VECTORES

1. Dados los siguientes vectores: kjia ˆˆˆ 32

; kjib ˆˆˆ 334

y kjc ˆˆ 4

.Determinar:

a) ba

b) cba

23

c) cba

32 )(d) bcb

234 )(

e) El ángulo que forma el vector a

con cada uno de los ejes coordenados.f) El ángulo entre los vectores: b

3 y c

2

Solución:a) kjikjiba ˆˆˆˆ)(ˆ)(ˆ)( 266313342

7876266 222 ,)()( ba

b) kjikjkjikjicba ˆ)(ˆ)(ˆ)()ˆˆ(ˆˆˆ()ˆˆˆ( 8912931224233433223

jicba ˆˆ 101423

c) )ˆˆ()ˆˆˆ()ˆˆ()ˆˆˆˆˆˆ()( jikjikjkjikjicba 12359101236683232

8712539010 ))(())(())((

d) )( cb

34 = jicbjikjkji ˆˆ)(ˆˆ)ˆˆ()ˆˆˆ( 91634916433344

kjib ˆˆˆ 6682

kjikji

bcb ˆˆˆˆˆˆ

)( 249654

668

0916234

e) Ángulos que forma a

con los ejes coordenados

Con el eje X : º,cos 312214

2

aax

Con el eje Y : º,cos 73614

3

aay

Con el eje Z : º,cos 57414

1

aaz

f) Angulo entre los vectores cyb

23

º,coscos.)( 612868306902323 cbcb

2. Hallar las componentes rectangulares del vector a = 5u, en la dirección 30ª respecto alsemieje positivo de las x.

Solución:Ligamos el vector a, a un sistema de coordenadas cartesianas y lo proyectamos en cadauno de los semieje

aax030cos de donde 00 30530 coscos aax 334. xa

aa

sen y030 de donde 5230530 ,. yy asenasena

3. Sumar los vectores a y b de la siguiente figura

Solución:

Se aplica el teorema de Pitágoras2552543 22 SS

4. Tres personas tiran de un cuerpo al mismo tiempo aplicando las siguientes fuerzas: F1= 5N al Sur. F2 = 10N 30º al Sur-Este y F3 = 7N 45º al Nor-Este. Calcular por medio decomponentes rectangulares, la fuerza resultante y la dirección a donde se mueve.

Solución:Graficar todas las fuerzas con sus respectivas componentes en el sistema decoordenadas rectangulares y calcular las componentes rectangulares

NsenFF

NFF

NsenFF

NFF

NsenFF

y

x

y

x

y

9470745

9470745

8801060

5501060

51590

033

033

022

022

011

.).(.

.).(cos.

).(.).(cos.

))((.

Ahora se calculan las Fx y Fy , entonces

NFNNNNNNFFFFNFNNNNFFFF

yyyyy

xxxxx

181894139485

99999450

321

321

;,,,.,,

Luego se calcula la fuerza resultante, aplicando teorema de Pitágoras NNNNNNFFF yxR 71262163616501981899 2222222 ,,,,,,

Calcular la dirección''' .

,,tan 8621173999

18 011

tg

FF

gx

y

Grafica de la solución

5. Un vector M de magnitud 15 unidades, y otro vector N de magnitud 10 unidades seencuentran formando un ángulo de 60º. Encontrar el producto escalar y el productovectorial. Sol: PE = 75 unidades y PV = 129,9 unidades.

6. Cuatro vectores fuerzas coplanarios están aplicadas a un cuerpo en un punto 0, comolo indica la figura. Hallar gráficamente su resultante.

7. Dados los vectores A (2,4,-2); B (-1,3,2), determina:a. Expresa dichos vectores en función de sus componentes rectangulares.b. Determina el vector suma y su módulo.c. Calcula el vector V= 2A-B y su módulo.

8. Dados los vectores: A (2,-1,2) B (4,0,-2) C (0,0,1)a) Expresa dichos vectores en sus componentes cartesianas.b) Determina el vector D= A +1/2 B –C.c) Efectúa el producto escalar de A y B.

9. Dados los vectores A(3,0,-1) y B(0,-2,0) determina:d. El producto escalare. El producto vectorial.

10.Exprese los vectores A, B, C , D , E y F en términos de los vectores unitarios. En lafigura cada cuadrado es una unidad.

A

11.Dados A(5,3,4) y B=6i-j+2k, calcular:a) su producto escalarb) el ángulo que formanc) los cosenos directores del vector B.

CINEMATICA

1. Un cuerpo que se mueve con velocidad constante de 3 m/s, se encuentra situado a 15m a la derecha del origen cuando comienza a contarse el tiempo. Escribe lasecuaciones que describen su movimiento.

Solución:

Ecuaciones generales para el movimiento rectilíneo y uniforme:tvddteconsv o .tan

Valores de od y v para este caso: smvmdo 315 Ecuaciones particulares para este movimiento: tdv 3153

2. El movimiento de un cuerpo obedece a la ecuación siguiente: tS 512 Indica eltipo de movimiento del cuerpo y realiza un esquema de su trayectoria.

a) ¿Qué aspecto tendrán las gráficas s/t y v/t?b) ¿Cuánto tiempo tardará en pasar por el origen?

Solución:

El cuerpo se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme (M.R.U), ya que la ecuación s/tes del tipo tvSS O . , siendo los valores de las constantes, para este caso: mSO 12el signo menos se debe a que inicialmente se encuentra situado a la izquierda del origen.v = 5 m/s el signo positivo nos indica que se mueve hacia la derecha.

a) Graficas

c) Cuando pase por el origen se cumplirá sttS 425

1251200 ,

3. Dado el siguiente esquema

a) Escribir las ecuaciones que describen el movimiento de los puntosconsiderados.

b) ¿A qué distancia del origen se encuentran?

Solución:

a) Para el punto A: smvmSo 310 Luego: tSA 310 Para el punto B: smvmSo 730 Luego: tSB 730

b) Cuando se encuentren, ambos estarán situados a lamisma distancia del origen. Es decir:

sttttSS BA 10404730310 Se encuentran al cabo de 10s.Para saber a que distancia del origen se encuentran, sustituimos el valor obtenido para eltiempo en cualquiera de las ecuaciones, entonces

mtSA 40301010310310 )( , luego se encuentran a 40 m a la izquierdadel origen.

4. Un golfista logra un hoyo en uno en tres segundos después de que la pelota fuegolpeada. Si la pelota viajó con una rapidez promedio de 0.8 m/s, ¿Cuan lejos seencontraba el hoyo?

Solución:

?

.

sIncognita

smv

stDatos

80

3

msmss

smtvs

tsv

4242

380 ...

5. Dos corredores A y B parten del mismo lugar. A partió 30 segundos antes que B conuna velocidad constante de 5 m/s. B sigue la misma trayectoria con una velocidadconstante de 6 m/s. ¿A qué distancia del punto de partida el corredor B alcanzará a A?

Solución:

Distancia recorrida por A = Distancia recorrida por B.

mm

ssmss

sm

s

smmt

mtsm

mtsmt

sm

tsmmt

sm

tsmst

sm

ss

B

B

BB

BB

bB

BA

900900

1506301505

1501

150

1501

15065

61505

6305

El corredor B alcanzará al corredor A a los 900 m del punto de partida.

6. Un vehículo partió del reposo con una aceleración constante y al cabo de 4s alcanzóuna rapidez de 20m/s. Suponiendo que el vehículo adquirió un MRUA, calcular suaceleración y la distancia que recorrió durante esos 4s.

Solución:

254

020 sms

smsmt

vva of

mssmtatatvd o 402

45

22

2222

).(...

7. Un pasajero que va a tomar el autobús observa que justo cuando le faltan 30 m parallegar a la parada, el vehículo emprende la marcha con una aceleración de 0,3 m/s2.

BdeTiempotAdeTiempot

sttsmv

smv

Datos

B

A

BA

B

A

30

6

5

Justo en ese momento, el peatón va corriendo hacia el autobús con velocidadconstante de 6 m/s.

a) Haz un dibujo de la situación indicando donde tomas el punto de referencia.b) Escribe las ecuaciones del movimiento del pasajero (ecuación de la posición) y

del autobús (ecuación de la posición y de la velocidad).c) ¿Conseguirá alcanzar el pasajero al autobús?. En caso afirmativo, indica

cuando y donde. Interpreta el resultado

Solución:

a)

b) Pasajero: Se mueve con velocidad constante de 6 m/s y pasa por el origen cuandoarranca el autobús. La ecuación de su movimiento es: tststvss o ... 660 Autobús: Se mueve con un movimiento uniformemente acelerado partiendo del reposo (vo= 0). Al iniciar el movimiento se encuentra a 30 m a la derecha del origen, es decir so=+30m.

La ecuación del movimiento es: 222

15030150302

30030 tsttts ,.,).,(.

La ecuación de la velocidad es: tvtttavv o 3030300 ,.,.,.

c) Conseguirá alcanzar al autobús si se encuentran en la misma posición al mismotiempo. Vamos a hallar el tiempo que tiene que transcurrir para que el pasajero y elautobús se encuentren en la misma posición, es decir, para que SPASAJERO = SAUTOBÚS.

2150306 tt .,. Es una ecuación completa de segundo grado: 0306150 2 tt ..,

La resolvemos: sysa

acbbt 134951502

301504366

2

42

,,),.(

)).(,.(.

Interpretamos el resultado:Los dos tiempos son positivos luego los dos son posibles.¿Cómo puede ser esto?. El pasajero alcanza al autobús a los 5,9 s y se sube (si elconductor se da cuenta y para). Si no lo hiciera, adelantaría al autobús pero como éste vaaumentando su velocidad con el tiempo, alcanzaría al pasajero a los 34,1 s.Vamos a suponer que se sube en la primera oportunidad.¿Qué espacio habrá recorrido? Sustituimos en la ecuación del movimiento del pasajero odel autobús el tiempo por 5,9s: mts 4359566 ,),.(. (A 35, 4 metros de la posicióninicial del pasajero, es decir, del origen).

8. En el instante que un automóvil parte del reposo con aceleración constante de 2 m/s2 ,otro automóvil pasa a su lado con velocidad constante de 10 m/s. Calcular:

a) al cabo de cuanto tiempo, el primero vuelve a alcanzar al segundob) ¿Qué velocidad tendrá en ese momento el primer auto?

Solución:

a) En el instante que el automóvil alcanza al tractor, los dos vehículos han realizado elmismo desplazamiento x. Si representamos con la letra “A” al tractor y con la letra“B” al automóvil, nos queda:

stssm

smavttavtatvtax

tvxA

AAB

AA

10102

1022

222

2

2

2

).(......

Al cabo de 10s el primer móvil vuelve a alcanzar el segundo.

b) smvsmssmtav BB 2020102 2 )).((.

El primer móvil tiene una velocidad de 20m/s al momento de ser nuevamente alcanzado.

9. Desde una altura de 50m se deja caer una piedra. Calcular el tiempo que utiliza parallegar al suelo.

Solución:

tIncógnita

smgmhy

sssmm

gyttgyDatos

2

22

2

89

50

19389

100

89

5022

2

,

,,,

).(.

10.Desde una altura de 25m se deja caer una piedra. Otra es lanzada verticalmente haciaabajo un segundo después que se soltó la primera. Las dos llegan al suelo al mismotiempo. Calcular la velocidad inicial de la segunda piedra.

Solución:

1ª piedra:2

2tgy .

2ª piedra:2

2).().( ofofo

ttgttvy

Con la primera piedra se va a calcular el tiempo que utilizan ambas para llegar al suelo, el

cual es el tiempo final stsssmm

gyttgy f 252252

89

50

89

2522

22

2

2

,,,,

).(.

Velocidad inicial de la segunda piedra

smvsmv

vvttg

ttvy

oo

ooof

ofo

88138813251

3517

251

65725

657251252

125289125225

2

22

,,,,

,,

,,),(,),().().(

11. Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba con la velocidad inicial smvo 196 ;despreciando la resistencia del aire, determine:

a) La velocidad del cuerpo al cabo de 10sb) La velocidad del cuerpo al cabo de 30sc) La posición del cuerpo a los 15s del lanzamientod) La altura máxima que puede alcanzare) El tiempo de subida

Solución:

a) smssmsmvtgvv of 981089196 2 )).(,(.b) smssmsmvtgvv of 983089196 2 )).(,(. el signo menos significa

que el cuerpo viene en dirección contraria a la inicial, o sea que ya vienedescendiendo

c) mtgtvy o 518375110229402

158915196

2

22

,,)).(,()).((..

d)gvv

yygvv ofof 2

222

22 . La máxima altura se alcanza cuando la 0fv ,

entonces:m

gvy o 1960

892

196

2

22

),()(

tgvv of . despejando de está fórmula ( t ),g

vvt of el tiempo de subida se obtiene,

cuando la 0fv , luego sgv

t o 2089

196

,

DINAMICA

1. 2 fuerzas contrarias actúan sobre un cuerpo como indica la figura. Plantear la 2da ley deNewton.

Si tengo 2 fuerzas que actúan sobre el objeto, tengo que plantear que la suma de lasfuerzas es “m.a”. Ahora. Ojo. La fuerza de 10 es positiva porque va como la aceleración, yla fuerza de 5 es negativa porque va en sentido contrario.

.resultantefuerzalaesderechala

hacia

amN5

Newton5amN5N10

2. Calcular la aceleración del cuerpo. Masa del cuerpo 10 Kg.

El cuerpo va a acelerar para la derecha porque la fuerza 20 N es mayor que la suma delas otras dos ( 15 N ). Planteo la 2da ley:

3. Construir los diagramas de cuerpo libre en los siguientes casos

3.1. Cuerpo apoyado sobre el piso:

3.2. Cuerpo que cuelga de una soga.

).así(vacuerpodelnAceleració

2

2

sm5,0a

agK10s

mKg5aKg10N5

amN10N5N20amF

Fuerza que el piso ejerce sobreel cuerpo. ( se llama normal )

Fuerza que ejerce La Tierrasobre el cuerpo. ( se llama peso ).

Diagrama decuerpo libre.

0a0PT

PT

NewtondeEc.

11

amPTc

amTPamT .221.

:Ecuaciones

amTP 22 amPT 11

3.3. Cuerpo que es elevado hacia arriba con aceleración a.

GRUA →

3.4. Dos cuerpos unidos por una soga que son arrastrados por una fuerza F.

Del cuerpo 1 se obtiene: Tc = m1. aDel cuerpo 2 se obtiene: F-Tc = m2.a

3.5. Dos cuerpos que pasan por una polea.

3.6. Sistema de dos cuerpos que caen, uno está en un plano horizontal y el otro cuelga dela soga.

4. Un hombre arrastra una caja que pesa 20 Kgf. Calcular la fuerza de rozamiento entre elpiso y la caja. Dato: d piso-caja = 0,3.

5. Calcular la aceleración del sistema de la figura y la tensión en la cuerda.

Para cada diagrama se plantea la ecuación de Newton. Ahora se resuelve el sistema deecuaciones:

T – froz d + PB – T = mA. a + mB. a

– froz d + PB = ( mA + mB ). a

49 N – 19,6 N = 15 kg . a15 kg . a = 29,4 kg.m/s2

a = 1,96 m/s2

Conocida la aceleración se calcula ahora la tensión:

Ecuaciones; amTPamfT BBAROZ d

sistema.delm nAceleració

2

2

22

22

BAROZ dB

BABROZ d

s96,1a

smKg4,29aKg15

aKg15smKg6,19

smKg49

aKg5Kg10sm8,9Kg102,0

sm8,9Kg5

ammfPamamTPfT

cuerdalaenTensión2,39

96,18,95 22

NT

sm

smKgT

agmT

amgmT

amPTamTP

B

BB

BBBB

6. Calcular con qué aceleración cae un cuerpo por un plano inclinado de ángulo alfa.( Nohay rozamiento ).

F en el eje X = m . a en el eje X

a = g . sen

7. Para el sistema de la figura calcular la aceleración del sistema y la tensión en la cuerda.( No hay rozamiento ).

Para resolver el problema se hace el diagrama de cuerpo libre para cada uno de loscuerpos que intervienen:

Para cada diagrama se plantea la ecuación de Newton:

amT:BParaamTA:Para

B

A

BPx

ACELERACION

DE CAIDA

cuerda.laenTensión

.N6,16T

sm6,1Kg10T

amT

2

A

Del sistema de ecuaciones despeja las incógnitas

Conocida la aceleración se calcula la tensión en la cuerda:

8. Calcular la aceleración de los cuerpos y la tensión en la soga para el sistema de lafigura. (No hay rozamiento).

amTamT

B

A

BPx

2

2

2

BAB

BAB

BAB

sm6,1a

aKg15smKg5

aKg5Kg105.0sm10Kg5

amm30sengmamm

Px

amamTPxT

2

cuerda.laenTensión

.N6,16T

sm6,1Kg10T

amT

2

A

amTPx:BParaamPxTA:Para

BB

AA

Ecuaciones

Diagramas decuerpo libre.

Del sistema de ecuaciones se despejan las incógnitas

T – PA. sen 30 º = m A . a

P B. sen 45 – T = m B . a

T – P A . sen 30 º + P B. sen 45 – T = m A . a + m B . a

:– P A . sen 30 º + P B. sen 45 = ( m A + m B ) . a

a = - 0,3572s

m

La aceleración dio negativa por tal motivo el sistema se mueve en sentido contrario alasumido

Conocida la aceleración se calcula la tensión

T – PA . Sen 30 º = m A . a

cuerdalaenTensión

N14,37T

sm357,0Kg85,0N80T

am30senPT

2

AA

ACELERACION

DEL SISTEMA0357a

58707,01055,0108a

707,05,0a

2

22

sm

KgKgsmKgsmKg

mmPP

BA

BA