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Grandezas Escalares e Vetoriais
Prof. Climério Soares
Definição de grandeza:
É tudo aquilo que pode ser medido
Exemplos:
Comprimento Aceleração Força Velocidade
Tipos
Grandezas escalares
Grandezas Vetoriais
Grandezas Escalares
São grandezas que se caracterizam apenas por um valor acompanhado uma unidade de medida.
Exemplos: Massa ( a massa de uma pessoa é 57 kg);
Temperatura (a temperatura da sala de aula é 27°C);
Tempo (uma aula tem duração de 50min).
Grandezas Vetoriais
São grandezas que para serem definidas precisam de um módulo (valor + unidade de medida), direção e sentido.Exemplos: Velocidade (Um corpo foi lançado com uma velocidade de 30 m/s); Aceleração (Um carro manteve uma aceleração de 5 m/s²);
Força (Foi aplicada uma força de 50 N).
Representação Gráfica
Direção
Sentido
Comprimento = módulo
A B
Representa-se um vetor por um segmento de reta orientado. A origem e a extremidade do vetor pode ser representado por duas letras maiúsculas (A = origem; B = extremidade)
Representação Simbólica
Uma grandeza vetorial deve sempre ser representada, simbolicamente, por uma letra com uma seta em cima:
vetorVV
V
Módulo do vetor V
V = Módulo do vetor V
AB Módulo do vetor de extremidades A e B
Comparação de Vetores
Vetores iguais
Vetores opostos
Dois vetores são iguais quando possuem mesmo módulo (valor, intensidade), mesma direção e mesmo sentido.
Dois vetores são opostos quando possuem mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos.
Comparação de Vetores
Exemplos:
x
y
4 u
4 u
2,5 u
z
w
Vetores iguais
Vetores opostos
yx
2,5 u
wz
Operações com Vetores
Soma
Diferença
Multiplicação de um número real por um vetor
Operações com Vetores
Adição de Vetores
Podemos somar vetores usando duas regras:
Regra do Polígono
Regra do Paralelogramo
Operações com Vetores
Regra do Polígono
É usada, principalmente, para somar sistemas com mais de dois vetores.
Exemplo: No plano quadriculado a seguir temos três vetores e ba
, :c
Operações com Vetores
Regra do Polígono
Qual o módulo do vetor resultante da soma desses vetores?
Operações com Vetores
Resolução: Inicialmente, devemos transladar os vetores, de modo que a origem de um coincida com a extremidade do outro, tomando cuidado para manter as características (módulo, direção e sentido) de cada vetor sem alteração.O vetor soma (resultante) será aquele que fecha o polígono, partindo da origem do primeiro vetor e chegando à extremidade do último vetor.
Regra do Polígono
Regra do Polígono
Operações com Vetores
Observe que o vetor soma é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos 3 u e 4 u. Aplicando, então, o Teorema de Pitágoras, temos:
2516943 22222 sss s = 5 u
Operações com VetoresRegra do Polígono
Observação:
Quando os segmentos orientados que representam os vetores formam um linha poligonal fechada (a extremidade do último segmento orientado coincide com a origem do primeiro), o vetor soma é chamado vetor nulo e é representado por 0
0321
VVVS
O módulo do vetor nulo é zero
Operações com Vetores
Regra do Paralelogramo:
Essa regra é usada quando os vetores têm a mesma origem e formam um ângulo entre si.
Para encontrar o vetor resultante, devemos:
1.Tracejar retas paralelas aos dois vetores;
2.O vetor soma (resultante) sai do ponto comum até encontrar o ponto de interseção das retas tracejadas.
Operações com Vetores
Regra do paralelogramo
1r
2r
R
Para encontrar o módulo do vetor soma (resultante), utilizamos a Lei do cossenos:
cos2 212
22
12 rrrrR
Operações com Vetores
Regra do paralelogramo
Exemplo:
Dois vetores e , de mesma origem, formam entre si um ângulo , como mostra a figura a seguir. Se os módulos desses vetores são a = 7 u, e b = 8 u, qual o módulo do vetor soma?
a
b
60
60
a
b
Operações com Vetores
Regra do paralelogramo
a s
b
Resolução:
Usando a lei dos cossenos, temos:
s² = 7² + 8² + 2 ∙ 7 ∙ 8 cos θ s² = 49 + 64 + 112∙ cos 60° s² = 169s = 13 u
Operações com Vetores
Casos particulares:
A) Se o ângulo formado pelo vetores é α = 0°, eles possuem a mesma direção e o mesmo sentido.
Sendo S o módulo do vetor resultante, temos:
NF 301
NF 402
403021 RFFR
NR 70
R
Operações com Vetores
Casos particulares:
B) Se α = 90°, podemos calcular o módulo do vetor resultante R utilizando o Teorema de Pitágoras:
NF 301
NF 402
R
250016009004030 2222 RRR
NR 50
Operações com Vetores
Casos particulares:
C) Se o ângulo formado pelos vetores é de 180°, eles possuem a mesma direção e sentidos opostos.
NF 301
NF 402
R
O módulo do vetor R fica determinado por:
NRR 103040
Operações com Vetores
Subtração de Vetores
Considere dois vetores e . A diferença entre esses dois vetores é dada por:
Portanto para subtrair de , deve-se adicionar ao oposto de .
xy
)( yxyxd
yx
x
y
Operações com Vetores
Subtração de Vetores
x
y
y
x
d
d
x
y
Fig. 1 Fig. 2
Fig. 3
Operações com Vetores
Subtração de Vetores
Na figura 2, para obter o vetor diferença foi usado a regra do paralelogramo;
No caso da figura 3, foi unida as origens de e e o vetor foi obtido apontando para o vetor que se lê primeiro na expressão , no caso o vetor .
xy
d
yxd
x
Operações com Vetores
O módulo do vetor diferença pode ser calculado como:
Observação:A adição e a subtração de vetores são definidas de forma que podemos trabalhar com equações vetoriais da mesma maneira como é feita com equações com números reais, passando um termo de um lado para outro, trocando de sinal. Exemplo: é equivalente a
cos222 yxyxd
yxd
dyx
Operações com Vetores
Exemplo:
No plano quadriculado abaixo, estão representados dois vetores e . O módulo do vetor diferença vale:
Usando o teorema de Pitágoras, a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u e) 5 u
xy
yx
y
udd 543 22
Operações com Vetores
Multiplicação de um número real por um vetor
Ao multiplicar um número real n por um vetor obtemos um outro vetor tal que:
Para n ≠ 0, terá as seguintes características:
módulo: (produto dos módulos)direção: a mesma do vetor .sentido: o mesmo de , se n > 0; oposto se n < 0.
1r
1rnp
1rnp 1r
p
p
1r
Operações com vetores
Multiplicação de um número real por um vetor
Exemplo:
Decomposição de um vetor
Qualquer vetor , em um plano, pode ser representado pela soma de dois outros vetores, chamados de componentes retangulares como:
a
yx ppp
p
yp
xp
y
x0
Decomposição de um vetor
Para encontrarmos o módulo das componentes e , devemos usar as relações trigonométricas do triângulo retângulo:
xp
yp
coscos ppp
px
x
senppp
psen y
y yp
xp
p
222yx ppp
Decomposição de um Vetor
Exemplos: 1. Um avião sobe com velocidade de 200 m/s e com 30° de inclinação em relação à horizontal conforme a figura. Determine as componentes da velocidade na horizontal (eixo x) e na vertical (eixo y).Dados: sen 30° = 0,5 e cos 30° ≈ 0,9.
Decomposição de um vetor
Resolução:Na figura abaixo são mostrados os vetores componentes e :
xv
yv
vx = v ∙ cos 30° 200 ∙ 0,9 v⇒ ⇒ x = 180 m/s
vy = v ∙ sen 30° 200 ∙ 0,5 v⇒ ⇒ y = 100 m/s
Decomposição de um vetor2. Na figura a seguir, cada quadradinho tem lado que mede 4 N de força. Determine o vetor força em módulo, direção e sentido, usando a decomposição de vetores e a regra do polígono.
Decomposição de um vetor3. Determine o módulo e a representação do vetor força resultante das forças apresentadas na figura abaixo. (Dados: sen 30° = 0,5; cos 30° ≈ 0,9; sen 20° ≈ 0,3; cos ≈ 0,9; sen 45° = cos 45° ≈ 0,7).