INSTITUTO UNIVERSITARIO DE LA FRONTERA DIRECCIÓN SEDE SAN CRISTÓBAL

DIVISIÓN DE DOCENCIA

MATEMÁTICA JJR

MATERIAL DE APOYO

PROUCTOS NOTABLES – COCIENTES NOTABLES

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-

11.-

12.-

A.- Productos y cocientes notables aplicación

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11)

12)

FACTORIZACIÓN

A.- Por factor común

Ejemplo:

Ejercicios:

1.-

3.-

2.-

4.-

B.- Por agrupación de términos

Ejemplo:

Ejercicios:

1.-

2.-

3.-

4.-

C.-Factorizar un trinomio cuadrado perfecto

1

Ejemplo:

Ejercicios:

1.-

2.-

3.-

4.-

D.- Factorizar una diferencia de cuadrados

Ejemplo:

Ejercicios:

1.-

2.-

3.-

4.-

E.- Factorizar de un trinomio de la forma

(El coeficiente del primer término debe ser igual a 1)

+ Se deben hallar dos números que multiplicados den como resultado el termino independiente y que la suma sea igual al coeficiente de . Ejemplo:

El término

independiente

Ejercicios:

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

F.- Factorizar un trinomio de la forma

(El coeficiente del primer término es diferente de 1)

Multiplicamos todo el polinomio por el coeficiente del primer término para que el primer término se convierta en un cuadrado perfecto, formamos dos binomios constituidos en primer lugar por la raíz cuadrada del primer término y en segundo lugar por un número que cumpla lo requerido en el caso anterior.

Ejemplo: =

=

Ejercicios:

1.-

2.-

3.-

4.-

G.- Factorizar expresiones que son el cubo de un binomio

A.-

B.-

Ejemplo:

Ejercicios:

1.-

2.-

3.-

4.-

2

CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES(Según su estructura)

A.- FUNCIONES ALGEBRAICAS

. Polinomiales

.Racionales

.Irracionales

B.- FUNCIONES TRASCENDENTES.

.Exponenciales

.Logarítmicas

.Trigonométricas

C.- FUNCIONES ESPECIALES

.Inversas

.Valor absoluto

.Parte entera

.Signo

.Escalón Unitario

.Otras

.FUNCIONES ALGEBRAICAS

.POLINOMIALES (Dominio R)

Ejemplo:

FUNCIONES POLINOMIALES NOTABLES

1.-FUNCION CONSTANTE, f (X) = K

Cuando todos los coeficientes de las variables son cero o nulos

Ejemplo:

Para todo valor de la función tiene un valor

constante de

2.- FUNCIÓN AFIN, F(X) = mx +b

Cuando todos los coeficientes de termino de grado 2, son cero

Ejemplo:

Tome valores positivos y negativos para la variable x y determine el valor de la variable y. Represente gráficamente en el plano cartesiano

3.- FUNCION CUADRÁTICA,

Ejemplo:

Represente gráficamente la función en el plano cartesiano

4.- FUNCIÓN CÚBICA,

Ejemplo:

Todos los coeficientes son cero, excepto el del término de grado 3

.RACIONALES

( Dominio R para el numerador P(x) y R-0 para el denominador Q(x) )

El denominador debe ser diferente de cero

Ejemplo:

Representar gráficamente la función en el plano cartesiano.

3

.IRRACIONALES.

Los índices de la raíz

Ejemplos: represente gráficamente las

funciones y determine su dominio y rango

EJERCICIOS:

1.- Represente gráficamente la función:

Tome los valores de: X= -5,-4-3-2-1-0+1+2+3+4+5 y determine los valores de y=?

2.- Represente gráficamente la función:

.FUNCIONE TRANSCENDENTES

.-FUNCIONES EXPONENCIALES

El dominio de la función es el conjunto

de todos los números reales y su codominio es el conjunto de los números positivos

Ejemplo:

Estudie las funciones asignando valores positivos y negativos a la variable: (X) y realice el gráfico correspondiente..FUNCIONES LOGARITMICAS

Ejemplos:

Estudie los ejemplos anteriores asignándole valores a la variable x y obtener los valores de la función. Trazar la grafica correspondiente.

.FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

ANGULOS: Previamente a l desarrollo de la clase de las funciones trigonométricas el profesor explicara lo referido a los ángulos en la circunferencia expresados en grados sexagesimales y radianes y las respectivas conversiones de un sistema a otro.

El profesor determinara la existencia de los cuadrantes en el círculo trigonométrico: I, II, III, IV

El profesor explicará la existencia de ángulos positivos y negativos.

El profesor realizara ejercicios en los que se determinara el valor de un radia en grados sexagesimales.

Los alumnos con la orientación del profesor determinaran la existencia de triángulos rectángulos y triángulos no rectángulos.

El profesor determinara las funciones trigonométricas en el circulo trigonométrico de acuerdo a los catetos y la hipotenusa de un triangulo rectángulo inscrito en la circunferencia.

Funciones trigonométricas:

4

Asignar valores a la variable x de la función para obtener los valores de f(x) y graficar la función en cada caso.

.FUNCIONES EXPECIALES

Solo estudiaremos la función valor absoluto

Se Observa que cuando , y

Cuando

Ejemplos:

Estudiar las funciones asignándole valores a la variable X , para obtener los valores de f(x) y graficar la función en el plano cartesiano.

LIMITES DE FUNCIONES

(I)

PROPIEDADES

A.- El limite de una función constante, es el valor de la constante:

B,- El limite de una constante por una función, es la constante por el límite de la función:

C.- El límite de la suma de dos funciones es la suma de los límites de cada función

D.- El límite del producto de dos funciones es el producto de los límites de cada función

E.- El límite del cociente de dos funciones es el cociente de los límites de cada función. Siempre y

cuando se cumpla que:

F.- El limite de una función potencia es la potencia del limite de la función.

G.- El límite de una función exponencial es la base de la función exponencial elevada al límite de la

función del exponente

5

H.- El limite del logaritmo de una función, es el logaritmo del límite de la función

(II)

CALCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES.

1. Calcular el

2.- Calcular el

3.-.- Calcular el

4.-.- Calcular el

5.-.- Calcular el

6.- Calcular el

7.- Calcular el

8.- Calcular el

9.- Calcular el

10.- Calcular el

11.- Calcular el

12.- Calcular el

13.-

14.-

15.-

16.-

17.-

18.-

19.-

20.-

21.-

6

22.-

(III)

LIMITES LATERALES23.-Si

APLICACIÓN DE PROPIEDADES

24.-

25.-

26.-

27.-

28.-

29.-

30.-

(IV)

INDETERMINACIONES

31.-

32.-

33.-

34.-

35.-

36

37

38.-

39.-

40.-

41.-

7

LA DERIVADA DE UNA FUNCION

DEFINICIÓN

La derivada es la pendiente de la recta tangente a la

curva de en un punto cualquiera de ella

NOTACIÓN

La función , su derivada es

La función , su derivada es

La función , su derivada es

La función es , su derivada es

DERIVADA POR DEFINICIÓN

Es la derivada de la

función en cualquier punto de la curva de la función.

Ejemplo encuentre la derivada de las siguientes funciones aplicando la definición:

1.-

2.-

3.-

4.-

Desarrollo

1.-

2.-

3.-

8

4.-

Resolviendo las expresiones y eliminando factores se tiene

APLICANDO LA DEFINICIÓN DE DERIVADA POR LÍMITES RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:

A.- Hallar la derivada de las siguientes funciones:

1.-

2.-

REGLAS, FORMULAS Y PROPIEDADES DE LA DERIVACIÓN

LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE

1.-

LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN IDENTIDAD

2.-

LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN

3.-

LA DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES

4.-

LA DERIVADA DE UNA DIFERENCIA DE FUNCIONES

5.-

LA DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES

6.-

LA DERIVADA DE UN COCIENTE O DIVISIÓN DE FUNCIONES

7.-

LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POTENCIA DE LA FUNCIÓN IDENTIDAD

8.-

LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN ELEVADA A UNA POTENCIA

9.-

LA DERIVADA DE LA FUNCION INVERSA DE LA FUNCIÓN IDENTIDAD

9

10.-

LA DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

FORMULAS DE LAS DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Ejemplos de derivadas de funciones trigonométricas

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-|

10

Ejercicios

REPRESENTACION GRAFICA DE LAS FUNCIONES

Representar la función de acuerdo a los valores dados en la tabla EN EL PLANO CARTESIANO ,

determine el valor de la función para los valores en la tabla. Y observar el comportamiento de la función:

X -3 -2 -1 0 1 2 3

F(x)

X -3 -2 -1 0 1 2 3

F(x)

X -3 -2 -1 0 1 2 3

F(x)

11

X -3 -2 -1 0 1 2 3

F(x)

X -3 -2 -1 0 1 2 3

F(x)

X -3 -2 -1 0 1 2 3

F(x)

12