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Contiene todos los Tópicos que se usaran en Análisis Matemático II 17/03/2014
GUIA DE EJERCICIOSANALISIS MATEMATICO II
EDITADO POR ING JESUS PARADA
Tabla de Derivadas e Integrales
Sean a, b, e y k constantes (números reales) y consideremos a: u(x) y v(x) como funciones.En adelante, escribiremos u y v con el fin de simplificar. Derivada de una constante
Derivada de x
Derivada de la función lineal
Derivada de una potencia
Derivada de una raíz cuadrada
Derivada de una raíz
Derivada de una suma
Derivada de una constante por una función
Derivada de un producto
Derivada de una constante partida por una función
Derivada de un cociente
Derivada de la función exponencial
Derivada de la función exponencial de base e
Derivada de un logaritmo
Como , también se puede expresar así:
Derivada del logaritmo neperiano
Derivada del seno
Derivada del coseno
Derivada de la tangente
Derivada de la cotangente
Derivada de la secante
Derivada de la cosecante
Derivada del arcoseno
Derivada del arcocoseno
Derivada del arcotangente
Derivada del arcocotangente
Derivada del arcosecante
Derivada del arcocosecante
Derivada de la función potencial-exponencial
Regla de la cadena
Derivadas implícitas
Reglas de derivación
Sean a, b y k constantes (números reales) y consideremos a: u y v como funciones.
Derivada de una constante
Derivada de x
Derivada de la función lineal
Derivada de una potencia
Derivada de una raíz cuadrada
Derivada de una raíz
Ejemplos de derivadas
Cálculo de derivadas. Ejercicios y problemas1) Calcula las derivadas de las
funciones:
1
2
3
4
5
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7
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9
2) Calcula mediante la fórmula de la derivada de una potencia:
10
11
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13
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15
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3) Calcula mediante la fórmula de la derivada de una raíz:
17
18
17
4) Deriva las funciones exponenciales
18
19
20
21
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5) Calcula la derivada de las funciones logarítmicas:
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24
25
26
27
Ejercicios de aplicaciones de la derivada
28Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
29) Hallar los máximos y mínimos de la función:
30) Determina las ecuaciones de la tangente y normal en su punto de inflexión a la curva: f(x) = x³ − 3x² + 7x + 1.
31) La cantidad (y) expresa el dinero acumulado en una máquina
tragaperras durante un día y sigue una ley del t ipo:
y = 1/3x 3 — 19x2 + 352x + 100
Donde la variable x representa el t iempo en horas (de 0 a 24). Responde a las siguientes preguntas:
1. ¿Se queda alguna vez vacía de dinero la máquina?
2. Si se realiza la "caja" a las 24 horas. ¿Arroja ganancias para los dueños de la máquina?
3. ¿A qué hora la recaudación es máxima y a qué hora es mínima?
4. ¿Cuándo entrega el mayor premio?
32) Sea f(x) = x 3 + ax2 + bx + 7. Hallar a y b de manera que la gráfica de la función f(x) tenga para x= 1 una inflexión, y cuya recta tangente en ese punto forme un ángulo de 45° con el eje OX.
33) Obtener la ecuación de la tangente a la gráfica de f(x) = 2x 3 − 6x2 + 4 en su punto de inflexión.
34) Determinar a, b y c para que la función f(x) = x 3 + ax2 + bx + c tenga un máximo para x = −4, un mínimo, para x = 0 y tome el valor 1 para x = 1.
35) Determinar el valor de a, b, c y d para que la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un máximo en (0, 4) y un mínimo en (2, 0).
36) Determinar a, b, c, d y e, de modo que la curva f(x) = ax 4 + bx3 + cx2 + dx + e, tenga un punto crít ico en (1, 3) y un punto de inflexión con tangente de ecuación y = 2x en (0, 0).
37) La curva f(x) = x 3 + ax2 + bx + c corta al eje de abscisas en x = 3 y tiene un punto de inflexión en (2/3, 1/9). Hallar a, b y c.
38) Dada la función:
Calcula a, b y c, de modo que f(x) tenga en (2, −1) un extremo local y que la curva pase por el origen de coordenadas.
39) Hallar a y b para qué la función: f(x) = a · ln x + bx 2 + x tenga extremos en los puntos x 1 = 1 y x 2 = 2. Para esos valores de a y b, ¿qué tipo de extremos tienen la función en 1 y en 2?
Aplicaciones geométricas de la derivada. Ejercicios y problemas
40) Calcular los puntos en que la tangente a la curva y = x 3 − 3x2 − 9x + 5 es paralela al eje OX.
41) Se ha trazado una recta tangente a la curva y= x 3 , cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0, −2). Hallar el punto de tangencia.
42Buscar los puntos de la curva f(x) = x 4 + 7x3 + 13x2 + x +1, para los cuales la tangente forma un ángulo de 45º con OX.
43Dada la función f(x) = tg x, hallar el ángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la función f(x) en el origen, con el eje de abscisas.
44Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = lntg 2x en el punto de abscisa: x = π/8.
45Hallar los coeficientes de la ecuación y = ax 2 + bx + c, sabiendo que su gráfica pasa por (0, 3) y por (2, 1), y en este último punto su tangente tiene de pendiente 3.
46La gráfica de la función y = ax2 + bx + c pasa por los puntos (2, 3) y (3, 13). Siendo la tangente a la misma en el punto de abscisa 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Hallar el valor numérico de a, b y c.
47Dada la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, determina a, b, c y d; sabiendo que la curva pasa por los puntos (−1, 2) (2, 3), y que las tangentes a el las en los puntos de abscisa 1 y −2 son paralelas al ejes de abscisas.
48¿En qué punto de la curva y = ln x, la tangente es paralela a la cuerda que une los puntos (1, 0) y (e, 1)?
49La ecuación de un movimiento circular es: φ (t) = ½t². ¿Cuál es la velocidad y la aceleración angulares al cabo de siete segundos?
50Un observador se encuentra a 2000 m de la torre de lanzamiento de un cohete. Cuando éste despega verticalmente mide la variación del ángulo Φ (t) que forma la línea visual que le une con el cohete y la del suelo horizontal en función del t iempo
transcurrido. Sabiendo que Φ'(t) = Π/3, se pide:
1. ¿Cuál es la altura del cohete cuando Φ = Π/3 radianes?
2. ¿Cuál es la velocidad del cohete cuando Φ = Π/3 radianes?
51Se bombea gas a un globo esférico a razón de 6m 3 /min. Si la presión se mantiene constante. ¿Cuál es la velocidad con la que cambia el radio del globo cuando el diámetro mide 120 cm?
Ejercicios y problemas de derivadas (aplicación física)52Calcular las derivadas en los puntos que se indica:
1 en x = -5.
2 en x = 1.
3 en x = 2.
4 en x = 3.
53Dada la curva de ecuación f(x) = 2x 2 − 3x − 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.
54¿Cuál es la velocidad que l leva un vehículo se mueve según la ecuación e (t) = 2 − 3t 2 en el quinto segundo de su recorrido? El espacio se mide en metros y el t iempo en segundos.
Se pide:
1. Verificar que la población es función continua del t iempo.
2. Calcular la tasa de variación media de la población en los intervalos [0, 2] y [0, 4].
3. Calcular la tasa de variación instantánea en t = 4.
INTEGRALES
Ejercicios de integrales inmediatas
Resolver las siguientes integrales:
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Calcular las integrales:
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Resolver las siguientes integrales exponenciales:
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Calcular las integrales:
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85
Resolver las integrales:
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2
4
5
6
6 Calcular las integrales:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
7 Resolver las integrales:
1
2
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4
5
8 Calcular las integrales:
1
2
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1
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10
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El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.
Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con
una nueva variable t , de modo que se obtenga una integral más sencilla.
Pasos para integrar por cambio de variable
1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:
Se despeja u y dx, sustituyendo en la integral:
2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:
3º Se vuelve a la variable inicial :
El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:
Ejercicios de integración por partes
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Integrales tr igonométricas Potencias pares de sen x o cos x
Se aplica el seno y coseno del ángulo mitad :
Potencias impares de sen x o cos x
Se relacionan el seno y el coseno mediante la fórmula:
Con exponente par e impar
El exponente impar se transforma en uno par y otro impar.
Productos de tipo sen (nx) · cos (mx)
Se transforman los productos en sumas :
REALICE:
1
2
4
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6
7
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9
10
11
12
13 Calcular las integrales:
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33
Sustitución trigonométricaExpresión en el integrando
Sustitución trigonométrica
Ejemplos
Integrales racionales
En las integrales racionales suponemos que el grado del numerador es menor que del denominador, si no fuera así se dividiría.
Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador, descomponemos el denominador en factores.
Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos con los siguientes tipos de integrales racionales:
1º Integrales racionales con raíces reales simples
La fracción puede escribirse así:
Los coeficientes A, B y C son números que se obtienen efectuando la suma e identif icando coeficientes o dando valores a x.
2º Integrales racionales con raíces reales múltiples
La fracción puede escribirse así:
3º Integrales racionales con raíces complejas simples
La fracción puede escribirse así:
Esta integral se descompone en una de tipo logarítmico y otra de tipo Arco tangente.
5
1
En las integrales racionales suponemos que el grado del numerador es menor que del denominador, si no fuera así se dividiría.
Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador, descomponemos el denominador en factores.
Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos con los siguientes tipos de integrales racionales:
1º Integrales racionales con raíces reales simples
La fracción puede escribirse así:
Los coeficientes A, B y C son números que se obtienen efectuando la suma e identif icando coeficientes o dando valores a x.
Ejemplo
Área entre una función y el eje de abscisas
1. La función es positiva
Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:
Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:
1º Se calculan los puntos de corte con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.
2º El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los puntos de corte.
2. La función es negativa
Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por un viene dada por:
3. La función toma valores positivos y negativos
En ese caso en el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos:
1º Se calculan los puntos de corte con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.
2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración.
3º El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.
Área comprendida entre dos funciones
El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo.
Volumen de una función
El volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la curva f(x) alrededor del eje OX y limitado por x = a y x = b, viene dado por:
Ejercicios de áreas de funciones
1 Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x 2 y el eje OX.
2 Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva y = ln x entre el punto de corte con el eje OX y el punto de abscisa x = e.
3 Hallar el área l imitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8.
4 Calcular el área limitada por la curva y = 6x 2 − 3x3 y el eje de abscisas.
5 Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x3 − 6x2 + 8x y el eje OX.
6 Calcular el área del círculo de radio r.
7 Hallar el área de una elipse de semiejes a y b.
8 Calcular el área limitada por la curva y = x 2 -5x + 6 y la recta y = 2x.
9 Calcular el área limitada por la parábola y 2 = 4x y la recta y = x.
10 Calcular el área l imitada por las gráficas de las funciones 3y =x 2 e y = −x 2 + 4x.
11 Calcula el área de la f igura plana l imitada por las parábolas y= x 2 − 2x, y = −x 2 + 4x.
12 Hallar el área de la región limitada por las funciones:
y = sen x, y = cos x, x = 0.
Ejercicios de volúmenes de funciones
1 Hallar el volumen engendrado por las superficies limitadas por las curvas y las rectas dadas al girar en torno al eje OX:
y = sin x,x = 0,x = π
2 Calcular el volumen del cil indro engendrado por el rectángulo l imitado por las rectas y = 2, x = 1 y x = 4, y el eje OX al girar alrededor de este eje.
3 Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por el trapecio que
limita el eje de abscisas, la recta y = x + 2 y las coordenadas correspondientes a x = 4 y x = 10, al girar alrededor de OX.
4 Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 2x − x 2 , y = −x + 2.
5 Calcular el volumen engendrado por la rotación del área limitada por la parábola y 2 = x y la recta x = 2, alrededor del eje OY.
6 Calcular el volumen de la esfera de radio r.
7 Hallar el volumen del el ipsoide engendrado por la elipse 16x 2 + 25y2 = 400, al girar:
1 Alrededor de su eje mayor.
2 Alrededor de su eje menor.
