Ettore Focardi 1

Condensatore elettrico Sistema di conduttori che possiedono cariche uguali ma di segno opposto

condensatore armature

La presenza di cariche crea d.d.p. ∆V (tensione) fra i due conduttori

Capacità di un condensatore è:

€

C ≡QΔV

[C]= F Farad µF-pF 1F=1C/1V

Condensatore piano

σ allora

€

E

€

E =σε0

=QAε0

Tra le armature il campo E è uniforme quindi

€

ΔV = E ⋅ d =QAε0

d

€

C =QΔV

= ε0Ad

Ettore Focardi 2

Condensatori con dielettrici Dielettrico materiale non conduttore, come gomma, vetro, carta….

Se introdotto tra le armature C aumenta di un fattore εr (costante dielettrica)

∆V<∆V0

C= εr C0 Condensatore piano

€

C = εrε0Ad

C aumenta diminuendo d però fino a quando non si innesca scarica elettrica attraverso il dielettrico

Rigidità dielettrica (max ∆V per un certo d)

Materiale εr rigidità V/m

Aria 1.00059 3x106 Carta 3.7 16x106

Vetro pirex 5.6 14x106

Ettore Focardi 3

Tipi di condensatori

imbevuta di paraffina

Alte tensioni

Per piccoli condensatori si usano materiali ceramici

Elettrolitico per grandi accumuli carica

Sottile strato di dielettrico su metallo, grande capacità Attenzione alla polarità

Ettore Focardi 4

esempi 1)  Condensatore a carta.

Un condensatore piano ha le armature di dimensioni a=2 cm, b=3 cm, separate da una distanza d=1 mm. Quanto vale la capacita’? Qual e’ la massima tensione applicabile?

Per la carta e’ εr=3.7, quindi:

€

C = εrε0Sd

= 3.7(8.85 10-12 C2

Nm2 )(6 10-4m2

1 10-3m) = 20pF

Rigidita’ carta: 16 106 V/m, quindi:

€

ΔVmax = Emaxd = (16 106V /m)(1 10-3m) =16 103V

Ettore Focardi 5

esempi

2) Energia immagazzinata con e senza dielettrico. Sul condensatore C0 si deposita la carica Q0 con la batteria ∆V0. Si stacca poi la batteria e si inserisce una lastra di cost. εr.

L’energia immagazzinata in C0 a vuoto e’

€

U0 =12Q02

C0

All’inserimento del dielettrico e senza batteria, Q0 resta la stessa e quindi l’energia sara’:

€

U =Q02

2C=

Q02

2εrC0

=U0

εr<U0

La diminuzione di energia si spiega osservando che il dielettrico inserito, e’ attratto dalle piastre. La forza ha origine dalla non uniformita’ del campo ai bordi; la componente orizzontale agisce sulle cariche indotte sulla superficie del dielettrico, dando luogo alla forza diretta verso l’interno del condensatore.

Ettore Focardi 6

conduttori-dielettrici Riferimento ad interpretazione microscopica.

Conduttori: metalli caratterizzati da struttura cristallina con atomi ai vertici di reticolo poliedrico. La disposizione degli atomi nel reticolo e quindi l’andamento spaziale del potenziale della forza che attrae e- ai nuclei e’ tale che 1-2 e- delle orbite esterne siano liberi ( energia di legame ≤ energia di agitazione termia a Tamb). Se si applica E le cariche si muovono.

Dielettrici: atomi e molecole con e- ben legati ai nuclei. Per forti interventi localizzati (strofinio), si possono spostare cariche. In genere sono complessivamente neutri. In presenza di campo esterno si puo’ avere momento di dipolo ≠0, si dice allora che il dielettrico e’ polarizzato.

Ettore Focardi 7

Dipolo in campo E Vediamo l’effetto di un campo elettrico su di un dipolo elettrico.

Le forze agenti sulle cariche F=qE sono opposte → R(e)=0; esse esercitano una coppia che tende a ruotare il dipolo per allinearsi al campo.

Il momento della forza sulla carica positiva rispetto ad un asse passante per O e’ F a senθ con a senθ=b braccio di F rispetto ad O.

Tale momento tende a produrre una rotazione oraria.

Il momento di F su -q rispetto ad O e’ ancora F a senθ, quindi:

€

M = 2Fasenθ = 2qEasenθ = pEsenθ

momento di dipolo elettrico p=q2a

In forma vettoriale e’:

€

M =

p ∧ E

Ettore Focardi 8

Energia potenziale di un dipolo Vogliamo calcolare l’energia potenziale di un dipolo elettrico in un campo elettrico esterno in funzione della sua orientazione rispetto al campo. Se il dipolo e’ allineato con il campo elettrico un agente esterno deve compiere lavoro per ruotare il dipolo fino ad un dato angolo. Il lavoro eseguito e’ immagazzinato come energia potenziale del sistema dipolo-campo.

P

O

dθ

ds F

φ

r

Il lavoro dW richiesto ad una forza F per ruotare il dipolo di dθ e’:

P si sposta di ds = r dθ

€

dW = F ⋅ d s = Fsenφrdθ = qEsenφr dθ = Mdθ

Con M momento di F rispetto ad O, che dalla precedente da’ M=pE senθ D’altra parte il lavoro viene trasformato in energia potenziale U e per una rotazione finita aa θI a θf, la variazione ∆U sara’:

€

ΔU =Uf −Ui = Mdθ =θ i

θ f

∫ pEsenθdθ = pE(−cosθ)θ i

θ f = pE(cosθi − cosθ f )θ i

θ f

∫Il termine in cui compare θi e’ una costante dipendente dalla posizione iniziale del dipolo. Conviene scegliere θI=900 e quindi:

€

U = −pE cosθ = − p ⋅ E

Da un confronto con l’energia potenziale gravitazionale U=mgh, si nota come nei due casi si modifichi il sistema, una volta in dipendenza dall’altezza dell’oggetto e nell’altra con la rotazione del corpo. In entrambi i casi, se lasciato libero, il corpo tende a tornare nella posizione iniziale, a terra o allineato ad E.

Ettore Focardi 9

Molecole polarizzate Le molecole sono dette polarizzate quando il baricentro delle cariche positive e’ diverso da quello delle cariche negative.

Per la molecola dell’acqua questa condizione e’ sempre verificata, e’ quindi detta molecola polare. Si ha cosi’ un momento di dipolo p ≠ 0

A livello macroscopico l’effetto di p non si manifesta poiche’ le molecole sono orientate a caso <p>=0. Se c’e’ un campo elettrico i dipoli si allineano al campo.

Es. Forno a microonde: il forno produce un campo elettrico variabile rapidamente che mette in oscillazione le molecole di acqua ; queste assorbono energia dal campo e per gli urti provocati da tale moto tale energia si converte in energia interna che aumenta la temperatura del corpo.

Una molecola simmetrica non ha polarizzazione permanente, ma un momento di dipolo puo’ essere indotto da una campo esterno.

Il campo elettrico sposta la carica - e induce una polarizzazione per deformazione Questo e’ l’effetto dominante nella maggior parte dei materiali usati come dielettrici nei condensatori.

Ettore Focardi 10

Modello dielettrici Nel caso di un condensatore piano riempito di dielettrico di costante εr e’:

∆V= ∆V0/εr e poiche’ ∆V= E d e’ E=E0/εr

Se il materiale dielettrico tra le armature e’ costituito da molecole polari, si ha una orientazione casuale in assenza di campo elettrico, che diventa allineamento con la presenza del campo E0. Il grado di allineamento dipende dalla temperatura e dall’intensita’ del campo.

Se le molecole del dielettrico sono non polari il campo elettrico esterno delle armature produce un momento elettrico di dipolo e una polarizzazione per deformazione, con i momenti di dipolo indotti che tendono ad allinearsi con campo elettrico esterno. Possiamo polarizzare qualunque dielettrico.

Eind

E=E0-Eind nel dielettrico

E0=σ/ε0 Eind= σind / ε0

Ma E=E0 / εr

€

σε0εr

=σε0−σ ind

ε0→σ ind =

εr −1εr

σ

dato che εr>1 e’ σind < σ

Ettore Focardi 11

esempi 1)  Effetto di una lastra metallica.

Un condensatore piano ha le armature di area A a distanza d. Una lastra di metallo scarica di spessore a, e’ inserita al centro. Calcolare C.

Sulla lastra viene indotta una carica opposta su ciascuna faccia con stessa densita’ σ come sulle armature;

la carica totale sulla lastra e’ dunque nulla e E=0.

€

1C

=1C1

+1C2

=1ε0A

(d − a) /2

+1ε0A

(d − a) /2

€

C =ε0Ad − a

Quindi il condensatore equivale a due condensatori in serie con distanza tra le armature (d-a)/2.

Ettore Focardi 12

esempi 2) Condensatore parzialmente riempito.

Un condensatore piano con armature distanti d ha capacita’ C0 in assenza di dielettrico. Si inserisce tra le armature una lastra dielettrica di costante εr e spessore d/3. C?

Nell’esempio precedente, potevamo considerare il condensatore come composto da due condensatori in serie indipendentemente dalla posizione della lastra. Inoltre quando lo spessore della lastra tende a 0, C tende a quella in assenza di lastra.

Si suppone allora di inserire una lastra metallica sottile sotto la superficie inferiore del dielettrico.

€

C1 =εrε0Ad /3

C2 =ε0A

2d /3

€

1C

=d /3εrε0A

+2d /3ε0A

=d3ε0A

(1+ 2εrεr

)

€

C =3εr2εr +1

ε0Ad

=3εr2εr +1

C0