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Departamento de Ciencias Basicas
Coordinacion CurricularAREA: Matematicas ASIGNATURA: Probabilidad y Estadıstica CODIGO: CB02007
ACTIVIDAD: Guıa de Repaso para el Segundo Parcial
Profesor: Ana Rosa Rodrıguez Blanco Grupos: 112 y 139 Franja: 01 y 02
Introduccion (Descripcion de la actividad)
Guıa de estudio para repasar y aplicar los conceptos de probabilidad vistos en clase.
Objetivos / Competencias
1. Comprende la aplicabilidad de la probabilidad.
2. Resuelve problemas donde la incertidumbre desempena un papel importante aplicando los conceptos de la probabilidad.
3. Identifica y usa el lenguaje propio de la matematica para comunicar sus ideas en forma clara y coherente.
4. Reconoce fortalezas y debilidades a nivel actitudinal y cognitivo, para potencializar la confianza en sı mismo, lograndoavanzar en su formacion profesional a traves de la matematica.
5. Identifica objetivos comunes permitiendo la asignacion de responsabilidades que conlleven a la produccion colectiva deresultados mediante el trabajo en equipo.
6. Habilidad y capacidad de trabajo en equipos interdisciplinarios.
Aspectos a Evaluar (Aspectos formativos de la actividad)
1. Soluciona correctamente problemas de probabilidad.
2. Escribe y resuelve de manera correcta expresiones matematicas.
3. Capacidad de analisis para determinar el metodo adecuado de solucion de un problema de probabilidad.
1 Introduccion
La probabilidad es una rama de la matematica que junto con la estadıstica ha sido desarrollada para encargarse de la incertidumbre.La teorıa clasica de la matematica basa su exito al describir el mundo como una serie de eventos fijos y observables, pero, antesdel siglo XVII estaba perdiendo su credibilidad al ser inadecuada en la descripcion de procesos (o experimentos) que implicabanincertidumbre o resultados aleatorios. Inicialmente fue auspiciada por el deseo de los dirigentes de vencer a rivales en juegos de azar,ası que comenzaron a contratar matematicos para que los analizaran y plantearan nuevas estrategias que les permitieran ganar, luegofue usada en analisis cientıficos de tablas de mortalidad por los medicos, llegando a ser una herramienta cientıfica que analiza lasposibilidades.
Hoy en dıa, la teorıa de la probabilidad es reconocida como una de las mas utiles areas de la matematica al proveer las bases de laestadıstica inferencial a traves de la experimentacion y el analisis de datos. A traves de sus diferentes aplicaciones a problemas comola confiabilidad de los sistemas y otros mas, la teorıa de la probabilidad es de particular relevancia para las ciencias de la Ingenierıadel mundo actual.
2 Espacio Muestral
Definicion 1 El espacio muestral “S” de un experimento sera el conjunto de todos los resultados posibles dentro del experimento.
Para ilustrar esto de una mejor manera, miremos los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1:
El ingeniero a cargo del mantenimiento de ciertas maquinas nota que los desperfectos que las mismas sufren pueden ser caracterizadosdebido a una falla electrica (en adelante F.E.) dentro de cada maquina, una falla mecanica (en adelante F.M.) de algun componentede las maquinas o debido a la mala operacion por parte del operario (En adelante F.M.U. por mal uso). Cuando las maquinas estanen operacion (cuando no hay ningun desperfecto) el ingeniero no puede saber cual sera la causa de la siguiente falla. Este problemapuede ser modelado como un experimento con el espacio muestral:
S = {Falla Electrica, Falla Mecanica, Falla por Mal Uso} o S = {F.E., F.M., F.M.U.}Ejemplo 2:
Una companıa vende chips de computadora en cajas de 500 unidades. Cada chip dentro de la caja puede clasificarse como en buenestado o defectuosos. El numero de chips defectuosos en una caja en particular es incierto, y su espacio muestral sera:
S = {0 defectuosos, 1 defectuoso, 2 defectuosos, 3 defectuosos, . . . , 499 defectuosos, 500 defectuosos}Ejemplo 3:
Un gerente supervisa la operacion de 3 plantas productoras de electricidad, la planta X, la planta Y y la planta Z. En un instantecualquiera, cada una de las tres plantas puede ser clasificada como planta en generacion (1) o planta no generando (0). Como ejemplode esto, la notacion (0, 0, 1) se usarıa para representar un estado en el cual las plantas X y Y no estarıan generando mientras que Zsi lo estarıa haciendo. De aquı que el espacio muestral para el estado de las tres plantas en cualquier instante sea:
S = {(0, 0, 0) (0, 0, 1) (0, 1, 0) (1, 0, 0) (0, 1, 1) (1, 0, 1) (1, 1, 0) (1, 1, 1) }Otra forma de representar el espacio muestral es en forma de arbol:
PlantaX PlantaY PlantaZ PuntodelEspacioMuestral
1 (1, 1, 1)1
0 (1, 1, 0)1
1 (1, 1, 1)0
0 (1, 0, 0)S
1 (0, 1, 1)1
0 (0, 1, 0)0
1 (0, 0, 1)0
0 (0, 0, 0)Figura 1: Diagrama de arbol para el ejemplo 3.
Ejemplo 4:
Si dos cartas son escogidas de un mazo normal de cartas, escogiendo primero una carta, anotando su resultado para luego devolverlaal mazo y volver a barajar antes de escoger la segunda (es decir, con reemplazo), entonces el espacio muestral consistira de eventostales como (6♡, 8♣), donde la primera carta que se escogio fue el seis de corazones, representado por 6♡ y la segunda el ocho detreboles representado por 8♣. En total, el espacio muestral de este evento contendra 52 × 52 = 2704 elementos, incluyendo eventostales como (A♢, A♢), en el cual la carta As de Diamantes (♢) fue seleccionada dos veces. El espacio muestral de este evento seraentonces:
S
(A♡, A♡) (A♡, 2♡) (A♡, 3♡) . . . (A♡, Q♠) (A♡, K♠)(2♡, A♡) (2♡, 2♡) (2♡, 3♡) . . . (2♡, Q♠) (2♡, K♠)(3♡, A♡) (3♡, 2♡) (3♡, 3♡) . . . (3♡, Q♠) (3♡, K♠)⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
(Q♠, A♡) (Q♠, 2♡) (Q♠, 3♡) . . . (Q♠, Q♠) (Q♠, K♠)(K♠, A♡) (K♠, 2♡) (K♠, 3♡) . . . (K♠, Q♠) (K♠, K♠)
Figura 2: Diagrama del espacio muestral del ejemplo 4.
Si en vez de eso optaramos por hacer la escogencia de la segunda carta sin reemplazo (es decir, sin volver a colocar la primera dentrodel mazo y luego barajar), tendrıamos que en el espacio muestral resultante no podrıan estar los eventos donde se repite la carta(como ejemplo, no estarıa el evento (A♢, A♢)), es decir, nuestro espacio muestral ahora serıa un subespacio del anterior y contendrıatodos los resultados posibles menos los cincuenta y dos en los que se repetıa la carta, por tanto, tendrıa 2704− 52 = 2652, puesto deotra manera este espacio tendra 52 × 51 = 2652 elementos.
3 Valores de probabilidad
Definicion 2 Un conjunto de valores de probabilidad para un experimento que tenga un espacio muestral S = {O1, O2, . . . , On}consistira de las probabilidades p1, p2, . . . , pn que satisfacen las condiciones:
0 ≤ p1 ≤ 1, 0 ≤ p2 ≤ 1, . . . , 0 ≤ pn ≤ 1y
p1 + p2 +⋯+ pn = 1La probabilidad de obtener el resultado Oi se dice que es pi, y esto se escribe como:
P(Oi) = piLa interpretacion intuitiva de esta definicion se basara en que a mayor valor (entre 0 y 1) de uno de los resultados, mayor probabilidadde ocurrencia tendra, si dos de los resultados tienen el mismo valor, se puede decir que tienen la misma oportunidad de ocurrir y siuno tienen una probabilidad mayor que el otro, entonces se puede decir que el primero tienen mayor oportunidad de ocurrir.
Ejemplo 5:
Volvamos al “ejemplo 1” visto con anterioridad y supongamos que los desperfectos de las maquinas ocurren con valores de probabilidadde P(F.E.) = 0.2, P(F.M.) = 0.5 y P(F.M.U.) = 0.3.La asignacion de los valores de probabilidad a cada evento es valida ya que los tres valores 0.2, 0.5 y 0.3 estan todos entre cero yuno y su suma es igual a uno tambien. El siguiente diagrama presenta cada uno de los eventos con la probabilidad asociada a cadauno de ellos:
S
Falla Electrica (F.E.) Falla Mecanica (F.M.) Falla por Mal Uso (F.M.U.)
0.2 0.5 0.3
Figura 3: Diagrama de probabilidades del Ejemplo 5.
Los valores dados nos indican que lo mas probable es que un desperfecto se presente por falla mecanica, con una falla por mal uso ensegundo lugar y las fallas electricas seran las menos posibles. Es cierto, la probabilidad de una falla mecanica es probable que ocurrala mitad de las veces (esto porque P(F.M.) = 0.5), pero esto no nos asegura que en los proximas dos desperfectos uno debera serlopor falla mecanica, o nisiquiera que de los proximos diez, cinco deberan serlo por la misma causa, sin embargo, lo que si podemosconcluir es que a largo plazo, el Ingeniero a cargo de mantenimiento podra (de manera razonable) esperar que alrededor de la mitadde los desperfectos que se presenten en las maquinas que tiene a cargo, sean por fallas mecanicas. De manera similar, el Ingeniero alargo plazo podra esperar que un 20% de las fallas sean por causas electricas y que un 30% lo sean por el mal uso por parte de losoperarios.
En el caso de los juegos de azar, los experimentos se conducen de manera que todos los posibles resultados puedan ser consideradoscomo si tuvieran la misma oportunidad de ser obtenidos, de manera que a cada uno de ellos se asigna un mismo valor de probabilidad,es decir, si en nuestro espacio muestral hay n posibles resultados que tienen todos la misma probabilidad de ocurrir, entonces lacondicion para que todas las probabilidades sumen 1 sera que cada una de ellas individualmente tenga una probabilidad de 1
n.
Ejemplo 6:
Volviendo al “ejemplo 4”, la probabilidad de obtener cada uno de los resultados sera igual a:
P(i) = 1
n= 1
2704
Por lo que la probabilidad de que cada uno de los resultados en este evento ocurran sera del 0.00037%, es decir, si apostaramosa que podemos obtener el mismo resultado dos veces seguidas, deberıamos prepararnos para el fracaso pues las probabilidadesdefinitivamente estarıan en nuestra contra.
4 Eventos
Definicion 3 Un evento A es un subconjunto del espacio muestral S. El evento agrupa resultados de particular interes. La prob-abilidad de un evento A, descrita como P(A), se obtiene al sumar las probabilidades de los resultados contenidos dentro del eventoA.
Se dice que un evento ocurre si al menos uno de los resultados que contiene el evento ocurren. La figura 1 muestra un espaciomuestral S con ocho posibles resultados cada uno con su respectiva probabilidad y un evento A que contiene a tres de los resultadosposibles de S, la probabilidad del evento A se calcula mediante la suma de los tres eventos, de manera que:
P(A) = 0.10 + 0.15 + 0.30 = 0.55
El complemento de un evento sera el resto de resultados contenidos dentro del espacio S que no esten contenidos dentro de el mismo,para nuestro caso tenemos el evento A que contiene a tres de los resultados del espacio muestral S, por lo que su complemento, elcual denotaremos como A′ sera el evento que contendra a los demas resultados del espacio muestral S y cuya probabilidad estaradada por:
P(A′) = 0.10 + 0.10 + 0.05 + 0.05 + 0.15 = 0.45Definicion 4 El evento A′, sera el complemento de un evento A y sera el evento que contiene a todos los resultados dentro delespacio muestral S que no esten contenidos dentro del evento A. En todo caso, siempre se cumplira que:
P(A) +P(A′) = 1
S
A
A′
b
b
b
b
b
b
b
b
0.15
0.10
0.10
0.05
0.15
0.05
0.10
0.30
Figura 4: P(A) = 0.10 + 0.15 + 0.30 = 0.55
Ejemplo 7:
Volvamos ahora al “ejemplo 2”, y consideremos que las probabilidades de que haya un chip defectuoso en una de las cajas de 500chips es:
P(0defectos) = 0.02 P(1defectos) = 0.011P(2defectos) = 0.16 P(3defectos) = 0.21P(4defectos) = 0.13 P(5defectos) = 0.08
y supongamos que las probabilidades de los otros elementos dentro del espacio, es decir, las probabilidades entre 6 y 500 defectosson desconocidas. La companıa que produce los chips planea alegar que cada una de las cajas que vende no tiene mas de 5 chipsdefectuosos y desea calcular la probabilidad de que su alegato es correcto.
El evento “correcto” consistira entonces de los seis resultados que fueron listados, por lo que:
correcto = {0defectos, 1defectos, 2defectos, 3defectos, 4defectos, 5defectos}que sera un evento contenido en el espacio muestral S y cuya probabilidad de ocurrir sera:
P(correcto) = {P(0defectos) +P(1defectos) +P(2defectos) +P(3defectos) +P(4defectos) +P(5defectos)}= 0.02 + 0.11 + 0.16 + 0.21 + 0.13 + 0.08 = 0.71
De acuerdo a esto, alrededor del 71% de las cajas de 500 chips que la companıa venda cumpliran con el alegato de la companıa deque no habran mas de 5 chips defectuosos en una caja. El complemento del evento correcto sera el hecho de que en una caja habraal menos 6 chips defectuosos y por tanto el alegato de la companıa sera incorrecto, este evento tendra una probabilidad de ocurrirde:
1 − 0.71 = 0.29
Ejemplo 8:
Las probabilidades para el espacio muestral S de el “ejemplo 3” son:
S
(0, 0, 0)0.07
(1, 0, 0)0.16
(0, 0, 1)0.04
(1, 0, 1)0.18
(0, 1, 0)0.03
(1, 1, 0)0.21
(0, 1, 1)0.18
(1, 1, 1)0.13
SA(0, 0, 0)
0.07
(1, 0, 0)0.16
(0, 0, 1)0.04
(1, 0, 1)0.18
(0, 1, 0)0.03
(1, 1, 0)0.21
(0, 1, 1)0.18
(1, 1, 1)0.13
S
(0, 0, 0)0.07
(1, 0, 0)0.16
(0, 0, 1)0.04
(1, 0, 1)0.18
(0, 1, 0)0.03
(1, 1, 0)0.21
(0, 1, 1)0.18
(1, 1, 1)0.13B
Figura 5: Valores de Probabilidad parael Ejemplo 3.
Figura 6: Evento A: La planta X nogenera energıa.
Figura 7: Evento B: Por lo menos dosplantas estan generando energıa.
El evento de que la planta X no genere energıa es el evento A:
A = {(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1)}P(A) = P((0, 0, 0)) + P((0, 0, 1)) +P((0, 1, 0)) +P((0, 1, 1))
= 0.07 + 0.04 + 0.03 + 0.18 = 0.32El complemento de este evento sera A′ y corresponde al evento en que la planta X este generando electricidad, su probabilidad sera:
P(A′) = 1 −P(A) = 1 − 0.32 = 0.68El evento B supone ahora que se quiere hallar la probabilidad de que dos de las plantas se encuentren generando electricidad, esteevento sera:
B = {(0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}P(B) = P((0, 1, 1)) +P((1, 0, 1)) +P((1, 1, 0)) + P((1, 1, 1))
= 0.18 + 0.18 + 0.21 + 0.13 = 0.70Este evento indica, que en promedio, el 70% del tiempo por lo menos dos de las plantas se encontraran generando energıa y sucomplemento sera:
P(B′) = 1 −P(B) = 1 − 0.70 = 0.30
Ejercicios de Practica:
1. Cual sera el espacio muestral cuando una moneda es lanzada al aire 3 veces consecutivas?
2. Un valor de probabilidad p frecuentemente se reporta como la oportunidad relativa de que el evento ocurra, esto es: p/(1− p).Esto se lee como la proporcion entre que el evento ocurra y la posibilidad de que el mismo no ocurra.
(a) Si la oportunidad relativa tiene un valor de 1, cual sera el valor de p?
(b) Si la oportunidad relativa tiene un valor de 2, cual sera el valor de p?
(c) Si p = 0.25, cual sera la oportunidad relativa?
3. Un experimento consiste en lanzar un dado y despues lanzar al aire una moneda una vez si el resultado del dado es par y dosveces si el resultado del dado es impar. Usando la notacion 2C, por ejemplo, para denotar un resultado de dos en el dado ycara en la moneda, y de 5CS para denotar un resultado de cinco en el dado, luego cara en el primer lanzamiento de la moneday sello en el segundo, construya el diagrama de arbol que muestre los puntos del espacio muestral S.
4. Un experimento tiene cinco posibles resultados, I, II, III, IV y V. Si P(I) = 0.08, P(II) = 0.20, y P(III) = 0.33, cuales son losposibles valores para la probabilidad de el resultado V? si la probabilidad de que los resultados IV y V se presenten es lamisma, cuales son sus valores de probabilidad?
5. Considere el espacio muestral de la siguiente figura:El espacio muestral tiene posibles resultados a, b, c, d, e y f. Si P(A) = 0.27, calcular:
S
Ab
b
b
b
b
bb = ?
a = 0.09
f = 0.29
d = ?
e = 0.06
c = 0.11
Figura 8: Espacio muestral para el problema 5.
(a) P(b) (b) P(A′) (c) P(d)
6. Una firma de Ingenierıa es contratada para determinar si ciertos cursos de agua en Virginia son seguros para la pezca. Setoman muestras de los tres rios:
(a) Liste los elementos del espacio muestral S usando las letras “S” para seguro para la pezca e “I” para inseguro para lapezca.
(b) Liste los elementos del subespacio de S que corresponde al evento “E” de que por lo menos dos de los tres rıos sean segurospara la pezca.
(c) Defina en sus propias palabras un evento que contenga como elementos los puntos:
{SSS, ISS, SSI, ISI}7. Un agente de bolsa se encuentra monitoreando las acciones de las companıas A y B, las cuales pueden subir o bajar de precio
cada dıa. En un dıa cualquiera, suponga que hay una probabilidad de 0.38 de que ambas companıa aumenten el precio de susacciones y una probabilidad de 0.11 de que ambas lo disminuyan. Tambien, esta la posibilidad con valor de 0.16 de que lasacciones de la companıa A bajen su precio mientras que las de la companıa B lo incrementen. Cual es la probabilidad de quelas acciones de la companıa A incrementen su precio mientras que las de la companıa B lo bajen? Cual es la probabilidad deque al menos una de las companıas en un dıa cualquiera tenga una ganancia en el precio de sus acciones?
5 Tecnicas de Conteo
Muchas de las situaciones con que podemos llegar a encontrarnos tienen un espacio muestral S que consiste de un gran numero deresultados que nosotros como experimentadores no vamos a desear listar completamente. Sin embargo, si cada uno de los resultadostienen la misma probabilidad de obtenerse, entonces podemos contentarnos con saber unicamente el numero de resultados en elespacio y el numero de resultados contenidos en un evento de nuestro interes. Para esto es que surgieron las tecnicas de conteo,que nos ayudan facilitando los calculos. Lo mas importante que necesitamos para su aplicacion es saber que si un espacio S consistede N posibles resultados igualmente probables, y de estos n estan contenidos en el evento de interes A, entonces la probabilidad delevento A Sera:
P(A) = n
N
5.1 Regla de la Multiplicacion
Definicion 5 Si un experimento tiene k componentes para las cuales la cantidad posible de resultados es n1, n2, n3, . . . , nk, entoncesel numero total de resultados del experimento (es decir, el tamano del espacio muestral S) sera igual a:
S = n1 × n2 × n3 × nk−1 × nk
Ejemplo 9:
una cafeterıa ofrece un almuerzo “light” que consiste en un emparedado (usando una de ocho carnes distintas y uno de cuatro tiposdiferentes de pan), una de cuatro clases distintas de papas fritas y una de tres bebidas diferentes. ¿De cuantas maneras distintasuna persona puede seleccionar uno de estos almuerzos “light”?
Si observamos la figura y dado que hay ocho tipos de carnes, cuatro de pan, cuatro de papas y tres de bebidas, la persona podrıaarmar su almuerzo de 8 × 4 × 4 × 3 = 384 formas diferentes.
5.2 Permutaciones y Combinaciones
Comencemos este tema por una definicion que sera importante de ahora en adelante y que trabaja con los numeros naturales y elcero, es decir, con los enteros positivos, hablamos de la funcion factorial.
Definicion 6 Si n es un entero positivo, la cantidad n! llamada “n factorial” se define como:
n! = n(n − 1)(n − 2)(n − 3) . . . (3)(2)(1)Es importante tener en cuenta los resultados para 0! y para 1!, los cuales no vamos a demostrar en esta guıa y cuyos valores vamosa tomar como:
0! = 1! = 1Frecuentemente es de importancia el ser capaz de calcular en cuantas diferentes formas una serie de k objetos distinguibles puedeser extraıda de un grupo de n objetos. Si las extracciones son realizadas con reemplazo, entonces las k extracciones son eventosidenticos, cada uno con n posibles resultados. Si usamos la “regla de la multiplicacion”, esta nos muestra que habran nk formasposibles de extraer los k objetos.
Si en vez de eso, las extracciones so hechas “sin reemplazo”, entonces el resultado sera una permutacion de k objetos partiendo delos n objetos originales. Las posibilidades para la extraccion del primer objeto seran n, para el segundo n − 1 y ası sucesivamentehasta la extraccion del k-esimo objeto. Con esto en cuenta, definamos ahora una permutacion:
Definicion 7 Una permutacion de k objetos tomados de un conjunto de n objetos (con n > K) es una secuencia ordenada delos k objetos seleccionados sin reemplazo del grupo de n objetos. El numero posible de permutaciones de k objetos tomados de unconjunto de n objetos sera:
Pnk = n(n − 1)(n − 2)⋯(n − k + 1) = n!
(n − k)!
Opciones
Tipos de Carne Tipos de Pan Tipos de Papa Frita Tipos de Bebida
Almuerzo
Figura 9: Diagrama que muestra las opciones del ejemplo 9.
Es de anotar que en caso de que k = n, el numero total de permutaciones sera simplemente n!, que es simplemente la cantidaddiferente de posibilidades que tenemos de ordenar n objetos.
Ejemplo 10:
Una companıa de alimentos tiene cuatro recetas posibles para un nuevo producto que sacara al mercado y desea compararlas entreellas mediante las opiniones de sus consumidores al realizar degustaciones de las mismas. En estas pruebas, a cada participante se ledan a probar las 4 diferentes recetas en orden aleatorio y se le solicita que las organice de mejor (o mas apetecible) a peor (o menosapetecible) en varios aspectos de su sabor.
Este tipo de prueba simplemente pregunta por una organizacion simple de los productos, en la que n = k = 4 por lo que el numeroposible de formas en que pueden ser organizadas las comidas es:
P 4
4 = 4!
(4 − 4)! =4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
0!= 24
1= 24
Lo que confirma el comentario final dado en la definicion.
Ejemplo 11:
En una prueba de degustaciones diferente, a cada participante se le pide que pruebe ocho productos diferentes y que seleccione almejor, al segundo mejor y al tercero.
En este caso se pide unicamente elegir a los mejores tres de los ocho productos, lo que claramente nos indica una permutacion, portanto:
P 8
3 = 8!
(8 − 3)! =8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅�5!
�5!= 336
Por lo que una persona puede escoger los tres mejores productos de una prueba de ocho diferentes de 336 formas distintas.
Es importante notar que para las permutaciones el orden es importante, es decir, tomamos en cuenta la organizacion (tambienpodrıamos hablar de la jerarquıa) de los experimentos, como ejemplo de esta afirmacion supongamos que los ocho productos seetiquetan de la A a la H, entonces el resultado ABC (en el cual el producto A fue escogido como el mejor y C como el terceromejor) sera diferente del resultado CAB (donde C es el mejor y B el tercero mejor). Si el sujeto de la prueba solo escogiera a estostres como los mejores, aun podrıa hacerlo de 6 formas diferentes, de aquı que al tener los ocho productos nos de como resultado 336diferentes formas de escoger los tres mejores.
Ejemplo 12:
De cuantas maneras distintas los 52 integrantes de un sindicato pueden elegir un director, un subdirector, un secretario y un tesorero?
Tengamos en cuenta una vez mas que el orden importa y que el primero sera siempre el director, el segundo el subdirector, el terceroel secretario y el cuarto el tesorero, por lo que usamos una permutacion:
P 52
4 = 52!
(52 − 4)! =52 ⋅ 51 ⋅ 50 ⋅ 49 ⋅✟✟48!
✟✟48!= 6′497,400
Por lo tanto hay casi seis millones y media formas diferentes de escoger la junta de la agrupacion sindical.
Algunas veces, cuando los k objetos son escogidos del grupo de n objetos, el orden en que son seleccionados para ser extraıdos los kobjetos no es de ninguna importancia; puesto de otra manera, el interes se enfoca unicamente en cuales k objetos son seleccionadosy no en el orden en que lo son. Esta forma de seleccionar los objetos se llama una combinacion y se define de la siguiente manera:
Definicion 8 una combinacion de k objetos tomados de un grupo de n objetos (con n > k) es una coleccion desordenada delos k objetos seleccionados sin reemplazo del grupo de n objetos. El numero posible de combinaciones de k objetos tomados de ungrupo de n objetos sera:
Cnk = (n
k) = n!
(n − k)!k!En donde la notacion (n
k) es simplemente otra manera de denotar una combinacion.
Esta formula parte del hecho de que cada combinacion de k objetos puede ser asociada a las k! permutaciones que tienen esos objetos,de acuerdo a esto:
Pnk = k! ×Cn
k
y despejando esta ecuacion para C tendremos:
Cnk = Pn
k
k!=
n!(n−k)!
k!= n!
(n − k)!k!Ejemplo 13:
Volvamos al ejemplo de la degustacion de ocho productos y supongamos ahora que a cada participante se le pide que seleccionesimplemente a los tres mejores pero sin ningun orden en particular, el nuevo numero de posibles respuestas de un participante sera:
(83) = 8!
(8 − 5)! ⋅ 3! =8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅�5!
�5! ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1= 336
5= 56
Por lo que ahora solo habran 56 posibilidades de escoger las tres mejores comidas ya que el orden en que son escogidas ni tieneninguna importancia.
Ejemplo 14
De cuantas maneras distintas un director de un laboratorio de investigacion puede seleccionas a dos quımicos de entres siete solicitantesy a tres fısicos de entre nueve solicitantes?
Los dos quımicos pueden ser seleccionados de (72) y los tres fısicos de (9
2) maneras, aplicando la regla de la multiplicacion tendremos:
(72) ⋅ (9
3) = 7 ⋅ 6 ⋅ 5!
(7 − 2)! ⋅ 2! ⋅9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6!
(9 − 3)! ⋅ 3! =42 ⋅�5!
2 ⋅ 1 ⋅�5!⋅
504 ⋅�6!
3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅�6!= 42
2⋅504
6= 21 ⋅ 84 = 1764
Ejercicios de Practica
1. Una panaderıa prepara dos tortas de queso todas las mananas. Las tortas de queso que no se venden al cerrar en la noche sedesechan. Elabore un diagrama de arbol para mostrar el numero de maneras en que la tienda puede vender un total de cincotortas de queso en cuatro dıas consecutivos.
2. Si un experimento consiste en lanzar un dado y despues extraer una letra al azar del alfabeto, ¿Cuantos puntos posibles habraen el espacio muestral?
3. En el consultorio de un dentista hay ocho numeros recientes de Semana, seis numeros de Soho y cinco de Tv y Novelas. ¿Decuantas maneras diferentes un paciente que espera para ser atendido por el dentista puede hojear una revista de cada tipo siel orden en que lo hace no importa?
4. ¿De cuantas maneras distintas se pueden colocar 12 libros en un librero?
5. Un parque de diversiones tiene 28 recorridos distintos. ¿De cuantas maneras diferentes una persona puede tomar cuatro deestos recorridos, suponiendo que el orden es importante y que esta persona no quiera tomar un recorrido mas de una vez?
6. Cuatro matrimonios compraron ocho localidades en fila para un concierto de rock. ¿De cuantas maneras distintas se puedensentar si:
(a) Cada pareja se sienta junta.
(b) Todos los hombres se sientan juntos y todas las mujeres se sientan juntas.
(c) Todos los hombres se sientan juntos.
7. Una prueba de ?verdadero-falso? comprende doce preguntas. Calcule los numeros de maneras en que un estudiante puedemarcar cada pregunta ya sea como verdadera o falsa y obtener:
(a) Ocho aciertos y cuatro errores.
(b) Diez aciertos y dos errores.
6 Combinaciones de Eventos
Puede ocurrir que mas de un evento sea de nuestro interes cuando estemos realizando un experimento en un espacio muestralcualquiera. Cuando en el espacio muestral hay dos eventosA y B, aparte de tenerse en consideracion la probabilidad de la ocurrenciadel evento A y la probabilidad de la ocurrencia del evento B, es frecuentemente tener en consideracion otras probabilidades talescomo la probabilidad de que los dos eventos ocurran de manera simultanea, o tal vez la probabilidad de que ninguno de ellos ocurra,o la probabilidad de que por lo menos uno de los dos ocurra o hasta que la de uno ocurra mientras la del otro no. Para esto definimos:
6.1 Interseccion de Eventos
Definicion 9 El evento A ∩B es la interseccion de los eventos A y B y consiste de los resultados que se encuentren contenidosdentro de los eventos A y B. La probabilidad de este evento P(A∩B), sera la probabilidad de que los dos eventos A y B ocurransimultaneamente.
Tomemos un espacio muestral S con nueve resultados. El evento A tendra tres resultados mientras que el evento B tendra 5resultados. Las probabilidades de los eventos A y B son:
PA = 0.01 + 0.07 + 0.19 = 0.27PB = 0.07 + 0.19 + 0.04 + 0.14 + 0.12 = 0.56
La interseccion de los eventos A y B se aprecia en la figura 11 y son los dos resultados que a la vez se encuentran en los dos eventos,
S
AB
b
b
bb
b
b
b
b
b
0.010.19
0.070.04
0.12
0.14
0.03
0.22
0.18
Figura 11: Interseccion de los eventos A y B.
por tanto:P(A∩B) = 0.07 + 0.019 = 0.026
Que es la probabilidad de que los eventos A y B sucedan al mismo tiempo.
El evento A’ sera el complemento de A y es el evento compuesto por todos los eventos que no estan en A:
P(A′) = 0.04 + 0.12 + 0.14 + 0.03 + 0.22 + 0.18 = 0.73Si desearamos intersectar al evento A con su complemento A′, ya que entre los dos contienen a todo el espacio muestral, la unicarespuesta que podrıamos obtener serıa un conjunto vacıo, el cual denotaremos como ✁0, por tanto:
P(A∩A′) = P( ✄0) = 0Otro evento interesante serıa la interseccion de A′ ∩B el cual se ilustra en la figura 12. Este evento consiste en los tres eventos queestan contenidos en B pero que no estan contenidos en el evento A y su probabilidad es:
P(A∩B) = 0.04 + 0.14 + 0.12 = 0.3Que es lo mismo que afirmar que es la probabilidad de que el evento B ocurra pero que el evento A no lo haga. ¿Cual sera entoncesla probabilidad de que el evento A ocurra mientras que B no lo haga, es decir cual es P(A∩B′)? Adicionalmente a esto, podemosdecir que para dos eventos cualesquiera A y B que se intersecten entre sı, las siguientes probabilidades estaran presentes:
P(A∩B) +P(A∩B′) = P(A) y P(A∩B) +P(A′∩B) = P(B)
S
AB
b
b
bb
b
b
b
b
b
0.010.19
0.070.04
0.12
0.14
0.03
0.22
0.18
Figura 12: Interseccion de los eventos A′ y B.
6.2 Eventos Mutuamente Excluyentes
Definicion 10 Se dice que dos eventos A y B son mutuamente excluyentes is su interseccion es vacıa, es decir si A ∩B = ✁0 demanera que no tengan ningun resultado en comun.
S
A
B
b
b
b
b
b
b
b
Figura 13: Eventos A y B mutuamente excluyentes.
6.3 Union de Eventos o Reglas Aditivas
El evento de al menos uno de dos eventos A y B ocurra (figura 14), se denota como A ∪B y nos referimos a el como la union delos eventos A y B.
Definicion 11 El evento A ∪B es la union de los eventos A y B y consiste en todos los posibles resultados que estan contenidos
dentro de al menos uno de los dos eventos A y B. La probabilidad de que este evento suceda se denota como P(A∪B), y es laprobabilidad de que al menos uno de los dos eventos A y B ocurra.
Es de notar que los resultados de este evento pueden clasificarse de tres maneras, estas son:
1. Que el resultado este en el evento A, pero no en el evento B, es decir el evento P(A∩B′).
2. Que el resultado este en el evento B, pero no en el evento A, es decir el evento P(A′∩B).
3. Que el resultado este a la vez en los dos eventos A y B es decir el evento P(A∩B).
Como la probabilidad del evento A ∪B se obtiene de la suma de los valores de probabilidad de los resultados de estos tres eventosmutuamente excluyentes, llegamos a la siguiente proposicion:
P(A∪B) = P(A∩B′) +P(A′∩B) +P(A∩B)Pero en la seccion 6.1 definimos las probabilidades:
P(A∩B) +P(A∩B′) = P(A) y P(A∩B) +P(A′∩B) = P(B)las cuales al ser despejadas y reemplazadas en nuestra ecuacion para la probabilidad de la union (P(A∪B)) nos arroja el resultado:
P(A∪B) = P(A) + P(B) −P(A∩B)
S
AB
b
b
bb
b
b
b
b
b
0.010.19
0.070.04
0.12
0.14
0.03
0.22
0.18
Figura 14: El evento A ∪B
Podrıa darse el caso de que los dos eventos A y B sean entre si mutuamente excluyentes, es decir podrıamos tener que: P(A∩B) = 0,esto nos lleva a:
Definicion 12 Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes (figura 13) de manera que su interseccion P(A∩B) = 0, entonces:P(A∪B) = P(A) + P(B)
La union de los eventos A y B esta compuesta por los eventos contenidos dentro de las areas coloreadas en la figura 14 y suprobabilidad es de:
P(A∪B) = 0.01 + 0.07 + 0.19 + 0.04 + 0.14 + 0.12 = 0.57El complemento de este evento sera (A ∪B)′, y estara compuesto de los tres resultados dentro del area coloreada en la figura 15, esdecir los eventos que no estan ni en A ni en B y su probabilidad es:
P(A∪B)′ = 0.03 + 0.22 + 0.18 = 1 −P(A∪B) = 0.43Es de importancia tener en cuenta que el evento (A∪B)′ tambien puede ser escrito como el evento A′ ∩B′ ya que consiste de todos
S
AB
b
b
bb
b
b
b
b
b
0.010.19
0.070.04
0.12
0.14
0.03
0.22
0.18
Figura 15: El evento (A ∪B)′
los eventos que a la vez no estan ni en el evento A ni en el evento B. Del mismo modo podemos llegar a la conclusion de que elevento A′ ∪B′ estara compuesto de todos los elementos que no esten a la vez en A y B, es decir sera equivalente al evento (A∩B)′.Estos dos resultados y otros importantes de la union de eventos (reglas aditivas) se resumen a continuacion:
(A ∪B)′ = A′ ∩B′ (A ∩B)′ = A′ ∪B′ A ∪B = B ∪A A ∪A = AA ∪ S = S A ∪ ✁0 = A A ∪A′ = S A ∪ (B ∪C) = (A ∪B) ∪C
Ejemplo 15:
Un experimento consiste en el lanzamiento de un par de dados, uno verde y el otro rojo y anotar los resultados obtenidos en cadalanzamiento. Si x es el resultado obtenido en el dado verde y y el resultado obtenido en el dado rojo, realice las siguientes operacionescon el lanzamiento de los dados:
1. Liste todos los elemetos (x, y) que componen el espacio Muestral S.
2. Liste todos elementos contenidos en el evento A que agrupa a todos los resultados cuya suma es mayor que 8.
3. Liste todos los elementos contenidos en el evento B que ocurre cuando en cualquiera de los dos dados se obtiene un resultadode 2.
4. Liste todos los elementos contenidos en el evento C que ocurre cuando en el dado verde se obtiene un resultado mayor que 4(x > 4).
5. Liste los elementos pertenecientes al evento A ∩B.
6. Liste los elementos pertenecientes al evento A ∩C.
7. Liste los elementos Pertenecientes al evento B ∩C.
8. Construya un diagrama de Venn que ilustre las intersecciones y las uniones de los eventos A, B y C.
La solucion a la primer pregunta la haremos construyendo las parejas (x, y) esto nos da el siguiente conjunto:
S
(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
Figura 16: Espacio muestral para el lanzamiento de dos dados.
Para listar los resultados de las preguntas 2 a 4 colorearemos los resultados de manera parecida al ejemplo 8 ası: para el evento A
azul, para el evento B naranja y para el evento C morado, por tanto los eventos seran:
• Evento A:
S
(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
Figura 17: Evento A, la suma de los dados es mayor a ocho.
• Evento B:
S
(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
Figura 18: Evento B, al menos uno de los dados saca dos.
• Evento C:
S
(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
Figura 19: Evento C, el dado verde obtiene un resultado mayor a 4 (x > 4).La interseccion de los eventos A y B A ∩B es:
A ∩B = {✁0}La interseccion de los eventos A y C A ∩C es:
A ∩C = {(5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}La interseccion de los eventos B y C B ∩C es:
B ∩C = {(5, 2), (6, 2)}Por ultimo, el diagrama que muestra las uniones y las intersecciones de los eventos A, B y C es:
S
AB
C
A ∩ C
B ∩ C
Figura 20: uniones e intersecciones de los eventos A, B y C.
7 Probabilidad Condicional
Como su nombre lo indica es la asignacion de una probabilidad a un evento cuya consecuencia o resultado esta determinado odepende de la ocurrencia de otro sucedido con anterioridad. Ası, si A es el evento ocurre un accidente en una carretera, y B es elevento la carretera esta mojada, entonces si sucediera el evento B, la probabilidad que ocurra un accidente en la carretera estarıasiendo influenciada por B.
Definicion 13 La probabilidad condicional del evento A dado que el evento B ha sucedido es:
P(A∣B) = P(A∩B)
P(B)
para P(B) > 0. Mide la probabilidad de que el evento A ocurra una vez se sabe que el evento B ha ocurrido.
Si quisieramos medir el evento reciproco, es decir medir la probabilidad de que se de B dado que A ha ocurrido, la formula cambiarıaa:
P(B∣A) = P(B∩A)
P(A), conP(A) > 0
Un caso especial de este tipo de evento podrıa darse cuando los dos eventos A y B son mutuamente excluyentes. En este caso tantoA como B no tienen ningun resultado en comun y que en caso de que uno de los dos se presente, el otro no podra ocurrir, por tantoA ∩B = 0 y:
P(A∣B) = P(A∩B)
P(B)= 0
P(B)= 0
Otro caso especial podrıa ser el caso en que el evento B este contenido dentro de A, es decir: B ⊂ A. En este caso si el eventoB ocurre, A tambien debera ocurrir y por tanto su probabilidad de que A se de dado que B ha ocurrido sera de 1, esto ya queA ∩B = B.
P(A∣B) = P(A∩B)
P(B)= P(B)
P(B)= 1
Veamos ahora lo que sucede en la figura 11 con los eventos A y B tal y como se muestran en ella. Supongamos que se sabe que elevento B ocurre, puesto de otra manera sabemos que tenemos uno de los cinco resultados contenidos en B, la pregunta es: Cual esla probabilidad de que se de A?
Como dos de los cinco resultados de B tambien estan presentes en A (es decir, tenemos dos resultados en A ∩B), la probabilidadcondicional sera la probabilidad de que no de estos dos resultados ocurran en vez de que lo hagan los otros tres (los cuales estancontenidos en A′ ∩B). La figura 12 nos muestra esta operacion y su resultado (la probabilidad de que ocurra) sera:
P(A∣B) = P(A∩B)
P(B)]= 0.19 + 0.07
0.19 + 0.07 + 0.04 + 0.12 + 0.14= 0.26
0.56= 0.464
Por otro lado, si estamos seguros de que el evento B no va a ocurrir, entonces la probabilidad condicional de A sera:
P(A∣B′) = P(A∩B′)
P(B′)]= P(A) −P(A∩B)
1 − P(B)= 0.27 − 0.26
1 − 0.56= 0.01
0.44= 0.023
Adicionalmente, de la misma manera en que P(A) + P(A′) = 1, tambien lo es que:
P(A∣B) +P(A′∣B) = 1Por ultimo, un evento condicionado puede ser representado como la combinacion de mas de dos eventos, como ejemplo tomemos:
P(A∣B∪C)
Esto representa la probabilidad de que se de A con la condicion de que primero ha ocurrido el evento B∪C, es decir, con la condicionde que B o C han ocurrido. La probabilidad de este evento sera:
P(A∣B∪C) = P(A∩(B∪C))
P(B∪C)
S
AB
b
b
bb
b
b
b
b
b
0.010.19
0.070.04
0.12
0.14
0.03
0.22
0.18
Figura 21: P(A∣B) = P(A∩B)P(B)
Ejemplo 16:
Recordemos el problema de los chips (ejemplos 2 y 7) y miremos como se verıa el espacio que contiene a los eventos “correcto” e“incorrecto”, de los cuales sabemos que la probabilidad de “correcto” es P(correcto) = 0.71 y que en el estan contenidos los resultadoscorrespondientes a no mas de cinco chips defectuosos.
S
correcto
0defectos0.02
1defectos0.11
2defectos0.16
3defectos0.21
4defectos0.13
5defectos0.08
6defectos??
. . . 500defectos??
Figura 22: Espacio muestral del ejemplo 16.
La probabilidad de que una caja no tenga chips defectuosos es:
P(0defecutos) = 0.02Esto nos indica que al escoger aleatoriamente una caja, tendremos un 2% de probabilidad de que la caja no contenga ningun chipdefectuoso. Recordemos que la companıa alega que en el 71% de los casos las cajas de chips que vende contienen menos de cincochips defectuosos y los clientes de la companıa se clasificaran en satisfechos o insatisfechos dependiendo de que la garantıa se cumpla.Queda claro el hecho de que un cliente insatisfecho nunca sera aquel que compre una caja en la cual no hayan chips defectuosos. Sinembargo, lo interesante serıa saber cual es la probabilidad de que un cliente satisfecho al comprar una caja de chips obtenga unaque no tenga ningun defecto. La probabilidad que queremos calculas sera entonces la probabilidad de no tener ningun defecto en lacaja condicionada por el hecho de que en la caja no podran haber mas de cinco defectos y se calcula como:
P(0defectos∣correcto) = P(0defectos∩correcto)
P(correcto)= P(0)
P(correcto)= 0.02
0.71= 0.028
Este resultado nos indica que mientras el 2% de las cajas de chips no contienen ninguno defectuoso, el 2.8% de los clientes satisfechoscompraron cajas de chips con ninguno defectuoso.
Ejemplo 17:
La probabilidad de que un vuelo regular parta a tiempo es P(D) = 0.83, la probabilidad de que arribe a tiempo es P(A) = 0.82 y laprobabilidad de que parta y arribe a tiempo es de P(D∩A) = 0.78. Hallar la probabilidad de que un avion (a) arribe a tiempo dadoque partio a tiempo, y (b) departa a tiempo, dado que arribo a tiempo.
la probabilidad de que un avion arribe a tiempo, dado que habıa partido a tiempo sera:
P(A∣D) = P(D∩A)
P(D)= 0.78
0.83= 0.94
La probabilidad de que un avion departa a tiempo dado que arribo a tiempo sera:
P(D∣A) = P(D∩A)
P(A)= 0.78
0.82= 0.95
Trabajemos ahora algo de mas interes para la gente que viaja en avion para esto tomemos en cuenta P(A∣D′), esta es la probabilidadde que el avion arribe a tiempo dado que al partir no lo hizo a tiempo.
Esta probabilidad puede hallarse partiendo de la formula:
P(A∣D′) = P(A∩D′)
P(D′)
Del enunciado del problema sabemos la probabilidad de que un avion departa a tiempo y a partir de ella podemos calcular facilmentesu complemento, es decir, la probabilidad de que no departa a tiempo. Esto es:
P(D′) = 1 −P(D) = 1 − 0.83 = 0.17El problema esta en saber el valor de la interseccion entre que el avion arribe a tiempo y que el avion no departa a tiempo, es decirla probabilidad de P(A∩D′). Para esto, volvamos a las definiciones dadas sobre la interseccion de eventos y allı encontraremos lasiguiente ecuacion:
P(A∩B) +P(A∩B′) = P(A)si la adaptamos a la informacion que conocemos, nos basta con reemplazar al evento B por nuestro evento D y despejar la ecuacionpara lo que necesitamos, es decir P(A∩D′), esto nos arroja:
P(A∩D′) = P(A) − P(A∩D)y entonces el resultado a nuestra pregunta sera:
P(A∣D′) = P(A∩D′)
P(D′)= P(A) −P(A∩D)
P(D′)= 0.82 − 0.78
0.17= 0.24
Que es un resultado importante para un pasajero pues la probabilidad de que un vuelo arribe a tiempo bajo estas condicionesdisminuye notablemente.
8 Probabilidad de la Interseccion de Eventos o Reglas Multiplicativas
8.1 Regla Multiplicativa General
Partiendo de la definicion dada de probabilidad condicional para P(A∣B), la interseccion de dos eventosA y B (A∩B) podra calcularsecomo:
P(A∩B) = P(B)P(A∣B)
Esto nos dice que la probabilidad de que los dos eventos A y B ocurran puede ser calculada al multiplicar la probabilidad del eventoB por la probabilidad de que el evento A ocurra dado que el evento B ha ocurrido. Esta misma probabilidad podrıa calcularse dela siguiente manera:
P(A∩B) = P(A)P(B∣A)esto se debe a que nuestro interes es saber si hay la probabilidad de que los dos eventos A y B ocurran y para que esto pueda suceder,uno de los dos eventos ha de ocurrir primero (la condicionalidad) y luego se multiplica por la probabilidad del otro evento para quela interseccion de los dos entre en efecto. Estas formulas pueden extenderse para una cantidad n de eventos todos sucediendo encadena y es lo que nos define las reglas aditivas:
Definicion 14 La probabilidad de la interseccion de una serie de eventos A1, A2, . . . , An−1, An puede calcularse a partir dela expresion:
P(A1∩A2∩⋅⋅⋅∩An−1∩An) = P(A1) × P(A2∣A1) ×P(A3∣A1∩A2) ×⋯×P(An−1∣A1∩A2∩⋯∩An−2) × P(An∣A1∩A2∩⋯∩An−1)
Esta expresion para el calculo de la probabilidad de interseccion de eventos es util en particular cuando las probabilidades condi-cionales P(Ai∣A1∩A2∩⋯∩Ai−1) son de facil obtencion.
Ejemplo 18:
Al finalizar el ejemplo 4 hablamos del evento de sacar dos cartas de un mazo sin reemplazo. Sea A el evento de que la primera cartasacada sea una de corazones y sea B el evento de que la segunda carta sacada del mazo tambien lo sea de corazones. Cual seraP(A∩B), siendo esta la probabilidad de que ambas cartas sean de corazones?
La figura 23 muestra el espacio muestral S de este evento, el cual dijimos en el ejemplo 4 que consiste de 2652 resultados posibles,todos con la misma probabilidad de ser obtenidos, es decir una probabilidad de 1/2652.Una posible forma de dar solucion a este problema serıa contando los posibles resultados dentro del espacio para los que se cumplenlos dos eventos, pero esto tardarıa mucho ya que en total hay 2652 resultados diferentes.
S
(A♡, 2♡) (A♡, 3♡) . . . (A♡, Q♠) (A♡, K♠)(2♡, A♡) (2♡, 3♡) . . . (2♡, Q♠) (2♡, K♠)(3♡, A♡) (3♡, 2♡) . . . (3♡, Q♠) (3♡, K♠)⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
(Q♠, A♡) (Q♠, 2♡) (Q♠, 3♡) . . . (Q♠, K♠)(K♠, A♡) (K♠, 2♡) (K♠, 3♡) . . . (K♠, Q♠)
Figura 23: Diagrama del espacio muestral del ejemplo .
Si observamos bien, podemos darnos cuenta de que para solucionar este problema podemos observar los eventos. Empezamos porsacar la primera carta del mazo y evaluar la posibilidad de que A se presente. Un mazo tiene 13 cartas de cada color por lo que A
tendra una probabilidad:
P(A) = 13
52= 1
4
Si el evento A se da, procedemos a analizar A, es decir, para tener en cuenta que B puede sucedes se debe cumplir primero lacondicion de que A se de, esto es lo mismo que P(B∣A) y su valor es:
P(B∣A) = 12
51
Esto se debe a que no hay reemplazo, por lo que para la extraccion de la segunda carta nuestro mazo tendra una menos y que comoasumimos que en la primera extraccion obtuvimos un corazon ya no quedaran trece sino 12 cartas de corazones en el.
La respuesta a la pregunta sera entonces:
P(A∩B) = P(A)P(B∣A) = 1
4×
1
52= 3
51
8.2 Eventos Independientes
Decimos que dos eventos A y B son independients si:
P(B∣A) = P(B)es decir, si la ocurrencia o no ocurrencia del evento A no afecta para nada la probabilidad del evento B, esto nos lleva a la siguientedefinicion:
Definicion 15 Decimos que dos eventos A y B son independientes si:
P(A∣B) = P(A), P(B∣A) = P(B), y P(A∩B) = P(A)P(B)donde cualquiera de las tres condiciones que se presente implica que las otras dos se dan. La correcta interpretacion de dos eventosindependientes es el hecho de el conocimiento de uno de ellos (bien sea porque ocurre o no lo hace) no afecta para nada la probabilidaddel otro evento.
De la misma manera que con las reglas multiplicativas, la independencia de eventos puede extenderse a un numero n de eventos,esto nos lleva a:
Definicion 16 La probabilidad de la interseccion de una serie de eventos independientes A1, A2, . . . , An−1, An sera:
P(A1∩A2∩⋅⋅⋅∩An−1∩An) = PA1×P(A2) ×PA3
×⋯ ×PAn−1 × PAn
Ejemplo 19:
Una vez mas volvamos al ejemplo de extraer dos cartas de un mazo de 52 con A el evento de que la primera carta sea de corazonesy B el evento de que la segunda carta sea tambien de corazones. Esta vez consideremos el caso de que haya reemplazo, es decir, unavez extraıda la primer carta se anota su valor y luego se devuelve al mazo para volver a barajar (lo que asegura la aleatoriedad delexperimento la segunda vez) antes de extraer la segunda carta.
En la figura 2 vimos que este experimento tiene 2704 posibilidades todas iguales, por lo que el valor de cada resultado es de 1/2704. La probabilidad de obtener una carta de corazones en la primera extraccion es:
P(A) = 13
52= 1
4
Como hay reemplazo, cuando vayamos a sacar la segunda carta el mazo estara de nuevo completo por lo que la probabilidad deobtener una carta de corazones en la segunda extraccion sera:
P(B) = 13
52= 1
4
Ahora al calcular la intercepcion de los dos eventos tendremos:
P(A∩B) = P(a)P(B) = 1
4×1
4= 1
16
Aquı se puede apreciar la independencia de los resultados puesto que la probabilidad del segundo evento no se vio afectada por elprimero al haber reemplazo, lo que garantizo que un evento no se relacionara con el otro a diferencia de lo que sucedio cuando nohubo reemplazo en el ejemplo anterior lo que hacia que el resultado del evento B dependiera directamente del resultado del eventoA.
9 Ley de Probabilidad Total
Sean A1, A2, . . . , An−1, An particiones de un espacio muestral S de manera que cada evento Ai sea mutuamente exclusivo con elotro, es decir que:
S = A1 ∪A2 ∪A3 ∪⋯ ∪An−1 ∪An
supongamos que las probabilidades de estos n eventos PA1, PA2
, . . . , PAn−1 , PAnse conocen y en adicion consideremos un evento
B tal como se ve en la figura 24 que se intersecta con varios de los eventos A1, A2, . . . , An−1, An y para el cual las probabilidadescondicionales P(B∣A1), P(B∣A2), . . . , P(B∣An−1), P(B∣An) tambien se conocen, entonces:
Definicion 17 Si los eventos A1, A2, . . . , An−1, An son particiones de un espacio muestral S, entonces la probabilidad de el eventoB podra obtenerse a partir de las probabilidades de P(Ai) y de P(B∣Ai) mediante:
P(B) = P(A1)P(B∣A1) +P(A2)P(B∣A2) +⋯ +P(An−1)P(B∣An−1) +P(An)P(B∣An)
S
A1
A2
A3
An
B
Figura 24: El espacio muestral S con las particiones A1, A2, . . . , An−1, An y el evento B
Ejemplo 20:
En cierta planta ensambladora, tres maquinas, B1, B2 y B3 ensamblan el 30%, 45% y 25% de los productos respectivamente. Deacuerdo a la experiencia, en la planta se sabe que el 2%, el 3% y el 2% de los productor ensamblados por cada maquina respectivamentesalen defectuosos. Supongamos que uno de los productos terminados se selecciona al azar. Cual es la probabilidad de que el productosea defectuoso?, para esto cosidere los siguientes eventos:
A: El producto esta defectuosoB1: El producto fue ensamblado por la maquina B1.B2: El producto fue ensamblado por la maquina B2.B3: El producto fue ensamblado por la maquina B3.
Nos interesa saber si un producto es defectuoso al escogerlo de un grupo de productos terminado por las tres maquinas, es decirqueremos saber P(A), pero para poder saber su valor debemos tener en cuenta que una de las maquinas pudo haber ensamblado elproducto, lo cual introduce condicionalidad en nuestro problema, por tanto la probabilidad sera:
P(A) = P(B1)P(A∣B1) +P(B2)P(A∣B2) +P(B3)P(A∣B3)
Para entender esto mejor, miremos la figura 25 que nos muestra el evento con sus probabilidades.
B1 A
S B2 A
B3 A
P(B2) = 0.3
P(B2) = 0.45
P(B3) = 0.25
P(A∣B1) = 0.02
P(A∣B2) = 0.03
P(A∣B3) = 0.02
Figura 25: Diagrama de arbol para el ejemplo 20.
De acuerdo al diagrama las probabilidades de cada una de las ramas seran:
P(B1)P(A∣B1) = (0.3)(0.02) = 0.006P(B2)P(A∣B2) = (0.45)(0.03) = 0.0135P(B3)P(A∣B3) = (0.25)(0.02) = 0.005
y por tanto:P(A) = P(B1)P(A∣B1) +P(B2)P(A∣B2) + P(B3)P(A∣B3) = 0.006+ 0.0135+ 0.005 = 0.0245
10 Teorema de Bayes
Una pregunta adicional que surge es como usar las probabilidades de P(Ai) y P(B∣Ai) para calcular las probabilidades de P(Ai ∣B), esdecir la probabilidad “revisada” de los eventos Ai condicionados a la ocurrencia del evento B. Para dar respuesta a esta preguntasurgio el Teorema de Bayes que dice:
Definicion 18 Si A1, A2, . . . , An−1, An son particiones de un espacio muestral S, entonces las probabilidades posteriores de loseventos Ai condicionados a la ocurrencia del evento B puden obtenerse partiendo de las probabilidades de P(Ai) y P(B∣Ai) mediantela formula:
P(Ai∣B) = P(Ai)P(B∣Ai)
∑nj=1 P(Aj)P(B∣Aj)
La importancia de este teorema reside en el hecho de que la informacion acerca de un evento puede ser usada para actualizar lainformacion ya existente del evento y mejorar cada vez mas la exactitud de los modelos.
Ejemplo 21:
Partiendo del ejemplo 20, si un producto es escogido al azar y resulta defectuoso , cual es la probabilidad de que el producto hayasido ensamblado por la maquina B3? Por el Teorema de Bayes la probabilidad de este evento es:
P(B3∣A) = P(B3)P(A∣B3)
P(B1)P(A∣B1) +P(B2)P(A∣B2) + P(B3)P(A∣B3)
y al reemplazar en esta formula las probabilidades que ya tenıamos tenemos:
P(B3 ∣A) = 0.005
0.006+ 0.30135+ 0.005= 0.005
0.0245= 10
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En vista del hecho de que un producto defectuoso fue seleccionado, el resultado sugiere que probablemente no fue ensamblado porla maquina B3.
Ejemplo 22:
Una planta armadora recibe microcircuitos provenientes de tres distintos fabricantes B1, B2 y B3. EL 50% del total se compra a B1
mientras que a B2 y B3 se les compra un 25% a cada uno .El porcentaje de circuitos defectuosos para B1, B2 y B3 es 5, 10 y 12%respectivamente. Si un circuito no esta defectuoso, ¿Cual es la probabilidad de que haya sido vendido por el proveedor B2?.
Para poder resolver este problema primero debemos hallar las probabilidades de que el producto sea o no defectuoso, si denotamoscon D un producto defectuoso y con N uno no defectuoso, tenemos:
P(D1) = P(D∣B1)P(B1) = 0.05 × 0.5 = 0.025P(D2) = P(D∣B2)P(B2) = 0.1 × 0.25 = 0.025P(D3) = P(D∣B3)P(B3) = 0.12 × 0.25 = 0.03P(N1) = P(N ∣B1)P(B1) = 0.95 × 0.5 = 0.475P(N2) = P(N ∣B2)P(B2) = 0.9 × 0.25 = 0.225P(N3) = P(N ∣B3)P(B3) = 0.88 × 0.25 = 0.22
Finalmente, ya que nos preguntan la probabilidad de que el elemento escogido haya sido vendido por el fabricante B2, aplicamos elTeorema de Bayes de la siguiente manera:
P(B1 ∣N) = P(N ∣B1)P(B1)
P(N ∣B1)P(B1) + P(N ∣B2)P(B2) +P(N ∣B3)P(B3)
= 0.225
0.475+ 0.225 + 0.22= 0.225
0.92= 0.2446
Ejercicios de Practica
1. Se selecciona una carta de un mazo de 52 cartas. A es el evento de que la carta seleccionada sea un As, B es el evento de quela carta seleccionada sea roja y C el evento de que la carta seleccionada sea una figura (J, Q o K). De cuales cartas consistenlos siguientes eventos:
(a) A ∩B (b) A ∪C (c) B ∩C′ (d) A ∪ (B′ ∩C)
2. Suponga que entre los estudiantes de ultimo ano de los colegios de una ciudad se hace una encuesta a 500 estudiantes y seencuentra que 210 fuman, 258 consumen bebidas alcoholicas, 216 comen entre comidas, 122 fuman y beben bebidas alcoholicas,83 comen entre comidas y consumen bebidas alcoholicas, 97 fuman y comen entre comidas y 52 realizan estas 3 malas practicas.Si un miembro de este grupo es seleccionado al azar, hallar la probabilidad de que el estudiante: (a) Fume pero no consumabebidas alcoholicas. (b) Coma entre comidas y beba bebidas alcoholicas. (c) Ni beba ni coma entre comidas.
3. Consideremos una urna que contiene 4 bolas rojas y 5 blancas. De las 4 bolas rojas, 2 son lisas y 2 rayadas y de las 5 bolasblancas, 4 son lisas y una sola es rayada. Supongamos que se extrae una bola y, sin que la hayamos mirado, alguien nos diceque la bola es roja, ¿cual es la probabilidad de que la bola sea rayada?
4. Las probabilidades de que llueve o nieve en una ciudad determinada el dıa de navidad, el dıa de ano nuevo o ambos dıas sonP(L) = 0.60, P(N) = 0.60 y P(L∩N) = 0.42. Verifique si los eventos N y C son independientes.
5. Si hay una probabilidad del 10% de que la luna estara en la septima casa y Jupiter se alineara con Marte, y una probabilidaddel 25% de que Jupiter se alineara con Marte, entonces ¿cual es la probabilidad de que la luna este en la septima casa, dadoque Jupiter se alinee con Marte?. Recuerde pasar los porcentajes a valores entre 0 y 1.
6. Un jurado consiste en nueve personas nacidas en el paıs y tres personas nacidas en el extranjero. Si se selecciona para unaentrevista: (a) a dos miembros del jurado cual es la probabilidad de que ninguno sea extranjero, (b) a tres miembros del juradocual es la probabilidad que todos sean extranjeros.
7. Una bola se escoge al azar de una bolsa que contiene 150 bolas que son rojas o azules y lisas o rayadas. En la bolsa hay 36bolas lisas y 54 bolas azules. Cual es la probabilidad de que la bola escogida sea lisa dado que es roja? Cual es la proabilidadde que la bola escogida sea rayada dado que es roja?
8. Una clase de fısica avanzada esta compuesta por 10 estudiantes de tercer ano, 30 de ultimo ano y 10 de posgrado. Las notasfinales muestran que 3 de los estudiantes de tercer ano, 10 de los de ultimo ano y 5 de los de posgrado obtuvieron una calificacionde E. Si un estudiante es seleccionado al azar de esta clase y se encuentra que el estudiante tiene una nota de E, cual es laprobabilidad de que el o la estudiante sea de ultimo ano?
9. Una companıa estudia la comercializacion de un nuevo producto. El presidente de la companıa desea que el producto sea superioral de su mas cercano competidor. Con base en una evaluacion preliminar que realizo el personal clave, se decide asignar unaposibilidad del 50% de que el producto sea superior al ofrecido por el competidor, 30% de que tenga la misma calidad y un20% de que sea inferior. Un estudio de mercado sobre el producto concluye que este es superior al del competidor. Con base ala experiencia sobre los resultados de las encuestas, se determina si el producto es realmente superior, la probabilidad de quela encuesta alcance la misma conclusion es 0.7. Si el producto tiene la misma calidad que el del competidor, la probabilidad deque la encuesta de como resultado un producto superior es 0.4. Si el producto es inferior, la probabilidad de que la encuestaindique un producto superior es de 0.2. Dado el resultado de la encuesta, ¿Cual es la probabilidad de obtener un productosuperior?
10. Con base en varios estudios una companıa ha clasificado, de acuerdo con las posibilidades de descubrir petroleo, las formacionesgeologicas en tres tipos. La companıa pretende perforar un pozo en un determinado sitio, al que se le asignan las probabilidadesde 0.55, 0.30 y 0.25 para los tres tipos de formaciones, respectivamente. De acuerdo con la experiencia se sabe que el petroleose encuentra en un 50% de las formaciones del tipo I, en un 15% de las formaciones del tipo II y en un 35% de las formacionesdel tipo III. Si la companıa no descubre petroleo en ese lugar, ¿Cual es la probabilidad de que exista una formacion del tipoII?
11. En cierta region de un paıs se sabe por experiencia que la probabilidad de seleccionar a un adulto mayor de 40 anos con canceres de 0.05. Si la probabilidad de que un doctor diagnostique de manera correcta a una persona enferma de cancer como unapersona enferma de cancer es de 0.78 y la probabilidad de que diagnostique a una persona sana como una persona enfermacon cancer es del 0.06, cual es la probabilidad de que un adulto de mas de 40 anos de edad sea diagnosticado como enfermo decancer? Cual es la probabilidad de que la persona diagnosticada en efecto este enferma de cancer?
12. La bolsa A contiene 3 bolas rojas y 7 azules, la bolsa B contiene 8 bolas rojas y 4 azules y la bolsa C contiene 5 bolas rojas y11 azules. Se selecciona una bolsa al azar (las tres bolsas tienen la misma oportunidad de ser seleccionadas) y luego se extraeuna bola de la bolsa al azar. Calcular las probabilidades siguientes:
(a) Se escoja una bola roja.
(b) Se escoja una bola azul.
(c) Se escoja una bola roja de la bolsa B.
(d) Si se sabe que la bola escogida es roja, cual es la probabilidad de que la bola provenga de la bolsa A?
(e) Si se sabe que la bola escogida es azul, cual es la probabilidad de que la bola provenga de la bolsa B?
References
[1] Walpole, Ronald E., . . . [et al.], Probability and Statistics for Engineers, Ninth edition, Prentice Hall, USA, 2012.
[2] Freund, John E. y Simon, Gary A., Estadıstica Elemental, Octava Edicion, Pearson Educacion, Mexico, 1994.
[3] Devore, Jay L., Probabilidad y Estadıstica para Ingenierıa y Ciencias, Octava edicion, Cengage Learning, Mexico, 2012.
[4] Hayter, Anthony, Probability and Statistics for Engineers and Scientists, Fourth Edition, Brooks/Cole, USA, 2012.
