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7/11/2019 GUÍA DE ÁLGEBRA
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lgebra
Área de Matemática y Estadística
Lima – Perú
2011
7/11/2019 GUÍA DE ÁLGEBRA
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 2
GUÍA DE PRÁCTICAS DE ALGEBRA
© Derechos Reservados 2011
Prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier medio, sin autorización escrita del autor.
© Área de Matemática y EstadísticaSegunda Edición 2011
Diseño, Diagramación e Impresión
Universidad Científica del Sur
Panamericana Sur Km.19. Lima-Perú 610-6400
Tiraje 1500 ejemplares
IMPRESO EN PERÚ PRINTED PERU
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Rector
Dr. Agustín Iza Stoll
Gerente General
MBA. Jaime Tamashiro Tamashiro
Vice-Rector de Investigación
Dr. José Amiel Perez
Coordinador de Ciencias Básicas
Alejandro Fukusaki Yoshizawa
Coordinadores de Área
Biología
Joyce Del Pino Robles
Ecología
Héctor Aponte Ubillús
Matemática y Estadística
Responsable: José Dávila Tapia• Matemática: Michaels Mejía Lagos
• Estadística: Alfredo Salinas Moreno
Química
Néstor Gomero Ostos
Física
Rodolfo Andrade Bambaren
Coordinadora Honoraria
María Pía Sirvent de Luca
Asistente de la Coordinación
Rocio Zuñiga Cabrera _________________
Reservados todos los derechos: ningún material de este manual puede ser reproducido sin autorizaciónexpresa por escrito de los autores. La autorización será en hoja aparte y firmada y adosada a este material.Todo compromiso suscrito a parte, no se refiere a este manual. Queda exento del compromiso, el fotocopiadointerno en una cantidad no mayor de 100, sólo para uso con fines educativos y sin lucro.
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 4
CONTENIDO
CAPITULO I: NUMEROS REALES
1.1 Números Reales
1.2 Intervalos
1.3 Operaciones con Intervalos
CAPITULO II: ECUACIONES, INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO
2.1 Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
2.2 Inecuaciones y Valor Absoluto
CAPITULO III: EXPONENTES, EXPONENCIALES Y LOGARITMOS
3.1 Teoría de Exponentes
3.2 Ecuaciones Exponenciales
3.3 El Numero E
3.4 Logaritmos
CAPITULO IV: GEOMETRIA ANALITICA
4.1 Sistema de Coordenadas Cartesianas en el plano
4.2 La línea recta
4.3 Cónicas
4.3.1 La circunferencia
4.3.2La parábola
4.3.3L a elipse
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CAPITULO V: MATRICES Y DETERMINANTES
5.1 Matrices
5.2 Operaciones con matrices
5.3 Tipos de matrices
5.4 Determinante de una matriz
5.5 Matriz inversa
5.6 Sistema de ecuaciones lineales
BIBLIOGRAFIA
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1.1 Números Reales
Los números reales son los números que se puede escribir con anotación
decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. Elconjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y
negativos; todas las fracciones; y todos los números irracionales -- aquellos cuyos
desarrollos en decimales nunca se repiten.
Ejemplos de números irracionales son:
2 = 1.4142135623730951…
π = 3.141592653589793…
e = 2.7182818284590452…
Es muy útil representar a los números reales como puntos en la recta real, como
mostrado aquí.
Observe que los números más mayores aparecen a la derecha: Si a < b entonces
el punto corresponde a b está a la derecha del punto que corresponde a a.
Ejemplos Resueltos
1. Si ( )OP 2x 1 x 11+ = − y 1 xREC 2y
3 y
− =
, hallar el valor de ( ) ( )OP x REC y+
Solución:
- Efectuamos las operaciones
( )OP 2x 1 x 11
2x 1 x 11
10 3x
10 x3
+ = −
− − = − = =
y
1 xREC 2y
3 y
6y 1 10REC
3 3y
3 10
6y 1 3y
10y51
− =
− =
=−
=
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- Reemplazando ( ) ( ) ( ) ( )10 51 5310 10OP x REC y OP REC
3 51 3 10 30+ = + = − + =
2. Si ( )OP x 2= − y ( )( )REC OP y x= , hallar el valor de ( )( ) ( )( )OP REC y REC OP x+
Solución:
- Efectuamos la operación ( )OP x 21 x 2= − → =
- así como también ( )( ) ( ) 1REC OP y x REC y 2 y2
−= → − = → =
- reemplazando tenemos
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 31 1OP REC y REC OP x OP REC REC OP 2 22 2 2−+ = − + = + =
3. Si 5 x 1
3 2x 3
− −
es el elemento neutro aditivo en y { }32
ℜ − , hallar el valor de x
Solución:
- Efectuamos 5 x 10 x 1
3 2x 3
− = → = −
- luego el valor de x es 1.
4. Reducir 24256−−
Solución:
- Efectuamos de arriba hacia abajo 2 1 12 144 1256 256 256 4
4
− −−− −= = = =
5. Si 2
23x
−
y2
1x
2
+son inversos multiplicativos, hallar el valor de x
Solución:
- como son inversos multiplicativos, entonces el producto es 1:2
12 x 1
2 23
x
+× =
−
- resolviendo 2x x 2 x 21 1 x 2
3x 2 2x 3x 2
+ +× = → = → =
− −
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Tema: Reales
1. Si 1 4 1
33 x 5 11
− − , { }x 5∈ ℜ − es el elemento neutro de la adición. Hallar el valor
de xRpta: 49
2. Si x 1x
31
5
−+
+es un elemento de ℜ , cuyo correspondiente opuesto aditivo es
x1
8
−
, calcular x
Rpta: -1/4
3. Si 3a11
11
2
−+
+
y 3a 111
12
3
− −+
+
son inversos aditivos, calcular el valor de “a”
Rpta: 4641 1
126 6−
4. Si 41
x 11
+ + y 3
1x 8
− + son elementos inversos multiplicativos. Hallar el
valor de xRpta: 13
5. Si ( )OP 6x 7− + y 19 1REC
3
− + −
son elementos inversos multiplicativos, hallar x.
Rpta: 13/6
6. Hallar el valor de x para el cual los elementos “a” y “b” serán opuestos,
siendox x
7 82 2a 2 2
− −= − y
x
2b 2= Rpta: 7
7. Simplificar en términos de “b”: ( ) ( ) ( ) ( )3 4 229 2 3 4k a ab ab a b b−= sabiendo que 2a y 7b
son recíprocos.Rpta: b-8
8. Calcular M y N si son elementos recíprocos y M 1 2x 71
3 3
− −= − ,
( )
N 1 4x 71
5 5 x 2
+ − −− =
+
Rpta: M = 13 y N = 1/13
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9. Si x
4
y ( )3z son elementos de R opuestos, simplificar en términos de:
( ) ( ) ( )E 2 x z 3 4x z 5 2x 2z= + + + + − Rpta: 293x/12
10. Simplificar ( )4 12
K OP 2x 5 REC OP REC7x 3 x 1
= + + + − −
Rpta: (-x-17)/311. Hallar el elemento reciproco del opuesto de la expresión siguiente:
1 1 1 1E 1 REC ......
2 6 18 54
= + + + + + ∞
Rpta: -1/2
12. Resolver ( ) ( )1
3OP x 1 x 5REC x16 64
−− +=
Rpta: -1/12
13. Resolver el sistema de ecuaciones:( ) ( ) ( )
( ) ( )
OP 2x 5 REC y OP 5
12OP x 2 3REC 4y REC
7
+ + = − + + =
Rpta: x = 22/7 y = 7/44
14. Si1
1x
x 2 x26 5 91
3
−
−
− − −
es el elemento neutro de la adición, hallar el valor de x
Rpta: -21/5
15. Si x 9 7
2 8
− −
es un elemento de R, cuyo reciproco es 1 14 2x x 5 x 1
8 5 4 4
− − − − +
.
Calcular el valor de xRpta: 4,7 o -3,4
16. Si los elementos de R: 1 2x2
3
− +
y 1 3x2x 7
7
− + −
son inversos aditivos,
obtener un valor para x.Rpta: 5
17. Hallar el valor de x que permita que los elementos 3x 52x
6
− +
y
13x 2 4 x
23 2
−− − − +
sean inversos multiplicativos.
Rpta: 1/6
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18. Si los elementos de R: 7a
11
11
2
++
y 7a 1
11
12
3
−
++
son opuestos, hallar “a”
Rpta: 1/13
19. Hallar el valor de x si los elementos x 2 2 xREC REC
6 x 2
+ − + + y
2
2
4 xREC OP
x
−
son inversos aditivos.Rpta: 8
20. Si ( )
( )
OP x 5a
REC 3
+= y ( )
( )
OP 3x 2b
REC 6
+= . Hallar el valor de x si: el opuesto de “a” mas
el reciproco de “1/b” es igual a 5.
Rpta: -8/15
1.2 Intervalos
Ciertos subconjuntos del conjunto de los números reales, llamados intervalos, seencuentran frecuentemente, por lo que tenemos una notación compacta pararepresentarlos.
Los puntos a y b del intervalo cerrado [a, b] se llaman sus puntos extremos.
Los Intervalos abiertos no tienen puntos extremos, y cada intervalo semiabiertotiene un solo punto extremo; por ejemplo (-1, 3] tiene 3 como su punto extremo.
Tipos de Intervalos
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1.3 Operaciones con Intervalos
Con los intervalos pueden efectuarse las operaciones siguientes:
i) ii) iii) iv)
Ejemplos
Efectuar las operaciones , , AUB A B A B y B A− −I para cada par de
intervalos dados.
1) [ [ ] ]2, y 3, 4 A B= +∞ = −
Solución
Respuestas
] [
[ ]] [
] [
3,
2,44,
3,2
AUB
A B
A B
B A
= − +∞
=− = +∞
− = −
I
Tema: Operaciones con intervalos
1.- Si: [ ]31,4∈ x hallar el intervalo que contiene a 11+− x
RPT
2.- Si: 7,3∈ x hallar el intervalo que contiene a 13 +− x
RPT
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3.- Hallar el intervalo de los valores reales que permite el opuesto de laexpresión: 1
5
3+
− x sea menor o igual que 14
RPT ∈ ∞, 25 4.- Si: ( ) 11303211 <++−<− xOP , obtener a y b sabiendo que: ( ) b xOP a <++< 874
RPT 33 77
5.- Si 9,74
1∈
+ x Hallar el intervalo que contiene a: 56 + x
RPT
6 5 ∈ 167,215
6.- Si [ )8,53
52 ∈−
+ x Hallar el intervalo al cual pertenece:21
++
x
x
RPT ∈ ,
7.- Si
−−∈
−−2
1,
4
3
4
32 x Hallar el valor de a y b si: [ ]ba x
,5
211∈
+−
RPT
,
8.- Si [ ]0,75
27−∈
−− x Hallar el valor de m y n si: [ ]nm x ,814 ∈+−
RPT 25, 95 9.- Si 9,7−∈ x demostrar que: ] [206,501142 −∈−+ x x
RPT 14 1 ∈ 50,206 10.- Si [ ) ( ]6,28,2 −== B A obtener ( )̀ B A −
RPT ∞, 6 ∪ 8,∞ 11.- Si ( ]4,05,3 == B A obtener ( ) ` B B A −∪
RPT 0,4 12.- Si 9,26,6 −=−= F E obtener ( ) ( ) F E F E −∪∩
RPT
6,6
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13.- Si a y b pertenecen a R, hallar la condición necesaria y suficiente para que
se verifique:ba
ba
ba
ba
++
>−− 3333
RPT La condición necesaria ysuficiente es de tener a y b losmismos signos
14.-Sean 0,0,0 ≥≥≥ cba elementos de R demostrar que: bcacabcba ++≥++ 222
RPT bcacabcba ++≥++ 222
15.- Demostrar que si [ ]7
11
3
3214,2 ≤
++
≤−⇒−∈x
x
RPT7
11
3
321 ≤
++
≤− x
x
16.- Si: [ ]55,21∈ x hallar el intervalo que contiene a 1703 +− x
RPT 17,107 17.- Si 11,1
4
1∈
+ x Hallar el intervalo que contiene a: 3913 − x
RPT 0,520
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2.1 Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
Ecuaciones de Primer Grado
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que sedenominan miembros de la ecuación. En ella aparecen números y letras(incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.
Ejemplo:
3 x – 2 = 10 Es una ecuación de primer grado que se verifica para x = 4
x2 – x – 6 = 0 Es una ecuación que se verifica para x = 3 y x = - 2
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES:
Las ecuaciones se clasifican de acuerdo a sus características, siendo las principales:
1.- Según el grado:
Pueden ser de primer grado, segundo grado, tercer grado, etc.
Ejemplo:
2x + 8 = 16 Es una ecuación de primer grado
x2 + 9x + 14 = 0 Es una ecuación de segundo grado
2.- Según sus coeficientes:
Pueden ser numéricos o literales:
Ejemplo:
10x – 6= 4x +19 Es una ecuación numérica
ax+ b = c Es una ecuación literal con coeficientes: a, b y c
3.- Según sus incógnitas:
Pueden ser de una, dos, tres o más incógnitas.
Ejemplo:
3x + 8= 4x – 12 Es una ecuación con una incógnita; x
x + y = 10 Es una ecuación con dos incógnitas; x e y
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x – 2y +3z = 12 Es una ecuación con tres incógnitas x, y, z
4.- Según sus soluciones:
Pueden ser compatibles o incompatibles.Compatibles: Son aquellas que tienen por lo menos una solución.
Determinada: Tiene un numero finito de soluciones
Indeterminada: T|iene un numero infinito de soluciones
Incompatibles: Son aquellas que no tienen solución.
Ejemplos:
2x + 8 = x – 7
x = – 15
Luego la ecuación es compatible y determinada porque tiene una solución.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Resolver: ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x 215142659910 ++−=−−−
2. Hallar “x”:( )
815
324
133
12 +=
+−
− x x
x x
3 Resolver: b-a,2222 sibaa xbb xa −++=+
4. Hallar los valores de a y b, para que la ecuación
a x + 3 = 5 x – 2 b, sea compatible indeterminada.
5. Resolver la siguiente ecuación: 014
312
212
3 2 =−
+=−
−+ x
x x x
6. Hallar “x” en : ( ) ( ) 1a,11 ≠++=−+ siaa xa xa
7. Resolver:( )
( )( ) a x
a
a xa x
aa
a x
a
+=
+−
−−
−
− 2121
8. Indicar el conjunto solución de:( )
36
332
993
2
2
+−
+−+
=−+ x
x
x
x
x
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9. Resolver: ( )( ) ( ) 913233 2 −=−−−+ x x x x
10. Resolver:( ) ( )
22
2
ba
ba
ba
ax
ba
ba
ba
ax
ba
xba
−
++
−
=
+
−−
+
+
−
+
11. Hallar “a”, para que la ecuación sea incompatible: a xaax 3852 +−=−+
12. Hallar “x” en: 1055
55=
−−+−++ x x
x x
Ecuaciones de Segundo Grado
Una ecuación de segundo grado es una ecuación que puede reducirse a la formageneral: 02 =++ cbxax con 0≠a
Ejemplos: 0523 2 =+− x x , 5,2,3 =−== cba ; 0432 =−− x x
4,3,1 −=−== cba
Las soluciones de la ecuación son los valores de x que al sustituirlos verifican laigualdad
Ejemplo: en la ecuación 0652 =+− x x
el valor 4= x no es solución porque 26201664542 =+−=+⋅−
el valor 2= x si es solución porque 0610462522 =+−=+⋅−
Ejercicios:
1. Escribe cada una de las siguientes ecuaciones en forma general identificandolos coeficientes a b y c
a) 0532 2 =−+− x x b) 143 2 −= x x c) 031 2 =+− x x
a) 2432 x x −= e) ( ) 212 =− x x f) )12(3)2( +=− x x x x
g) 15432 2 +−=− x x x h) ( ) 132 2 +=− x x i) ( )( ) 3232 =−− x x
(Soluciones: a) a b c= − = = −2 3 5, , b) a b c= = − =3 4 1, , c) a b c= − = =3 1 1, ,
d) a b c= = − =4 3 2, , e) a b c= = − = −2 2 2, , f) a b c= = =5 5 0, , g) a b c= = − =4 7 4, ,
h) a b c= = − =9 13 3, , i) a b c= − = = −2 7 9, ,
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2. Decir en cada ecuación si los valores que se proponen son solución o no dela ecuación
a) 01072 =+− x x ; 5,3,2,0 =−=== x x x x
b) 0252 2 =+− x x ; 3,2,2/1,1 =−=== x x x x
c) 2 3 5 02 x− − = ; x x x= − = = = −1 1 2 2, , ,
(Sol: a) no, si, no si b) no, si, no, no c) si, no, no, no )
3. En la ecuación x c2 5 0− + = , una solución es 3. ¿Cuánto vale c?(Sol: c = 6 )
4. En la ecuación x bx2 15 0+ + = , una solución es 5 ¿Cuánto vale b?(Sol: b = −8 )
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS
Si en la ecuación ax bx c2 0+ + = alguno de los coeficientes b o c es nulo, sedice que es una ecuación incompleta y se pueden resolver directamente
a) si b c= =
0 entonces la ecuación queda ax
2
0=
y la solución es x=
0 b) si b = 0 entonces la ecuación queda ax c2 0+ = ; ejemplo 3 12 02 − = ;
3 122 x = ; x2 12
34= = ; x = ± = ±4 2
c) si c = 0 entonces la ecuación queda bx2 0+ = ; Ejemplo 3 12 02 x− = se saca factor común x; ( ) x x3 12 0− = ; primer factor cero 0 segundo
factor cero 3 12 0 x − = ; 3 12= ; x = =12
34 ; 4
Ejercicios:5. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas
a) x2 0− = b) 2 02 = c) x 2 9 0− =
d) 4 9 02 x − = e) x2 2 0+ = f) 8 16 02 x+ = g) 3 4 282 2 x− = + h) x x2 9 0− = i) 2 1 0− =
j) x 2 6 10− = k)1 4 82− = − x l) x2 11 0+ = m) ( )( ) x x− + + =5 1 5 0 n) ( )( )3 2 3 2 77 x x− + =
(Sol: a) x x= =0 1, b) = 0 c) x = ±3 d) = ±3 2/ e) x x= = −0 2, f) x x= = −0 2,
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 20
g) x = ±4 h) x x= =0 9, i) = ±1 j) x = ±4 k) = ±3 2/ l) x x= = −0 11, m)
x x= =0 4, n) x = ±3
RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN COMPLETA
La ecuación de segundo grado ax bx c2 0+ + = se dice que está completacuando todos los coeficientes son distintos de cero. En este caso las soluciones se
obtienen aplicando la fórmula: xb b ac
a=
− ± −2 4
2
El valor del radicando de b ac2 4− permite saber el número de soluciones sin
necesidad de hallarlas. D b ac= −2 4 se llama discriminante.
En la discriminante: D b ac= −2 4
si D es positivo, tiene dos soluciones (signo +, signo -)
si D es cero, tiene una solución (solución doble)
si D es negativo, no tiene soluciones
Ejemplo: x
2
3 2 0− + =
en esta ecuación a b c= = − =
1 3 2, , y aplicando lafórmula
( ) ( ) x =
− − ± − − ⋅ ⋅
⋅=
± −=
±=
3 3 4 1 2
2 1
3 9 8
2
3 1
2
2
22
4
2
131 ==
+= x 1
2
2
2
132 ==
−= x
6. Calculando el discriminante, indicar el número de soluciones de lassiguientes ecuaciones:a) x2 7 3 0− + = b) x x2 16 64 0− + = c) x x2 6 13 0− + =
d) 2 14 49 0− + = e) 3 5 2 02 x x− + = f) 2 45 02 x x− − =
g) x x2 2 0+ + = h) 4 12 9 02 x x− + = i) x2 8 25 0− + =
j) x− + =2 7 02 k) x− + =5 3 02 l) 8 3 02+ + = x
Sol: a)2 b)1 c)0 d)1 e)2 f)2 g)0 h)1 i)0 j)2 k)2 l)0
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 21
7. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) 2 8 15 0− + = b) 2 9 1 02 x x− − = c) 4 12 9 02 x x− + =
d) x2
8 25 0− + = e) 4 12 9 02
+ + = f) 3 2 1 02
x − − = g) x x2 7 3 0+ + = h) 3 6 12 02 − − = i) 3 10 3 02 x − + =
j) 2 5 2 02 x− + = k) 6 5 1 02 x− + = l) 6 7 2 02 x − + =
Sol: a) 3,5 b)9 90
4
±c)
3
2d)no tiene e) −
3
2f)1
1
3,− g)
− ±7 37
2h)
6 180
6
±
i) 31
3, j) 2
1
2, k)
1
2
1
3, l)
2
3
1
2,
8. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 11 21 2 2 x x+ = b) ( )( )3 1 2 3 6 x x x− + = − c) 21 100 212 x− = + −
d) 2 1 12 2 x x x− = − − e) ( ) x − =2 32
f) ( ) ( )5 3 11 4 1 12
x x− − + =
g) ( )( )4 1 2 2 12 x x− + = h) xx x2
2
1
3
2
3− = − i) x
x2 3 1
2
2
3−
+=
Sol: a) 73
2
,− b) 0 c)11 d) −12
3
, e)4 12
2
±f) 3
1
25
,− g)17
4
,− h) −2
3
1
2
,
i) no tiene
Tema: Ecuaciones de segundo grado
I. Hallar el valor de la incógnita en cada una de las ecuaciones:
1) ( ) ( )( ) 222
742
3 =−−−− nnnn
2)9
216
3
1
62
1 aaa −+=−+
3) 162
1
4
3+=
−−
+ ccc
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 22
4)3
13
315
2
7
33 +=−+
www
5) ( )14
16112
1713 ++=++− uuu
6)10
7
5
16
2
1=
−+−
+ x x
7)9
72
3
142
6
5
5
74 +−=
+−
−−
+ nnnn
8) ( ) ( )10
1710
135
12 +=−−+ z z z
9)2
3
5
584
2
54
5
7
2
5−
−+=
−+−
x x x x
II. Halla el valor de la incógnita en cada una de las ecuaciones:
1) 22
95
3
2
2
5
x x =+
2)10
3
3u17u10
10u8u32
2
=++
−+
3)( ) ( )92
1
94
11
−=
−+
x x x
4) ( ) 402212
41
53 2
2
−− −=+−+−+ nnn
nn
nn
5)( )( )24
12
24 ++−
+=
+ x x x
x
x
x
6)2
15
2
3
1
212 +
++
=+
++
+d d d
d
d d d
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 23
7)( )( )22
15
2
3
2
1
−+−
=−
−+ aa
a
aa
8)24
13
22
11
−++
−−=
−++
−+
x x
x x x x
9) y
y
y y y 6
731
3
1
4
9
3
8
2
7 −=−+−
10)( ) 3t3
6
1t
2
1t
12 −
=+
+−
11)( )
6527
25
312
2 +++=
++
+−
ww
ww
w
w
w
w
12)126
77352
43
58
32
762
2
−++−
=−−
−++
x
x x
x
x
x
x
II. Resolver los siguientes problemas:
1. Dividir 196 en tres partes tales que la segunda sea el doble de la primera y lasuma de las dos primeras exceda a la tercera en 20.
2. La edad de A es triple que la de B y hace 5 años era el cuádruplo de la de B.Hallar las edades actuales.
3. Un comerciante adquiere 50 trajes y 35 pares de zapatos par 16000 soles. Cadatraje costó el doble de lo que costó cada par de zapatos más 50 soles. Hallar el precio de un traje y de un par de zapatos.
4. 6 personas iban a comprar una casa contribuyendo por partes iguales periodosde ellas desistieron del negocio y entonces cada una de las restantes tuvo que poner 2000 soles más. Cuál era el valor de la casa?
5. La suma de dos números es 108 y el doble del mayor excede al triple delmenor en 156. Hallar los números.
6. El largo de un buque, que es 461 pies, excede en 11 pies a 9 veces el ancho,Hallar el ancho.
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 24
7. Tenía $85. Gasté cierta suma y lo que me queda es el cuádruplo de lo quegasté. ¿Cuánto gasté?
8. Hace 12 años la edad de A era el doble de la de B y dentro de 12 años, la edadde A será 68 años menos que el triplo de la de B. Hallar las edades actuales.
9. Tengo $1.85 en monedas de 10 y 5 centavos. Si en total tengo 22 monedas,¿cuántas son de 10 centavos y cuántas de 5 centavos?
10.Si a un número se resta 24 y la diferencia se multiplica por 12, el resultado esel mismo que si al número se resta 27 y la diferencia se multiplica por 24. Hallar el número.
11.Un hacendado compró 35 caballos. Si hubiera comprado 5 caballos más par elmismo precio, cada caballo le habría costado $10 menos. ¿Cuánto le costó cadacaballo?
12. El exceso del triplo de un número sobre 55 equivale al exceso de 233 sobre elnúmero. Hallar el número.
13.Hallar t res números enteros consecutivos, tales que el duplo del menor más eltriplo del mediano más el cuádruplo del mayor equivalga a 740.
14.Un hombre ha recorrido 150 kilómetros. En auto recorrió una distancia tripleque a caballo y a pie, 20 kilómetros menos que a caballo. ¿Cuántos kilómetrosrecorrió de cada modo?
15.Un hombre deja una herencia de 16500 soles para repartir entre 3 hijos y 2hijas, y manda que cada hija reciba 2000 más que cada hijo. Hallar la parte decada hijo y de cada hija.
16.La diferencia de los cuadrados de dos números enteros consecutivos es 31.
Hallar los números.
17.La edad de A es el triple de la de B, y la de B 5 veces la de C. B tiene 12 añosmás que C. ¿Qué edad tiene cada uno?
18. Dentro de 5 años la edad de A será el triple de la de B, y 15 años después laedad de A será el duplo de la de B. Hallar las edades actuales.
19. El martes gané el doble de lo que gané el lunes; el miércoles el doble de lo
que gané el martes; e l jueves el doble de lo que gané el miércoles; el viernes $30
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 25
menos que el jueves y el sábado $10 más que el viernes. Si en los 6 días heganado $911, ¿cuánto gané cada día?
20.Hallar dos números cuya diferencia es 18 y cuya suma es el triplo de sudiferencia.
21. Entre A y B tienen $36. Si A perdiera $16, lo que tiene B seria el triple de loque le quedaría a A. ¿Cuánto tiene cada uno?
22. A tiene el triplo de lo que tiene B, y B el doble de lo de C. Si A pierde $1 y B pierde $3, la diferencia de lo que les queda a A y a B es el doble de lo que tendríaC si ganara $20. ¿Cuánto tiene cada uno?
23.5 personas han comprado una tienda contribuyendo por partes iguales. Sihubiera habido 2 socios mis, cada uno hubiera pagado 800 dólares menos.¿Cuánto costó la tienda?
24.Un hombre compró dos caballos, pagando por ambos $120. Si el caballo peor hubiera costado $15 más, el mejor habría costado doble que él. ¿Cuánto costócada caballo?
25. A y B empiezan a jugar con 80 dólares cada uno. ¿Cuánto ha perdido A si B
tiene ahora el triplo de lo que tiene A?
26. A y B empiezan a jugar teniendo A doble dinero que B. A pierde $400 yentonces B tiene el doble de lo que tiene A. ¿Con cuánto empezó a jugar cadauno?
27.Compré cuádruple número de caballos que de vacas. Si hubiera comprado 5caballos más y 5 vacas más tendría triple número de caballos que de vacas.¿Cuántos caballos y cuántas vacas compré?
28. En cada día, de lunes a jueves, gané $6 más que lo que gané el día anterior. Siel jueves gané el cuádruplo de lo que gané el lunes, ¿cuánto gané cada día?
29. Tenía cierta suma de dinero. Ahorré una suma igual a lo que tenía y gasté 50soles; luego ahorré una suma igual al doble de lo que me quedaba y gasté 390soles. Si ahora no tengo nada, ¿Cuánto tenia al principio?
30.Una sala tiene doble largo que ancho. Si el largo se disminuye en 6 m y elancho se aumenta en 4 m, la superficie de la sala no varía. Hallar las dimensiones
de la sala.
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31.Hace 5 años la edad de un padre era tres veces la de su hijo y dentro de 5 añosserá el doble. ¿Qué edades tienen ahora el padre y el hijo?
32. Dentro de 4 años la edad de A será el triple de la de B, y hace 2 años era elquíntuplo. Hallar las edades actuales.
2.2 Inecuaciones y Valor Absoluto
Desigualdad
Se llama desigualdad a toda relación entre expresiones numéricas o algebraicasunidas por uno de los cuatro signos de desigualdad, ≥≤>< , , ,
Por ejemplo:( ) ( ) 841 ; 02x1x ; 1064 <+≥−⋅−<+ , etc. ...
Las desigualdades, al igual que las igualdades pueden ser ciertas o falsas, así, enlos ejemplos:La primera es falsa, la segunda depende del valor que le demos a x, y la tercera esverdadera.Las desigualdades en las que interviene una variable se denominan inecuaciones.
Propiedades de las desigualdadesSe denominan también transformaciones de equivalencia.Suma: si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta una mismaexpresión o cantidad, la desigualdad no varía:
c bca ba +<+⇒<
Transposición: consiste en restar a ambos miembros de la desigualdad una mismacantidad, pero de modo que uno de los términos de uno de los miembrosdesaparezca del mismo y aparezca en el otro miembro:
4342143421iónTransposicOrigen bca bc b bac ba −>⇒−>−+⇒>+
Producto: Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por unacantidad positiva, la desigualdad no varía, pero si la cantidad es negativa,entonces cambia el sentido de la desigualdad:
ba ba −>−⇒< , al multiplicar por una cantidad negativa cambia el sentido dela desigualdad.
c bca0c , ba ⋅>⋅⇒>> , si la cantidad es positiva se conserva el sentido
original de la desigualdad.
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Simplificación: si se dividen los dos miembros de una desigualdad por unacantidad no negativa y distinta de cero, la desigualdad no varía:
bac
c b
c
ca0cy,c bca ≥⇒/
/⋅≥/
/⋅⇒>⋅≥⋅
⇒
−≥⇒/−
⋅/≥
/−
⋅/−⇒⋅≤⋅−⇒≤−
−≥⇒≤−−≥⇒≤−
ba7
b7
7
a7 b7a7 ba
3232queya, ba ba, si el divisor es
negativo entonces cambia el sentido de la desigualdad.
2.2.1 Inecuaciones
Son desigualdades en las que se encuentra presente en uno cualquiera de losmiembros, o en ambos, una o más variables, o incógnitas.Una inecuación se verifica solo para algunos valores de las variables.Los valores numéricos para los cuales se verifica la desigualdad son lassoluciones de la misma, resolver una inecuación consiste en hallar los valoresnuméricos para los cuales la desigualdad es verdadera.Inecuaciones equivalentes, son aquellas que tienen las mismas soluciones.Para hallar inecuaciones equivalentes debemos aplicar los principios deequivalencia:Si sumamos o restamos a los miembros de una inecuación una misma cantidad o
expresión algebraica, la inecuación que resulta es equivalente a la dada
Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una inecuación por unamisma cantidad positiva y no nula, la inecuación que resulta es equivalente a ladada
Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una inecuación por unamisma cantidad negativa, la inecuación que resulta es de sentido contrario a ladada
Ejemplos:
x235x5x35x2x5x32x ≤⇒+−−≤+−−⇒−≤− , es una inecuaciónequivalente a la primera.
−⋅>
+⋅⇒−>+
3
4x261x
2
36
3
4x21x
2
3, operando nos queda,
8x126x9 −>+ , que es equivalente a la dada, y por último
68x9x128x126x9+<−⇒+−<−−
, y de ahí pasaríamos a otrasinecuaciones equivalentes hasta llegar a la solución, en este caso
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 28
3
14x14x3 <⇒< , que es la solución, es decir, todos los valores de la variable
menores que catorce tercios.
Inecuaciones de primer grado: son aquellas en las que las variables queintervienen están elevadas a un exponente igual a la unidad.Inecuaciones de primer grado con una incógnita, tienen por expresión general
; 0<+ bax y todas sus equivalentes: 0 bax ; 0 bax ; 0 bax ≥+>+≤+ .Ejemplos:
1.-
∞−∈∀⇒≤⇒≤−
99
109,
99
109010999 x x x
2.-
∞∈∀⇒>⇒>− ,17
15
x17
15
x015x17 , es decir, se cumple para todovalor de la variable estrictamente mayor que quince diecisieteavos.
Método analítico:
Para resolver una inecuación de primer grado, lo primero que hay que hacer esllegar a obtener la expresión general de una inecuación de 1er grado del apartadoanterior aplicando los principios de equivalencia y los fundamentos del cálculoen general:
Quitar paréntesis si los hubiera. Para ello aplicar la propiedad distributiva del producto respecto a la suma
Quitar denominadores si los hubiera. Para ello reducir ambos miembros a comúndenominador.
Reducir términos semejantes en ambos miembros
Pasar a un miembro los términos que contengan la variable y al otro los que no lacontengan, y volver a reducir términos
Despejar la variable. (Volver a aplicar los principios de equivalencia de modoque la variable quede aislada en el 1er miembro y con coeficiente la unidad.
Si al aplicar los principios de equivalencia debemos dividir o multiplicar por unacantidad negativa tener presente que cambia el sentido de la desigualdad, así:
351x42431536x378x46315x378x4636 ≤⇒−−≥−−⇒−≥− ya quehemos tenido que multiplicar por –1 ambos miembros por ser éstos negativos,luego proseguiríamos de modo normal.
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-∞ 3 -∞ 14/3
Ejemplos:1.- ( )3,x3x9x372xx42x7x4 ∞−∈∀⇒<⇒<⇒+<−⇒+<− , lasolución son todos los valores de la variable menores estrictamente que 3.
2.- 68x12x96 8x126 6x934x21x23 −−>−⇒−>+⇒−>+ , como nos
queda la variable negativa debemos multiplicar ambos miembros por –1, así
∞−∈∀⇒<⇒<⇒−>−
3
14,x
3
14x14x314x3 , la solución son todos
los valores de la variable estrictamente menores que catorce tercios.
Modo de dar las soluciones:
Por intervalos, como en los ejemplos anteriores. Gráficamente, por surepresentación en la recta real.En los casos anteriores sería:
Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita
Son aquellos en los que la única variable que interviene en todas las ecuacionesestá elevada a un exponente igual a la unidad.Sistemas de dos ecuaciones, tienen por expresión general:
<
<
22
11
b xa
b xay todas sus equivalentes
>
<
22
11
bxa
bxa,
≥
≤
22
11
bxa
bxa, etc. ...
Técnicas de resolución:
No existe más que un modo de resolverlos, independientemente del número deinecuaciones que compongan el sistema, se resuelve cada inecuación por separado, y al final se busca la solución en la intersección de todas ellas, es decir,el intervalo de solución común a todas.Ejemplos:
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 30
1.-x 2 1 x 1
2x 5 x 4 x 9
+ > > − ⇒
− ≤ + ≤ , los intervalos de solución son ( )1,− ∞ para la
primera y( ]
,9−∞ para la segunda. Luego la solución común a ambas está en la
intersección de ambos, es decir, en ( ]1,9− , gráficamente tal vez se vea mejor.
2.- Sea x el largo de un rectángulo de 3 cm. de ancho, el lado de un triánguloequilátero y el lado de un cuadrado. Determinar su valor para que el perímetro derectángulo sea superior al del triángulo e inferior al del cuadrado.
El planteamiento nos lleva a 3x 2x 6 4x< + < . Esta es una inecuación de primer grado que no podemos resolver directamente. Debemos pasar al sistema
3x 2x 6 x 6
2x 6 4x x 3
< + < ⇒
+ < > , la primera tiene por solución el intervalo ( ),6−∞ , y
la segunda ( )3,∞ , luego la solución común es la intersección de ambos, es decir
( )3,6 . Ver la solución gráfica.
9
1−
6
3
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a. Ecuaciones con valor absoluto
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Se entiende el valor absoluto de un número real x, y se representa x, a:
x si x es positivox = 0 si x es cero
-x si x es negativo
Así, por ejemplo: 7 = 7, 5 = 5, π - 3 = π - 3 ( ya que π - 3 es positivo ),π - 6 = - ( π - 6 ) ( ya que π – 6 es negativo ).
De la definición de valor absoluto se desprende que para un valor absoluto p ( p > 0 ) se tiene:
Expresión Equivale a Gráficamentex = p x = ± p - p 0 p
•• x < p - p < x < p - p 0 p
οο x > p X > p
o bienX < -p
- p 0 p
οο
Como muestra razonaremos cual es el significado de la expresión x < p. Paraello distinguimos dos casos: cuando x es positivo y cuando x es negativo.
a) Si x es positivo, x < p equivale a x < p
b) Si x es negativo, x < p equivale a - x < p, o lo que es lo mismo, x > - p.
En definitiva se tiene - p < x < p.
Desde un punto de vista geométrico, x p indica que la distancia de x al origen esinferior a p; o sea, pertenece al intervalo ( -p, p ). En resumen :
d( 0,x ) < p ⇔ x < p ⇔ x ∈ ( -p, p )
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 32
Para Resolver ecuaciones con valor absoluto, se elimina las barras del valor absoluto igualando por la derecha e izquierda el valor positivo y negativo delsegundo miembro de la ecuación dada.
ECUACIONES DE LA FORMA: c b xa =+
La solución de las ecuaciones de la forma: c, b xa =+ se basa en la
tercera propiedad, es decir, para que se cumpla, es necesario que:
=+
=+
c- b xa
ó
c b xa
EJERCICIOS:1.- Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones:
1) 5 1 -x2 =
2) 6 4 6 -x3
2 =+
3) 28 8 -x3 -x12 =
4) 2 - 12
x5
4
x
9
x=++
5) 2 - x- 3
1 -x
4
3 -x=+
6) 8 - x- 7
x5 -
3
x4 =
7) ( ) 46 x15 - 49 -x92 =
8) ( ) ( ) 12 5 -x27 - x2 - 55 =
9) x7 - 198 114 -x17 =
10) ( ) 3 5 x5 3 =++
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 33
ECUACIONES DE LA FORMA: b a =
Cuando se resuelva una ecuación con valor absoluto con una expresión con valor absoluto en ambos lados del signo igual, las dos expresiones deben tener el
mismo valor absoluto. Por lo tanto, las expresiones deben ser iguales entre sí oser opuestas entre sí.
=
=
⇒=
y-x
ó
y x
:quecumplese yxSí
EJERCICIOS:1.- Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones con valor absoluto
1) 4 -x2 1 -x = 2) 4 -x2 2 -x4 =
3) 5 x3 5 -x3 +=
4) 9 -x4 1 x2 =+
5) 3 2
1 8 -x2 +=
6) 3 -x2 1 2 x2 3 =+
7) 5 2
1 2 -x
4
3 +=
8) x- 4 2
6 -x15 =
9) 5 -x7 9 x5 =+
10) 5 -x6 9 x5 =+
2.2.2 Inecuaciones en valor absoluto:
Son aquellas en las que parte de la inecuación, o toda ella, viene afectada por elvalor absoluto de la misma.Expresión general: | | , o todas sus equivalentes | | , o| |
, etc.…
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 34
Método de resolución:
Aplicamos la definición de valor absoluto de una cantidad y pasamos a unsistema de dos ecuaciones cuya solución es la solución de la inecuación.
ax b c+ ≤ por definición( )
ax b c ax b c
ax b c ax b c
+ ≤ + ≤⇒
− + ≤ + ≥ − , recuerda que al
multiplicar los dos miembros de una desigualdad por una cantidad, negativa,cambia el sentido de la desigualdad.Ejemplos:
1.-
( )
3x
2x 1 2 2x 3 22x 1 2
2x 1 2 2x 1 2 1x2
<− < < − < ⇒ ⇒ ⇒
− − < − > − − >
, para la
primera la solución es el intervalo ( )3, 2−∞ y para la segunda ( )1 ,2− ∞ , la
solución de la inecuación inicial será la intersección de ambos, es decir, el
intervalo1 3
,2 2
−
.
2.- Resolver: 5
2 1 2 5 ⇒ 2 1 2 52 1 2 5 ⇒
2 1 2 5 02 1 2 5 0
2 1 2 5 0 ⇒3 11 2 0 ⇒ .. 2, 11 3
2 1 2 5 0 ⇒ 7 9 2 0 ⇒ . . 9 7 , 2 RPT:
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Inecuaciones factorizadas o de grado mayor que 1
Son inecuaciones en las que la variable está elevada a un exponente mayor que launidad.Expresión general: son todas del tipo 02 <++ cbxax , o bien cualquier otro polinomio de grado mayor y distinta desigualdad, por ejemplo mayor que u otra.Método de resolución: descomponer factorialmente el polinomio, aplicandoRuffini, completando cuadrados, etc. el método que consideres más apropiado oque mejor te resulte.
Ejemplos:
1.- 22x 3 5x< − , pasamos todos los términos a un único miembro, el que más te
interese, en este caso lo haremos al primero, así:22x 5x 3 0+ − < , ahora descomponemos el polinomio que nos resulte, en estecaso
( ) ( )12
2
1x5 25 24 12x 5x 3 0 x x x 32 24 x 3
=− ± + + − = ⇒ = = ⇒ − ⋅ +
= −
, y
pasamos a la inecuación 12 3 0, que podemos leer como,
¿Cuándo el producto de dos números es negativo?. Digo dos ya que el signo del
factor 2 es siempre el mismo y positivo, no va a influir en el resultado final. Larespuesta es cuando ambos tienen signos contrarios. ¿Cómo averiguar el signo deun binomio?.Una expresión de primer grado en x no es más que la ecuación de una recta, en
este caso se trata de dos rectas 1
1r y x
2≡ = − , y 2r y x 3≡ = + . Sabemos, o
deberíamos saber que si la pendiente de la recta es positiva ésta toma valores po-sitivos a la derecha del punto de corte con el eje de abscisas, y negativos a suizquierda. En nuestro caso ambas tienen pendiente positiva, ¿Porqué?. Porque el
coeficiente de la x es precisamente la pendiente de la recta y ambos son positivos.Los puntos de corte con el eje de abscisas son los valores de x que hacen que y =
0, en nuestro caso son 12 y 3− , luego ( )1x 2− toma valores positivos a la
derecha de 12 y ( )x 3+ a la derecha de 3− , así:
Luego la solución será el intervalo indicado, donde el signo del producto esnegativo.
Como la desigualdad es estricta, el intervalo será abierto ( )1
3, 2−
.
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 36
2.- 3 2 2 3 2x 2x x 2x x x 2x 0− ≤ − + ⇒ − − ≤ , descomponiendo factorialmente
( ) ( ) ( )3 2 2x x 2x x x x 2 x x 1 x 2− − = ⋅ − − = ⋅ + ⋅ − , y pasamos a la
inecuación ( ) ( )x x 1 x 2 0⋅ + ⋅ − ≤ . En este caso tenemos tres factores, y por lo
tanto, tres rectas a estudio. Haciendo lo mismo de antes:
Ahora la solución, además de los intervalos, por no ser una desigualdad estricta,debemos incluir los extremos de los mismos, así, la solución será
( ] [ ], 1 0, 2−∞ − ∪ .
3− 12
1
x 2−
— — +
x 3+ — + +
Producto + — +
No es solución Solución No es solución
1− 0 2
x — — + +
x 1+ — + + +
x 2− — — — +
Producto — + — +
Solución No es solución Solución No es solución
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 37
Inecuaciones fraccionarias:
Son inecuaciones en las que tenemos una fracción algebraica formando parte dela misma.
Expresión general: son del tipo 0, o todas sus equivalentes 0, o 0, etc. … y de grados mayores que uno.
Método de resolución: descomponer factorialmente los polinomios numerador ydenominador, aplicando Ruffini, completando cuadrados, etc. el método queconsideres más apropiado o que mejor te resulte. Una vez descompuestos nuncasimplificar ya que podríamos perder soluciones. Posteriormente se procede comocon las inecuaciones de grado mayor que uno, ya que se trata en el fondo de
averiguar el signo final que va a tener un cociente de productos de binomios.
Ejemplos:
1.-( )
x 20
x x 1
+>
⋅ −, en este caso ya tenemos el numerador y el denominador
descompuesto en factores, solo hay que construir la tabla de los signos, así:Al tratarse de una desigualdad estricta no se incluyen los límites o extremos de
los intervalos en la misma, así pues la solución será ( ) ( )2,0 1,− ∪ ∞ .
2− 0 1
x — — + +
x 2+ — + + +
x 1− — — — +
Producto — + — +
No es solución Solución No es solución Solución
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2.-x 1 x 1
1 1 0x 1 x 1
+ +< ⇒ − <
− −, ojo, si pasamos multiplicando el denominador al
otro miembro estaríamos cometiendo un error. Resuelve por tu cuenta la
inecuación x 1 x 1+ < − y compara los resultados. Para nuestro caso, operandox 1 x 1 x 1 2
1 0 0x 1 x 1 x 1
+ + − +− < ⇒ = <
− − −, y todo se reduce a averiguar cuál es
el signo del denominador, cuándo éste es negativo, y lo es en ( ),1−∞ .
3.- Debemos andar con mucho cuidado a la hora de crear la tabla de signos,fijarnos bien en la pendiente real de las rectas, así, sea la inecuación
( ) ( )
( )
2 x 1 1 x1 x0 0
x 1 x 1
+ ⋅ −−≥ ⇒ ≥
+ +, recuerda, no simplificar.
Como el segundo factor del numerador tiene la pendiente negativa cambian lossignos respecto al punto de corte, así en este caso es todo al revés de antes, a laderecha negativa y a la izquierda positiva. La solución, por tratarse de una
desigualdad no estricta, es ( ],1−∞ .
1− 1
x 1+
— + +
x 1+ — + +
1 x− + + —
Producto + + —
Solución Solución No es solución
1
- +
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EJERCICIOS
1.-. Resolver las siguientes inecuaciones de primer grado:
a) ⇒+<− x52x3 b) ⇒−>+ x32x1
c) ( ) ⇒>−⋅ 63x32
d) ( ) ( ) ⇒+⋅<−⋅ x32x233
e) ( ) ( ) ( ) ⇒+⋅>−⋅++⋅ 2x21x33x2
f) ⇒−≤
+
−
−x34
x
2
8x4
5
3x3
g) ( ) ⇒+
≥+⋅3
x8x32
h) ⇒+−
≤−+
43
x51x3
2
1x
i) ⇒≤
−
+2
1x
3x2
j) ( )( )
⇒−⋅
++⋅≤−+
3
x142x3
15
3
3
1
4
1x3
k) ⇒−
−≥−
+
−
3
21
2
5x3
x
2
13
3
x3
l) ( ) ( ) ⇒−⋅−≤−
−−⋅+−−
3x2x
2
32
x2
3xx
4
2x3
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2.- Resolver las siguientes inecuaciones de grado mayor que uno o fraccionarias:
a) ⇒<++− 08x3x5 2
b) ⇒<+− 0102x101x25 2
c) ( ) ⇒>+⋅ 2x25xx
d) ⇒≥−
+0
4x
5x2
e) ⇒≤−
−−0
2x3
6x5
f) ( ) ( ) ⇒+>−⋅− 11xx4x81
g) ( ) ⇒>− 91x 2
h) ( ) ⇒+−≥+−⋅ 3x21x2 22
i) ( ) ( ) ⇒≥+⋅− 01x9x2
j) ( ) ( ) ⇒≤−⋅− 09xx1 22
k)( ) ( ) ( )
( ) ( )⇒≥
+⋅+−⋅−⋅−
01x3x
x12x4x
l) ⇒≤+
−4
3x
4x2
m) ⇒≥
+
−⋅
−
−+
+
+0
2
x
3
1x
2
x
3
1x2
2
2x32
n) ⇒≤+− 0x6x5x 23
o) ( ) ) ⇒>+−⋅− 03x4x1x 2
p) ( ) ( ) ⇒≤+⋅− 01x1x 22
q) ⇒<+−− 04x4xx 23
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r) ⇒≥+
−0
3x
1x2
s) ( ) ( ) ( ) ⇒>−⋅−⋅− 02x1x1x 23
t) ⇒≥−
−0
1x
9x2
u)( ) ( )
( ) ( ) ( )⇒≤
+⋅−⋅+
−−⋅−0
1xx529x
8x2x1x32
2
v)( ) ⇒≤
−
−⋅+ 0x4
5
2
x3x
w)( ) ( ) ( )
( ) ( )⇒≥
+⋅+
−⋅−⋅−0
1x3x
x12x4x
x) ⇒≤+−
+−0
xx6
2x3x2
2
y) ( ) ( )( ) ( )
⇒≥+⋅−+⋅−⋅ 05x4x3x1xx
2
z)( ) ( )
( ) ( )⇒≤
+⋅−
⋅+⋅−0
1xx2
x3x3x
3.- Resolver las siguientes inecuaciones de primer grado
a) ( x - 2 )2 > (x + 2)⋅ ( x - 2) + 8 R. ] - ∞ , 0 [
b) ( x - 1 )2 < x ( x - 4) + 8 R. ] - ∞ , 7/2 [
c) 3 - ( x - 6) ≤ 4x - 5 R. [ 14/5 , + ∞ [
d) 3x - 5 - x - 6 < 14 12
R. ] - ∞ , 21/8 [
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e) 1 9 R. ] -67/10 , + ∞ [
4.- Resolver las siguientes inecuaciones de segundo grado
a) x2 ≥ 16 R. IR - ] -4 , 4[
b) 9x2 < 25 R. ] - 5/3 , 5/3 [
c) 36 > ( x - 1) R. ] - 5 , 7 [
d) (x + 5)2
≤ ( x + 4 )2
+ ( x - 3 )2
R. IR - ] 0 , 8 [
e) x ( x - 2 ) < 2 ( x + 6) R. ] - 2 , 6 [
f) x2 - 3x > 3x - 9 R. IR - 3
g) 4 ( x - 1) > x2 + 9 R. ∅
h) 2x2 + 25 ≤ x ( x + 10 ) R. 5
i) 1 - 2x ≤ (x + 5)2
- 2(x + 1) R. IR
j) 3 > x ( 2x + 1) R. ] -3/2 , 1 [
k) x ( x + 1) ≥ 15(1 - x2 ) R. IR - ] -1 , 15/16 [
l) ( x - 2 ) 2 > 0 R. IR - 2
m) ( x - 2)2 ≥ 0 R. IR
n) ( x - 2)2 < 0 R. ∅
o) ( x - 2)2 ≤ 0 R. 2
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5.- Resolver las siguientes inecuaciones con variable en el denominador
1) 01 >−
x
R. IR - [ 0 , 1 ]
2) 03
6<
−
+
x
x
R. IR - [ -6 , 3 ]
3) 025
≥−−
x
R. [ 5 , 10 ]
4) 2512 >+− x x R. ] -
∞, -5 [
5) 25
1>
+
− x
R. ] -11 , -5 [
6) 03
1≤
−
R. ] - ∞ , 3 [
7) 011 ≥
+− x R. IR - [ -1 , 1 [
8) 21
>−
x
R. ] - 1/2 , 0 [
9)13 +
≤− x
x x
R. ] - ∞ , -1 [ ∪ [ 0. 5[
3.10) x x
x >++
322
R. IR - [ - 2/3 , 3 ]
11) 13
2
+≥−
x x
R. IR - ]-3/2 , 3 ]
12) 06
42
≥+
−
x
x
R. ] - 6, -2 ] ∪ [ 2 , +∞ [
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13) 0)3)(6)(1(
)7)(1(>
+−−
−+
x x x
x x
R. ] -3, -1 [ ∪ ] 1 , 6 [ ∪ ] 7 , + ∞ [
14) 142
≤ R. IR - ] -2 , 2 [
15) 05
12
<−
+ x
R. ] - ∞ , 5 [
16) )1
1(2)3(3 x
x −≥+ R. ] -2 , -1/3 ] ∪ ] 0, + ∞ [
17) x
x5
4 <− R. ] - ∞ , -1 [ ∪ ] 0. 5 [
18) 815
≥+ x
x R. ] 0 , 3 [ ∪ [5 , + ∞ [
19) 112
≥+
x
x
R. ] 0 , + ∞ [
20) )1(531
3 +>
− x
x
R. ] - ∞ , -3 [ ∪ ] 0 , 1/5 [
21) 012
<−
x
R. ] - ∞ , - 1[ ∪ ] 0 , 1 [
22)
x
x84
120 −>+ R. ] -12 , -7 [ ∪ ] 0 , + ∞ [
23) 1025
<+ x
x R. ] - ∞ , 0 [
24) 69
2 −≥+ x x R. ] 0 , + ∞ [ ∪ -3
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25) 21
2
1+>+
x x
R. ] -1 /2 , 0 [ ∪ ] 2 , + ∞ [
6.- Resuelva las siguientes inecuaciones:
a) 4x - 1 = 5 R. {-1 , 3/2 }
b) 23
2 =−x
R. { 0 , 12 }
c) 15
1=
−
+
x
x
R. { 2 }
d) 21
32=
−
− x
x
R. { 5/4 }
e) 414
3=−
x
R. { -4 , 20/3 }
f) 33
4 =− x x R. { -1/2 , 2/5 }
g) 0413 =+− x R. { ∅ }
7.- Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
a) 2x - 1 > 3 R. IR - [ -1 , 2 ]
b) 22
3 ≤−x
R. [ 2 , 10 ]
c) 52
1
5≥−
x
R. IR - ] -45/2 , 55/2 [
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d) 13
1 <−x
R. ] 0 , 6 [
e) x - 3 > -1 R. ] - ∞ , +∞ [
f) 3 - 2x < 0 R. ∅
g) 13
12≤
+
− x
x
R. [ - 2/3 , 4 ]
h) 3 - 2x < x + 4 R. ] - 1/3 , 7 [
i) 221 >
−+
x x R. ] 1 , 2 [ ∪ ] 2 , 5 [
j) 253
≥+
x
x
R. ] - ∞ , - 5 ] ∪ [-1 , 0 [ ∪ ] 0 , + ∞ [
k) 37
13<
+
− x
x
R. ] - 10/3 , + ∞ [
l) 321
12>
+
−
x
x
R. ] - 1 , -1/2 [ ∪ ] -1/2 , -1/4 [
m) 452 +≥+ x x R. IR - ] -3 , -1 [
n)2
1
1
53≥
−
− x
x
R. ] - ∞ , 1 [ ∪ ] 1 , 11/7 ] ∪ [ 9/5 , + ∞[
o)3
1
5
3<
− x
x
R. IR - [ -9/2 , 9/8 ]
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3.1 Teoría de Exponente
POTENCIACIÓN
DEFINICION
1. x x x xn .......= Donde:
“n” factores { }0 N −∈n
2. Producto de bases iguales:
nmnm x x x +=. R ∈∀ x
3. Cocientes de bases iguales:
nm
n
m
x x −= ( )0x R ≠∈∀ x
4. Exponente nulo:
10 = x 0≠∀ x
5. Potencia de potencia:
( ) ( )mnmnnm
x x x ==
6. Potencia de un producto
( ) nnn y x y x .. = x, y ∈ R
7. Potencia de un cociente:
n
nn
y
x
y
x=
0≠∀ y
8. Potencia de un exponente:
pn pn mm x x =
9. Exponente negativo:
0yx;donde yx
0yx;donde yx
0x 1
x
0x 1
1
n-
1
≠
=
≠=
≠∀=
≠∀=
−
−
nn
n
x
y
x
y
x
x x
LEYES DE SIGNOS
( ) ( )
( ) ( ) −=+=+
+=+=+impar impar
par par
-
-
Exponente
Potencia
Base
n X P =
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 49
RADICACIÓN
DEFINICION
1. Exponente fraccionario:m
nn mn
m
x x x ==
2. Raíz de un Producto:
nnn y x xy =
3. Raíz de un cociente:
n
n
n
y
x
y
x= y ≠ 0
nn
x
y
y
x=− x ≠ 0
4. Raíz de raíz
mnpm n
p
x x =
5. Radicales sucesivos:
mnp
c
mn
b
m
a
m n p cba z y x z y x ..=
( )mnp c pbanm n p cba x x x x ++=
6. Auxiliares:
n r mnn r m baba .. =
mnn m aa =1
LEYES DE SIGNOS
reales No=−
−=−
+=+
+=+
PAR
IMPAR
IMPAR
PAR
Índice
Y X R =
RaízCantidad Subradical
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EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Simplificar:)15(5
1535−
+−+k
k k
Resolución:
Aplicando propiedad de la potenciación tenemos:
)15.5(5
5.535.5−
−k
k k
, luego factorizando el término común k 5
)15.5(5
)535.(5−−
k
k , y simplificando nos queda .1205125535 Rpta=−=−
2.- Calcule: 35,0)649(5,0)
94(1
−+−
Resolución:
Aplicando propiedad de la potenciación tenemos:
3
2
1
)9
64(
9
41
3
2
1
)64
9(2
1
)9
4(1
+−=
−+−
.27333)38
31
(3
964
32
1 Rpta==+=
+−
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3.- Simplificar: 0,0,31
23
2.2)(≠≠
−
− y x si
y x
x xy
Resolución:
Aplicando propiedad de la potenciación tenemos:
.3
1
)3(31
23
231
23
2.22 Rpta x x
y x
y
y x
x y x=
−−=
−
=
−
−
4.- Al simplificar la expresión3 32.3 x x x , el exponente final es:
Resolución:
Aplicando propiedad de la radicación tenemos:
1225
123418
41
.31
.23
2.3.23
.3.22
.23
x x x x =
++
==
Por lo tanto el exponente final es .12
25 Rpta
5.- Calcule:45.133.1110
36.95.412.615
Resolución:
Descomponiendo las bases de cada una de las potencias en sus factores primos yaplicando propiedad de la potenciación tenemos:
.1155.133.112
155.133.112
45.133.115.112
32.33.95.43.82.65.6345.133.11)5.2(
3)2.3.(95.4)3.22.(6)5.3(
Rpta=
==
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6.- Calcule: 22
)8(2
)32(
2)16(
2)64(
x x x
x x
+
+
Resolución:
Descomponiendo las bases de cada una de las potencias a la base común 2, luegoaplicando propiedad de la potenciación y radicación y simplificando, tenemos:
=
+
+=
+
+ 2
)1222(
232
)1222(
24222
)32(2
)52(
2)42(
2)62(
x x x
x x x
x x
x x
Rpta x
x x x 2
2
2
22 2
2 ==
7.-Simplificar:)22(3642
)12(6)12(4)32(252−++
−−+−+−+
y y
y y y y
Resolución:
Aplicando propiedad de la potenciación tenemos:
.51
25
5
916
381632
)942.(2
)3324252.(2
,)222(23.2242.2
)12.2(3.2)2.2(22)32.2(252.2
Rpta y
y
do factorizanluego y y
y y y y
==+
−−−
=+
−−−
=
−+
−−−−
8.- Calcule: ∞++++ ......2222
Resolución:
Sea ∞++++= ......2222 E , luego elevando al cuadrado en ambos lados,
se tiene:
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E E
E m M
nñ m m m m m M
2
......222222
2
→ →
9.- Simplificar: x x x
x x x3
)5.(1)125(
1 125.1)625(
−+
+ −+
Resolución:Descomponiendo las bases de cada una de las potencias a la base común 5, luegoaplicando propiedad de la potenciación y radicación y simplificando, tenemos:
.53
3
5
3 323553325
3553325
15.445
3
5.335
1
12
5.4453
)5.(1)35(
1 125.1)45(
Rpta x
x
x x x x x
x x
x
x x
x
x x
x
x
x x
x x
x x x
=
=−−+=++=
+−+
=−+
+−
+=
−+
+ −+
Tema: Teoría de Exponente
1.- Simplificar:( )1
13
55
55−
++ −=
n
nn
E
2.- Simplificar:
31
53
31
211
3
27
−
−
−−
=ba
ba E
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3.- Simplificar: ( ) ( ) 44244 2112 −
−−−− −−−−
= x x x E
4.- Simplificar:
124927125
−−
−−
= E
5.- Simplificar:
( )13
1 272
64
1
−−− −
−
= E
6.- Calcular:
5,0123
10
23
4
5
23,0
+
+
+
=−−−−−
E
7.- Calcular:
111 432
625
1
27
1
64
1−−− −−−
+
+
= E
8.- Calcular:41311
3946
5310
651215
××
×××= E
9.- Calcular: z y x
z y x z y x
z x z y y x E ++
+++++++
×××=
22 532257545
10.- Calcular:2
22
22
832
1664n
nn
nn
N +
+=
11.- Si K424242= x Calcular: K+++= x x x E
12.- Simplificar: x x x y y y E K=
13.- Simplificar: ( )11
1 122
+− −
=
− x
x
x x x x E
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14.- Simplificar:( ) ( ) ( )
( )24
1135
2362
2624222−+
−+++
+
−−−=
x x
x x x x
E
15.- Simplificar: n
nn
n nn
M 31
1 11
5125
56252
−+
+ −+
×=
16.- Simplificar:n
n
n
B3
3
1381
33 3512
=
+
3.2 Ecuaciones Exponenciales
Tema: Ecuaciones Exponenciales
1.- Resolver:1234 +− = x x aa
a) x = 1 b) x = 3 c) x = 5 d) x = 4 e)x = 6
2.- Resolver:125
15 72 =− x
a) x = 1 b) x = 2 c) x = 3 d) x = -2 e) x =6
3.- Resolver: ( ) ( )35452 +− = xbb
a) x = 5 b) x = 8 c) x = 7 d) x = 1 e)x = 4
4.- Resolver: 1. 715 =−+ x x aa
a) x = -5 b) x -2 c) x = -5 d) x = 1 e) x =9
5.- Resolver: 0- 1023 =− aa x
a) x = 2 b) x -2 c) x = 4 d) x = 6 e) x =7
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6.- Calcula el valor de “x”, si: 32 279 −+ = x x
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
7.- Encontrar la solución de: 17 3 =+ x
a) x = -2 b) x -0 c) x = -2 d) x = - 3 e)x = - 4
8.- Calcula el valor de “x” en: 9622 21 ==+ ++ x x
a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
9.- Halla el valor de “x” , sabiendo que: 43
1681 −
+
=
x
x
a) 1 b) 2 c) -1 d) -6 e) 3
10.- Resolver: ( ) 452 8125,0 +− = x x
a) x= 16− b) x= 15− c) x= 12− d) x= 13+ e) x = 13−
11.- Halla el valor de “x” en: 176222 532 =+=+ +++ x x x
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
12.- Resolver: 3212 =++ x x
a) x = 1 b) x = 2 c) x = 3 d) x = 4 e) x = 5
13.- Halla el valor de “X” en: 8299 223 ==+− x
a) 2/5 b) 1/3 c) 3/2 d) 2/3 e) 3/5
14.- Halla el valor de “X” en: 66
233
721 +
+
+= x
x
x
x
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) - 3
15. Si: ( )( ) x""devalor elhallar ,25615 15 =− − x x
a) 1 b) 2 c) -1 d) -2 e) 3
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16.- Calcula el valor de “x” en: 84444 21 =++ −− x x x
a) 2 b) 3 c) -2 d) -3 e) 4
17.- Hallar el valor de “x” en: 42 1623
=+ x
a) 1 b) 2 c) -1 d) 3 e) –2
18.- Resolver: 313 625125 +− = x x
a) x = 2 b) x = 3 c) x = 4 d) x = 5 e) x = -3
19.- Hallar el valor de “x” en: ( ) 5333 825,0 −− = x x
a) 2 b) 3 c) 1 d) -2 e) –3
20.- Si:( )
n""devalor elhalla,108.16
12.443
2
34
=
n
a) 2 b) 2 c) 3 d) -2 e) –3
3.3 El numero℮
En Matemáticas existen algunos números que son muy famosos. Ya conocemosel número y el número áureo ; vamos a hablar del número℮, que debe sunombre al matemático alemán Leonard Euler.El número℮ es un número irracional, y se obtiene a partir de la expresión
1
haciendo “n” cada vez más grande. Lo anterior supone que,
aumentando suficientemente el valor que sustituyamos por n en la fórmula, másdecimales del número e obtendremos:
1 1´01 =2'704813...1 1´001 =2'716023...1 1´00001 =2'718280...
℮ = 2'718281828459045.....
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El número℮ es un número irracional pues tiene infinitas cifras decimales no periódicas. Se lo suele llamar el número de Euler por ser su inventor elmatemático Leonhard Euler.El número es muy importante por ser la base para las funciones exponenciales, y por ello se ha sugerido que Euler llamara e por significar "exponencial".℮ es también la base de los logaritmos naturales o neperianos (inventados por John Napier).El número℮ tiene numerosas aplicaciones en todas las ramas de la ciencia, laeconomía, etc. Un ejemplo es el siguiente: El número ℮ en la Naturaleza.La tasa de natalidad y mortalidad de cualquier especie animal o vegetal encondiciones naturales de equilibrio suelen permanecer estables. Por eso, como side una tasa de interés financiero se tratara, las poblaciones tienden a crecer de
acuerdo con un modelo que incluye el número e en su formulación: er
Donde N población inicial, r coeficiente de crecimiento y t el tiempo en años.El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debeelevar la base
3.4 Logaritmos
Se denomina el logaritmo de un número “N” real, positivo y diferente de launidad, en base “b”, al exponente “x” al cual hay que elevar la base para obtener el número “N”.
N xb x N Log b =→= , también se cumple que: N N Log bb =
Ejemplos:
252)5(?¿2255 == Porque Porqué Log
92)13(?¿2)9(13=−−−=− Porque Porqué Log
10003)10(?¿3)1000(
10
== Porque Porqué Log
Nota: Cuando no se indique la base “b”, se asume que ésta es 10.
Ejemplo:
),15( Log se lee: el Logaritmo de 15 en base 10 ó simplemente Logaritmo de 15.
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PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
1.- LOGARITMO DE UN PRODUCTO:
Es igual a la suma de logaritmos de cada uno de sus factores.
)()()( N Log bM Log bMN Log b +=
Ejemplos:
)5(8)3(8)5)(3(8 Log Log Log +=
)4()()4)(( Log p Log z p Log +=
2.- LOGARITMO DE UN COCIENTE:
Es igual a la diferencia del logaritmo del numerador y el logaritmo deldenominador.
)()()( N Log bM Log bM
Log b −=
Ejemplos:
)9(5)7(5)97
(5 Log Log Log −=
)()6()6
( u Log k Log k u Log k −=
3.- LOGARITMO DE UNA POTENCIA:
Es igual al exponente multiplicado por el logaritmo del número (base de la potencia).
)()( M Log bnnM Log b =
Ejemplos:
)8(733)8(7 Log Log =
)8()8( Log c p p Log c =
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4.- LOGARTITMO DE UNA RAIZ:
)(1
M Log bn
n M Log b =
Ejemplos:
)4(9313 49 Log Log =
)(717 m Log um Log u =
5.- LOGARITMO DE LA BASE:1=b Log b
Ejemplos:
155 = Log , 1= z Log
6.- LOGARITMO DE LA UNIDAD:
01 = Log b
Ejemplos
0125 = Log 01 = Log w
OTRAS PROPIEDADES:
7.- )()( n M Log n bnM Log nbM Log b ==
Ejemplo:
)7 9(7 35)9(5393 Log Log Log ==
8.- )(1
)( M Log bnM Log nb =
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9.- )()( M Log bn
p pM Log nb =
Ejemplo:
)12(73
1)12(37 Log Log =
)9(54
77)9(45 Log Log =
CAMBIO DE BASE:
Se utiliza cuando se quiere calcular el logaritmo de un número “N” en base “b”,tomando como referencia la nueva base “a”.
b Log a
N Log a N Log b =
COLOGARITMO:
El cologaritmo de un número en base “b” es el logaritmo de la inversa delnúmero, en dicha base.
)()1
( N Log b Log b N CoLog b −==
ANTILOGARITMO:
El antilogaritmo es el número que da origen al logaritmo, así tenemos:
N xb x AntiLog b ==)(
Nota: N N Log bb N Log b AntiLog b ==
)()((
ECUACIONES LOGARÍTMICAS:
Son ecuaciones que presentan la incógnita como argumento.
Ejemplos:
a) Log(x)=2 b) Log (3x-1)=Log(x+2)
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EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Calcule “x” en: 01)(72 =− x Log
Despejando y acomodando se tiene:
2
1)(7 = x Log , luego por definición de logaritmo se cumple:
.721
7 Rpta x x =→=
2.- Calcule “y” en: 012)16(3 =− Log
y
Despejando y acomodando se tiene:
4)16( = Log y, luego por definición de logaritmo se cumple:
.2424164 Rpta y y y =→=→=
3.- Calcule “z” en: 016)(24 =− z Log
Despejando y acomodando se tiene:
4)(2 = z Log , luego por definición de logaritmo se cumple que:
.4224)2( Rpta z z z =→=→=
4.- Calcule “w” en: )2(327)3(34
510
)7(99)3(55
Log Log Log Log Log w ++−+=
Aplicando propiedad de logaritmo se tiene:
.17893)2(339
)2(3)33(4573 Rpta Log Log
w =+=+=++−+=
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5.- Calcule el logaritmo de 32 en base 3 22
Aplicando propiedad de logaritmo se tiene:
.4
155.
43
5)2(2
3
41
)32(342)32(312.2)32(3 22
Rpta
Log Log Log Log
==
===
6.- Calcule el logaritmo de 7 3 en base 4 33
Aplicando propiedad de logaritmo se tiene:
.35
4)3(3
4571
)3(4537171)3(413.3)7 3(4 33
Rpta Log
Log Log Log
==
==
7.- Calcule: 279)7343(49)53125(25 Log Log Log ++
Aplicando propiedad de logaritmo se tiene:
.623
29
23
47
411
23
)7(722
7
)5(522
11
)3(323
)277(27)2115(25
)33(23)217.37(27)215.55(25
Rpta Log Log
Log Log Log
Log Log Log
=+=++=++
=++
=++
8.- Calcule: )25(6).64(7).36(25).49(16 Log Log Log Log
Aplicando propiedad de logaritmo se tiene:
.6)5(. 6)6(5).2(. 7)7(2.2.6.4
2
)5(62).2(76).6(522
).7(242
2)5(6.6)2(7.2)6(.2)7(42 25
Rpta Log Log Log Log
Log Log Log Log
Log Log Log Log
=
=
=
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9.- Resolver: )252818(21
2)( Log Log Log x Log −++=
Aplicando propiedad de logaritmo se tiene:
.484825
12.100
25
12100
25
122
225
1442)
225
8.18(.
2
12)(
Rpta x Log Log Log Log
Log Log Log x Log
=→∴==+
=+=+=+=
10.- Resolver: 1)2()3(6 =−−+ x Log x Log
Aplicando propiedad de logaritmo se tiene:
1)23
(6 =−+
x
x Log , luego por definición de logaritmo se cumple que
.3155
1263)2(6362
3
Rpta x x
x x x x x
x
=→=
−=+→−=+→=−+
11.- Resolver: )12(2)2( −= x Log x Log
Aplicando propiedad de logaritmo se tiene:
2)12()2( −= x Log x Log , como las bases son iguales, por lo tanto los argumentos
también serán iguales:
014426214424222)12(2 =+−→+−=→−= x x x x x x x
Factorizando con aspa simple, se tiene:
1880)18)(8( ==→=−− xo x x x
Con x=8, reemplazando en la ecuación inicial, no cumple porque se tendría quesacar el logaritmo a un número negativo absurdo Log Log ),4()128( −=−
Por lo tanto: .18 Rpta=
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12.- Resolver: 2)2
()64()3(x
Log Log x Log =−
Aplicando propiedad de logaritmo se tiene:
2)2
()64
3(
x Log
x Log = , como la base son iguales, por lo tanto los argumentos
también serán iguales:
.164
644
2
64
3 Rpta x x
x x=→=→=
13.- Resolver: 141)2,1(7 +−=−+ x Log Log x Log
Aplicando propiedad de logaritmo se tiene:
)12()2,1)(10(147
)2,1log(1014.7
)2,1(1147
Log Log x x Log
Log x x Log
Log x Log x Log
==++
+=++
+=+++
Como las bases son iguales, por lo tanto los argumentos también serán iguales, y
elevando al cuadrado, tenemos:
04621214498212144)14)(7( =−+→=++=++ x x x x x x
Factorizando, 2230)2)(23( =−=→=−+ xo x x x
Con x= - 23, reemplazando en la ecuación inicial, no cumple
porque se tendríaabsurdo Log Log
absurdo Log Log
,16723
,91423
−=+−
−=+−
Por lo tanto: .2 Rpta x =
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14.- Resolver: )25(5).27(3)()()( Log Log x Log x Log
x Log =+
Aplicando propiedad de logaritmo se tiene:
06)(2))((
2)5(5.3)3(3)()().(
=−+
=+
x Log x Log
Log Log x Log x Log x Log
Factorizando con aspa simple, se tiene:
2)(3)(0)2)()(3)(( =−=→=−+ x Log o x Log x Log x Log
Por lo tanto, se tiene .2
103
10 Rptas xo x =
−
=
15.- Resolver: )())((
))310(( x xCoLog x AntiLog CoLog
Log Log =
Aplicando propiedad de logaritmo y la definición de cologaritmo y antilogaritmo,se tiene:
.3
1)()
3
1()(.
1)31
(
1
)()10(
)
3
1(
)()10(
)31)10((
Rpta x x Log Log x Log x
Log
x x Log x Log
Log
x x Log xCoLog
Log Log
=→=→−=−
−=−→−=
Tema: Logaritmos
1.- Calcule “x” en: 01)3(4 =− x Log
A) 4110 B) 2110 C) 4310 D) 10 E) 4510
2.- Calcule “y” en: 03)(42 =− y Log
A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14
3.- Calcule “z” en: )3(2)6(3)( Log Log z Log −=
A) 8 B) 12 C) 16 D) 20 E) 24
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4.- Calcule el logaritmo de 4/9 en base8
33
A)32
− B)21
− C)52
− D)31
− E)72
−
5.- Calcule el logaritmo de 64 en base 3 2
A) 9 B) 12 C) 15 D) 18 E) 21
6.- De qué número el logaritmo en base 22 es 8.
A) 82 B) 102 C) 122 D) 142 E) 162
7.- Determine la base del logaritmo del número 32 si su resultado es 0,5.
A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20
8.- Calcule: )51(7).9(
21).49(5).2(3 Log Log Log Log
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
9.- Calcule “x”, en: 4)16(7).7(3).3( = Log Log Log x
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
10.- Calcule “x”, en:)100(
)()()()(
Log
c Log b Log a Log x Log
−−=
A)ac
b B)ab
c C)b
ac D)bc
a E)c
ab
11.- Si 4)(2 = y Log , calcule “x” en: 6)2
2.(2 = y
x Log
A)321 B)
161 C)
81 D)
41 E)
21
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 68
12.- Resolver: )3()27()(3 x Log Log x Log =+
A) 3 B)
3
1 C)6
1 D)91 E)
27
1
13.- Resolver: 1)12()1( =−−+ x Log x Log
A)19
33 B)19
22 C)19
11 D)19
9 E)9
1
14.- Resolver: )2(4)16()(3 x Log Log x Log =+
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
15.- Resolver: 25)(16)(8)(4)(2 =+++ x Log x Log x Log x Log
A) 42 B) 62 C) 82 D) 102 E) 122
16.- Si 12)().()().()().( =++ b Log ac Log ba Log cb Log ac Log ba Log c
Calcule: 2)(2)(2)( c Log ab Log ca Log b ++
A) 12 B) 24 C) 36 D) 48 E) 60
CLAVE DE RESPUESTAS
1 C 9 B
2 B 10 D
3 E 11 D
4 A 12 B
5 D 13 C
6 C 14 A
7 A 15 E
8 B 16 B
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 70
4.1 Sistema de coordenadas cartesianas en el plano
Par ordenado
Es un conjunto formado por dos elementos distinguibles como primero ysegundo. Se denota por ),( ba
Propiedad
Dos pares ordenados ),( ba y ),( d c son iguales y lo denotamos por
),(),( d cba =
si y solo si ca = y d b =
Producto Cartesiano R ×R
Si R es el conjunto de los números reales, el producto R ×R se denomina
producto cartesiano y se define como R ×R= { } R y R x y x ∈∧∈= /),(
Plano cartesiano
Es la representación geométrica del producto cartesiano.
Está formado por dos rectas perpendiculares, una horizontal denominada eje delas abscisas y otra vertical denominada eje de las ordenadas. Dividen al plano encuatro cuadrantes denotamos en orden contrario al movimiento de las manecillasde un reloj.
“A cada punto P del plano le corresponde un único par ordenado ),( y x y
viceversa”.
Las coordenadas del punto P son y x e . A x se le denomina abscisa del puntoP y la componente y se denomina ordenada del punto P.
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Propiedades
1. ),(),( rbrabar =
2. ),(),(),( d bcad cba ++=+
Distancia entre dos puntos
Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo formado se tiene que ladistancia entre los puntos P y Q está dada por:
y
x
IC
IVCIIIC
IIC P ),( y x= •
1 x 2 x
2 y
1 y
Q
12 x x −
12 y y −
),( 22 y x
),( 11 y x P
x
y
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División de un segmento en una razón dada
Dado un segmento AB se desea determinar las coordenadas de un punto P, demodo que los segmentos determinados estén en una razón dada.
Si P divide al segmento AB en dos segmentos AP y PB tales que r PB
AP =
Se demuestra que las coordenadas del punto P son:
212
212 )()(),( y y x xQ P d −+−= 2
122
12 )()(),( y y x xQ P d −+−=
1 x 2 x
2 y
1 y
B
),( 11 y x A
y
),( p p y x P •
1,1
21 −≠+
+= r
r
xr x x p 1,
121 −≠
+
+= r
r
yr y y p
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Propiedad del punto medio
Si M es el punto medio del segmento AB, la razón es r = 1, y sus coordenadasson:
Tema: Ecuación de la recta
1. Determine la distancia entre los puntos:a. )4;1(y)7;3(−
b. )9;0(y)3;5( −−
c. )3;4(y)9;4( −−−−
d. )4;(y)7;3( baba −−−
2. Si la distancia entre los puntos )3,1( +− aa y )1;3( −a es 6u, calcule losvalores de a.
3. Calcule el perímetro de los triángulos de vértices:a. )4;1(y)1,2(,)7;3( −−
b. )9;0(y)0;2(,)3;5( −−
4. Calcule el área de la región triangular cuyos vértices son:
a. )4;0(y)0;0(,)7;3(
b. )0;5(y)5;0(,)0;3(
c. )5;1(y)7;6(,)2;5( −−
5. Calcule el área de la región poligonal cuyos vértices son:a. )3;0(y)1;1(),0;0(,)1;4( −
b. )0;3(y)3;2(,)3;0(,)0;2( −−−
221 x x
xM
+=
221 y y
yM
+=
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 74
c. )5;1(y)3;1(),5;3(),4;1(,)2;2( −−−−−
6. Si los puntos )7;3(y)1;1(,);2( −−− a son colineales, calcule el valor de a.
7. Determine el valor de a, de modo que el punto )1,3( −aa esté en la recta que pasa por los puntos )3;1(y)4;3( −−−
8. Determine las coordenadas del punto medio de los segmentos que unen los puntos:
a. )2,9(y)6;3( −−−
b. )9;1(y)3;5( −−−
c. )4;3(y)7;3( ++−+− aaaa
9. Determine las coordenadas de los puntos de trisección del segmento que unelos puntos:
a. )3;1(y)7;9(
b. )8;2(y)0;2( −−
c. )1;5(y)9;1( −−−−
10. Determine la longitud de la mediana BM y las coordenadas del baricentro enel triángulo ABC de vértices:
a. )9;2(y)5;1(),3;4( −−−− C B A
b. )7;2(y)1;4(),1;2( −−−− C B A
c. )7;0(y)7;2(,)1;0( B A
4.2 La línea recta
Ángulo de inclinación de una recta
Definición: Si L es una recta en el plano R ×R, se define el ángulo de inclinacióncomo el ángulo que forma el eje x positivo y la recta L moviéndose en sentidoantihorario.
Si θ es el ángulo de inclinación de la recta L, entonces:
º180º0 ≤≤ θ
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 75
Nota: Una recta es horizontal si su ángulo de inclinación mide 0º ó 180º
Una recta es vertical cuando su ángulo de inclinación es 90º.
Pendiente de una recta
Se define la pendiente de una recta no vertical, a la tangente del ángulo deinclinación. A la pendiente se le denota por la letra m. Luego
Nota: Las rectas verticales tienen ángulo de inclinación º90=θ y como la
º90tan no está definida, se concluye que las rectas verticales no tienen pendiente.
Rectas paralelas y rectas perpendiculares
Sean 21 y L L son dos rectas de pendientes 21 m ym :
a. Si 21 y L L son paralelas ( 21 // L L ), entonces
b. Si 21 y L L son perpendiculares ( 21 L L ⊥ ) y ninguna de ellas es vertical,
entonces
θ
y
x
L
θ tan=m
21 mm =
121 −=⋅mm
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ECUACIONES DE LA RECTA
a. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos P y Q
Siendo ),( y x un punto genérico igualamos pendientes:
De donde la ecuación de la recta es:
b. Ecuación de la recta que pasa por un punto P y tiene una pendiente m
)( 112
121 x x
x x
y y y y −−−=−
),( 11 y x P
),( 22 y xQ
•
•
),( y x •
x
y L
),( 11 y x P •
),( y x •
x
y L
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Siendo ),( y x un punto genérico igualamos pendientes: m x x
y y=
−
−
1
1
De donde la ecuación de la recta es:
c. Ecuación de la recta de pendiente y ordenada en el origen conocidas
De la ecuación anterior sea ),0( b el punto del eje y por donde para la recta L de
pendiente m. Reemplazando en la ecuación anterior:
)0( −=− xmb y , de donde
d. Ecuación simétrica de la recta
Si las intersecciones con los ejes x e y son los puntos )0,(a y ),0( b
respectivamente, siendo 0≠a y 0≠b , reemplazando en la ecuación de la rectadada en (a) se tiene:
)0(0
0−
−−
=− xa
bb y , de donde x
a
bb y −=−
Entonces la ecuación de la recta se puede expresar como sigue:
)( 11 x xm y y −=−
b xm y +=
),0( b P •
),( y x •
x
y L
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 78
e. Ecuación general de la recta
De la ecuación de la recta dada en (a):
Trasponiendo términos: ))(())(( 112112 x x y y y y x x −−=−−
Efectuando operaciones indicadas:
1121211212 )()()()( x y y x y y y x x y x x −−−=−−−
1121121212 )()()()( x y y y x x x y y y x x −−−=−−−
Sean las diferencias A x x =− 12 , B y y =−− )( 12 y
C x y y y x x =−−− 112112 )()(
Entonces la ecuación general de la recta se expresa como:
1=+ b
y
a
x
),0( b P •
)0,(aQ•
x
y
L
12
12
1
1
x x
y y
x x
y y
−
−=
−
−
C By Ax =+
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Ejercicios
1. Determine las ecuación de la recta en su forma punto-pendiente:)(
11
x xm y y −=− , si se sabe que pasa por el punto (2;5) y tiene un ángulo de
inclinación de 45º y grafíquela.
2. Determine las ecuación de la recta en su forma pendiente y ordenada en elorigen: bmx y += , si se sabe que pasa por los puntos (3;- 4) y (4; 6) ygrafíquela.
3. Determine la ecuación simétrica de la recta: 1=+b
y
a
x, si se sabe que pasa
por los puntos (-3;8) y (6;-4).
4. Determine la forma general de la ecuación de la recta: 0=++ C By Ax ,sabiendo que pasa por los puntos (4;-1) y (3;6).
5. Determine cuáles de las siguientes rectas son paralelasa. L1: 3 x + 2 y = 6 b. L2: 4 x + 3 y = 8 c. L3: 6 x + 4 y = 10
d. L4: 9 x + 6 y = 18
6. Determine cuáles de las siguientes rectas son perpendiculares:a. L1: 3 x + 2 y = 5
b. L2: 4 x - 6 y = 7 c. L3: 7 x + 4 y = 9 d. L4: 6 x + 9 y = 1
7. Determine la ecuación de la recta L que es paralela a la recta que pasa por los puntos A(2;-3) y B(4;5).
8. Determine la ecuación de la recta L que es perpendicular a la recta que pasa por los puntos A(3;-1) y B(2;7).
9. Determine la ecuación de la recta L que pasa por el punto (-4; 6) y por la intersección de las rectas 1043:1 =+ y x L y 0357:2 =+− x y L .
10. Determine la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas043:1 =− y x L y 14:2 =+ y x L y forma con los ejes coordenados un
triángulo de área 24 2u .
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 80
11. Determine la medida del ángulo que forma la recta que pasa por los puntos(3,2) y (-2;1), con la recta 623 =− y x .
12.
Determine la ecuación de la altura BH de un trIángulo de vértices A(2;1), B(0;4) y C (5;0).
13. Determine la ecuación de la mediana BM de un trIángulo de vértices A(0;0), B(3;4) y C (5;1).
APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA
14. Una empresa ACÚSTICA se especializa en la producción y venta de guitarras
y afirma que sus costos e ingresos mensuales en dólares, siguen un modelo lineal.El precio de venta de cada guitarra es de $ 60 y el costo de producción varíade acuerdo a la tabla mostrada.
Costo mensual en dólares 2100 3180
Número de guitarras 50 80
a. Determine la ecuación del costo de producción. b. Calcule el ingreso para el volumen mínimo de producción.c. Determine el punto de equilibrio.d. En un mismo plano cartesiano trace la gráfica del ingreso, costo y utilidad einterprete los puntos de intersección de las rectas con los ejes y el punto deintersección de las rectas de costo e ingreso.
15. BITBYTE una firma fabricante de calculadoras, planea vencer una nueva
calculadora graficadora. Durante el primer año, los costos fijos para establecer lanueva línea de producción son $ 100 000. Los costos variables para producir cadacalculadora se estima en $20. El Departamento de Ventas proyecta que puedenvenderse 150 000 calculadoras durante el primer año cada una.a. Formule la ecuación del costo total para producir las q calculadoras.
b. Formule la ecuación de ingreso para la venta de las q calculadoras.c. Formula la ecuación de la utilidad a partir de la producción y venta de las q calculadoras producidas.d. ¿Cuál es la utilidad o pérdida que tendrá la firma si se presentan las ventas
esperadas de 150 000 calculadoras?
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 81
e. ¿Cuántas calculadoras debe vender la firma con el fin de llegar al punto deequilibrio?
16. Un fabricante de Gamarra tiene costos fijos por $ 2 800 para producir casacasde cuero para exportación. El costo unitario de producción es $18 y son vendidasa $ 32 cada una.a. Exprese el costo de la empresa en términos de la cantidad q de casacas producidas. b. Exprese el ingreso de la empresa en términos de la cantidad q de casacasvendidas.c. Determine la cantidad de equilibrio y el precio de equilibrio.En un mismo plano cartesiano trace la gráfica del costo, ingreso y utilidad,indicando las zonas de pérdida y ganancia
17. La cafetería de la universidad ha determinado que con la producción y ventade 80 unidades de empanadas no gana ni pierde.En la tabla se puede apreciar el comportamiento del costo total C
Con la información proporcionada, determine:
a. La ecuación del costo total. b. El punto de equilibrio.c. El precio de veta unitario y la ecuación lineal del ingreso.d. La ecuación de la utilidad y su gráfica.
18. Una compañía que repara fotocopiadoras comerciales, cobra por un serviciouna cantidad fija más una tarifa por hora. Si un cliente tiene una factura de $150
por un servicio de una hora y $280 por un servicio de tres horas, determine unaecuación lineal que describa el precio del servicio en términos de x que es elnúmero de horas del servicio.
19. En 1988, las acciones de una compañía de biotecnología se cotizaron en $30 por acción. En 1998, la compañía empezó a tener problemas y el precio de lasacciones cayó a $10 por acción. Dibuje una recta que muestra la relación entre el precio por acción y el año en que se comerció, con años en el eje x y el precio enel eje y.Encuentre una interpretación para la pendiente.
Costo en soles 35 62 89 107
Número de empanadas 10 28 46 58
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20. Un fabricante utiliza 100 Kg de material para hacer los productos a Y B, querequieren de 4 y 2 Kg de material por unidad, respectivamente. Si x e y denotanel número de unidades producidas de A y B, respectivamente, determine unaecuación lineal que describa todos los posibles niveles de producción de los dos productos.
4.3 Cónicas
4.3.1 La circunferencia
Definición:
La circunferencia es el lugar geométrico de un punto P que se mueve en un
mismo plano de modo que su distancia a un punto fijo denominado centro O essiempre la misma. Esta distancia se denomina radio.
Ecuación de la circunferencia:
Empleando un sistema de coordenadas podemos determinar la ecuación de lacircunferencia.
Aplicando la fórmula de la distancia: r OP =
•
•
P
O
r
x
y P
O
r
(h,k )
( x, y)
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r k yh x =−+− 22 )()(
De donde se obtiene:
Si el centro de la circunferencia es el origen de coordenadas, entonces:
Haciendo la expansión de los términos en la ecuación ordinaria obtenemos:
022 22222 =−++−−+ r k hkyhx y x
Si hacemos Dh =− 2 , E k =− 2 y F r k h =−+ 222
Se obtiene:
Ejercicios
1. Determine el centro y el radio de la circunferencia de ecuación
0124622 =−+−+ y x y x
2. Determine el centro y el radio de la circunferencia de ecuación
0116822 =−−++ y x y x
3. Determine si las circunferencias de ecuaciones:
01264:C 22
1=−−++ y x y x y
222 )()( r k yh x =−+− Ecuación Ordinaria de la Circunferencia
222 r y x =+ Ecuación Canónica de la Circunferencia
022 =++++ F Ey Dx y x Ecuación General de la Circunferencia
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030610:C 222 =+−−+ y x y x
a. Son tangentes, secantes o exteriores.
b. Calcule la distancia entre sus centros.
4. Determine la ecuación de la circunferencia que es tangente a los dos ejescoordenados y pasa por el punto (1;2).
5. Determine si la recta de ecuación: 3x - 4y = 25 , y la circunferencia de
ecuación: 252y2x =+ , son tangentes.
6. Si la ecuación 02m4ymx2y2x =++−+ , donde m>3, representa una
circunferencia de radio 1, ¿en qué cuadrante se encuentra su centro?
7. Determine la ecuación de una de las rectas tangentes a la circunferencia deecuación: que son perpendiculares a la recta L1 : x - 2y + 9 = 0
8. Determine las ecuaciones de la rectas tangentes a la circunferencia de
ecuación: 04y2x2y2x:C =+−+ , que son perpendiculares a la recta L1 : x-2y+9= 0
9. Determine la ecuación de la circunferencia de menor radio y que es tangente ala recta 3x + 4y =1, y a los ejes coordenados
10. Determine la ecuación de la circunferencia tangente a 0443 =−− y x , en(0,–1) y que pasa por el punto (–2,–9)
4.3.2 La Parabola
Definición:
La parábola es el lugar geométrico de un punto P que se mueve en un mismo
plano de modo que su distancia una recta fija d l denominada recta directriz es
igual a la distancia a un punto fijo denominado foco F del mismo plano pero queno pertenece a la recta directriz.
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De la definición:
Propiedades:
1. La distancia del vértice a la recta directriz es igual a la distancia delvértice
al foco:
d l
Eje focal
P •
• F Foco
p
p
Parábola
Recta directriz: d l
V•
L
R
PF l P d d =),(
p F V d l V d d == ),(),(
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2. Se denomina lado recto al segmento de recta perpendicular a la recta
directriz y que pasa por el foco:
ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA
Empleando un sistema de coordenadas podemos determinar la ecuación de la parábola.
Veremos el caso en el que el eje focal es paralelo a uno de los ejes.
Primer caso: Cuando el eje focal es paralelo al eje y
PF l P d d =),(
Por definición de la parábola:
22 ))(()()( pk yh x pk y +−+−=−− , de donde:
p LR 4=
)(4)( 2 k y ph x −=−
Eje focal
•
•
F(h,k+p)
p
p
Parábola
V•
y
xO
(h,k)
P(x,y)
d l : y = k-p
FE
….Ecuación estándar de la parábola
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Segundo caso: Cuando el eje focal es paralelo al eje
Por definición de la parábola:
22 )())(()( k y ph x ph x −++−=−− , de donde:
…Ecuación estándar de la parábola
Casos especiales:
Si el vértice de la parábola es el origen de coordenadas y el eje focal coincidecon el eje y, entonces:
PF l P d d =),(
Eje focal
•
•
F(h+p,k)
p
Parábola
•
xO
V(h,k)
P x,
d l : x = h-p
FE
)(4)( 2 h x pk y −=−
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NOTA 1: Si p<0, la parábola se abre hacia abajo
Si el vértice de la parábola es el origen de coordenadas y el eje focal coincidecon el eje x, entonces:
NOTA 2: Si p<0, la parábola se abre hacia la izquierda.
•
•
F(0,p)
p
p
Parábola
•
y
x
O
V(0,0)
P(x,y)
d l : y = –p
FE
py x 42 =
• •
F(p,0)
p p
Parábola
•
OV(0,0)
P(x,y)
d l : x = -p
x
y
FE
px y 42 =
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 89
Ejercicios:
1. Haga un esbozo de la gráfica de la parábola determinando sus elementos principales (vértice, foco, longitud de lado recto, ecuación del eje focal y laecuación de la recta directriz)a. x y 82 =
b. x y 122 −=
c. )3(82 −= x y
d. )1(122 +−= x y
e. )3(8)4( 2 −=+ x y
2. Haga un esbozo de la gráfica de la parábola determinando sus elementos principales vértice, foco, longitud de lado recto, ecuación del eje focal y laecuación de la recta directriz).
a. y x 82 =
b. y x 162 −=
c. )1(82 −= y x
d. )1(122 +−= y x
e. )2(12)5( 2 −=− x x
3. Determine los elementos principales de la parábola definida por lasecuaciones:
a. 028482 =+−− y x y
b. 011262 =−−+ y x y
b. 020842 =+−+ y x x
c. 017862 =+++ y x x
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 90
4. Determine la ecuación de la parábola descrita a continuación:Foco en (-3; 4) y recta directriz y = 2.
Determine la longitud del lado recto y trace la gráfica de la parábola.
Determine la ecuación de la recta tangente en el punto (1; 7)
5. Determine el mínimo valor de y , siendo 33122 2 +−= x x y
6. Determine el máximo valor de y , siendo 2265,10 x x y −+=
7. Una compañía de marketing estima que n meses después de la introduccióndel nuevo producto de un cliente, y miles de familias lo usarán, donde
)12(9
8nn y −= , 120 ≤≤ n . Estime el número máximo de familias que usarán
el producto.
8. Un fabricante vende n unidades de cierto producto, sus ingresos I en miles desoles y sus costos totales C en miles de soles son:
n I 8= y nnC 640 2 −+= . Determine su máxima utilidad
9. Un espejo en forma de paraboloide de revolución será usado para concentrar los rayos en su foco, creando una fuente calorífica. Si el espejo es de 20 pies dediámetro en su abertura y de 6 pies de profundidad. ¿A cuántos pies del vérticedel paraboloide se concentrará la fuente de calor?
10. Se va a construir un arco parabólico decorativo en la puerta de la UCSUR,tendrá una altura de 12m y una base de 8m, tal como se muestra en la figura.
a) ¿Cuál será la ecuación de dicho arco?
b) ¿A qué altura estará el arco en un punto a 2m del extremo derecho de la base?
-4 4
8
x
y
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11. Una antena parabólica tiene forma de un paraboloide de revolución. Lasseñales que emanan desde un satélite llegan a la superficie de la antena y sonreflejadas a un solo punto donde está colocado el receptor. Si el disco de laantena mide 8 pies de diámetro en su abertura y 3 pies de profundidad en su centro. ¿En qué posición debe de estar colocado el receptor?
12. Los cables que sostienen un puente colgante adquieren forma parabólica.Las torres que sostienen los cables están separados 600 pies y son de 80 pies dealtura. Si los cables tocan la superficie de la carretera a la mitad de la distanciaentre las torres. ¿Cuál es la longitud del cable en un punto situado a 150 piesdesde el punto medio?
13. Determine la ecuación de una parábola de eje focal paralelo al eje y,sabiendo que su foco y su vértice son los extremos de un diámetro de la
circunferencia 0218622 =+−++ y x y x . Se sabe además que la ordenadadel foco es mayor que 4. Grafique.
4.3.3 La Elipse
Definición
Se define la elipse como el conjunto de todos puntos P tales que la suma de lasdistancias a dos puntos fijos 1 F y 2 F denominados focos es siempre constante.
•
•
•
1 F
2 F
P
1V
2V 1 B
2 B • •
• •
1dl
2dl
O
F E N E
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Por definición:
Nomenclatura:
1. P punto cualquiera de la elipse
2. 1 F y 2 F focos de la elipse
3. 1V y 2V vértices de la elipse
4. 1 B y 2 B covértices de la elipse
5. c F F d 2),( 21 = …distancia entre los focos
6. O centro de la elipse
7. aV V d 2),( 21 = … distancia entre los vértices
8. b B Bd 2),( 21 = … distancia entre los covértices
9. 21V V …eje mayor
10. F E … eje focal
11. 21 B B …eje menor
12. N E …eje normal
11. 2d1d y l l …rectas directrices
Excentricidad
Existe un número denominado excentricidad al que denotaremos por e tal paratodo punto P de la elipse se cumple que:
a F P d F P d 2),(),( 21 =+
),( ),(),( ),(2d
2
1d
1l P d F P d
l P d F P d e ==
10 << e
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 93
ECUACIÓN DE LA ELIPSE
Empleando un sistema de coordenadas podemos determinar la ecuación de laelipse. Veremos el caso en el que el eje focal es paralelo a uno de los ejes.
Primer caso: Cuando el eje focal es paralelo al eje x
Donde:
a es la longitud del semieje mayor
b es la longitud del semieje menor
222 cba =+ es la relación pitagórica entre a, b y c
F1 y F2 son los focos de la elipse
a
ce = es la excentricidad de la elipse, con 0< e <1
a
b
LR
22
= es la longitud del lado recto
O es el centro de la elipse de coordenadas (h, k)
Por definición:
Siendo P un punto de la elipse se tiene que: d(F1,P)+D(F2,P)=2a
de donde:
1)()(
2
2
2
2
=−
+−
b
k y
a
h x Forma estándar de la elipse
y
x
a
b
F1• •
F2
cEje focal
P•
O
L
R
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Si el centro es (0; 0) se obtiene la ecuación canónica de la elipse
Expandiendo la fórmula anterior obtenemos:
con A > 0 y B > 0… es la ecuacióngeneral de la elipse.
Análogamente si el eje focal es paralelo al eje y, obtenemos:
1)()(
2
2
2
2
=−
+−
b
h x
a
k y
y
x
a
b
F1 • •
F2
c
Eje focal
P•
O
•
12
2
2
2
=+b
y
a
x
022 =++++ F DyCx By Ax
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Si el centro es (0; 0) se obtiene la ecuación canónica de la elipse
Ejercicios:
1. Haga un esbozo de la gráfica de la elipse determinando sus elementos principales (vértice, foco, longitud de lado recto, ecuación del eje focal y laecuación de la recta directriz).
a. 3694 22 =+ y x
b. 3649 22 =+ y x
c. 36)2(9)1(4 22 =−+− y x
d. 36)3(4)2(9 22 =+++ y x
2. Haga un esbozo de la gráfica de la elipse determinando sus elementos
principales (vértice, foco, longitud de lado recto, ecuación del eje focal y laecuación de la recta directriz).
a. 0201694 22 =−++ x y x
b. 032849 22 =−−+ y y x
c. 02318894 22 =−+−+ y x y x
d. 0241664 22 =+−++ y x y x
3. Determine la gráfica de la ecuación 0436y8x29y24x =++−+ .Determine además la ecuación general de la parábola cuyo foco está en eltercer cuadrante y que pasa por un vértice y los extremos del eje menor de lacónica dada.
12
2
2
2
=+b
x
a
y
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4. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación
08x-2y24x =+ , en el punto )2;1( − .Grafique la curva y la rectamencionada.
5. Determine la ecuación de la elipse cuyos dos focos son los puntos (-2; 0),(2;0) y su excentricidad es 2/3.
6. Los focos de una elipse son F1(0;-6) , F2(0;6) y la ecuación de una rectatangente es L: 5 x + 3 y -50 = 0. Determine la ecuación de la elipse y suexcentricidad.
7. Determine la ecuación de la elipse cuyos focos son las intersecciones de la
circunferencia C: 0202422 =−−−+ y x y x con la recta L: 05 =− x y
uno de los extremos de su eje menor está sobre la recta 01332:1 =−− y x L
8. Un satélite es un punto de órbita elíptica alrededor de la Tierra. El radioterrestre mide 6000 km aproximadamente y su centro se localiza en uno de losfocos de la órbita.
a. Utilice la información dada en la figura, para obtener una ecuación de laórbita.
b. Si el satélite está en el punto P de la órbita, ¿a qué altura se encuentrasobre la superficie de la Tierra?
4 4 34 4 21km2000
4 4 4 4 4 34 4 4 4 4 21km00010
F1•
P•
O
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5.1 Matrices
Una matriz es un conjunto de números reales escritos en filas y columnas.
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
21
22221
11211
es una matriz de m filas y n columnas, o bien de orden m x n. Cada elemento de
una matriz A se nota con dos subíndices, (aij); el primero indica la fila, elsegundo la columna en que está colocado el elemento.
De forma abreviada, una matriz se nota así: A = (aij)
Una matriz de orden 1 x n se llama matriz fila.
Una matriz de orden m x 1 se llama matriz columna.
Una matriz de orden n x n se llama matriz cuadrada.
Dos matrices A = (aij) y B = (bij) son iguales si tienen el mismo orden y aij= bij∀ i, j (son iguales ele-mento a elemento).
5.2 Operaciones con matrices
Suma y resta
Sólo se pueden
restar
sumar matrices del mismo orden. Para ello se
tanres
sumanlos
elementos que ocupan las mismas posiciones. Es decir:
A = (aij) B = (bij) A + B = (aij + bij)
−=
−=
032
641
410
132 B A
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−−
−=
−−−
−−−−−=−
−=
+++
−−++=+
422
511
043120
)6(14312;
442
773
043120
614312 B A B A
Producto
Producto de una matriz por un número
Para multiplicar una matriz A por un número α, se multiplican todos loselementos de la matriz por el número. Es decir:
A = (aij) α.A = (α . aij)
−
=⋅−
=1230
3963
410
132 A A
Producto de dos matrices
Para multiplicar las matrices A y B ha de cumplirse que el número de columnasde la matriz A sea igual al número de filas de la matriz B. Es decir, si A es deorden mxn, para que el producto AxB sea posible, B debe ser de orden nxp, y lamatriz producto resulta de orden mxp. Más breve:
A mxn . B nxp = C mxp
¿Cómo se multiplican?
El elemento cij de la matriz producto resulta de multiplicar la fila "i" de la matriz
A por la columna "j" de la matriz B, elemento a elemento y, luego, se suman los productos así obtenidos. Brevemente:
c a bijk
n
ik kj= ∑ ⋅=1
Ejemplo: Multiplicar las matrices
−=
−
=53
46
43
01
12
B A
−
−
=
⋅+−⋅⋅+⋅
⋅+−⋅⋅+⋅
⋅−+−⋅⋅−+⋅
=⋅
830
46
139
54)4(33463
50)4(13061
5)1()4(23)1(62
B A
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Señalar que el producto de matrices no es conmutativo. Es decir, en general A⋅B≠B⋅A. Si A⋅B=B⋅A se dice que las matrices A y B conmutan.
5.3 Tipos de matricesExiste una tipología abundante de matrices. Nos vamos a referir aquí sólo a lasmás usuales.
Matriz traspuesta
La matriz traspuesta de una da A, notado At o A' es la que se obtiene cambiando
filas por columnas. Es decir, si Amxn=(aij) Atnxm=(a ji)
Ejemplo:
−=
−
=401
312
43
01
12t
A A
Matriz adjuntaMatriz adjunta de una matriz cuadrada es la que se obtiene sustituyendo cadaelemento por su adjunto. Se nota por Aad.
Matriz simétrica: (sólo matrices cuadradas).
Una matriz A se dice simétrica cuando AT = A; aij = a ji ∀ i ≠ j
Ejemplo:
−
−
−
=
013
142
321
A
Matriz antisimetrica: (sólo matrices cuadradas).
Una matriz B se dice antisimétrica cuando BT = -B; bii =- b ji ∀ i ≠ j
Ejemplo:
−−
−
−
=
222
201
211
A
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Matriz triangular superior: Una matriz triangular superior es una matrizcuadrada de la forma:
ji si0
...00
............
0 ...22211211
>=
= ij
mn
n
n
a
a
aaaaa
A
Análogamente se define TRIANGULAR INFERIOR.
Diagonal principal de una matriz cuadrada:
=
nn21
22221
11211
a...
............
...a
...a
mm
n
n
aa
aa
aa
A Son los elementos donde n es igual a m
Diagonal secundaria de una matriz cuadrada:
A=
−
−
−
bbnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
,1,2n1
21n2,2221
1n1,11211
...a
.................
a...
a...
Matriz diagonal :
Una matriz cuadrada se dice DIAGONAL si es son nulos todos los elementos queno estén en la diagonal principal; es decir:
A= jia
a
a
a
ij
bb
≠=
si0
0...00
.................
00...0
00...0
,
22
11
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Matriz identidad o unidad :
Matriz cuadrada tal que aij = 1 ∀ i = j, aij = 0 ∀ i ≠ j, es decir son nulos todos los
elementos que no están en la diagonal principal y los elementos de la diagonal principal son todos 1.
I=
10...00
.................
00...10
00...01
5.4 Determinante de una matriz
Un determinante es un número asociado a una matriz cuadrada (orden n x n)formado por la suma de n! productos. En cada producto interviene un elementode cada fila y un elemento de cada columna. Veamos en concreto cómo sedesarrolla un determinante de 2º orden.
Aa aa a
a a a a= = −11 12
21 2211 22 12 21
Ejemplo: la matriz −= 5712 A tiene de determinante
A =−
= ⋅ − − ⋅ = + =2 17 5
2 5 1 7 10 7 17( )
Los determinantes de tercer orden se desarrollan mediante la llamada regla deSarrus:
a a a
a a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
11 12 13
21 22 2331 32 33
11 22 33 21 32 13 12 23 31 13 22 31 23 32 11 12 21 33= + + − − −
En esquema+ -
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Ejemplo:
Menor y adjunto
Dada una matriz cuadrada, se llama menor complementario del elemento aij al
determinante que resulta de suprimir en la matriz la fila "i" y la columna "j" enlas que está el elemento en cuestión.
Se designa Mij o por αij.
Ejemplo, en la matriz A=4 3 2
6 1 3
3 7 411
1 3
7 4 313 2
1 3 234 3
3 7
−
−
= =−
=−
M M M etc.
Y se llama adjunto del elemento aij al menor con signo + si la suma de
subíndices fila y columna es par, o con signo - si dicha suma es impar. Se designaAij. Es decir:
Aij = (-1)i+jMij
Así, en la matriz anterior A A A111 3
7 4 313 2
1 3 234 3
3 7= + = +
−= −
−
5.5 Matriz Inversa
Dada una matriz cuadrada A de orden n se llama MATRIZ INVERSA DE A y sedenota por A-1 a la matriz que verifica A⋅A-1=In
NOTA: Si |A| ≠ 0 ⇔ A posee matriz inversa (además se dice que A esinversible o regular).
Si |A| = 0 ⇔ A no posee matriz inversa (se dice que A es singular).
1217284627841646)3(473)3(12)3(3)3(276414
473
316
234
=+−+++=⋅⋅−−⋅⋅−−⋅⋅−−⋅⋅−+⋅⋅+⋅⋅=
−
−
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Métodos de cálculo de la matriz inversa
a) Método de adjuntos:( )
A
A A
t ad =−1
b) Método de Gauss: veamos un ejemplo
Ejemplo: Calcular la inversa de
=
210
121
011
A
Método de la adjunta
Lo haremos primero por el método clásico, el que viene indicado por ladefinición: la traspuesta de la adjunta dividida por el determinante.
Primero, calculamos el determinante; si el determinante es nulo, no existe matrizinversa; si no es nulo, seguimos:
1210004
210
121
011
=−−−++== A ; calculamos ahora la matriz adjunta, sustituyendo
cada elemento por su adjunto; calculamos primero los adjuntos:
11221
111)01(
10
01101
12
01
1)01(10
11202
20
012)02(
21
01
10110
212)02(
20
11314
21
12
333231
232221
131211
=−==−=−−=−==−==
−=−−=−==−==−=−−=−=
=−==−=−−=−==−==
A A A
A A A
A A A
Luego formamos la matriz adjunta:
−
−−
−
=
111
122
123
ad A y finalmente hacemos la
inversa, trasponiendo la matriz adjunta y dividida por el determinante:
−
−−
−
=
−
−−
−
⋅=−
111
122
123
111
122
123
1
11 A
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Método de Gauss:
−
−−
−
≈
−
−−
≈−
−≈−≈
111100
122010
123001
111100
122010
001011
111100011110
001011
100210011110
001011
100210010121
001011
Es conveniente, se haga por el método que se haga, comprobar la inversa(multiplicada por la directa tiene que dar la identidad).
=⋅
−
−−
−
100
010
001
210
121
011
111
122
123
5.6 Sistema de ecuaciones lineales
Regla de Cramer para dos variables.
D
D x
x= D
D y
y=
Aplicación de la regla de Cramer en la solución de sistemas de dos ecuacioneslineales.
Utiliza la regla de Cramer para resolver el sistema:
=+−=−175
432 y x y x
Primero coloca las variables X y Y tomando los coeficientes de las variablesasí:
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=+
−=−
1 7 5
4 3 2
y x
y x
−=7532
D
( )( ) ( )( ) 291514357275
32=+=−−=
−= D
Segundo coloca los números que se encuentran después del igual ( en azul) y los
coeficientes de las variables de y para encontrar x D
=+
−=−
1 7 5
4 3 2
y x
y x
−−= 71 34 x D
( )( ) ( )( ) 25328317471
34−=+−=−−−=
−−= x D
Tercero coloca los coeficientes de las variables de x luego los números que se
encuentran después del igual ( en azul) y D
=+
−=−
1 7 5
4 3 2
y x
y x
−=
15
42 y D
Hallar el determinante D
Hallar el determinante x D
Hallar el determinante y D
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 107
( )( ) ( )( ) 22202451215
42=+=−−=
−= y D
Colocamos nuestras respuestas en el orden indicado así =
Mis respuestas son:
[ ]
[ ]
[ ] 22
25
29
=
−=
=
y
x
D
D
D
29
25−==
D
D x
x 29
22==
D
D y
y
EJERCICIOS
1. Resuelve los siguientes ejercicios utilizando la regla de Cramer.
1)
=−
−=+
42
543
y x
y x2)
=−
=+
82
232
y x
y x3)
4)
=−
=+
2473
1652
y x
y x5)
−=+
=+
473
1354
x
y x6)
=−
=+
82
232
y x
y x
Regla de Cramer (Regla general)
D
D x
D
D x
D
D x
xn
n
x x === ..., 22
11
Uso de la regla de Cramer para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales.
=+
=+−
=−
052
13
32
z x
z y
z x
Hallar la determinante D
( ) ( )( ) ( )( )[ ] [ ] 94512251152
211
502
310
201
−=+−=−−−=
−−=−
−
= D
=−
=+
2473
1652
y x
y x
7/11/2019 GUÍA DE ÁLGEBRA
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 108
Hallar la determinante x D
( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )[ ] 1501512053150231
500
311
203
−=−−=−−−=
−−=
−
−
= x D
Hallar la determinante y D
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( )( ) ( )( )[ ]
( )[ ] ( )[ ] 27225292051
213323051131
23
250
31
1502 310
231
=+=++−
=−−+−=
−
+
+=
−
= y D
Hallar la determinante z
D
( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )[ ] 66013201102
311
002
110301
=−−=−−=
−=
−= z D
Respuesta:
3
2
9
6,3
9
27,
3
5
9
15−=
−==−=
−===
−
−==
D
D z
D
D y
D
D x
z y x
Método de Gauss-Jordan:
Consiste en transformar la matriz aumentada en una escalonada reducida (oescalonada).
7/11/2019 GUÍA DE ÁLGEBRA
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 109
EJERCICIOS
1.- Utiliza la regla de Cramer para resolver los siguientes sistemas.
=−+
=+−=−+
12
7320
z y x
z y x
z y x
=−−
−=++=++
22
1342
z y x
z y x
z y x
=++
=+−
−=−+
12223
52
184
z y x
z y x
z y x
=++
=+−
−=−+
024
522
2
z y x
z y x
z y x
=+
=−
=+−
3
22
145
z y
y x
z y x
Tema: Adición de Matrices
1.- Dadas las matrices
−
−=
+
−−=
−
−=
14
52
21
25,
23
12C y
X
X Y B
Y
Y X A Hallar A + C
sabiendo de que A = B .
2.- Si
−−=
−=
3
2
3
4
1
1
1
5
0
2
3
7 B y A hallar A-B
3.- Dadas las matrices
−
−=
−−=
−=
34
21
21
32,
43
18C y B A Hallar X
en la ecuación ( ) ( )[ ] AC B x A x +−+=+ 242
3
4.- Resolver El sistema de ecuaciones: x-2y = A ; 2x+3y = B ; x ; y pertenecen a
los reales por los reales donde:
−
=
−=
87
812,
47
36 B A
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 110
5.- Sean las matrices:
−
−−
=
+=
−
−=
01
23
2
43
42,
3
2C y
y B
y x
x y x A Si A = B ,
Hallar A + 3C
6.- Dadas las matrices
=
−
−=
−=
510
111
14
72,
12
53C y B A Resolver
la ecuación ( ) ( )[ ] C x B A B x ++−=+ 232
7.- Dadas las matrices
−
−
=
−
=
−
−
= 12
37
54
32
,22
53
C y B A Resolver
las ecuaciones siguientes:
a) 3(x-2A) = 5(B-C) + 2(x-A-B)
b) 3(x-A+B) = 2 (x-2(B+C)) - (x+C)
8.- Si
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
=
10141
6512
736
191
248
576
;
638
417
213
C y B A resolver
la ecuación:
2(x-2C)=3x-C-2 (A +2B-x)
9.- Resolver el siguiente sistema: 2x+3y=A ; 5x-2y=B donde x ; y pertenecen a
los reales por los reales donde:
=
−
−=
2321
4016,
616
35 B A
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 111
Tema: Multiplicación de Matrices
1.- Si
−=
=23
12
41
2132
B y A Hallar AB ; BA.
2.- Si
−=
−
=
−
=1
5
1
1
2
4
15
12
9
0
6
3
,
0
2
3
1
4
1
C y B A . Hallar la matriz:
C B A D
−= 3
1
2
3.- Sea la matriz
−=
x senx
senx x B
cos
cossi A = B2 Hallar el valor de
3
2;2211
π = x paraaa
4.- Dados las matrices
−=
−−=
−
−=
212
541
163
41
22
31,
2
3
1
5
1
2
C y B A si E
= ABC, hallar: 322311 eeeS ++=
5.-Sean las matrices:
−
−
−
−
−
−
−=
−
=
−
−
−
=
0
1
2
1
1
1
5
2
1
2
3
2
2
1
0
1
1
1
2
1
4
1
2
1
;
134
312
231
C y B A mostrar que
AB=AC, que puede concluir de esta igualdad.
6.- Hallar la matriz
==∈ ×
2821
775/ 2
2222 A yak A
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 112
7.- La traza de una matriz cuadrada A se define como: ( ) ( )∑=
=n
i
iia ATr 1
(suma de
los elementos de la diagonal principal), si
+=
−= ii
i B y
i A 1
21
42
1hallar
la Tr(A+B) ; Tr(AB); Tr(BA).
8.- Hallar la matriz P=ABCD, donde:
−
−=
−
−
=
−
=
−
−=
0
2
1
1
2
1
0
1
0
1
2
1
0
2
1
3
0
1
0
4
1
1
3
0
1
1
2
;0
0
2
1
1
0
0
1
1
0;
1
1
0
2
1
1
D yC B A
9.- Sean las matrices:
−
−
=
−
−
=
−
−=
−=
241
332
012
1
2
4
0
1
6
2
1
4
1
0
3
;2
1
4
10
6
2
8
3;
43
12 D yC B A Si
P=ABCD Hallar la suma: 231312 22 p p pS −+=
10.- Hallar todas las matrices de segundo orden, cuyos cuadrados son iguales a lamatriz nula.
11.- Halla a, b, c y d para que satisfagan la ecuación:
=
4
6
8
6
9
0
1
1
0100
0010
1100
0201
2941
d cba
12.- Si
−
=
−−
−
3
5
1
013
102
120
z
y
x
calcular: x+y+z
7/11/2019 GUÍA DE ÁLGEBRA
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 113
13.- Si
−−=
− b
ad
c
b
a
0
17
5
5
11
1100
0030
2103
0211
1
1
2
2Hallar el valor de
S= a+b+c+d
14.- Si
−=
34
31 A Hallar
y
xtal que:
=
=
y
x
y
x A 3
15.- Demostrar que A(B+C)=AB+AC
16.- Dada la matriz
=2332 A Hallar el valor de A 42 −
17.- Comprobar que las identidades algebraicas
( ) ( )( ) 22222 2 B A B A B A y B AB A B A −=−+++=+ no son cierta para
las matrices:
=
−=
21
01
20
11 B y A
18.- Si
−=
−=
==
01
12
21
10;
10
0122 BA y AB B A Hallar: a)
( )2 B A + y b) ( )( ) B A B A −+
19.- Sea ( ) 22,715
24
815
23 y xy x y x f y B y A +−=
−
−=
−
−=
a) Verificar que A y B conmuten
b) Evaluar: ( ) B A f ,
20.- Sean las matrices:
=
=
=
041
162
173
9
7
8
3
1
0;
43
12C y B A Si P=ABC,
hallar la suma de 231112 p p pS ++=
7/11/2019 GUÍA DE ÁLGEBRA
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 114
21.- Si
−=
121
211
312
A hallar la matriz 23 2 AM −=
Tema: Multiplicación de Matrices
1.- Hallar el valor del polinomio f(A) de la matriz:
=
30
12 A si
( ) 43 2 −= x x f
2.- Establecerse la matriz
−
−−
−
=
421
421
421
A es idempotente.
3.- Determinar si la matriz
−−−
=
312
625
311
A es nilpotente.
4.- Determinar si la matriz
−
−−
=
032
142
263
A es involutiva.
5.- Si A y B son matrices involutivas y
−
−==
534
212
063
BA AB hallar la
traza de la matriz ( )2 B A x +=
6.- Dada la matriz
=
2154
5102
424
A hallar la matriz triangular inferior B, tal
que: BB
T
=A.
7/11/2019 GUÍA DE ÁLGEBRA
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 115
7.- Determinar si existe, la inversa de la matriz
−=
321
021
001
A
8.- Hallar el polinomio f(A) de la matriz A.
a)
−=+−=
31
21;13)( 2 A x x x f
b)
−
−
−
=+−=
253
142
321
;523)( 2 A x x x f
c)
−=−++=
42
11;328)( 23 A x x x x f
d)
−=+−−=
13
32;423)( 23 A x x x x f
9.- Sean:
−=
=+−=
43
21
02
13;3)( 2 B y A x x x f evaluar
)( B A f +
12.- determinar si
−
−
=
111
100
111
A es inversible si así lo fuera, calcular su
inversa.
13.- Hallar A-1 para la matriz
=
412
254
123
A
7/11/2019 GUÍA DE ÁLGEBRA
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 116
14.- Resolver la ecuación matricial AXB=C sabiendo que:
=
=
−
−=
109
1614
87
65;
25
13C y B A
15.- Resolver las ecuaciones matriciales:
a) AX=B ; si
=
=
95
53;
43
21 B A
b) XA=B ;
−
−=
−
−=
65
21;
45
23 B A
c) AX=B ;
−
=
−
−
−
=
8710
7210
031
;
012
423
321
B A
d) XA=B ;
−
−
−
=
−
−−=
0152
095
038
;
125
231
135
B A
Tema: Determinantes por menores complementarios y inversa por laadjunta
1.- Calcular los siguientes determinantes de orden tres: por menorescomplementarios
101
678111
322
645131
543
513123
502
111321
−
−−−
7/11/2019 GUÍA DE ÁLGEBRA
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 117
2.- Calcular los siguientes determinantes de orden cuatro:
3513
1242
2232
2101
5042
4323
2123
4232
−
−
−
−
−
−
3.- Define la matriz inversa de una matriz regular y determina por uno de los
procedimientos la matriz inversa de la matriz A: A =
769
813
524
4.-Siendo
=
0 1 1
1 0 11 1 1
A , calcula su matriz inversa y su determinante.
5.-Sea 1 1 12 1 11 1 2 Determinar su inversa
6.- Dadas 2 1 10 1 04 2 2 0 1 11 2 31 0 1 Determinar la inversa de cada
una de las matrices, si existe.
7.- .Dada
1 4 01 2 15 3 3
, determinar su inversa
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 119
Vector de origen P y extremo Q
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
x
y
(2,6)
(6,10)
PQ
P=
Q=
(0,0)
(4,4)
4
4
O
=R
6.1 Vectores el plano
Un Vector es un segmento orientado. A los puntos P y Q que definen el vector se les llama respectivamente: “origen” y “extremo” del vector.
Todo vector se caracteriza por:
Módulo: que es la distancia del punto P al Q.
Dirección: que es la misma que la recta que lo contiene (o paralela).
Sentido: para un vector, lo marca el del recorrido de P a (cada dirección tienedos sentidos de recorrido).
Se definen las coordenadas de un vector en el plano como:
Dos números (a,b) que sirven para pasar desde el punto P(origen) al puntoQ(extremo) del vector dado.
• “a” las unidades que me he de desplazar sobre el eje X(hacia la derecha si a es positivo y hacia la izquierda si a es negativo).
• “b” las unidades que me he de desplazar sobre el eje Y
(hacia arriba si b es positivo y hacia abajo si b es negativo).Cuando dos vectores tienen la misma dirección, sentido y módulo se dice que son“iguales”. En tal caso tienen las mismas coordenadas.
Habitualmente al vector de origen P y extremo Q se le nombra→
PQ .
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 120
Observa como el vector, de origen P y extremo Q, tiene de coordenadas:
(a, b) = (6-2, 10-6) = (4,4). Las mismas coordenadas que el vector de origen O yextremo R, ambos vectores son “iguales” pues tienen mismo módulo, direccióny sentido.
El módulo del vector es: 66.53244 22 ≈=+= →
PQ(Pitágoras).
Vector fijo.
Es un segmento orientado. Lo representamos por v por o AB . El punto A es el
origen y el punto B el extremo. Mientras no preste confusión el vector v podemos expresarlo simplemente por v.
Vectores equipolentes:
Son aquellos que tienen la misma dirección, el mismo módulo y el mismosentido.
v
A
B
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 121
Vector libre.
Es el conjunto formado por un vector fijo y todos los vectores equipolentes a él.
Vector nulo
Es aquel cuyas componentes son todas iguales a cero, lo representaremos por
( )0,0,0,...,0Θ =
6.2 Operaciones con vectores
Resta de Vectores:
Restar dos vectores geométricamente implica "trazar" un tercer vector desde elextremo del primero hasta el extremo del segundo. Aritméticamente restamos lascomponentes verticales y horizontales entre sí.
A = (7, 2)
B = (5, 4)
A - B = (7, 2) - (5, 4) = (7 - 5, 2 - 4) = (2, - 2)
Suma de Vectores
Si tenemos dos vectores podemos sumarlos y hallar un tercero (llamado en física:resultante). Hay autores que indican que una magnitud es vectorial si se los puedesumar mediante en método del paralelogramo.
Método del paralelogramo: es un método geométrico en el cual trazamos dossegmentos paralelos a la dirección de cada vector, por los extremos de losmismos. Uniendo la intersección de los vectores y de los segmentos paralelos(puntos en color) obtendremos el vector suma.
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 122
Analíticamente, se suman las componentes.
A = (0, 5)
B = (5, 4)
A + B = (0,5) + (5,4) = (0 + 5, 5 + 4) = (5, 9)
Propiedades:
1. A + B = C (al sumar dos vectores se obtiene otro vector - ley decomposición interna)
2. a. A = a ( x1 , x2) = (a x1 , a x2) (para a Î R) [el producto de un vector yun escalar da otro vector]
3. (- 1) . A = - A (opuesto) A- 1 = 1 / A (inverso)4. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)5. A + B = B + A (propiedad conmutativa)6. a . (A + B) = a . A + a . B (para a Î R) (propiedad distributiva)7. A (a + b) = A . a + A . b (para a Î R, b Î R)8. A + 0 = 0 + A = A [0 representa el vector nulo (0, 0) que es neutro en
suma]9. A + (- A) = 010. 1 . A = A (1 es neutro en producto)
11. 0 . A = 0 (0 es absorvente en el producto)Los vectores que se encuentren en el plano pertenecerán a R 2 y se llamarán"pares"; mientras los que se ubiquen en el espacio de tres dimensiones pertenecerán a R 3 (llamándose ternas), si hay cuatro dimensiones pertenecerán aR 4, así sucesivamente
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 123
Operaciones con Vectores en el plano
Dados los vectores→
PQ y →
RS del plano podemos definir las operaciones:
1. Producto de un número k por un vector (→
PQ , por ejemplo).
Se escribe →
PQk , y si →
PQ tiene de coordenadas (a, b)
el vector →
PQk tiene por coordenadas: (ka, kb).
Observa el ejemplo gráfico:
El vector → PQ tiene por coordenadas (2,4) (resta de Q menos P).
Pues bien, en este caso, el vector: →
PQ2 es un vector cuyas coordenadas se
obtienen así: →
PQ2 = 2(2,4) = (4,8).
Observa además que:
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
x
y
(3,2)
(5,6)
PQ
2.PQ
-1.PQ
(3,2)
(7,10)
2.PQ
-1PQ
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 124
→
PQ2 tiene la misma dirección y sentido que→
PQ , (su módulo es doble). Sin
embargo: →
− PQ1 = (-2,-4) es un vector que: tiene la misma dirección pero
sentido opuesto a →
PQ (módulos iguales).
2. Suma de dos vectores y se escribe: →
PQ +→
RS
Si las coordenadas de →
PQ y →
S son (a, b) y (c, d) respectivamente
Las del vector: →
PQ +→
RS son (a+c, b+d).
Observa el ejemplo gráfico:
Las coordenadas de los vectores son:
→
PQ :(2,2) (se resta Q menos P) y →
RS :(2,-4) (se resta S menos R).
Su suma:
→
PQ +
→
S es un vector que se puede obtener de dos formas:
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
(1,2)
(3,4)
(3,6)
(5,2)
PQ
RS
PQ+RS
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Analíticamente: según hemos dicho es: →
PQ +→
RS = (2,2)+ (2,-4)= (4,-2).
Geométricamente: mediante la regla del paralelogramo: si colocamos los
vectores con el mismo origen, [(0,0) en este caso], que son dos vectores “iguales”
(mismo módulo, dirección y sentido) a los dados→
PQ y→
RS
(en el gráfico son: punteado en rojo para→
PQ y en verde para →
RS ), tendremos
que la suma de esos dos vectores →
PQ +→
RS es igual a la diagonal del
paralelogramo que los tiene por lados).
El opuesto de un vector →
PQ no es más que el producto del número k = -1 por
dicho vector, es decir: k →
PQ . es opuesto a →
PQ si k = -1.
Habitualmente el opuesto de →
PQ se escribe: →
− PQ
Ahora se puede afirmar que la resta de dos vectores es la suma de uno de ellos
con el opuesto del otro, por tanto si un vector es→
PQ y otro →
RS entonces la resta
de ambos [que se escribe así: →
PQ -→
RS ]
es la suma de →
PQ y el opuesto de→
RS , o sea, tendremos que:
→
PQ - →
S =→
PQ + ][→
− RS
Ejemplo 1.-
Dados los vectores = →
u →
B y = →
v →
C siendo las coordenadas de los puntos
( ) ( ) ( )2,65,43,1 −=== C B A . Calcula:
a) Coordenadas de →
u y →
v b) Representa + →
u →
v e indica sus coordenadas.
c) Representa →
u3 , →
− u2 y →
v0 e indica sus coordenadas
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d) Representa: → →
− vu 43 y calcula sus coordenadas.
Solución.-
a)( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )→ →
→ →
=−=−−=
==−=
v BC
u AB
7,25,42,6
2,33,15,4
b) ( ) ( ) ( )→ → → →
+=−=−+=+ vu BC AB 5,57,22,3
c) ( ) ( ) ( )0,00,4,62,6,93 =−−=−=→ → →
vuu
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Observa como el vector →
− u2 es el
opuesto del
→
u2 , o sea: → →
−=
− uu 22.1
d) → → → →
−+=− vuvu 4343
( ) ( ) ( ) ( ) ( )34,128,86,97,242,33 =−−=−−
Ejemplo 2.-
Sean los vectores: →
u )8,5(− →
v ( )10,41 −− y →
w ( )6,3
a) Calcula las coordenadas de → → →
+− wvu 1023
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b) Calcula el valor de x e y para que se cumpla: → → →
=+ vw yu x
a) ( )104,971023 =+−
→ → →
wvu
b) → → →
=+ vw yu x igualando las coordenadas de esos vectores obtenemos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10,416,38,510,416,38,5 −−=+−⇒−−=+− y y x x y x por tanto:
−=+
−=+−
1068
4135
y x
y x
Resolviendo este sistema por reducción obtenemos: x = 4 y = -7.
Finalmente comprobamos que se cumple: 4.(-5,8)+ -7(3,6) = (-41,-10)
Hemos visto que los vectores con origen en el (0,0) y extremo en un puntocualquiera R, tienen por coordenadas (a, b) las mismas que las del punto R.
Así por ejemplo en el gráfico de la pagina 1 el punto R = (4,4) y el vector con
origen en (0,0) y extremo en R tiene por coordenadas (a, b) = (4, 4).
Este resultado nos va a permitir calcular las coordenadas de distintos puntos a losque se puede llegar mediante un recorrido vectorial.
Ejemplo 3.-
Calcula coordenadas del punto medio del segmento de extremos A = (1, 4)B = (9, 8).
Observa el siguiente gráfico:
punto medio de un segmento
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
2
4
6
8
x
y
(1,4)
(9,8)
A=
B=
OA
OB
M
OM
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división en cinco partes iguales
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
2
4
6
8
10
12
x
y
(1,2)
(16,12)B=
A
P1
P2
P3
P4
Recordemos que las coordenadas del vector ( ) ( ) ( )4,84,18,9 =−= →
AB
Observa en el gráfico como se puede llegar al punto M mediante un “recorrido”
vectorial: ( ) ( ) )6,5(4,821
4,121
=+=+=+=→ → → → →
ABOA AM OAOM
Hay ya establecida una fórmula para el cálculo del punto medio de un segmento
de extremos: ( ) ( )2211 ,, y x B y x A ==
Si ( )mm
y xM ,= es el punto medio de ( ) ( )2211 ,, y x B y y x A ==
entonces:
( )
++=
2,
2, 2121 y y x x y x
mm
en este caso sería, como ya hemos visto: ( ) ( )6,52
84,
2
91, =
++=
mmy x
Ejemplo 4.-
Calcula las coordenadas de los cuatro puntos que dividen al segmento deextremos:
A = (1,2) y B = (16,12), en cinco partes iguales.
Observa sobre el gráfico que a los puntos pedidos les hemos llamado:
4321 ,,, P P P P
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El vector
( ) ( ) ( )10,152,112,16 =−= →
AB y ( ) ( )2,310,155
1
5
1==
→
AB
Como podemos ver en el gráfico tendremos que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6,74,62,15
24,42,32,1
5
121 =+=+==+=+=
→ → → → → →
AB ABOP AB ABOP
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10,138,122,15
4
8,106,92,15
343 =+=+==+=+=
→ → → → → →
AB ABOP AB ABOP
Recuerda que las coordenadas de los puntos 4321 ,,, P P P P coinciden con las
coordenadas de los vectores → → → →
4321 ,,, OP OP OP OP respectivamente.
6.3 Vector unitario
Es aquel vector cuya norma es igual a la unidad. Es decir si A es un vector,decimos que es unitario si y sólo si 1 A = .
Ejemplo: Pruebe si el vector 3 4
,5 5
A =
es un vector unitario.
2 23 4 9 16 25
1 15 5 25 25 25
A = + = + = = =
por lo tanto A es un vector unitario.
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α
A = (a1 ,a2 )
x
y
o
Angulo directores y cosenos directores
β
1cosa
Aα =
2cosa
A
β =
6.3.1 Vector unitario en la dirección de otro vector:
es aquel vector unitario que define la dirección del vector dado, el cual vienedado por el cociente entre el vector y su norma. Es decir, si A es un vector sedefine el vector unitario en la dirección de A como:
AU =
Ejemplo: Hallar el vector unitario en la dirección del vector ( )3, 2,4 . A = −
( ) ( )3, 2, 4 3, 2, 4 3 2 4
, ,9 4 16 29 29 29 29 AU
− − −
= = = + +
6.4 Ángulos directores de un vector dado:
Son los ángulos que forma el vector con cada uno de los ejes del sistema dereferencia.
Cosenos directores: son los cosenos de los ángulos directores de un vector dado.
Según vimos en la definición de vector unitario en la dirección de otro vector tenemos que:
( )1 2 1 2,
, A
a a a aU
A A A
= = =
podemos ver que las
componentes de este vector son justamente los cosenos directores del vector A,
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por lo tanto tenemos que: ( )cos , cos AU α β = lo cual verifica el por que el
vector unitario en la dirección de otro vector representa la dirección del vector
dado. Generalizando tenemos que si( )1 2 3
, , ,...,n
a a a a= sus cosenos
directores son:
11cos
aα = , 32
2 3cos , cos , ... , cos nn
a aa
A Aα α α = = = .
6.5 Vectores opuestos:
Dos vectores son opuestos cuando sus componentes correspondientes son
opuestas. Es decir, si ( )1 2 3, , ,..., n A a a a a= su opuesto será
( )1 2 3, , ,..., na a a a− = − − − − .
6.6 Vectores paralelos o asociados o ligados:
Dos vectores son paralelos cuando tienen la misma dirección, o sea, cuando suscomponentes correspondientes mantienen una misma proporcionalidad. Es decir
A y B son paralelos si y sólo si A BU U = o nB= .
Ejemplo:
Pruebe si ( )1,2 A = y ( )4,8 B = son paralelos.
Para probar tenemos que nB= ( ) ( ) ( )1,2 4,8 4 ,8n n n= = luego 1 = 4n por
tanto n = ¼
También tenemos que 2 = 8n por tanto n = 2/8 = ¼. Luego son paralelos.
De otra forma podemos decir que: BU U =
( ) ( )1,2 1,2 1 2,
1 4 5 5 5 AU
= = = +
( ) ( ) ( ) ( )4,8 4,8 4,8 4,8 4 8 1 2, ,
16 64 80 16 5 4 5 4 5 4 5 5 5 BU
= = = = = =
+ ×
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Luego A BU U = por lo tanto son paralelos.
Ejemplo:
Hallar un vector paralelo a ( )3,4, 7 A = − cuya segunda componente sea igual a
12.
Tenemos que // A B nA⇒ = si ( )1 3,12,b b= entonces
( ) ( )1 3,12, 3,4, 7b b n= −
12 = 4n luego n = 12/4 = 3 por lo tanto
1 33 3 9 y 3 7 21b b= × = = × − = − por lo tanto el vector ( )9,12, 21 B = − .
6.7 Producto Escalar entre dos Vectores:
Es la función operacional que asocia a dos vectores de un mismo sistema dereferencia a un escalar que viene definido por la sumatoria de los productos delas componentes correspondientes de los vectores dados. Es decir, sean
( )1 2 3, , ,..., n A a a a a= y ( )1 2 3 3, , ,..., B b b b b= dos vectores se define el producto
escalar A∗ como:
A∗1
n
i
i
A B a b=
= ∑
A∗ 1 1 2 2 3 3 ... n n A B a b a b a b a b= + + + +
Ejemplo: Hallar el producto escalar entre ( )2,3, 4 A = − y ( )2,5, 1 B = − − .
A∗ 22 35 41 4 15 4 7
Ejemplo: Hallar el producto escalar entre ( )2,1,4, 7 A = − y ( )3,1,0,5 B = .
A∗ 23 11 40 75 6 1 0 35 28
Ejemplo: Hallar el valor de " " x tal que el producto escalar entre
( )2, 3,4 A x= − y ( )3,4, x= − sea igual a 7.
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A∗ 7 → 2, 3,4 3,4, 7
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 3 3 4 4 7
6 4 12 4 78 16 7
8 23
23
8
x x
x x
x
x
x
− + − + =
− + − + =− =
=
=
6.8 Producto vectorial de Dos Vectores
El producto exterior de dos vectores ),( 11 ba y ),( 22 ba es el vector:
),0,0(),(),( 1221221 babababa −=×
Este producto también es conocido como producto cruz o como productovectorial.
‡ Es importante resaltar que el vector resultante está en la tercera dimensión.
Ejemplos
• )8,0,0())4)(1()2)(2(,0,0()2,1()4,2( −=−−=−×
• )8,0,0())2)(2()4)(1(,0,0()4,2()2,1( =−−=×−
• )1,0,0())0)(0()1)(1(,0,0()1,0()0,1( =−=×=× ji (éste vector se conocecomo k )
El producto exterior tiene una propiedad conmutativa de carácter especial:
),(),(),(),( 11222211 babababa ×−=×
Finalmente, si se tienen dos vectores A y B en coordenadas polares, entonces lamagnitud del producto vectorial se define como:
θ senBABA =×
En ésta ecuación, A es la magnitud del vector A, B es la magnitud del vector
B y θ es el ángulo entre ambos vectores.
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 135
La dirección del vector resultante está determinada por la regla de la manoderecha. En la regla de la mano derecha el dedo índice apunta en la dirección delvector A y el dedo pulgar apunta en la dirección del vector B, luego la direccióndel vector resultante se obtiene de la dirección del dedo pulgar cuando se cierra eldedo índice. Si el dedo pulgar apunta arriba, entonces la dirección es positiva, deotro modo negativa.
Ejemplo
Calcular el producto vectorial de los vectores que se muestran en la figura .
La magnitud del producto vectorial es:
55.353)45sen()25)(20( ==× BA
De acuerdo a la regla de la mano derecha, la dirección del vector resultante esnegativa.
El vector resultante en coordenadas rectangulares es:
)55.353,0,0( −=× BA .
6.9 Vectores Ortogonales
Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando el producto escalar entreellos es igual a cero.
Sean A y B dos vectores, decimos que A y B son ortogonales si y sólo si
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Si A y B son ortogonales podemos ver en la grafica que: B A B+ = −‖ ‖ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2 ∗ ‖ ‖ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2 ∗
de donde tenemos que: ∗ 2 ∗
4 ∗ 0, por lo tanto ∗ 0 LQQD
Ejemplo: Pruebe si ( )4,3, 5 A = − y ( )2,4,4 B = son ortogonales.
Para que sean ortogonales se debe cumplir que ∗ 0 por tanto 4,3,5 ∗2,4,4 8 12 20 0 luego los vectores A y B son ortogonales.
Ejemplo: Determine el valor de x tal que ( )2,1, 3 A = − y ( ),5, 2 B x x= −
sean ortogonales.
∗ 0 ⇒ 2,1,3 ∗ , 5, 2 0
2 5 3 6 0
11 0
11
B- B
A
A - B A + B
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 137
Tema: Vectores
Noción de vector y características de un vector
1. Un vector fijo tiene su origen en el punto A(1,-4) y sus coordenadascartesianas son (3,2). Halla las coordenadas de su extremo y calcula elmódulo del vector.
2. La base de un triángulo isósceles mide 4cm y está situada sobre el eje delas x, con su punto medio en el origen de coordenadas. La altura deltriángulo sobre dicha base es de 10cm. Calcula:a) Las coordenadas de los vértices del triángulo. b) Las coordenadas de los puntos medios de los lados del triánguloc) Las coordenadas de los vectores que unen el origen con los otros dos
puntos medios.3. Un triángulo tiene vértices en A(1,2); B(-2,-1) y C(4,-3). El triángulo se
traslada sin rotar de forma que el punto A recae sobre A’(0,0). Calculalas coordenadas de los puntos B’ y C’ sobre los que recaen B y C,respectivamente.
4. Tres vértices consecutivos de un rectángulo son los puntos decoordenadas (1,1); (6,6) y (3,9). Halla las coordenadas del cuarto vértice.
5. El vector vr
tiene coordenadas (4,-5). ¿cuáles serán las coordenadas deun vector w
r
que tenga la misma dirección y el mismo módulo, pero sentido contrario?
6. Si A(2,3), B(-2,6), C(10, 4). ¿Cuáles son las coordenadas del punto D si B y CD son equipolentes?
7. Sean P (-2,4) y Q (3, -5). Calcula las coordenadas del punto R, que seencuentra siguiendo la misma línea recta que une P y Q, pero a dobledistancia de P que el punto Q. ¿Cuál es esa distancia?
8. Calcula las coordenadas del punto H, que está situado en el segmentoMN a una distancia de M igual a un tercio de la longitud del segmento.M(-4,7); N(11,-5)
9. Los lados de un rectángulo miden a y b respectivamente. Situamos dichorectángulo en el primer cuadrante de unos ejes coordenados, de formaque sus lados se sitúan sobre los ejes y su vértice inferior izquierdocoincide con el origen de coordenadas.a) Escribe las coordenadas de los 4 vértices del rectángulo. b) Escribe las coordenadas del vector que representa el desplazamiento
desde la esquina inferior izquierda a la esquina superior derecha.c) Halla las coordenadas del centro del rectángulo
10. Repite el ejercicio anterior, pero situando el rectángulo de forma que suslados sean paralelos a los ejes, y que el centro del rectángulo se sitúesobre el origen de coordenadas.
11. Dos puntos opuestos de un hexágono regular tienen coordenadas L(2,13)y L’(4,5). ¿Cuáles son las coordenadas del centro del hexágono?
7/11/2019 GUÍA DE ÁLGEBRA
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 138
12. Un vector tiene por extremos los puntos A(2,3) y B(8,6). Calcula lascoordenadas de los puntos que lo dividen en 4 partes iguales.
13. Dados los vectores libres vr
= (3,1); wr
= (-2,0) y ur
= (-1,5), calcula
analíticamente y representa gráficamente los siguientes vectores:a) vr + wr b) vr + wr +ur c) 2ur - wr d) ur -
2
1( v
r- w
r)
14. Halla el módulo de los vectores siguientes:
xr
= 3 ir
+ 4 jr
; yr
= 5 ir
–12 jr
; xr
+ yr
; xr
– yr
15. Halla el producto escalar vr
. wr
en los siguientes casos:
a) vr = 4; 6=wr ; Θ = 450
b) )3,1(=vr
; )4,34( −=wr
c) vr
=3; wr
=(2, 5 ); Θ = 600
d) )1,1(=vr
; )0,2(−=wr
16. Calcula:a) (5 i
v+ 2 j
r).(7 i
v- 3 j
r)
b) -3jr
.(-2 iv
+ 11 jr
)
c) (34 iv
- 7856 jr
). iv
17. Dados los siguientes pares de vectores calcula sus módulos, su producto
escalar y el ángulo que forman (para el ángulo, usa una calculadora)a) (3,4) , (-8,6) b) (3,-1) , (2,6)
c) (3,5) , (1,-6) d) (2,-3) ,
−2
1,
3
1
e)
−+
−
2
2,2
2
1 ,
2
2,2
2
1
f) (3 2 ,-3) , ( 2− ,2)
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 139
18. Determina el valor de k para que vr
. wr
sea igual a:a) 4; siendo v
r= (k,1) , w
r= (2,-3)
b) –2; siendo v
r
= (k,2) , w
r
= (3,k)
19. Determina el valor de k para que det(vr
, wr
) sea igual a:a) 4; siendo v
r= (k,1) , w
r= (2,-3)
b) –2; siendo vr
= (k,2) , wr
= (3,k)
20. Calcula k para que z v
= 3 ir
+ 4 jr
; yr
= k ir
–2 jr
a) Sean perpendiculares
b) sean paralelos
c) formen 450.
21. Calcula el valor de k para que los vectores 1,3 y )k ,12− formen120º
22. Sean los vectores vr
= (3,y) y wr
= (x,5). Calcula x e y de manera que
ambos vectores sean perpendiculares y 13=wr
23. Calcula el ángulo formado por los vectores ( )13,13 +− y
( )13,31 +− 24. Calcula los ángulos internos del triángulo de vértices A = (6,0) ; B =
(3,5) ; C = (-1,1).25. Dados z
v= (-1,k) e y
r= (2,2). ¿Hay algún valor de k tal que el ángulo
entre z v
e yr
sea de 300? ¡Piensa representando gráficamente!
26. Dados los vectores vr
= (1,5) y wr
= (3,-1), halla un vector z r
de manera
que se verifique: z r .vr = 1 y z r es ortogonal a wr .27. Sabiendo que v
ry w
rson unitarios (de módulo 1), demuestra que v
r+ w
r
es ortogonal a vr
- wr
.28. Comprueba que el vector que une los puntos medios de los lados AC y
BC del triángulo A(3,5), B(-1,-1) y C(6,0) es paralelo al lado AB y demódulo su mitad.
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O
Q
P
a
Tema: Operaciones con vectores, vectores ortogonales, perpendiculares,paralelos y modulo de un vector
1. Un vector que va de R (3,5) a S(x,y) Representa al mismo vector que va deS(x,y) a T(8,1). Hallar S(x,y)
2. En la figura adjunta se tiene: 3 xOP = y y xOQ2= . Si
→→
= ba , siendo
).6,19( 23 xy yb ++=
→
Hallar el valor de x + y
3. Dados: ),4,3( −=→
a )1,8( −=→
b y ),5,2(−=→
c hallar el vector →
v si:
a. →→→→
+−= cbav 23
b. )(2
1
4
→→→→
−−=cbav
c. →→→→
+−= cbav 3)(2
4. Hallar el vector →
x en las siguientes ecuaciones:
a) )5,3()3,1(52)2,0(3 −−=−+−→
x
b) )2,1(4)5,6(2)12,15( −=+−+−→
x 5. En las siguientes relaciones hallar, si existen, todos los números reales r y
sa. r(-2,3)-s(8,1)=(16,15) b. r(5,1)+s(-3,5)=(-2,8)c. r(-2,3)+s(4,-6)=(0,2)
6. Dados los vectores )22,53( +−−=→
y x xa y
)23,2( y x y xb −−−−=→
Hallar “x” e “y” de modo que:→→
= ba 43
7. Si )4,32( mnnma −−=→
y ),3,2( −=→
b hallar los valores de “m” y “n”
que hacen que:→→
= ba 5
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O P
Q
a
8. El vector )2,3(=→
v es el vector de posición del segmento AB, cuyo punto
medio es C(3,1). Hallar las coordenadas de los extremos del segmento . AB
9. Sean los puntos P(5/2,5), Q(1/3, 13/4), R(-16/5, 7/2) y S(x,y). Si PQ y RS representan al mismo vector, calcular el valor de 30x+80y
10. Si )6,7( −=→
v el vector de posición del segmento B y
3,
3
5C el punto
de trisección más cercano de B, de dicho segmento. Hallar las coordenadas de Ay B.
11. Sean A(a,-2), B(2,4), C(8,-3) y D=(x,y)/y =2x+1. Si B =CD , hallar elvalor de a-x.
12. En la figura adjunta se tiene:3
xOP = y xOQ −= 6 Hallar
→
a , si
),9( 3 y y xyb −=
→
y→→
= ba
13. Hallar la magnitud del vector de extremos A(1,3) y B(-2,7)
14. Hallar la magnitud y dirección del vector )4,3(−=→
v
15. Expresar el vector )33,3( −=→
v en términos de su magnitud y de su ángulode dirección.16. Hallar un vector unitario que tiene la misma dirección y sentido del vector
)7,3(−=→
v 17. Hallar un vector de módulo 10, que tenga la misma dirección y sentidoopuesto al vector que va de S(4,2) a T(1,6)
18. En los ejercicios de la “a” a la “d”, se dan las coordenadas de los puntos A y
B. Expresar cada vector ABv =→
en términos de su magnitud y de su ángulo dedirección.a. A(-3,4) , B(-5,6)
b. )3,12( − A , )4,27( − B
c. )4,35( A , )5,48( B
d. )15,123( − A , )60,20( − B
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 142
e. Hallar un vector →
v cuya magnitud es igual a la del vector )3,4( −=→
a y
cuya dirección es la misma que la del vector )3,1(=→
b
f. Hallar un vector de modulo 10 que forma un ángulo de 37º con el eje X positivo. (Sug. Cos 37º=4/5)g. Hallar un vector de modulo 15 que forma un ángulo de 53º con el eje Y positivo. (Sug. Cos 53º =3/5)h. Hallar un vector que tenga la misma magnitud del vector que va de A(-2,3) aB(-5,4) y que tenga el sentido opuesto al vector que va de S (9,-1) a T(12,-7)
i. Hallar un vector →
v de longitud 36 que tiene la misma dirección de unvector que forma un ángulo de 30º con el sentido positivo del eje X
19. Dados los vectores )4,1(−=
→
a y )2,3(=
→
b , hallar
→→
+ ba y construir unagráfica que muestre las representaciones ordinarias correspondientes a losvectores.
20. Si )2,4(=→
a y )3,3(−=→
b , hallar la diferencia de→→
− ba y trazar una
gráfica que muestre la representación ordinaria de los tres vectores.
21. Sea→
x un vector tal que (3,-4)= )6,1( −+→
x . Si (3,-2) = t ),1,1(−+→
r x hallar
el valor de 3r + 6t.
22. Dados: )2,2(−=→
a , )2,3( −=→
b y )1,1(−=→
c , resolver la ecuación:
3→
a -
+
−→→→
acb 2232 +→→→
+= xc x 23 .
23. Mediante segmentos orientados demostrar la propiedad
).()(:3
→→→→→→
++=++ cbacba A
24. Sean )3,2(−=→
a y ).3,4( −=→
b Un segmento dirigido que representa a
−→→
ba6
1
3
2tiene por punto inicial S (5,-3/2); hallar el punto final.
24. Se tiene 2 (2,-3) +→
c = (3,-5) + (a,7) y→
c está sobre la recta L: y = x+2. Si A
(3,5) y B (-2,6), hallar el punto tal que . AB PC −=
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 143
O M
L
s
26. Los vectores→→
ba, y ,2 Rc ∈→
cumplen que:→→→
=+ cba 2 y .23→→→
=− cba
Siendo→
a un vector unitario, hallar la norma de→→
+ cb .
27. En la figura adjunta se tiene: xOM 2
5= y 2/27=OL Si
)44,2( 223 y x xa +=
→
y
−=
→
xy xyb3
4,
3
1 2 , Hallar x-y de modo que: 2
→→→
−
= ba s 2
3
1.
28. Sea el hexágono regular de lado a, mostrado en la figura. Al sumar
AE y DC AC BA ,, se obtiene un vector .→
s
29. En el triángulo ABC, M es un punto de AC tal que MC AM
2
3= Si la
horma del vector M es 2, hallar la norma del vector: BC BAv 32 +=→
B
A CM
B CD
EF
A
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 144
30. Determinar si los vectores dados son paralelos.
a. )1,4( −=→
a , )3,12(−=→
b
b. )6,3( −=
→
a , )2,1(=
→
b
31. Demostrar que si 2, Rba ∈→→
son vectores paralelos y θ ≠→
b entonces existe
un escalar r para el cual se tiene:→→
= br a
32. Demostrar que si:→
a | |→
b ,→
b | |→
c y→→
→≠ ab θ | |→
c
33. Demostrar que si→→→
+= cbd y→
b | |→
a , entonces:→
c | |→
a
34. Si→
a =(1-2m,1) y→
b (-7, m+2), determinar los valores de m, de modo que→a sea paralelo a
→b .
35. Si→
a =(1,18) lo expresamos como→
a =→
x +→
y , donde→
x | |→
b e→
y | |→
c . Si
)4,1(−=→
b y ),3,2( mmc =→
hallar el vector →
x .
36. Se tiene que:→
a = (m,2m),→
a -→
b =(2m,p) ,→
b | |→
a y la norma de→
a -→
b es 20.
Hallar la norma de→
b
37. El vector
→
a = (3,0) se descompone en dos vectores
→
b y
→
c paralelos a losvectores
− r r
2
3,2 y ( ) p p 3,− respectivamente, donde r ≠ 0 y p ≠ 0. Hallar la
longitud de→
b y→
c
38. Dados los vectores ),2,2( aa =→
),,6( nb =→
).3,( ncc =→
Si→
a | |→
b | |→
c ,calcular el valor de an+c
39. Si )20,5( −=→
b y )3,12(=c ; Hallar | |→
1v | | . | |→
2v | | , siendo→
1v | |→
b ,→
2v | |→
c y→
1v +→
2v = (-7 , 4 ).
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Tema: Producto vectorial
1.- Si
3 2 , 2 1 , 2 2.
Hallar:→→→
×
× cba ;
××
→→→
cba
2.- Determinar el vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores 2 6 3 4 3 3.- Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por
( ) ( )→→→→→
×=−== vuw yvu 0,1,2;3,2,1
4. -Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por
( ) ( ) ( )4,1,22,7,1;1,1,3 −==−=→→→
c yba
5.- Calcular el valor de m para que sean coplanares
( ) ( ) ( )1,5,43,,1;1,3,2 −−==−=→→→
w ymvu
6.- Dados→→→→→→→→
++−=+−= k jivk jiu 23;2 comprobar que los vectores→→
× vu y→→
× uv son opuestos y hallar su modulo
7.- Hallar el área del paralelogramo que forman los vectores
( ) ( )2,4,1;2,1,7 −=−=→→
ba
8.- Hallar un vector perpendicular a ( ) ( )0,3,1;1,3,2 −==→→
vu y que seanunitarios
8.- Hallar un vector ortogonal a ( ) ( )1,0,2;0,1,1 =−=→→
vu y cuyo modulo sea
24
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G u í a P r á c t i c a d e A l g e b r a 146
9.- Calcular el volumen del paralelepipedo definido por
( ) ( ) ( )1,6,02,4,7;1,5,3 ==−=→→→
w yvu
10.- Hallar el valor de “x” para que los vectores
( ) ( ) ( ) xw yvu ,14,12,4,7;1,5,3 ==−=→→→
sean coplanares (el volumendeterminado por ellos sea cero)
11.- Hallar el producto vectorial de ( ) ( )2,1,4;6,7,3 −=−=→→
vu
12.- Hallar el área del triangulo determinado por los vectores
( ) ( )2,1,4;6,7,3 −=−=
→→
vu
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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
• FIGUEROA GARCIA RICARDO, Vectores y Matrices . Lima America1998
• MACHADO BEJAR NILTON, Algebra, Lima – Peru, EdicionesCPUNALM 1994
• SWOKOWSKI, EARL W. (1998). Cálculo con Geometría Analítica. México. Editorial Iberoamericana.
• LEHMANN CHARLES H. (1980). Geometría Analítica. México.Editorial Limusa
• LEITHOL, LOUIS. (1996). El Cálculo con Geometría Analítica. México.Harla.
• FIGUEROA GARCIA RICARDO, Matemática Basica I . Lima America
1988