 0A 6$ambar 6b88 Disini B berisi sebuah simpul di pusat sedangkan
B berisi simpul9simpul sisanya atatlah bahwa gra topologi bintang dengan n
simpul 6n terminal komputer8 adalah gra n
$ambar 3 6a8 $ra persoalan utilitas dan 6b8 topologi bintang keduanya adalah
gra bipartit 6unir+ ))C)
22 ra7 abunampan (Terhubunamp)
=ika setiap pasang simpul didalam gra terhubung maka gra tersebut dikatakan
gra gabungan 6terhubung8 Secara ormal deinisi gra terhubung adalah sebagai berikut
e7enisi
$ra tak9berarah $ disebut ampra7 terhubunamp jika untuk setiap pasang simpul u dan didalam
himpunan V terdapat lintasan dari u ke 6yang juga harus berarti ada lintasan dari u ke 8
=ika tidak maka $ disebut gra tak9terhubung
H1 H2 H3
amp E
(a) ()
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1014
Page
ontoh
$ambar gra berikut merupakan contoh gra terhubung
Sedangkan gra dibawah ini merupakan gra tak9terhubung
Sebagai catatan gra yang hanya terdiri atas satu simpul saja 6tidak ada sisi8 tetap
dikatakn terhubung karena simpul tunggalnya terhubung dengan dirinya sendiri
23 Subampra7
e7inisi
isalkan $ 6B -8 adalah sebuah gra $ 6B - 8 adalah subgra dari $ jika B B dan
- -
$ambar 6b8 adalah subgra dari gra pada gambar 6a8
Defenisi
K+-e+e ari 0gra 1 teraa gra aa-a gra 2 (2E2)
ee+iia eigga E2 EE1 a 2 aa-a i+0a i+0- ag
aggta aggta E2 eriia egaa7
a+ar 17$ (8) aa-a +-e+e ari 0gra aa ga+ar 17$()
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1114
Page
$ambar 6a8 gra $ 6b8 sebuah subgra dari $ dan
6c8 komplemen dari subgra yang bersesuaian
isalkan G1 6V 1 E 18 merupakan subgra dari gra G 6V E 8 =ika V 1 V 6yaitu
G1 memuat semua simpul dari G8 maka G1 dinamakan Spanning Subgraph 6Subgra
merentang8
6a8 6b8 6c8
$ambar 6a8 gra $ Sketsa 6b8 merupaan Spanning Subgraph dari $ sedangkan
6c8 bukan Spanning Subgraph dari $ 6hanya komplemen dari subgra 6b88
=ika gra tidak terhubung maka gra tersebut terdiri atas beberapa komponen
terhubung 6connected componen8 omponen terhubung 6atau disingkat EkomponenF saja 8
adalah subgra terhubung dari gra $ yang tidak terdapat di dalam subgra terhubung dari $
yang lebih besar Ini berarti setiap komponen terhubung didalam gra $ saling lepas
6disjoint8 Pada gambar 3 dibawah ini gra $ mempunyai 2 buah komponen terhubung
yaitu $$ dan $ 2 atatlah bahwa gra terhubung hanya terdiri dari satu komponen yaitu
gra itu sendiri
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1214
Page
9 3
a+ar 171 gra ag +e+0ai 3 0a +e ait0 1 2 a
3
(Munir 25)
ontoh
Tanpa menggambar granya tentukan komponen terhubung dari $ 6B-8 yang dalam hal ini
B GabcdeH dan - G6ad86cd8H
Penyelesaian
Simpul a bertetangga dengan d sedangkan simpul d bertetangga dengan c ini berarti a juga
terhubung dengan c simpul9simpul lainnyabe dan merupakan simpul terpencil Dengan
demikian ada ( buah komponen terhubung di dalam $ yaitu
$ 6B -8 dengan B GacdH dan - G6ad86cd8H
$ 6B -8 dengan B GbH dan - GH
$2 6B2 -28 dengan B2 GeH dan -2 GH
$( 6B( -(8 dengan B( GH dan -( GH
Dan Bcup
B B 2 B ( B - - - 2 - ( - $ B BB2B( empty
A
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1314
Page
N-T-
31 esimulan
o eeraa jei gra eeraa 00 ait0
1 ra -ega (Complete Graph)2 ra -igara3 ra terat0r (Regular Graphs)4 ra iartit
o $ra tak9berarah $ disebut gra terhubung jika untuk setiap pasang simpul u dan
didalam himpunan V terdapat lintasan dari u ke 6yang juga harus berarti ada lintasan
dari u ke 8
o isalkan $ 6B -8 adalah sebuah gra $ 6B - 8 adalah subgra dari $ jika B
B dan - -o K+-e+e ari 0gra 1 teraa gra aa-a gra 2 (2E2)
ee+iia eigga E2 EE1 a 2 aa-a i+0a i+0- ag
aggta aggta E2 eriia egaa7
32 Saran
Dalam mempelajari teori gra khususnya mengenai jenis9jenis gra sederhana
subgra maupun gra gabungan 6terhubung8 pembaca harus memiliki lebih dari dua
reerensi karena disetiap reerensi representasi mengenai gra disajikan dengan kata9
kata gtpenyebutan yang berbeda
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1414
Page
AFTAR -STAA
unir 1inaldi ))C Matematika Diskrit 1eisi elima andung Inormatika
httpgtgtrikiJkosasihstagunadarmaacidgtDownloadsgtilesgt23C3)gtabKK9
KDasarKTeoriK$raK60anjutan8pd 6diunduh pada tanggal C aret )+8
httpsgtgtyohananugraheniileswordpresscomgt))gtgtteori9gra9completeppt 6diunduh
pada tanggal C aret )+8
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 514
Page
21 eberaa ra7 Seerhana husus
Ada beberapa gra sederhana khusus yang dijumpai pada banyak aplikasi eberapa
diantaranya diperkenalkan di bawah ini
a ra7 lenampka (8$mlete rah)
$ra lengkap ialah gra sederhana yang setiap simpulnya mempunyai sisi ke semua
simpul lainnya $ra lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan K n
Setiap simpul pada K n berderajat n lt
8$nt$h
-nam buah gra lengkap K
1 sampai K
6 diperagakan pada gambar dibawah
ini
$ambar $ra lengkap n le nle 6
=umlah sisi pada gra lengkap yang terdiri dari n buah simpul adalah n6n98gt 1umus
ini diperoleh sebagai berikut untuk buah simpul terdapat 6n98 buah sisi ke6n98
simpul lainnya maka untuk n buah simpul terdapat n6n98 buah sisi arena setiap sisiterhitung dua kali untuk pasangan simpul yang bersisian dengannya maka jumlah sisi
seluruhnya dibagi dua yaitu n6n98gt
b ra7 inampkaran
ra7 linampakaran adalah gra sederhana yang setiap simpulnya berderajat dua $ra
lingkaran dengan n simpul dilambangkan dengan n adalah n maka sisi9
K 1 K 2 K 3 K 4
K 5 K 6
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 614
(i)Derajat (ii)Derajat 1(iii)Derajat 2
Page
sisinya adalah 6 8 628 6n9 n8 dan 6n 8 Dengan kata lain ada sisi dari
simpul terakhir n ke simpul pertama
ontoh
$ambar dibawah adalah empat buah gra lingkaran Salah satu topologi jaringankomputer area lokal 60A8 adalah topologi cincin (ring topology) yang
direpresentasikan sebagai gra lingkaran
$ambar $ra 0ingkaran n 2lenle 6
9 ra7 Teratur (Regular Graphs)
$ra yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama disebut gra teratur
Apabila derajat setiap simpul adalah r maka gra tersebut disebut sebagai gra teratur
derajat r
ontoh
$ambar dibawah adalah gra teratur berderajat ) dan
$ambar 2 $ra teratur derajat )
atatlah bahwa gra lengkap n juga adalah gra teratur berderajat 6n98 Demikian
pula gra lingkaran n juga gra teratur berderajat udah dihitung bahwa jumlah
sisi pada gra teratur derajat r dengan n buah simpul adalah nrgt
ontoh
$ra 6i8 pada gambar adalah gra teratur berderajat 2 dengan ( buah simpul 6ii8 gra
teratur derajat 2 dengan + buah simpul dan 6iii8 adalah gra teratur derajat 2 dengan
buah simpul
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 714
Page
$ambar ( $ra teratur berderajat 2 masing9masing dengan ( + dan simpul
ontoh
erapa jumlah maksimum dan jumlah minimum simpul pada gra sederhana yang
mempunyai buah sisi dan setiap simpul berderajat sama yang ge 2
enyelesaian
Tiap simpul berderajat sama berarti gra teratur
=umlah sisi pada gra teratur berderajat r adalah e nrgt =adi n egtr 6868gtr
(gtr
ampntuk r 2 jumlah simpul yang dapat dibuat adalah maksimum yaitu n (gt2
ampntuk r yang lain 6r iquest 2 dan r merupakan pembagi bilangan bulat dari (8
r ( rarr n (gt( +
r + rarr n (gt+ ( rarr tidak mungkin membentuk gra sederhana
r rarr
n (gt 2rarr
tidak mungkin membentuk gra sederhana
r rarr n (gt rarr tidak mungkin membentuk gra sederhana
r ( rarr n (gt( rarr tidak mungkin membentuk gra sederhana
=adi jumlah simpul paling sedikit + buah dan paling banyak buah
ra7 iartit (iartite rah)
(i) 4 r 3 (ii) 6 r 3
(iii) $ r 3
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 814
Page
$ra $ yang himpunan simpulnya dapat dikelompokkan menjadi dua himpunan
bagian B dan B sedemikian sehingga setiap sisi di dalam $ menghubungkan sebuah
simpul di B ke sebuah simpul di B disebut gra bipartit dan dinyatakan sebagai
$6B B8 Dengan kata lain setiap pasang simpul di B 6demikian pula dengan
simpul9simpul di B8 tidak bertetangga Apabila setiap simpul di B bertetangga
dengan semua simpul di B maka $6B B8 disebut sebagi gra bipartit lengkap
6complete bipartite graph8 dilambangkan dengan m n =umlah sisi pada gra bipartit
lengkap adalah mn
$ambar C $ra bipartit $6BB8
$ra lengkap adalah gra bipartit tetapi gra lengkap 2 bukan gra bipartit ampntuk
menunjukkan 2 bukan gra bipartit bagilah simpul9simpulnya menjadi dua bagian
B dan B y+ang dalam hal ini B berisi satu buah simpul dan B mengandung dua
buah simpul Ternyata dua simpul di B terhubung oleh sebuah sisi al ini jelas tidak
sesuai dengan deinisi gra bipartit
ontoh
$ra $ pada gambar adalah gra bipartit karena simpul9simpulnya dapat dibagi
menjadi B a b d dan B c e f g dan setiap sisi menghubungkan
simpul di B ke simpul di B Dengan cara yang sama perlihatkan bahwa + adalah
gra bipartit
ontoh
$ra $ pada gambar adalah gra bipartit lengkap 2 22 (
1 2
K 23 K 33 K 24
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 914
Page
$ambar + $ra bipartit lengkap 2 22 dan (
ontoh persoalan yang dinyatakan sebagai gra bipartit adalah persoalan utilitas
misalkan ada tiga buah rumah 6gambar 6a88 2 masing9masing rumah
dihubungkan dengan tiga buah utilitas lt air 6W8 gas 6$8 dan listrik 6-8 lt dengan alat
pengantar berupa pipa kabel dsb $ra pada gambar a adalah gra bipartit lengkap
22
ontoh gra bipartit yang lain adalah topologi bintang 6star topology8 pada jaringan
komputer 0A 6$ambar 6b88 Disini B berisi sebuah simpul di pusat sedangkan
B berisi simpul9simpul sisanya atatlah bahwa gra topologi bintang dengan n
simpul 6n terminal komputer8 adalah gra n
$ambar 3 6a8 $ra persoalan utilitas dan 6b8 topologi bintang keduanya adalah
gra bipartit 6unir+ ))C)
22 ra7 abunampan (Terhubunamp)
=ika setiap pasang simpul didalam gra terhubung maka gra tersebut dikatakan
gra gabungan 6terhubung8 Secara ormal deinisi gra terhubung adalah sebagai berikut
e7enisi
$ra tak9berarah $ disebut ampra7 terhubunamp jika untuk setiap pasang simpul u dan didalam
himpunan V terdapat lintasan dari u ke 6yang juga harus berarti ada lintasan dari u ke 8
=ika tidak maka $ disebut gra tak9terhubung
H1 H2 H3
amp E
(a) ()
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1014
Page
ontoh
$ambar gra berikut merupakan contoh gra terhubung
Sedangkan gra dibawah ini merupakan gra tak9terhubung
Sebagai catatan gra yang hanya terdiri atas satu simpul saja 6tidak ada sisi8 tetap
dikatakn terhubung karena simpul tunggalnya terhubung dengan dirinya sendiri
23 Subampra7
e7inisi
isalkan $ 6B -8 adalah sebuah gra $ 6B - 8 adalah subgra dari $ jika B B dan
- -
$ambar 6b8 adalah subgra dari gra pada gambar 6a8
Defenisi
K+-e+e ari 0gra 1 teraa gra aa-a gra 2 (2E2)
ee+iia eigga E2 EE1 a 2 aa-a i+0a i+0- ag
aggta aggta E2 eriia egaa7
a+ar 17$ (8) aa-a +-e+e ari 0gra aa ga+ar 17$()
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1114
Page
$ambar 6a8 gra $ 6b8 sebuah subgra dari $ dan
6c8 komplemen dari subgra yang bersesuaian
isalkan G1 6V 1 E 18 merupakan subgra dari gra G 6V E 8 =ika V 1 V 6yaitu
G1 memuat semua simpul dari G8 maka G1 dinamakan Spanning Subgraph 6Subgra
merentang8
6a8 6b8 6c8
$ambar 6a8 gra $ Sketsa 6b8 merupaan Spanning Subgraph dari $ sedangkan
6c8 bukan Spanning Subgraph dari $ 6hanya komplemen dari subgra 6b88
=ika gra tidak terhubung maka gra tersebut terdiri atas beberapa komponen
terhubung 6connected componen8 omponen terhubung 6atau disingkat EkomponenF saja 8
adalah subgra terhubung dari gra $ yang tidak terdapat di dalam subgra terhubung dari $
yang lebih besar Ini berarti setiap komponen terhubung didalam gra $ saling lepas
6disjoint8 Pada gambar 3 dibawah ini gra $ mempunyai 2 buah komponen terhubung
yaitu $$ dan $ 2 atatlah bahwa gra terhubung hanya terdiri dari satu komponen yaitu
gra itu sendiri
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1214
Page
9 3
a+ar 171 gra ag +e+0ai 3 0a +e ait0 1 2 a
3
(Munir 25)
ontoh
Tanpa menggambar granya tentukan komponen terhubung dari $ 6B-8 yang dalam hal ini
B GabcdeH dan - G6ad86cd8H
Penyelesaian
Simpul a bertetangga dengan d sedangkan simpul d bertetangga dengan c ini berarti a juga
terhubung dengan c simpul9simpul lainnyabe dan merupakan simpul terpencil Dengan
demikian ada ( buah komponen terhubung di dalam $ yaitu
$ 6B -8 dengan B GacdH dan - G6ad86cd8H
$ 6B -8 dengan B GbH dan - GH
$2 6B2 -28 dengan B2 GeH dan -2 GH
$( 6B( -(8 dengan B( GH dan -( GH
Dan Bcup
B B 2 B ( B - - - 2 - ( - $ B BB2B( empty
A
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1314
Page
N-T-
31 esimulan
o eeraa jei gra eeraa 00 ait0
1 ra -ega (Complete Graph)2 ra -igara3 ra terat0r (Regular Graphs)4 ra iartit
o $ra tak9berarah $ disebut gra terhubung jika untuk setiap pasang simpul u dan
didalam himpunan V terdapat lintasan dari u ke 6yang juga harus berarti ada lintasan
dari u ke 8
o isalkan $ 6B -8 adalah sebuah gra $ 6B - 8 adalah subgra dari $ jika B
B dan - -o K+-e+e ari 0gra 1 teraa gra aa-a gra 2 (2E2)
ee+iia eigga E2 EE1 a 2 aa-a i+0a i+0- ag
aggta aggta E2 eriia egaa7
32 Saran
Dalam mempelajari teori gra khususnya mengenai jenis9jenis gra sederhana
subgra maupun gra gabungan 6terhubung8 pembaca harus memiliki lebih dari dua
reerensi karena disetiap reerensi representasi mengenai gra disajikan dengan kata9
kata gtpenyebutan yang berbeda
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1414
Page
AFTAR -STAA
unir 1inaldi ))C Matematika Diskrit 1eisi elima andung Inormatika
httpgtgtrikiJkosasihstagunadarmaacidgtDownloadsgtilesgt23C3)gtabKK9
KDasarKTeoriK$raK60anjutan8pd 6diunduh pada tanggal C aret )+8
httpsgtgtyohananugraheniileswordpresscomgt))gtgtteori9gra9completeppt 6diunduh
pada tanggal C aret )+8
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 614
(i)Derajat (ii)Derajat 1(iii)Derajat 2
Page
sisinya adalah 6 8 628 6n9 n8 dan 6n 8 Dengan kata lain ada sisi dari
simpul terakhir n ke simpul pertama
ontoh
$ambar dibawah adalah empat buah gra lingkaran Salah satu topologi jaringankomputer area lokal 60A8 adalah topologi cincin (ring topology) yang
direpresentasikan sebagai gra lingkaran
$ambar $ra 0ingkaran n 2lenle 6
9 ra7 Teratur (Regular Graphs)
$ra yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama disebut gra teratur
Apabila derajat setiap simpul adalah r maka gra tersebut disebut sebagai gra teratur
derajat r
ontoh
$ambar dibawah adalah gra teratur berderajat ) dan
$ambar 2 $ra teratur derajat )
atatlah bahwa gra lengkap n juga adalah gra teratur berderajat 6n98 Demikian
pula gra lingkaran n juga gra teratur berderajat udah dihitung bahwa jumlah
sisi pada gra teratur derajat r dengan n buah simpul adalah nrgt
ontoh
$ra 6i8 pada gambar adalah gra teratur berderajat 2 dengan ( buah simpul 6ii8 gra
teratur derajat 2 dengan + buah simpul dan 6iii8 adalah gra teratur derajat 2 dengan
buah simpul
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 714
Page
$ambar ( $ra teratur berderajat 2 masing9masing dengan ( + dan simpul
ontoh
erapa jumlah maksimum dan jumlah minimum simpul pada gra sederhana yang
mempunyai buah sisi dan setiap simpul berderajat sama yang ge 2
enyelesaian
Tiap simpul berderajat sama berarti gra teratur
=umlah sisi pada gra teratur berderajat r adalah e nrgt =adi n egtr 6868gtr
(gtr
ampntuk r 2 jumlah simpul yang dapat dibuat adalah maksimum yaitu n (gt2
ampntuk r yang lain 6r iquest 2 dan r merupakan pembagi bilangan bulat dari (8
r ( rarr n (gt( +
r + rarr n (gt+ ( rarr tidak mungkin membentuk gra sederhana
r rarr
n (gt 2rarr
tidak mungkin membentuk gra sederhana
r rarr n (gt rarr tidak mungkin membentuk gra sederhana
r ( rarr n (gt( rarr tidak mungkin membentuk gra sederhana
=adi jumlah simpul paling sedikit + buah dan paling banyak buah
ra7 iartit (iartite rah)
(i) 4 r 3 (ii) 6 r 3
(iii) $ r 3
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 814
Page
$ra $ yang himpunan simpulnya dapat dikelompokkan menjadi dua himpunan
bagian B dan B sedemikian sehingga setiap sisi di dalam $ menghubungkan sebuah
simpul di B ke sebuah simpul di B disebut gra bipartit dan dinyatakan sebagai
$6B B8 Dengan kata lain setiap pasang simpul di B 6demikian pula dengan
simpul9simpul di B8 tidak bertetangga Apabila setiap simpul di B bertetangga
dengan semua simpul di B maka $6B B8 disebut sebagi gra bipartit lengkap
6complete bipartite graph8 dilambangkan dengan m n =umlah sisi pada gra bipartit
lengkap adalah mn
$ambar C $ra bipartit $6BB8
$ra lengkap adalah gra bipartit tetapi gra lengkap 2 bukan gra bipartit ampntuk
menunjukkan 2 bukan gra bipartit bagilah simpul9simpulnya menjadi dua bagian
B dan B y+ang dalam hal ini B berisi satu buah simpul dan B mengandung dua
buah simpul Ternyata dua simpul di B terhubung oleh sebuah sisi al ini jelas tidak
sesuai dengan deinisi gra bipartit
ontoh
$ra $ pada gambar adalah gra bipartit karena simpul9simpulnya dapat dibagi
menjadi B a b d dan B c e f g dan setiap sisi menghubungkan
simpul di B ke simpul di B Dengan cara yang sama perlihatkan bahwa + adalah
gra bipartit
ontoh
$ra $ pada gambar adalah gra bipartit lengkap 2 22 (
1 2
K 23 K 33 K 24
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 914
Page
$ambar + $ra bipartit lengkap 2 22 dan (
ontoh persoalan yang dinyatakan sebagai gra bipartit adalah persoalan utilitas
misalkan ada tiga buah rumah 6gambar 6a88 2 masing9masing rumah
dihubungkan dengan tiga buah utilitas lt air 6W8 gas 6$8 dan listrik 6-8 lt dengan alat
pengantar berupa pipa kabel dsb $ra pada gambar a adalah gra bipartit lengkap
22
ontoh gra bipartit yang lain adalah topologi bintang 6star topology8 pada jaringan
komputer 0A 6$ambar 6b88 Disini B berisi sebuah simpul di pusat sedangkan
B berisi simpul9simpul sisanya atatlah bahwa gra topologi bintang dengan n
simpul 6n terminal komputer8 adalah gra n
$ambar 3 6a8 $ra persoalan utilitas dan 6b8 topologi bintang keduanya adalah
gra bipartit 6unir+ ))C)
22 ra7 abunampan (Terhubunamp)
=ika setiap pasang simpul didalam gra terhubung maka gra tersebut dikatakan
gra gabungan 6terhubung8 Secara ormal deinisi gra terhubung adalah sebagai berikut
e7enisi
$ra tak9berarah $ disebut ampra7 terhubunamp jika untuk setiap pasang simpul u dan didalam
himpunan V terdapat lintasan dari u ke 6yang juga harus berarti ada lintasan dari u ke 8
=ika tidak maka $ disebut gra tak9terhubung
H1 H2 H3
amp E
(a) ()
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1014
Page
ontoh
$ambar gra berikut merupakan contoh gra terhubung
Sedangkan gra dibawah ini merupakan gra tak9terhubung
Sebagai catatan gra yang hanya terdiri atas satu simpul saja 6tidak ada sisi8 tetap
dikatakn terhubung karena simpul tunggalnya terhubung dengan dirinya sendiri
23 Subampra7
e7inisi
isalkan $ 6B -8 adalah sebuah gra $ 6B - 8 adalah subgra dari $ jika B B dan
- -
$ambar 6b8 adalah subgra dari gra pada gambar 6a8
Defenisi
K+-e+e ari 0gra 1 teraa gra aa-a gra 2 (2E2)
ee+iia eigga E2 EE1 a 2 aa-a i+0a i+0- ag
aggta aggta E2 eriia egaa7
a+ar 17$ (8) aa-a +-e+e ari 0gra aa ga+ar 17$()
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1114
Page
$ambar 6a8 gra $ 6b8 sebuah subgra dari $ dan
6c8 komplemen dari subgra yang bersesuaian
isalkan G1 6V 1 E 18 merupakan subgra dari gra G 6V E 8 =ika V 1 V 6yaitu
G1 memuat semua simpul dari G8 maka G1 dinamakan Spanning Subgraph 6Subgra
merentang8
6a8 6b8 6c8
$ambar 6a8 gra $ Sketsa 6b8 merupaan Spanning Subgraph dari $ sedangkan
6c8 bukan Spanning Subgraph dari $ 6hanya komplemen dari subgra 6b88
=ika gra tidak terhubung maka gra tersebut terdiri atas beberapa komponen
terhubung 6connected componen8 omponen terhubung 6atau disingkat EkomponenF saja 8
adalah subgra terhubung dari gra $ yang tidak terdapat di dalam subgra terhubung dari $
yang lebih besar Ini berarti setiap komponen terhubung didalam gra $ saling lepas
6disjoint8 Pada gambar 3 dibawah ini gra $ mempunyai 2 buah komponen terhubung
yaitu $$ dan $ 2 atatlah bahwa gra terhubung hanya terdiri dari satu komponen yaitu
gra itu sendiri
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1214
Page
9 3
a+ar 171 gra ag +e+0ai 3 0a +e ait0 1 2 a
3
(Munir 25)
ontoh
Tanpa menggambar granya tentukan komponen terhubung dari $ 6B-8 yang dalam hal ini
B GabcdeH dan - G6ad86cd8H
Penyelesaian
Simpul a bertetangga dengan d sedangkan simpul d bertetangga dengan c ini berarti a juga
terhubung dengan c simpul9simpul lainnyabe dan merupakan simpul terpencil Dengan
demikian ada ( buah komponen terhubung di dalam $ yaitu
$ 6B -8 dengan B GacdH dan - G6ad86cd8H
$ 6B -8 dengan B GbH dan - GH
$2 6B2 -28 dengan B2 GeH dan -2 GH
$( 6B( -(8 dengan B( GH dan -( GH
Dan Bcup
B B 2 B ( B - - - 2 - ( - $ B BB2B( empty
A
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1314
Page
N-T-
31 esimulan
o eeraa jei gra eeraa 00 ait0
1 ra -ega (Complete Graph)2 ra -igara3 ra terat0r (Regular Graphs)4 ra iartit
o $ra tak9berarah $ disebut gra terhubung jika untuk setiap pasang simpul u dan
didalam himpunan V terdapat lintasan dari u ke 6yang juga harus berarti ada lintasan
dari u ke 8
o isalkan $ 6B -8 adalah sebuah gra $ 6B - 8 adalah subgra dari $ jika B
B dan - -o K+-e+e ari 0gra 1 teraa gra aa-a gra 2 (2E2)
ee+iia eigga E2 EE1 a 2 aa-a i+0a i+0- ag
aggta aggta E2 eriia egaa7
32 Saran
Dalam mempelajari teori gra khususnya mengenai jenis9jenis gra sederhana
subgra maupun gra gabungan 6terhubung8 pembaca harus memiliki lebih dari dua
reerensi karena disetiap reerensi representasi mengenai gra disajikan dengan kata9
kata gtpenyebutan yang berbeda
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1414
Page
AFTAR -STAA
unir 1inaldi ))C Matematika Diskrit 1eisi elima andung Inormatika
httpgtgtrikiJkosasihstagunadarmaacidgtDownloadsgtilesgt23C3)gtabKK9
KDasarKTeoriK$raK60anjutan8pd 6diunduh pada tanggal C aret )+8
httpsgtgtyohananugraheniileswordpresscomgt))gtgtteori9gra9completeppt 6diunduh
pada tanggal C aret )+8
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 714
Page
$ambar ( $ra teratur berderajat 2 masing9masing dengan ( + dan simpul
ontoh
erapa jumlah maksimum dan jumlah minimum simpul pada gra sederhana yang
mempunyai buah sisi dan setiap simpul berderajat sama yang ge 2
enyelesaian
Tiap simpul berderajat sama berarti gra teratur
=umlah sisi pada gra teratur berderajat r adalah e nrgt =adi n egtr 6868gtr
(gtr
ampntuk r 2 jumlah simpul yang dapat dibuat adalah maksimum yaitu n (gt2
ampntuk r yang lain 6r iquest 2 dan r merupakan pembagi bilangan bulat dari (8
r ( rarr n (gt( +
r + rarr n (gt+ ( rarr tidak mungkin membentuk gra sederhana
r rarr
n (gt 2rarr
tidak mungkin membentuk gra sederhana
r rarr n (gt rarr tidak mungkin membentuk gra sederhana
r ( rarr n (gt( rarr tidak mungkin membentuk gra sederhana
=adi jumlah simpul paling sedikit + buah dan paling banyak buah
ra7 iartit (iartite rah)
(i) 4 r 3 (ii) 6 r 3
(iii) $ r 3
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 814
Page
$ra $ yang himpunan simpulnya dapat dikelompokkan menjadi dua himpunan
bagian B dan B sedemikian sehingga setiap sisi di dalam $ menghubungkan sebuah
simpul di B ke sebuah simpul di B disebut gra bipartit dan dinyatakan sebagai
$6B B8 Dengan kata lain setiap pasang simpul di B 6demikian pula dengan
simpul9simpul di B8 tidak bertetangga Apabila setiap simpul di B bertetangga
dengan semua simpul di B maka $6B B8 disebut sebagi gra bipartit lengkap
6complete bipartite graph8 dilambangkan dengan m n =umlah sisi pada gra bipartit
lengkap adalah mn
$ambar C $ra bipartit $6BB8
$ra lengkap adalah gra bipartit tetapi gra lengkap 2 bukan gra bipartit ampntuk
menunjukkan 2 bukan gra bipartit bagilah simpul9simpulnya menjadi dua bagian
B dan B y+ang dalam hal ini B berisi satu buah simpul dan B mengandung dua
buah simpul Ternyata dua simpul di B terhubung oleh sebuah sisi al ini jelas tidak
sesuai dengan deinisi gra bipartit
ontoh
$ra $ pada gambar adalah gra bipartit karena simpul9simpulnya dapat dibagi
menjadi B a b d dan B c e f g dan setiap sisi menghubungkan
simpul di B ke simpul di B Dengan cara yang sama perlihatkan bahwa + adalah
gra bipartit
ontoh
$ra $ pada gambar adalah gra bipartit lengkap 2 22 (
1 2
K 23 K 33 K 24
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 914
Page
$ambar + $ra bipartit lengkap 2 22 dan (
ontoh persoalan yang dinyatakan sebagai gra bipartit adalah persoalan utilitas
misalkan ada tiga buah rumah 6gambar 6a88 2 masing9masing rumah
dihubungkan dengan tiga buah utilitas lt air 6W8 gas 6$8 dan listrik 6-8 lt dengan alat
pengantar berupa pipa kabel dsb $ra pada gambar a adalah gra bipartit lengkap
22
ontoh gra bipartit yang lain adalah topologi bintang 6star topology8 pada jaringan
komputer 0A 6$ambar 6b88 Disini B berisi sebuah simpul di pusat sedangkan
B berisi simpul9simpul sisanya atatlah bahwa gra topologi bintang dengan n
simpul 6n terminal komputer8 adalah gra n
$ambar 3 6a8 $ra persoalan utilitas dan 6b8 topologi bintang keduanya adalah
gra bipartit 6unir+ ))C)
22 ra7 abunampan (Terhubunamp)
=ika setiap pasang simpul didalam gra terhubung maka gra tersebut dikatakan
gra gabungan 6terhubung8 Secara ormal deinisi gra terhubung adalah sebagai berikut
e7enisi
$ra tak9berarah $ disebut ampra7 terhubunamp jika untuk setiap pasang simpul u dan didalam
himpunan V terdapat lintasan dari u ke 6yang juga harus berarti ada lintasan dari u ke 8
=ika tidak maka $ disebut gra tak9terhubung
H1 H2 H3
amp E
(a) ()
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1014
Page
ontoh
$ambar gra berikut merupakan contoh gra terhubung
Sedangkan gra dibawah ini merupakan gra tak9terhubung
Sebagai catatan gra yang hanya terdiri atas satu simpul saja 6tidak ada sisi8 tetap
dikatakn terhubung karena simpul tunggalnya terhubung dengan dirinya sendiri
23 Subampra7
e7inisi
isalkan $ 6B -8 adalah sebuah gra $ 6B - 8 adalah subgra dari $ jika B B dan
- -
$ambar 6b8 adalah subgra dari gra pada gambar 6a8
Defenisi
K+-e+e ari 0gra 1 teraa gra aa-a gra 2 (2E2)
ee+iia eigga E2 EE1 a 2 aa-a i+0a i+0- ag
aggta aggta E2 eriia egaa7
a+ar 17$ (8) aa-a +-e+e ari 0gra aa ga+ar 17$()
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1114
Page
$ambar 6a8 gra $ 6b8 sebuah subgra dari $ dan
6c8 komplemen dari subgra yang bersesuaian
isalkan G1 6V 1 E 18 merupakan subgra dari gra G 6V E 8 =ika V 1 V 6yaitu
G1 memuat semua simpul dari G8 maka G1 dinamakan Spanning Subgraph 6Subgra
merentang8
6a8 6b8 6c8
$ambar 6a8 gra $ Sketsa 6b8 merupaan Spanning Subgraph dari $ sedangkan
6c8 bukan Spanning Subgraph dari $ 6hanya komplemen dari subgra 6b88
=ika gra tidak terhubung maka gra tersebut terdiri atas beberapa komponen
terhubung 6connected componen8 omponen terhubung 6atau disingkat EkomponenF saja 8
adalah subgra terhubung dari gra $ yang tidak terdapat di dalam subgra terhubung dari $
yang lebih besar Ini berarti setiap komponen terhubung didalam gra $ saling lepas
6disjoint8 Pada gambar 3 dibawah ini gra $ mempunyai 2 buah komponen terhubung
yaitu $$ dan $ 2 atatlah bahwa gra terhubung hanya terdiri dari satu komponen yaitu
gra itu sendiri
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1214
Page
9 3
a+ar 171 gra ag +e+0ai 3 0a +e ait0 1 2 a
3
(Munir 25)
ontoh
Tanpa menggambar granya tentukan komponen terhubung dari $ 6B-8 yang dalam hal ini
B GabcdeH dan - G6ad86cd8H
Penyelesaian
Simpul a bertetangga dengan d sedangkan simpul d bertetangga dengan c ini berarti a juga
terhubung dengan c simpul9simpul lainnyabe dan merupakan simpul terpencil Dengan
demikian ada ( buah komponen terhubung di dalam $ yaitu
$ 6B -8 dengan B GacdH dan - G6ad86cd8H
$ 6B -8 dengan B GbH dan - GH
$2 6B2 -28 dengan B2 GeH dan -2 GH
$( 6B( -(8 dengan B( GH dan -( GH
Dan Bcup
B B 2 B ( B - - - 2 - ( - $ B BB2B( empty
A
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1314
Page
N-T-
31 esimulan
o eeraa jei gra eeraa 00 ait0
1 ra -ega (Complete Graph)2 ra -igara3 ra terat0r (Regular Graphs)4 ra iartit
o $ra tak9berarah $ disebut gra terhubung jika untuk setiap pasang simpul u dan
didalam himpunan V terdapat lintasan dari u ke 6yang juga harus berarti ada lintasan
dari u ke 8
o isalkan $ 6B -8 adalah sebuah gra $ 6B - 8 adalah subgra dari $ jika B
B dan - -o K+-e+e ari 0gra 1 teraa gra aa-a gra 2 (2E2)
ee+iia eigga E2 EE1 a 2 aa-a i+0a i+0- ag
aggta aggta E2 eriia egaa7
32 Saran
Dalam mempelajari teori gra khususnya mengenai jenis9jenis gra sederhana
subgra maupun gra gabungan 6terhubung8 pembaca harus memiliki lebih dari dua
reerensi karena disetiap reerensi representasi mengenai gra disajikan dengan kata9
kata gtpenyebutan yang berbeda
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1414
Page
AFTAR -STAA
unir 1inaldi ))C Matematika Diskrit 1eisi elima andung Inormatika
httpgtgtrikiJkosasihstagunadarmaacidgtDownloadsgtilesgt23C3)gtabKK9
KDasarKTeoriK$raK60anjutan8pd 6diunduh pada tanggal C aret )+8
httpsgtgtyohananugraheniileswordpresscomgt))gtgtteori9gra9completeppt 6diunduh
pada tanggal C aret )+8
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 814
Page
$ra $ yang himpunan simpulnya dapat dikelompokkan menjadi dua himpunan
bagian B dan B sedemikian sehingga setiap sisi di dalam $ menghubungkan sebuah
simpul di B ke sebuah simpul di B disebut gra bipartit dan dinyatakan sebagai
$6B B8 Dengan kata lain setiap pasang simpul di B 6demikian pula dengan
simpul9simpul di B8 tidak bertetangga Apabila setiap simpul di B bertetangga
dengan semua simpul di B maka $6B B8 disebut sebagi gra bipartit lengkap
6complete bipartite graph8 dilambangkan dengan m n =umlah sisi pada gra bipartit
lengkap adalah mn
$ambar C $ra bipartit $6BB8
$ra lengkap adalah gra bipartit tetapi gra lengkap 2 bukan gra bipartit ampntuk
menunjukkan 2 bukan gra bipartit bagilah simpul9simpulnya menjadi dua bagian
B dan B y+ang dalam hal ini B berisi satu buah simpul dan B mengandung dua
buah simpul Ternyata dua simpul di B terhubung oleh sebuah sisi al ini jelas tidak
sesuai dengan deinisi gra bipartit
ontoh
$ra $ pada gambar adalah gra bipartit karena simpul9simpulnya dapat dibagi
menjadi B a b d dan B c e f g dan setiap sisi menghubungkan
simpul di B ke simpul di B Dengan cara yang sama perlihatkan bahwa + adalah
gra bipartit
ontoh
$ra $ pada gambar adalah gra bipartit lengkap 2 22 (
1 2
K 23 K 33 K 24
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 914
Page
$ambar + $ra bipartit lengkap 2 22 dan (
ontoh persoalan yang dinyatakan sebagai gra bipartit adalah persoalan utilitas
misalkan ada tiga buah rumah 6gambar 6a88 2 masing9masing rumah
dihubungkan dengan tiga buah utilitas lt air 6W8 gas 6$8 dan listrik 6-8 lt dengan alat
pengantar berupa pipa kabel dsb $ra pada gambar a adalah gra bipartit lengkap
22
ontoh gra bipartit yang lain adalah topologi bintang 6star topology8 pada jaringan
komputer 0A 6$ambar 6b88 Disini B berisi sebuah simpul di pusat sedangkan
B berisi simpul9simpul sisanya atatlah bahwa gra topologi bintang dengan n
simpul 6n terminal komputer8 adalah gra n
$ambar 3 6a8 $ra persoalan utilitas dan 6b8 topologi bintang keduanya adalah
gra bipartit 6unir+ ))C)
22 ra7 abunampan (Terhubunamp)
=ika setiap pasang simpul didalam gra terhubung maka gra tersebut dikatakan
gra gabungan 6terhubung8 Secara ormal deinisi gra terhubung adalah sebagai berikut
e7enisi
$ra tak9berarah $ disebut ampra7 terhubunamp jika untuk setiap pasang simpul u dan didalam
himpunan V terdapat lintasan dari u ke 6yang juga harus berarti ada lintasan dari u ke 8
=ika tidak maka $ disebut gra tak9terhubung
H1 H2 H3
amp E
(a) ()
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1014
Page
ontoh
$ambar gra berikut merupakan contoh gra terhubung
Sedangkan gra dibawah ini merupakan gra tak9terhubung
Sebagai catatan gra yang hanya terdiri atas satu simpul saja 6tidak ada sisi8 tetap
dikatakn terhubung karena simpul tunggalnya terhubung dengan dirinya sendiri
23 Subampra7
e7inisi
isalkan $ 6B -8 adalah sebuah gra $ 6B - 8 adalah subgra dari $ jika B B dan
- -
$ambar 6b8 adalah subgra dari gra pada gambar 6a8
Defenisi
K+-e+e ari 0gra 1 teraa gra aa-a gra 2 (2E2)
ee+iia eigga E2 EE1 a 2 aa-a i+0a i+0- ag
aggta aggta E2 eriia egaa7
a+ar 17$ (8) aa-a +-e+e ari 0gra aa ga+ar 17$()
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1114
Page
$ambar 6a8 gra $ 6b8 sebuah subgra dari $ dan
6c8 komplemen dari subgra yang bersesuaian
isalkan G1 6V 1 E 18 merupakan subgra dari gra G 6V E 8 =ika V 1 V 6yaitu
G1 memuat semua simpul dari G8 maka G1 dinamakan Spanning Subgraph 6Subgra
merentang8
6a8 6b8 6c8
$ambar 6a8 gra $ Sketsa 6b8 merupaan Spanning Subgraph dari $ sedangkan
6c8 bukan Spanning Subgraph dari $ 6hanya komplemen dari subgra 6b88
=ika gra tidak terhubung maka gra tersebut terdiri atas beberapa komponen
terhubung 6connected componen8 omponen terhubung 6atau disingkat EkomponenF saja 8
adalah subgra terhubung dari gra $ yang tidak terdapat di dalam subgra terhubung dari $
yang lebih besar Ini berarti setiap komponen terhubung didalam gra $ saling lepas
6disjoint8 Pada gambar 3 dibawah ini gra $ mempunyai 2 buah komponen terhubung
yaitu $$ dan $ 2 atatlah bahwa gra terhubung hanya terdiri dari satu komponen yaitu
gra itu sendiri
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1214
Page
9 3
a+ar 171 gra ag +e+0ai 3 0a +e ait0 1 2 a
3
(Munir 25)
ontoh
Tanpa menggambar granya tentukan komponen terhubung dari $ 6B-8 yang dalam hal ini
B GabcdeH dan - G6ad86cd8H
Penyelesaian
Simpul a bertetangga dengan d sedangkan simpul d bertetangga dengan c ini berarti a juga
terhubung dengan c simpul9simpul lainnyabe dan merupakan simpul terpencil Dengan
demikian ada ( buah komponen terhubung di dalam $ yaitu
$ 6B -8 dengan B GacdH dan - G6ad86cd8H
$ 6B -8 dengan B GbH dan - GH
$2 6B2 -28 dengan B2 GeH dan -2 GH
$( 6B( -(8 dengan B( GH dan -( GH
Dan Bcup
B B 2 B ( B - - - 2 - ( - $ B BB2B( empty
A
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1314
Page
N-T-
31 esimulan
o eeraa jei gra eeraa 00 ait0
1 ra -ega (Complete Graph)2 ra -igara3 ra terat0r (Regular Graphs)4 ra iartit
o $ra tak9berarah $ disebut gra terhubung jika untuk setiap pasang simpul u dan
didalam himpunan V terdapat lintasan dari u ke 6yang juga harus berarti ada lintasan
dari u ke 8
o isalkan $ 6B -8 adalah sebuah gra $ 6B - 8 adalah subgra dari $ jika B
B dan - -o K+-e+e ari 0gra 1 teraa gra aa-a gra 2 (2E2)
ee+iia eigga E2 EE1 a 2 aa-a i+0a i+0- ag
aggta aggta E2 eriia egaa7
32 Saran
Dalam mempelajari teori gra khususnya mengenai jenis9jenis gra sederhana
subgra maupun gra gabungan 6terhubung8 pembaca harus memiliki lebih dari dua
reerensi karena disetiap reerensi representasi mengenai gra disajikan dengan kata9
kata gtpenyebutan yang berbeda
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1414
Page
AFTAR -STAA
unir 1inaldi ))C Matematika Diskrit 1eisi elima andung Inormatika
httpgtgtrikiJkosasihstagunadarmaacidgtDownloadsgtilesgt23C3)gtabKK9
KDasarKTeoriK$raK60anjutan8pd 6diunduh pada tanggal C aret )+8
httpsgtgtyohananugraheniileswordpresscomgt))gtgtteori9gra9completeppt 6diunduh
pada tanggal C aret )+8
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 914
Page
$ambar + $ra bipartit lengkap 2 22 dan (
ontoh persoalan yang dinyatakan sebagai gra bipartit adalah persoalan utilitas
misalkan ada tiga buah rumah 6gambar 6a88 2 masing9masing rumah
dihubungkan dengan tiga buah utilitas lt air 6W8 gas 6$8 dan listrik 6-8 lt dengan alat
pengantar berupa pipa kabel dsb $ra pada gambar a adalah gra bipartit lengkap
22
ontoh gra bipartit yang lain adalah topologi bintang 6star topology8 pada jaringan
komputer 0A 6$ambar 6b88 Disini B berisi sebuah simpul di pusat sedangkan
B berisi simpul9simpul sisanya atatlah bahwa gra topologi bintang dengan n
simpul 6n terminal komputer8 adalah gra n
$ambar 3 6a8 $ra persoalan utilitas dan 6b8 topologi bintang keduanya adalah
gra bipartit 6unir+ ))C)
22 ra7 abunampan (Terhubunamp)
=ika setiap pasang simpul didalam gra terhubung maka gra tersebut dikatakan
gra gabungan 6terhubung8 Secara ormal deinisi gra terhubung adalah sebagai berikut
e7enisi
$ra tak9berarah $ disebut ampra7 terhubunamp jika untuk setiap pasang simpul u dan didalam
himpunan V terdapat lintasan dari u ke 6yang juga harus berarti ada lintasan dari u ke 8
=ika tidak maka $ disebut gra tak9terhubung
H1 H2 H3
amp E
(a) ()
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1014
Page
ontoh
$ambar gra berikut merupakan contoh gra terhubung
Sedangkan gra dibawah ini merupakan gra tak9terhubung
Sebagai catatan gra yang hanya terdiri atas satu simpul saja 6tidak ada sisi8 tetap
dikatakn terhubung karena simpul tunggalnya terhubung dengan dirinya sendiri
23 Subampra7
e7inisi
isalkan $ 6B -8 adalah sebuah gra $ 6B - 8 adalah subgra dari $ jika B B dan
- -
$ambar 6b8 adalah subgra dari gra pada gambar 6a8
Defenisi
K+-e+e ari 0gra 1 teraa gra aa-a gra 2 (2E2)
ee+iia eigga E2 EE1 a 2 aa-a i+0a i+0- ag
aggta aggta E2 eriia egaa7
a+ar 17$ (8) aa-a +-e+e ari 0gra aa ga+ar 17$()
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1114
Page
$ambar 6a8 gra $ 6b8 sebuah subgra dari $ dan
6c8 komplemen dari subgra yang bersesuaian
isalkan G1 6V 1 E 18 merupakan subgra dari gra G 6V E 8 =ika V 1 V 6yaitu
G1 memuat semua simpul dari G8 maka G1 dinamakan Spanning Subgraph 6Subgra
merentang8
6a8 6b8 6c8
$ambar 6a8 gra $ Sketsa 6b8 merupaan Spanning Subgraph dari $ sedangkan
6c8 bukan Spanning Subgraph dari $ 6hanya komplemen dari subgra 6b88
=ika gra tidak terhubung maka gra tersebut terdiri atas beberapa komponen
terhubung 6connected componen8 omponen terhubung 6atau disingkat EkomponenF saja 8
adalah subgra terhubung dari gra $ yang tidak terdapat di dalam subgra terhubung dari $
yang lebih besar Ini berarti setiap komponen terhubung didalam gra $ saling lepas
6disjoint8 Pada gambar 3 dibawah ini gra $ mempunyai 2 buah komponen terhubung
yaitu $$ dan $ 2 atatlah bahwa gra terhubung hanya terdiri dari satu komponen yaitu
gra itu sendiri
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1214
Page
9 3
a+ar 171 gra ag +e+0ai 3 0a +e ait0 1 2 a
3
(Munir 25)
ontoh
Tanpa menggambar granya tentukan komponen terhubung dari $ 6B-8 yang dalam hal ini
B GabcdeH dan - G6ad86cd8H
Penyelesaian
Simpul a bertetangga dengan d sedangkan simpul d bertetangga dengan c ini berarti a juga
terhubung dengan c simpul9simpul lainnyabe dan merupakan simpul terpencil Dengan
demikian ada ( buah komponen terhubung di dalam $ yaitu
$ 6B -8 dengan B GacdH dan - G6ad86cd8H
$ 6B -8 dengan B GbH dan - GH
$2 6B2 -28 dengan B2 GeH dan -2 GH
$( 6B( -(8 dengan B( GH dan -( GH
Dan Bcup
B B 2 B ( B - - - 2 - ( - $ B BB2B( empty
A
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1314
Page
N-T-
31 esimulan
o eeraa jei gra eeraa 00 ait0
1 ra -ega (Complete Graph)2 ra -igara3 ra terat0r (Regular Graphs)4 ra iartit
o $ra tak9berarah $ disebut gra terhubung jika untuk setiap pasang simpul u dan
didalam himpunan V terdapat lintasan dari u ke 6yang juga harus berarti ada lintasan
dari u ke 8
o isalkan $ 6B -8 adalah sebuah gra $ 6B - 8 adalah subgra dari $ jika B
B dan - -o K+-e+e ari 0gra 1 teraa gra aa-a gra 2 (2E2)
ee+iia eigga E2 EE1 a 2 aa-a i+0a i+0- ag
aggta aggta E2 eriia egaa7
32 Saran
Dalam mempelajari teori gra khususnya mengenai jenis9jenis gra sederhana
subgra maupun gra gabungan 6terhubung8 pembaca harus memiliki lebih dari dua
reerensi karena disetiap reerensi representasi mengenai gra disajikan dengan kata9
kata gtpenyebutan yang berbeda
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1414
Page
AFTAR -STAA
unir 1inaldi ))C Matematika Diskrit 1eisi elima andung Inormatika
httpgtgtrikiJkosasihstagunadarmaacidgtDownloadsgtilesgt23C3)gtabKK9
KDasarKTeoriK$raK60anjutan8pd 6diunduh pada tanggal C aret )+8
httpsgtgtyohananugraheniileswordpresscomgt))gtgtteori9gra9completeppt 6diunduh
pada tanggal C aret )+8
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1014
Page
ontoh
$ambar gra berikut merupakan contoh gra terhubung
Sedangkan gra dibawah ini merupakan gra tak9terhubung
Sebagai catatan gra yang hanya terdiri atas satu simpul saja 6tidak ada sisi8 tetap
dikatakn terhubung karena simpul tunggalnya terhubung dengan dirinya sendiri
23 Subampra7
e7inisi
isalkan $ 6B -8 adalah sebuah gra $ 6B - 8 adalah subgra dari $ jika B B dan
- -
$ambar 6b8 adalah subgra dari gra pada gambar 6a8
Defenisi
K+-e+e ari 0gra 1 teraa gra aa-a gra 2 (2E2)
ee+iia eigga E2 EE1 a 2 aa-a i+0a i+0- ag
aggta aggta E2 eriia egaa7
a+ar 17$ (8) aa-a +-e+e ari 0gra aa ga+ar 17$()
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1114
Page
$ambar 6a8 gra $ 6b8 sebuah subgra dari $ dan
6c8 komplemen dari subgra yang bersesuaian
isalkan G1 6V 1 E 18 merupakan subgra dari gra G 6V E 8 =ika V 1 V 6yaitu
G1 memuat semua simpul dari G8 maka G1 dinamakan Spanning Subgraph 6Subgra
merentang8
6a8 6b8 6c8
$ambar 6a8 gra $ Sketsa 6b8 merupaan Spanning Subgraph dari $ sedangkan
6c8 bukan Spanning Subgraph dari $ 6hanya komplemen dari subgra 6b88
=ika gra tidak terhubung maka gra tersebut terdiri atas beberapa komponen
terhubung 6connected componen8 omponen terhubung 6atau disingkat EkomponenF saja 8
adalah subgra terhubung dari gra $ yang tidak terdapat di dalam subgra terhubung dari $
yang lebih besar Ini berarti setiap komponen terhubung didalam gra $ saling lepas
6disjoint8 Pada gambar 3 dibawah ini gra $ mempunyai 2 buah komponen terhubung
yaitu $$ dan $ 2 atatlah bahwa gra terhubung hanya terdiri dari satu komponen yaitu
gra itu sendiri
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1214
Page
9 3
a+ar 171 gra ag +e+0ai 3 0a +e ait0 1 2 a
3
(Munir 25)
ontoh
Tanpa menggambar granya tentukan komponen terhubung dari $ 6B-8 yang dalam hal ini
B GabcdeH dan - G6ad86cd8H
Penyelesaian
Simpul a bertetangga dengan d sedangkan simpul d bertetangga dengan c ini berarti a juga
terhubung dengan c simpul9simpul lainnyabe dan merupakan simpul terpencil Dengan
demikian ada ( buah komponen terhubung di dalam $ yaitu
$ 6B -8 dengan B GacdH dan - G6ad86cd8H
$ 6B -8 dengan B GbH dan - GH
$2 6B2 -28 dengan B2 GeH dan -2 GH
$( 6B( -(8 dengan B( GH dan -( GH
Dan Bcup
B B 2 B ( B - - - 2 - ( - $ B BB2B( empty
A
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1314
Page
N-T-
31 esimulan
o eeraa jei gra eeraa 00 ait0
1 ra -ega (Complete Graph)2 ra -igara3 ra terat0r (Regular Graphs)4 ra iartit
o $ra tak9berarah $ disebut gra terhubung jika untuk setiap pasang simpul u dan
didalam himpunan V terdapat lintasan dari u ke 6yang juga harus berarti ada lintasan
dari u ke 8
o isalkan $ 6B -8 adalah sebuah gra $ 6B - 8 adalah subgra dari $ jika B
B dan - -o K+-e+e ari 0gra 1 teraa gra aa-a gra 2 (2E2)
ee+iia eigga E2 EE1 a 2 aa-a i+0a i+0- ag
aggta aggta E2 eriia egaa7
32 Saran
Dalam mempelajari teori gra khususnya mengenai jenis9jenis gra sederhana
subgra maupun gra gabungan 6terhubung8 pembaca harus memiliki lebih dari dua
reerensi karena disetiap reerensi representasi mengenai gra disajikan dengan kata9
kata gtpenyebutan yang berbeda
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1414
Page
AFTAR -STAA
unir 1inaldi ))C Matematika Diskrit 1eisi elima andung Inormatika
httpgtgtrikiJkosasihstagunadarmaacidgtDownloadsgtilesgt23C3)gtabKK9
KDasarKTeoriK$raK60anjutan8pd 6diunduh pada tanggal C aret )+8
httpsgtgtyohananugraheniileswordpresscomgt))gtgtteori9gra9completeppt 6diunduh
pada tanggal C aret )+8
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1114
Page
$ambar 6a8 gra $ 6b8 sebuah subgra dari $ dan
6c8 komplemen dari subgra yang bersesuaian
isalkan G1 6V 1 E 18 merupakan subgra dari gra G 6V E 8 =ika V 1 V 6yaitu
G1 memuat semua simpul dari G8 maka G1 dinamakan Spanning Subgraph 6Subgra
merentang8
6a8 6b8 6c8
$ambar 6a8 gra $ Sketsa 6b8 merupaan Spanning Subgraph dari $ sedangkan
6c8 bukan Spanning Subgraph dari $ 6hanya komplemen dari subgra 6b88
=ika gra tidak terhubung maka gra tersebut terdiri atas beberapa komponen
terhubung 6connected componen8 omponen terhubung 6atau disingkat EkomponenF saja 8
adalah subgra terhubung dari gra $ yang tidak terdapat di dalam subgra terhubung dari $
yang lebih besar Ini berarti setiap komponen terhubung didalam gra $ saling lepas
6disjoint8 Pada gambar 3 dibawah ini gra $ mempunyai 2 buah komponen terhubung
yaitu $$ dan $ 2 atatlah bahwa gra terhubung hanya terdiri dari satu komponen yaitu
gra itu sendiri
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1214
Page
9 3
a+ar 171 gra ag +e+0ai 3 0a +e ait0 1 2 a
3
(Munir 25)
ontoh
Tanpa menggambar granya tentukan komponen terhubung dari $ 6B-8 yang dalam hal ini
B GabcdeH dan - G6ad86cd8H
Penyelesaian
Simpul a bertetangga dengan d sedangkan simpul d bertetangga dengan c ini berarti a juga
terhubung dengan c simpul9simpul lainnyabe dan merupakan simpul terpencil Dengan
demikian ada ( buah komponen terhubung di dalam $ yaitu
$ 6B -8 dengan B GacdH dan - G6ad86cd8H
$ 6B -8 dengan B GbH dan - GH
$2 6B2 -28 dengan B2 GeH dan -2 GH
$( 6B( -(8 dengan B( GH dan -( GH
Dan Bcup
B B 2 B ( B - - - 2 - ( - $ B BB2B( empty
A
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1314
Page
N-T-
31 esimulan
o eeraa jei gra eeraa 00 ait0
1 ra -ega (Complete Graph)2 ra -igara3 ra terat0r (Regular Graphs)4 ra iartit
o $ra tak9berarah $ disebut gra terhubung jika untuk setiap pasang simpul u dan
didalam himpunan V terdapat lintasan dari u ke 6yang juga harus berarti ada lintasan
dari u ke 8
o isalkan $ 6B -8 adalah sebuah gra $ 6B - 8 adalah subgra dari $ jika B
B dan - -o K+-e+e ari 0gra 1 teraa gra aa-a gra 2 (2E2)
ee+iia eigga E2 EE1 a 2 aa-a i+0a i+0- ag
aggta aggta E2 eriia egaa7
32 Saran
Dalam mempelajari teori gra khususnya mengenai jenis9jenis gra sederhana
subgra maupun gra gabungan 6terhubung8 pembaca harus memiliki lebih dari dua
reerensi karena disetiap reerensi representasi mengenai gra disajikan dengan kata9
kata gtpenyebutan yang berbeda
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1414
Page
AFTAR -STAA
unir 1inaldi ))C Matematika Diskrit 1eisi elima andung Inormatika
httpgtgtrikiJkosasihstagunadarmaacidgtDownloadsgtilesgt23C3)gtabKK9
KDasarKTeoriK$raK60anjutan8pd 6diunduh pada tanggal C aret )+8
httpsgtgtyohananugraheniileswordpresscomgt))gtgtteori9gra9completeppt 6diunduh
pada tanggal C aret )+8
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1214
Page
9 3
a+ar 171 gra ag +e+0ai 3 0a +e ait0 1 2 a
3
(Munir 25)
ontoh
Tanpa menggambar granya tentukan komponen terhubung dari $ 6B-8 yang dalam hal ini
B GabcdeH dan - G6ad86cd8H
Penyelesaian
Simpul a bertetangga dengan d sedangkan simpul d bertetangga dengan c ini berarti a juga
terhubung dengan c simpul9simpul lainnyabe dan merupakan simpul terpencil Dengan
demikian ada ( buah komponen terhubung di dalam $ yaitu
$ 6B -8 dengan B GacdH dan - G6ad86cd8H
$ 6B -8 dengan B GbH dan - GH
$2 6B2 -28 dengan B2 GeH dan -2 GH
$( 6B( -(8 dengan B( GH dan -( GH
Dan Bcup
B B 2 B ( B - - - 2 - ( - $ B BB2B( empty
A
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1314
Page
N-T-
31 esimulan
o eeraa jei gra eeraa 00 ait0
1 ra -ega (Complete Graph)2 ra -igara3 ra terat0r (Regular Graphs)4 ra iartit
o $ra tak9berarah $ disebut gra terhubung jika untuk setiap pasang simpul u dan
didalam himpunan V terdapat lintasan dari u ke 6yang juga harus berarti ada lintasan
dari u ke 8
o isalkan $ 6B -8 adalah sebuah gra $ 6B - 8 adalah subgra dari $ jika B
B dan - -o K+-e+e ari 0gra 1 teraa gra aa-a gra 2 (2E2)
ee+iia eigga E2 EE1 a 2 aa-a i+0a i+0- ag
aggta aggta E2 eriia egaa7
32 Saran
Dalam mempelajari teori gra khususnya mengenai jenis9jenis gra sederhana
subgra maupun gra gabungan 6terhubung8 pembaca harus memiliki lebih dari dua
reerensi karena disetiap reerensi representasi mengenai gra disajikan dengan kata9
kata gtpenyebutan yang berbeda
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1414
Page
AFTAR -STAA
unir 1inaldi ))C Matematika Diskrit 1eisi elima andung Inormatika
httpgtgtrikiJkosasihstagunadarmaacidgtDownloadsgtilesgt23C3)gtabKK9
KDasarKTeoriK$raK60anjutan8pd 6diunduh pada tanggal C aret )+8
httpsgtgtyohananugraheniileswordpresscomgt))gtgtteori9gra9completeppt 6diunduh
pada tanggal C aret )+8
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1314
Page
N-T-
31 esimulan
o eeraa jei gra eeraa 00 ait0
1 ra -ega (Complete Graph)2 ra -igara3 ra terat0r (Regular Graphs)4 ra iartit
o $ra tak9berarah $ disebut gra terhubung jika untuk setiap pasang simpul u dan
didalam himpunan V terdapat lintasan dari u ke 6yang juga harus berarti ada lintasan
dari u ke 8
o isalkan $ 6B -8 adalah sebuah gra $ 6B - 8 adalah subgra dari $ jika B
B dan - -o K+-e+e ari 0gra 1 teraa gra aa-a gra 2 (2E2)
ee+iia eigga E2 EE1 a 2 aa-a i+0a i+0- ag
aggta aggta E2 eriia egaa7
32 Saran
Dalam mempelajari teori gra khususnya mengenai jenis9jenis gra sederhana
subgra maupun gra gabungan 6terhubung8 pembaca harus memiliki lebih dari dua
reerensi karena disetiap reerensi representasi mengenai gra disajikan dengan kata9
kata gtpenyebutan yang berbeda
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1414
Page
AFTAR -STAA
unir 1inaldi ))C Matematika Diskrit 1eisi elima andung Inormatika
httpgtgtrikiJkosasihstagunadarmaacidgtDownloadsgtilesgt23C3)gtabKK9
KDasarKTeoriK$raK60anjutan8pd 6diunduh pada tanggal C aret )+8
httpsgtgtyohananugraheniileswordpresscomgt))gtgtteori9gra9completeppt 6diunduh
pada tanggal C aret )+8
8182019 Graf Sederhana
httpslidepdfcomreaderfullgraf-sederhana 1414
Page
AFTAR -STAA
unir 1inaldi ))C Matematika Diskrit 1eisi elima andung Inormatika
httpgtgtrikiJkosasihstagunadarmaacidgtDownloadsgtilesgt23C3)gtabKK9
KDasarKTeoriK$raK60anjutan8pd 6diunduh pada tanggal C aret )+8
httpsgtgtyohananugraheniileswordpresscomgt))gtgtteori9gra9completeppt 6diunduh
pada tanggal C aret )+8
