Grupos Espaciales

ngel Carmelo Prieto Colorado

Fsica de la Materia Condensada, Cristalografa y Mineraloga.Facultad de Ciencias.

Universidad de Valladolid.

Sntesis y Caracterizacin Estructural de los Materiales

A. Carmelo Prieto Colorado

Asociacin de elementos de simetra: Nocin de grupo matemticoSimetra puntual: Grupos puntuales de simetra en dos dimensionesSmbolos de los grupos puntuales 2DSimetra translacional y lineas de deslizamientoGrupos espaciales mono y bidimensionales: Frisos y Grupos planosSmbolos de los grupos espaciales 1D y 2D

Tema 9


3D

Ejes de Rotacin propios: n

Planos de Reflexin

Ejes de Rotacin impropios: n

3D

1

m

1

3D 2m

23D3 m 3

3D

4

m

4

3D

6

m

6

1D

y

2D

Centros de Rotacin: n

Lineas de Reflexin

1D

y

2D

1

m

1D

y

2D

2 1m

1D

y

2D3 m

1D

y

2D4

m

1D

y

2D

6

m

Elementos de simetra 1D, 2D y 3D


Asociacin de ES, nocin de Grupo

Estructura de Grupo Matemtico

De todas las posibles combinaciones de elementos de simetra (1, n, n y m), compatibles con {T=pt} en el espacio bi y tridimensional, solo existen 10 y 32 posibles estructuras de grupo matemtico, respectivamente. Son los grupos puntuales cristalogrficos, denominados as porque dejan invariante un punto en el espacio. Ese punto invariante -comn a todos los elementos de simetra del grupo- se toma como centro u origen del sistema de referencia cristalogrfico.

GSP; 2D

1 2 3 4 6

m 2mm 3m 4mm 6mm



Grupos Espaciales monodimensionales: 1D

En el espacio mono dimensional solo son posibles elementos de simetra que impliquen repeticiones peridicas en una sola direccin o que impliquen a 1 coordenada. Por tanto, solo podremos considerar los puntos de rotacin de orden 1 y 2, junto con las lineas de reflexin m paralelas y perpendiculares a la direccin axial. Al tratarse de figuras que recubren el espacio hasta el infinito, compatibles con {T=ua} las lineas de reflexin m, pueden transformarse en lineas de deslizamiento, en la direccin axial, g.

Por consiguiente en 1D existirn solo 1 y 2, m y g


Grupos Espaciales monodimensionales: 1D

De todas las posibles combinaciones de elementos de simetra (1,2,m y g), compatibles con {T=pt} en el espacio unidimensional, solo existen siete que presenten estructura de Grupo matemtico, respecto de la operacin producto, dando lugar a l o s 7 G r u p o s E s p a c i a l e s d e S i m e t r i a Monodimensional (GSE). Dejan invariante la direccin axial de repeticion peridica

GSE: (11; 12; 11m; 1m1; 2mm; 11g; 2mg)


Grupo Espacial de Simetria, (11) E. de Simetra caracterstico: t, 1

t


Grupo Espacial de Simetria, (12) E. de Simetra caracterstico: t, 1, 2

2


Grupo Espacial de Simetria, (11m) E. de Simetra caracterstico: t, 1, m

m


Grupo Espacial de Simetria, (1m1) E. de Simetra caracterstico: t, m, 1

mT T


Grupo Espacial de Simetria, (2mm) E. de Simetra caracterstico: t, 1, 2, m

m

m


Grupo Espacial de Simetria, (11g) E. de Simetra caracterstico: t, 1, g

g


Grupo Espacial de Simetria, (2mg) E. de Simetra caracterstico: t, 1, 2, m, g

g

m

2


GSE11

12

11m

1m1

2mm

11g

2mg

ES1

2

mT

mT

mm

g

mg


GSE 2D: GSP 2D * T

GSE: Simetra espacialFiguras infinitas{T},{}

{Translacin}m

g = m x

2 = -1 3 4 6


Simetria de las redes 2DElementos de simetria compatibles con las celdas fundamentales 2D


17 GSE

Sistema cristalino GSP compatible con el SCCelda

FundalmentalGSE compatible

con la celdaOblicuo

ab; 90 1, 2 p p1, p2

Rectangularab; =90 1m, 2mm

ppm, p2mm

pg, p2mg, p2ggRectangularab; =90 1m, 2mm

c cm, c2mm

Cuadrado

a=b; =904, 4mm p

p4, p4mm

p4gmHexagonal

a=b; =120

3, 3m

6, 6mmp

p3, p31m, p3m1

p6, p6mm


17 GSE: 2D


GSE: 2D

p1

p2


GSE: 2D

pm

pg


GSE: 2D

p2mm

p2mg p2gg


GSE: 2D

cm

c2mm


GSE: 2Dp4 p4mm

p4gm


GSE: 2D

p3 p31m p3m1


GSE: 2D

p6 p6mm


GSE: p1

p1 / 1 / 1


GSE: p2

p2 / 2 / 2,22


GSE: pm

pm / m / m


GSE: pg

pg / m / g


GSE: p2mm

p2mm / 2mm / 2,22,m,m


GSE: p2mg

p2mg / 2mm / 2,22,m,g


GSE: p2gg

p2gg / 2mm / 2,22,g,g


GSE: cm

cm / m / m,g


GSE: c2mm

c2mm / 2mm / 2,22,m,g


GSE: p4

p4 / 4 / 4,42,43,44, 2,22


GSE: p4mm

p4mm / 4mm / 4,42,43,44, 2,22,m,m,g


GSE: p4gm

p4mm / 4mm / 4,42,43,44, 2,22,m,g,g


GSE: p3

p3 / 3 / 3,32,33


GSE: p31m

p31m / 3m / 3,32,33,m,m,m,g,g


GSE: p3m1

p3m1 / 3m / 3,32,33,m,m,m,g,g,g


GSE: p6

p6 / 6 / 6,62,63,64,65,66,3, 32,33,2,22


GSE: 2D

p6mm / 6 / 6,62,63,64,65,66,3, 32,33,2,22,m,g


Algoritmo GSE 2D

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