Guıa 2.Derivadas.

1. Utilizando propiedades y reglas de derivacion, obtenga f ′(x)

a) f(x) = 2ex + lnx

b) f(x) =sinx+ cosx

sinx− cosxc) f(x) = 3 cosx+ 2 sinx

d) f(x) =√x− 1√

x

e) f(x) =ex · cosx

1− sinx

f ) f(x) =x+ 1

x− 1

g) f(x) =sinx

x2

h) f(x) =π

x+ ln 2

i) f(x) =1 +√x

1−√x

j ) f(x) = x3 lnx− x3

3

k) f(x) =x3ex + 1

x lnx+ 1

2. Derivacion de Funciones Compuestas. Regla de la cadena.

a) y = (x2 + 2x+ 2)e−x

b) y = ln

√1 + sinx

1− sinx

c) y = e3x2 · x

d) y = (2x− 1)2 − 6 sin(5x)

e) y = 2 ln(cos(2x))

f ) y =

√1−

√(2x+ 1)

g) y =x2 · ln(4x)

e2x

h) y = sin2(2x) + cos2(2x)

i) y =ln(sin(x2 + 1))

x

j ) y = |3x− 5|

k) y =xx

ex(xlnx− x− 1)

l) y = x−x · 2x · x2

m) y =x2√x+ 1

(x− 1)3 5√

5x− 1

3. Hallar la derivada yx de las siguientes funciones implicitas:

a) x3 + y3 − 3xy = 0

b) xy − yx = 0

c) x sin y + y sinx = 0

d) ex + ey − 2xy − 1 = 0

4. Demuestre que

a) y = xe−x2

2 , satisface la ecuacion xy′ − (1− x2)y = 0.

b) y = x sinx, satisface la ecuacion x2y′′ − 2xy′ + (x2 + 2)y = 0.

c) y = xex, satisface la ecuacion xy′ = y − xyd) y = ex, satisface la ecuacion y′′ + xy′ − y = xex

1

5. Hallar f ′(π2

), si f(x) = sin2(x− cosx).

6. Dada la funcion f(x) =

√1 + sin(x)

1− sin(x). Hallar: f(π6 ), f

′(π6 ), f

′′(π6 )

7. Si f(x) = 2 arctan

(√−x2 + 2x+ 3−

√3

x

). Demuestre que :f

′(x) = − 1√

−x2 + 2x+ 3

8. Demuestre que y =x2ex

2, satisface la ecuacion

d2y

dx2− 2

dy

dx+ y = ex

9. Sea f(x) =2x3

3+x2

2− x− 1. Hallar los puntos de la grı¿1

2fica de f en que la pendiente de la recta

tangente en ese punto sea igual a

10. Sea f(x) = x2 + ax + b. Hallar los valores de a y b tales que la recta y = 2x sea tangente a lagrı¿1

2fica de f en el punto de coordenadas (2, 4).

11. Calcular el ı¿12rea del triı¿1

2ngulo formado por el eje OY , la tangente y la normal a la curvay =√

9− x en el punto de coordenadas (5, 2).

12. Encuentre las ecuaciones de las tangentes a la curva x2 − 2xy+ y2 + 2x− 6 = 0 , trazadas desde elpunto (−3,−7)

13. Encuentre la ecuacion de la recta tangente a la curva x2y3 − 6 = 5y3 + x cuando x = 2 e y = −2.

14. Hallardy

dxsi x2y + 2y3 = 3x+ 2y y evaluela en (2, 1).

15. Sea f(2) = −3; f ′(x) =√x2 + 5; g(x) = x2 · f

(xx−1

). Hallar g′(2).

16. Verificar que la funcion y = sin(lnx) + cos(lnx) satisface la ecuacion

x2y′′ + xy′ + y = 0

17. Sea f(x) = (αx− 2)2 + 3, con α ∈ R. Encuentre el valor de α tal que f ′(1) = −2

18. Verifique si la funcion y = x · e3x, satisface la ecuacion

y′′ − y′ − 6xe3x = 0

2