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Estadstica Inferencial

Profesor:

Ing. Ricardo Rosas Roque

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Estimacin de Parmetros

La inferencia estadstica es el proceso mediante el cual se utiliza la informacin de los datos de una muestra para extraer conclusiones acerca de la poblacin de la que se seleccion la muestra.

Las tcnicas de la inferencia estadstica pueden dividirse en dos reas principales: estimacin de parmetros y prueba de hiptesis.

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Estimacin del parmetro

Estimacin de punto. El valor del estimador, es aquel que se asume como la medida representativa de la poblacin.

Estimacin de intervalo. Se asume un margen de error por encima y por debajo del estimador como una medida adecuada para estimar el parmetro poblacional.

Intervalo de confianza. Es una estimacin de intervalo, asociada a una probabilidad que representa el grado de confiabilidad en la generalizacin

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Estimacin por punto. Ejemplo

Despus que se ha seleccionado la muestra

Entonces la estimacin puntual

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Propiedades de los estimadores

Sesgo

Consistente

Eficiente

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Sesgo

Un estimador es insesgado si la media de la distribucin del estimador es igual al parmetro.

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Consistente (Robustez)

Un estimador es consistente si aproxima el valor del parmetro cuanto mayor es n (tamao de la muestra).

Ejemplo:

En una poblacin de 500 puntuaciones cuya Media igual a 4.9 han hecho tres muestreos aleatorios (nmero de muestras= 100) con los siguientes resultados:

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Eficiente

Un estimador es ms eficiente que otro si la Varianza de la distribucin muestral del estimador es menor a la del otro estimador.

Dentro de la clase de estimadores, es mejor encontrar el estimador que tiene la varianza ms pequea.

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Intervalo de confianza para la media con varianza conocida.

Una estimacin puntual no es suficiente, en el sentido de que dar un nmero como estimacin de un parmetro no nos indica el error que cometemos en la estimacin; esto es consecuencia de la aleatoriedad del muestreo

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Precisin de la estimacin: el error estndar

Cuando presentamos el valor de una estimacin puntual, suele ser necesario dar alguna idea de su precisin. El error estndar es la medida usual de precisin que se emplea

Un error estndar pequeo implica que se ha presentado una estimacin relativamente precisa.

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Ejemplo: Se describe un nuevo mtodo para medir la conductividad trmica de hierro Armco. Al emplear una temperatura de 100F y una entrada de potencia de 550 W, se obtuvieron las siguientes 10 mediciones de conductividad trmica. Hallar el error estndar estimado de X

0,089

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41.60

41.48

42.34

41.95

41.86

42.18

41.72

42.26

41.81

42.04

Definicin de intervalo de confianza

Dada una muestra aleatoria simple (X1, X2,, Xn) de una variable aleatoria X se llama intervalo de confianza para un parmetro , con nivel o coeficiente de confianza 1 - , 0 < < 1, a un intervalo aleatorio (dado que sus extremos dependen de las muestras elegidas):

[1,( X1, X2, Xn ), 2 (X1, X2, Xn)]

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Interpretacin de un intervalo de confianza

Se tiene una confianza del (1 - ) 100% en el sentido de que si se toma infinitas muestras y con cada una de ellas se construye el intervalo numrico correspondiente, el (1- ) 100% de los mismos contendran el valor del verdadero parmetro, mientras que los restantes 100 %, no.

Se espera que por lo menos 95 de cada 100 intervalos que se calculan con otras tantas muestras contengan el valor desconocido 14

La mayora de los intervalos contienen el valor correcto de , pero hay un intervalo, que no lo contiene. La muestra con que se construy este intervalo forma parte del 5% de las muestras malas, es decir las que proporcionan intervalos equivocados.

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el intervalo contiene al parmetro con una confianza del 0,95

En muchas situaciones, una estimacin puntual no proporciona suficiente informacin acerca del parmetro de inters. Por ejemplo, interesa estimar la resistencia media a la compresin de concreto, un solo nmero puede no tener mucho significado. Una estimacin de intervalo de la forma LS y LI podra resultar ms til.

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La longitud de un intervalo de confianza observado es una medida importante de la calidad de la informacin obtenida de la muestra.

En una situaci6n ideal, obtener un intervalo relativamente corto con una confianza elevada.

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Intervalo de confianza para la media con conocida.

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Error en la estimacin:

Teorema: Si X es un estimador de , entonces se puede tener una confianza del

(1 - ) 100% de que el error no exceder una cantidad especfica:

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Ejemplo:

La Empresa XX decide hacer un estudio para determinar la cantidad gastada de un combustible para calefaccin casera en un ao en particular.

Con tal motivo se selecciona una muestra de n = 64 hogares de la ciudad. La media muestral del gasto en gas para calefaccin result de $83,6. Se sabe por experiencia que la desviacin estndar de la poblacin es $17,8.

a) Hallar un I. de C. del 95% para el gasto promedio anual en este tipo de combustible en la ciudad.

b) Calcular un I. de C. del 99% para ese gasto promedio anual.

c) Qu conclusiones puede sacar de a) y b)? 21

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Conclusin

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Determinacin del tamao muestral

Se quiere estimar la facturacin mensual promedio por luz elctrica en el mes de julio en casas de familia de la ciudad X. Se sabe que la desviacin estndar es de $20.

Se quiere estimar la facturacin promedio de julio con aproximacin 5$ del promedio real, con 99% de confianza. Qu tamao de muestra se necesita? 24

= 107

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Intervalo de confianza para la media con desconocida.

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Ejemplo:

El contenido de 7 recipientes similares de vino es: 9,8; 10,2; 10,4; 9,8; 10,3; 10,2 y 9,6 litros.

Encontrar un intervalo de confianza del 95% para la media de todos los recipientes, suponiendo una distribucin aproximadamente normal.

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Observaciones

Para conocida se us el Teorema Central del Lmite (Distribucin Normal)

Para desconocida se utiliz la distribucin muestral de la v.a. T, basndose en la premisa de que la muestra se tom de una distribucin normal.

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Ejemplo:

Los siguientes datos son los pesos en gramos de 16 bolsas de cierto material plstico que se seleccionan en un depsito con el propsito de verificar el peso promedio: 506, 508,499, 503, 504, 510, 497, 512, 514, 505, 493, 496, 506, 502, 509, 496.

a) Si el peso de cada bolsa es una v.a. normal con desviacin tpica de 5 gramos, obtener los I. de C. al 90, 95 y 99% para la media del peso de las bolsas.

b) Determinar el tamao muestral, n, necesario para que la longitud del intervalo, con = 0,05, sea menor o igual a una unidad.

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Resumen

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