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Investigacin Operativa I
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GUA N 1
FORMULACIN DE MODELOS DE PROGRAMACIN LINEAL PARTE 1
I. PASOS PARA LA FORMULACIN DE MODELOS DE PROGRAMACIN LINEAL
Identificar las variables de decisin.
Identificar las restricciones.
Identificar la funcin objetivo.
II. TIPOS DE PROBLEMAS
Los problemas ms conocidos en los que se aplican los modelos de
programacin lineal son los
siguientes:
Problemas de planeamiento de la produccin.
Problemas de dieta.
Problemas de mezclas.
Problema de transporte.
Problemas de inversin.
Problemas de distribucin del trabajo.
Etc.
III. EJERCICIOS
1. Una empresa fabrica los productos A, B y C, y puede vender
toda su produccin a los
siguientes precios: el producto A a $700 por unidad, el producto
B a $3500 y el producto C
a $7000. Producir cada unidad de A requiere de 1 hora de
proceso, 2 horas de acabado y 3
unidades de materia prima. Producir una unidad de B requiere de
2 horas de proceso, 3
horas de acabado y 2.5 unidades de materia prima. Producir una
unidad de C requiere 3
horas de proceso, 1 hora de acabado y 1 unidad de materia prima.
Para este periodo de
planificacin, dispone de 100 horas de proceso, 200 horas de
acabado y 600 unidades de
materia prima. Formule un modelo de programacin lineal que
maximice los ingresos de la
empresa.
2. ESCALA DESIGN, una empresa de fabricacin de muebles ha de
determinar cuntas mesas,
sillas, pupitres y libreras debe hacer para optimizar el uso de
sus recursos. Estos
productos utilizan dos tipos diferentes de paneles, y la compaa
dispone de 1500 tableros
de un tipo y 1000 de otro tipo. Por otro lado cuenta con 800
horas de mano de obra. Las
predicciones de venta as como los pedidos atrasados exigen la
fabricacin de al menos 40
mesas, 130 sillas, 30 pupitres y como mximo 10 libreras. Cada
mesa, silla, pupitre y
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librera necesita 5, 1, 9, y 12 tableros, respectivamente, del
primer tipo de panel y 2, 3, 4, y
1 tableros del segundo. Una mesa requiere 3 horas de trabajo;
una silla, 2; un pupitre, 5; y
una librera 10. La compaa obtiene un beneficio de 12 dlares en
cada mesa, 5 dlares
en cada silla, 15 dlares en un pupitre, y 10 dlares en una
librera. Adems, la empresa
establece que deben fabricarse cuatro sillas por cada mesa.
Plantese un modelo de
programacin lineal para maximizar los beneficios totales.
3. Juan es un profesor de una escuelita en Coroico y tambin cra
cerdos para tener ingresos
extra. El est tratando de decidir que darles de comer a sus
cerdos ya que al perecer estn
enflaqueciendo. Juan est considerando usar una combinacin de
comidas para cerdo
disponibles en distribuidores locales. El quisiera alimentar sus
cerdos a un costo mnimo
pero al mismo tiempo quiere estar seguro que cada cerdo recibir
una adecuada cantidad
de caloras y vitaminas. El costo y el contenido de caloras y
vitaminas se muestra en la
siguiente tabla:
Contenido Comida tipo A Comida tipo B
Caloras [cal/lb] 800 1000
Vitaminas [mg/lb] 140 70
Costo [$/lb] 0.40 0.80
Cada cerdo requiere por lo menos 8000 caloras al da y al menos
700 mg de vitaminas.
Adems, dado que la comida de tipo A contiene un ingrediente que
es toxico si es
consumido en grandes cantidades, se establece que no ms de un
tercio de la dieta en
peso debe consistir de la comida de tipo A. Formule un modelo de
programacin lineal
para esta situacin.
4. Cosmic Computer Company es una ensambladora de
microcomputadoras que tiene
plantas en San Francisco, Los ngeles y Phoenix. La planta de Los
ngeles tiene una
capacidad de produccin mensual de 2000 unidades. Cada una de las
plantas de San
Francisco y Phoenix puede producir un mximo de 1700 unidades.
Las microcomputadoras
de Cosmic Computer Company se venden a travs de cuatro tiendas
detallistas localizadas
en San Diego, Barstow, Tucson y Dallas. Los pedidos mensuales de
los vendedores al
menudeo son de 1700 unidades en San Diego, 1000 en Barstow, 1500
en Tucson y 1200 en
Dallas.
La tabla que se muestra a continuacin contiene el costo de
embarque de una
microcomputadora desde cada planta de ensamblaje hasta cada una
de las distintas
tiendas minoristas. Su trabajo es formular un modelo matemtico
para encontrar el
programa de embarque de mnimo costo.
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Costos de embarque [$/unidad]
Plantas Tiendas
San diego Barstow Tucson Dallas
San Francisco 5 3 2 6
Los ngeles 4 7 8 10
Phoenix 6 5 3 8
5. Despus de unos aos de ahorro trabajando como gerente
administrativo usted podra
invertir hasta 1000 dlares. Este dinero lo podra invertir en
acciones o en prstamos.
Cada dlar invertido en acciones rinde 10 centavos de utilidad y
cada dlar invertido en un
prstamo rinde 15 centavos de utilidad. Despus de pensar un poco
usted se plantea dos
polticas: la primera es que por lo menos 30% de todo el dinero
debe ser invertido en
acciones y la segunda es que por lo menos 400 dlares se
inviertan en prstamos. Como
buen ingeniero industrial usted inmediatamente se da cuenta que
se encuentra en una
situacin tpica que puede ser resuelta con un modelo de
programacin lineal y lo nico
que le queda es formularlo para que pueda maximizar la utilidad
total ganada por sus
inversiones.
6. Cada hora desde las 10 a.m. hasta las 7 p.m. el Banco
Nacional de Bolivia (BNB) recibe
cheques y debe procesarlos. Su objetivo es procesar todos los
cheques el mismo da en
que los recibe. El BNB tiene 13 mquinas procesadoras de cheques,
cada una de las cuales
tiene una capacidad de procesar hasta 500 cheques por hora. Se
requiere un trabajador
que opere cada mquina. El BNB contrata empleados de tiempo
completo y de medio
tiempo. Los trabajadores de tiempo completo trabajan de 10 a.m.
a 6 p.m., de 11 a.m. a 7
p.m. o de medio da a 8 p.m., y cobran 160 dlares diarios. Los
empleados de medio
tiempo trabajan de 2 p.m. a 7 p.m. o de 3 p.m. a 8 p.m. y se les
paga 75 dlares al da.
Como al BNB le interesa conservar la continuidad, opina que
deber tener por lo menos 2
trabajadores de tiempo completo bajo contrato. Desarrolle un MPL
para establecer un
horario de trabajo de costo mnimo que tenga procesados todos los
cheques a las 8 p.m. El
nmero de cheques que se recibe en cada hora se presenta en la
siguiente tabla:
Hora Cheques recibidos
10 a.m. 5000
11 a.m. 4000
12 p.m. 3000
1 p.m. 4000
2 p.m. 2500
3 p.m. 3000
4 p.m. 4000
5 p.m. 4500
6 p.m. 3500
7 p.m. 3000
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7. La panadera La Familia hornea rollos de queso y queques.
Durante cualquier mes puede
hornear cuando mucho 65 unidades de estas masitas. Los costos
por unidad y la demanda
de estas masitas, la cual se debe se debe cumplir a tiempo, se
proporcionan en la tabla
inferior. Ahora, a la panadera le cuesta 3 Bolivianos conservar
un rollo de queso y 2
Bolivianos conservar un queque en inventario por un mes. Plantee
un PL para minimizar el
costo total por cumplir la demanda de los tres meses
siguientes.
Producto
Mes 1 Mes 2 Mes 3
Demanda [unid]
Costo [Bs/unid]
Demanda [unid]
Costo [Bs/unid]
Demanda [unid]
Costo [Bs/unid]
Rollo de queso 40 21 30 22 20 24
Queque 20 17 40 18 10 22
8. Usted es analista financiero. Lady Gaga acudi a usted porque
necesita que la ayuden a
liquidar sus cuentas de tarjeta de crdito. Ella debe a sus
tarjetas de crdito las cantidades
que se indican a continuacin:
Tarjeta Saldo (dlares) Tasa mensual (%)
MasterCard 20000 0.5
Diners Club International 50000 1.0
Visa 40000 1.5
Lady Gaga desea asignar hasta 5000 dlares por mes para liquidar
estas tarjetas de
crdito. Todas las tarjetas de crdito se deben liquidar en 36
meses o Lady Gaga ira a la
crcel. El objetivo de Lady Gaga es minimizar el total de todos
sus pagos. Para resolver
este problema, usted debe entender cmo influyen los intereses
sobre un prstamo. Para
ilustrarlo, suponga que Lady Gaga paga 5000 dlares en MasterCard
durante el mes 1.
Entonces, su saldo en MasterCard al principio del mes 2 es:
20000 - (5000 - (0.005(20000))
Esto es as porque Lady Gaga incurri en cargos por intereses de
0.005(20000) durante el
mes 1 sobre su tarjeta de MasterCard. Formule un MPL para que
Lady Gaga no vaya a la
crcel. Su recompensa por un buen trabajo ser el 10% de las
ganancias totales por las
ventas de su nuevo lbum a lazarse este ao.
9. Repsol produce dos tipos de gasolina, Efitec 95 y Efitec 98,
a partir de dos tipos de crudo,
el crudo 1 y el crudo 2. La Efitec 95 puede contener hasta 4% de
impurezas, en tanto que
la Efitec 98 puede tener hasta 3%. La Efitec 95 se vende en 8
dlares el barril y la Efitec 98
se vende a 12 dlares el barril. Se pueden vender hasta 4200
barriles de gasolina Efitec 95,
y de Efitec 98, hasta 4300 barriles. El costo por barril de cada
crudo, la disponibilidad y la
concentracin de impurezas en cada crudo se encuentra en la
siguiente tabla:
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Petrleo crudo
Costo [$/barril]
Grado de impurezas %
Disponibilidad [barriles]
Crudo 1 6 10 5000
Crudo 2 8 2 4500
Antes de mezclar los crudos para obtener gasolina es posible
purificar cada uno de ellos a
un costo de 0.50 dlares el barril. La purificacin elimina la
mitad de las impurezas del
petrleo crudo. Formule un modelo matemtico que permita maximizar
las ganancias.
10. El servicio interno de ingresos ha determinado que durante
cada uno de los 12 meses
siguientes se requerir la cantidad de supercomputadoras que se
seala en la tabla
inferior. Para cumplir con estas condiciones, esta institucin
renta supercomputadoras por
un periodo de uno, dos y tres meses. Cuesta 100 dlares rentar
una supercomputadora
por un mes, 180 dlares por dos meses y 250 dlares por tres
meses. Al empezar el mes 1
esta institucin no tiene supercomputadoras. Determine el plan de
renta que cumpla con
las condiciones de los 12 meses siguientes a un costo mnimo.
Mes Cantidad de computadoras
1 800
2 1000
3 600
4 500
5 1200
6 400
7 800
8 600
9 400
10 500
11 800
12 600
PRCTICA N 0
1. Qu es la ingeniera industrial?
2. Por qu estas estudiando ingeniera industrial?
3. Qu es la investigacin de operaciones?
4. Describa 10 aplicaciones destacables de la investigacin de
operaciones en la actualidad.
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PRCTICA N 1
1. La Maine Snowmobile Company fabrica dos clases de mquinas,
cada una requiere de una
tcnica diferente de fabricacin. La mquina de lujo requiere de 18
horas de mano de
obra, 9 horas de prueba y produce una utilidad de $400. La
mquina estndar requiere de
3 horas de mano de obra, 4 horas de prueba y produce una
utilidad $200. Se dispone de
800 horas para mano de obra y 600 horas para prueba cada
mes.
Se ha pronosticado que la demanda mensual para el modelo de lujo
no es mas de 80 y de
la mquina estndar no es ms de 150. La gerencia desea saber el
nmero de maquinas de
cada modelo que deber producirse para maximizar la utilidad
total. Formule este
problema como un modelo de programacin lineal.
2. La compaa WorldLight produce 3 dispositivos para lmparas
(productos 1, 2 y 3) que
requieren partes de metal y componentes elctricos. La
administracin desea determinar
cuntas unidades de cada producto debe fabricar para maximizar la
ganancia. Por cada
unidad del producto 1 se requieren 1 unidad de partes de metal y
2 unidades de
componentes elctricos, para el producto 2 se necesitan 3
unidades de partes de metal y 2
de componentes elctricos, y para cada unidad de producto 3 se
requieren 2 partes de
metal y 3 componentes elctricos. La compaa tiene 4000 unidades
de partes de metal y
5000 de componentes elctricos. Cada unidad de producto 1 da una
ganancia de $1, cada
unidad de producto 2 da una ganancia de $2 y cada unidad de
producto 3 da una ganancia
de $1.5. Adems, por cada 2 unidades de producto 1 se deben
producir 1 de producto 2 y
3 de producto 3, esto porque los clientes que suministra la
compaa compran los
dispositivos de esa forma.
3. Cada galn de leche, libra de queso y libra de manzanas
proporciona un nmero conocido
de miligramos de protenas y vitaminas A, B y C. La siguiente
tabla incluye esos datos junto
con los requerimientos diarios de la ingredientes nutricionales,
segn lo recomendado por
el Departamento de Agricultura de los EE.UU. La tabla tambin
incluye la cantidad mnima
de cada alimento que debe incluirse en la comida y su costo.
Nutrientes Leche
[mg/gal] Queso
[mg/lb] Manzanas
[mg/lb] Requerimientos
mnimos diarios [mg]
Protenas 40 30 10 80 Vitamina A 5 50 30 60 Vitamina B 20 30 40
50 Vitamina C 30 50 60 30
Cantidad mnima 0.5 gal 0.5 lb 0.5 lb Costo unitario [$] 2.15
2.25 1.25
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Como consultor de investigacin de operaciones en la alcalda,
formule un modelo para
determinar la comida de costo mnimo que rena todos los
requerimientos nutricionales.
4. Una de las plantas de EPSAS tiene tres depsitos con una
entrada diaria estimada de 15,
20 y 25 millones de litros de agua fresca, respectivamente.
Diariamente tiene que
abastecer cuatro zonas: San Antonio bajo, San Antonio alto,
Villa Copacabana y Valle
Hermoso, las cuales tiene una demanda esperada de 8, 10, 12 y 15
millones de litros,
respectivamente. El costo de bombeo por milln de litros es como
sigue:
Depsitos
Zonas
San Antonio Bajo
San Antonio Alto
Villa Copacabana
Valle Hermoso
1 2 3 4 5 2 3 2 5 2 3 4 1 2 3
Montos en miles de dlares
Formular el problema de esta planta de EPSAS como un modelo de
programacin lineal.
Asuma que el exceso de agua no representa un costo para la
compaa.
5. rica, una estudiante de ingeniera qumica, despus ganar uno de
los premios de la lotera
podra invertir hasta 1500 dlares. Este dinero lo podra invertir
en acciones, bonos o en
prstamos. Cada dlar invertido en acciones rinde 10 centavos de
utilidad, cada dlar
invertido en bonos rinde 20 centavos y cada dlar invertido en un
prstamo rinde 15
centavos de utilidad. Por lo menos 20% de todo el dinero
invertido debe ser en acciones,
cuando mucho 50% de todo lo invertido en prstamos y acciones
debe ser en bonos y por
lo menos 600 dlares deben ser invertidos en prstamos. rica se da
cuenta que pese a
todo lo que sabe no tiene idea de como obtener un resultado
ptimo en este problema
por lo que decide buscarlo a usted uno(a) de sus
ex-compaeros(as) que conoci cuando
cursaba Calculo I. Ayude a rica plantear un PL que se pueda
utilizar para maximizar la
utilidad total ganada por sus inversiones.
6. Supngase que el Departamento de la polica ha pronosticado la
demanda de carros
patrulla en la ciudad para el periodo que empieza a las 12 del
medio da del 15 de Julio y
termina a las 12 del medio da del 16 de Julio. Las 24 horas han
sido divididas en periodos
de 4 horas, y la demanda tanto de carros patrulla como en
personal (2 personas por
patrulla) estn dados a continuacin:
Horas del da Carros patrulla Personal
12-16 300 600
16-20 400 800
20-24 500 1000
24-4 600 1200
4-8 400 800
8-12 200 400
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El personal motorizado solo puede trabajar 8 horas consecutivas
y se cuenta con un total
de 4000 individuos. Formule un programa lineal que encuentre el
nmero mnimo
requerido para satisfacer la demanda en cada periodo de 4
horas.
7. Considere el problema de programacin de la produccin de un
producto para cada una
de los prximos 4 meses. El costo de la produccin de una unidad
es $100 para las 2
primeras semanas y $150 para las ltimas 2. Las demandas
mensuales son 70, 80, 90 y 100
unidades y tienen que ser satisfechas. La planta puede producir
cada unidad de este
producto en 0.4 horas y cada mes se disponen 40 horas de
produccin. Adems, se
pueden emplear horas extra durante el tercer y cuarto mes, 15
horas en cada uno de estos
meses. El costo adicional que se deber pagar es de $58 por
unidad de hora. El exceso de
produccin puede ser almacenado a un costo unitario de $3 Cmo
programar la
produccin de tal manera que minimice los costos totales? Formule
este problema como
un modelo de programacin lineal.
8. Usted tiene $2500 para invertir durante los prximos 10 aos.
Al principio de cada ao
puede invertir en depsitos de uno o dos aos plazo. El banco paga
8% de inters para
depsitos a un ao plazo y 17% para depsitos a 2 aos plazo. Adems,
el ao 2 podr
invertir en bonos a 3 aos plazo, los cuales generan un retorno
de 30%, y en acciones
preferentes que retornan un 20% cada ao, con la condicin que por
cada 10 dlares
invertidos en bonos se invierta uno en acciones. Formule un
modelo de programacin
lineal para maximizar el retorno al final del ao 5.
9. HOLORES LTDA. fabrica los perfumes PORVOS y PORMI. Se puede
comprar la materia
prima que se necesita para producir cada tipo de perfume a 4
$us/lb. Para procesar 1 lb de
materia prima, se necesita 1 hora de trabajo en el laboratorio.
Cada libra de materia prima
procesada produce 3 oz de perfume PORVOS-POCO, y 4 oz de perfume
PORMI-POCO. Se
puede vender PORVOS-POCO a 7 $us/oz, y PORMI-POCO a 6 $us/oz.
HOLORES tiene la
opcin de seguir procesando PORVOS-POCO y PORMI-POCO para
producir PORVOS-
MUCHO, vendiendo a 18 $us/oz, y PORMI-MUCHO, vendiendo a 14
$us/oz. Cada onza de
PORVOS-POCO necesita 3 horas adicionales de laboratorio y causa
4 $us extra de costos
de produccin, para producir 1 oz de PORVOS-MUCHO. Cada onza de
PORMI-POCO
necesita 2 horas adicionales de laboratorio y causa 4 $us extra
de costos de produccin,
para producir 1 oz de PORMI-MUCHO. Cada ao, HOLORES dispone de
6000 horas de
laboratorio y puede comprar hasta 4000 lb de materia prima
(suponer que los costos de
laboratorio son fijos). Formule un MPL para maximizar las
ganancias.
10. El departamento de sistemas de Banco Bisa opina que se
necesitarn las cantidades
siguientes de computadoras personales durante los prximos seis
meses: Enero, 10;
Febrero, 6; Marzo, 8; Abril, 10; Mayo, 9; Junio, 6. Es posible
rentar las computadoras por
periodos de 1, 2, 3 4 meses a las siguientes tarifas unitarias:
tarifa por un mes, 200
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dlares; tarifa por dos meses, 350 dlares; tarifa por tres meses,
450 dlares; y tarifa por 4
meses 600 dlares. Plantee un PL que se pueda utilizar para
minimizar el costo por la renta
del equipo necesario.
Podra suponerse que si se renta una maquina por un periodo que
se prolonga despus de
junio, el costo de la renta prorratea. Por ejemplo, si se renta
una computadora por tres
meses al principio de mayo, entonces la tarifa de la renta de
2/3(450)=300, no 450
dlares, debe establecerse en la funcin objetivo.
Puntos extra:
Plantee el modelo del ejercicio 7 hecho en clases tomando en
cuenta que las
masitas pueden estar en inventario solo por un mes como mximo
dado a su
caducidad.
Investigue sobre un problema adicional que sea diferente a los
vistos en clase y a
los presentados en la prctica que pueda ser resuelto por medio
de un modelo de
programacin lineal. Formlelo matemticamente.
