OSCILACOES˜ Mecanica II (FIS-26)ˆ Prof. Dr. Ronaldo ...rrpela/downloads/fis26/FIS26-2018-aula01.pdf · circuito ou numa antena R.R.Pela´ MHS, Pendulos ... Pendulo de Torc¸ˆ ˜ao

IntroducaoOscilacoes Harmonicas

PendulosExemplos

OSCILACOESMecanica II (FIS-26)

Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pela

IEFF-ITA

24 de julho de 2018

R.R.Pela MHS, Pendulos


PendulosExemplos

Roteiro1 Introducao

Organizacao do cursoMotivacaoDefinicoes Gerais

2 Oscilacoes HarmonicasFormulacao geralSistema Massa-Mola

3 PendulosPendulo de TorcaoPendulo SimplesPendulo Fısico

4 ExemplosPotencial de Lennard-JonesPerıodo de um pendulo simplesPerıodo de um pendulo compostoDesafio



PendulosExemplos


Roteiro

1 IntroducaoOrganizacao do cursoMotivacaoDefinicoes Gerais

2 Oscilacoes Harmonicas

3 Pendulos

4 Exemplos



PendulosExemplos


Divisao do curso de FIS-26

1 Corpo rıgido2 Oscilacoes3 Ondas4 Mecanica Analıtica e Gravitacao.



PendulosExemplos


Ementa

Requisito: FIS-14. Horas Semanais: 4-0-3-5.Dinamica do corpo rıgido: centro de massa, momento deinercia, energia, equacao do movimento de rotacao,rolamento, movimento giroscopico. Movimentooscilatorio: dinamica do movimento harmonicosimples; pendulos, osciladores acoplados, oscilacoesharmonicas, oscilacoes amortecidas, oscilacoesforcadas e ressonancia. Movimento ondulatorio: ondasem cordas, ondas estacionarias, ressonancia, ondassonoras, batimento, efeito Doppler. Gravitacao. Introducaoa Mecanica Analıtica: trabalho virtual, equacao deD’Alembert, equacoes de Lagrange, princıpio de Hamiltone equacoes de Hamilton.



PendulosExemplos


Organizacao do conteudo: visao geral

Semana Conteudo5 Movimento oscilatorio: dinamica do MHS.

Oscilacoes harmonicas. Pendulos.6 Avaliacao (conteudo da semana 5)

Oscilacoes amortecidas.7 Avaliacao (conteudo da semana 6)

Oscilacoes forcadas e ressonancia.8 Avaliacao (conteudo da semana 7)

Osciladores acoplados.



PendulosExemplos


Avaliacao nas semanas 5 a 8

3 avaliacoes e 3 series de exercıciosNota do 2o mes (teoria): N = (3Na +Nl)/4

Na e a media das 3 avaliacoesNl e a media das 3 series de exercıcios

AvaliacoesDuracao de 20 min (das 08:00 as 08:20, assegundas-feiras)Sem consulta, sem uso de calculadoraEm caso de ausencia e de justificativa documentada:avaliacao diferenteA ausencia no exame deve ser justificada junto a DAE (comdocumentacao comprobatoria)

Listas: nao serao aceitas com atraso (exceto comjustificativa documentada)



PendulosExemplos


Por que estudar vibracoes?

Vibracoes

Eng.Mecanica

Eng.Aero-

nauticaEng.Aeroes-pacial

Eng.Civil

Eng.Eletro-nica Eng.

Compu-tacao

Biologia

Fısica



PendulosExemplos


Aplicacoes

Biologia: coracao (oscilacoes com frequencia controlada),movimento sincronizado de passaros



PendulosExemplos


Aplicacoes

Eng. Mecanica: carros vibram devido ao motor e asuperfıcie da estrada, maquinas desbalanceadas



PendulosExemplos


Aplicacoes

Eng. Computacao: leitura de dados nos discos,acionamento do braco de um robo



PendulosExemplos


Aplicacoes

Eng. Eletronica: linhas de transmissao (vibracao induzidapelo vento), oscilacoes eletricas (de corrente, tensao) numcircuito ou numa antena



PendulosExemplos


Aplicacoes

Eng. Aeronautica: asas de avioes (“flutter”)



PendulosExemplos


Aplicacoes

Eng. Civil: estruturas de edifıcios (sujeitas a terremotos),pontes sujeitas ao vento, GRUA usada em construcoes



PendulosExemplos


Aplicacoes

Eng. Aeroespacial: Satelite usando propulsao pulsada



PendulosExemplos


Aplicacoes

Fısica: oscilador quantico, fonons em cristais.



PendulosExemplos


Conceitos basicos

Vibracao ou oscilacao

Movimento que se repete em perıodos regulares de tempo.

Classificacaodas oscilacoes

Presenca de Fext

Amortecimento

Linearidade

Aleatoriedade

Livre (Fext = 0)

Forcada (Fext 6= 0)

Nao-amortecida

Amortecida

Linear

Nao-linear

Determinıstica

AleatoriaR.R.Pela MHS, Pendulos


PendulosExemplos


Conceitos basicos

oscilacao/vibracaoosciladoroscilacao periodicaoscilacao harmonica: x(t) = A cos(ωt+ φ)

Serie de Fourier

x(t) =

∞∑n=0

an cos(ωnt+ φn)



PendulosExemplos

Formulacao geralSistema Massa-Mola

Roteiro

1 Introducao

2 Oscilacoes HarmonicasFormulacao geralSistema Massa-Mola

3 Pendulos

4 Exemplos



PendulosExemplos


Energia potencial

Eq. instavel

Eq. estavelx

V(x

)

Em torno do ponto deequilıbrio estavel

V (x0 + x) ∼= V (x0)+

+V ′(x0)x+1

2V ′′(x0)x2

Ponto de equilıbrio: V ′(x0) = 0

Expansao da En. Potencial emtorno do ponto de equilıbrio estavel

V (x0 + x) ∼= V (x0) +1

2V ′′(x0)x2

Em torno do ponto de equilıbrioestavel, o sistema se comportacomo se fosse uma “mola” dek = V ′′(x0) > 0



PendulosExemplos


Modelo

M

x

2a. Lei de Newton: Mx = −kx

Eq. de movimento

x+k

Mx = 0 (EDOLH de 2a. ordem)

Modelagem alternativa:conservacao daenergia

Mx2

2+kx2

2= Emec

derivando em relacaoa t

Mx+ kx = 0



PendulosExemplos


Solucao

Solucao geral: x(t) = a cos(ωt) + b sin(ωt), ω =

√k

M.

Solucao

x(t) = A cos(ωt+ ϕ) = A sin(ωt+ φ), ω =

√k

M

O perıodo e: T =2π

ω= 2π

√M

k, ao passo que a

frequencia e f =1

T=

ω

2π=

1

2π

√k

M.



PendulosExemplos


Definicao das Constantes

As constantes A e φ dependem das condicoes iniciais

x(0) = x0, x(0) = v0

A =

√x2

0 +(v0

ω

)2

φ e tal que sinφ =x0

Ae cosφ =

v0

ωA.

A constante A fornece a amplitude de oscilacao do MHS.Por outro lado, o termo ωt+ φ e chamado de fase do MHS.Em t = 0, a fase e o proprio φ (que pode, por isso, serchamado de fase inicial)



PendulosExemplos


Energia

Energia cinetica:

Ec =Mv2

2=MA2ω2

2cos2(ωt+ φ)

Energia potencial:

Ep =kx2

2=kA2

2sin2(ωt+ φ) =

MA2ω2

2sin2(ωt+ φ)

Energia mecanica:

Emec =MA2ω2

2



PendulosExemplos


Valor medio

Valor medio da energia cinetica e potencial:

Ec = Ep =MA2ω2

4=Emec

2

Valor medio de uma grandeza periodica f(t)

f = 〈f〉 =1

T

∫ t0+T

t0

f(t)dt



PendulosExemplos

Pendulo de TorcaoPendulo SimplesPendulo Fısico

Roteiro

1 Introducao


3 PendulosPendulo de TorcaoPendulo SimplesPendulo Fısico

4 Exemplos



PendulosExemplos


Pendulo de Torcao

Barra horizontal suspensapor um fio vertical

ϕ

Se defletimos a barra noplano horizontal de umangulo ϕ, o fio reagecom um torquerestaurador τ = −kϕ.k e o modulo de torcaodo fio, que depende doseu comprimento,diametro e material.Para fios cilındricos,temos k = L/(Gπr4/2),em que G e o modulo derigidez



PendulosExemplos


Pendulo de Torcao

Se I e o momento de inercia da barra em relacao ao eixovertical, a equacao de movimento e:

−kϕ = Iϕ

Equacao de movimento

ϕ+k

Iϕ = 0, ω =

√k

I

Sistemas deste tipo sao empregados em instrumentos delaboratorio muito sensıveis, como o galvanometro e abalanca de torcao utilizada na experiencia de Cavendish.



PendulosExemplos


Pendulo Simples

x

y

θ

−Mg sin θ = MLθ

θ +g

Lsin θ = 0

Infelizmente, nao ha solucao analıtica paraesta equacao (a EDO e nao-linear).Para angulos pequenos: sin θ ∼= θ.

θ +g

Lθ = 0, ω =

√g

L

Perıodo de pequenas amplitudes

T = 2π

√L

g



PendulosExemplos


Pendulo Simples

No caso de “grandes amplitudes”, o movimento nao eharmonico. Vamos obter o perıodo nesses casos.Suponhamos que o pendulo e abandonado (do repouso)de um angulo θ0. Usando conservacao de energia, temos:

−MgL cos θ0 = −MgL cos θ +ML2θ2

2

AteT

4, podemos dizer que θ = −

√2g

L(cos θ − cos θ0)

12 .

T4∫

0

dt =

√L

2g

θ0∫0

dθ

(cos θ − cos θ0)12

= 2

√L

g

θ0∫0

dθ

(sin2( θ02 )− sin2( θ2))12



PendulosExemplos


Pendulo Simples

sendo sinα =sin( θ2)

sin( θ02 )

∆=

sin( θ2)

k, T = 4

√L

g

π2∫

0

dα

(1− k2 sin2 α)12

como (1− k2 sin2 α)−12 = 1 +

1

2k2 sin2 α+

3

8k4 sin4 α+ . . .

substituindo na integral, temos:

Perıodo do pendulo simples

T = 2π

√L

g

[1 +

1

4sin2 θ0

2+

9

64sin4 θ0

2+ . . .

]OBS.: Para um pendulo cicloidal, o perıodo naodepende da amplitude.



PendulosExemplos


Pendulo Fısico

α

FG

F

s

Eq. dos torques:

τ = −Mg sin θs = Iθ

θ +Mgs

Isin θ = 0

Note que o pendulo composto equivale a um

pendulo simples de comprimento l =I

Ms.

Por isso, o ponto C (distando l de O ealinhado com o CM e O) e chamado decentro de oscilacao do pendulo fısico.



PendulosExemplos

Potencial de Lennard-JonesPerıodo de um pendulo simplesPerıodo de um pendulo compostoDesafio

Roteiro

1 Introducao


3 Pendulos

4 ExemplosPotencial de Lennard-JonesPerıodo de um pendulo simplesPerıodo de um pendulo compostoDesafio



PendulosExemplos


Enunciado

A energia de uma molecula diatomica e dada por (potencial deLennard-Jones)

U(r) =A

r12− B

r6,

r

m m

r

U(r

)

sendo r a separacao entre as moleculas. Encontre afrequencia (angular) de vibracao desta molecula.



PendulosExemplos


Solucao

Posicao de equilıbrio: dU/dr(r) = 0

−12A

r13+ 6

B

r7= 0,

r =6

√2A

B.

Para pequenos deslocamentos x em torno da posicao deequilıbrio r

U(r + x) ∼= U(r) + U ′(r)x+1

2U ′′(r)x2.

U ′′(r) = 156A

r14− 42

B

r8=

6

r8

(26A

r6− 7B

)= 72A

(B

2A

)7/3



PendulosExemplos


Solucao

Energia total

E = 21

2m

(x

2

)2

+U(r)+1

2U ′′(r)x2 =

1

4mx2 +U(r)+

1

2U ′′(r)x2.

Derivando em relacao a t:

1

2mxx+ U ′′(r)xx = 0.

x+2U ′′(r)

mx = 0.

A frequencia angular de vibracao e

ω =

√2U ′′(r)

m=

[144A

m

(B

2A

)7/3]1/2

.



PendulosExemplos


Enunciado

Calcule o perıodo de pequenas oscilacoes do pendulo

M

ka

a



PendulosExemplos


Solucao

Considerando um deslocamento angular pequeno de θ:

(4Ma2)θ = −Mg(2a) sin θ − ka2 sin θ

Para pequenos valores de θ, podemos aproximar sin θ ∼= θ,

θ +

(g

2a+

k

4M

)= 0.

Logo o perıodo e

T = 2π

(g

2a+

k

4M

)− 12



PendulosExemplos


Enunciado

Um bloco de 10,0kg esta suspenso por uma corda enrolada emtorno de um disco de massa 5,00 kg e raio 150 mm. Se a molatem uma rigidez k = 200 N/m, determine o perıodo natural devibracao do sistema.

k

M



PendulosExemplos


Solucao

Assumindo um deslocamento x para baixo:

Ec =Mx2

2+I0

2

(x

r

)2

I0 =mr2

2

Ec =x2

2

(M +

m

2

)Ep =

1

2k(x+ x0)2 −Mgx

E =x2

2

(M +

m

2

)+

1

2k(x+ x0)2 −Mgx



PendulosExemplos


Solucao

Derivando em relacao a t:

0 = xx(M +

m

2

)+ k(x+ x0)x−Mgx(

M +m

2

)x+ k(x+ x0)−Mg = 0

Fazendo a mudanca y = x+ x0 −Mg

k(M +

m

2

)y + ky = 0

Portanto:

ω0 =

√k

M + m2

= 4,00 rad/s

T =2π

ω0= 1,57 s



PendulosExemplos


Enunciado

Considere uma barra delgada de massa M e comprimento Lque se encontra sobre um hemisferio fixo de raio r. Determineo periodo de pequenas oscilacoes da barra.


Documents

OSCILACOES˜ Mecanica II (FIS-26)ˆ Prof. Dr. Ronaldo ...rrpela/downloads/fis26/FIS26-2018-aula01.pdf · circuito ou numa antena R.R.Pela´ MHS, Pendulos ... Pendulo de Torc¸ˆ ˜ao