8/16/2019 Grupo de Klein
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Grupo de KleinDe Wikipedia, la enciclopedia libre
En teoría de grupos, el grupo de Klein, grupo de cuatro de
Klein o Vierergruppe , llamado así enhonor al
matemático alemán Felix Klein, es el grupo formado por cuatro
elementos, donde cada
elemento es inverso de sí mismo. Formalmente, es el grupo
Z2 × Z2, producto directo de dos copias delgrupo cíclico de
orden 2. Se denota generalmente con la letra V .
Índice
1 Diversos casos del grupo2 Subgrupo de un grupo de
permutaciones3 No cíclico4 Véase también5 Referencias
6 Bibliografía7 Enlaces externos
Diversos casos del grupo
El grupo se puede ver de varias formas. La más general y las más
conocida posiblemente, es de la
siguiente forma:
G = {e, a, b, ab}, donde e es la identidad,
a y b otros dos elementos que al multiplicarlos generan
elcuarto. De acuerdo con la estructura del grupo, a =
a-1, b = b-1 y ab = (ab)-1, donde a-1, b-1 y
(ab)-1 sonlos inversos de a, b y (ab) respectivamente.
Se tiene entonces que:
ab =(ab)-1 = b-1a-1 = ba. De esta manera, el
conjunto es cerrado bajo la operación producto, además queel
producto definido así es asociativo, obteniéndose así un grupo.
Otra forma de ver el grupo es como A4, el subgrupo
alternante de S 4 que contiene las
permutaciones pares consistentes en dos transposiciones
ajenas. Es decir:
4 = {id, (12)(34),(13)(24),(14)(23)}, es fácil ver que
esto es un grupo y más aún, haciendo:
a = (12)(34), b = (13)(24), es fácil ver que ab =
[(12)(34)][(13)(24)] es en efecto: (14)(23). Se ve con unsimple
chequeo que:
a = a-1, b = b-1 y ab = (ab)-1, con a y
b definidas de esta forma.
Finalmente, podemos decir que algunos textos prefieren definir
el grupo de Klein como la suma directa
de Z2 consigo mismo (Z2⊕Z2), donde Z2 es {0,1}, es
decir el grupo cociente Z/2Z, formado solo por dos clases de
equivalencia.
De lo anterior se deduce que los tres grupos mostrados en los
ejemplos son isomorfos.
Subgrupo de un grupo de permutaciones
https://es.wikipedia.org/wiki/Isomorfismohttps://es.wikipedia.org/wiki/Isomorfismohttps://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_cocientehttps://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_cocientehttps://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_c%C3%ADclicohttps://es.wikipedia.org/wiki/Orden_(teor%C3%ADa_de_grupos)https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_gruposhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_gruposhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_gruposhttps://es.wikipedia.org/wiki/Isomorfismohttps://es.wikipedia.org/wiki/Clase_de_equivalenciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_cocientehttps://es.wikipedia.org/wiki/Suma_directahttps://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_alternantehttps://es.wikipedia.org/wiki/Asociatividad_(%C3%A1lgebra)https://es.wikipedia.org/wiki/Propiedad_de_cerradurahttps://es.wikipedia.org/wiki/Orden_(teor%C3%ADa_de_grupos)https://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_c%C3%ADclicohttps://es.wikipedia.org/wiki/Producto_directohttps://es.wikipedia.org/wiki/Inverso_multiplicativohttps://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_de_un_grupohttps://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Felix_Kleinhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grupos
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Se considera el grupo S de permutaciones de A=
{1,2,3,4} que tiene 24 elementos. Sean los elementos σ de
S que sean involutivos, i.e. que su cuadrado
sea I . Hay tres de ellos y el elemento
identidad I , formanel «grupo V de
Klein».1 «V » deriva del vocablo alemán
Vierergruppe («grupo de cuatro»).
No cíclico
Hay grupos cíclicos de orden 4, por ejemplo el grupo
multiplicativo G = {1,-1,i, -i} o el grupomultiplicativo de
los coprimos con 10, G = {1,3,7,9} son cíclicos. Sin embargo
el grupo aditivo deorden 4, no lo es:
Z(2)×Z(2)={0;0), (0;1), (1;0) (1;1)}, se suman los respectivos
componentes (0;1) + (1;1) = (1;0),fácilmente se ve que (a;b)² =
(a;b) + (a;b)= (0;0) = elemento neutro, para cualquier otro
elemento.Véase
(1).
Véase también
Grupo simétricoGrupo cíclicoGrupo multiplicativo de enteros
módulo nOrden (teoría de grupos)Isomorfismo de grupos
Referencias
1. Dubreil, Paul: Teoría de grupos,(1975) Editorial Reverté,
S.A. Barcelona
BibliografíaGonçalves, Adilson (1979). Introdução ã
álgebra. Projeto Euclides. Rio de Janeiro: Instituto deMatemática
Pura e Aplicada. ISBN 978-85-244-0108-4.Alexandroff, P. S. (1965).
Introducción a la teoría de los grupos. Cuadernos de Eudeba
132 (2ªedición). Buenos Aires: Eudeba. pp. 14,15,18.Fraleigh,
John B. (1987). Álgebra abstracta. Addison-Wesley
Iberoamericana. ISBN 978-02-016-4052-6.
Enlaces externosWeisstein, Eric W. «Klein Four-group»
(http://mathworld.wolfram.com/KleinFour-Group.html).En Weisstein,
Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram
Research.
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