Appunti scritti dal prof. Antonio Fanelli

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GRAFICI DI FUNZIONI GONIOMETRICHE E TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

GRAFICI DI FUNZIONI GONIOMETRICHE E TRASLAZIONI ORIZZONTALI Sia ( )xfy = una funzione e sia k un numero reale positivo. Allora

• il grafico della funzione ( )kxfy −= risulta traslato “in orizzontale di k verso destra”;

• il grafico della funzione ( )kxfy += risulta traslato “in orizzontale di k verso sinistra”. Esempio

Il grafico di

−=6

πxseny

(in rosso) si ottiene con una traslazione orizzontale “verso destra” di senxy = (in nero), mentre il grafico di

+=6

πxseny (in blu) si

ottiene con una traslazione orizzontale “verso sinistra” di senxy = (in nero).

GRAFICI DI FUNZIONI GONIOMETRICHE E TRASLAZIONI VERTICALI Sia ( )xfy = una funzione e sia b un numero reale positivo. Allora

• il grafico della funzione ( ) bxfy += risulta traslato “in verticale di b verso l’alto”;

• il grafico della funzione ( ) bxfy −= risulta traslato “in verticale di b verso il basso” Esempio Il grafico di 1+= senxy (in rosso) si ottiene con una traslazione verticale “verso l’alto” di senxy = (in nero), mentre il grafico di

1−= senxy (in blu) si ottiene con una traslazione verticale “verso il basso” di

senxy = (in nero).

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GRAFICI DI FUNZIONE E DILATAZIONI-CONTRAZIONI IN VERTICALE Sia ( )xfy = una funzione e sia a un numero reale positivo. Allora

• il grafico della funzione ( )xafy = risulta “contratto” di un fattore a “in verticale” se 10 << a ;

• il grafico della funzione ( )xafy = risulta “dilatato” di un fattore a “in orizzontale” se 1>a . Il grafico di senxy 2= (in rosso) si ottiene con una dilatazione verticale di fattore 2 di senxy = (in nero), mentre il grafico di

senxy2

1= (in blu) si

ottiene con una contrazione verticale di fattore 1/2 di

senxy = (in nero).

GRAFICI DI FUNZIONE E DILATAZIONI-CONTRAZIONI IN ORIZZONTALE Sia ( )xfy = una funzione e sia ω un numero reale positivo. Allora

• il grafico della funzione ( )xfy ω= risulta “dilatato” di un fattore ω “in orizzontale” se 10 << ω ;

• il grafico della funzione ( )xfy ω= risulta “contratto” di un fattore ω “in orizzontale” se 1>ω . Il grafico di xseny 2= (in rosso) si ottiene con una contrazione orizzontale di fattore 2 di senxy = (in nero), mentre il grafico di

2

xseny = (in blu) si ottiene

con una dilatazione orizzontale di fattore 1/2 di

senxy = (in nero).

OSSERVAZIONE IMPORTANTE Le contrazioni-dilatazioni “in orizzontale” cambiano il periodo di una funzione periodica. Se T è il

periodo della funzione ( )xfy = e T’ quello della funzione ( )xfy ω= allora ωT

T =′ . In particolare

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il periodo delle funzioni ( )xseny ω= , ( )xy ωcos= è ωπ2

, mentre quello delle funzioni ( )xtgy ω=

e ( )xgy ωcot= è ωπ

.

ESEMPIO PARTICOLARE

Supponiamo di voler rappresentare la funzione 13

22 −

−= πxseny . Si parte dal grafico di

senxy = e di deve arrivare al grafico desiderato. Riscriviamo la funzione come

16

22 −

−= πxseny e operiamo nel seguente modo:

1) passiamo da senxy = (in nero) a

−=6

πxseny (in rosso) con una traslazione orizzontale

“verso destra” di π/6;

2) passiamo da

−=6

πxseny (in rosso) a

−=6

2π

xseny (in blu) con una contrazione

orizzontale di fattore 2 e di centro nel punto

0;

6

π;

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3) passiamo da

−=6

2π

xseny (in blu) a

−=6

22π

xseny (in verde) con una dilatazione

verticale di fattore 2;

4) passiamo da

−=6

22π

xseny (in verde) a 16

22 −

−= πxseny (in nero) con una

traslazione verticale “verso il basso” di 1.

GRAFICI DI FUNZIONE E SIMMETRIE Sia ( )xfy = una funzione allora

• il grafico della funzione ( )xfy −= risulta simmetrico a quello di ( )xfy = rispetto all’asse y;

• il grafico della funzione ( )xfy −= risulta simmetrico a quello di ( )xfy = rispetto all’asse x;

• il grafico della funzione ( )xfy −−= risulta simmetrico a quello di ( )xfy = rispetto all’origine O.

Esempio

Consideriamo la funzione ( )

−==3

πxsenxfy il cui grafico è

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Il grafico di ( )

−−=−=3

.π

xsenxfy (in rosso) è

Il grafico di ( )

−−=−=3

.π

xsenxfy (in rosso) è

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Il grafico di ( )

−−−=−−=3

.π

xsenxfy (in rosso) è

GRAFICI DI FUNZIONE E VALORE ASSOLUTO Sia ( )xfy = una funzione allora

• il grafico della funzione ( )xfy = si ottiene “simmetrizzando” la parte di grafico di ( )xfy =

che si trova nel semipiano delle ascisse positive rispetto all’asse y; • il grafico della funzione ( )xfy = si ottiene “simmetrizzando” la parte di grafico di ( )xfy =

che si trova nel semipiano delle ordinate negative rispetto all’asse x e lasciando inalterata la parte restante;

• il grafico della funzione ( )xfy = si ottiene svolgendo in successione le due operazioni

precedenti. Esempio

Consideriamo la funzione ( )

−==3

πxsenxfy il cui grafico è

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Il grafico di ( )

−==3

πxsenxfy (in rosso) è

Il grafico di ( )

−==3

πxsenxfy (in blu) è

Il grafico di ( )

−==3

πxsenxfy (in verde) è