Guia 1: Elements bàsics de Ta Probabilitats84.89.132.1/~satorra/wprob2010/Lecture1_2010.pdf · Guia 1: Elements b asics de Ta Probabilitats Qu e es l’Estad stica? "The mathematics

Guia 1: Elements basics de Ta Probabilitats

Guia 1:Elements basics de Ta Probabilitats

Albert Satorra i Gloria Garcıa

Probabilitat – UPF, Tardor 2010


Continguts

1.1. Cap al concepte de probabilitat

1.2. Regla de Laplace. Tecniques de Recompte.

1.3. Probabilitat condicionada i independencia

1.4. Teorema de la probabilitat total

1.5. Teorema de Bayes


Que es l’Estadıstica?

”The mathematics of the collection, organization, andinterpretation of numerical data, especially the analysis ofpopulation characteristics by inference from sampling.” 1

Tres assignatures a ECO/ADE,

- Analisi de Dades: estudiem i descrivim mostres. Detectarestructures d’interes i triar un model adient per a la poblacio

- Probabilitat: estudiem la poblacio, els diferents modelsprobabilıstics i el comportament aleatori de les mostres quen’extreim

- Estadıstica: realitzarem inferencies sobre una poblacio a partirde la informacio continguda en una mostra

1American Heritage Dictionary; www.amstat.org




Un experiment aleatori es un fenomen en que hi ha incertesa sobreel seu desenllac.

Els resultats possibles d’un experiment aleatori s’anomenenresultats basics i es denoten per ωi .

El conjunt de tots els ωi s’anomena espai mostral i es denota Ω.

Un esdeveniment A es un subconjunt de Ω.

Realitzat l’experiment aleatori, poden determinar si l’esdevenimentA ha passat o no .



Exemple 1

Resultat cara superior tirada d’un dau; Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6A := ’Resultat parell’. A passa si s’observa 2, 4, 6

Exemple 2

Valor ratio Euro - Dolar respecte del seu valor en el moment deltancament del dia immediatament anterior; Ω = ↑,=, ↓B := ’Valor ratio no puja’. B = =, ↓

Exemple 3

Resultat nombre cares − nombre creus en tirar tres vegades unamoneda; Ω = −3,−1, 1, 3C := ’Ha sortit mes cares que creus’. C = 1, 3

Interessats simultaniament en un o mes esdeveniments?



Algebra de Boole dels experiments, A

Siguin A, B dos esdeveniments,

A ∩ B: es aquell esdeveniment que passa quan passa A i tambe passa B.

A ∪ B: es aquell esdeveniment que passa quan passa A o B.

A: es aquell esdeveniment que passa quan no passa A.

Definim ∅ com aquell esdeveniment que no passa mai; es l’esdevenimentimpossible.

A i B son mutuament excloents o disjunts si A ∩ B = ∅

L’esdeveniment segur es aquell que passa sempre; es el complementari de

l’esdeveniment impossible i el denotarem com a Ω tanmateix.

Aquesta famılia de de conjunts (esdeveniments) te estructura de σ – algebra, esa dir es tancada per unions numerables i pel pas a la interseccio.



A i B son exhaustius si A ∪ B = Ω

Ex1. A := ’Resultat parell’; B := ’Com a mınim un 4’

A ∪ B = 2, 4, 5, 6 , B = 1, 2, 3, A ∩ B = 2, B ∪ B = Ω

E1, . . . Ek esdeveniments

E1 ∩ · · · ∩ Ek : conjunt de tots els resultats basics en Ω quepertanyen a tots Ei

E1 ∪ · · · ∪ Ek : conjunt de tots els resultats basics en Ω quepertanyen almenys a un dels Ei

E1, . . . Ek son mutuament excloents si Ei ∩ Ej = ∅, i 6= j

E1, . . . Ek son col.lectivament exhaustius si E1 ∪ · · · ∪ Ek = Ω



Probabilitat: mesura de versemblancaEl concepte de probabilitat preten aportar una mesura numerica dela plausibilitat d’ocurrencia d’un cert esdeveniment

Postulats,

P1. Per a qualsevol esdeveniment A, 0 ≤ P(A) ≤ 1

P2. P(Ω) = 1, P(∅) = 1

P3. P(A ∪ B) = P(A) + P(B), si A i B son disjunts.

Observem com aquestes propietats son mirall d’aquelles de la frequenciarelativa d’un cert esdeveniment A,

fr(A) = ]A/]repeticions experiment

doncs 0 ≤ fr(A) ≤ 1...Pero anem una mica mes enlla perque la mesura de probabilitat no ha dedependre del nombre de repeticions de l’experiment



Una propietat rellevant de la probabilitatSi A,B son dos esdeveniments qualsevol,

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

Prova. Podem expressar A ∪ B = A t (B ∩ A). Per tant,

P(A ∪ B) = P(A) + P(B ∩ A)

Tenim, B = (B ∩ A) t (B ∩ A) i doncs P(B) = P(B ∩ A) + P(B ∩ A).Aleshores,

P(B ∩ A) = P(B)− P(B ∩ A)

FinalmentP(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

En el cas que A ∪ B = ∅, es a dir A i B son mutuament excloents, tenim:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)



Exemple 4

Siguin A i B dos esdeveniments satisfent P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

La probabilitat que es donin simultaniament es 16 i la probabilitat

que no succeeixin ni l’un ni l’altre es 13 . P(A) i P(B)?

Coneixem

P(A) · P(B) =1

6, P(Ac ∩ Bc) =

1

3

Observem que Ac ∩ Bc = (A ∪ B)c . Queda,

P(A) · P(B) =1

6, P(A) + P(B) =

5

6

Resolem,

P(A) =1

2P(B) =

1

3, o be P(B) =

1

2P(A) =

1

3



I com calculem / obtenim aquestes probabilitats?

- Frequentista. La probabilitat de l’esdeveniment A, P(A), es ellımit de la frequencia relativa de l’esdeveniment A.Concretament si n(A) es el nombre de vegades que s’observaA en n repeticions independents de l’experiment:

n(A)

nn→∞−−−→ P(A)

(Llei Feble dels Grans Nombres)

Exemple. En tirar una moneda n vegades,

n(Cares)

nn→∞−−−→ 1

2



- Subjectiva. En experiments que no son repetibles, assignemmesures d’incertesa.Exemple. La probabilitat que el Barca guanyi la lliga2010-2011 es del 80%.

- Objectiva. En certs casos, condicions de simetria i propietatsmatematiques condueixen al valor de la probabilitat d’unesdeveniment...Exemple. La probabilitat de veure parell en tirar un dau es 1

2 .



1.2. Regla de Laplace

Recordem que, Ex1. Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6; A = 2, 4, 6;

P(A) =1

2(=

1

6+

1

6+

1

6)

Aquest es un cas particular de la Regla de Laplace: si Ω estaformat per n(Ω) resultats basics igualment probables il’esdeveniment A esta format per n(A) d’aquests,

P(A) =n(A)

n(Ω)

Prova. Tot resultat basic te probabilitat 1n(Ω)

. Com A esta format per n(A)

d’aquests resultats basics aleshores P(A) = n(A)n(Ω)



Exemple 5

En tirar una moneda a l’aire, la probabilitat de cara es igual a 1/2 ila de creu tambe.

Ex3. Ω = −3,−1, 1, 3. D = −1, 1, 3;Que opines sobre P(D) : 1

4 + 14 + 1

4 ?

Nota. Pensa que en aquest cas, tenim que els esdeveniments basics(C ,C ,C),(C ,C ,X ), (C ,X ,C), (X ,C ,C),(C ,X ,X ), (X ,C ,X ), (X ,X ,C),(X ,X ,X )son igualment probables amb probabilitat 1/8 cadascun d’ells...



Tecniques de recompte

Necessitarem obtenir el nombre de resultats basics d’un experimentaleatori...

Exemple 6

Una persona te tres pantalons diferentes P1,P2,P3,4 samarretes S1,S2, S3, S4 i dos parells de sabates Sb1, Sb2. Quinaes la probabilitat que trio per vestir-se P1/S1/Sb1?

Sigui A :=’La persona tria per vestir-se P1/S1/Sb1

P(A) = n(A)n(Ω) = 1

n(Ω)

on n(Ω) es el nombre de maneres diferents per vestir

Calcular n(Ω)?



Regla multiplicativa

Hem de realitzar k tries

La primera tria te n1 possibilitats

La segona te n2 possibilitats2

... / ...

La kma te nk possibilitats3

Aleshores, el nombre total de possibilitats es

n1 · n2 · . . . nk

Ex6. Hi ha 3 · 4 · 2 maneres diferents de vestir-se

2independentment del triat a la primera3independentment del triat a les anteriors



Exemple 7

Omplir una travessa de futbol de 14 partits? 314 possibilitats.

Aplicarem la regla multiplicativa tambe per a resoldre dos tipos deproblemes: donat un conjunt de n elements, quants grups de kelements podem formar si,

- Importa l’ordre

- No importa l’ordre



Agrupacions ordenades

Segons la regla multiplicativa, el nombre de posibles ordenacionsquan k objectes han de ser triats d’un total de n i disposats enaquest ordre es

n · (n− 1) · (n− 2) . . . (n− k + 1) =n!

(n − k)!=

factorial(n)

factorial(n-k)

on recordem que n! = n · (n − 1) · (n − 2) . . . 2 · 1



Exemple 8

’Paraules’ de 4 lletres amb ’ARBOL’? (BOLA 6= LOBA)

5 · 4 · 3 · 2 = 120 = factorial(5)

Exemple 9

7 diferents carreres universitaries; sol.licitud nomes permet triar 3per ordre de preferencia?

7 · 6 · 5 = 210 =factorial(7)

factorial(4)



Cas particular: n = k . Novament, segons la regla multiplicativa, Elnombre posibles ordenacions de n elements es

n! = n · (n − 1) · (n − 2) . . . 2 · 1 = factorial(n)

Exemple 10

De quantes maneres diferents poden seure 4 persones en una filerade 4 seients? 4! = 24 = factorial(4) possibilitats



Agrupacions sense importancia de l’ordre

El nombre de posibles tries a fer quan k objectes han de serseleccionats d’un total de n es(

n

k

)=

n!

k!(n − k)!= choose(n,k)

Exemple 11

Comissio de 8 persones a partir de 10 habitants del poble A i 15del poble B: choose(28,8) = 1081575 possibles comissions.

I si cada poble representat per 4 persones?choose(10,4) · choose(15,4) = 286650



I si el poble A pot tenir com a maxim 2 representants?

choose(10,0) · choose(15,8)+

+choose(10,1) · choose(15,7)+

+choose(10,2) · choose(15,6) =

= 6435 + 64350 + 225225 = 296010




Exemple 12

Inversor interessat en les accions de la companyia X.

Premsa economica: entrevista al director de X que afirma ques’esta perfilant els detalls de la compra del seu maximcompetidor(=B)

Quina mesura haura de considerar-se com a ındex de laplausibilitat de que les accions pugin?

P(’Les accions de X pugen’) o be P(’Les accions de X pugen’|B)



La probabilitat condicional de l’esdeveniment A conegut/donatl’esdeveniment B , P(A|B), es defineix com,

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B), sempre que P(B) > 0

Regla del producte P(A ∩ B) = P(A|B) · P(B)

Exemple 13

El 80% dels clients d’un Frankfurt fan servir ketchup (K ), el 75%fan servir mostassa(M) i el 65% fan servir tots dos (K ∩M).Probabilitat que un consumidor de ketchup faci servir mostassa?

P(M|K ) =P(M ∩ K )

P(K )=

0, 65

0, 80= 0, 8125



Ex.12 C :=Color favorit director es el verd. P(A|C ) = P(A) !!!

A i B son independents si P(A|B) = P(A) (si P(B) > 0)

Equivalentment, si P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

Exemple 14

Tirem dos daus: d1 i d2. S := d1 + d2 y D:=d1 − d2

P(S = 2) =1

36, P(D = −4) =

2

36

P(S = 2 ∩ D = −4) = 0

S = 2 i D = −4 no son independents



Exemple 15

S’estima que el 48% de les llicenciatures son obtingudes per donesi que el 17,5% de totes les llicenciatures son en Empresarials. El4,7% de totes les llicenciatures corresponen a les dones que esgraduen en Empresarials. Son els esdeveniments ”El Llicenciat esuna dona” i ”El llicenciat ho es en Empresarials” independents?

A:= ”El licenciat es una dona”; P(A) = 0, 48B:= ”El llicenciat ho es en Empresarials”; P(B) = 0, 175A ∩ B:= ”Llicenciat en Empresarials i dona”; P(A ∩ B) = 0, 047

Possibilitat 1: P(A) · P(B) 6= P(A ∩ B) (0, 48 · 0, 175 6= 0, 047)

Possibilitat 2: P(A|B) = P(A∩B)P(B) 6= P(A)

(0,0470,175 6= 0, 48

)



Regla del producte. P(A ∩ B) = P(A|B) · P(B)

Probabilitat composta. Si E1,E2, . . . ,Ek son esdeveniments talsquel P(E1 ∩ E2 ∩ . . .Ek−1) > 0 aleshores,

P(E1 ∩ E2 ∩ . . .Ek) = P(E1) · P(E2|E1) · P(E3|E2∩E1) · · ·

· · ·P(Ek−1|E1∩E2∩...Ek−2) · P(Ek |E1∩E2∩...Ek−1

)



Exemple 16

Una caixa conte 8 boles vermelles, 3 blanques i 9 blaves. Fem tresextraccions sense reemplacament de la caixa. Determina laprobabilitat de que

1. Totes tres siguin vermelles

2. Es trien en l’ordre vermell, blanc i blau

3. Es tria una de cada color



1. Sigui Vi l’esdeveniment “La ima extraccio es vermella”.

P(V1∩V2∩V3) = P(V1)·P(V2|V1)·P(V3|V1∩V2) =8

20· 7

19· 6

18

2. Sigui Wi l’esdeveniment “La ima extraccio es blanc” i Bi

l’esdeveniment “La ima extraccio es blava”

P(V1 ∩W2 ∩ B3) = P(V1) · P(W2|V1) · P(B3|V1∩W2) =

=8

20· 3

19· 9

18=

3

95

3. L’ordenacio dels colors correspon a P3 = 3! = 6 i tots elsresultats basics favorables tenen la mateixa probabilitat queP(V1 ∩W2 ∩ B3). Per aixo la probabilitat demanada es

6 · 3

95=

18

95




Siguin4 E1, . . . Ek mutuament excloents, col.lectivamentexhaustius amb P(Ej) > 0.

Sigui A esdeveniment qualsevol. Podem escriure

A = (A ∩ E1) t · · · t (A ∩ Ek)

Aixı,P(A) = P(A ∩ E1) + · · ·+ P(A ∩ Ek)

d’on es te el Teorema de la probabilitat total

P(A) = P(A|E1) · P(E1) + · · ·+ P(A|Ek) · P(Ek)

4Es tracta d’una particio de Ω



Exemple 17

Dels articles produıts diariament per una fabrica, el 40% prove dela lınia de produccio I i el 60% prove de la lınia II .

El percentatge de defectuosos de la lınia I es el 8%, mentre que elpercentatge de defectuosos de la lınia II es el 10%.

Es pren un article a l’atzar de la produccio diaria; calculeu laprobabilitat que no sigui defectuos.

D =“L’article es defectuos” , D =“L’article no es defectuos”L1=“L’article es de la lınia 1” , L2=“L’article es de la lınia 2”.

P(D) = P(D|L1) · P(L1) + P(D|L2) · P(L2) =

= 0.2 · 0.4 + 0.90 · 0.6 = 0.908




Exemple 18

S’ha desenvolupat un procediment per detectar un tipus particulard’artritis en individus de mes de 50 anys d’edat.

Un 10% dels individus d’aquest grup d’edat pateixen la malaltia.

S’aplica el procediment a individus amb malaltia confirmada:diagnostic correcte en el 85% dels casos.

El procediment es posa a prova amb individus sans de la mateixaedat: falsos positius del 4%.

Probabilitat que un individu pateixi artritis si el procediment hadonat positiu?

P(A|B): probabilitat a priori; P(B|A): probabilitat a posteriori



Teorema de Bayes

A i B esdeveniments tals que P(A) > 0 i P(B) > 0. Aleshores,

P(B|A) =P(A|B) · P(B)

P(A)

Prova-ho!

Teorema de Bayes - Expressio alternativa

Siguin E1, . . . Ek particio de Ω i A tal que P(A) > 0. Aleshores,

P(Ei |A) =P(A|Ei ) · P(Ei )

P(A|E1) · P(E1) + · · ·+ P(A|Ek) · P(Ek)

Prova-ho tambe!



Exemple 18. S’ha desenvolupat un procediment per detectar untipus particular d’artritis en individus de mes de 50 anys d’edat.

Un 10% dels individus d’aquest grup d’edat pateixen la malaltia.

S’aplica el procediment a individus amb malaltia confirmada:diagnostic correcte en el 85% dels casos.

El procediment es posa a prova amb individus sans de la mateixaedat: falsos positius del 4%.

Probabilitat que un individu pateixi artritis si el procediment hadonat positiu?



SiguinA :’L’individu pateix artritis’; +:Test positiu’ ; −:’Test negatiu’Pel teorema de Bayes,

P(A|+) =P(A ∩+)

P(+)=

P(+|A) · P(A)

P(+)

El numerador es P(+|A) · P(A) = 0, 85 · 0, 1 = 0, 0850. Eldenominador, segons el teorema de les probabilitats totals, es

P(+) = P(+|A)·P(A)+P(+|Ac)·P(Ac) = 0.0850+0.0360 = 0.1210

Llavors,

P(A|+) =0.0850

0.1210= 0.7025



Problema de la setmana

Una agencia de qualificacio examina les accions d’un gran nombred’empreses. Quan es va investigar el comportament d’aquestes accionsl’any passat, es va descobrir que el 25% van experimentar un creixementdel seu valor clarament superior a la mitjana, el 25% clarament inferior iel 50% restant es van mantenir al voltant de la mitjana.

El 40% de les accions que van creixer clarament per sobre de la mitjanavan ser classificades com “bones adquisicions” per l’agencia, al igual queel 20% de les que van creixer al voltant de la mitjana i el 10% de les quevan tenir un creixement clarament inferior a la mitjana.

a) Quina es la probabilitat que una accio triada a l’atzar hagi estatclassificada com una ”bona adquisicio” per part de l’agencia?

b) I de que una accio triada a l’atzar d’entre les classificades com una

”bona adquisicio” hagi crescut clarament per sobre de la mitjana del

mercat?



Siguin,

S =“L’accio creix superior a la mitjana”

M =“L’accio creix al voltant de la mitjana”

I =“L’accio creix inferior a la mitjana”

B =“L’accio qualificada bona adquisicio”

a) Pel teorema de la probabilitat total,

P(B) = P(B|S) · P(S) + P(B|M) · P(M) + P(B|I ) · P(I ) =

= 0.40 · 0.25 + 0.2 · 0.5 + 0.10 · 0.25 = 0.2250

b)

P(S |B) =P(S ∩ B)

P(B)=

P(B|S) · P(S)

P(B)=

0.4 · 0.25

0.2250= 0.4444

Documents

Guia 1: Elements bàsics de Ta Probabilitats84.89.132.1/~satorra/wprob2010/Lecture1_2010.pdf · Guia 1: Elements b asics de Ta Probabilitats Qu e es l’Estad stica? "The mathematics