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ContenidoGUIA DE APRENDIZAJE................................................................................................2

UNIDAD 1: ANTIDERIVADA E INTEGRAL INDEFINIDA..............................................2

Objetivo e!e"#$"o:.......................................................................................... 2

PRERE%UI&ITO&:......................................................................................................2

'ATERIAL DE APO(O:.............................................................................................. 2

ACTIVIDADE& E&PEC)FICA&......................................................................................2

'ETODOLOG)A DE TRA*AJO....................................................................................+

ACTIVIDADE& PREVIA& ,E-TRACLA&E.....................................................................+

REVI&I/N DE LO& CONCEPTO& DE&ARROLLADO& EN LA CLA&E.................................0

A3no "3etion45iento !6evio.......................................................................0

ANTI7DERIVADA.......................................................................................................... 0ANTI7DERIVADA ( CON&TANTE DE INTEGRACI/N.......................................................8

Not4"i9n Anti7de6iv4d4 e Inte64 Inde$nid4...........................................................

T4b4 1. Le"t364 de F96534................................................................................;

T4b42. F96534 de Anti7de6iv4"i9n..................................................................1<

A!i"4"ione de 4 Inte64 Inde$nid4 ,5ovi5iento..............................................11

P6obe54 de v4o6 ini"i4..................................................................................11

T4b4 +. Inte6!6et4"i9n de eje6"i"io.................................................................. 10

'ovi5iento Re"ti#neo........................................................................................... 10

Inte64"i9n de =o654 ee5ent4e.......................................................................21

Inte64e de F3n"ione T6iono5>t6i"4...........................................................21

CA'*IO DE VARIA*LE ? REGLA DE &U&TITUCI/N.....................................................22

Re4 de 3tit3"i9n o "45bio de v46i4be............................................................22

Re4 de 4 !oten"i4 !464 =3n"ione:....................................................................20

EJERCICIO& PROPUE&TO&......................................................................................... 28

REVI&I/N CONCEPTO&..............................................................................................28*I*LIOGRAF)A........................................................................................................... 28

C@LCULO INTEGRAL GUIA UNIDAD 1

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GUIA DE APRENDIZAJE

UNIDAD 1: ANTIDERIVADA E INTEGRAL INDEFINIDA

Objetivos específcos:

Reve6ti6 e !6o"eo de di=e6en"i4"i9n obteniendo 3n4 inte64 inde$nid4 !464=3n"ione i5!e.

Co5!6ende6 e 6o de 4 "ont4nte 46bit646i4. Co5!6ende6 346 4 not4"i9n !464 inte64e inde$nid4. U46 4 6e4 de 5Bti!e "ont4nte 4 6e4 de 354. U46 4 6e4 de 3tit3"i9n ,"45bio de v46i4be. U46 4 inte64"i9n inde$nid4 !464 6eove6 !6obe54 !6"ti"o t4e "o5o 4

obten"i9n de veo"id4de dede 3n4 =96534 de 4"ee64"i9n ode!445iento dede 3n4 =96534 de veo"id4d.

En"ont646 inte64e de =3n"ione t6iono5>t6i"4. U46 t4b4 de inte64e inde$nid4 de =3n"ione i5!e.

PRERREUI!ITO!:

Lo te54 ne"e46io !464 et4 3nid4d on:

F3n"ione.

L#5ite. De6iv4d4.

"ATERIAL DE APO#O:

Lib6o de teto: &TEART J.: HC"3o de 3n4 v46i4be ,&et4 edi"i9n.Cen4e Le46nin. 2

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+

"ETODOLOG%A DE TRA&AJO

E do"ente d364nte 4 "4e de$ni6 o "on"e!to ne"e46io !464 ede466oo de 4 3#4. P464 o "34 e i5!6e"indibe K3e e et3di4nte 4n4i"e

4 teo6#4 "on 4nte6io6id4d 34ndo e teto 6e"o5end4do !o6 e Do"ente. En "4e o et3di4nte o64ni4n 63!o ,de!endiendo de nB5e6o de

et3di4nte !o6 "36o !464 de466o46 o eje6"i"io !6o!3eto de 4 3#4 E do"ente 6e4i4 e co't(o) de de466oo de 3#4.

A$TIVIDADE! PREVIA! *E+TRA$LA!E,

Reco(-.(/

Desp).0.ie'to Ve(tic.).7 E de!445iento ve6ti"4 "35!e 4 i3iente"ondi"ione.

• &i c>0 enton"e 4 6$"4 de f ( x )+C e 3n de!445iento de f

C 3nid4de 4"i4 466ib4.

• &i c

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0

Fi42(. 1/ Inte6!6et4"i9n de 4 F3n"i9n Co5!3et4.

&i f y g on do =3n"ione enton"e 4 Función Compuesta e denot4 !o6 f o g

e det44 de 4 i3iente =o654.

( f o g ) ( x )=f (g ( x))

C4"3e 4 i3iente =3n"ione "o5!3et4 (f o g ) (1 ) y (g og)(−2) de 4 =3n"ione

d4d4.

4 f ( x )=2 x4+1 y g ( x )= x2+1

b f ( x )= x3+2 x+1 y g ( x )= x−1

" f ( x )= x3

−1 y g ( x )= x2

+2 x+1

C4"3e o i3iente #5ite:

4 lim x→ 1

x2−4 x

x2−3 x−4

b limh →0

√ 1+h−1h

" lim x →∞

x

5

+ x3

+ x1− x2+ x4

C4"3e 4 de6iv4d4 de 4 =3n"i9n

4 V ( x )=(2 x2+3)( x4−2 x )

b g ( x )=3 x−12 x+1

" y= x3

1− x2


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Re4i"e 3n en4o de 3n4 !4n4. Te54 HReeM4 it96i"4 Fin4id4d de 4 Anti7de6iv4d4

REVI!I5N DE LO! $ON$EPTO! DE!ARROLLADO! EN LA$LA!E

A)42'os c2estio'.ie'tos p(evios

4 Re"3e6d4 "95o "4"346 #5ite 5edi4nte 4 ee ene64eb Cono"e 4 de$ni"i9n de 4 de6iv4d4 ,inte6!6et4"i9n 54te5ti"4

eo5>t6i"4" &4be "4"346 de6iv4d4 5edi4nte 4 6e4 de de6iv4"i9nd Re"3e6d4 4 6e4 de 4 "4den4

ANTI3DERIVADA

1HUn =#i"o K3e "ono"e 4 veo"id4d de 3n4 !46t#"34 !od6#4 dee46 "ono"e6 3!oi"i9n en 3n int4nte d4do. Un inenie6o K3e !3ede 5edi6 4 "4ntid4d v46i4be 44 "34 e =34 e 434 de 3n t4nK3e K3ie6e "ono"e6 4 "4ntid4d K3e e 4 =34do

d364nte "ie6to !e6iodo. Un bi9oo K3e "ono"e 4 64!ide 4 4 K3e "6ee 3n4!ob4"i9n de b4"te6i4 !3ede inte6e46e en ded3"i6 e t454Mo de 4 !ob4"i9n en

4Bn 5o5ento =3t36o. En "4d4 "4o e !6obe54 e 446 3n4 =3n"i9n F "34

de6iv4d4 e en 4 =3n"i9n "ono"id4 f . &i t4 =3n"i9n F eite e 454 4nti7

de6iv4d4 de f .

ANTI3DERIVADA # $ON!TANTE DE INTEGRA$I5N

Def'ici6' -e .'ti3-e(iv.-.: Un4 =3n"i9n)( x F

e 3n4 4nti7de6iv4d4 de 3n4

=3n"i9n( ) x f

ob6e 3n inte6v4o I

i e "35!e 4 6e4"i9n:

F ´ ( x )=f ( x ) paratodo xen I

1 To54do de ib6o C"3o de 3n4 v46i4be et4 edi"i9n de J45e &te46t


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Un4 =3n"i9n F ( x ) e 454 !6i5itiv4 o 4nti7de6iv4d4 de f ( x) .

Ejep)o

&i F e 4 =3n"i9n de$nid4 !o6 F ( x )=4 x3+ x2+5

Enton"e F ´ ( x )=12 x2+2 x

De 5odo K3e i f e 4 =3n"i9n de$nid4 !o6 f ( x )=12 x2+2 x

Enton"e f ( x) e 4 de6iv4d4 de F ( x ) F ( x ) e 4 4nti7de6iv4d4 de f ( x)

&i G e 4 =3n"i9n de$nid4 !o6 G ( x )=4 x3+ x2−17

Donde

G ´ ( x )=12 x2+2 x

Enton"e G( x) t45bi>n e 3n4 4nti7de6iv4d4 de f ( x) !o6K3e G´ ( x )= F ´ ( x)

En 6e4id4d "34K3ie6 =3n"i9n dete65in4d4 !o6 4 x3+ x2+C

Donde C e 3n4 "ont4nte e 3n4 4nti7de6iv4d4 de f ( x)

Teo(e.

&i f y g on do =3n"ione de$nid4 en e inte6v4o I t4e K3e f ´ ( x )=g´ ( x )

!464 todo en I.Enton"e eite 3n4 "ont4nte C t4K3e.

f ( x )=g ( x )+C

Deost(.ci6':

&e4 h 4 =3n"i9n de$nid4 en e I 5edi4nte

h ( x )=f ( x )−g( x )

De 5odo K3e !464 todo en I

h´ ( x )=f ´ ( x )−g´ ( x )

Pe6o !o6 i!9tei f ´ ( x )=g ´ ( x ) !464 todo en I.

Po6 t4nto.

h ´ ( x )=0 P464 todo en I


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Q

Eite 3n4 "ont4nte C t4K3e h ( x )=C !464 todo en I.

&i 3tit3i5o h( x ) !o6 f ( x )−g( x ) e obtiene

f ( x )=g ( x )+C P464 todo en IL///D/

Donde C e 3n4 "ont4nte 46bit646i4.Ejep)o

En"ont646 4 4nti7de6iv4d4 5 ene64 de 4 =3n"i9n.

f ( x )=1

2 x

2−2 x+6

L4 4nti7de6iv4d4 5 ene64 de f e:

F ( x )=3

2 x

3− x2+6 x+C

Po6K3e F ´ ( x )=1

2 x

2−2 x+6

Teo(e.

&i F e 3n4 4nti7de6iv4d4 !46ti"346 de f e 3n inte6v4o I enton"e "4d4 4nti7

de6iv4d4 de f en I et d4d4 !o6 F ( x )+C donde C e 3n4 "ont4nte 46bit646i4

tod4 4 4nti7de6iv4d4 de f en I !3eden obtene6e 4 !46ti6 de F ( x )+C

4in4ndo v4o6e !46ti"346e 4 C.

Deost(.ci6':

&e4 G "34K3ie6 4nti7de6iv4d4 de f

G´ ( x )=f ( x ) para todo x enI

F ´ ( x )=f ( x ) paratodo xen I

G´ ( x )= F ´ ( x ) para todo x en I

G ( x )= F ( x)+C paratodo xen I L//D/

Not.ci6' A'ti3-e(iv.-. e I'te4(.) I'-ef'i-.


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;

Def'ici6' -e I'te4(.) I'-ef'i-.

&i F ( x ) e 3n4 =3n"i9n !6i5itiv4 de f ( x) 4 e!6ei9n F ( x )+C e 454

inte64 inde$nid4 de 4 =3n"i9n f ( x) e denot4 !o6 e #5boo.

∫ f ( x ) dx .

( 4 ee5o "o5o H4 inte64 inde$nid4 de f ( x) 6e!e"to 4 x” Po6 o t4nto

∫ f ( x ) dx e 3n "onj3nto de =3n"ione no e 3n4 o4 =3n"i9n ni 3n nB5e6o. L4

=3n"i9n f K3e e et inte64ndo e 454 el integrando, 4 v46i4be e 454

4 variable de integración.

L4 4nti7de6iv4d4 o 4nti7di=e6en"i4"i9n e e !6o"eo 5edi4nte e "34 e dete65in4e "onj3nto de tod4 4 4nti7de6iv4d4 de 3n4 =3n"i9n d4d4.

P464 denot46 4 4nti7de6iv4d4 de 3n4 =3n"i9n f

e 3tii4 e #5boo∫

e e"6ibe:

∫ f ( x ) dx= F ( x )+C

%3e e ee H4 inte64 inde$nid4 de f ( x ) dx e i34 F ( x )+C .

Donde F ´ ( x )= f ( x ) y d ( F ( x ) )=f ( x )dx

F ( x )+C Re"ibe e no5b6e de 4nti7de6iv4d4 ene64 de f .

&e !3ede e"6ibi6 ∫d ( F ( x ) )= F ( x )+C

Po6 t4nto 4 inte64 inde$nid4 de 3n4 =3n"i9n f ( x) e i34 4 4 4nti7de6iv4d4

F ( x ) 5 3n4 "ont4nte 46bit646i4 C . E di=e6en"i4 dx indi"4 K3e x e 4

v46i4be de inte64"i9n.

L4 "ont4nte de inte64"i9n

C

e 3tii4 !464 6e!6eent46 4 tod4 4 4nti7de6iv4d4

de( ) x f

.C@LCULO INTEGRAL GUIA UNIDAD 1

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Ejep)o

C4"3e 4 inte64 inde$nid4 de f ( x )=2 x

Un4 4nti7de6iv4d4 de f e F ( x )= x2

. Po6 t4nto e tiene:

∫2 x dx= x2+C

Co5o 4 4nti7de6iv4"i9n o inte64"i9n e 4 o!e64"i9n inve64 de 4 di=e6en"i4"i9ne !3ede "o5!6ob46 e 6e3t4do 4 de6iv46 4 =3n"i9n de 4do de6e"o obtene6 einte64ndo e de"i6 i e ve6i$"4 K3e

D x [ F ( X )+C ]=f ( x)

A# !464 e eje5!o:

∫2 xdx= x2+C porque D x ( x2+C )=2 x

Ao64 bien en 4 o3"i9n y= x2

+C i e d4n v46io v4o6e 4 C !o6 eje5!o

8

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1<

3n4 =3n"i9n "ontin34 en [ a , b ] "o5o 3"ede !o6 eje5!o "on 4 =3n"i9n

f ( x )=√ 1+ x4 .

L4 de6iv4d4 de 3n4 inte64 inde$nid4 e i34 4 inte64ndo e de"i6.

d

dx∫ f ( x )dx=f ( x ) ,otambind (∫ f ( x )dx)= f ( x )dx .

Co5o F ´ ( x )= f ( x ) , enton"e dF ( x )=f ( x )dx .

Po6 o t4nto ∫d F ( x )= F ( x )+C

Ejep)o

∫6 xdx=3 x2+C L4 inte64 inde$nid4 de 6e!e"to 4 x e 3 x2+C

∫(4 x3+3 x2)dx= x4+ x+C L4 inte64 inde$nid4 de 4 x3+3 x2 6e!e"to 4 x e

x4

+3 x2

+C

T.b). 1/ Lect2(. -e F6(2).s

7 89 -9 3 x2+C

L4 4nti7

de6iv4d4 De

Re!e"to 4

X

E i34

43 x

2+C

7 4 x

3+3 x2

-9 x

4+ x+C

L4 4nti7

de6iv4d4

De

4 x3+3 x2

Re!e"to 4

X

E i34

4 x

4+ x+C

L4 "ont4nte de inte64"i9n C no 6e"3e6d4 K3e !ode5o 4M4di6 "34K3ie6

"ont4nte 4# obtene6 ot64 4nti7de6iv4d4.


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11

;Disti'4. co' c2i-.-o e't(e ).s i'te4(.)es -ef'i-.s < ).s i'-ef'i-.s/ U'.

i'te4(.) -ef'i-. ∫a

b

f ( x ) dx es 2' '=e(o> e' t.'to 2'. i'te4(.) i'-ef'i-.

∫ f ( x ) dx es 2'. ?2'ci6' *o 2'. ?.i)i. -e ?2'cio'es,@/

A 64$"46 "4d4 3n4 de et4 =3n"ione e obtiene 3n4 =45ii4 de "36v4 ,!464 eeje5!o 3n4 =45ii4 de !46bo4 "o5o e indi"4 4 "ontin34"i9n.

G(fco 1/ G6$"4 de 4 4nti7de6iv4d4 y= x2+C !464 v46io v4o6e de C .

Teo(e.s -e ). i'te4(.) i'-ef'i-.

1. ∫ !dx= !x+C

2. ∫ !dx= !

∫dx= !x+C

+. ∫ !f ( x ) dx= !∫ f ( x ) dx !=con"tante

0. ∫ [ f ( x ) # g( x)] dx=∫ f ( x ) dx#∫ g ( x ) dx

&i g y f etn de$nid4 en e 5i5o inte6v4o

8. &i f 1 , f 2 , $ . , f n etn de$nid4 en e 5i5o inte6v4o enton"e.

∫ [a1 f 1 ( x )# a2 f 2 ( x )#$.#a f n ( x ) ]dx


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12

¿a1∫ f 1dx#a2∫ f 2dx#$#an∫ f ndx

Donden

aaa ,,,21

on "ont4nte di=e6ente de "e6o.. &i n e 3n nB5e6o 64"ion4 enton"e.

∫ xn dx= xn+1

n+1+C n %−1

Deost(.ci6'

Dx( xn+1

n+1 )=( n+1 ) xn

(n+1) = xn

T.b).B/ F6(2).s -e A'ti3-e(iv.ci6'

F2'ci6'A'ti3-e(iv.-.

p.(tic2).(F2'ci6'

A'ti3-e(iv.-.p.(tic2).(

cf ( x ) cF ( x) c"c2 x −cot x

f ( x )+g( x) F ( x )+G( x) "ec x tan x "ec x

xn(n %−1)

xn+1

n+1"ec x tan x "ec x

1

x ln| x| c"c xcot x −c"cx

e x

e x

1

1+ x2 tan

−1 x

"en x −cos x

cos x "en x1

√ 1− x2 "en

−1 x

Ejep)o

C4"3e 4 inte64 inde$nid4.

• ∫ x2

dx

∫ x2 dx= x3

3 +C


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1+

• ∫ (3 x2+5 x ) dx

∫ (3 x2+5 x ) dx=∫3 x2 dx+∫5 xdx=3∫ x2 dx+5∫ xdx=3 x3

3 +C 1+5

x2

2 +C 2= x

3+5

2 x

2+(C 1+C 2 )= x3+

5

2 x

2+

∫ 5 &2+7

&

4

3

d&

5 &2+7

&4

3

d&=∫( 5 &2

&4

3

+ 7

&4

3 )d&=∫ 5 &2

&4

3

d&+∫ 7

&4

3

d&=5∫ &2

3 d&+7∫ &−43 d&=¿

∫¿

¿5∗35

&5

3+C 1+7∗(−3 ) &−13 +C 2=3 &

5

3−21 &−13 + (C 1+C 2 )=3 &

5

3−21 &−13 +C

∫√ x ( x+ 1 x )dx

∫√ x ( x+ 1 x )dx=∫ x1

2 ( x+ 1 x )dx=∫ ( x3

2+ x−12 )dx=∫ x

3

2 dx+∫ x−12 dx

¿ x

5

2

5

2

+C 1+ x

1

2

1

2

+C 2=2

5 x

5

2+2 x1

2+(C 1+C 2 )=2

5 x

5

2+2 x1

2+C

∫ 2cot x−3 "en2

x"en x

dx

2cot x−3 "en2 x"en x

dx=2∫ cot x"en x

dx−3∫ "en2 x

"en x dx=2∫ c"c x∗cotx dx−3∫ "en x dx=¿

∫ ¿


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x

x−cos¿+C =−2c"cx+3cos x+C

¿−c"c¿−3¿

¿2¿

Ap)ic.cio'es -e ). I'te4(.) I'-ef'i-. *oviie'to,

P(ob)e.s -e v.)o( i'ici.)

Lo !6obe54 "on "ondi"ione ini"i4e i5!i"4n 4 o3"i9n de e"34"ionedi=e6en"i4e.

&e 454 e"34"i9n di=e6en"i4 4 4 i34d4d K3e "ontiene 3n4 =3n"i9n 3

de6iv4d4 o 9o 3 de6iv4d4.

A3no eje5!o de e"34"ione di=e6en"i4e on o i3iente.

1dy

dx=5 x3

2dy

dx=

2 x2

3 y3

+d

2 y

d x2=6 x+3

E o6den de 3n4 E.D. ,E"34"i9n Di=e6en"i4 et d4do !o6 4 de6iv4d4 de 54o6o6den K3e 4!46e"e en 4 e"34"i9n di=e6en"i4.

A# 4 e"34"ione di=e6en"i4e 1 2 on de !6i5e6 o6den 5ient64 K3e 4 + ede e3ndo o6den.

Reove6 3n4 e"34"i9n di=e6en"i4 i5!i"4 en"ont646 3n4 =3n"i9n de$nid4 !o6

y=f ( x) t4 K3e y 3 de6iv4d4 4ti=44n 4 e"34"i9n.

P464 6eove6 e"34"ione di=e6en"i4e de 4 =o654dy

dx=f ( x ) o bien

dy

dx=

g ( x)h ( y)

e 3tii4 e 5>todo de e!464"i9n de v46i4be.

Ejep)o


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18

Reove6 4 e"34"i9n di=e6en"i4 y ´ = f ( x) .

E"6ibiendo 4 E. D. "on di=e6en"i4e e tiene:

dy

dx=f ( x )

&e!464ndo v46i4be:

dy=f ( x )dx

Inte64ndo 45bo 5ie5b6o:

∫dy=∫ f ( x ) dx

Po6 o t4nto 4 o3"i9n e:

y= F ( x )+C

L4 o3"i9n y= F ( x )+C e 454 &o3"i9n Gene64 ,S. G. de 4 e"34"i9n

di=e6en"i4 4 K3e en e4 4!46e"e 4 "ont4nte 46bit646i4 C. &i e 4!i"4n 4"ondi"ione ini"i4e !464 446 e v4o6 de C 4 o3"i9n K3e e obtiene e 454&o3"i9n P46ti"346 ,S.P. de 4 e"34"i9n di=e6en"i4.

Reove6 e !6obe54 y ´ =5 x b4jo 4 "ondi"i9n ini"i4 y (1 )=2

E"6ibiendo 4 E. D. "on di=e6en"i4e e tiene:

dy

dx=5 x

&e!464ndo v46i4be:dy=5 x dx


∫dy=∫5 x dx

y=5

2 x

2+C

Po6 t4nto 4 o3"i9n ene64 de 4 E.D. e

y=52

x2+C


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16/32

1

P464 dete65in46 4 o3"i9n !46ti"346 4!i"45o 4 "ondi"i9n ini"i4 y (1 )=2 . &e

tiene enton"e:

y=5

2 x

2+C

2=5

2(1)2+C

C =−12

L3eo 4 o3"i9n !46ti"346 de 4 E. D. e:

y=5

2 x

2−1

2

L4 6$"4 de 4 =3n"i9n e 53et64 en 4 $364 4dj3nt4. Un4 de6iv4d4 de f e

F 4 "34 e "ontin34 en todo nB5e6o tiene o v4o6e d4do. Dib3je 3n4

6$"4 !oibe de F .

F (0 )=3

F ´ (2 )=0 F ´ ( x )>0→ x>2 F ´ (0 )=−1 F ´ ( x )

8/18/2019 GUÍA UNIDAD 1 (1)

17/32

1Q

G(fco B/ F3n"i9n d4d4 !o6 e !6obe54. G(fco C/ F3n"i9n obtenid4 3eo de4!i"46 4 4nti7de6iv4d4

De 4 =3n"i9n d4d4 !ode5o obtene6 4 =3n"i9n 5edi4nte 4 e"34"i9n de 4 6e"t4K3e ne"eit4 oo do !3nto.

y ´ = F ´ ( x)= x2−1

Ree5!44ndo !o6 x=0

y ´ = F ´ ( x )=−1

A!i"4ndo 4 4nti7de6iv4d4 tene5o:

F ( x )= x2

4 − x+C

F ( x )=3cuando x=0

Ree5!44ndo en 4 =3n"i9n F ( x ) :

C =3

&3tit3endo en 4 =3n"i9n F ( x ) :

F ( x )=

x2

4 − x+3

T.b). C/ I'te(p(et.ci6' -e) eje(cicio

I'te(v.)o

F*9, F*9,

Obse(v.cio'es

x

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18/32

1;

&3 "464"te6#ti"4 on 4 i3iente:4. 'ovi5iento K3e e 6e4i4 ob6e 3n4 #ne4 6e"t4.b. Veo"id4d "ont4nte ,54nit3d di6e""i9n "ont4nte.". L4 54nit3d de 4 veo"id4d 6e"ibe e no5b6e de "ee6id4d o 64!ide.d. A"ee64"i9n n34

L4 4nti7de6iv4"i9n e 53 Bti en e 5ovi5iento de 3n objeto K3e e en"3ent64 en

#ne4 6e"t4. &e debe 6e"o6d46 K3e i e objeto tiene 4 =3n"i9n de !oi"i9n " (t )

en t4 "4o 4 =3n"i9n de veo"id4d e ' ( t )=" ´ (t ) . Lo K3e indi"4 K3e 4 =3n"i9n de

!oi"i9n e 3n4 4nti7de6iv4d4 de 4 =3n"i9n veo"id4d.

Lo 5i5o o"366e "on 4 =3n"i9n de 4"ee64"i9n a ( t )=' ´ (t ) donde 4 =3n"i9n de

veo"id4d e 3n4 4nti7de6iv4d4 de 4 4"ee64"i9n

Re"o6d4ndo K3e " ( t ) , ' ( t ) , y a (t ) 6e!6eent4n 4 !oi"i9n veo"id4d 4"ee64"i9n

6e!e"tiv45ente en e 5o5ento t de 3n "3e6!o K3e e 53eve en e eje

"oo6den4do donde:

' (t )=" ´ ( t )=d"

dt

a (t )=' ´ ( t )=d'

dt =

d2

"

dt 2

Conide6e 3n4 !46t#"34 P K3e e 53eve en #ne4 6e"t4

P

O s

G(fco C/ Poi"i9n en e tie5!o t de 3n4 !46t#"34 K3e e 53eve en #ne4 6e"t4.

&e4 "=f (t ) 4 !oi"i9n de 4 !46t#"34 en e tie5!o t . &e tiene enton"e:

Veo"id4d 5edi4:


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19/32

1

V prom=( "

( t =

"2−"1t 2−t 1

=f (t 2 )−f (t 1)

( t =

f (t 1+(t )−f (t 1)( t

Veo"id4d int4ntne4:

'= lim(t →0

( "

( t = lim

( t →0

f (t 1+( t )−f (t 1)( t

=d"

dt

A"ee64"i9n !6o5edio:

a prom=( '

( t =

'2−'1t 2−t 1

=' (t 2 )−' (t 1)

( t =

' (t 1+(t )−' (t 1)( t

A"ee64"i9n int4ntne4:

a= lim(t →0

( '

( t = lim

( t →0

' (t 1+( t )−' (t 1)( t

=d'

dt

Ejep)o

&e 4n4 3n4 !ied64 ve6ti"45ente 4"i4 466ib4 dede e 3eo "on 3n4 veo"id4d

ini"i4 de 12; !ie. Conide6e K3e 4 Bni"4 =3e64 K3e 4"tB4 ob6e 4 !ied64 e4 4"ee64"i9n debido 4 4 64ved4d. Dete65ine:

4 L4 4t364 5i54 K3e 4"4n4 4 !ied64.b E tie5!o K3e e to54 4 4 !ied64 e46 4t4 e 3eo." L4 64!ide de 4 !ied64 4 e46 4 3eo.

v =0s =hmax

v =?s =0

t =?

t =?

v =128ft/s

s =0t =0

G(fco / G6$"o de eje5!o.


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20/32

2<

De 4"3e6do "on 4 $364 + 4 "ondi"ione ini"i4e ,int4nte en e K3e e 4n4 4!ied64 on:

V (0 )=128 pie"

" " (0 )=0 pie"

To54ndo en "3ent4 K3e 4 4"ee64"i9n de 4 64ved4d ea=−32,2

pie"

"2 e tiene:

a=d'

dt

−32,2=d'

dt

&e!464ndo v46i4be:d'=−32,2dt


∫d'=∫−32,2dt

'=−32,2 t +C 1

A!i"4ndo 4 "ondi"i9n ini"i4 ' (0 )=128 pie"

" :

128=−32,2 (0 )+C 1∴C 1=128 pie"

"

Po6 t4nto 4 =3n"i9n veo"id4d e:

' (t )=−32,2t +128

Ao64 bien "o5o '=d"

dt e tiene:

32,2t +128=d"

dt

&e!464ndo v46i4be:

d"=(32,2 t +128) dt


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21/32

21


∫d"=∫ (−32,2 t +128) dt

"=−32,2

2 t

2+128 t +C 2

A!i"4ndo 4 "ondi"i9n ini"i4 " (0 )=0 :

0=−32,2

2 (0 )2+128 (0 )+C 2∴C 2=0

De 5odo K3e 4 =3n"i9n de !oi"i9n e:

" (t )=−32,2

2 t 2

+128 t

Un4 ve obtenid4 4 =3n"ione ' (t ) " (t ) e !6o"ede 4 64$"46 4

=3n"ione veo"id4d e!4"io dete65in46 "4d4 3no de o ite64e de !6obe54.

1 2 3 4 5

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

v(t)=128-32.2t

G(fco 8/ G6$"o de veo"id4d ? tie5!o


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22/32

22

−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9−10

1020

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230

240

250

260

s(t)=128*t-16.1*t^2

G(fco / G6$"o de e!4"io ? tie5!o

4 L4 !ied64 4"4n4 4 4t364 5i54 "34ndo ' ( t )=0 e tiene enton"e:

' (t )=−32,2t +128=0∴ t =4 "

De 54ne64 K3e:

hma&=" (4 )=−32,2

2 (4 )2+128 (4 )=256 pie"

b C34ndo 4 !ied64 e4 4 3eo " ( t )=0 !o6 t4nto:

" ( t )=−32,2

2 t

2+128 t =0∴ t =0 " ,t =8"

Enton"e 4 4 !ied64 e to54 ; e3ndo e46 4t4 e 3eo.

" L4 !ied64 e4 4 3eo "on 3n4 veo"id4d de:

' (8 )=−32,2 (8 )+128=−128 pie"

"

L4 64!ide e 4 54nit3d de 4 veo"id4d 4#:

|'|=128 pie""


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2+

&e 3et4 3n4 !ied64 dede e !io de obe6v4"i9n 3!e6io6 de 4 to66e CN 408 veo"id4d "o"4 4 !ied64 "ont64 e 3eo.

a=g=9,81 m

"eg a=

d'

dt =8,91

m

"eg '=

d"

dt

∫d'=∫ 9,81dt

'=9,81t +C '=0 y t =0∴C =0

'=8,91t

d"

dt =9,81 t

∫d"=∫9,81 t dt

"=9,81 t 2

2 +C "=0 y t =0∴C =0

G(fco / G6$"o de eje5!o"=4,905 t 2

4. "=4,905 t 2

b. t =9,58"eg

". '=93,91 m"eg


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20

D4do K3e 4 ot4 de 3vi4 "6e"en 4 5edid4 K3e "4en 3 6e4 de 3!e6$"ie435ent4 !o6 o t4nto 4 6eiten"i4 4 3 "4#d4 435ent4. Un4 ot4 de 3vi4tiene 3n4 veo"id4d ini"i4 di6iid4 4"i4 4b4jo de 1

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28

"=4,5 t 2−0,15t 3−10 t + D

Condi"i9n "=500m t =0

Ree5!44ndo: 500=4,5 (02

)−0,15 (03

)−10 (0 )+ D

D=500

E"34"i9n de e!4"io:

"=4,5 t 2−0,15t 3−10 t +500

Not.: Po( otivos 4(fcos ). v.(i.b)e t se (eep).0. po( 9/ $oo se

p2e-e obse(v.( e' ).s f42(.s < /

G(fco H/ G6$"o de 4 veo"id4d 7 tie5!o


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2

G(fco 1/ G6$"o de e!4"io 7 tie5!o.

I'te4(.ci6' -e ?o(.s e)ee't.)es

I'te4(.)es -e F2'cio'es T(i4o'ot(ic.s

1 ∫u d'=u'−∫ ' du

2 ∫un

du=u

n+1

n+1+C ,n%−1

+ ∫du

u =ln|u|+C

0 ∫eudu=eu+C

8 ∫au

du= a

u

lna+C

∫ "ecudu=ln|"ecu+tanu|+C

Q ∫c"cudu=ln|c"cu−cot u|+C

; ∫ "en (u) du=−cos (u )+C

∫cos (u )du="en (u )+C


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2Q

1

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28/32

2;

&e4 u=g ( x) 3n4 =3n"i9n di=e6en"i4be "3o 64no e 3n inte6v4o I e4 f

3n4 =3n"i9n de$nid4 en I F 3n4 !6i5itiv4 de f en I. Enton"e:

∫ f (g ( x ))

D4d4 4 inte64 inde$nid4:

∫ f (g ( x ) ) g ´ ( x ) dx

&e4 u=g ( x ) y du=g ´ ( x ) dx . &i F e 3n4 4nti7de6iv4d4 de f enton"e:

∫ f (g ( x ) ) g ´ ( x ) dx=∫ f (u )du= F (u )+C = F ( g ( x ) )+C

∫ f ´ (u )∗u´dx= F (u )+C

P.sos p.(. i'te4(.( po( c.bio -e v.(i.b)e

∫ f ´ (u )∗u´dx

1 &e 4"e e "45bio de v46i4be e di=e6en"i4 en o do t>65ino.

t =udt =u´dx

De!ej45o u y dx 3tit3endo en 4 inte64 d4d4.

t =u dx=dt

u ´

Ree5!445o en 4 inte64 tene5o:

∫ f ´ ( t )∗u ´ dt u ´ =∫ f ´ ( t ) dt

2 &i 4 inte64 6e3t4nte e 5 en"i4 inte645o.

∫ f ´ ( t ) dt =f ( t )+C

+ &e v3eve 4 4 v46i4be ini"i4.

f ( t )+C =f ( u )+C


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2

Ejep)o/

∫ x3

4√ 2 x+1

dx

&3tit3endo t =

4

√ 2 x+1 t 4

=2 x+1

De!ej4ndo x : x=t 4−12

De6iv4ndo t 4=2 x+1 tene5o:

4 t 3

dt =2dx

De!ej4ndo dx . dx=2 t 3

dt

Ree5!445o en 4 inte64:

∫( t

4−12 )

3

t ∗2t 3 dt

Reoviendo tene5o:

∫(t 4−12 )

3

∗2 t 3dt =∫(t 4−1 )3

4 ∗t 2dt =∫

(t 12−3 t 8+3 t 4−1 )4

∗t 2 dt

¿∫ t 14−3 t 10+3 t 6−t 2

4 dt =

1

4 ( t 15

15−

3 t 11

11 +

3 t 7

7 −

t 3

3 +C )

Co5o t =4√ 2 x+1 3tit3i5o:

( 4√ 2 x+1 )15

60 −

3 ( 4√ 2 x+1)11

44 +

3 ( 4√ 2 x+1)7

28 −

( 4√ 2 x+1)3

12 +

1

4 C

( 4√ 2 x+1 )15

60 −

3 ( 4√ 2 x+1)11

44 +

3 ( 4√ 2 x+1)7

28 −

( 4√ 2 x+1)3

12 + +

Not.: Te(i'.os co' 2'. co'st.'te .(bit(.(i.1

4 C , ). c.bi.os co'

ot(. co'st.'te .(bit(.(i. ))..-. +


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30/32

+<

Re4). -e ). pote'ci. p.(. ?2'cio'es:

&e4 g 3n4 =3n"i9n de6iv4be n 3n nB5e6o 64"ion4 di=e6ente de −1

enton"e:

∫ [ g( x )]n g ´ ( x )dx= [g( x )]n+1

n+1 +C n%1

P464 4!i"46 4 6e4 de 4 !oten"i4 !464 =3n"ione debe5o e6 "4!4"e de6e"ono"e6 4 =3n"ione "o5!3et4 en e inte64ndo.

&i e 4"e u=g ( x ) , du=g´ ( x )dx , enton"e 4 e!6ei9n 4nte6io6 e !3ede e"6ibi6

"o5o:

∫un du= un+1

n+1+C

Ejep)o

C4"3e 4 i3iente inte64 inde$nid4.

∫ ( x4+8 x )4 (4 x3+8 ) dx

u= x4+8 x du=(4 x3+8)dx

Ree5!445o en 4 inte64.

∫u4 du∗du=∫u42du=2∫u4 du=2(u5

5 +C )

Ree5!44ndo

¿2( x4+8 x )5

5

+2C =2 ( x4+8 x )5

5

+ +

Not.: Te(i'.os co' 2'. co'st.'te .(bit(.(i. 2C , ). c.bi.os co'

ot(. co'st.'te .(bit(.(i. ))..-. +

C4"3e 4 i3iente inte64 inde$nid4.

∫ 7 x2

√ 1−(5 x3+4)2

dx


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+1

u=5 x3+4,du=15 x2 dx

15 x2

√ 1− (5 x3+4)2

dx= 7

15∫ du

√ 1−u2=¿

∫ 7 x2

√ 1−(5 x3+4 )2 dx= 715∫¿

¿ 7

15 "en

−1u+

7

15C =

7

15 "en

−1 (5 x3+4 )+ +

Not.: Te(i'.os co' 2'. co'st.'te .(bit(.(i.7

15 C , ). c.bi.os co'

ot(. co'st.'te .(bit(.(i. ))..-. +

Ejep)o

• Re4i"e 3n "45bio de v46i4be !464 ev4346 4 i3iente inte64e*(eso)ve( e' c).ses,

4 ∫ [70 x∗(7 x2−3)4 ] dx

b ∫ x5

√ 1+ x2 dx

EJER$I$IO! PROPUE!TO!

REVI!I5N $ON$EPTO!

LI*RO EDICI/N &ECCI/N EJERCICIO&&te46t J45e Re!4o ? C4!0 1<


LI*RO EDICI/N&ECCI/

N EJERCICIO&

&te46t J45e 0.111Q21++

00&te46t J45e 0. 0Q88+Q8

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32/32

+2

&te46t J45e Pin4 ? +0Q

P6e3nt4 VF1;

P36"e ; Revii9n de Con"e!to !in4 210 1727+70P36"e ; Revii9n de Con"e!to !in4 22< 1727+70

P36"e ; Conj3nto de !6obe54 !in4 2101+717217017

08

&I&LIOGRAF%A &te46t J45e. C"3o de 3n4 V46i4be et4 edi"i9n.

Edin J. P36"e ? D4e V46be6 ? &teven E. Ridon. C"3o o"t4v4 edi"i9n. Lo3i Leitod. E C"3o >!ti54 edi"i9n. E46 . &oWoWi. C"3o "on Geo5et6#4 An4#ti"4 e3nd4 edi"i9n

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