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Gravitacao
GRAVITACAOMecanica II (FIS-26)
Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pela
IEFF-ITA
4 de junho de 2013
R.R.Pela Gravitacao
Gravitacao
Roteiro
1 GravitacaoIntroducaoLei da Gravitacao UniversalCampo Gravitacional, Energia Potencial GravitacionalCampo CentralEquacao da Trajetoria
R.R.Pela Gravitacao
Gravitacao
IntroducaoLei da Gravitacao UniversalCampo Gravitacional, Energia Potencial GravitacionalCampo CentralEquacao da Trajetoria
Roteiro
1 GravitacaoIntroducaoLei da Gravitacao UniversalCampo Gravitacional, Energia Potencial GravitacionalCampo CentralEquacao da Trajetoria
R.R.Pela Gravitacao
Gravitacao
IntroducaoLei da Gravitacao UniversalCampo Gravitacional, Energia Potencial GravitacionalCampo CentralEquacao da Trajetoria
Motivacao
Movimento dos corpos celestes: um problema que temintrigado o homem desde o inıcio da civilizacao.
R.R.Pela Gravitacao
Gravitacao
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Motivacao
Gregos: a Terra ocupa o centro geometrico do Universo eos corpos celestes se movem em torno dela.
Primeira hipotese: corpos celestes descrevem trajetoriascirculares concentricas tendo a Terra como centro comum.Tal hipotese, entretanto, nao concordava com asobservacoes.
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Motivacao
Solucao: Teoria dos Epiciclos, formulada por Ptolomeu.
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Motivacao
Essa descricao foi aceita como correta ate que, no seculoXVI, o monge polones Nicolau Copernico propos que omovimento dos planetas, incluido a Terra, fosse feitorelativamente ao Sol, que estaria no seu centro.A ideia havia sido proposta por Aristarco no seculo III a.C.
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Motivacao
A hipotese de Copernico auxiliou Kepler a descobrir as leisdo movimento planetario.O passo seguinte foi a discussao da dinamica demovimento planetario e a interacao responsavel por ele.Foi nesse ponto que Isaac Newton deu sua notavelcontribuicao, a Lei da Gravitacao Universal.
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Gravitacao
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Lei da Gravitacao Universal
Lei da Gravitacao Universal
A interacao gravitacional entre dois corpos pode ser expressa poruma forca central, atrativa, proporcional as massas dos corpos einversamente proporcional ao quadrado da distancia entre eles.
Matematicamente:
~F = −Gmm′
r2ur
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Lei da Gravitacao Universal
Se nao tivermos massas puntiformes, mas uma delasestiver distribuıda numa linha, numa superfıcie ou numvolume, teremos, respectivamente:
1 Linha: ~F = −Gm∫λdl
r2ur
2 Superfıcie: ~F = −Gm∫σdA
r2ur
3 Volume: ~F = −Gm∫ρdv
r2ur
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Exemplo
A massa M esta uniformemente distribuıda ao longo de umdisco de raio a. Determine a intensidade da forca gravitacionalentre o disco e a partıcula de massa m localizada a umadistancia x acima do disco. Forneca sua resposta em funcaode M , m, x, a e da constante de gravitacao universal G.
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Campo Gravitacional
Este conceito e analogo ao de campo eletricoDependen apenas de 1 corpo, diferentemente da forca(que depende de dois corpos).E definido como a razao entre a forca gravitacional e amassa (de um corpo de teste).
~g =~F
m′= −Gm
r2ur
O sinal de menos indica que o campo gravitacional edirigido sempre para a massa que o produz.
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Campo Gravitacional
De forma analoga ao campo eletrico, um campogravitacional pode ser representado por linhas de forca.
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Campo Gravitacional
O campo gravitacional tambem admite uma lei analoga aLei de Gauss para o campo eletrico. No caso gravitacional:∮
S
~g · d ~A = −4πGmint(S)
No caso de uma esfera, a lei de Gauss e util para mostraro seguinte teorema.
A interacao gravitacional entre uma massa de formaarbitraria M e uma massa puntiforme m e igual a interacaoentre M e um corpo esferico homogeneo de massa m,desde que o centro do corpo esferico coincida com aposicao da massa puniforme.Demonstracao: Exercıcio.
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Energia Potencial Gravitacional
TeoremaToda forca radial cuja intensidade depende exclusivamente daposicao relativa (de 2 partıculas) e conservativa.
Forcas deste tipo sao chamadas de “centrais”Demonstracao: Por hipotese, ~F = F (r)r. Como F (r) euma “funcao bem comportada”, e suficiente provar que~∇× ~F = ~0. Em coordenadas esfericas:
~∇× ~F =1
r2 sin θ
∣∣∣∣∣∣∣∣r rθ r sin θφ∂
∂r
∂
∂θ
∂
∂φF (r) 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣ = ~0
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Energia Potencial Gravitacional
Consequencia: a Forca Gravitacional e conservativa.Podemos associar uma energia potencial (gravitacional),
de modo que ~F = −~∇Ep. Como ~F = −Gmm′
r2r e
~∇Ep =∂Ep
∂rr +
∂Ep
∂θ
θ
r+∂Ep
∂φ
φ
r sin θ, temos
∂Ep
∂r= −Gmm
′
r2. Tomando Ep(∞) = 0:
Ep = −Gmm′
r
Para um sistema de partıculas:
Ep = −G∑pares
mimj
rij= −G
2
N∑i=1
N∑j=1
mimj
rij
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Campo Central
O problema gravitacional de 2 corpos pode ser estudado,de um modo mais facil, como um problema de 1 partıculasujeita a uma forca central f(r).
Se um corpo e muito mais “pesado” que o outro, isto e facil(e o que vamos considerar aqui).Procure pensar como seria se os 2 corpos tem massascomparaveis.
Entretanto, ha situacoes em que f(r) tem expressaodiferente da forca gravitacional – como as forcasintermoleculares de Van der Walls.Vamos estudar inicialmente algumas propriedades geraisdos campos centrais e depois vamos particularizar para ocaso gravitacional.
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Campo Central
Ja vimos que toda forca central e conservativa. Issosignifica que a energia mecanica de um corpo se movendonesta condicao e conservada.Por outro lado, se a forca e central, seu torque em relacaoa origem e nulo e por conseguinte, o momento angulartambem e conservado.
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Exemplo de motivacao
O onibus espacial de 80,0 t esta numaorbita circular com 320 km de altitude,sobre a linha do Equador. Quando oonibus espacial passa sobre o campusda Un. Federal do Amapa (UNIFAP) emMacapa (longitude: −51,085◦), nosentido oeste-leste, seus dois motoresdo sistema de manobra orbital (cada umcom empuxo de 27,0 kN) sao acionados,ocasionando uma frenagem (forca paratras no onibus) por 150 s. Determine olocal em que o onibus estaciona naTerra.
Dados: R = 6371 km (raioda Terra) e g0 = 9,825m/s2 (gravidade nasuperfıcie)
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Leis de Kepler
1 Lei das Orbitas: Os planetas descrevem orbitas elıpticascom o sol num dos focos.
2 Lei das Areas: Uma linha que liga o planeta ao soldescreve areas iguais em tempos iguais.
3 Lei dos Perıodos: O quadrado do perıodo de revolucaode um planeta e diretamente proporcional ao cubo de suadistancia media ao sol.
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ExemploKepler concluiu que:(I) As orbitas dos planetas sao planas.(II) As orbitas dos planetas sao elıpticas e o Sol ocupa um dosfocos.(III) O raio vetor varre areas iguais em tempos iguais(velocidade areolar constante).(IV) O quadrado do perıodo de revolucao e proporcional aocubo do semi-eixo maior da orbita.Newton, entre outras coisas, descobriu que a forcagravitacional e uma forca central e isto implicaobrigatoriamente a validade de SOMENTE as afirmacoes:a I e IIb I e IIIc II e III
d III e IVe I, II, III e IV
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