Laboratorio di Statistica e Analisi Dati: Lezione 8genuzio.di.unimi.it/materialelezioni/statistica/lez8.pdfIl sistema nel suo insieme funziona ﬁntantoché entrambi i componenti 1

Laboratorio di Statistica e AnalisiDati: Lezione 8

Tommaso C. & Marco G.

11 - 13 Gennaio 2017

Laboratorio di Statistica e Analisi Dati: Lezione 8 (20) http://genuzio.di.unimi.it/materialelezioni/statistica/lez8.html#(20)

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Si consideri il seguente esperimento casuale: “si lanciatre volte una moneta”. Qual è lo spazio degli esiti diquesto esperimento casuale? Si scriva esplicitamentel’evento “si ottengono più teste che croci”

1.

Si consideri il seguente esperimento casuale: “Si tiranodue dadi”. Si considerino gli eventi “la somma deipunteggi è dispari”, “il primo dado realizza un 1” e

“la somma dei punteggi è 5”. Si descrivano glieventi , , , e

2.

Si consideri il seguente esperimento casuale: “Un sistema ècomposto da 4 componenti, ciascuno dei quali o funzionaoppure è guasto. Si osserva lo stato dei componentiottenendo un vettore , dove è 1 oppure 0 aseconda che il componente -esimo funzioni oppure no”.

Da quanti elementi è formato lo spazio degli esiti?1.

3.

E =F =

G =E ∩ F E ∪ F F ∩ G E ∩ Fc E ∩ F ∩ G

( , , , )x1 x2 x3 x4 xii


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Il sistema nel suo insieme funziona fintantoché entrambi icomponenti 1 e 2 oppure entrambi i componenti 3 e 4funzionano. Specifica tutti gli esiti dell’evento il “sistemafunziona”.

2.

Sia l’evento “i componenti 1 e 3 sono guasti”. Quanti esiticontiene?

3. E


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Si dimostri che in uno spazio degli esiti dotato di unaprobabilità , per ogni evento vale ladisuguaglianza seguente

4. Ωℙ E, F ⊂ Ω

P(E ∩ F) ≥ P(E) + P(F) − 1.


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Un gruppo di 5 bambini e 10 bambine è in fila in ordinecasuale, nel senso che tutte le 15! possibili permutazioni sisuppongono equiprobabili.

5.

Qual è la probabilità che il quarto della fila sia un bambino?

E il dodicesimo?

Qual è la probabilità che un determinato bambino occupi laterza posizione?


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In comune vi sono 5 alberghi. Se 3 persone devono scegliereun albergo in cui pernottare, qual è la probabilità chefiniscano tutte in alberghi differenti? Che cosa stiamoassumendo senza dirlo esplicitamente?

6.


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La media campionaria del salario annuale di un gruppo di100 lavoratori impiegati nell’amministrazione di una grandeazienda è di 130000 dollari con una deviazione standardcampionaria di 20000 dollari. Se si prende una persona acaso da questo gruppo cosa possiamo dire sulla probabilitàche il suo salario sia

7.

tra i 90000 e i 170000 dollari.

superiore a 150000 dollari?


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In una certa regione vi sono due ditte che producono forni amicroonde. Quelli della fabbrica A sono difettosi conprobabilità 0.05, mentre quelli della fabbrica B, conprobabilità 0.01. Supponi di aver acquistato due apparecchiprodotti dalla stessa ditta, che può essere la A o la B conprobabilità del 50%. Se il primo microonde è difettoso, qual èla probabilità condizionata che sia difettoso anche ilsecondo?

8.


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Hai chiesto ad un vicino di innaffiare una piantina delicatamentre sei in vacanza. Pensi che senza acqua la piantinamuoia con probabilità 0.8, mentre se innaffiata questaprobabilità si ridurrebbe a 0.15. La tua fiducia che il vicino siricordi di innaffiarla è del 90%.

9.

Qual è la probabilità che la pianta sia ancora viva al tuoritorno?

1.

Se fosse morta, quale sarebbe la probabilità che il vicino sisia dimenticato di innaffiarla?

2.


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Una compagnia di assicurazioni classifica i suoi clienti in trefasce: basso rischio, medio rischio, alto rischio. Le suestatistiche indicano che le probabilità che un cliente delle trefasce abbia un incidente entro un periodo di un anno sonorispettivamente 0.05,0.15,e 0.30. Se il 20% dei clienti sono abasso rischio, il 50% a medio rischio e il 30% ad alto rischio,che percentuale dei clienti avrà mediamente incidenti in unlasso di un anno? Se un cliente non ha avuto incidenti nel1987, qual è la probabilità che appartenga a cuascuna delletre fasce?

10.


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Dimostra che se e hanno la stessa distribuzione,allora:

11. X1 X2

Cov( + , − ) = 0X1 X2 X1 X2


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Consideriamo una variabile aleatoria che può assumere ivalori o . Se sappiamo che

12.

Quanto vale p(3)?

Disegnare (a mano..) il grafico di questa funzione di massa.

Disegnare (a mano..) il grafico della relativa funzione diripartizione.

X1, 2 3

P(1) = ; P(2) =13

37


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La funzione di ripartizione di è definita come segue.13.

Se ne tracci il grafico.

Quanto vale ?

Quanto vale ?

Quanto vale ?

Quanto vale ?

X

f (x) =

⎧

⎩

⎨⎪⎪⎪⎪

0x22311121

x < 00 ≤ x < 11 ≤ x < 22 ≤ x < 33 ≤ x

P(X > 1/2)P(2 ≤ X ≤ 4)P(X ≤ 3)P(X = 1)


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Un tipo di prodotti vengono classificati a seconda dei lorodifetti e della fabbrica che li ha prodotti. Sia il numero (o ) della fabbrica, e sia il numero di difetti per pezzo(che possono essere da a ), di un prodotto scelto a casotra la totalità di quelli esistenti. La tabella seguente riporta lafunzione di massa di probabilità congiunta per queste duevariabili aleatorie discrete. Le righe si riferiscono allavariabile , mentre le colonne alla variabile

14.

0 1 2 3

1 1/8 1/16 3/16 1/8

2 1/16 1/16 1/8 1/4

1.1. Trova le distribuzioni marginali di e .1.2. Calcola media e varianza di .

X1 12 X2

0 3

X1 X2

X1 X2X2


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Se un votante scelto a caso è favorevole ad una certariforma con probabilità di 0.7, qual è la probabilità che su 10votanti, esattamente 7 siano favorevoli?

15.


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Modelli di Variabili Aleatorie

Sia X una variabile aleatoria normale di parametri = 10 e = 36. Calcola

16. μσ2

P(X > 5)P(4 < X < 16)P(X < 8)


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Il numero medio di errori tipografici per pagina di una certarivista è di 0.2. Qual è la probabilità che la pagina che tiaccingi a leggere contenga:

17.

nessun refuso?

2 o più refusi?


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Arrivi alla fermata dell’autobus alle 10, e sei certo che nepasserà uno in un momento distribuito uniformemente tra le10 e le 10.30.

18.

Qual è la probabilità che tu debba aspettare più di 10 minuti?

Se alle 10.15 l’autobus non è ancora arrivato, qual è laprobabilità che tu debba aspettare almeno altri 10 minuti?


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Il signor Jones è convinto che il tempo di vita di unaautomobile (in migliaia di chilometri percorse) sia unavariabile aleatoria esponenziale di parametro 1/20. Il signorSmith ha una macchina usata da vendere, che ha percorsocirca 10000 chilometri.

19.

Se Jones decide di comprarla, che probabilità ha di farle farealmeno altri 20000 chilometri, prima che sia da buttare?


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Un’urna contiene M = 50 palline di cui K = 5 bianche.Estraggo una pallina dall’urna, ne controllo il colore eregistro 1 se è bianca, registro 0 altrimenti; poi rimetto lapallina nell’urna.

20.

Che legge segue la variabile X =“la pallina estratta è bianca”?

Simulare questo esperimento per 100 volte. (considerare checiò equivale a generare un vettore di 100 valori estratti da unadistribuzione bernoulliana di parametro p = 1/10).

Controllare che i 100 risultati ottenuti (cioè le 100 osservazioni)hanno una distribuzione di frequenza “simile” a una leggebernoulliana di parametro p = 0.1.

Tracciare il grafico della funzione cumulativa empirica esovrapporlo a quello della funzione di ripartizione teorica.

Controllare che la media e la varianza del campione generato si


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avvicinano al valore atteso e alla varianza del modello teoricoche lo ha generato.


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Sia X una variabile casuale binomiale di parametri n = 100 ep = 0.7.

21.

Tracciate la funzione di ripartizione di X.

Calcolate, con un unico comando, i quartili di X, il decimo, il35esimo e il 90esimo percentile di X, la moda di X.

Calcolare la probabilità P (X ≤ 60)

Calcolare la probabilità P (X > 88)

Trovare il più piccolo valore x tale che P (X ≤ x) ≥ 0.9.

Trovare il più grande valore x tale che P (X > x) ≥ 0.8


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