POLIGONO: Figura cerrada de n lados, llamada línea poligonal.

Cuando el polígono es regular, según el numero de lados se designan por Numero de lados Nombre. 3 Triangulo equilátero 4 Cuadrado 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octágono 9 Eneágono 10 Decágono 11 Undecágono 12 Dodecágono 15 Pentadecágono 20 Icoságono RELACIONES METRICAS MÁS IMPORTANTES . SUMA DE LOS ANGULO INTERIORES DE UN POLIGONO REGULA R /REGULAR.

En la figura , el polígono se ha dividido en 4 triángulos , como la suma de los ángulos interiores de cada uno de los cuatro triángulos es 180º , y como son cuatro en total la suma es 4x180º , esta suma equivale a la suma de los ángulos interiores del polígono , es decir :

º180)2(º180)26(º18041

−=−==<∑ nxxin

La relación:

º180)2(1

xnin

−=<∑ , es valida para cualquier polígono

Cuando el polígono es regular, es decir cuando tiene todos los lados y ángulos iguales, entonces cada uno de los ángulos interiores medirá:

<i=n

xn º180)2( −

ANGULO EXTERIOR DE UN POLIGONO REGULAR:

En la figura. Si el polígono tiene n lados, la suma: i + e = 180º, se repetirá n veces. Esto es. (n-2) x180º+ ∑ e = nx180º

180n-360º + ∑ e = 180n, de donde ∑ e= 360º

ANGULO BASAL DEL TRIANGULO FUNDAMENTAL PARA UN POLI GONO REGULAR .

<b=n

xn

2

180)2( − , <c=<e=

n

360

NUMERO DE DIAGONALES QUE SE PUEDEN TRAZAR DESDE UN VÉRTICE: Como hay tres vértices a los cuales no se puede trazar un diagonal, estos son los dos adyacentes y el propio vértice, entonces el número de diagonales que pueden trazarse desde un mismo vértice son d= n-3.

NUMERO DE DIAGONALES QUE PUEDEN TRAZARSE DESDE TODOS LOS VÉRTICE (TOTAL DE DIAGONALES) Como desde un vértice pueden trazarse n-3 diagonales, desde los enésimos vértices se podrán trazar: n(n-3), pero como la mitad de ellas se repite, entonces la cantidad se reduce a:

D= 2

)3( −nn

EJERCICIOS DE APLICACIÓN. 1.-Calcule el Angulo central de: 1.1- Pentágono 1.2.- hexágono 1.3.- octágono 1.4.- pentadecágono 1.5.- icoságono 1.6.-decágono 1.7.- endecágono 1.8.- eneágono. 2.- calcular la suma de los ángulos interiores de un: 2.1.- pentágono 2.2- octágono 2.3.- dodecágono 2.4.- polígono de 100 lados 2.5.- polígono de infinitos lados. 3.- calcular el Angulo exterior de un: 3.1.- pentágono 3.2.- hexágono 3.3- decágono 3.4.- icoságono 3.5.- polígono de 32 lados. 4.- calcular el Angulo basal del triangulo fundamental de un: 4.1.- polígono de 17 lados 4.2.- hexágono 4.3.- triangulo equilátero. 4.4.- octágono. 5.- determinar en que razón están el Angulo central y el interior de un eneágono. 6.- en que razón están el Angulo central y el Angulo exterior de un polígono de 104 lados. 7.- calcule el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice en un: 7.1.- eneágono 7.2.- dodecágono 7.3.- polígono de 18 lados. 8.- determinar el polígono regular en el cual el Angulo exterior mide: 8.1.- 120º 8.2.- 60º 8.3.- 90º 8.4.- 24º 9.- ¿Cuántas diagonales pueden trazarse desde un vértice en un polígono cuyo Angulo interior mide 30º 10.- ¿Cuántas diagonales pueden trazarse desde un vértice en un polígono cuyo Angulo central mide 6º. 11.- ¿Cuántas diagonales en total pueden trazarse en un polígono cuyo Angulo interior mide 162º? 12.- ¿Cuántas diagonales en total pueden trazarse en un polígono cuyo Angulo basal del triangulo fundamental mide 72º?

13.- ¿Cuantos lados tiene el polígono en el cual el Angulo basal del triangulo fundamental mide 67,5º? 14.-¿Cuál es polígono en el cual se pueden trazar desde un vértice : 14.1.- 3 diagonales. 14.2.- 6 diagonales 14.3.- 9 diagonales. 15.- Calcule el número total de diagonales que se pueden trazar en un: 15.1.- octágono 15.2.- decágono 15.3.- icoságono. 16.- ¿Cuál es el polígono en el cual se pueden trazar 14 diagonales en total? 17.- ¿Cuál es el polígono en el cual se pueden trazar 20 diagonales en total? 18.- ¿Cuántos lados tiene el polígono en el cual la diferencia entre el Angulo basal del triangulo fundamental y el Angulo exterior es de 36º? 19.- ¿Cuál es el polígono en el cual el Angulo exterior es la mitad del Angulo interior? 20.- ¿Cuál es el polígono en el cual la razón entre el Angulo interior y el exterior es de 3 a 1? 21.- ¿Cuál es el polígono en el cual la suma de los ángulos interiores es 1800º? 22.- ¿Cuál es el polígono en el cual la suma de los ángulos interiores es igual a 3600º? 23.- ¿Cuál es el polígono en el cual la razón entre el Angulo central y el exterior y el central es n:n? 24.- ¿Cuál es el polígono en el cual la razón entre el Angulo exterior y el central 2:1? 25.- ¿Cuál es el polígono en el cual la razón entre el Angulo basal del triangulo fundamental y el Angulo del vértice del mismo es de 9:2? 26.- ¿A que valor tiende la suma de los ángulos interiores cuando el numero de lados tiende a infinito? 27.- ¿A que valor tiende el ángulo exterior cuando el numero de lados tiende a infinito? 28.- ¿A que valor tiende el ángulo interior cuando el numero de lados tiende a infinito? 29.- ¿A que valor tiende el ángulo central cuando el numero de lados tiende a infinito? 30.- ¿A que valor tiende el ángulo basal del triangulo fundamental cuando el numero de lados tiende a infinito? 31.- ¿A que valor tiende el perímetro de un polígono regular cuando el número de lados tiende a infinito?

32.- ¿A que valor tiende el área de un polígono regular cuando el número de lados tiende a infinito? 33.- ¿A que valor tiende el ángulo exterior de un polígono regular cuando el ángulo basal del triangulo fundamental tiende a 90º? 34.- ¿A que valor tiende el ángulo central de un polígono regular cuando el ángulo exterior tiende a 0º? 35.- ¿A que valor tiende el ángulo central de un polígono regular cuando el ángulo interior tiende a 180º? RESPUESTAS:

1.- 72º , 60º , 45º , 24º , 18º , 36º , 11

832 , 40º

2.- 54º , 1080º , 1800º , 17640º , ∞

3.- 72º , 60º , 36º , 18º , 4

111

4.- 17

779 , 70º , 30º ,

2

167

5.- 2/7 6.- 1 7.- 6 , 9 ,15 8.- triángulo, Hexágono, cuadrado, pentadecágono. 9.- no existe tal polígono. 10.- 57 11.- 170 12.- 35 13.- octágono. 14.- hexágono, Endecágono, dodecágono 15.- 20 , 35 , 170 16.- heptágono 17.- octágono 18.- decágono 19.- hexágono 20.- octágono 21.- dodecágono 22.- 22 lados 23.- cuadrado 24.- No existe tal polígono 25.- icoságono. 26.- ∞ 27.- 0 28.- 180 29.- 0 30.- 90º

31.- 2 Rπ 32.- 2Rπ 33.- 0 34.- 0 35.-0