Guia Conjuntos Sena

Captulo 2

Conceptos bsicos sobre teora de conjuntos

Captulo 2

CONCEPTOS BSICOS SOBRE TEORA DE CONJUNTOS

2.1 DEFINICIONES:

2.1.1 Conjunto: Trmino bsico no definido.

Concepto intuitivo: Lista, coleccin o clase de objetos, bien definidos.

Notacin: por letras maysculas. Sus elementos por letras minsculas.

Se puede definir :

Por extensin (o forma tabular): se enumera cada uno de los elementos del conjunto.

Ejemplo: A = {-2,1,3,4}

Por comprensin (o forma constructiva): cuando se enuncia una propiedad que

deben tener sus elementos.

Ejemplo: B = {x/x es nmero racional}

C = {x/x = 2n-1 + 1, n(N}

2.1.2 Relacin de pertenencia: Para indicar que un elemento pertenece o no a un

conjunto se utiliza los signos

y

respectivamente.

2.1.3 Conjuntos numerables y no numerables: Un conjunto es numerable si consta de un cierto nmero de elementos distintos donde el proceso de contar puede acabar, si no acaban el conjunto es no numerable.

2.1.4 Conjunto vaco: Carece de elementos. Se denota por el smbolo ( { } y se

representa por (

A

{

}

A

x

A

x

x

=

2.1.5 Conjunto unitario: Es el que tiene un solo elemento.

2.1.6 Conjunto universal: Es un conjunto que contiene todos los conjuntos que

se estn tratando, (tambin se le conoce como Referencial).

Smbolo: U y se representa por U = {x/x( A ( x (A; siendo A cualquier conjunto}

2.1.7 Igualdad de conjuntos: Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los

mismos elementos. Es decir, A es igual a B si cada elemento que pertenece a A pertenece tambin a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece tambin a A.

Se denota la igualdad de los conjuntos A y B por A = B.

2.1.8 Subconjunto: sean A y B dos conjuntos. Se dice que A es un subconjunto de

B, (A

B), si y solo si todo elemento de A es tambin elemento de B.

: smbolo de subconjunto o contenencia, inclusin.

Simblicamente:

(

)

(

)

B

x

A

x

x

B

A

"

B

A

se lee A es un subconjunto de B o

A

B

B es un superconjunto de A

B

A

se lee A no es un subconjunto de B o

B no es un superconjunto de A

Propiedades de la inclusin:

i) El conjunto vaco, (, se considera subconjunto de

todo conjunto.

ii)Si A no es subconjunto de B, es decir,

B

A

;

entonces hay por lo menos un elemento de A que no

es elemento de B.

iii)Todo conjunto es subconjunto de si mismo, es

decir, si A es cualquier conjunto entonces

A

A

*

Demostrar las propiedades anteriores.

*

Teorema: si

B

A

y

C

B

implica que

C

A

(Demostrarlo).

Notas:1) Con la definicin de subconjunto se puede dar

de otra forma la definicin de la igualdad de

conjuntos; as:

Dos conjuntos A y B son iguales, A = B, si y

slo si

B

A

y

A

B

.

Simblicamente:

A

B

B

A

B

A

=

2) La igualdad de conjuntos es una relacin de

equivalencia. (Por qu?)

2.1.9 Subconjunto propio: Ya que todo conjunto A es subconjunto de si mismo,

se dice que B es un subconjunto propio de A, si:

i) B es un subconjunto de A, y

ii) B no es igual a A

Es decir, B es subconjunto propio de A si:

A

B

y

A

B

En algunos textos B es subconjunto de A se denota por

A

B

, y B es subconjunto propio de A, se denota por

A

B

2.1.10 Comparabilidad: Dos conjuntos A y B son comparables si

B

A

o

A

B

, es

decir, si uno de los conjuntos es subconjunto del otro.

Simblicamente:

A y B son comparables

A

B

B

A

Dos conjuntos A y B se dicen no comparables si

A

B

B

A

2.1.11 Familia de conjuntos: Es el conjunto formado por elementos que son conjuntos.

Para designar familias o clases de conjuntos se emplean letras inglesas:

A, B, C, D, E, ....

Ya que las maysculas denotan sus elementos.

2.1.12 Conjunto potencia: Se define el conjunto potencia o conjunto de partes de un

conjunto dado A como el conjunto de todos los subconjuntos de A. Se representa como P (A).

Con:

n(A): nmero de elementos de A.

n[P (A)]: nmeros de elementos de P (A).

2.1.13 Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos A y B son disjuntos si y slo si

no tienen elementos comunes.

2.1.14 Diagramas:

(Venn-Euler: Se representa un conjunto mediante un rea plana, generalmente

crculos.

Ejemplo:

A

BB ( A

( Lineales:

Se establece la representacin mediante lneas donde se identifican rdenes jerrquicos.

Ejemplo:

1) A ( BSe representa:

2) Si A ( B y B ( C, entonces se representa:

3) Sean los conjuntos:

A = {1};B = {1, 2};C = {1, 2, 3};D = {1, 2, 4}

Su representacin lineal sera:

2.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON CONJUNTOS

2.2.1 Unin:

Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de U. Si sobre U se aplica la funcin proposicional x ( A v x ( B, entonces se obtiene un nuevo conjunto llamado la unin de A y B, es decir:

A U B = {x/x ( A v x ( B}

Representacin:

A) Simblica:x ( (A U B) ( x ( A v x ( B

B) Grfica:

A B

A U B

Propiedades:

1. Idempotencia:A U A = A

2. Identidad:A U ( = A;A U U = U

3. Conmutativa:A U B = B U A

4. Asociativa:A U (B U C) = (A U B) U C

5. Adicin:A ( (A U B);B ( (A U B)

2.2.2 Interseccin:

Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de U. Si sobre U se aplica la funcin proposicional x ( A ( x ( B, se obtiene un nuevo conjunto llamado la interseccin de A con B, es decir:

A ( B = {x/x ( A ( x ( B}

Representacin:

A) Simblica:x ( (A ( B) ( x ( A ( x ( B

B) Grfica:

A B

A ( B

Propiedades:

1. Idempotencia:A ( A = A

2. Identidad:A ( ( = (;A ( U = A

3. Conmutativa:A ( B = B ( A

4. Asociativa:A ( (B ( C) = (A ( B) ( C

5. Distributiva:a) A ( (B U C) = (A ( B) U (A ( C)

b) A U (B ( C) = (A U B) ( (A U C)

6. (A ( B) ( A;(A ( B) ( B

7. Si A y B son disjuntos entonces A ( B = (

2.2.3 Complemento:

El complemento de un conjunto A es el conjunto de elementos que no pertenecen a A.

El complemento de A se denota por A, o por Ac, o por

A = {x/x ( A}

Representacin:

A) Simblica:x ( A ( x ( A ( ( (x ( A)

B) Grfica:

A A

Propiedades:

1. (A) = A(Complemento del complemento)

2. A U A = U(Tercer excluido)

3. A ( A = ((Contradiccin)

4. (A U B) = A ( B(Leyes de De Morgan)

(A ( B) = A U B

5. U = (; ( = U

2.2.4 Diferencia:

Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de U. Si sobre U se aplica una funcin proposicional x ( A ( x ( B, se obtiene un nuevo conjunto llamado diferencia entre A y B.

Notacin: La diferencia entre A y B se designa por A B.

A B = {x/x ( A ( x ( B}

Representacin:

A) Simblica:x ( (A B) ( x ( A ( x ( B

B) Grfica:

AB

A - B

Propiedades:

1. A B = A ( B

2. A A = (

3. A - ( = A

4. ( - A = ( , U A = A

5. A B = B - A ( A = B

6. (A - B) - C ( A - (B - C)

7. (A - B) ( A

NOTA: A-B ( B-A (No cumple con la propiedad conmutativa excepto cuando A=B).

2.2.5 Diferencia simtrica:

Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de U. Si sobre U se aplica una funcin proposicional x ( (A(B) ( x ( (A(B), se obtiene un nuevo conjunto llamado la diferencia simtrica entre A y B.

Notacin: Se designa la diferencia simtrica entre los conjuntos A y B por A ( B.

A ( B={x/x ( (A(B) ( x ( (A(B)}

Representacin:

A. Simblica:

x((A ( B) ( x((A(B) ( x

(A(B)

B. Grfica:

A B

A ( B

Propiedades:

1. A(B ( B(A

2. (A(B)(C = A ( (B(C)

3. A(( = A

4. A(A = (

5. (A(B)(C = (A(C) ( (B(C)

6. A(B = (A-B)U (B-A)

7. A(B = (A U B)-(A(B)

2.2.6 Operaciones con conjuntos comparables:

Las operaciones de unin, interseccin, diferencia y complemento tienen propiedades sencillas cuando los conjuntos de que se trata son comparables.

Teoremas:

1. A ( B implica A ( B = A

2. A ( B implica A U B = B

3. A ( B implica B( A

A ( B implica A U (B - A) = B

Nota: 1. Probar los anteriores teoremas (mediante grficas).

2. Demostrar dichos teoremas (justificando cada paso).

2.2.8 Principio de dualidad en (B, U( (:

Toda proposicin o identidad algebraica deducible de los postulados de un lgebra booleana de conjuntos (B, U( ( sigue vlida s todas las operaciones (U( e (( y los elementos identidad ( y U son intercambiados.

Si una proposicin o una expresin se obtiene de otra por una sola aplicacin del principio de dualidad, la segunda se llama la DUAL de la primera y viceversa.

Ejemplos:

1. (a)A U A = A(b) A ( A = A(Dual de (a)).

2. (a)A U U = U(b) A ( ( = ( (Dual de (a)).

3. (a)A U (A ( B) = A(b) A ( (A U B) = A (Dual de (a)).

Nota: Hallar expresiones que cumplan con el principio de dualidad.

2.3 NMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO

Si A es un conjunto, se denota con n(A) el nmero de elementos de A.

Sea V = {x/x es vocal};n(V) = 5.

Sea P = {x/x es # primo par};n(P) = 1.

Sea N = {x/x es divisor de 5};n(N) = 2.

Entonces podemos analizar dos casos:

A) Si se dan conjuntos A y B disjuntos, es decir, A ( B = (, entonces el nmero de elementos en la unin de A y B es igual a la suma del nmero de elementos de A y el nmero de elementos de B.

Luego:Si A ( B = ( entoncesn(A U B) = n(A) + n(B).

Ejemplo:

Sea A = {a, b, c, d}y B = {m, n, o, p, q}entonces:

n(A) = 4;n(B) = 5;A ( B = (

A U B = {a, b, c, d, m, n, o, p, q}

n(A U B) = n(A) + n(B) = 4 +5 = 9.

B) Si se dan dos conjuntos A y B tales que A ( B ( (, es decir, no son disjuntos. Se puede obtener el nmero de elementos de A U B de la siguiente forma:

n(A U B) = n(A) + n(B) n(A ( B) (*)

Ejemplo.

Sean A = {x/ -3 < x < 4, x ( Z}y B = {x/ 2 ( x ( 6, x ( Z}

Entonces:n(A) = 6;n(B) = 5yA ( B = {2, 3}

n(A ( B ) = 2 A U B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6};n(A U B) = 9.

Aplicando (*) tenemos: como

B

A

(

n(A U B) = n(A) + n(B) n(A ( B)

n(A U B) = 6 + 5 - 2 = 9 .

Si A ( B = ( entonces n(A ( B) = 0, puede entonces generalizarse:

(A, B; n(A U B) = n(A) + n(B) n(A ( B)

Nota: Es posible derivar frmulas para el nmero de elementos de un conjunto formado por la unin de ms de dos conjuntos.

Para tres conjuntos:

n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) n(A(B) n(A(C) n(B(C) + n(A(B(C)

OBSERVACIN: Las anteriores frmulas tienen demostracin formal.

Ejemplo:

Un alumno de la facultad, efecta una encuesta sobre un grupo de 100 estudiantes, acerca de los hbitos de estudio en la Biblioteca de Ingeniera y aporta los siguientes datos:

Estudian trigonometra: 40

Estudian lgebra:55

Estudian geometra:55

Estudian trigonometra y lgebra: 15

Estudian trigonometra y geometra:20

Estudian lgebra y geometra:30

Estudian las tres materias:10

No van a la biblioteca: 5

Puede asegurarse que la encuesta realizada es correcta?

Desarrollo:

SeanT = {x/x estudia trigonometra}

A = {x/x estudia lgebra}

G = {x/x estudia geometra}

Observacin: Para desarrollar esta clase de ejercicios se recomienda:

A) Dibujar el diagrama de Venn y ubicar los datos dados.

B) Se debe iniciar por aquel que puede sealarse con certeza.

C) Una vez que el diagrama se completa, se puede leer el nmero de estudiantes que estudia cualquier combinacin de materias.

Grficamente:

T A

15 520

10

10 20

15 G

5 U

Analticamente:

n(T U A U G) = n(T) + n(A) + n(G) n(T(A) n(T(G) n(G(A) + n(T(A(G)

n(T U A U G) = 40 + 55 + 55 - 15 - 20 - 30 + 10 = 95

95 Estudiantes que asisten a la biblioteca.

100 95 = 5 Estudiantes que no asisten a la biblioteca.

Por lo tanto la encuesta est bien realizada.

2.4 EJERCICIOS RESUELTOS

1) Representar grficamente:

[(A(B)U(C-B)] (B

U U

A B A B

C C

A(A(B)

U U

A B AB

C C

(C-B)(A(B)U(C-B)

U U

A B AB

C C

B[(A(B)U(C-B)] (B

2) Expresarlo simblicamente

a) U b) U

A B PD

C F

(AUBUC)U[(B(C)-A](D-F)U[F-(PUD)]

3) Sean los conjuntos: N = [d, i) E = (e, z) Z = [d, e]

Siendo e, d, z, i ( Re.

Con d < i < e < z

Hallar:

a) (N(Z)-E = ?

d i e z

N(Z = [i, e]

(N(Z)-E = [i, e]

d i e z

b)[(E(Z)(Z]UN = ?

E(Z = (

d i e z

(E(Z)(Z = Z = [d, e]

[(E(Z)(Z]UN = [d, e]

d i e z

c) [(Z-N) (Z]((NUE) = ?

Z-N = [i, e]

d i e z

(Z-N) (Z = [i, e]

d i e z

NUE = [d, i) U (e, z)

d i e z

[(Z-N) (Z]((NUE) = [d, z)

d i e z


A = {x/ x >-10, x( Z+}D = {x/ 20 < x ( 30, x( F}

B = {x/ -5 ( x < 15, x( Z}E = {x/ 7< x ( 50, x( Q}

C = {x/ x ( 100, x( Re}

Donde F es el conjunto formado por las expresiones de la forma m/n no reducibles con m y n ( Z+

Hallar:

a) A(B = {x/ 0 < x < 15, x( Z+}

(A(B)-D = {x/ 0 < x < 15, x( Z+}

Z+

( [ )

-10 -5 Z 15

b) (DUC)(B = x ((-(, 100] ( x ({-5, -4, -3, -2 12, 13, 14}

{x/(x ( 100, x( Re) ( ((-5 ( x ( 14, x(Z)}

DUC = {x/ x ( 100, x( Re}

Re

(]]

20 F 30100

c) (A-C)U(C(D) = {x/ (x > 100, x( Z+) ( (20 < x ( 30, x( F)}

A-C = {x/ x > 100, x( Z+}C(D = {x/ 20 < x ( 30, x( F}

Z+

(]

-10 Re100

d) (B(A) ( (E-D) = {x/ 15 ( x ( 50, x( Z}

B(A = {x/ -5 ( x < 0 ( x ( 15, x( Z}

Z+

( [ )

-10 -5 Z 15

E-D = {x/ (7< x ( 20, x( Q) ( (20 < x ( 30, x( Z) ( (30 < x ( 50, x( Q)}

Q

( ( ] ]

7 20 F 30 50

e) (E(B)((CUE) = {x/ (x < 7, x( R) ( (7 < x < 15, x( F) ( (7 < x < 15, x( Q) (

(15 ( x ( 100, x( R)}

E(B = {x/ 7 < x < 15, x( Z}CUE = {x/ x ( 100, x( Re}

Z

Q

[()]

-571550

5) En una encuesta a 200 estudiantes, se hall que:

1) 68 se comportan bien.

2) 138 son inteligentes.

3) 160 son habladores.

4) 120 son habladores e inteligentes.

5) 20 estudiantes se comportan bien y no son inteligentes.

6) 13 se comportan bien y no son habladores.

7) 15 se comportan bien y son habladores, pero no son inteligentes.

Cuntos de los 200 estudiantes entrevistados no se comportan bien, no son habladores y no son inteligentes?.

Solucin: El problema da como datos

n(B) = 68n(I) = 138n(H) = 160

n(H(I) = 120n(B(I) = 20

n(B(H) = 13n(B(H(I) = 15

Se pide hallar: n(B(H(I) = ?

BH

51525

40

8 80

9 17

I

Primero se ubica en el diagrama de Venn n(B(H(I) = 15 luego n(B(I) = 20, despus n(B(H) = 13, como se sabe n(B) = 68 se puede saber (restando) n(B(H(I) = 40. Se puede ubicar despus n(H(I) = 120, y por ltimo se saca el nmero de personas que son nicamente inteligentes y nicamente habladores teniendo n(I) = 138 y n(H) = 160 (restando).

Ahora bien si hay 200 estudiantes (se resta a esta cantidad (todo) las dems del diagrama de Venn).

n(B(H(I) = 17

Otra forma:

n(B(H(I) = n(BUHUI)

n(BUHUI) = n(B) + n(H) + n(I) n(B(H) n(B(I) n(H(I) + n(B(H(I)

n(BUHUI) = 68 + 160 + 138 55 48 120 + 40 = 183

n(BUHUI) = 200 183 = 17

6) Al final del semestre se hizo una encuesta sobre las materias que ms perdi la gente: Contabilidad, Administracin y Qumica.

Siendo la clase de 60 alumnos, se tiene:

n(C(A(Q) = 2n(A(Q) = 8n(C(Q) = 10

n(C(A) = 7n(C) = 25n(A) = 15n(Q) = 35

Expresar simblicamente y hallar el nmero de personas de:

a) Cuntos fracasaron exactamente en una prueba?

b) Cuntos aprobaron las 3 pruebas?

c) Cuntos fracasaron en la 1era y en la 3era, pero no en la segunda?

d) Cuntos fracasaron al menos en dos pruebas?

e) Cuntos aprobaron al menos una materia?

f) Cuntos aprobaron la 2da la 3era pero no la 1era?

Solucin:

U

CA

102

5

2

8 6

19

8 Q

a) n[(C(A)(Q] = 31

b) n(CUAUQ) = 8

n(CUAUQ) = n(C) + n(A) + n(Q) n(C(A) n(C(Q) n(A(Q) + n(C(A(Q)

n(CUAUQ) = 25 + 15 + 35 7 10 8 + 2

n(CUAUQ) = 52

n(CUAUQ) = 60 52 = 8

c) n[(C(Q) (A] = 8

n(C(Q) = 10 (((((

A (

U

C A

Q

La respuesta es la parte que tiene el doble rayado.

d) n{[(C(A) (C(A(Q)]U[(C(Q) (C(A(Q)]U(A(Q)} = 21

e) n[U (C(A(Q)] = 58

f) n[(AUQ) (C] = 23

U

C A

10 5 2

2

8 6

19 8

Q

(A( U Q((( ) (C = 23

7) Simplificar:

[(A(B)U(B-A)]U{[(A(B)UB] ( (D(D)}

[(A-B)U(B-A)]U{[(A(B)UB] ( (}Propiedad de diferencia, y de contradiccin

(A(B)U(Propiedad de diferencia simtrica, y de

identidad

A(BPropiedad de identidad

8) Demostrar:

AU(A(B) = AUB

((x)x( [AU(A(B)] ( ((x) [x( A ( x( (A(B)]Definicin unin

( ((x) [x( A ( (x( A ( x( B)]Definicin intercepcin

( ((x) [x( A ( (x( A ( x( B)]Definicin complemento

( ((x) [(x( A ( x( A) ( (x( A ( x( B)] Postulado de

distributividad (P.D)

( ((x) [V ( (x( A ( x( B)] Postulado del tercero

excluido

( ((x) (x( A ( x( B)Postulado de la identidad

(P.I)

( ((x) x((AUB)Definicin de unin

9) Demostrar:

A-(A(B) = A-B

((x) x( [A-(A(B)] ( ((x) [x( A ( x( (A(B)]Definicin de diferencia

( ((x) [x( A ( ( (x(A ( x( B)]Definicin interseccin

( ((x) [x( A ( (x( A ( x( B)]Teorema de De Morgan

(T.DD.M)

( ((x) [(x( A ( x( A) ( (x( A ( x( B)] Postulado de


( ((x) [F ( (x( A ( x( B)] Postulado de la contradiccin

( ((x) (x( A ( x( B) Postulado de la identidad (P.I)

( ((x) x( (A -B) Definicin de diferencia.

10) Demostrar:

(A-B)-(A-C) = A( (C-B)

((x) x( [(A-B)-(A-C)] ( ((x) [ x( (A-B) ( x( (A-C)]Definicin de

diferencia

( ((x) [(x( A ( x( B) ( ( (x( A ( x( C)] Definicin de

diferencia

( ((x) [(x( A ( x( B) ( (x( A ( x( C)] Teorema de De

Morgan (T.DD.M) y

teorema de la doble

negacin.

( ((x) {[(x( A ( x( B)( x( A ]([(x( A ( x( B) ( x( C]}

Postulado de la distributividad (P.D)

( ((x) {[(x( A ( x( A)( x( B ]([(x( A ( x( B) ( x( C]}

Postulado de la conmutatividad (P.C),

Teorema de la asociatividad (T.AS)

( ((x) {(F ( x( B ] ( [(x( A ( x( B) ( x( C]}

Postulado de la contradiccin

( ((x) {F ( [x( A ( (x( C ( x( B)]}

Postulado de la identidad (P.I),



( ((x) [x( A ( (x( C ( x( B)]

Postulado de la identidad (P.I)

( ((x) [x( A ( x( (C-B)] Definicin de diferencia

( ((x) x([A ( (C-B)]Definicin de interseccin

11) Demostrar:

A(B = (A-B)U(B-A)

((x) x( [(A-B)U(B-A)] ( ((x) [x( (A-B) ( x( (B-A)]Definicin de unin

( ((x) [(x( A ( x( B) ( (x( B ( x( A)]

Definicin de diferencia

( ((x) {[(x( A ( x( B) ( x( B] ( [(x( A ( x( B) ( x( A)]

Postulado de distributividad (P.D)

( ((x) {[(x( A ( x( B) ( (x(B ( x( B)] ( [(x( A ( x( A)

( (x(B ( x( A)]}Postulado de distributividad (P.D)

( ((x) {[(x( A ( x( B) ( V] ( [V ( (x( B ( x( A)]}

Postulado del tercero excluido

( ((x) [(x( A ( x( B) ( (x( B ( x( A)]

Postulado de la identidad (P.I)

( ((x) [(x( A ( x( B) ( (x( A ( x( B)]

Postulado de la conmutatividad (P.C)

( ((x) [(x( A ( x( B) ( ( (x( A ( x( B)]

Teorema de De Morgan (T.DDM)

( ((x) [x( (AUB) ( x( (A(B)]

Definiciones: unin, interseccin

( ((x) [x( (A(B)]Definicin de diferencia simtrica

12) Demostrar:

B ( (AUB)

[B ( (AUB)] ( ((x) [x( B ( x( (AUB)] Definicin de subconjunto

( ((x) [x( B ( x( (AUB)] Definicin de relacin de implicacin

( ((x) [x( B ( (x( A ( x( B)] Definicin de unin

( ((x) [x( B ( (x( A ( x( B)] Definicin de condicional (D.C)

( ((x) [(x( B ( x( B) ( x( A)] Postulado de la conmutatividad (P.C)

Teorema de la asociatividad

( ((x) (V ( x( A)Postulado del tercero excluido

( ((x) VTeorema de la tautologa (T.T)

13) Demostrar:

A ( B ( B( A

(A ( B ( B( A) ( ((x) [x( (A ( B ( B( A)]Definicin de relacin de

implicacin

( ((x) [(x( A ( x( B) ( (x( B( x( A)]

Definicin de subconjunto

( ((x) [(x( A ( x( B) ( (x( B( x( A)]

Definicin de relacin de

implicacin

( ((x) [(x( A ( x( B) ( (x( B ( x( A)]

Definicin de complemento

( ((x) [((x( A ( x( B) ( (x( B ( x( A)]

Definicin de condicional

( ((x) [((x( A ( x( B) ( (x( B ( x( A)]


( ((x) [((x( A ( x( B) ( (x( A ( x( B)]


( ((x) V Postulado del tercero excluido

14) Demostrar:

(E-F)-G ( E-(F-G)

((x) x( [(E-F)-G] ( x( [E-(F-G)]Definicin de subconjunto

( ((x) x( [(E-F)-G] ( x( [E-(F-G)]Definicin de relacin de implicacin

( ((x) {[(x( E ( x( F) ( x( G] ( [x( E ( ( (x( F ( x( G)]}

Definicin de diferencia

( ((x) {( [(x( E ( x( F) ( x( G] ( [x( E ( ( (x( F ( x( G)]}


( ((x) {[( (x( E ( x( F) ( x( G] ( [x( E ( (x( F ( x( G)]}

Teorema de De Morgan (T.DDM), y

Teorema de la doble negacin

( ((x) {[(x( E ( x( F) ( x( G] ( [x( E ( (x( F ( x( G)]}


( ((x) {[(x( E ( x( F) ( x( G] ( [(x( E ( x( F) ( (x( E ( x( G)]}

Postulado de la distributividad (P.D)

( ((x) {[(x( E ( x( F) ( (x( E ( x( F)] ( [x( G ( (x( E ( x( G)]}



( ((x) {[( (x( E ( x( F) ( (x( E ( x( F)] ( [x( G ( (x( E ( x( G)]}


( ((x) {V ( [x( G ( (x( E ( x( G)]}Postulado del tercero excluido

( ((x) VTeorema de la tautologa (T.T)

15) Demostrar:

A ( B ( AUB = B

a) A ( B ( (AUB) ( B

b) A ( B ( B ( (AUB) Definicin de igualdad

a)

((x) {(x( A ( x( B) ( [x( (AUB) ( x( B]}Definicin de subconjunto

((x) {(x( A ( x( B) ( [x( (AUB) ( x( B]}Definicin de relacin de

implicacin

((x) {(x( A ( x( B) ( [(x( A ( x( B) ( x( B]} Definicin de unin

((x) {( (x( A ( x( B) ( [( (x( A ( x( B) ( x( B]} Definicin de condicional

((x) {( (x( A ( x( B) ( [(x( A ( x( B) ( x( B]} Teorema de De Morgan (T.DDM)

((x) {( (x( A ( x( B) ( [(x( A ( x( B) ( (x(B ( x( B]} Postulado de


((x) {( (x( A ( x( B) ( [(x( A ( x( B) ( V]}Postulado del tercero excluido

((x) [( (x( A ( x( B) ( [(x( A ( x( B)]Postulado de identidad

((x) VPostulado del tercero excluido

(

b)

((x) {(x( A ( x( B) ( [x( B ( x( (AUB)]}Definicin de subconjunto

((x) {(x( A ( x( B) ( [x( B ( x( (AUB)]}Definicin de relacin de

implicacin

((x) {(x( A ( x( B) ( [x( B ( (x( A ( x( B)]} Definicin de unin

((x) {( (x( A ( x( B) ( [x( B ( (x( A ( x( B)]} Definicin de condicional

((x) {( (x( A ( x( B) ( [(x( B ( x( B) ( x( A]} Postulado de la conmutatividad

(P.C), Teorema de la asociatividad (T.AS)

((x) [( (x( A ( x( B) ( (V ( x( A)}] Postulado del tercero excluido

((x) [( (x( A ( x( B) ( V] Teorema de la tautologa (T.T)

((x) V Teorema de la tautologa (T.T)

Entonces a) V ( b) V

VPor teorema de idempotencia

18) Si A y B son conjuntos disjuntos entonces A(B = (

a)

((x) {[(x( A ( x( B) ( (x( B ( x( A)] ( x( [(A(B) ( (]}

Definicin de conjuntos disjuntos

((x) {[(x( A ( x( B) ( (x( B ( x( A)] ( [x( (A(B) ( x( (]}


((x) {[(x( A ( x( B) ( (x( B ( x( A)] ( [x( (A(B) ( x( (]}

Definicin de relacin de implicacin

((x) {[(x( A ( x( B) ( (x( B ( x( A)] ( [(x( A ( x( B) ( x( (]}

Definicin de interseccin

((x) {( [(x( A ( x( B) ( (x( B ( x( A)] ( [( (x( A ( x( B) ( x( (]}


((x) {( [(x( A ( x( B) ( (x( A ( x( B)] ( [( (x( A ( x( B) ( x( (]}


((x) {( (x( A ( x( B) ( [( (x( A ( x( B) ( x( (]}

Teorema de idempotencia (T. Idemp)

((x) {(x( A ( x( B) ( [( (x( A ( x( B) ( x( (]}


((x) {[(x( A ( x( B) ( ( (x( A ( x( B)] ( x( (}


((x) [V ( x( (]Postulado del tercero excluido

((x) V Teorema de la tautologa (T.T)

(

b)

((x) {[(x( A ( x( B) ( (x( B ( x( A)] ( x( [( ( (A(B)]}

Definicin de conjuntos disjuntos

((x) {[(x( A ( x( B) ( (x( B ( x( A)] ( [x( ( ( x( (A(B)]}


((x) {[(x( A ( x( B) ( (x( B ( x( A)] ( [x( ( ( x( (A(B)]}

Definicin de relacin de implicacin

((x) {[(x( A ( x( B) ( (x( B ( x( A)] ( [x( ( ( (x( A ( x( B)]}

Definicin de interseccin

((x) {( [(x( A ( x( B) ( (x( B ( x( A)] ( [x( ( ( (x( A ( x( B)]}


((x) {( [(x( A ( x( B) ( (x( A ( x( B)] ( [x( ( ( (x( A ( x( B)]}


((x) {( (x( A ( x( B) ( [x( ( ( (x( A ( x( B)]}

Teorema de idempotencia (T. Idemp)

((x) {(x( A ( x( B) ( [x( ( ( (x( A ( x( B)]}


((x) {[(x( A ( x( B) ( (x( A ( x( B)] ( x( ()}


((x) [(x( A ( x( B) ( x( ()]Teorema de la idempotencia (T.Idemp)

((x) [(x( A ( x( B) ( ( (x( A ( x( A)]Definicin del vaco

((x) [(x( A ( x( B) ( x( F]Postulado de la contradiccin

((x) [(x( A ( x( B) ( V]Definicin de tautologa

((x) VTeorema de la tautologa (T.T)

Entonces a) V ( b) V

V Por teorema de idempotencia

2.7. EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Representar grficamente:

a) [(A(C)((P-A)]U(A(C)

b) [(Q-Z)-(T(Q)] (T

c) {F( [(DUE)(E]}-D

2) Expresar simblicamente:

a) Ub) U

ABN E

C G

c) U

Q D

Z

3) Del siguiente diagrama lineal:

P

ABC

RST F KG

NZL

Q

Responder:

a) Q ( A = ?N ( A = ?L ( C = ?

S ( P = ?R ( Z = ?F ( G = ?

b) Representar dicho diagrama en forma de diagrama de Venn-Euler.

4) Representar, sombreando el rea apropiada, cada uno de los conjuntos productos que siguen en un diagrama cartesiano de R x R.

a) (-4, -1] x [-2, -5]

b) {x/ -1 < x < 3}x {x/ -3 ( x < 6}

c) {x/ x > 7} x {x/ 2 < x ( 5}

d) {x/ x < -4} x {x/ x ( 10}

5) Sean los conjuntos :

D = (x, z)M = (y, t]P = [x, t]A = [y, z)

Siendo x, y, z, t ( Re

Si t > z > y > x

Hallar:

a) (M(A)-(PUD) = ?

b) [(P(A)(M]UA = ?

c) [(D(M)-(P-A)] (D = ?

d) [(M-A)((AUP)]-D =?


M = [d, c]N = [c, a)P = (d, b]

Siendo a, b, c, d ( Re

Hallar: (M(P)-(N(P) = ?

Si a) a > b > c > d

b) b < a < d < c

c) c = b < d < a


A = {x/ 10 ( x < 20, x( Q}B = {x/ 2 < x < 15, x( F}

C = {x/ x ( 8, x( Z}D = {x/x( I}

E = {x/x( 12 < x ( 90, x( Re}

Hallar:

a) (C-A) (E = ?

b) (B(D)U(E(A) = ?

c) (AUB) ( (E(C) = ?

d) [(A-B)((C(E)](D = ?


A = {x/ x ( 30, x( Q}C = {x/ 10 ( x < 100, x( Re}

B = {x/

2

1

< x (

2

3

, x( F}D = {x/ x > 7, x( Z}

Hallar:

a) (B-C)((DUA) = ?

b) (A(C)-(D(B) = ?

c) (B(C) ( (D-A) = ?

9) Se da la siguiente informacin referente al nmero de elementos de los conjuntos A, B y C de cierto conjunto de 150 elementos:

n(A) = 85, n(B) = 70, n(C) = 55, n(A(B) = 35,

n(A(C) = 30, n(B(C) = 25, y n(A(B(C) = 20

Hallar:

a) n(AUB)

b) n(AUBUC)

c) n(A(B(C)

d) n(A(B(C)

e) n(A(B(C)

10) Un alumno de la facultad efecta una encuesta sobre un grupo de 100 estudiantes acerca de los hbitos de estudio en la biblioteca de ingenieras y aporta los siguientes datos: Estudian Fsica 40, lgebra 55, geometra 55, fsica y lgebra 15, fsica y geometra 20, lgebra y geometra 30, estudian las tres asignaturas 10, no asisten a la biblioteca 5.

Puede asegurarse que la encuesta realizada es correcta?

11) En una investigacin realizada sobre los hbitos de lectura de los estudiantes de la Universidad se encuentra que 48% leen la revista A, 50% la revista B, 30% la revista C, 20% la revista A y B, 10% las revistas B y C, 13% las revistas A y C, 10% no leen ninguna de las revistas.

Hallar el porcentaje y expresarlo simblicamente:

a) Qu porcentaje leen las tres revistas?

b) Qu porcentaje leen exactamente dos revistas?

c) Qu porcentaje leen al menos dos revistas?

d) Qu porcentaje leen la revista A o la C, pero no la B?

e) Qu porcentaje leen exactamente una revista?

f) Qu porcentaje no leen la revista B y la C, pero si la A?

12) En una encuesta hecha a 100 personas sobre sus conocimientos de idiomas result lo siguiente:

Hablan ingls 27; francs 22; italiano 12; ingls y francs 10; francs y alemn 9; ingles, francs y alemn 6; alemn e italiano 5; 19 hablan ingls pero no alemn; el nmero de los que hablan alemn es el triple de los que hablan nicamente francs; ninguno de los que hablan italiano hablan ni francs ni ingls.

Hallar el nmero de personas y expresarlo simblicamente:

a) Cuntos no hablan ninguno de los 4 idiomas?

b) Cuntos hablan nicamente alemn?

c) Cuntos saben al menos 2 idiomas?

d) Cuntos saben italiano o francs pero no ingls?

e) Cuntos no saben alemn y no saben ingls, pero saben francs?

13) Demostrar:

a) AUA =Ab) A(( = (

c) AUU = Ud) AU( = A

e) AUB = BUAf) AU(BUC) = (AUB)UC

g) A ( (AUB)h) A(U = A

i) A( (BUC) = (A(B)U(A(C)j) (A(B) ( A

k) (A) = Al) AUA = U

m) A(A = () (AUB) = A(B

o) (A(B) = AUBp) U = (

q) ( = Ur) A B = A(B

s) A A = (t) U A = A

u) A(B = B(Av) A(B = (AUB) (A(B)

w) A (B C) = (A - B)U(A(C)

x) AU(B C) = (AUB) (C A)

y) A( (B C) = (A(B) (A(C)

z) (A ( B) ( ( = (A( ()( (B ( ()

14) Demostrar:

a) Si A ( B implica A(B = A

b) Si A ( B implica AU(B A) = B

c) Si A(B = ( entonces B(A = B

d) A B es subconjunto de AUB

e) A B = B A = B implica A = B

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94

93

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