Grafy sąsiedztwa w zbiorach o wielkich rozmiarach

Mirosław KowalukWydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki

Uniwersytet Warszawski

Niech P = {p1, ... , pn} będzie zbiorem punktów na płaszczyźnie. Dla każ-dego z punktów należących do S określamy obszar Voronoi zawierający punkty płaszczyzny, dla których dany punkt jest najbliższy spośród punktów z S, tzn.: VD(pi) = {x: ij d(pi,x) d(pj,x)}.

Podział płaszczyzny na obszary Voronoi nazywamy diagramem Voronoi.

Triangulacją Delaunay dla zbioru punktów P (DT(P)) nazywamy graf dualny do diagramu Voronoi, którego wierzchołkami są punkty z P, a krawędzie łączą wierzchołki należące do sąsiednich obszarów Voronoi.

Minimalnym drzewem rozpinającym dla zbioru punktów P (MST(P)) nazywamy drzewo o wierzchołkach w punktach z P, którego suma długości krawędzi jest minimalna.

= 0,8 = 0,95

Dla danego zbioru P zawierającego n punktów w Rm -skeletonami nazywamy rodzinę grafów o wierzchołkach z P, parametryzowaną przez wartość , takich, że dwa punkty x,y P są połączone krawędzią, gdy żaden inny punkt z P nie należy do obszaru R(x,y,), gdzie:

2. Dla 0 < < 1, R(x,y,) jest częścią wspólną dwóch kul o promieniu d(x,y)/2, których brzegi zawierają oba punkty x i y.

1. Dla = 0, R(x,y,) jest odcinkiem xy .

yx

= 1

3. Dla 1 < , R(x,y, ) jest częścią wspólną dwóch kul o promieniu

d(x,y)/2 i środkach odpowiednio w punktach (1-/2)x+(/2)y oraz

(/2)x+(1-/2)y.

4. Dla = , R(x,y,) jest nieskończonym pasem prostopadłym do prostej przechodzącej przez x i y, którego brzeg zawiera x i y.

=

yx

= 2

Zastosowania.

Modelowanie powierzchni.

(http://www.iah.bbsrc.ac.uk/phd/gisruk95.html)

Analiza zdjęć medycznych.

(http://noodle.med.yale.edu/~robinson/)

x y

z

Własności -skeletonów.-skeleton dla zbioru punktów P i = 1 nazywamy grafem Gabriela (GG(P)) (Gabriel,Sokal 69), a dla = 2 nazywamy grafem relatywnego sąsiedztwa (RNG(P)) (Toussaint 80).

Twierdzenie (Kirkpatrick,Radke 85).

GG(P) MST(P) RNG(P) DT(P)

x y

z

w

Konstrukcja –skeletonów.

Twierdzenie (Supowit 83).

RNG(P) w R2 można znależć w czasie O(n log n).

Twierdzenie (Matula,Sokal 84).

GG(P) w R2 można znaleźć w czasie O(n log n).

Twierdzenie (Jaromczyk,Kowaluk 87)

–skeletony (dla 1 2) w R2 można wyznaczyć z DT(P) w czasie O(n).

Twierdzenie (Chazelle,Edelsbrunner,Guibas,Hershberger,Seidel,Sharir 90).

GG(P) w R3 może mieć (n2) krawędzi.

Fakt.

RNG(P) w Rm dla m > 3 może mieć (n2) krawędzi.

Niech L(u,v) oznacza długość najkrótszej ścieżki w grafie łączącej wierz-chołki u i v spójnego grafu G w R2, a D(u,v) oznacza odległość między u i v. Współczynnik rozpięcia S grafu G definiujemy jako

S = max (u,v) G L(u,v)/D(u,v) .

Twierdzenie (Keil,Gutwin 92).

Współczynnik rozpięcia DT(P), gdzie |P| = n, wynosi O(1).

Twierdzenie (Bose,Devroye,Evans,Kirkpatrick 02).

Współczynnik rozpięcia RNG(P), gdzie |P| = n, wynosi (n).

Współczynnik rozpięcia GG(P), gdzie |P| = n, wynosi O(n1/2).

L(u,v)

D(u,v)vu

Grafy definiowane przez różne obszary.

grafy planarne

grafy bez trójkątów

grafy bez czworokątów

grafy acykliczne

Uogólnienie dla dowolnych grafów.

Niech G = (V, U, E) będzie grafem, w którym V oznacza zbiór wierzchołków, U V jest wyróżnionym zbiorem wierzchołków, E oznacza zbiór krawędzi.

Krawędzie grafu G mają dodatnie wagi.

Niech MG(p,q) oznacza zbiór środków najkrótszych ścieżek łączących wierzchołki p i q.

Możemy zdefiniować różne nowe rodzaje grafów.

Załóżmy, że najkrótsze ścieżki w G są jednoznacznie określone

(zbiory MG są jednoelementowe).

GGf(G) = (U, F) jest grafem takim, że (ui, uj) F wtedy i tylko wtedy, gdy w U nie istnieje punkt (różny od ui i uj), który leży bliżej punktu p = MG(ui, uj) niż ui, uj.

Załóżmy, że żadne dwie najkrótsze ścieżki w G nie są równe.

GGc(G) = (U, F) jest grafem takim, że (ui, uj) F wtedy i tylko wtedy, gdy domknięte koło DG(v, r), gdzie v V i r = minv V {r: DG(v, r) zawiera ui i uj}, nie zawiera żadnego innego wierzchołka należącego do U.

Otrzymujemy następującą zależność:

MST RNG GGc GGf DTc DTf

Inicjatywa EuroCORES – European Collaborative Research

Program EuroGIGA – Graphs in Geometry and Algorithms

Projekt – Spatial Decompositions and Graphs (VORONOI)

Ośrodki uczestniczące w projekcie:

- Berlin,

- Bonn,

- Bruksela,

- Graz,

- Linz,

- Lugano,

- Sevilla,

- Warszawa.

Otwarte problemy.

1. Rozmiar RNG(P) w R3.

2. Wartość , dla której dana krawędź przestaje należeć do -skele-tonu.

3. Wartość , dla której -skeleton przestaje mieć rozmiar liniowy.

4. Oszacowanie współczynnika rozpięcia dla 1 2.

5. Sposoby dekompozycji dużych grafów.

6. Kompresja dużych grafów.

7. Obliczenia rozproszone.

Dziękuję za uwagę.