Guía No. ALINEANDO · 2019-03-27 · ¿Cuáles profesiones hacen uso del teorema de Pitágoras y de Thales?¿enquéaspectos? ¿En qué aspectos hacemos uso de la semejanza y congruencia

Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativosLa innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia.

Ambiente Cualificar. Formación de docentes y equipos de dirección.

ALINEANDOGuía No.Duración: 13horas

Módulo: Cualificar Matemáticas Año:2019Meta de Aprendizaje

Analizo e interpreto situaciones del entorno o problemas de diferentes disciplinasrelacionados con representaciones geométricas bidimensionales y/o tridimensionales, enlos que sea posible aplicar conceptos, teoremas básicos de la geometría, nocionestrigonométricas y explico alternativas de solución a problemas través de herramientasdigitales permitiéndome entender el mundo físico en que habito.Preguntas Esenciales:

¿Cuáles profesiones hacen uso del teorema de Pitágoras y deThales?¿en qué aspectos?¿En qué aspectos hacemos uso de la semejanza y congruenciade triángulos?¿Cómo las herramientas digitales pueden contribuir en lamodelación de fenómenos relacionados con semejanza,congruencia de triángulos, teorema de Pitágoras y de Thales?

EvidenciasDescribe y reconoce el teorema de Pitágoras y de Thalesen diferentes contextos.Comprende la aplicabilidad en situaciones relacionadascon distintas áreas profesionales con semejanza,congruencia de triángulos, teorema de Pitágoras y deThales.Analiza con la ayuda de herramientas tecnológicas, posibles soluciones aproblemas relacionados con el teorema de Pitágoras y Thales.Analiza situaciones relacionadas con teorema de Pitágoras y Thales.

Actividad 1 Actividad 2 Actividad 3 Actividad 4 Actividad 5

Recordando A consultar sedijo

Teorema deThales

Teorema dePitágoras Aplicano lo

aprendido



Materiales RequeridosGeoGebra onlineGuíaApuntesLibros matemáticos, grado 9.Dispositivos electrónicos

RECUERDA QUE EN EL AMBIENTE CUALIFICAR DEBES TENER EN CUENTALAS SIGUIENTES PAUTAS…

Respetar los diferentes ritmos de aprendizaje de cada estudiante.

¡El docente es un guía constante de tu trabajo, puedes acercarte a él cuando lonecesites!

Las guías de aprendizaje son la estrategia educativa central de este ambientey se desarrollan fomentando las habilidades de pensamiento crítico reflexivo.



HABILIDADESDEPENSAMIENTO

CRÍTICOREFLEXIVO

Fuente: Elaboración propia con base en Facione (2007)

El desarrollo de las guías de aprendizaje de manera individual afianzara tucomprensión.

Para hacer más ameno tu trabajo, puedes ubicarte en compañía de un grupo decompañeros y dar solución a tus respectivas guías.

Al terminar tu respectiva guía de trabajo puedes acercarte al docente parasustentar y consensuar tu valoración.

El docente debe valorarte siempre de manera personalizada.

Y recuerda que… CUALIFICAR es un ambiente donde aprenderás siendo feliz.

ACTIVIDAD 1: RECORDANDO



¿Cómo hacer carambola a una banda?Si has jugado al billar, sabrás que hacer carambola a unabanda significa que la bola lanzada debe dar una vez en elmarco de la mesa antes de hacer carambola. Basta aplicar lasemejanza para conseguirlo.

1. ¿Cómo?2. ¿Hacia dónde debes dirigir la bola amarilla para que

después de rebotar en la banda vaya a la bola roja?3. Describe brevemente que es la proporcionalidad

directa.4. Menciona las propiedades de los triángulos.

Uno de los conceptos geométricos que suele crear cierta confusión es el de "semejanza".Posiblemente, dicha confusión se deba a que en el lenguaje cotidiano utilizamos el término"semejante" como sinónimo de "parecido". Pero, parecido ¿en qué?, ¿en tamaño?, ¿enforma?... en matemáticas "dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma perodistinto tamaño". Observa las figuras del ejemplo siguiente:

Es cierto que a simple vista parecen semejantes, pero ¿realmente tienen la misma forma osolo lo parecen?

Matemáticamente se comprueba que tienen la misma forma cuando sus ánguloscorrespondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales. Si dividimosla medida de cada lado de la figura grande entre la medida de su lado correspondiente en la



figura pequeña obtendremos una cantidad fija (en esta figura ese cociente es 3) que sellama razón de semejanza. Para dibujar figuras semejantes podemos utilizar unatransformación geométrica llamada homotecia.

5. ¿Describe qué es homotecia?6. ¿Cómo se realiza las homotecias?7. Con ayuda de GeoGebra y del link https://www.geogebra.org/m/dNc7gZDF

https://www.youtube.com/watch?v=iAMtnyU6sQc y realiza la homotecia de unpentágono y un hexágono y preséntela al docente.

8. ¿Cómo determinar que dos figuras son iguales?9. Realiza 5 ejemplos de figuras semejantes10. Realiza 5 ejemplos de figuras congruentes11. Describe 5 situaciones de la cotidianidad en las que se hace necesario utilizar

figuras semejantes y congruentes.12. El fútbol es uno de los deportes más influyentes en el mundo. Como sabes se juega

en un campo rectangular de césped. Con una meta o portería a cada lado del campo.Las dimensiones de la portería, área y círculo central guardan unas proporcionesgeométricas definidas que son importantes para la base del juego y para que susreglas tengan sentido.

1

1 Imágen tomadas de Proyecto sé matemáticas 9, aprendizajes para la vida pagina 218 y vectorizada por el Ing. Jonatan García Castro, docente IE Diego

Maya Salazar.

https://www.geogebra.org/m/dNc7gZDF

https://www.youtube.com/watch?v=iAMtnyU6sQc



Elabora tu propio plano de una cancha de futbol a escala. Para ello, elige una razón desemejanza y realiza los cálculos que se requieran para completar la tabla:

Sección del campo dejuego

Medidas reales Medidas del plano

Área de metaPorteríaÁrea de castigoLínea de bandaLínea de metaLínea de medio campoRadio de lacircunferencia central

Para completar los datos, averigua a qué distancia de la portería debe estar el punto penal,posteriormente explica los pasos que siguió para elaborar tu plano.

ACTIVIDAD 2: A CONSULTAR SE DIJO

A consultar:

En la biblioteca de tu colegio o en los links dados consulta:1. ¿Qué es la semejanza de triángulos?2. ¿Cuáles son los criterios de semejanza entre triángulos? Realiza un mapa conceptual

con dibujos.3. ¿Qué es el teorema e Thales?4. ¿Qué demuestra dicho teorema?5. ¿Cómo nos ayuda a determinar si dos triángulos son semejantes?6. ¿Cuáles son os enunciados del teorema de Thales?7. ¿Qué es la congruencia de triángulos?8. ¿Cuáles son los criterios de congruencia entre triángulos? Realiza un mapa

conceptual con dibujos.

Links de ayuda para la consultahttps://www.youtube.com/watch?v=9JFngPZcH7chttps://www.youtube.com/watch?v=0wgwbkn5G5Qhttps://www.youtube.com/watch?v=mGFFbP9YMKMhttps://www.youtube.com/watch?v=nspmSkEIlmAhttps://www.youtube.com/watch?v=3tZMBJEcDM4

https://www.youtube.com/watch?v=9JFngPZcH7c

https://www.youtube.com/watch?v=0wgwbkn5G5Q

https://www.youtube.com/watch?v=mGFFbP9YMKM

https://www.youtube.com/watch?v=nspmSkEIlmA

https://www.youtube.com/watch?v=3tZMBJEcDM4



9. Contesta las siguientes preguntas y justifica tu respuesta:a. ¿dos triángulos equiláteros son siempre semejantes?b. ¿dos triángulos isósceles son siempre semejantes?c. ¿dos triángulos rectángulos son siempre semejantes?d. ¿dos triángulos rectángulos isósceles son siempre semejantes? Realiza la

construcción de los triángulos en GeoGebra para justificar tu respuesta. Ayúdatedel link https://www.geogebra.org/m/xsz9dbH6 yhttps://wiki.geogebra.org/es/Tutorial:Tri%C3%A1ngulos_de_Todo_Tipo

10. Verifica si los triángulos siguientes son semejantesa.

b.

c.

https://www.geogebra.org/m/xsz9dbH6

https://wiki.geogebra.org/es/Tutorial:Tri%C3%A1ngulos_de_Todo_Tipo



11. Verifica si los triángulos y conlados , , , , , , sonsemejantes.

12. Observa la figura donde se muestra dos triángulos semejantes, si los datoscorresponden a la medida del piso hasta el tablero de básquetbol y "� " representa aJuan parado sobre el piso entonces, ¿cuál debe ser el tamaño de "� "?

13. En dibujo representa el marco de una ventana, reforzada con varillas queforman triángulos semejantes, ¿cuánto mide la base de la ventana?



ACTIVIDAD 3: TEOREMA DE THALES

Personaje:El primer científico no disponía de laboratorio, pipetas o reactivos,es más, no utilizaba ni siquiera un método. Lo que sí tenía era unprofundo convencimiento: “los fenómenos de la naturaleza seexplican por medio de la naturaleza”. Estaba convencido de que noera inevitable recurrir a Poseidón cuando había un temblor de tierrani a Zeus cuando caía un rayo. Su nombre era Tales de Mileto, unode los siete Sabios de Grecia.

1. Consulta quien fue Tales de Mileto2. ¿cuáles eran las principales características de la escuela de Mileto?3. ¿Qué es la razón entre dos segmentos?4. ¿Cómo a representamos?5. ¿Cómo se relaciona el teorema de Thales con la proporción?6. Utilizando las propiedades de triángulos semejantes, encuentra el valor de "� "



14. Calcula la altura de Juan sabiendo que proyecta una sombra de 2 metros en elmomento en que Pedro, que mide 1,80 m, proyecta una sombra de 2,25 metros

15. Se desea hacer un plano de un terreno de � � � � de lago por �� de anchousando una escala de �� ¿Cuáles serán las dimensiones del dibujo del terreno?

16. El profesor de expresarte para transformar pide hacer una copia del cuadro“la mona lisa” de Leonardo Da Vinci. El cuadro original tiene las medidas que semuestran en el dibujo. ¿Cuál de la siguiente cartulina tiene la medida más adecuadapara hacer a escala el cuadro original? justifica la repuesta.



a. 38,5 cm x 26,5cmb. 70,5cm x 53 cmc. 71,5cm x 47,5 cmd. 77cm x 77cm

17. ¿Cuál es la altura del faro?

18. En una fotografía de juan y pedro ambos aparecen de pie. Juan mide 1,5 m yen la foto aparece con � � � � de altura ¿Cuánto mide pedro si en la foto se muestrade �� ?

19. Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.



20. ¿Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectasa y b?

21. Haciendo uso del teorema de Pitágoras divide el segmento AB en 3 partesiguales

22. Santiago mide 1,76 m y desea llegar el borde de la torre que mide 16m, sesabe que entre el punto donde se encuentra y un punto conocido en el trayecto parallegar a la torre, hay una distancia de 3,3m. Dado el siguiente dibujo, y con los datosque se proporcionan, halla la distancia a la que está Santiago de la torre.



23. Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de loslados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales alos del triángulo ABC.

ACTIVIDAD 4. TEOREMA DE PITÁGORAS

PersonajeSi hay un matemático que posiblemente conozca gran parte delmundo ese es el griego Pitágoras (569 a. C.- 475 a. C.). Consideradocomo el primer matemático puro, fue el creador del célebreteorema de Pitágoras para medir triángulos rectángulos. Además,tuvo una importante labor filosófica, fundando el pitagorismo queinfluiría en otros pensadores como Platón o Aristóteles.

“Si Pitágoras hubiera tenido la suerte de vivir en esta era, hubiera sido entrenador defútbol, porque el fútbol es geometría, apertura y cierre de espacios, movimientos lógico

matemáticos.



El tan conocido y mencionado teorema de Pitágoras establece que en todo triángulorectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo)es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, losque conforman el ángulo recto).

a) La hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la raíz cuadrada de la suma del

cuadrado de los catetos. h � � ��

�

b) El cateto de un triángulo rectángulo es igual a la raíz cuadrada de la hipotenusa al

cuadrado menos el otro cateto al cuadrado. � � � h� − � ��

1. ¿Qué características debe tener un triángulo para que sea rectángulos?2. ¿Cuáles son las principales aplicaciones del teorema de Pitágoras en la actualidad?3. ¿Por qué el teorema de Pitágoras solo se aplica en triángulos rectángulos?4. Investiga y explica con tus palabras al menos tres situaciones donde se emplea el

teorema de Pitágoras.5. Imagina que vas de paseo por tu barrio, de repente observas una muchedumbre

agolpada cerca de un poste abandonado, decides acercarte para averiguar quésucede, las personas están observando un pequeño gato que ha quedado atrapado enlo alto de un poste que está al otro lado de un río muy caudaloso, que tiene de ancho5m. Entonces piensas que con ayuda de una escalera podrás bajar el gato, la gentete informa que desconocen la altura del poste, sin embargo, te informan que del ladoque tu estas hay un pedazo de un antiguo poste el cual mide la tercera parte delposte en el que está el gato. (Ten en cuenta que no tienes en el momentoherramientas de medición, solo tu creatividad).A. Representa de manera gráfica la situaciónB. ¿Cómo empleamos el teorema de Pitágoras para resolver dicho problema?C. ¿Cómo planteamos la solución en términos de una variable?

6. Ahora teniendo en cuenta que el teorema de Pitágoras solo se aplica en triángulosrectángulos, encuentra la manera de comprobar si las medidas dadas a continuacióncorresponden a los lados de un triángulo rectángulo, explica la manera en que lohiciste.

a. �� b. � � � � �� c. �� d. �� e. ��



VAMOS A VERIFICAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS USANDO LA TECNOLOGÍA.

PASO 1 Construye un triángulo rectángulo. Para eso , haz clic en y en el menú que se

despliega haz clic de nuevo en . Luego, haz clic sobre el eje y para ubicar elpunto A, haz clic sobre el eje x para ubicar un punto B y haz clic sobre el origen de

coordenadas para ubicar un punto C. A continuación, haz clic en y en el menú que se

despliega haz clic en . Selecciona los tres puntos A, B y C construidos paradeterminar el triángulo ABC. Para cerrar la figura, haz clic en el primer punto queseleccionaste.

PASO 2 Construye los cuadrados sobre cada uno de los lados del triángulo. Para eso, haz

clic en y en el menú haz clic en , luego selecciona los dosextremos de la hipotenusa: A y B. En la ventana que se despliega ingrese el número devértices 4.



Da clic en para que aparezca el cuadrado. Repite este procedimiento con los dos catetos.Aplica un color diferente a cada cuadrado haciendo clic derecho sobre la figura yefectuando el cambio en propiedades. De esta manera obtendrás la siguiente figura:

En la vista algebraica se observan las áreas de cada uno de los cuadrados construidos.Puedes mover los puntos A y B y verificar que, sin importar su posición, el área del cuadradoconstruido sobre la hipotenusa equivale a la suma de las áreas de los cuadrados construidossobre los catetos.

ACTIVIDAD 5: APLICANDO ANDO

1. La altura de una portería de fútbol reglamentaria es de 2,4 metros y la distanciadesde el punto de penalti hasta la raya de gol es de 10,8 metros. ¿Qué distanciarecorre un balón que se lanza desde el punto de penalti y se estrella en el puntocentral del larguero?



2. Se quiere colocar un cable desde la cima de una torre de 25 metros altura hasta unpunto situado a 50 metros de la base la torre. ¿Cuánto debe medir el cable?

3. Un coche que se desplaza desde el punto A hasta el punto B recorre una distanciahorizontal de 35 metros, mientras se eleva una altura de 12 metros. ¿Cuál es ladistancia, en metros, que separa a los puntos A y B?

4. Al atardecer, un árbol proyecta una sombra de 2,5 metros de longitud. Si ladistancia desde la parte más alta del árbol al extremo más alejado de la sombra esde 4 metros, ¿cuál es la altura del árbol?



5. Calcula la altura que podemos alcanzar con una escalera de 3 metros apoyada sobrela pared si la parte inferior la situamos a 70 centímetros de ésta.

6. Una cometa está atada al suelo con un cordel de 200 metros de longitud. Cuando lacuerda está totalmente tensa, la vertical de la cometa al suelo está a 160 metros delpunto donde se ató la cometa. ¿A qué altura está volando la cometa?

7. Los postes telefónicos por lo general forman un ángulo recto horizontalmente con elpiso y son soportados por un cable de amarre. Un cable de amarre de 13 pies (4 m)está conectado al poste telefónico a 12 pies (3,6 m) de su base. ¿Qué tan lejos de labase del poste telefónico está el cable de amarre conectado al piso?



8. Un guardacostas observa un barco desde una altura de 28 metros. El barco está auna distancia horizontal del punto de observación de 45 metros. ¿Cuál es la longitud,en metros, de la visual del guardacostas al barco?

9. Dado que los edificios son construidos con ángulos rectos, frecuentemente esimportante saber qué tan lejos está la diagonal de un rectángulo dado. Esto tambiénes un problema del teorema de Pitágoras. Una sección rectangular del concreto quedebe vestirse, requiere pilares de acero para soportarlo a través de la diagonal. Lasección rectangular es de 8' x 15'. ¿Qué tan larga debe de ser la diagonal que losoporte?

10. Una cancha de fútbol (rectangular como sabemos) mide 125 metros de largo.Si la longitud de sus diagonales es de 150 metros. ¿cuál es el ancho del campo dejuego?

11. En un triángulo rectángulo la hipotenusa y uno de sus catetos midenrespectivamente 40 y 24 cm. ¿Cuánto vale el otro cateto?



ES HORA DE VALORAR MITRABAJO

¿Cuáles fueron los conceptos y sub-habilidades del pensamiento críticoprincipales de la guía que trabajé?¿Cuáles son los conceptos y sub-

habilidades del pensamiento crítico quese me dificultaron más?

Menciono cuales fueron mis dificultadesen el desarrollo de la guía

¿Qué estrategias usé para solucionar misdificultades?¿Recurrí a mi profe de apoyo para pedirle una asesoría?

SI NO

¿Aproveche el tiempo designado(13 horas) para solucionar mi guía de la

manera óptima?

Marca con una X el que considero fue mi ritmo de aprendizaje para esta guíaNADA ASUMIDO ASUMIDO

POCO ASUMIDO BASTANTE ASUMIDO



ME COMPROMETO RESPONSABLEMENTE A MEJORAREN:

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PARA AVANZAR EN MI APRENDIZAJE Y CONTINUAR ALA SIGUIENTE GUIA EN LOS TIEMPOS INDICADOS

ME PREPARO PARA SUSTENTAR LAGUÍA A MI PROFE!

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