Guía 106: Construyendo mi proyecto de vida con las matemáticas

Guía 106: Construyendo mi proyecto de vida con las matemáticas

CH-FyA-0523

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Guía

106 Meta 36

GRADO 11

GUÍA DEL ESTUDIANTE

CONSTRUYENDO MI PROYECTO DE VIDA CON

LAS MATEMÁTICAS

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Guías de Aprendizaje de Cualificar Matemáticas Fe y Alegría Colombia

Fe y Alegría de Colombia Víctor Murillo Director Nacional Desarrollo de contenidos Pedagógicos y educativos Jaime Benjumea-Marcela Vega Autores de la guía 106 Jair Gonzalez Padilla, I.E.D. Pinar Del Río, BARRANQUILLA Guisella Fiorilll Gamero, I.E.D. Pinar Del Río, BARRANQUILLA Ashley Miyereth Gallo Silva, I.E Minuto de Dios Policarpa Salavarrieta Luis Alberto Avellaneda Cáceres, I.E Minuto de Dios Policarpa Salavarrieta Coordinación pedagógica Francy Paola González Castelblanco Andrés Forero Cuervo GRUPO LEMA www.grupolema.org Revisores Jaime Benjumea José Roberto Ramirez, Colegio Las Mercedes Francy Paola González Castelblanco Andrés Forero Cuervo

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Guía 106

GRADO 11

CONSTRUYENDO MI PROYECTO DE VIDA CON LAS MATEMÁTICAS

GRADO 11 - META 36 - PENSAMIENTO ALEATORIO.

Guía 106 (Duración 13 h)

ACTIVIDAD 1 ● Asociaciones positivas y

negativas entre variables aleatorias.

ACTIVIDAD 2 ● Medidas de dispersión: varianza,

desviación estándar (para variables discretas y continuas).

● Coeficiente de correlación entre variables aleatorias.


• Dispersión de un conjunto de datos (ideas fundamentales). • Varianza y desviación estándar.


• Profundización: probabilidad condicional. • Teorema de Bayes. • Varianza y desviación estándar. • Cálculo de probabilidades usando el teorema de Bayes, junto con árboles y modelos de área.

META DE APRENDIZAJE N. 36: Analizo a partir de la estadística inferencial las posibilidades de éxito de mi proyecto de vida al escoger una carrera universitaria o laboral, según las oportunidades de mi contexto y las variables estadísticas implicadas. Para ello, hago estudios estadísticos analizando cómo se relacionan estas variables (asociaciones positivas y negativas, coeficiente de correlación); identifico el grado de dispersión de un conjunto de datos, utilizando el promedio, la varianza y la desviación estándar; profundizo en las nociones de probabilidad condicional e independencia de eventos usando el Teorema de Bayes, áreas y árboles para calcular probabilidades. Así, aprendo a analizar la dependencia entre fenómenos que impactarán mi vida después de la escolaridad. PREGUNTAS ESENCIALES DE LA GUIA 106: ● ¿De qué manera puedo predecir mi futuro, en torno a los cambios en mi proyecto de vida? ● ¿Cómo la toma de decisiones puede influir en mi proyecto de vida? ● ¿Cómo podría ser mi proyecto de vida una certeza? EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE

● Formulo mi proyecto de vida para responder interrogantes sobre un problema en mi entorno, estableciendo las variables de estudio, la población objetivo y la muestra a estudiar; recopilando, organizando, presentando y describiendo los datos obtenidos para determinar de esta manera la probabilidad de ocurrencia de cada situación presentada.

● Justifico la estrategia y el método de cálculo de probabilidad a utilizar sobre la base de tipos de situaciones aleatorias, su contexto, restricciones y condiciones.

● Explico la diferencia entre sucesos posibles imposibles y seguros; Así mismo, entre sucesos excluyentes y sucesos independientes.

● Formulo y compruebo conjeturas a los resultados de experimentos aleatorios o simulaciones. ● Me apoyo en diversas herramientas digitales para realizar los procesos investigativos e inferenciales de la

probabilidad de éxito en mi proyecto de vida.

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ACTIVIDAD 1: ¿QUÉ TANTO SABES?

A) ACTIVANDO SABERES PREVIOS

Suceso seguro y suceso imposible

Un suceso seguro es aquel que contiene todo el espacio muestral. Por ejemplo, en nuestro experimento de

tirar un dado y mirar el resultado, el suceso A: “sacar un número menor o igual que 6” es un suceso seguro,

puesto que, salga lo que salga, siempre el resultado será menor o igual que 6 . También sería un suceso

seguro B= ”sacar un número menor igual que 2 o mayor igual que 3”

Un suceso imposible es el caso contrario, cuando el suceso A=”sacar un 7 “no contiene ningún elemento del

espacio muestral.Por poner un ejemplo, es el suceso al tirar un dado de seis caras, o bien B =”sacar una

bola blanca” de un recipiente que sólo contenga bolas negras.

Indica si cada evento que aparece es posible, imposible o seguro. Justifica tu respuesta

Evento Imposible Posible Seguro Justificación

Tirar un dado de 6 caras y que salga un cero

Lanzar un dado de 6 caras y que salgan dos cincos

Sacar una bola blanca de una bolsa de bolas negras

Comerte una aceituna y tragarte el hueso

Tirar una moneda y que caiga cara

Caminar debajo del sol y hacer sombra

Después del día llega la noche

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VERIFICA LAS RESPUESTAS DE LA SECCIÓN A CON TU PROFESOR.

B) CONCEPTOS

Asociaciones positivas y negativas entre dos variables aleatorias

Iniciamos imaginado que tenemos información simultánea de dos variables una de ella puede ser

cuantitativa o cualitativa. Sean (X1,Y1) , (X2,Y2) , (X3,Y3) , (X4,Y4) , (X5,Y5) ,……… ,(Xn,Yn) observaciones

conjuntas de dos variables edad y estatura en una población de seres humano

Número de personas (Edad, estatura)

1 (X1,Y1)

2 (X2,Y2)

3 (X3,Y3)

n (Xn,Yn)

Cada renglón corresponde a una observación de ambas variables si se grafica estos puntos en un plano cartesiano, se obtiene lo que se conoce como diagrama de dispersión.

Los diagramas de dispersión ayudan a identificar visualmente alguna posible relación entre las dos variables

en estudio, en general pueden existir varios tipos de relaciones entre dos variables pero distinguiremos

dos casos. relaciones lineales y relaciones no lineales, iniciaremos con relaciones de tipo lineal, explicaremos

ahora en qué consisten estas, en la relaciones lineales presenta un cúmulo alargados de puntos que sugiere

una posible relación entre las variables, por ejemplo:

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CORRELACIÓN LINEAL POSITIVA

En este caso los valores de Y tiende a crecer de

manera lineal conforme los valores de X crecen ,

se dice entonces que existe una correlación lineal

positiva .

CORRELACIÓN LINEAL NEGATIVA

Ahora cuando los valores de Y parece decrecer de

manera lineal conforme los valores de X crecen , se dice

que existe una cierta correlación lineal negativa. . Se dice

además que no existe correlación lineal entre las

variables cuando ninguna de las dos tendencias anteriores

se presentan.

MINI-EXPLICACIONES: TIPOS DE CORRELACIÓN

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Correlación Positiva

Ejemplo 1: La cantidad de dinero que tiene una persona podría correlacionarse

positivamente con el número de vehículos, esto quiere decir que a mayor cantidad

de dinero mayor cantidad de vehículos

DINERO ( en millones de pesos) VEHÍCULO

1000 2

2000 4

3000 6

…. ...

10000 20

Solución

CORRELACIÓN POSITIVA

Ejemplo 2:

Determina la correlación que se presenta a continuación , número de tiendas

escolares y estudiantes de un colegio.

Solución:

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Correlación Negativa

Lo primero que hacemos es analizar la situación y rápidamente llegamos a la

conclusión a mayor número de tiendas mayor número de estudiantes por lo tanto la

gráfica que representa la siguiente situación es

Es una correlación positiva a medida que aumenta el número de tiendas aumenta el

número de estudiantes en el colegio.

Para complementar la comprensión de los anteriores ejercicios de

correlación se recomienda ver el siguiente enlace

https://www.youtube.com/watch?v=n9odGHfgL8s

Ejemplo 3

El nivel de educación puede correlacionarse negativamente con la delincuencia, esto significa que el aumento del nivel de educación en un país puede conducir a la disminución de la delincuencia.

Solución: Correlación negativa

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Ejemplo 4

Los seres humanos pueden reconocer algunos medios de transporte por el sonido

que produce por ejemplo

Sonido ( decibelio (dB) ) Distancia en metros

90 dB 10 metros

80 dB 20 metros

70 dB 30 metros

60 dB 40 metros

50 dB 50 metros

…. ….

Solución

Correlación negativa

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En este caso se presenta una correlación negativa porque a medida que se escucha

el sonido del transporte más fuerte se encuentra a menor distancia de la persona

que escucha, es decir a mayor sonido menor distancia.

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C) RESUELVE Y PRACTICA

1) Teniendo en cuenta la siguiente tabla , determina si la correlación es positiva o negativa y realiza la gráfica

Venta de motos Ganancia de la empresa

1 500000

2 1000000

3 1500000

5 2500000

8 40000000

10 50000000

…. ….

50 250000000

2) Determina si la correlación entre felicidad de trabajadores de una empresa y comida que no le

gusta, es una correlación positiva o negativa y realiza la gráfica.

3) Determina la correlación entre tiempo de construcción de un parque y número de persona , si es

positiva o negativa y realiza la gráfica

4) Determina la correlación entre oxigeno diario de una persona para vivir y número de árboles que

producen oxígeno, si es positiva o negativa, y realiza su gráfica teniendo en cuenta la siguiente

tabla,

oxigeno diario de una persona para vivir número de árboles

1 persona 320 oxígeno 22 árboles

2 personas 640 oxígeno 44 árboles

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………. ……..


5) Determina si la correlación entre motivación intrínseca y calificación en un curso es positiva o

negativa, si es probable o improbable, su fortaleza , teniendo en cuenta los siguientes datos

rho=0.17 , p=0.00

6) Determina si la correlación entre honestidad y pago de una empresa es positiva o negativa, si es

probable o improbable, su fortaleza , teniendo en cuenta los siguientes datos

rho=-0.83 , p=0.05

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D) RESUMEN

E)

Valoración

i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno

Evidencias ⚫⚪⚪ Todavía no

entiendo los conceptos

⚫⚫⚪ Voy bien pero

quiero más práctica

⚫⚫⚫ Comprendí muy bien el

tema

1.

2.

3.

4.

ii) Preguntas de comprensión 1) La correlación entre dos variables

aleatorias es... a. positiva; b. negativa. c. nula. d. cualquiera 2) La correlación de dos variables aleatoria

cuando su pendiente es mayor que cero a. negativa. b. positiva. c. nula. d. positiva y negativa.

3) La correlación de dos variables aleatorias cuando su pendiente es menor que cero

a. negativa. b. positiva. c. nula. d. positiva y negativa.

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4) Teniendo en cuenta la definición de

correlación entre dos variable aleatoria podemos afirmar que no hay correlación positiva y negativa cuando

a. Existe una correlación positiva entre dos variables aleatorias. b. Existe una correlación negativa entre dos variables aleatorias. c. no existe una correlación positiva y negativa entre dos variables aleatorias.

d. Existe una correlación positiva y negativa entre dos variables aleatorias.

(Verifica las respuestas con tu profesor)

iii) Resuelvo un problema

Determina si la correlación entre tolerancia y hora de sueños es positiva o negativa, si es probable o

improbable, su fortaleza , teniendo en cuenta los siguientes datos r=-0.52 , p=0.005

Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar.

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ACTIVIDAD 2: UNA MEDIDA DE RELACIÓN LINEAL

A) Activando saberes previos: ¿Qué tanto sabes de variables?

¿Cómo se pueden organizar los datos?

Los datos observados se pueden tabular usando herramientas computacionales como excel o de manera

escrita (Tabla 1.) En esta tabla se identifica que el primer par de observaciones (x=72, y=172) indica que

la primera persona tiene una extensión de brazo 72 cm y su estatura corresponde a 172 cm.

1) ¿Qué análisis

descriptivo se puede realizar? 2) ¿Qué tipo de variable tenemos en estudio? 3) ¿Cuántas variables de estudio nos da la situación y cuáles son? 4) ¿ Qué medidas conocidas puedes aplicar para estudiar las variables?

RECUERDA QUE...


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● La moda: es el dato con mayor frecuencia. ● La media aritmética o promedio: es el valor promedio de las muestras, su valor se encuentra sumando

todos los valores y dividiendo el resultado de la sumatoria por el número total de datos. ● La desviación típica o estándar: es la medida que ofrece información sobre la dispersión media de

una variable. La desviación estándar es siempre mayor o igual que cero. Su valor se encuentra elevando al cuadrado las desviaciones, dividir entre el número total de observaciones y por último sacar la raíz cuadrada para deshacer el elevado al cuadrado, tal que:

PRÁCTICA

A partir de los datos observados (tabla arriba) , responde: (Selecciona la respuesta correcta de la pregunta 1 a la 4. )

1. De acuerdo a los estadísticos descriptivos, la medida promedio de la extensión del brazo es:

a) 79,3 cm b) 70,3 cm c) 68,5 cm d) 66,2 cm

2. La moda del conjunto de datos es: a) 72cm b) 71cm c) 70cm d) 79cm

3. Para la medida de la estatura se puede concluir que la estatura promedio observada es de: a) 156,3 cm b) 162,5 cm c) 166,6 cm d) 169,3 cm

4. La desviación típica o estándar de las variables “extensión del brazo” y “estatura” de estudio son: a) 3,96 y 9,34 respectivamente. b) 3,56 y 9,23 respectivamente. c) 3,32 y 9,18 respectivamente. d) 3,12 y 9,03 respectivamente.


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5. Realiza un histograma de frecuencias para cada una de las variables y uno donde muestres la relación entre la variable “extensión del brazo” y la variable “estatura de una persona”, escribe tus conclusiones al observar la relación entre ellas. (puedes utilizar excel para realizar las gráficas).

VERIFICA LAS RESPUESTAS DE LA SECCIÓN (A) CON TU PROFESOR.

B) Conceptos Analicemos las siguientes preguntas:

● ¿Es posible que el tiempo practicando deporte tenga que ver con una vida más duradera? ● ¿Puedes afirmar que estudiando más horas sacarás mejores notas en el examen de matemáticas? ● ¿Hay alguna relación entre la cantidad de pan comido al día y el nivel de azúcar medido en la sangre?

¿Cómo puedes responder los interrogantes planteados anteriormente? Pues, con la correlación.

El coeficiente de correlación: es un número abstracto (sin unidades) que determina la fuerza de la relación lineal entre las variables aleatorias, es decir, una medida numérica del grado en que las variables están relacionadas linealmente.


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Veamos la importancia de la correlación en estadística.

Fíjate que todas las preguntas que has visto relacionan dos variables. Y estas variables son numéricas, para responder los interrogantes puedes utilizar una medida de relación lineal: el coeficiente de correlación o correlación de Pearson.

Veamos un ejemplo muy sencillo; observemos en la tabla los datos de la clasificación de la liga española de fútbol del 2016.

Como siempre el análisis de datos es una ciencia viva y quiere resolver problemas y/o contestar preguntas. En este caso planteemos el siguiente interrogante: ¿Qué es más importante en un partido de fútbol: marcar goles o que no te marquen?

Veamos: vamos a tomar 3 variables:

1. Partidos ganados (ya que son 3 puntos). 2. Los goles en contra. 3. Los goles a favor.

Empecemos por lo más sencillo, te mostraré la relación que hay entre los goles a favor y los partidos ganados. ¿Cómo se hace? Pintaremos un diagrama de dispersión, de esta manera se puede intuir cómo crece una variable con la otra, o si decrece. Recuerda que el signo de la covarianza te indica el sentido de la relación.


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¿Qué recta puedes intuir que siga los puntos? Podría ser una recta como la que ves en la figura. Como la lógica dice la relación es creciente, la recta tiene pendiente positiva ¿Cómo sería la Covarianza? POSITIVA también. Fíjate que con el diagrama puedes relacionar las variables 2 a 2 de manera muy visual.

¿Y si haces lo mismo con la otra variable? Miremos la relación entre goles en contra vs partidos ganados:

Tienes una relación decreciente, el signo de la Covarianza sería negativo y también el signo de la correlación.

Como hemos visto el indicador para saber si hay relación (lineal) entre dos variables numéricas es el coeficiente de correlación o correlación de Pearson. Y como pasaba con la covarianza la correlación es una


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matriz. En el caso de trabajar con 2 variables, tienen una matriz 2x2; la diagonal de la matriz son números uno porque la relación es perfecta cuando relacionamos una variable consigo misma, observa la imagen.

MINI EXPLICACIÓN:

TEN EN CUENTA:

1. La correlación indica el grado de relación lineal entre dos variables numéricas.

2. No tiene unidades y puede tener valores entre -1 y 1. 3. El signo positivo indica relación lineal creciente y el negativo indica relación

lineal decreciente. 4. Si la correlación es igual a -1, entonces, la relación lineal es perfecta. Es

decreciente, los puntos estarían encima de una recta con pendiente positiva.

5. Si la correlación es igual a 1, entonces, la relación lineal es perfecta. Es creciente, los puntos estarían encima de una recta perfecta con pendiente negativa.

6. Si la correlación es 0 significa que las variables NO tienen ninguna relación.


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Si te interesa aprender un poco más: considera como ejercicio de aplicación la siguiente situación. ❖ Un equipo cualquiera de fútbol desea hacer predicciones del valor anual de sus ventas totales (entradas vendidas para ver al equipo), a partir de la relación de éstas y las ventas nacionales (cuando el equipo juega en otra ciudad). Para investigar la relación cuenta con los siguientes datos: X representa la venta nacional en millones de pesos,Y representa las ventas del equipo en miles de pesos en el periodo que va desde 2008 hasta 2018 (ambos inclusive). Calcular: La recta regresión de Y sobre X. El coeficiente de correlación lineal e interpretarlo. Si en 2019 la venta nacional del país fue de 325 millones de pesos. ¿Cuál será la predicción para las ventas del equipo en este año?

Solución:

1. La recta de regresión de Y sobre X


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El coeficiente de correlación lineal e interpretarlo. Es un coeficiente de correlación positivo y cercano a uno, por lo que la correlación es directa y fuerte. Si en 2019 la venta nacional del país fue de 325 millones de pesos. ¿Cuál será la predicción para las ventas del equipo en este año? y = 0.53 * 325 + 302.91 = 475.16 Ahora, reúnete con tus compañeros y analicen la siguiente situación.


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el número de horas dedicadas al estudio de una asignatura y la calificación obtenida en el examen correspondiente, de ocho personas es: Horas (X) Calificación (Y)

Hallar:

1. Recta de regresión de Y sobre X. 2. calcular la covarianza.

RECUERDA: la covarianza es el valor que refleja en qué cuantía dos variables aleatorias varían de forma conjunta respecto a sus medias.

Nos permite saber cómo se comporta una variable en función de lo que hace otra variable. Es decir, cuando X sube ¿Cómo se comporta Y? Así pues, la covarianza puede tomar los siguiente valores:

Covarianza (X,Y) es menor que cero cuando “X” sube e “Y” baja. Hay una relación negativa.

Covarianza (X,Y) es mayor que cero cuando “X” sube e “Y” sube. Hay una relación positiva.

Covarianza (X,Y) es igual que cero cuando no hay relación existente entre las variables “X” e “Y”.


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Cálculo de la covarianza

La fórmula de la covarianza se expresa como sigue:

Dónde la y con el acento es la media de la variable Y, y la x con el acento es la media de la variable X. “i” es la posición de la observación y “n” el número total de observaciones.

3. Calificación estimada para una persona que hubiese estudiado 28 horas.


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Si no lograste responder alguna pregunta, no te preocupes, ahora busca información para responder con más fortaleza las preguntas y situaciones anteriormente planteadas y trata de observar algunos ejemplos que te darán luz a las respuestas.

https://www.youtube.com/watch?v=rsRgIMk-M2k

https://www.youtube.com/watch?v=1o_qbkzYyVk

https://www.youtube.com/watch?v=wtjfwq1FbzA

C) Resuelve y practica

1. los valores de dos variables X e Y se distribuyen según la tabla siguiente:

Calcula: a. la covarianza b. obtener e interpretar el coeficiente de correlación lineal. c. ecuación de la recta de regresión de Y en X.

2. Se sabe que entre el tiempo dedicado a la práctica diaria de un grupo de jugadores y el número de litros de agua por metro cuadrado que se recogen en una ciudad no existe relación.

a. ¿Cuál es el valor de la covarianza de estas variables? b. ¿Cuánto vale el coeficiente de correlación lineal?


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Observa los siguientes videos que te ayudarán a afianzar tus conocimientos. https://ekuatio.com/coeficiente-de-correlacion-lineal-o-coeficiente-de-pearson-ejercicios-resueltos/ https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/estadistica/disbidimension/ejercicios-de-regresion-y-correlacion.html y ahora, juguemos un poco… da click al siguiente enlace: http://guessthecorrelation.com

D) Resumen


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E) Valoración

i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno

Evidencias

⚫⚪⚪ Todavía no

entiendo los conceptos

⚫⚫⚪ Voy bien pero

quiero más práctica

⚫⚫⚫ Comprendí muy bien el

tema

5.

6.

7.

8.

ii) Preguntas de comprensión

1) Da un ejemplo de dos variables con correlación positiva cercana a 1.

2) Da un ejemplo de dos variables con correlación 0.

3) Da un ejemplo de dos variables con

correlación negativa cercana a −1.

(Verifica las respuestas con tu profesor)

iii) Resuelvo un problema

En un colegio de Fe y Alegría, se toman a 4 estudiantes que se han destacado por su buen desempeño en el equipo de fútbol del colegio. Los partidos jugados por cada uno de ellos en la selección de la escuela y el número de goles anotados el último mes por cada uno de ellos son los siguientes:

1. El coeficiente de correlación de la situación es: a. 1 b. 0 c. -0 d. -1

2. La correlación es: a. perfecta e inversa. b. positiva y fuerte. c. negativa y fuerte. d. nula.


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3. Realiza conclusiones a partir de la situación planteada.

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