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Guia do Professor

PerspectivaSérie Mundo da Matemática

Conteúdos Digitais

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DISTRIBUIÇÃO GRATUITAIMPRESSO NO BRASIL

Coordenação Geral

Elizabete dos Santos

Autores

Bárbara Nivalda Palharini Alvim SouzaKarina Alessandra Pessôa da SilvaLourdes Maria Werle de AlmeidaLuciana Gastaldi Sardinha SouzaMárcia Cristina de Costa Trindade CyrinoRodolfo Eduardo Vertuan

Revisão Textual

Elizabeth Sanfelice

Coordenação de Produção

Eziquiel Menta

Projeto Gráfico

Juliana Gomes de Souza Dias

Diagramação e Capa

Aline SentoneJuliana Gomes de Souza Dias

Realização

Secretaria de Estadoda Educação do Paraná

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Audiovisual “O mundo da Matemática”

Episódio 14 – “Perspectiva”

1 Introdução

No audiovisual “Perspectiva”, episódio 14 do programa “O Mundo da Matemática”, Rafa mente para Júlia ao dizer que passou no teste do DETRAN para obter a carteira de motorista. Ele tenta não tocar no assunto enquanto os dois saem de uma exposição de artes sobre perspectiva organizada pelo pessoal do colégio. O vídeo oferece a oportuni-dade para discutir representação de retas paralelas e concorrentes em perspectiva.

Nesse episódio, é proposto um estudo da representação de relações espaciais e objetos sólidos tridimensionais no plano.

1.1 A Perspectiva e a arte

A perspectiva é uma técnica utilizada para representar relações espaciais e objetos sólidos no plano, de modo a produzir um efeito semelhante ao da percepção do olho humano. Se procurarmos no dicionário encontraremos que perspectiva é uma palavra latina que significa ver através de. Este termo teve diferentes acepções ao longo do tempo.

Para representar um objeto em perspectiva, utilizamos algumas regras geométricas de projeção. Essas regras permitem evidenciar as distâncias, e os objetos aparecem de acordo com a percepção óptica que temos deles (e em oposição direta a uma forma de representação puramente simbólica ou decorativa), o que possibilita reconstruir qualquer representação (planta) a partir do desenho em perspectiva.

Entre os diversos sistemas de representação em perspectiva, podemos destacar a pers-pectiva linear e a perspectiva atmosférica.

A perspectiva linear baseia-se no modelo ocular, isto é, nas projeções sobre a retina (pelo que foi primeiramente designada por perspectiva naturalis). Essa perspectiva per-mite ao artista, ao engenheiro, ao arquiteto representar um objeto tridimensional proje-tando-o sobre um plano a partir de um ponto - o ponto de fuga, que se encontra sobre o eixo óptico ou de visão, uma linha de horizonte imaginária. Todas as linhas de projeção convergem para esse ponto.

As partes que estão mais próximas de nós parecem maiores e as partes mais distantes aparentam ser menores.

Os objetos menores são interpretados igualmente como estando mais distanciados. Contudo, não há uma equivalência inequívoca entre representações bidimensionais e o seu equivalente tridimensional. Ou seja, a uma mesma projeção, podem corresponder diversos objetos tridimensionais (AUMONT, 1993, p. 42).

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A perspectiva linear está presente na maioria das vezes como uma perspectiva dinâmi-ca, pois, ao movermo-nos, o nosso campo visual está em constante transformação, mas de uma forma que o cérebro interpreta como congruente (AUMONT, 1993, p. 42-43).

A perspectiva atmosférica, utilizada na pintura, é outra técnica que joga com variações de luz e cor, que permite obter uma ilusão de profundidade. São empregadas cores mais luminosas, contornos mais nítidos e textura mais espessa nos objetos mais próximos. Os objetos mais afastados são pintados com menos nitidez e normalmente com cores seme-lhantes às aplicadas no fundo. Isso porque, segundo Aumont (1993), a atmosfera terres-tre, que contém poeiras e humidade, se interpõe e afeta a luminosidade dos objetos.

Antes do Renascimento, a noção de profundidade na pintura era dada por essa téc-nica. A ideia de profundidade espacial (perspectiva) e o papel autônomo da luz provo-caram uma mudança revolucionária nas obras de arte. Artistas como Leonardo Da Vinci, Michelangelo (1474 - 1564), Rafael (1483 – 1520) e Albrecht Dürer (1471 – 1528), busca-ram retratar com rigor a profundidade numa tela bidimensional. Eles consideravam o quadro como uma janela através da qual o artista vê o objeto a ser pintado. A pintura era a representação da projeção do objeto na tela. “As linhas de visão a partir do objeto que convergem no olho passam através da janela e os pontos onde se dá a intersecção das linhas com a superfície da janela formam a projeção do objeto naquela superfície” (DEVLIN, 2002, p.136). O desenho tornou-se o suporte desses mecanismos.

Embora a ideia de perspectiva estivesse presente no século XV, só no século XVIII é que a geometria projetiva foi estudada como uma disciplina matemática.

A introdução da perspectiva na arte é uma das grandes inovações no período de tran-sição do gótico para o Renascimento. A pintura passou a assumir uma grande importância em relação aos outros gêneros artísticos. Estabeleceu-se uma nova relação entre a obra de arte e o espectador. Os pontos de fuga na arte permitiam ter uma visão de profundi-dade nunca antes conseguida.

No vídeo aparecem as figuras apresentadas a seguir, inicialmente sem as linhas. Depois de acrescentadas estas linhas, horizontais, verticais ou inclinadas, as figuras fazem senti-do e mostram a profundidade que não conseguíamos perceber anteriormente.

É este o segredo da perspectiva, que o homem demorou muito tempo para descobrir.Se você se colocar atrás de uma janela envidraçada e riscar no vidro o que está “vendo

através da janela”, terá feito uma perspectiva da paisagem. A gravura a seguir mostra um desenho de Dürer.

Figura 1:Representação em perspectiva

Disponível em: < http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opom-bo/seminario/durer/matna-pint.htm>. Acessado em 12 jul 2009

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A perspectiva é a representação gráfica que mostra os objetos como eles aparecem a nossa vista, com três dimensões, mas não como eles realmente são. Ela dá uma noção de conjunto do objeto em um só desenho, mas não permite que se tomem medidas, pois algumas delas são modificadas.

Apresentamos a seguir dois tipos de perspectiva: a Cavaleira e a Isométrica, que são as mais utilizadas.

1.2 Perspectiva Cavaleira

Alguns afirmam que a perspectiva Cavaleira leva esse nome porque era o nome dado a um tipo de construção alta — o cavalier — que existia em certas fortificações militares do séc. XVI e de onde se tinha, sobre a própria fortificação, uma visão “do alto” – que seria semelhante à dada pela perspectiva cavaleira.

Figura 2 – Retirada de notas de aula da Profa. Dra. Marie-Claire Ribeiro Pola

A perspectiva cavaleira é uma projeção cilíndrica oblíqua sobre um plano paralelo a uma das faces principais do objecto. Veja, na Figura 3 a seguir, a projeção cilíndrica oblíqua de uma esfera.

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Perceba os elementos:• figura a ser projetada (esfera);• o plano de projeção;• os raios projetantes;• a projeção da figura (no caso, uma elipse).

1.2.1 Perspectiva Cavaleira de um cubo

Nesta perspectiva, a face da frente conserva a sua forma e as suas dimensões, e a face de fuga (eixo x) é a única a ser reduzida. Esta redução varia conforme o ângulo que o eixo x faz com o eixo y. • Se o ângulo é de 60º , a redução é de 1/3 do original;• Se o ângulo é de 45º , a redução é de 1/2 do original;• Se o ângulo é de 30º , a redução é de 2/3 do original.

x : y : z x : y : z x : y : z 1/3 : 1: 1 1/2 : 1: 1 2/3 : 1: 1

Figura 3:Projeção ciíndrica de uma esfera

Figura 4:Perspectiva cavaleira do cubro

1.3 Perspectiva Isométrica

Iso quer dizer mesma; métrica quer dizer medida. A perspectiva isométrica mantém as mesmas proporções do comprimento, da largura e da altura do objeto representado.

Para construir-se uma perspectiva ison métrica de um objeto, basta adotar uma única escala para os três eixos. As direções x e y formam ângulo de 30º com a horizontal.

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Figura 5:Perspectiva isométrica do cubo

2 Objetivos

• Reconhecer retas paralelas e concorrentes em uma representação em perspectiva.• Conhecer técnicas para representar relações espaciais e objetos sólidos tridimensionais

numa superfície plana.• Representar em perspectiva uma figura tridimensional no plano.

Sugestão de atividade

Após assistir ao vídeo o professor pode propor atividades que permitam aos alunos refletir, questionar e aprofundar conchecimentos sobre os conteúdos abordados. A seguir apresentamos algumas sugestões.

Atividade 1: Perspectiva Cavaleira e Isométrica 1

Construir as perspectivas cavaleira (escolher um ângulo) e isométrica de um prisma de base retangular, cujas medidas são: 6cm x 2cm x 4cm.

Comentários para o professor:

Para esta atividade, o professor pode propor a utilização de papel quadriculado e transferidor ou compasso para construir os ângulos.

Perspectiva Cavaleira: a medida do eixo de fuga deve ser reduzida à metade, neste caso (medida real de 2 cm deve ser construída com 1 cm) , porque o ângulo escolhido foi de 45º .

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Atividade 2: Perspectiva Cavaleira e Isométrica 2

O sólido a seguir está representado na perspectiva Cavaleira. Represente-o na perspec-tiva isométrica.

Comentários para o professor:

Pode-se obter as medidas utilizando régua ou compasso. É importante lembrar que, como o ângulo em relação à horizontal é de 45º, a medida real da face de fuga (eixo x) é o dobro.

4 Avaliação

A avaliação pode ser realizada durante todo o desenvolvimento das atividades, por meio de questionamentos e preenchimento dos quadros. O professor pode aproveitar as respostas dos alunos para fazer as intervenções que julgar necessárias.

5 Sugestões de sítios

Os sítios a seguir podem oferecer interessantes motivações para pesquisas:http://www.moderna.com.br/moderna/arte/vdali/destino http://www1.ci.uc.pt/iej/alunos/1998-99/cbs/entrada1/conteudo.htmhttp://www.terravista.pt/portosanto/2974/arquite2.htm http://www.terravista.pt/portosanto/2974/pintu6.htmhttp://www.apm.pt/apm/geometria/inoveg/egtext1.html

6 Indicações de leituras

AUMONT, J. A Imagem. Campinas:Papirus, 1993.

BLAKEMORE, C. Os Mecanismos da Mente. Lisboa: Editorial Presença, 1986.

CYRINO, M.C.C.T. As várias formas de conhecimento e o perfil do professor de Matemáti-ca na ótica do futuro professor. São Paulo: FEUSP, 2003. (Tese de Doutorado).

Notas de aula da Profa. Dra. Marie-Claire Ribeiro Pola.

Perspectiva Isométrica: todas as medidas são preservadas.

Realização:

Condigital

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Condigital