Gravitación

4ª ESOChema Martín, 2013

INDICE

• Modelos del sistema solar. Leyes de kepler• Estudio del Movimiento circular• Ley de la Gravitación universal de Newton• Uso de la ley de gravitación:

– Explicación de las leyes de Kepler. Satélites– Campo gravitatorio. Valor de g.

Teorias sobre el sistema solar

• Modelo Geocéntrico:– Propuesto en la antigüedad por los griegos y

sistematizado por Ptolomeo, astrónomo griego que vivió en Alejandría en el s. II

– Asume que la Tierra está inmovil en el centro del sistema solar y todos los planetas y el sol giran alrededor de ella.

– Ptolomeo lo perfecciona con la idea del epiciclo y la deferente, para explicar la retrogradación de algunos planetas como marte.

Modelo geocéntrico de Ptolomeo

Resultado de los dos movimientos: la epicicloide

Teorias sobre el sistema solar

• Modelo Heliocéntrico:– Se debe a Copérnico (1473-1543). Su libro, De revolutionibus

orbium coelestium (Sobre las revoluciones de las esferas celestes), publicada póstumamente en 1543, que suele estar considerado como el punto inicial o fundador de la astronomía moderna.

• Las ideas principales de su teoría eran:– Los movimientos celestes son uniformes, eternos, y circulares o

compuestos de diversos ciclos (epiciclos).– El centro del universo se encuentra cerca del Sol.– Orbitando alrededor del Sol, en orden, se encuentran Mercurio,

Venus, la Tierra y la Luna, Marte, Júpiter, Saturno. (Aún no se conocían Urano yNeptuno.)

• Otros cientificos que profundizan en el modelo Heliocétrico son:– Tycho Brahe (1546-1601) fue un astrónomo danés,

considerado el más grande observador del cielo en el período anterior a la invención del telescopio. Tras la muerte de Brahe las medidas sobre la posición de los planetas pasaron a posesión de Kepler.

– Galileo: Inventor del telescopio y gran astrónomo, confirmo lo propuesto por Copérnico.

– Kepler: Elaboró, con los datos de Brahe, las famosas 3 leyes que rigen el movimiento planetario.

Leyes de Kepler• Johannes Kepler (1571- 1630), figura clave en la revolución científica

, astrónomo y matemático alemán; fundamentalmente conocido por sus leyes sobre el movimiento de los planetas en su órbita alrededor del Sol. Fue colaborador de Tycho Brahe, a quien sustituyó como matemático imperial de Rodolfo II.

• Durante su estancia con Tycho le fue imposible acceder a los datos de los movimientos aparentes de los planetas ya que Tycho se negaba a dar esa información. Ya en el lecho de muerte de Tycho y después a través de su familia, Kepler accedió a los datos de las órbitas de los planetas que durante años se habían ido recolectando. Gracias a esos datos, los más precisos y abundantes de la época, Kepler pudo ir deduciendo las órbitas reales planetarias.

• Afortunadamente, Tycho se centró en Marte, con una elíptica muy acusada, de otra manera le hubiera sido imposible a Kepler darse cuenta de que las órbitas de los planetas eran elípticas. Inicialmente Kepler intentó el círculo, por ser la más perfecta de las trayectorias, pero los datos observados impedían un correcto ajuste, lo que entristeció a Kepler ya que no podía saltarse un pertinaz error de ocho minutos de arco. Kepler comprendió que debía abandonar el círculo, lo que implicaba abandonar la idea de un "mundo perfecto". De profundas creencias religiosas, le costó llegar a la conclusión de que la tierra era un planeta imperfecto, asolado por las guerras, en esa misma misiva incluyó la cita clave: "Si los planetas son lugares imperfectos, ¿por qué no deben de serlo las órbitas de las mismas?". Finalmente utilizó la fórmula de la elipse, una rara figura descrita por Apolonio de Pérgamo una de las obras salvadas de la destrucción de la biblioteca de Alejandría. Descubrió que encajaba perfectamente en las mediciones de Tycho.

1ª: Ley de las órbitas

• Elipse:Lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a 2 puntos fijos denominados focos (F y F’) es constante. Es como un circulo con 2 centros.Se puede trazar con una cuerda sujeta a 2 puntos, los focos, y un boligrafo que desliza por el interior de la cuerda.

La primera ley de kepler afirma que:“Los planetas giran en órbitas elípticas alrededor del sol, estando éste situado en uno de los focos

de la elipse”.

2ª: Ley de las áreas• “El radiovector que une el sol con un planeta

recorre áreas iguales en tiempos iguales”. Se puede formular también diciendo que la velocidad areolar (m2/s) de cada planeta es constante.

En la animación de la derecha serepresenta el área que recorre lalínea que une el Sol con la Tierra cada 2 meses. Todas las áreas son iguales.

Una consecuencia de la 2ª ley

• Como el movimiento no es circular, los planetas no están siempre a la misma distancia del sol.

• De todas las posiciones hay 2 especialmente interesantes:– Afelio: cuando el planeta está más alejado del sol, en el

caso de la tierra en el solsticio de verano, cerca del día de San Juan.

– Perihelio: cuando el planetas está más cerca del sol, en el caso de la tierra en el solsticio de invierno, cerca del día de Navidad (curioso que haga tanto frio estando cerca del Sol y tanto calor cuando estamos lejos, ¿eh?).

Una consecuencia de la 2ª ley

Como el área barrida debe ser el mismo, el planeta debe ir mas deprisa en el perihelioque en el afelio. No sólo vamos a toda pastilla sino que también a tirones.

3ª: Ley de los períodos

• Kepler no sólo fue exacto en la 2º ley, sino que llegó a predecir el tiempo que tarda cada planeta en dar la vuelta alrededor del sol, su período, T (que en el caso de la Tierra es 1 año).

• Parece evidente que cuanto mayor sea el radio mas larga será la órbita y mayor será el período, pero la relación no es tan sencilla como la proporcionalidad directa entre T y r

• El radio de comparación es el denominado radio medio, r, que se calcula haciendo la media entre la distancia del planeta al sol en el afelio y en el perihelio.

3ª: Ley de los períodos

• “El cuadrado de los períodos de rotación de los planetas alrededor del sol son proporcionales a los cubos de sus respectivos radios medios”.

• Es decir, que la relación es:

T2=kr3

• Se cumple que si los planetas lejanos tardan mas en girar alrededor del Sol, pero la relación no es la simple proporcionalidad.

Gráfica de la 3ª Ley

Distancias en AU=Unidades astronómicas=distancia Tierra-Sol (observar donde está la tierra en la gráfica).Períodos en años.

Observar que se representa T2 frente a r3→T2=Kr3

Movimiento circular

• Aunque acabamos de ver que las órbitas de los planetas son elípticas, su excentricidad, su achatamiento, es muy pequeño y podemos suponer, a efectos de cálculo práctico, que sus órbitas serán circulares.

• Vamos a estudiar brevemente el movimiento circular, para aplicarlo, junto con la ley de gravitación universal de Newton, al estudio de las órbitas de planetas y satélites.

El movimiento circular•Se denomina movimiento circular a aquel cuya trayectoria es una circunferencia. Recordar que la circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que equidistan de otro llamado centro. Esa distancia igual para todos es el radio r•Para describir el movimiento circular es necesario conocer las magnitudes que lo definen y lo primero será conocer cómo medir los ángulos•En física la medida básica de ángulos se suele hace en una unidad denominada radian (rad) que habrás visto en matemáticas.•Es una unidad de medida de ángulos, como el grado. Cuando usamos los grados dividimos el ángulo central de la circunferencia en 360 partes y cada una es un grado.•El radián (abreviatura rad)es el valor del ángulo central que comprende un arco cuya longitud es igual que el radio con el que se traza el ángulo.

Relaciones entre medidas• Entre unidades de ángulos:

1 rad abarca un arco igual al radio r. Como la circunferencia mide 2πr, el ángulo total en radianes será 2π.

La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes será la proporción (se puede usar así o al revés según sea necesario o con una regla de tres

Relaciones entre medidas

• Entre ángulos y arcosSi nos dan el ángulo central (que nosotros llamaremos Δϕ, ángulo recorrido) podemos calcular el arco de circunferencia que abarca (será nuestro espacio recorrido, Δs) con una sencilla proporción o regla de tres:

Podemos calcular el espacio recorrido sabiendo el ángulo recorrido como:

En grados esa expresión no es tan simple. Por eso se usan los radianes en física (observa que el radian no tiene dimensiones, pues es el cociente entre el arco Δs y el radio r, dos longitudes).

Velocidad angular (ω)

• La velocidad angular, ω, es la relación entre ángulo girado y el tiempo empleado en el movimiento.

• Su unidad, en el S.I., será el rad/s ( o s-1, ya que el radian es adimensional)

Relación ω-v

La velocidad media la definimos en el primer tema como:

Combinando con las ultimas definiciones:

De donde:

Movimiento circular uniforme

• Es aquel que tiene una trayectoria circular y cuya “velocidad” es constante. Por ejemplo, una noria, un tiovivo, …

• Se abrevia MCU.• Como v=cte → ω=v·r=cte; Δϕ=ωΔt

ϕ=ϕ0+ω(t-t0)

Ecuación igual que la del MRU, s=s0+v(t-t0), cambiando las magnitudes lineales s y vpor sus correspondientes angulares ϕ y ω;

Una gran diferencia entre MRU y MCU

• Además de la trayectoria y del cambio en las magnitudes lineales por ánngulares hay otra diferencia muy sútil pero muy importante entre el MRU y el MCU.

• En el MRU no hay aceleración, ya que el vector velocidad no cambia ni de módulo, ni de dirección.

• Si embargo, en el MCU, la velocidad es constante en módulo (siempre va a los mismos metros por segundo) pero como v es tangente a la trayectoria cambia continuamente de dirección, por lo que tiene un tipo de aceleración conocida como aceleración normal o centrípeta.

Cuando el movimiento es circular uniforme (siempre con módulo, 5 m/s, por ejemplo) la velocidad, tangente a la trayectoria, debe cambiar de dirección continuamente y por tanto debe tener una aceleración. Esa aceleración queda justificada con la 2ª ley de Newton. Para que un objeto gire es necesario que hagamos una fuerza hacia el centro, como se ve en la figura de debajo. Si la fuerza va hacia el centro, la aceleración también. Por eso se llama centrípeta o normal.

La aceleración normal

• Es la que mide, como veíamos antes, lo que varia la dirección de la velocidad con el tiempo.

• Apunta hacia el centro de giro. Por eso se llama centrípeta. Como es perpendicular a la velocidad también se la suele llamar normal.

• Su valor (se demostrará en cursos siguientes) se calcula mediante la siguiente fórmula:

Período y Frecuencia del MCUPeríodo, T• El periodo, T, en un movimiento circular es el tiempo que el móvil tarda en dar

una vuelta completa. Su unidad en el SI es el segundo.• Se calcula con facilidad sabiendo que en unn período T el móvil ha recorrido

un ángulo 2π, por lo que

Frecuencia, f• La frecuencia, f, en un movimiento circular es el número de vueltas que el

móvil da en una unidad de tiempo. Su unidad en el SI es el hercio (s–1).• Es la inversa del período. Se puede demostrar con una simple regla de 3:

– En T segundos recorre 1 vuelta– En 1 segundo recorre f vueltas

Ley de gravitación de Newton

• Propuesta por Newton en su libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, publicado en 1687.

• La propone como intento de explicación del movimiento planetario (las leyes de Kepler) y el movimiento de los cuerpo en caída libre.

• Enunciado: “La fuerza con que se atraen dos cuerpos es directamente proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa”

Ley de gravitación de Newton

• Matemáticamente:

Siendo m1 y m2 las masas de los cuerpos que se atrae, r la distancia entre sus centros de gravedad y G una constante universal, la constante de gravitación universal, medida por Cavendish en 1789

Justificación de la 3ª Ley de kepler

• Con la propuesta de Newton se pueden justificar las 3 leyes de kepler, pero la más ilustrativa es la 3ª. Por eso la ley de gravitación de Newton fue aceptada rápidamente.

• Si tenemos un planeta que gira alrededor del Sol (de masa Ms), éste hará una fuerza sobre el planeta (de masa MP) que le hará girar con una aceleración normal, MCU.

demostración

• Simplificando:

• Pero v=ω·r y ω=2π/T, de donde

Si sustituimos en la primera ecuación y despejamos T2 obtenemos la 3ª ley de Kepler

Campo gravitatorio. g

• La ley anterior se denomina universal porque se aplica a la atracción entre 2 masas cualesquiera, tanto a la fuerza entre un planeta y el sol como a la fuerza con la que la Tierra atrae a los cuerpo situados en ella, es decir, el peso.

• Si hallamos la fuerza que la Tierra hace sobre un cuerpo situado sobre su superficie:

El peso

• Si comparamos la expresión anterior con la del peso de un cuerpo

Vemos que podemos relacionar el valor de g con los datos de la Tierra:

Variación de g con la altura

• Si no estamos en la superficie de la Tierra, sino a una altura h (y por tanto a una distancia del centro de la Tierra RT+h), podremos calcular g sustituyendo en la expresión anterior R por RT+h

• Tambien podemos calcular g en cualquier planeta usando su masa y su radio, los del planeta. Una vez hallado g podemos hallar el peso de un cuerpo en ese planeta como:

FIN

ELIMINADAS

4º ESO | UNIDAD 01 | FÍSICA Y QUÍMICA

aceleración

• En el tema 1 definíamos aceleración como el cambio en la velocidad. También decíamos que la velocidad era un vector tangente a la trayectoria.

• En el estudio de un movimiento en general, el vector velocidad puede cambiar con el tiempo en sus 2 magnitudes:– Puede cambiar su módulo, es decir, unas veces ir más deprisa y

otras más despacio. Esto es la única que hemos tenido en cuenta en el movimiento rectilíneo. La aceleración que mide cambios de módulo se llama tangencial

– Puede cambiar de dirección. En el movimiento rectilíneo no ocurre nunca, pero en el circular ocurrirá siempre. V cambiará siempre de dirección. A la aceleración que mide este cambio se la denomina normal o centrípeta

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado MRUA. Se producen cambios en el modulo. El coche tiene aceleración tangencial. Es la aceleración que hemos estudiado hasta ahora,

En un movimiento real, con rectas y curvas, hay de los dos tipos de aceleración, unas veces separados y otras juntas.En las rectas aceleración tangencial y en las curvas de los 2 tipos, pues habrá una aceleración normal que les “meta” en la curva (en este esquema se mide en “g”s) y tangencial (frenan a la entrada de la curva y aceleran para salir)

Telemetría real de una prueba de F1