Colegio Aurora de Chile “Formando Personas”

Departamento de Matemática

3 año ___Profesoras: Isabel López Astete.

GuíaEcuación Cuadrática

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TIPOS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Las ecuaciones de segundo grado se clasifican así:

Se sabe que la forma general de la ecuación de segundo grado es . Si , resulta una ecuación de segundo grado incompleta pura, de la forma .

Ejemplos:i) ii)

Si , resulta una ecuación de segundo grado incompleta binomial, de la forma: .Ejemplos:i) ii)

Si , resulta una ecuación de segundo grado completa particular, de la forma .Ejemplos:i) ii)

La ecuación completa general tiene la forma ya vista .Ejemplos:i) ii)

Ejemplos:i) ii)

Ejemplos:ii) iii)

Ejemplos:i)

Si

Si

Se factoriza el trinomio en un producto de dos factores binomiales.(x – 6) (x + 1) = 0Para que el producto sea cero, uno de los factores debe ser cero.

ii) iii)

Procedimiento:Las ecuaciones completas particulares se pueden resolver mediante una fórmula, que relaciona a

los coeficientes b y c de la ecuación .

Para poder aplicar esta fórmula se debe tener las siguientes precauciones:i) Que el coeficiente de x2 sea positivo (+1) De no ser así, se debe multiplicar la ecuación por -

1,ii) Que la ecuación esté ordenada e igualada a cero.

Ejemplos:a) b)

Los coeficientes son Luego, aplicando la fórmula cuadrática, tenemos:

3.3 Ecuación Completa General.Tiene la forma . Se puede resolver básicamente usando la fórmula cuadrática:

, que se deduce de los coeficientes a, b y c.

Ejemplos:a) b)

Guía Aplicaciones de la Ecuación Cuadrática

1. ¿Cuál es la suma de las soluciones de la ecuación: 3x2 – 5x – 2 =0?2. ¿Cuál es el producto de las soluciones de la ecuación: 3x2 + 5x + 2 =0?3. Determina la suma y el producto de las raíces de la ecuación: 2ax2 - bx + a2b2 = 0 4. Determina una ecuación cuadrática cuyas raíces sea:

a) x1 = 0 y x2 = 1b) x1 = -2 y x2 = -5c) x1 = 0 y x2 = 0d) x1 = 2 y x2 = -2e) x1 = y x2 =

f) x1 = 2 y x2 =

g) x1 = 3 y x2 =

h) x1 = y x2 =

2. Sin resolver la ecuación, determina la naturaleza de sus raíces o soluciones: a) x2 + x + 1 = 0b) 2x2 + 3x – 5 = 0c) 2(x – 3)2 – 3(x + 1)2 = 0d) (x – 6)(x + 5) – 2(x – 7)2 = (x + 3)2

e)

f) 6x2 + 7x + 4 = 03. En los ejercicios siguientes determine qué valores debe tomar k o qué condiciones debe cumplir k para

que las soluciones sean como se requiere en cada caso:a) 2x2 + kx – 3 = 0 Soluciones reales y distintas.b) 3x2 – kx + 3 = 0 Soluciones reales e iguales.c) kx2 + kx -2 = 0 Soluciones reales e iguales.d) 5x2 + 2x + k = 0 Soluciones complejas conjugadas.e) 3x2 – x – 2k = 0 Soluciones reales y distintas.f) x2 – kx + k – 1 = 0 Una solución sea el doble de la otra.g) x2 – 7x + k = 0 Una de sus raíces sea 3.

5. Determina el valor que debe tener k en la ecuación x2 – 4x +k -2 = 0 para que las raíces cumplan la siguiente condición:

a) x1 = x2

b)

c) X1 = 5

d)

6. Resuelve aplicando ecuaciones cuadráticas, los siguientes problemas:a) Encuentra dos números pares consecutivos cuyo producto sea 4.224.b) Si el número de diagonales de un polígono es 54. ¿Cuántos lados tiene el polígono?c) La diagonal de un rectángulo mide 10 cm. y su área 48 cm2. ¿Cuáles son las medidas de los

lados del rectángulo?d) Dos grifos, abiertos simultáneamente, llenan un depósito en 2 horas y 24 minutos. Abiertos por

separado, el primero lo llene en 2 horas menos que el segundo. ¿ Cuál es el tiempo que tardará cada uno de ellos en llenarlo.

e) La suma de las edades de dos personas es 23 años y su producto es 102.Determina la edad de cada una.