1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Dalam suatu model matematika, berbagai masalah atau situasi

kehidupan sehari-hari biasanya didefinisikan kemudian dinyatakan

dalam suatu sistem yang bersifat matematis. Salah satu contoh

representasi keadaan nyata (riil) yag banyak diketahui dapat kita

jumpai dalam geometri datar, program linier maupun trigonometri.

Graf merupakan contoh lain dari representasi keadaan nyata yang

banyak sekali manfaatnya.

Graf secara kasar dapat diartikan sebagai suatu diagram yang

memuat informasi tertentu jika di interpretasikan secara tepat. Dalam

kehidupan sehari-hari graf diguakann untuk menggambarkan berbagai

macam struktur yang ada. Tujuannya adalah sebagai visualisasi objek-

objek agar lebih mudah dimengerti. Beberapa contoh graf yang

dijumpai dalam kehidupan nyata, antara lain struktur organisasi, bagan

alir pengambilan mata kuliah, peta, rangkaian listrik dll. Tiap diagram

memuat sekumpulan objek (kotak,titik dll.) dan garis yang

menghubungkan objek-objek tersebut. Garis bisa berarah atau tidak

berarah. Garis berarah biasanya digunakan untuk menyatakan

hubungan yang mementingkan urutan diantara objek-objek. Urutan

objek-objek akan berarti lain jika arah garis diubah. Sebaliknya, garis

2

tidak berarah digunakan untuk menyatakan hubungan antara objek

yang tidak mementingkan urutan.

Karena begitu pentingnya aplikasi graf dalam kehidupan sehari-hari

dan pada perkembangan komputer maka pemahaman teori graf mutlak

untuk dipahami dewasa ini supaya kita tidak hanya terjebak dalam

penguasaan kulit tanpa pengertian akan isinya.

Terkadang dalam menggambar graf sederhana biasanya kita akan

mengalami kesulitan dalam menentukan urutan gambar yang belum

digambar. Oleh karena itu, dalam seminar matematika ini penulis akan

khusus mengkaji dasar teori graf hingga penyelesaian graf sederhana

menggunakan cara yang lebih efektif yang ditemukan penulis sendiri

sehingga gambar graf akan tersusun secara sistematis dan jauh dari

kesulitan dalam menentukan gambar graf yang belum digambar pada

banyak graf-graf sederhana yang terbentuk dari beberapa titik dan

beberapa garis.

1.2 Rumusan Masalah

1.2.1 Apakah yang dimaksud dengan graf ?

1.2.2 Apakah dasar-dasar teori graf ?

1.2.3 Bagaimana cara efektif untuk menyelesaikan graf sederhana

dalam mata kuliah matematika diskrit ?

3

1.3 Tujuan

Dari latar belakang dan rumusan masalah yang telah terurai,

maka tujuan yang ingin dicapai dalam seminar makalah ini adalah:

1.3.1 Anggota seminar dapat memahami pengertian graf.

1.3.2 Anggota seminar dapat memahami dasar-dasar teori graf.

1.3.3 Anggota seminar dapat memahami dan menggunakan cara

efektif untuk menyelesaikan graf sederhana dalam mata kuliah

matematika diskrit.

1.4 Manfaat

1.4.1 Manfaat Praktis

Hasil seminar ini diharapkan dapat bermanfaat bagi mahasiswa,

guru dan pemerhati pendidikan khususnya di bidang matematika.

a. Bagi mahasiswa

Hasil penelitian ini diharapkan dapat meningkatkan kemampuan

berpikir mahasiswa dan penentuan sikap ataupun karakter yang tepat

dalam upaya meningkatkan prestasi belajar mahasiswa.

b. Bagi guru dan pemerhati pendidikan

Menambah masukan tentang alternatif dalam menyelesaikan graf

sederhana sehingga dapat memberikan sumbangan nyata bagi

peningkatan prestasi belajar matematika mahasiswa selanjutnya.

4

1.4.2 Manfaat Teoretis

Hasil penelitian ini diharapkan dapat memberikan kontribusi

dalam bidang pendidikan dan memperkaya teori pendidikan khususnya

dalam bidang matematika.

5

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Landasan Teori

2.1.1 Pengertian Graf

Graf secara kasar dapat diartikan sebagai suatu diagram yang

memuat informasi tertentu jika di interpretasikan secara tepat. Dalam

kehidupan sehari-hari graf diguakann untuk menggambarkan berbagai

macam struktur yang ada. Tujuannya adalah sebagai visualisasi objek-

objek agar lebih mudah dimengerti. Beberapa contoh graf yang dijumpai

dalam kehidupan nyata, antara lain struktur organisasi, bagan alir

pengambilan mata kuliah, peta, rangkaian listrik dll. Tiap diagram memuat

sekumpulan objek (kotak,titik dll.) dan garis yang menghubungkan objek-

objek tersebut. Garis bisa berarah atau tidak berarah. Garis berarah

biasanya digunakan untuk menyatakan hubungan yang mementingkan

urutan diantara objek-objek. Urutan objek-objek akan berarti lain jika arah

garis diubah. Sebaliknya, garis tidak berarah digunakan untuk menyatakan

hubungan antara objek yang tidak mementingkan urutan.

6

2.1.2 Dasar-dasar teori Graf

Definisi 2.1.2

Sebuah graf adalah suatu himpunan V yang tidak kosong, yang memenuhi

sifat tidak refleksi dan simetris dari suatu relasi pada V.

Suatu graf G terdiri dari dua himpunan yang berhingga, yaitu

himpunan titik-titik yang tak kosong dan himpunan garis-garis. Oleh

karena relasi R pada V simetris, maka untuk setiap pasangan terurut (u,v) ϵ

R dinotasikan dengan E.

Sebagai contoh, sebuah graf G dapat didefinisikan dengan himpunan

V = {v1 ,v2 ,v3,v4 } dan relasi R = {( v1,v3), (v2,v3), ( v2,v4), ( v3,v4), ( v3,v1) (

v3,v2), ( v4,v2) ,( v4,v3) }

Dalam hal ini E = {( v1,v3), (v2,v3), ( v2,v4), ( v3,v4) }

= (e1, e2 ,e3 ,e4 )

Dalam sebuah graf G, V merupakan himpunan titik dan setiap

elemen V disebut titik (vertex) yang disimbolkan dengan V(G). banyaknya

titik dalam G disebut orde dari G. sedangkan E disebut sisi (Edge) yang

disimbolkan dengan E(G). Banyaknya sisi dalam G disebut dengan ukuran

dari G.

Dengan demikian |V| = orde dari G dan |E| = ukuran dari G.

Setiap garis berhubungan dengan satu atau dua titik. Titik-titik tersebut

disebut dengan titik ujung.

Garis yang hanya berhubungan dengan satu titik disebut dengan loop.

7

Dua garis berbeda yang menghubungkan titik yang sama disebut degan

garis pararel. Dua titik dikatakan berhubungan (adjecent) jika ada garis

yang menghubungkan keduanya. Titik yang tidak mempunyai garis yang

berhubungan dengannya disebut titik terasing (isolating point).

Jika graf G didefinisikan dalam bentuk sebuah himpunan titik V dan suatu

relasi R pada V, maka (u,v) ϵ R dan (v,u) juga elemen R.

Dengan demikian {(u,v),(v,u)} adalah sebuah sisi dari G.

Untuk memudahkan penulisan, sebuah sisi cukup dinyatakan dalam notasi

uv atau vu saja. Dengan demikian graf G dalam contoh diatas dapat

dijadikan sebagai himpunan V= {v1 ,v2 ,v3,v4 } dan E = {( v1,v3), (v2,v3),

( v2,v4), ( v3,v4) } sehingga orde dan ukurannya adalah 4.

Himpunan V x V dimungkinkan berupa himpunan kosong, karena

relasi R pada V memenuhi sifat tidak refleksif dan antisimetris.

Hal ini berakibat bahwa himpunan sisi dari suatu graf bisa berupa himpuan

kosong atau dengan kata lain sebuah graf mungkin tidak mempunyai sisi.

Graf yang tidak memiliki titik (sehingga tidak memiliki garis) disebut

dengan graf kosong.

Dalam graf tak berarah (undirected graph) yaitu graf yang semua

garisnya tidak berarah, garis e dengan titik ujung ( u,v) menyatakan suatu

garis dari titik u ke titik v.

8

Dengan diketahuinya graf, maka himpunan garis, titik, serta titik-titik

ujungnya adalah tunggal. Akan tetapi tidak berlaku sebaliknya. Dengan

diketahui himpunan garis, titik serta titik-titik ujungnya, maka dapat

dibentuk graf yang berbeda.

Perbedaan graf tersebut terletak pada panjang garis, kelengkungan dan

posisi titik yang berbeda antara graf yang satu dengan yang lainnya. Akan

tetapi, visualisasi perbedaan panjang garis, kelengkungan dan posisi titik

tidak berpengaruh, maka graf-graf tersebut merupakan graf yang sama

meskipun secara visual tampak berbeda.

2.1.3 Derajat (Degree)

Sebelumnya sudah diperkenalkan dua bilangan yang berkenaan

dengan orde dan ukuran sebuah graf. Selanjutnya kita akan membicarakan

sejumlah bilangan yang berkaitan dengan suatu graf G. Misalkan v adalah

sebuah titik dari G. banyaknya sisi dari G yang berujung di v disebut

dengan derajat dari v yang disimbolkan dengan deg Gv atau deg v atau

d(v).

Definisi 2.1.3 : Misalkan v adalah titik dalam suatu graf G. Derajat

titik v (deg v) adalah jumlah garis yag berhubunngan dengan titik v dan

garis suatu loop dihitung dua kali. Derajat total G adalah jumlah derajat

semua titik dari G.

9

Teorema 2.1.3.1 : Misalkan G adalah sebuah graf. Jumlah derajat total

suatu graf adalah genap atau

Teorema 2.1.3.2 : Jika k adalah banyaknya titik ganjil dari suatu graf,

maka k genap atau jumlah titik yang berderajat ganjil dalam suatu graf

adalah genap.

Misalkan R adalah jumlah derajat semua titik yang berderajat

genap, S adalah jumlah derajat semua titik yang berderajat ganjil dan T

adalah derajat total graf G.

Jika R=deg v1 + deg v2 + ... + deg vk

S= deg u1 + deg u2 + ... + deg un

Maka T = R + S, dimana T adalah bilangan genap. Dari relasi T = R + S

berarti S = T - R. Oleh karena T dan R bilangan –bilangan genap, maka

S = deg u1 + deg u2 + ... + deg uk merupakan bilangan genap. Padahal

menurut asumsi deg u1 + deg u2 + ... + deg uk masing-masing adalah

bilangan ganjil. Jadi S berupa bilangan genap jika merupakan jumlahan uk

buah bilangan ganjil. Hal ini bisa terjadi apabila banyaknya uk atau k

adalah genap.

2.1.4 Graf Sederhana ( Simple Graph )

Definisi 2.1.4 : graf sederhana adalah graf yang tidak

memiliki loop atau pun garis pararel.

10

Contoh 2.1.4.1 :

Gambarlah semua graf yang dapat dibentuk dari 3 titik {a,b,c} dan 2 garis.

Penyelesaian :

Dalam graf sederhana sebuah garis selalu berhubungan dengan dua buah

titik. Oleh karena ada 3 buah titik, maka buah garis

yang mungkin dibuat, yaitu garis-garis yang titik ujungnya (a,b) , (a,c) dan

(b,c). Selanjutnya dari tiga garis yang mungkin akan dipilih 2 diantaranya.

Jadi ada buah graf yang mungkin dibentuk.

Graf –graf tersebut dapat dilihat pada gambar 2.1 berikut ini.

a a a

b c b c b c

Gambar 2.1

Jika tiap titik dari suatu graf G memiliki derajat yang sama misalnya n,

maka graf G adalah graf regular denngan derajat n (graf lengkap) atau

sering disebut dengan n-reguler. Sebuah graf lengkap orde p adalah

(p-1) – regular dan dinotasikan dengan Kp.

11

2.1.5 Cara Efektif Menyelesaikan Graf Sederhana

Contoh 2.1.5 :

Gambarlah graf yang dapat dibentuk dari 5 buah titik dan 3 buah garis.

Penyelesaian :

Langkah 1 ;

Dalam graf sederhana sebuah garis selalu berhubungan dengan dua buah

titik. Oleh karena ada 5 buah titik, maka buah garis

yang mungkin dibuat.

Selanjutnya dari tiga garis yang mungkin akan dipilih 2 diantaranya.

Jadi ada buah graf yang mungkin dibentuk.

Langkah 2 ;

Kita misalkan titik-titik yang ada dinamakan titik {a,b,c,d,e}.

Sehingga didapat 10 garis yang titik ujungnya {ab, ac, ad, ae, bc, bd, be,

cd, ce, de}

Misalkan, {ab=1, ac=2, ad=3, ae=4, bc=5, bd=6, be=7, cd=8, ce=9,

de=10}

Sehingga dapat dibuat tabel atau diagram sebagai berikut :

12

Sehingga gambar graf yang terbentuk dari tabel adalah sebagai berikut :

13

1. Graf 123 :

2. Graf 124 :

3. Graf 125 :

Dan seterusnya hingga 120 gambar graf.

Soal Latihan :

1. Buatlah semua graf yang terbentuk dari 4 buah titik dan 3 buah garis !

BAB III

a

b

c d

e

b

c d

e

b

c d

e

a

a

14

PENUTUP

1.1. Kesimpulan

Dengan penyelesaian graf menggunakan cara efektif seperti

diatas, maka diharapkan pembaca akan lebih mudah dalam

menggambar graf yang terbentuk. Terutama dalam pembuatan graf

dalam jumlah besar seperti pada contoh 2.1.5 dengan jumlah graf

sebanyak 120 buah.

1.2. Saran

Diharapkan kepada pembaca agar mempelajari materi di

berbagai sumber atau referensi mengingat cakupan materi yang

disajikan dalam makalah ini masih sangat terbatas.

Diharapkan kepada pembaca agar memperhatikan seminar

sebaik mungkin, karena jika hanya berdasarkan makalah,

pemahaman mengenai isi materi belum optimal.

DAFTAR PUSTAKA

15

Jong Jek Siang. 2006. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu

Komputer .Yogyakarta:Andi

Eka Mahendra I Wayan.2010 .Diktat Mata Kuliah Matematika Diskrit.

Denpasar