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GUÍA

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Septiembre 2015-Febrero 2016

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ASIGNATURA: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVANIVEL: CUARTOCRÉDITOS: CUATROPRERREQUISITOS: MATEMÁTICA PARA ECONOMÍA

INVESTIGACIÓN BÁSICAOBJETIVO GENERAL DE LA ASIGNATURAAplicar las técnicas estadísticas en la recopilación, organización presentación einterpretación de la información cualitativa o cuantitativa de una investigación, quepermita una verdadera toma decisiones de una manera creativa y original.

UNIDADESI. INTRODUCCIÓN CONCEPTOS BÁSICOS, ORGANIZACIÓN , TABULACIÓN Y

PRESENTACIÓN DE DATOSII. MEDIDAS ESTADÍSTICAS PARA DATOS NO AGRUPADOS Y AGRUPADOSIII. PROBABILIDADESIV. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADV. ELEMENTOS DE MUESTREO

BIBLIOGRAFÍA:

BÁSICA:

Newbold Paul, Carlson Willam L.,Thorne Betty. (2008) Estadística para Administración yEconomía. Sexta Edición. España.Prentice Hall.

COMPLEMENTARIA:

Levin, R. y Rubin, D. (2010) Estadística para la Administración y Economía. Séptimaedición. México:Prentice Hall.

Mason,Lind,Marchal (2005). Estadística para Administración y Economía. Décimaedición, Colombia: Alfaomega.

Walpole, R., Myers, R., Myers., Sharon; Ye, K. (2012). Probabilidad y Estadística paraIngeniería y Ciencias. Novena edición. México: Pearson.

RECOMENDADA:

Lind, Douglas A., Marchal, William G., Mason, Robert D. (2005). Estadística para laAdministración y Economía. Décimo primera edición. México: McGraw HillInteramericana.

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Anderson D., Sweeney D., Williams T. (2008). Estadística para la Administración yEconomía. Octava edición. México: Internacional Thomson.

Galindo E. (2011). Estadística métodos y aplicaciones para administración e ingeniería.Tercera edición. Quito: ProCiencia Editores.

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PROGRAMA ANALÍTICO DE LA ASIGNATURA

UNIDAD I. INTRODUCCIÓN CONCEPTOS BÁSICOS, ORGANIZACIÓN, TABULACIÓN YPRESENTACIÓN DE DATOS

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:Al finalizar la presente unidad el estudiante estará en capacidad de:a) Seleccionar una muestra mediante una técnica de muestreo, asegurándose

que sea una representación de la poblaciónb) Identificar las variables y clasificarlas de acuerdo a su tipología.c) Convertir los datos sin procesar en información útil, mediante la organización

apropiada en tablas de frecuencias y su representación gráfica.d) Interpretar de manera adecuada la información obtenida.e) Reconocer la importancia de la Estadística y su relación con el proceso de

investigación.

CONOCIMIENTOS PREVIOSPara el desarrollo de esta unidad el estudiante deberá tener conocimientos de:Operaciones con números reales.

CONTENIDOS1. INTRODUCCIÓN CONCEPTOS DE ESTADÍSTICA ORGANIZACIÓN Y

TABULACIÓN DE DATOS1.1. Introducción, concepto, importancia y principales ramas de la

Estadística1.2. Conceptos básicos: población, muestra, elemento o unidad de análisis,

muestreo, parámetro, estadístico, variable y su clasificación.

1.3. Organización y Tabulación de Datos1.3.1. Ordenamiento de datos categóricos

1.3.1.1. Distribución de frecuencias1.3.1.2. Representación Gráfica: Representación en Barras

Representación Circular o tarta1.3.1.3. Diagrama de Pareto. Representación Lineal. (representación

series de tiempo)1.3.2. Ordenamiento de datos numéricos

1.3.2.1. Tablas o cuadros de frecuencia para datos no agrupados

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1.3.2.2. Tablas o cuadros de frecuencia para datos agrupados1.3.2.3. Representación Gráfica, Histograma, Polígono de

frecuencias, Ojivas.1.3.2.4. Diagrama de Tallo y hoja

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EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS1. Complete el siguiente cuadro con un ejemplo de cada una de las posibles variables

que se pueden obtener a partir de los diferentes tipos de población señalados. En laúltima fila proponga usted un ejemplo.

POBLACIÓNVARIABLES

CUANTITATIVASVARIABLES

CUALITATIVASContinuas Discretas Nominales Ordinales

Habitantes del DistritoMetropolitano de QuitoDocentes de la UTE

Usuarios de los parqueaderos dela UTEEstudiantes del Cuarto semestrede COMEX

2. En una encuesta reciente se pidió al profesorado de una universidad que respondieraa varias preguntas. Indique el tipo de datos de cada pregunta.

a) Indique su nivel de satisfacción con la carga docenteb) ¿Cuántos artículos ha publicado en revistas durante el último año?c) ¿Ha asistido a la última reunión del consejo de departamento?d) ¿Cree usted que el proceso de evaluación de la docencia debe revisarse?

3. Se ha formulado una serie de preguntas a una muestra de clientes de una tienda dehelados. Identifique el tipo de datos que se pide en cada pregunta.

a) ¿Cuántos años tiene?b) ¿Cuál es su sabor de helado preferido?c) ¿Cuántas veces al mes toma helado?d) ¿Tiene hijos de menos de 10 años que vivan en casa?e) ¿Ha probado el último sabor de helado?

4. Se va aplicar una encuesta de opinión ciudadana acerca de la gestión del PresidenteRafael Correa y del Alcalde Mauricio Rodas. Indique el tipo de datos del siguientegrupo de preguntas que son parte del cuestionario:

a) Edad

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b) Nivel de instrucciónc) ¿Cómo calificaría usted a la gestión que realiza el presidente Rafael Correa?

(Muy buena, buena…)d) ¿Está o no de acuerdo con la gestión que realiza el Alcalde Mauricio Rodas?e) ¿Según usted cuál es el mayor problema que afecta a la ciudad de Quito?

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5. Con la información proporcionada por los estudiantes en el primer día de clases delsemestre anterior se elaboró la siguiente matriz de variables:

Nº Edad GéneroNúmerodehermanos

Calificación deGrado (Buena, MuyBuena,…)

Estatura(m)

Peso(kg)

GastoMensualeninternet

Uso del

internet

No. DeAsignaturasReprobadas

1 21 Masculino 1 Muy buena 1,60 53 58 videos 32 18 Femenino 3 Muy buena 1,45 46 35 deberes 13 19 Femenino 1 Muy buena 1,53 50 30 chat 24 20 Masculino 1 Muy buena 1,85 85 40 deberes 35 21 Femenino 1 Muy buena 1,55 64 18 deberes 16 19 Femenino 3 Muy buena 1,60 65 20 chat 47 19 Masculino 1 Muy buena 1,70 74 18 deberes 28 19 Femenino 2 Sobresaliente 1,60 55 25 videos 09 19 Masculino 3 Muy buena 1,72 69 50 deberes 010 20 Masculino 3 Muy buena 1,78 65 30 chat 011 21 Femenino 2 Muy buena 1,54 48 56 noticias 012 19 Femenino 0 Muy buena 1,57 50 30 deberes 013 20 Femenino 1 Sobresaliente 1,65 50 45 deberes 014 26 Masculino 2 Muy buena 1,65 66 27 deberes 015 19 Masculino 2 Sobresaliente 1,80 69 29 chat 316 19 Masculino 2 Muy buena 1,70 70 25 deberes 117 18 Femenino 0 Muy buena 1,64 60 15 deberes 418 27 Femenino 3 Muy buena 1,60 53 38 noticias 219 21 Femenino 2 Muy buena 1,73 65 50 videos 020 21 Femenino 1 Buena 1,63 59 25 chat 221 20 Masculino 3 Muy buena 1,50 57 26 deberes 022 22 Masculino 3 Muy buena 1,70 63 35 deberes 123 25 Femenino 0 Buena 1,73 51 27 chat 224 19 Masculino 1 Muy buena 1,65 63 35 deberes 325 23 Femenino 3 Buena 1,55 57 40 noticias 526 23 Masculino 2 Buena 1,58 52 40 deberes 327 21 Masculino 0 Buena 1,68 73 35 deberes 428 20 Femenino 1 Sobresaliente 1,55 58 30 chat 129 19 Femenino 3 Muy buena 1,60 65 20 chat 430 19 Masculino 0 Muy buena 1,70 74 40 deberes 2

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Con esta información clasifique las variables de acuerdo a su tipología

VariableCualitativa CuantitativaNominal Ordinal Discreta Continua

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6. Escriba el nombre que corresponde a cada gráfico o diagrama estadístico y el tipode variable para el que recomienda su utilización.

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7. Con las variables uso del internet y calificación de grado de la matriz de variables de lapágina 8, construya las tablas de distribución de frecuencia, con todos sus elementos(número, título,..). Interprete una clase. Construya un gráfico de sectores.

8. Una empresa ha llegado a la conclusión de que hay siete defectos posibles en una desus líneas de productos. Construya un diagrama de Pareto de las siguientesfrecuencias de defectos. Escriba un reporte que resuma la información que leproporciona la gráfica.

Código de defectos FrecuenciaA 10B 70C 15D 90E 8F 4G 3

9. Una compañía de seguros médicos realizó una investigación de todo el proceso depresentación de reclamaciones y pago de indemnizaciones. Se seleccionó un equipode personas clave de los departamentos encargados de tramitar las reclamaciones, derelaciones con los proveedores y de marketing, de auditoría interna, deprocesamiento de datos y de revisiones médicas. Basándose en su experiencia y enuna revisión del proceso, los miembros del equipo finalmente llegaron a un acuerdosobre una lista de posibles errores. La tabla que se muestra a continuación muestralos errores en la tramitación de las reclamaciones al seguro médico y sucorrespondiente frecuencia

CATEGORÍA TIPO DE ERROR FRECUENCIA1 Códigos de procedimientos y diagnósticos 432 Información del proveedor 83 Información del paciente 74 Tablas de precios 165 Solicitudes de contratos 366 Ajustes de los proveedores 97 Otros (errores de programas y sistemas) 4

a) Construya un diagrama de Pareto.b) Qué recomendaría usted para reducir los errores y controlar el proceso?

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10. En el siguiente cuadro se presenta los registros del precio mensual promedio final decomercialización del barril de petróleo ecuatoriano en los años 2012-2014, publicadopor el Banco Central del Ecuador (Cifras económicas del Ecuador). Construya unagráfica de líneas (series temporales).

AñoMes 2012 2013 2014

Enero $99,96 $99,81 $91,52Febrero 103,20 100,09 97,95Marzo 111,99 99,67 96,50Abril 111,79 95,76 97,81Mayo 101,68 96,39 95,94Junio 86,15 94,81 98,90Julio 89,78 101,07 91,19Agosto 95,14 97,91 85,95Septiembre 99,49 97,36 83,33Octubre 94,58 92,18 73,36Noviembre 91,37 84,37 61,59Diciembre 92,65 90,35 45,37

Describa la información que le ofrece la gráfica.

11. Con las variables: número de hermanos y número de asignaturas reprobadas de lamatriz de variables de la página 8:

a) Elabore las tablas de frecuencia con todos sus elementos (número, título,..).b) Interprete 2 clases.c) Construya un diagrama de barras

12. Con las variables: estatura y gasto mensual en internet de la matriz de variables de lapágina 8:

a) Construya las tablas de distribución de frecuencia.b) Interprete la tercera y cuarta clase.c) Elabore un histograma de frecuencias, las ojivas mayor y menor que.

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13. En la siguiente tabla se muestran los registros del precio mensual promedio finalde comercialización del barril de petróleo ecuatoriano periodo 2012-2014

99,96 103,20 111,99 111,79 101,68 86,15 89,78 95,14 99,49 94,58 91,37 92,6599,81 100,09 99,67 95,76 96,39 94,81 101,07 97,91 97,36 92,18 84,37 90,3591,52 97,95 96,50 97,81 95,94 98,9 91,19 85,95 83,33 73,36 61,59 45,37

Con esta información:a) ¿Cuál es el precio más alto del periodo considerado y cuál el más bajo?b) Elabore una tabla de distribución de frecuenciasc) ¿En qué clase se encuentra el mayor porcentaje de los meses considerados en

el registro y a qué precios corresponde?d) ¿En cuántos meses el precio fue inferior a $89,81?e) ¿Cuántos meses registraron un precio de $45,37 hasta $78,7 y a qué

porcentaje corresponde?

14. El número de horas que les toma a los mecánicos retirar, reparar y reinstalar unatransmisión en uno de los talleres de la ciudad durante un día de la semana anterior,se registra de la manera siguiente:

4,3 2,7 3,8 2,2 3,43,1 4,5 2,6 5,5 3,26,6 2 4,4 2,1 3,36,3 6,7 5,9 4,1 3,7

A partir de estos datos, elabore una distribución de frecuencias con intervalos de unahora. ¿A qué conclusiones puede llegar acerca de la productividad de los mecánicos sitoma en cuenta la distribución de frecuencias?. Si el gerente del taller cree que másde 6,0 horas es evidencia de un desempeño insatisfactorio. ¿De qué magnitud es elproblema de desempeño de los mecánicos en este taller en particular.

15. Construya el diagrama de tallo y hojas para la variable peso y edad de la matriz devariables de la página 8.

a) ¿Cuántos estudiantes tienen un peso inferior a 65kg?b) ¿Cuántos estudiantes tienen un peso de 70kg o más?c) ¿Cuántas personas tienen más de 20 años?d) ¿Cuántos estudiantes tienen entre 21 y 23 años inclusive?

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16. La siguiente representación de tallo y hoja informa el número de pedidos por día enuna empresa de ventas por internet.

9 110 211 53212 9613 214 13515 291216 226677817 0159918 00113303467919 0334620 946721 7170

a) ¿Cuántos días se estudiaron?b) ¿Cuántas observaciones hay en la cuarta clase?c) ¿Cuál es el valor más grande y cuál el más pequeño?d) ¿Enuncie los valores reales de la séptima clase?e) ¿En cuántos días se registraron 200 pedidos o más?

17. El siguiente Histograma muestra las calificaciones promedio obtenidas por un grupode estudiantes de Estadística.

a) ¿Cuántos estudiantes se presentaron a la evaluación?

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b) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron una calificación de 6,6 o más y a quéporcentaje corresponde?

c) ¿Qué porcentaje de estudiantes obtuvieron una calificación inferior a 6,6?d) ¿Cuál es la amplitud del intervalo de la tercera clase?e) ¿Cuál es la amplitud del intervalo de la última clase?f) ¿Cuál es el punto medio de la cuarta clase?

18. La siguiente tabla de distribución de frecuencias representa el número de créditosreprobados por un grupo de estudiantes durante su carrera universitaria.

Xi fi Fi ni Ni0 47 0,501 0,6923 8 874 8956 3

Σa) Complete la tablab) ¿Cuántos y cuál es el porcentaje de estudiantes que reprobaron 3 o más

créditos?c) ¿Cuántos y cuál es el porcentaje de estudiantes que reprobaron a lo mucho 2

créditos?d) ¿Cuántos estudiantes reprobaron entre 3 y 6 créditos inclusive?e) ¿Cuál es el porcentaje de estudiantes que reprobaron más de 4 créditos?

19. La tabla muestra una distribución de frecuencias de los salarios mensuales en dólaresde los empleados de una empresa:

salarios fi Fi ni Ni[354, 414) 1[414, 474) 11 0,24[474, 534)[534, 594) 30 0,18[594, 654) 39[654, 714) 7

Σ

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a) ¿Cuál es el tamaño de la población?b) ¿Cuántos empleados tienen un salario de $594 o más?c) ¿Cuántos empleados tienen un salario de $ 414 a $ 654?d) ¿Qué porcentaje de empleados gana menos de $534?e) ¿Qué porcentaje de empleados gana por lo menos $474?

20. El supervisor de una planta ha obtenido una muestra aleatoria de las edades de losempleados y del tiempo que tardan en realizar una tarea (en segundos). Representelos datos con un gráfico de barras.

Tiempo

Edad

Menos de 40segundos

Entre 40 ymenos de 60segundos

Un minutocomo mínimo

Total

Menos de 21 10 13 25[21,35) 16 20 12[35,50) 18 22 850 o más 10 27 19Total

21. El capitán de un barco pesquero tiene la creencia de que la pesca mínima pararecuperar la inversión debe ser de 5000 libras por viaje. A continuación tenemos losdatos de una muestra de la pesca de 20 salidas al mar que el barco hizorecientemente:

6500 6700 3400 3600 20007000 5600 4500 8000 50004600 8100 6500 9000 42004800 7000 7500 6000 5000

Construya una ojiva que le ayude a responder las siguientes preguntas:a) Aproximadamente ¿Qué fracción de los viajes recupera la inversión según el

capitán del barco?b) ¿Cuál es el valor medio aproximado del arreglo de datos para los viajes del

capitán?

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22. La Asociación Nacional de vendedores de bienes raíces de Estados Unidos recabó losdatos siguientes de una muestra de 130 vendedores, que representan sus ingresostotales por comisiones anuales:

Ingresos Frecuencia5000 o menos 5[ 5 000, 10 000) 9[10 000, 15 000) 11[15 000, 20 000) 33[20 000, 30 000) 37[30 000, 40 000) 19[40 000, 50 000) 9Más de 50 000 7Total

Construya una ojiva que le ayude a responder las preguntas siguientes:a) ¿Aproximadamente qué proporción de vendedores gana más de $25 000?b) ¿Alrededor de cuánto gana el vendedor medio de la muestra?c) Cuál es el ingreso aproximado al año de un vendedor cuyo desempeño es

cercano al 25% del ingreso máximo anual esperado?

23. Las siguientes gráficas resumen el precio de un artículo requerido en la industria yconsultado en varios establecimientos de la ciudad de Guayaquil.

a) ¿Cuál es el nombre de las gráficas?b) Interprete los puntos marcados en cada una.

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II. MEDIDAS ESTADÍSTICAS PARA DATOS NO AGRUPADOS Y AGRUPADOS

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:Al finalizar la presente unidad el estudiante estará en capacidad de:a) Seleccionar la medida estadística adecuada en función de la naturaleza de los

datos.b) Calcular las medidas de tendencia central, variabilidad y forma de datos

agrupados y no agrupados en casos de aplicación reales.c) Identificar las características de las medidas tendencia central, variabilidad y

forma.d) Interpretar de manera adecuada las medidas estadísticas.e) Evaluar la representatividad de las medidas de tendencia central.

CONTENIDOS

2. MEDIDAS ESTADÍSTICAS PARA DATOS NO AGRUPADOS Y AGRUPADOS2.1. Medidas de tendencia central

2.1.1. Media Aritmética2.1.2. Media Geométrica2.1.3. Media Ponderada2.1.4. Mediana2.1.5. Moda

2.2. Medidas de dispersión2.2.1. Rango2.2.2. Rango Intercuartílico2.2.3. Diagrama de Caja y Bigote2.2.4. Varianza2.2.5. Desviación típica o estándar2.2.6. Coeficiente de Variación

2.3. Medidas de Posición2.3.1. Fractiles

2.4. Medidas de Forma2.4.1. Coeficiente de asimetría2.4.2. Coeficiente de curtosis

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EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS1. Diez economistas recibieron el encargo de predecir el crecimiento porcentual que

experimentará el índice de precios al consumidor (IPC) para el próximo año. Suspredicciones fueron:

3,6 3,1 3,9 3,7 3,53,7 3,4 3,0 3,7 3,4

Calcule e interprete las medias de tendencia central.

2. El tiempo (en segundos) que tardó una muestra aleatoria de empleados en realizaruna tarea es:

23 35 14 37 28 4512 40 27 13 26 2537 20 29 49 40 1327 16 40 20 13 66

Con estos datos (sin procesar):a) Construya un diagrama de tallo y hojasb) Calcule e interpretar las medidas de tendencia centralc) Calcule e interpretar las medidas de dispersión o variabilidad.d) El 23% de los empleados realiza la tarea en un tiempo superior a………………..e) El 37% de los empleados realiza la tarea en un tiempo inferior a…………………

3. Los siguientes son los gastos mensuales en transporte (en dólares) de un grupo deestudiantes de una universidad recolectados un martes:

147 95 93 127 143 101 123 83 135 129185 92 115 126 157 93 133 51 125 132

Con estos datos (sin procesar) calcular e interpretar:a) Las medidas de tendencia central.b) Las medidas de dispersión o variabilidad.c) ¿Cuál de las variables es más dispersa: crecimiento porcentual (numeral 1), tiempo

(numeral 2) o gastos (numeral 3)?d) Calcule e interprete el quintil 2 y el decil 6.e) ¿La media de cuál de las variables es más representativa?

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f) Si cada gasto mensual registrado se incrementa en un 10% ¿cuál sería el gastopromedio?. ¿Cambiaría la conclusión del literal c.?

g) Comente la asimetría de las distribuciones (crecimiento porcentual, tiempo ygasto).

4. Los siguientes datos corresponden a una muestra de la tasa de producción diaria debotes de fibra de vidrio de un fabricante de Miami

17 21 18 27 17 21 20 22 18 23

El gerente de producción de la compañía siente que una desviación estándar de másde tres botes por día indica variaciones de producción inaceptables. ¿Deberá elgerente preocuparse por las tasas de producción de la planta?

5. Una empresa lleva un registro del kilometraje de todos sus vehículos. A continuaciónpresentamos registros del Kilometraje semanal:

810 450 756 789 210 657 589 488 876 6891 450 560 469 890 987 559 788 943 447 775

a) Calcule la mediana del Kilometraje que recorre un camión.b) Calcule la media para el kilometraje de los 20 camiones.c) Compare el resultado de los incisos a) y b) e indique cuál es la mejor medida de la

tendencia central de los datos

6. El gerente de producción de la imprenta Hinton desea determinar el tiempo promedionecesario para fotocopiar una placa de impresión. Utilizando un cronómetro yobservando a los operadores, registra los siguientes tiempos (en segundos)

20,4 20,0 22,2 23,8 21,3 25,1 21,2 22,9 28,2 24,322,0 24,7 25,7 24,9 22,7 24,4 24,3 23,6 23,2 21,0

Un tiempo promedio por placa menor a los 23,0 segundos indica una productividadsatisfactoria. ¿Debe estar preocupado el gerente de producción?

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7. En la construcción de un edificio están trabajando 40 obreros, 10 residentes de obra y5 ingenieros. El salario por día asignado se registra en la siguiente tabla:Categoría Salario diarioObrero $25Residente de Obra $40Ingeniero $100Determine el salario medio pagado en la construcción del edificio.

8. El precio del barril de petróleo ecuatoriano en el mes de Enero del 2013 fue de $99,81y en el mes de Diciembre $90,35. ¿En promedio el precio del barril de petróleo crecióo decreció y cuál es esa tasa de crecimiento o decrecimiento?

9. En el 2010 el salario básico en el Ecuador fue de $240 dólares y en el 2015 es de $354.¿Cuál es el cambio porcentual promedio del salario en el periodo considerado?

10. Un investigador obtuvo las respuestas siguientes a una de las preguntas incluidas enuna encuesta de evaluación: totalmente en contra, en contra, ligeramente en contra,un poco de acuerdo, de acuerdo, altamente de acuerdo, totalmente de acuerdo.¿Cuál es la mediana?

11. En un mercado se han obtenido los siguientes datos sobre ventas de naranjas de untipo determinado:

Puesto Precio($/kg)

Ingresos porventas ($)

A 1,00 150B 1,50 150C 1,25 150D 1,40 154E 1,70 136F 0,90 162

Determine el precio medio de las naranjas vendidas en el mercado.

12. Un profesor decide utilizar un promedio ponderado para obtener las calificacionesfinales de los estudiantes que acuden a su seminario. El promedio de tareas tendrá unvalor del 20% de la calificación del estudiante; el examen semestral, 25%; el examenfinal, 35%; el artículo de fin de semestre 10% y los exámenes parciales 10%. A partirde los datos siguientes calcule el promedio final para los 5 estudiantes del seminario

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Estudiante Tareas Parciales Artículo Ex.Semestral

Ex. final

1 85 89 94 87 902 78 84 88 91 923 94 88 93 86 894 82 70 88 84 935 95 90 92 82 88

13. Los siguientes datos corresponden a las primeras calificaciones (sobre 2,5 puntos) dedos aulas de la asignatura de Estadística Descriptiva correspondientes al pasadoperiodo académico.

AULA 1 AULA 22,5 1,2 2,2 0,7 1,9 1,92,1 2,5 2,1 1,6 1,5 2,12,1 2,5 0,9 1,3 1,7 2,12,0 1,8 2,3 1,9 1,4 1,42,0 2,1 2,0 1,2 1,5 1,82,2 2,1 2,2 1,7 1,7 1,11,7 2,3 2,5 1,3 2,2 1,91,8 1,9 1,4 2,0 1,8 1,92,4 1,5 1,7 1,0 2,1 1,2

1,6 2,0 1,4

Con esta información: (para cada una de las aulas)a) Construya una tabla de distribución de frecuencias con pérdida de información.b) Calcule e interprete las medidas de tendencia central y las de variabilidad o

dispersión.c) Calcule e interprete el quintil 4, el decil 7 y el percentil 17d) El 43% de los estudiantes supera la calificación de……………..e) Construya e interprete la gráfica de caja y bigote.f) Elabore una tabla resumen con los valores de las medidas obtenidas en cada

grupo de datos.g) ¿Cuáles serías las conclusiones más relevantes al comparar las dos distribuciones?

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14. Utilizando las tablas de distribución de frecuencia de las variables estatura, peso ygasto mensual en internet de la matriz de variables del numeral 5 (página 8).a) Calcular e interpretar las medidas de tendencia central y variabilidadb) Construir e interpretar el diagrama de caja y bigote para cada una de lasdistribuciones.c) ¿Cuál de las variables presenta mayor dispersión o variabilidad?d) Calcule e interprete las medidas de forma

15. El siguiente diagrama de caja representa a los salarios (en dólares) percibidos por 50empleados de una fábrica. Redacte un informe donde mencione la información que leproporciona la gráfica.

16.Los siguientes diagramas muestran las calificaciones que obtuvieron los estudiantesde dos de las aulas de Fundamentos de Matemática (primer parcial), del curso denivelación de la universidad. Compare estas dos distribuciones y escriba un informe.

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17. La junta directiva de la empresa Gothic Products está considerando adquirir una odos compañías y examinando minuciosamente la administración de cada compañíacon el fin de hacer una transacción lo menos riesgosa posible. Durante los últimoscinco años, la primera compañía tuvo una recuperación promedio de lo invertido del28% con una desviación estándar del 5,3%. La otra compañía tuvo una recuperaciónpromedio de lo invertido del 37,8% con una desviación estándar de 4,8%. Siconsideramos riesgoso asociarse con una compañía que tenga una alta dispersiónrelativa en la recuperación, ¿cuál de las dos compañías ha seguido una estrategia másriesgosa?

18. En la siguiente tabla se muestra el número de casas que una inmobiliaria vendió y lafrecuencia de cada nivel de ventas.

Casas No. de meses

6 77 510 412 317 320 2

El dueño de la inmobiliaria espera que estas cifras reflejen un incremento en elnúmero promedio de ventas por encima del 8,3 que vendió en meses anteriores y unareducción en la variabilidad de las ventas mensuales que habían sido de 6,2. De locontrario él ha decidido vender el negocio. ¿Qué le aconsejaría al dueño de lainmobiliaria?

19. Una muestra de las facturas de las ventas semanales de un local comercial del centrode Quito es la siguiente:

1 299 1 626 1 044 1 287 1 476 885 858

Se implementa un programa publicitario para emparejar las ventas. Una muestrasubsiguiente de ventas es:

1 365 1 185 1 071 1 101 1 278 1 272

¿La campaña publicitaria logró el objetivo?

25

20. Dos marcas de zapatos para correr fueron evaluados en cuanto a uso y desgaste. Cadauna reportó los siguientes números de horas de uso antes que se detectara undesgaste significativo:

Marca A Marca B82 10160 8791 7958 8693 10269 69

79

a) ¿Cuál marca parece presentar mayor desgaste?b) ¿Cuál marca de zapatos parece tener un programa de control de calidad que

produzca la mejor consistencia en su desgaste?

21. Un corredor de inversiones muestra sus registros de las tasas de rendimiento (enporcentaje) sobre dos valores para 10 meses seleccionados:

Valor 1 Valor 26,4 7,77,4 7,56,5 6,48,1 8,57,3 8,48,4 8,26,5 8,35,5 7,56,4 6,15,8 5,5

a) ¿Cuál valor puede ser mejor para los clientes que están interesados en unrendimiento más alto?b) ¿Cuál valor debería aconsejar el corredor a sus clientes que prefieren menos

riesgo?

26

PROGRAMA ANALÍTICO DE LA ASIGNATURAIII. PROBABILIDADES

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:Al finalizar la presente unidad el estudiante estará en capacidad de:

a) Definir correctamente los términos básicos utilizados en la teoría de probabilidades.b) Diferenciar los enfoques de probabilidad: objetivo y subjetivoc) Identificar las relaciones entre los eventos.d) Utilizar las técnicas de conteo en la determinación del número de resultados posibles

de un experimento y en el cálculo de probabilidades.e) Aplicar de forma adecuada las diferentes reglas de probabilidad en la estimación de

probabilidades de problemas prácticos.f) Hacer uso de los métodos probabilísticos en la toma de decisiones de casos prácticos.

CONOCIMIENTOS PREVIOSPara el desarrollo de esta unidad el estudiante deberá tener conocimientos de:

CONTENIDOS

3. PROBABILIDADES3.1. Definición de términos:

ProbabilidadExperimentoEspacio MuestralPunto Muestral

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EventoEventos mutuamente excluyentesEventos colectivamente exhaustivos

3.2. Enfoques de las probabilidades:3.2.1. Probabilidad clásica3.2.2. Frecuencias Relativas3.2.3. Probabilidad subjetiva

3.3. Análisis combinatorio3.3.1. Permutaciones3.3.2. Variaciones3.3.3. Combinaciones

3.4. Reglas de las probabilidades3.4.1. Regla de la adición3.4.2. Regla del complemento3.4.3. Regla de la multiplicación3.4.4. Probabilidad condicional

3.4.4.1. Diagrama de árbol3.4.4.2. Tablas de contingencia

3.5. Teorema de Bayes3.5.1. Formulación3.5.2. Probabilidad total3.5.3. Pasos para calcular la probabilidad3.5.4. Resolución de casos prácticos

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EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOSSeñale con una x el concepto de probabilidad que corresponde a cada estimación.

ProbabilidadEstimación CLÁSICA EMPÍRICA SUBJETIVALa probabilidad de obtener una cara en el lanzamiento deuna moneda.Se ha realizado una encuesta a 500 ciudadanos de la capitalpara que respondieran a un cuestionario relacionado conaspectos ambientales. Una de las preguntas solicitaba unarespuesta de sí o no. ¿Cuál es la probabilidad de que larespuesta sea afirmativa?Se va sortear entre los estudiantes del aula un obsequio,por lo que se ha entregado a cada uno un boleto. ¿Cuál es laprobabilidad de que usted sea el ganador del premio?La probabilidad de que usted después de 5 años sea eldueño de una gran empresa.En el aula se va a escoger aleatoriamente a 3 estudiantespara que representen al curso en una reunión de laasociación de estudiantes. ¿Cuál es la probabilidad de queusted forme parte del grupo seleccionado?Una empresa planea contratar a un nuevo presidente y hapreparado una lista de 5 candidatos todos igualmentecapacitados. Dos de ellos son hombres. Se desea estimar laprobabilidad de que se contrate a una mujer.

TÈCNICAS DE CONTEO

1. En la ciudad las placas de los autos constan de 3 letras seguidas de 4 números.Cuántas placas distintas pueden hacerse.a) Si se admiten repeticionesb) Si la palabra OSO no está permitidac) No se admiten repeticionesd) Empiecen con la letra P

2. Un testigo de un accidente automovilístico le dijo a la policía que la matrícula delculpable que huyó, contenía las letras RLH seguidas por tres dígitos, de los cualesel primero era 5. Si el testigo no recuerda los 2 últimos dígitos, pero está segurode que los 3 eran distintos, calcule la cantidad máxima de registros de automóvilesque la policía tendría que revisar. R= 72

29

3. Tres ruedas, cada una con los dígitos del 1 al 9 se disponen en una máquinatragamonedas, de manera que cada rueda pueda girar en forma individual.a) ¿Cuántas diferentes ordenaciones son posibles? R=729b) ¿Cuántas ordenaciones que tengan el dígito 1 en la posición intermedia. R=81

4. Una empresa desarrollo cinco bases para lámparas de mesa y cuatro pantallasintercambiables. ¿Cuántos arreglos diferentes de base y pantalla se puedenofrecer? R=20

5. Una oficina de bienes raíces ofrece a los posibles compradores de una casa elegirentre tudor (identificado con la sofisticación y la riqueza), rústica, colonial ytradicional el estilo de la fachada y entre una, dos o tres plantas el plano de laconstrucción. ¿En cuántas formas diferentes puede un comprador ordenar una deestas casas? R=12

6. A los participantes de una convención se les ofrecen seis recorridos, cada uno detres días, a sitios de interés. ¿De cuántas maneras se puede acomodar unapersona para que vaya a uno de los recorridos planteados por laconvención?. R=18

7. En un estudio médico los pacientes clasifican 8 formas de acuerdo con su tiposanguíneo

; y también de acuerdo con su presiónsanguínea: baja, normal o alta. Encuentre el número de formas en las que sepuede clasificar un paciente. R=24

8. Si un experimento consiste en lanzar un dado y después extraer una letra al azardel alfabeto, ¿cuántos puntos habrá en el espacio muestral? R=156

9. Los estudiantes de humanidades de una universidad se clasifican comoestudiantes de primero, segundo, penúltimo o de último año y también deacuerdo con su género. Calcule el número total de clasificaciones posibles para losestudiantes de esa universidad. R=8

30

10. Cierta marca de calzado existe en 5 diferentes estilos y cada estilo está disponibleen 4 colores distintos. Si la tienda deseara mostrar la cantidad de pares de zapatosque incluya todos los diversos estilos y colores, ¿cuántos pares diferentes tendríaque mostrar? R=20

11. Un urbanista de un nuevo fraccionamiento ofrece a un posible comprador de unacasa elegir entre 4 diseños, 3 diferentes sistemas de calefacción, un garaje ocobertizo y un patio o un porche cubierto. De cuántos planos diferentes dispone elcomprador. R=48

12. Un medicamento para aliviar el asma se puede adquirir en 5 diferenteslaboratorios y en forma de líquido, comprimidos o cápsulas, todas enconcentración normal o alta. ¿De cuántas formas diferentes puede un médicorecelar la medicina a un paciente que sufre de asma? R=30

13. En un estudio económico de combustibles, cada uno de 3 autos de carretera seprueba con 5 marcas diferentes de gasolina en 7 lugares de prueba que selocalizan en diferentes regiones del país. Si en el estudio se utilizan 2 pilotos y laspruebas se realizan una vez en cada uno de los distintos grupos de condiciones.¿Cuántas pruebas se necesita realizar? R=210

14. ¿De cuántas formas distintas se pueden responder una prueba de verdadero-falsoque consta de nueve preguntas? R=512

15. Si una prueba de opción múltiple consta de 5 preguntas, cada una con 4 posiblesrespuestas, de las cuales sólo una es correcta.

a) ¿De cuántas formas diferentes puede un estudiante elegir una respuesta acada pregunta? R=1024

b) ¿De cuántas maneras puede un estudiante elegir una respuesta a cadapregunta y obtener todas las respuestas incorrectas? R=243

16. De cuántas maneras distintas un director de un laboratorio de la investigaciónpuede seleccionar a dos químicos de entre siete solicitantes y a tres físicos deentre nueve solicitantes? R=1764

31

17. Hace algunos años la empresa Wendys Hamburgers anunció que tenía 256 formasde preparar una hamburguesa. Usted puede elegir u omitir cualquier combinaciónde lo siguiente para su hamburguesa: mostaza. Salsa de tomate, cebolla,pepinillos, tomate en rebanadas, aderezo, mayonesa y lechuga. ¿Es cierto lo quedice el anuncio?. Indique cómo obtuvo su respuesta

18. ¿De cuántas maneras puede escogerse un comité, compuesto de 3 hombres y 4mujeres, de un grupo de 7 hombres y 9 mujeres? R=4 410

19. Se desea formar una comisión de 5 alumnos, 3 de primer semestre y 2 de segundosemestre. Si se presentan 7 voluntarios de primero pero solo 3 de segundo. ¿Decuántas maneras puede formarse esta comisión?. R=105

20. De una empresa se seleccionan 9 trabajadores, de un grupo de 13 ¿De cuántasmaneras se pueden seleccionar? R=715

21. Cuántas permutaciones distintas se pueden hacer con las letras de la palabraCOLUMNA? R= 5040

22. En un concurso regional de ortografía, los 8 finalistas son 3 niños y 5 niñas.Encuentre el número de puntos muestrales en el espacio muestral S para elnúmero de ordenamientos posibles al final del concurso para:a) Los 8 finalistas R=40320b) Los 3 primeros lugares. R=336

23. ¿De cuántas formas se pueden cubrir las 5 posiciones iniciales en un equipo debaloncesto con 8 jugadores que pueden jugar cualquiera de las posiciones?R=6720

24. Encuentre el número de formas en que se puede asignar 6 profesores a 4secciones de un curso introductorio de psicología, si ningún profesor se asigna amás de una sección. R=360

25. De un grupo de 40 boletos se sacan 3 billetes de lotería para el primero, segundo ytercer premios. Encuentre el número de puntos muestrales en S para dar los 3premios, si cada concursante sólo tiene un billete. R=59 280

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26. ¿De cuántas maneras se puede plantar 5 árboles diferentes en un círculo? (2.43)R=24

27. ¿Cuántas permutaciones distintas se pueden hacer con las letras de la palabraINFINITO? R=3360

28.Cuántos números de 4 dígitos se pueden formar con los dígitos 5248 R=24

REGLAS DE LAS PROBABILIDADES

1. El siguiente diagrama de Venn, indica el número de resultados de un experimentocorrespondiente a cada evento y el número de resultados que no corresponden aalguno de los dos eventos, proporcione las probabilidades indicadas.

P =

2. Para el siguiente diagrama encuentre :a) P(A)b) P(A\B)c) P(A∩B)d) P(AUB)e) P(AUB)’

f) P(B)’

3. La probabilidad e A es 0,6 y la de B es 0,45 y la de cualquiera de los dos 0,8. Cuál esla probabilidad tanto de A como de B? Sol. 0,25

4. La probabilidad de A es 0,4 y la de B es 0,45 y la de cualquiera de los dos es 0,85.Cuál es la probabilidad tanto de A como B? Sol. 0

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5. La probabilidad de A es 0,6 y la de B es 0,4 y la de cualquiera de los dos es 0,76. Cuáles la probabilidad tanto de A como de B? Sol. 0,24

6. La probabilidad de A es 0,6, la de B es 0,45 y la probabilidad de tanto A como B es0,3. Cuál es la probabilidad de que ocurra cualquiera de los dos? Sol. 0,75

7. Un estudiante está tomando dos cursos, Historia y Matemáticas. La probabilidad deque apruebe el curso de Historia es 0,6 y la de que apruebe el curso de Matemáticases 0,7. La probabilidad de que apruebe ambos es 0,5.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que pase al menos uno? Sol. 0,8b) ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe uno de los cursos? Sol. 0,3c) ¿Cuál es la probabilidad de que no apruebe ninguno de los cursos? Sol. 0,2

8. En un curso estudian 25 alumnos, de los cuales 15 juegan al fútbol, 12 al baloncesto y7 practican los dos deportes.a) ¿Cuántos estudiantes no juegan ni al fútbol ni baloncesto? ¿Cuál es la

probabilidad? Sol. 5 Sol. 0,2b) ¿Cuántos estudiantes practican sólo uno de los dos deportes? ¿Cuál es la

probabilidad? Sol. 13 Sol. 0,48

9. De 40 estudiantes entrevistados, 15 leen las revistas A y B; 27 leen la revista B, 3 leenúnicamente la revista A. Con esta información determinar:a) Cuántos estudiantes no leen ninguna de las dos revistas? ¿Cuál es la probabilidad?Sol. 10 Sol. 0,4b) Cuántos estudiantes leen la revista A. ¿Cuál es la probabilidad? Sol. 18 Sol 0,45c) Cuántos estudiantes leen únicamente la revista B. ¿Cuál es la probabilidad? Sol. 12

Sol. 0,3d) d) Cuántos estudiantes leen una de estas revistas?¿Cuál es la probabilidad? Sol.15

Sol. 0,375

10. El dueño de una tienda de música observa que el 30% de los clientes que entran en latienda pide ayuda a un dependiente y que el 20% compra antes de irse. Tambiénobserva que el 15% de todos los clientes pide ayuda y compra algo. ¿Cuál es laprobabilidad de que un cliente haga al menos una de estas dos cosas? Sol. 0,35

34

11. Durante el año anterior, las ventas semanales de una empresa han sido “bajas”durante 17 semanas, “considerables” durante 25 semanas y “altas” el resto de lassemanas. Cuál es la probabilidad de que las ventas esta semana sean:a) Por lo menos considerables Sol. 0,673b) Bajas o altas Sol. 0,519

12. Según una oficina de empleos de 80 personas que solicitaron trabajo el año pasado,45 tenían experiencia laboral y 30 tenían título profesional. Sin embargo 15 de lossolicitantes tenían tanto experiencia como título.

a) ¿Cuántas personas tenían sólo experiencia laboral? ¿Cuál es la probabilidad?Sol. 30 Sol. 0,375

b) ¿Cuántas personas no tenían ni experiencia laboral ni título profesional?¿Cuál es la probabilidad? Sol. 20 Sol. 0,25

c) ¿Cuántas personas tenían experiencia laboral o título profesional? ¿Cuál es laprobabilidad? Sol. 60 Sol. 0,75

13. En un grupo de 100 estudiantes graduados de preparatoria, 54 estudiaronmatemáticas, 69 estudiaron historia 35 cursaron matemáticas e historia. Si seselecciona al azar uno de estos estudiantes, calcule la probabilidad de que:

a) El estudiante haya cursado matemáticas o historia Sol. 0,88b) El estudiante no haya llevado ninguna de estas materias. Sol. 0,12c) El estudiante haya cursado historia pero no matemáticas. Sol. 0,34

14. Un banco local reporta que 80% de sus clientes tienen una cuenta de cheques, 60%una cuenta deahorros y 50% tienen ambas. Si se selecciona un cliente al azar.a) Cuál es la probabilidad de que éste tenga una cuenta de cheques o una cuenta de

ahorros? Sol. 0,9b) Cuál es la probabilidad de que el cliente tenga una sola de las cuentas? Sol. 0,4

15. El presidente de una junta de Directores dice: “Existe el 50% de probabilidad de queesta compañía tenga utilidades, 30% de que se quede a nivel y 20% de que pierdadinero el siguiente semestre”.

a) Utilice la regla de la adición para encontrar la probabilidad de que no pierdadinero el próximo semestreb) Use la regla del complemento para encontrar la probabilidad de que no pierdadinero el próximo semestre.

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16. Supóngase que los eventos A y B son mutuamente excluyentes. Cuál es laprobabilidad de su ocurrencia conjunta?

17. Se lanza un dado, si el evento A es “sale par”, el evento B “sale impar”. Estos eventosson: ¿mutuamente excluyentes?, ¿Son complementarios?. Explique

18. Se lanza un dado, si el evento A es “sale par”, el evento B “sale un número mayor que4”. Estos eventos son: ¿mutuamente excluyentes?, ¿Son complementarios?. Explique

19. Suponga que la probabilidad de que un estudiante obtenga una calificación de A en elcuso de esta materia es 0,25 y la de que tenga una B es 0,5. Cuál es la probabilidad deque su calificación sea mayor que una C?

20. Una empresa va a instalar una nueva máquina que deberá probarse antes de que estélista para funcionar. La tabla adjunta muestra la valoración del directivo de laprobabilidad del número de días necesarios para que la máquina esté lista para usarse.

Número de días Probabilidad3 0,084 0,245 0,416 0,207 0,07

Sea A el evento “Se necesitan más de 4 días para que la máquina esté lista parafuncionar” y sea B el suceso “se necesitan menos de 6 días para que la máquina estélista para funcionar”a) Halle la probabilidad del evento A Sol. 0,68b) Halle la probabilidad del evento B Sol. 0,73c) Halle la probabilidad del complementario del evento A Sol. 0,32d) Halle la probabilidad de la intersección de los eventos A y B Sol. 0,41e) Halle la probabilidad de la unión de los eventos A y B Sol. 1

21. El director de unos grandes almacenes ha examinado el número de reclamaciones quese reciben semanalmente por la mala calidad del servicio. La tabla adjunta muestra lasprobabilidades de los números de quejas semanales obtenidas en este examen. Sea Ael evento “habrá como mínimo una reclamación a la semana” y B el evento “habrámenos de 10 reclamaciones a la semana”

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Número de reclamaciones Probabilidad0 0,141-3 0,394-6 0,237-9 0,1510-12 0,06Más de 12 0,03

a) Halle la probabilidad de A Sol. 0,86b) Halle la probabilidad de B Sol. 0,91c) Halle la probabilidad del complementario de A Sol. 0,14d) Halle la probabilidad de la unión de A y B Sol. 1e) Halle la probabilidad de la intersección de A y B Sol. 0,77f) Son A y B mutuamente excluyentes?g) Son A y B colectivamente exhaustivos?

22. Encuentre los errores en cada una de las siguientes afirmaciones:a) Las probabilidades de que un vendedor de automóviles venda 0, 1, 2 o 3

unidades en un día dado del mes anterior son 0.19, 0.38, 0.29 y 0.15,respectivamente.

b) La probabilidad de que llueva mañana es 0.40 y la de probabilidad de que nollueva es 0.52

c) Las probabilidades de que una impresora cometa 0, 1, 2, 3 o 4 errores alimprimir un documento so: 0.19, 0.34, -0.25, 0.43 y 0.29 respectivamente.

23. Un nuevo modelo de auto deportivo presenta fallas en el sistema de frenado 15% delas veces y defectos en el mecanismo de dirección 5% de las veces. Supóngase (y es deesperar) que estos problemas se presentan de forma independiente. Si ocurre uno uotro de tales problemas el auto se denomina “una estafa. Si se tiene ambosproblemas el vehículo es “una amenaza”. Un profesor compró uno de esos vehículosel día de ayer cuál es la probabilidad de que le resulte una:

a) ¿Una estafa? Sol. 0,185b) ¿Una amenaza? Sol. 0,0075

24. La probabilidad de que un hombre siga vivo dentro de 25 años es 0,6, y la de que suesposa también lo esté es de 0,7. Hallar la probabilidad de que en ese momento:

a) Los dos estén vivos. Sol. 0,42

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b) Sólo el hombre viva. Sol. 0,18c) Sólo viva la esposa. Sol. 0,28d) Al menos uno esté vivo. Sol. 0,88

25. Un inversionista compra tres acciones diferentes. La probabilidad de que la primeraaumente su valor es 1/3, la probabilidad de que la segunda aumente es de ¾ y laprobabilidad de que la tercera aumente su valor es de 1/10. Si los eventos sonindependientes, determine la probabilidad de que:

a) Todas aumenten su valor Sol. 0,025b) Ninguna aumente su valor Sol. 0,15c) Una aumente su valor Sol. 0,5417d) Dos aumenten su valor Sol. 0,2833e) Por lo menos dos aumenten su valor Sol. 0,3083f) Por lo menos una aumente su valor Sol. 0,85

26. Si A y B son sucesos independientes con . Cuál es laprobabilidad de que no ocurra ni A ni B. Sol. 0,0625

27. El consejo de Saner Automatic Door Co. Está formado por 12 integrantes, 3 de loscuales son mujeres. Se va a redactar un nuevo manual de políticas y procedimientospara la empresa. Debe seleccionar un comité de 3 miembros en forma aleatoria, delpersonal del consejo para que redacten el manual.

a) Cuál es la probabilidad de que todos los integrantes del comité sean varones?Sol. 0,3818b) Cuál es la probabilidad de que al menos un elemento del citado comité sea unamujer? Sol. 0,6182

28. En un comedor de beneficencia, una trabajadora social reúne los siguientes datos. Delas personas que acuden al comedor: 59% son hombres, 32% son alcohólicos y 21%son hombres alcohólicos. ¿Cuál es la probabilidad de que un asistente hombre quevaya al comedor, tomado al azar sea alcohólico? Sol. 0,356

29. Durante un estudio de accidentes automovilísticos se encontró que el 60% de losaccidentes suceden de noche, 52% están relacionados con conductores alcoholizadosy 37% se presentan de noche y están relacionados con conductores ebrios.a) Cuál es la probabilidad de que un accidente esté relacionado con un conductoralcoholizado dado que sucedió de noche? Sol. 0,6167

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b) Cuál es la probabilidad de que un accidente haya sucedido de noche, dado que estárelacionado con un conductor ebrio? Sol. 0,7115c) Si el accidente no sucedió en la noche, cuál es la probabilidad de que estérelacionado con un conductor no alcoholizado? Sol. 0,625

30. El gerente regional de General Express, un servicio privado de mensajería, estápreocupado por la posibilidad de una huelga por parte de algunos empleados. Sabeque la probabilidad de una huelga de pilotos es 0.75 y la probabilidad de una huelgade choferes es 0.65. Más aún sabe, que si los choferes hacen una huelga existe laprobabilidad de 90% que los pilotos apoyen la huelga.a) Cuál es la probabilidad de que ambos grupos vayan a huelga Sol. 0,585b) Si los pilotos hacen huelga, cuál es la probabilidad de que los choferes apoyen la

huelga. Sol. 0,78

31. De acuerdo con una encuesta la probabilidad de que una familia posea dosautomóviles si su ingreso anual es mayor a $35 000 es 0,75. De los hogaresencuestados, 60% tenía ingresos mayor a $35 000 y 52% tenía dos autos. Cuál es laprobabilidad de que una familia tenga dos aut y un ingreso mayor que $35 000 al año.Sol. 0,45

32. Un corredor de bolsa sabe por experiencias anteriores que la probabilidad de que uncliente compre acciones es del 65%. La probabilidad de que el cliente compre un bonodel gobierno si ya tiene acciones es del 35%.

a) Cuál es la probabilidad de que el cliente posea ambos? Sol. 0,2275b) Los eventos son independientes?

33. Un inspector de control de calidad eligió una pieza fabricada para probarla.Posteriormente se establece si la parte se acepta, se repara o se desecha. Después seprueba otra. Mencione todos los posibles resultados de este experimento.

34. Un experimento consiste en lanzar una moneda y después lanzarla una segundavez si sale sello. Si en el primer lanzamiento sale cara, entonces se lanza un dado.Enliste todos los elementos del espacio muestral.

35. Suponga que se selecciona de forma aleatoria, tres artículos de un proceso defabricación. Cada artículo se inspecciona y se clasifica como defectuoso (D) o nodefectuoso (¬D). Enliste los elementos del espacio muestral.

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36. Un experimento consiste en lanzar un dado y después lanzar una moneda una vezsi el número en el dado es par. Si el número en el dado es impar, la moneda se lanza dosveces.

a) Construya un diagrama de árbol para mostrar los elementos del espaciomuestral.

b) Liste los elementos que corresponden al evento A en el que el dado salga unnúmero menor que 3.

c) Liste los elementos que corresponden al evento B de que resulten dos sellos.d) Liste los elementos que corresponden al evento A’.e) Liste los elementos que corresponden al evento A’∩Bf) Liste los elementos que corresponden al evento AUB

37. Una oficina de bienes raíces ofrece a los posibles compradores de una casa elegirentre tudor (identificado con la sofisticación y la riqueza), rústica, colonial ytradicional el estilo de la fachada y entre una, dos o tres plantas el plano de laconstrucción. ¿En cuántas formas diferentes puede un comprador ordenar una deestas casas?

38. Se lanzan 3 monedas al aire. Elabore un diagrama de árbol que ilustre todos losresultados posibles de este experimento.

39. En base al diagrama del ejercicio anterior calcule la probabilidad de obtener:a) Todas caras Sol. 1/8b) Al menos un sello Sol. 7/8c) Dos caras Sol. 3/8d) A lo mucho una cara. Sol. 1/2

40. Una caja que contiene 10 rojas, 30 blancas, 20 azules y 15 naranjas. Si se saca al azaruna bola y luego se saca otra sin que se haga la reposición, calcule las probabilidadessiguientes:

a) ambas sean blancas Sol. 29/185b) La primera sea roja y la segunda sea blanca Sol. 2/37c) Ninguna sea naranja Sol. 118/185d) Ambas son rojas o blancas Sol. 52/185e) La segunda no sea azul Sol. 11/15f) La primera sea naranja Sol. 1/5g) Al menos una sea azul Sol. 86/185h) A lo sumo una sea roja Sol. 182/185i) La primera sea azul, pero la segunda no Sol. 22/111j) sólo una sea roja Sol. 26/111

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41. Una caja contiene 9 tickets numerados del 11 al 19. Si se extraen 3 a la vez, hallar laprobabilidad de que sean: Impar, impar, impar, o par, impar, par Sol. 0,2381

42. Una urna contiene tres bolas blancas y cuatro bolas verdes. Efectuadas dosextracciones sucesivas, determinar la probabilidad de extraer una bola blanca y acontinuación, una bola verde.

a) Cuando habiendo extraído la primera bola ésta es devuelta a la urna pararealizar la segunda extracción. Sol. 0,2449b) Cuando habiendo extraído la primera bola esta no es devuelta a la urna pararealizar la segunda extracción. Sol. 0,2857

43. Una caja contiene 6 bolas rojas, 4 bolas blancas y 5 azules. Se extraen tres bolassucesivamente de la caja. Hallar la probabilidad de que se extraigan en el orden roja,blanca y azul, si las bolas:

a) Se reemplazan Sol. 0,0356b) No se reemplazan Sol. 0,044

44. Una caja que contiene 14 artículos ha sido inspeccionada encontrándose 3defectuosos. Se selecciona al azar 3 de éstos, calcule la probabilidad de no incluirartículos defectuosos. (Realice el cálculo con y sin reemplazo). Sol. 0,4851Sol. 0,4533

45. Un bolso contiene 3 monedas de 25 centavos y 5 de 1 dólar y otro contiene 6monedas de 25 centavos y 2 de un dólar. Si se escoge al azar de uno de los bolsos unamoneda, cuál es la probabilidad de que sea de un dólar. Sol. 0,4375

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TABLAS DE CONTINGENCIA, TABLAS DE PROBABILIDAD Y TEOREMA DE BAYES

1. El 80% de los hombres y el 10% de las mujeres beben cerveza. Suponiendo que hay elmismo número de hombres y mujeres, encontrar:a) La probabilidad de seleccionar un bebedor de cerveza, cuando una persona se

selecciona al azar. Sol. 0,4b) La probabilidad de seleccionar una bebedora de cerveza, cuando una persona se

selecciona al azar. Sol. 0,05c) La probabilidad de seleccionar una mujer, dado que la persona seleccionada es de

las que bebe cerveza. Sol. 0,1111

2. Si de cada 100 varones, 5 tienen daltonismo y de cada 10 000 mujeres, 25 tienendaltonismo, cuál es la probabilidad de seleccionar un varón dado que tienedaltonismo?. Suponga que existe el mismo número de hombres y mujeres en lapoblación considerada. Sol. 0,9524

3. El propietario de un gimnasio, desea construir un perfil de miembros para desarrollaruna campaña publicitaria que atraiga a clientes potenciales. El 30% de los miembrosactuales son mujeres, el 80% de ellas es menor de 30 años. El 60% de los hombres sonmenores de 30 años. Cuál es la probabilidad de que un miembro seleccionado demanera aleatoria sea:

a) Una mujer menor de 30 años Sol. 0,24b) Una mujer mayor de 30 años Sol. 0,06c) Un hombre mayor de 30 años o una mujer menor de 30 Sol. 0,52d) Un hombre o una mujer mayor de 30 años Sol. 76

4. De 1000 jóvenes de 18 años, 600 tienen empleo y 800 son bachilleres. De los 800bachilleres, 500 tienen trabajo. Cuál es la probabilidad de que un joven de 18 añostomado aleatoriamente sea:

a) Un bachiller empleado Sol. 0,5b) Empleado pero no bachiller Sol. 0,1c) Desempleado o no bachiller Sol. 0,5d) Empleado o no bachiller Sol. 0,7

5. Una clasificación de los estudiantes en una universidad se presenta en la siguientetabla:

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Semestre Varones (V) Mujeres (M) totalPrimer Semestre S1 500 700Segundo Semestre S2 600 420Tercer Semestre S3 300 400Cuarto Semestre S4 250 100Total

Un estudiante es seleccionado aleatoriamente. Encontrar:a) P (S2V) Sol. 0,183b) P (V o S3) Sol. 0,627c) P (M/ S4) Sol. 0,286d) P (S1) Sol. 0,367e) P (V o S1o S2) Sol. 0,847

6. Usted recolectó datos sobre 500 economistas en la academia, la industria privada y elgobierno respecto a sus opiniones sobre si la economía podría ser estable, podríaexpandirse o podría entrar en un período de contracción en el futuro próximo. Sinembargo parte de la información se perdió, resultando la siguiente tabla decontingencia parcial. Con base en los datos restantes, cree una tabla de probabilidad.

EconomíaEconomistas Estable (S) Expansión (E) Contracción ( C) TOTALAcademia (A) 125 100Industria privada (I) 35 110Gobierno (G) 25 40 65TOTAL 200

De la tabla de probabilidad halle:a) P(A) Sol. 0,65b) P(G) Sol. 0,13c) P(A∩S) Sol. 0,25

d) P(A∩E) Sol. 0,2e) P(S/A) Sol. 0,385f) P(GUS) Sol.0,48

g) La probabilidad de un economista de la academia pronostique una economíaestable.

h) 50/110 corresponde a la probabilidad………….i) 25/65 corresponde a la probabilidad………….j) Según la tabla defina la probabilidad que corresponde a un suceso

improbable……..

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7. A los estudiantes de una clase de estadística para los negocios se les preguntó quénota esperaban sacar en el curso y si hacían más problemas de los que ponía elprofesor. La tabla adjunta muestra las proporciones de estudiantes en cada una de lasocho clasificaciones conjuntas.

Problemasrealizados

NOTA ESPERADAA B C Menos de C

Sï 0.12 0.06 0.12 0.02No 0.13 0.21 0.26 0.08

a) Halle la probabilidad de que un estudiante seleccionado aleatoriamente enesta clase hiciera más problemas. Sol. 0,32

b) Halle la probabilidad de que un estudiante seleccionado aleatoriamente enesta clase espere una A. Sol. 0,25

c) Halle la probabilidad de que un estudiante seleccionado aleatoriamente quehiciera más problemas espere una A. Sol. 0,375

d) Halle la probabilidad de que un estudiante seleccionado aleatoriamente queespere una A hiciera más problemas. Sol. 0,48

e) Halle la probabilidad de que un estudiante seleccionado aleatoriamente quehiciera más problemas espere una calificación de menos de B. Sol. 0,4375

f) ¿Son independientes “resolución de más problemas” y “nota esperada”.

8. Cruce las variables (matriz de variables página 8), género y calificación de grado. Conesta información formule tres ejemplos de probabilidad marginal, tres deprobabilidad conjunta, tres de probabilidad condicional.

9. Cruce las variables (matriz de variables página 8), número de créditos reprobados yuso del internet. Con esta información formule tres ejemplos de probabilidad:marginal, tres de probabilidad conjunta, tres de probabilidad condicional.

10. En un determinado sector el 20% de los trabajadores tiene contrato en prácticas, el60% tiene un contrato temporal, y el resto son fijos. En cada una de estas categoríasson menores de 35 años el 90%, el 75% y el 55% respectivamente.a) Qué porcentaje de trabajadores son menores de 35 años en este sector. Sol. 74%b) Si se elige al azar un trabajador y es mayor de 35 años. Cuál es la probabilidad de

que esté en prácticas Sol. 0,077

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11. En tres máquinas A, B y C se fabrican piezas del mismo tipo. El porcentaje de piezasque resultan defectuosas en cada máquina, es respectivamente 1%, 2% y 3%. Semezclan 300 piezas, 100 de cada máquina y se elige una pieza al azar, que resulta serno defectuosa. Cuál es la probabilidad de que haya sido fabricada por la máquina A.Sol. 0,3367

12. Tres vendedores A, B y C suministran 15%, 50% y 35% respectivamente de la cantidadtotal de un componente usado en el ensamblaje de cierto producto. Lasprobabilidades respectivas de falla de este componente son 0.1, 0.2 y 0.4 según lostres fabricantes. Determine la probabilidad de que un componente seleccionadoaleatoriamente no falle. Sol. 0,745

13. Un profesor imparte la asignatura de Estadística a tres aulas A, B, C con 30, 26 y 28alumnos respectivamente. Se sabe que en el grupo A han reprobado 5 alumnos, en elgrupo B, 4 y en el C, 3.

a) ¿Qué porcentaje de alumnos han aprobado? Sol. 14,29%b) ¿Qué porcentaje de los aprobados corresponde al grupo C? Sol. 34,72%

14. Una entidad bancaria concede tres tipos de créditos: para vivienda, para industria yconsumo. Se sabe que el 30% de los créditos que concede son para vivienda, el 50%para la industria y el 20% restante son para consumo. Han resultado impagos el 5%de los créditos para vivienda, el 6% de los créditos para la industria y el 11% de loscréditos para consumo. Un crédito ha resultado impago. Calcular la probabilidad deque sea un crédito para la industria. Sol. 0,448

15. Las máquinas A y B son requeridas para completar una orden de producción, lamáquina A produce el 25% y la máquina B el 75% de la producción total. Elporcentaje de producción defectuosa para A es 3% y para B es 4%. Una parte delproducto es seleccionada aleatoriamente de la producción total y se observa que noes defectuosa. Cuál es la probabilidad que haya sido producida por la máquina A?Sol.252

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16. El departamento de personal de una empresa grande ha descubierto que sólo el 60%de los candidatos investigados están realmente capacitados para asumir un cargo enla compañía. Una revisión de registros de la firma muestra que quienes estabancalificados, el 67% tuvo un entrenamiento previo en estadística, mientras que el 20%de quienes no estaban calificados habían recibido instrucción estadística muchoantes. Cuál es la probabilidad de que usted esté calificado dado que ha tenidoentrenamiento en Estadística. Sol. 0,834

17. En un programa de capacitación para el personal del área administrativa de unaempresa el 80% de los capacitados son mujeres, y 20% varones. El 90% de las mujeresasistió a la universidad, y el 78% de los varones también.a) Una persona que participa en el programa se selecciona al azar. ¿Cuál es la

probabilidad de que sea una mujer que no asistió a la universidad? Sol. 0,08b) Al seleccionar una persona al azar se sabe que ha asistido a la universidad, cuál es

la probabilidad de que sea una mujer. Sol. 0,822c) Elabore un diagrama de árbol que muestre todas las probabilidades (a priori,

condicionales y conjuntas.

18. Un profesor observa que pone una calificación final de sobresaliente al 20% de losestudiantes. El 70% de los que obtienen una calificación final de sobresaliente obtuvouna calificación de sobresaliente en el examen parcial. Además el 10% de losestudiantes que no obtienen una calificación final de sobresaliente obtuvo unsobresaliente en el examen parcial. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante queobtuvo un sobresaliente en el examen parcial obtenga una calificación final desobresaliente. Sol. 0,636

19. Se recibieron dos cajas de camisas para hombre marca Old Navy provenientes de lafábrica, a caja uno contenía 25 camisas deportivas y 15 de vestir, en la caja dos había30 deportivas y 10 de vestir. Se seleccionó al azar una de las cajas y de esas se eligió,también aleatoriamente una camisa para inspeccionarla. La prenda era deportiva.Dada esta información, cuál es la probabilidad de que dicha camisa provenga de lacaja uno. Sol. 0,4545

20. Hay 4 personas que se consideran para el puesto de presidente y ejecutivo en jefe enla empresa Dalton Enterprise. Tres de los aspirantes tiene más de 60 años. 2 sonmujeres, de las cuales sólo una es mayor de 60 años.a) ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato sea mayor de 60 y mujer? Sol. 0,25

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b) Dado que el candidato es hombre ¿Cuál es la probabilidad de que tenga menos de60 años? Sol. 0

c) Dado que la persona es mayor de 60 años, ¿cuál es la probabilidad de que seamujer? Sol. 0,3333

21. Una investigación demuestra que el 30% de los profesores de la nación dejan laprofesión después de diez años. Además de quienes la abandonan, el 60% tienen untítulo avanzado, mientras que entre los que no dejan la profesión el 20% tienen untítulo avanzado. El Sr. Y el profesor favorito de los estudiantes, acaba de obtener untítulo avanzado. ¿Cuál es la probabilidad de que deje a los estudiantes y consiga untrabajo distinto? Sol. 0,5625

22. Sólo el 60% de los estudiantes de la clase de Estadística pasaron la primeraevaluación. De quienes pasaron el 80% estudiaron y el 20% de quienes no pasaron siestudiaron. ¿Debería usted estudiar paras las pruebas de este profesor? Sol. 0,857

23. Una editorial envía la publicidad de un libro de texto de contabilidad al 80% de todoslos profesores que imparten la asignatura de contabilidad. El 30% de los profesoresque reciben esta publicidad adopta el libro, al igual que el 10% de los que no lareciben. ¿Cuál es la probabilidad de que un profesor que adopta el libro haya recibidola publicidad? Sol. 0,9231

24. El Gerente de crédito de un almacén de electrodomésticos, sabe que el almacénutiliza tres métodos para conminar a pagar a los clientes morosos. De los datos que setienen registrados, él sabe que 70% de los deudores son visitados personalmente,20% se le sugiere que paguen vía telefónica y al restante 10% se le envía una carta.Las probabilidades de recibir algún pago como consecuencia de los tres métodos son:0,75; 0,60; y 0,65 respectivamente. El Gerente acaba de recibir el pago de una de lascuentas vencidas. Cuál es la probabilidad de que la petición de pago se haya hecho:

a) Personalmente Sol. 0,739 b) Por teléfono Sol. 0,169 c) Por correo Sol.0, 092

25. Una empresa se especializa en proporcionar evaluaciones de sus perspectivas atiendas de ropa para dama en centros comerciales. El director de la empresa informaque evalúa las posibilidades como buenas, regulares o malas. Los registros de lasevaluaciones anteriores indican que en el 60% de los casos, las perspectivas sonbuenas, en el 30% son regulares y en el 10% son malas. De las evaluadas como buenasel 80% dieron utilidades durante el primer año, de las evaluadas como regulares, el60% produjeron utilidades el primer año, y de las evaluadas como malas, 20%

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arrojaron beneficios durante el primer año. Conie’s Apparel fue uno de los clientes dela empresa que obtuvo utilidades el año pasado. ¿Cuál es la probabilidad de que se lehaya dado una calificación inicial de mala? Sol. 0.0294

26. Una cadena de tiendas de pintura produce y vende pintura de látex y semiesmaltada.De acuerdo con las ventas a largo plazo, la probabilidad de que un cliente comprepintura de látex es 0,75. De los que compran pintura de látex, el 60% también comprarodillos. Sin embargo, sólo el 30% de los que compran pintura semiesmaltada comprarodillos. Un comprador que se selecciona al azar adquiere un rodillo y una lata depintura y lata de pintura. ¿cuál es la probabilidad de que sea pintura de látex?Sol.0,857

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PROGRAMA ANALÍTICO DE LA ASIGNATURAIV. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:Al finalizar la presente unidad el estudiante estará en capacidad de:

a) Identificar el tipo de variable aleatoria de acuerdo a la naturaleza de lainformación.

b) Describir las características de cada una de las distribuciones de probabilidad.c) Calcular correctamente las probabilidades en los problemas de aplicación

prácticad) Resolver problemas aplicados a la carrera utilizando las distribuciones

probabilísticas.e) Construir una tabla de distribución de probabilidad y su representación gráfica

para casos prácticos y reales.

CONOCIMIENTOS PREVIOSPara el desarrollo de esta unidad el estudiante deberá tener conocimientos de:Funciones reales

CONTENIDOS

4. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD4.1. Variable aleatoria y su tipología4.2. Distribución de probabilidad (discreta)4.3. Distribuciones de probabilidad discretas

4.3.1. Distribución Binomial4.3.2. Distribución hipergeométrica4.3.3. Distribución de Poisson4.3.4. Aproximación de la distribución de Poisson a la Binomial

4.4. Variable aleatoria continua4.4.1. Distribución normal

4.4.1.1. Características4.4.1.2. Gráficos y familias de distribuciones normales4.4.1.3. Cálculo de la distribución normal estándar4.4.1.4. Determinación del área bajo la curva

4.4.2. Distribución normal como una aproximación a la Binomial

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EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA SER RESUELTOS

1. Cuáles de las siguientes variables son aleatorias discretas y cuáles continuas

a) El tiempo entre llegadas de clientes a un cajero automático de un bancob) El número de clientes de una peluqueríac) La temperatura exterior el día de hoyd) Los carros vendidose) Los ingresosf) Los empleados requeridos para completar un trabajo.g) Número de accidentes automovilísticos que ocurren al año

2. Calcule el valor esperado, la varianza y la desviación estándar del experimento delanzar una moneda tres veces y observar el número de sellos.

3. Una urna contiene 3 bolas azules, 5 rojas y 4 verdes. Si se extraen 3 bolas (conreposición) Construya una tabla de distribución de probabilidad para el número debolas verdes. Calcule el valor esperado, la varianza y la desviación estándar.

4. Con los datos del ejercicio anterior. Construya la tabla de distribución de probabilidadpara el número de bolas verdes pero esta vez hágalo sin reposición. Calcule el valoresperado, la varianza y la desviación estándar.

5. Si llueve un vendedor de paraguas gana $30 al día, y si no llueve pierde $6 al día.¿Cuál es el valor esperado si la probabilidad de lluvia es 0,3?

6. El número de quejas de los empleados de una empresa oscila entre 0 a 6 cada díacomo se muestra en la siguiente tabla. Calcule e interprete el valor esperado, lavarianza y la desviación estándar.

Quejas (X) Probabilidad p(X)0 0,131 0,172 0,133 0,264 0,095 0,056 0,17

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7. Las tablas siguientes muestran “variables aleatorias “y sus probabilidades. Sinembargo, sólo una de las tres es realmente una distribución de probabilidad. ¿Cuáles?

Utilizando la distribución de probabilidad correcta, encuentre la probabilidad de que xsea:

a) Exactamente 15b) No más de 10c) Más de 5d) Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de ésta distribución.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

1. Un director de producción sabe que el 5% de los componentes producidos en undeterminado proceso de producción tiene algún defecto. Se examinan 6 de estoscomponentes, cuyas características pueden suponerse que son independientes entresí.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de estos componentes tenga undefecto? Sol. 0,7351b) ¿Cuál es la probabilidad de que uno de estos componentes tenga un defecto?Sol. 0,2321c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de estos componentes tenga undefecto? Sol. 0,0328

2. Un político cree que el 25% de todos los macroeconomistas que ocupan altos cargosapoyará firmemente una propuesta que desea presentar. Suponga que esta creenciaes correcta y que se seleccionan 5 macroeconomistas aleatoriamente.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los 5 apoye firmemente lapropuesta? Sol. 0,7627b) ¿Cuál es la probabilidad de que la mayoría de los cinco apoye firmemente lapropuesta? Sol. 0,1035

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3. Diane Bruns es la alcaldesa de una ciudad. Últimamente se ha estado preocupandoacerca de la posibilidad de que grandes cantidades de personas que cobran el segurode desempleo en realidad tengan un trabajo secreto. Sus asistentes estiman que 40%de los beneficiarios del seguro de desempleo entran en esta categoría, pero la señoraBruns no está convencida. Le pide a uno de sus ayudantes que haga una investigaciónde 10 beneficiarios del seguro tomados al azar.

a) Si los asistentes de la alcaldesa tienen razón. ¿Cuál es la probabilidad de que losindividuos tengan un empleo? Sol. 0,0001b) Si los asistentes de la alcaldesa están en lo correcto. ¿Cuál es la probabilidad deque sólo tres de los individuos investigados tengan trabajo? Sol. 0,2150c) Si los asistentes de la alcaldesa están en lo correcto. ¿Cuál es la probabilidad deque menos de tres de los individuos investigados tengan trabajo? Sol. 0,1673

4. En el pasado mes de agosto el ECU911 informó que sólo el 35% de las llamadas eranemergencias reales. Si de este registro de llamadas se seleccionan 8.a) Elaborar la tabla de distribución de probabilidad para la variable aleatoria número

de llamadas que no son emergencias reales.b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 2 pero menos de 7 llamadas no sean

emergencias? Sol. 0,8056c) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo mucho 3 llamadas sean emergencias reales?

Sol. 0,7064

5. Encontrar la probabilidad de que en el lanzamiento de una moneda, 6 vecesaparezcan:

a) Cero caras Sol. 1/64b) Dos caras Sol. 15/64c) Cinco caras Sol. 3/32

6. En un hospital, el 60% de los recién nacidos son varones. En un día particular nacen 8bebés.

a) Qué probabilidad existe que 3 o más de ellos sean varones? Sol. 0.950b) Cuál es el número de recién nacidos varones esperado? Sol. 5c) Cuál es la desviación estándar? Sol. 1.38d) Construya una distribución de probabilidad para la variable x: número de

recién nacidos varones.e) Construya la distribución gráficamente.

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7. Encontrar la probabilidad de contestar, en forma aleatoria correctamente al menos 6de las 10 respuestas en un examen de verdadero-falso Sol. 193/512

8. Una vacuna contra la influenza ofrece una eficacia del 95% en la creación deinmunidad. En una muestra aleatoria de 4 personas vacunadas, determinar laprobabilidad de que:

a) Ninguna contraiga la enfermedad. Sol. 0.8145b) Por lo menos dos contraigan la enfermedad Sol. 0.014c) Máximo una contraiga la enfermedad Sol. 0.9859

9. Una encuesta a nivel nacional realizada por una universidad a 17 000 estudiantesuniversitarios de último año, revela que casi el 70% desaprueba el consumo dedrogas. Si se seleccionan al azar a 18 de tales estudiantes y se les pide su opinión,

¿Cuál es la probabilidad de que más de 9 pero menos de 14 desaprueben elconsumo de drogas? Sol. 0,6077

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

1. Un ejecutivo bancario recibe 10 solicitudes de crédito. Los perfiles de los solicitantesson similares, salvo que 5 pertenecen a minorías y 5 no. Al final, el ejecutivo autoriza 6de las solicitudes. Si estas autorizaciones se eligen aleatoriamente del grupo de 10solicitudes, ¿cuál es la probabilidad de que menos de la mitad de las autorizaciones desolicitudes de personas que pertenezcan a minorías? Sol. 0,2619

2. Como subgerente de su empresa de materias primas, usted debe contratar 10personas entre 30 candidatos, 22 de los cuales tienen títulos universitarios. ¿Cuál es laprobabilidad de que 5 de los que usted contrate tengan un título? Sol. 0,0491

3. De los 15 altos ejecutivos de un negocio de importaciones y exportaciones, seseleccionan 12 para ser enviados al Japón a estudiar un nuevo proceso de producción.Ocho de los ejecutivos ya tienen algo de entrenamiento en el proceso. ¿Cuál es laprobabilidad que 5 de los enviados tengan algo de conocimiento sobre el procesoantes de partir para el lejano oriente? Sol. 0,1231

4. La jefatura de Policía de una ciudad de Estados Unidos está vacante. El comité deselección, encargado de recomendar un nuevo jefe al consejo urbano, recibió 12solicitudes para el puesto. Cuatro de los doce solicitantes son mujeres o miembros de

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una minoría social. El comité decide entrevistar a los 12 aspirantes del cargo. Paracomenzar, selecciona al azar 4 de los solicitantes para entrevistarlos el primer día yninguno de ellos es mujer o miembro de una minoría. El periódico local indica en uneditorial que hay discriminación. Cuál es la probabilidad de que esto sea cierto?Sol.0,141

5. Una florería tiene 15 camiones de reparto que se utilizan principalmente paraentregar flores y arreglos florales. Suponga que 6 de los 15 vehículos tienenproblemas con los frenos. Se seleccionan 5 camiones al azar para probarlos. Cuál es laprobabilidad de que

a) 2 de los vehículos examinados tengan frenos defectuosos? Sol. 0,4196b) 2 de los vehículos examinados no tengan problemas de frenos? Sol. 0,2397c) A lo sumo tres de los vehículos examinados tengan problemas en su sistema

de frenos? Sol. 0,9530

6. En la producción de un determinado artículo, encontramos que por cada 20 que seproduce 3 de ellos resultan defectuosos. Si se toma una muestra de 8 artículos. Cuáles la probabilidad de que:

a) Por lo menos dos sean defectuosos Sol. 0,3429b) Por lo menos dos no sean defectuosos Sol. 1

7. El Ministerio de Medio Ambiente sospecha que algunas fábricas infringen losreglamentos contra la contaminación ambiental, en lo que se refiere a la descarga decierto tipo de producto. Veinte empresas están bajo sospecha pero no todas sepueden inspeccionar. Suponga que 3 de las empresas infringen los reglamentos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que si se inspeccionan 5 empresas no se encuentreninguna infracción? Sol. 0,3991

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la inspección de 5 empresas descubra a 2 queinfringen el reglamento? Sol. 0,1316

8. Se selecciona al azar un comité de 3 personas a partir de 4 médicos y 2 enfermeras.a) Escriba una fórmula para la distribución de probabilidad de la variable

aleatoria X que representa el número de médicos en el comité.b) Grafique la distribuciónc) Calcule . Sol. 0,8

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9. Un distribuidor de electrodomésticos recibe un envío de 20 planchas, de las cualeshay 3 defectuosas. Para conocer si el lote está bueno prueba 6 aparatos. Eldistribuidor aceptará el lote si encuentra a lo más un aparato defectuoso ente losprobados. ¿Cuál es la probabilidad de rechazar el envío? Sol. 0,2017

10. Entre las 80 estaciones de servicio que hay en una ciudad, 10 entregan unacantidad menor que la que el cliente compra. Un inspector de la dirección dehidrocarburos visita aleatoriamente cinco de ellas para verificar si la cantidadvendida es correcta. ¿Cuál es la probabilidad de que se descubra al menos unafraudulenta? Sol. 0,4965

DISTRIBUCIÓN DE POISSON1. Se estima que 0.5% de las llamadas telefónicas al departamento de facturación de una

empresa de telecomunicaciones, reciben la señal de ocupado. ¿Cuál es la probabilidadde que de las 1200 llamadas del día de hoy, por lo menos 5 hayan recibido dichaseñal? Sol. 0,7149

2. Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondos por día ¿Cuál es la probabilidadde que reciba 4 cheques sin fondos en un día determinado? Sol. 0,1338

3. El encargado de los préstamos en un Banco, con base a sus años de experiencia,estima la probabilidad de que un solicitante no sea capaz de pagar su préstamo, es de0.025. El mes pasado realizó 40 préstamos:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que 3 préstamos no sean pagados a tiempo? Sol.0,0613

b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 3 préstamos no se liquiden atiempo? Sol. 0.0803

4. Un proceso de fabricación utilizado para hacer artefactos plásticos Incas presenta unatasa de defectos de 5 por cada 100 unidades. Las unidades se envían a losdistribuidores en lotes de 200. Si la probabilidad de que más de 3 salgan defectuosossupera el 30%, usted planea vender en su lugar camisetas Grateful Dead. ¿Cuálartículo agregará usted al inventario? Sol. 0,9896

5. El conmutador de una clínica recibe un promedio de 20 llamadas cada 2 minutos. Cuáles la probabilidad de que:

a) Reciba exactamente 18 llamadas en 2 minutos. Sol. 0,084

55

b) Reciba exactamente 4 llamadas en un periodo de 30 segundos. Sol. 0,1754c) Reciba a lo mucho 2 llamadas en un periodo de 15 segundos. Sol. 0,5432

6. A una cafetería llegan en promedio 9 personas en un periodo de 30 minutos calcule laprobabilidad de que:

a) En 30 minutos, por lo menos lleguen 4 personas. Sol. 0,9789b) En los 10 primeros minutos no llegue ningún cliente. Sol. 0,0498

7. En una oficina de bienes raíces se venden en promedio 4 casas por semana. Calcule laprobabilidad de que el número de casas vendidas en una semana cualquiera supereel valor medio. Sol. 0,3712

DISTRIBUCIÒN NORMAL1. Se sabe que la cantidad de dinero que gastan los estudiantes en libros de texto en un

año en una universidad sigue una distribución normal que tiene una media de $380 yuna desviación estándar de $50.

a) Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gastemenos de $400 en libros de texto en un año? Sol. 0,6554b) Cuál Es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gaste másde 360 en libros de texto en un año? Sol. 0,6554c) Explique gráficamente por qué las respuestas de los apartados a) y B) soniguales?d) Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gasteentre 300 y 400 dólares en libros de texto en un año? Sol. 0,6006e) Quiere hallar un intervalo de gasto en libros de texto que incluya el 80% detodos los estudiantes de esta Universidad. Explique por qué podrá encontrarsecualquier número de intervalos que lo incluya y halle el más corto.

2. Una empresa produce sacos de un producto químico y le preocupa la cantidad deimpurezas que contienen. Se cree que el peso de las impurezas por saco sigue unadistribución normal que tiene una media de 12,2 gramos y una desviación de 2,8gramos. Se elige aleatoriamente un saco

a) Cuál es la probabilidad de que contenga menos de 10gramos de impurezas? Sol.0,2148b) Cuál es la probabilidad de que contenga más de 15 gramos de impurezas? Sol.0,1587

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c) Cuál es la probabilidad de que contenga entre 12 y 15 gramos de impurezas?Sol. 0,3692

3. Las calificaciones de los 500 aspirantes presentados a un examen para contrataciónlaboral, se distribuye normalmente con media 6.5 y varianza 4.

a) Calcule la probabilidad de que un aspirante obtenga más de 8 puntos. Sol.0,2266b) Determine la proporción de aspirantes con calificaciones inferiores a 5 puntos.Sol. 22,66%c) Cuántos aspirantes obtuvieron calificaciones comprendidas entre 5 y 7.5puntos? Sol. 232

4. Las edades de un grupo de 320 individuos tienen como media 24 y desviación típica 5.¿Cuantos tendrán menos de 27 años? Sol. 232

5. Una radio de la ciudad, encuentra que el tiempo que los radioescuchas sintonizan laestación sigue una distribución normal. La media de la distribución es de 15 minutos yla desviación estándar 3,5 minutos. ¿Cúal es la probabilidad de que un radioescuchaparticular la sintonice:

a) más de 20 minutos Sol. 0,0764b) menos de 20 minutos Sol. 0,9236c) entre 10 y 12 minutos Sol. 0,1185

6. Un estudio reciente de los sueldos por hora del personal de mantenimiento enaerolíneas importantes mostró que el salario medio por hora era $ 16,50 (dólares) conuna desviación estándar de $3,50. Si se selecciona al azar un elemento de latripulación, cuál es la probabilidad de que gane:

a) Entre $16,50 y $20,00 por hora? Sol. 0,3413b) Más de $20,00 por hora? Sol. 0,1587c) Menos de $15,00 por hora? Sol. 0,3336

7. Los paquetes de cereal de una marca X vienen en cajas de 36 onzas que tienen unadesviación estándar de 1,9 onzas. Se piensa que los pesos están distribuidosnormalmente. Si se selecciona una caja aleatoriamente, cuál es la probabilidad de quela caja pese:

a) Menos de 34,8 onzas? Sol. 0,2643b) Más de 34,8 onzas? Sol. 0,7357

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c) Entre 34,3 y 38,9 onzas? Sol. 0,7503d) Entre 39,5 y 41,1 onzas? Sol. 0,0292

8. Se publica que los frenos de los nuevos autos de la marca Lambourginis duran unpromedio de 35 000 millas con una desviación estándar de 1 114millas. Cuál es laprobabilidad de que los frenos del auto que usted acaba de comprar le duren:

a) Más de 35 000 millas? Sol. 50%b) Menos de 33 900 millas? Sol. 16,11%c) Menos de 37 500 millas? Sol. 98,75%d) Entre 35 200 y 36 900 millas? Sol. 38,50%

9. El promedio de los salarios en los bancos comerciales en Illinois es de 22,87 dólarespor hora, con una desviación estándar de 5,87 dólares, Cuál debe ser su salario porhora si desea ganar:

a) Más del 80% de todos los empleados? Sol. $27,80b) Más que el 30% de todos los empleados? Sol. $19,82c) Menos que el 20% de todos los empleados? Sol. $27,80d) Más que el 50% de todos los empleados? Sol. $22,87

10. La estatura promedio de un grupo de 100 personas fue de 160cm y la varianza de 100,además se sabe que se distribuyen normalmente. Cuál es la probabilidad de que unapersona mida:

a) Entre 140 y 165 cm? Sol. 0,6688b) Entre 170 y 180 cm? Sol. 0,136c) 185 y más? Sol. 0,0062d) Menos de 130? Sol. 0,0013

11. El vicepresidente de personal de una empresa ha desarrollado un nuevo programa decapacitación completamente adaptable al ritmo de sus usuarios. Los nuevosempleados trabajan en varias etapas a su propio ritmo de trabajo; el término delentrenamiento se da cuando el material es aprendido. El programa ha resultadoespecialmente efectivo en acelerar el proceso de capacitación, ya que el salario de unempleado es de sólo 67% del que ganaría al completar el programa. En los últimosaños, el promedio de término del programa ha sido 44 días, con una desviaciónestándar de 12 días.

a) Encuentre la probabilidad de que un empleado termine el programa ente 33 y42 días. Sol. 0,2537

58

b) ¿Cuál es la probabilidad de terminar el programa en menos de 30 días?Sol. 0,1210c) ¿De terminarlo en menos de 25 o más de 60 días? Sol. 0,1489

12. El gerente de créditos de un almacén de electrodomésticos estima las pérdidas pormalos clientes durante el mes en la siguiente forma: La pérdida tiene distribuciónnormal con media de $50 000; además la probabilidad de que sea menor de $60 000 ymayor de $40 000, es 0,40. Cuál es la desviación estándar? Sol. $18 867.9

13. Los ingresos en cierto sector económico se distribuyen normalmente, la clasificaciónde los grupos económicos, de mayor a menor ingreso, son los siguientes:

Grupo PorcentajeA 8B 16C 38D 24E 14

Si el ingreso del grupo C, está comprendido entre $26 500 y $ 29 800a) Calcule la media y la desviación típica Sol. µ=27502,9 σ=3235,29b) Si en dicho sector se ocupa un total de 23 000, personas, cuántas personas

esperamos que tengan un ingreso superior a los $30 000? Sol. 5 074 personas

14. En un examen de estadística la media fue 72 y la desviación típica 9. El 10% del cursorecibirá grado A. Cuál es la nota mínima para optar por éste grado? Sol. 84 puntos

15. El sueldo promedio de 45 empleados de una empresa es de 491 dólares ladesviación típica de 84 dólares.

a) Cuál es salario de un empleado que desea gana más que el 20% de todos losempleados. Sol. 419,6 dólares

b) Cuántos empleados tendrán un sueldo entre 600 y 630 dólres. Sol. 2 empleados

16. En el examen de Estadística la media fue 6.9 y la desviación típica 1.6. El 16% de losestudiantes del curso se exoneró.

a) ¿Cuál fue la calificación mínima de éstos estudiantes que ya no se presentaránal examen final? Sol. 8,5 puntos

59

b) Si se consideran 30 estudiantes, cuántos tendrían una calificación entre 5 y 6,5.Sol. 9 estudiantes

17. Si el percentil 70 de un grupo de calificaciones sobre 100 puntos, que siguen unadistribución normal es 77 y la varianza es 40.

a) calcule la media Sol. 73,65b) El número de personas que se ha considerado es 150, cuántos de ellos tienenentre 80 y 90 puntos Sol. 23 personas

DISTRIBUCIÒN NORMAL COMO APROXIMACIÒN DE LA DISTRIBUCIÒN BINOMIAL

1. Una compañía de alquiler de automóviles ha observado que la probabilidad de que unautomóvil necesite una reparación en un mes cualquiera dado es 0,2. La compañíatiene 900 automóviles.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 200 automóviles necesiten unareparación en un mes determinado? Sol. 0,0475

b) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 175 automóviles necesiten unareparación en un mes determinado? Sol. 0,3372

2. Se sabe que el 10% de todos los artículos que salen de un determinado proceso deproducción tiene un defecto. Se eligen aleatoriamente 400 artículos de un elevadovolumen de producción de un día.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 35 de los artículos seleccionadostenga un defecto? Sol. 0,7967

b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 40 y 50 de los artículos seleccionadostenga un defecto? Sol. 0,4525

c) ¿Cuál es la probabilidad de entre 34 y 48 de los artículos seleccionados tengaun defecto? Sol. 0,7495

3. Se encuesta a una muestra de 100 obreros de una gran empresa para saber quépiensan de un nuevo plan te trabajo propuesto. Si el 60% de todos los obreros de estaempresa es partidario de este nuevo plan. ¿Cuál es la probabilidad de que menos de50 de los miembros de la muestra sea partidario del plan? Sol. 0,0207

4. Una auditoría reciente a una empresa que se especializa en la elaboración dedeclaraciones de impuestos de clientes profesionales indicó que el 5% de lasdeclaraciones del año anterior preparadas por la empresa tenía algún error.

60

Suponiendo que la tasa continúe en este año y la empresa elaboró 60 declaraciones.¿Cuál es la probabilidad de que cometa algún error en: (aplicar el factor decorrección)

a) Más de 6 declaraciones? Sol. 0,0192b) Al menos 6 declaraciones? Sol. 0,0694c) Exactamente 6 declaraciones? Sol. 0,0502

5. Una empresa de mecánica automotriz anuncia que puede cambiar un silenciador en30 minutos o menos. Sin embargo, el departamento de normas de trabajo de lacompañía realizó un estudio reciente y encontró que 20% de los silenciadores no seinstalaron en 30 minutos o menos. Otra sucursal instaló 50 silenciadores el mespasado. Si el informe de la empresa es correcto: (aplicar el factor de corrección)

a) ¿Cuántas de las instalaciones, en la sucursal, se esperaría que tomasen más de30 minutos? Sol. 10

b) ¿cuál es la probabilidad de que menos de 8 instalaciones de silenciadoresrequieran más de 30 minutos? Sol. 0,1894

c) ¿cuál es la probabilidad de que 8 o menos instalaciones de silenciadoresrequieran más de 30 minutos? Sol. 0,2981

d) ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 8 instalaciones de silenciadoresrequieran más de 30 minutos? Sol. 0,1086

61

PROGRAMA ANALÍTICO DE LA ASIGNATURAV. ELEMENTOS DE MUESTREO

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:Al finalizar la presente unidad el estudiante estará en capacidad de:

a) Aplicar procedimientos de muestreo para poblaciones finitas e infinitas

CONOCIMIENTOS PREVIOS

Para el desarrollo de esta unidad el estudiante deberá tener conocimientos de:Probabilidades

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Asuma que se tiene una población de 950 personas y desea obtener una muestraaleatoria de 30. Emplee la tabla de números aleatorios para seleccionar los 30 de los950 individuos. Proporcione una lista de los elementos seleccionados.

2. Con el ejemplo anterior utilice el muestreo sistemático para seleccionar la muestra.Enliste todos los resultados.

3. Una compañía local de televisión por cable está planeando agregar un canal a suservicio básico, puede escoger de entre 5 canales y por ello desea tener la opinión desus suscriptores. Sabe que 7 500 de ellos son estudiantes universitarios, 9 000empleados administrativos, 2 000 obreros y otros 1 000. La compañía va a seleccionar90 de sus clientes para que respondan al cuestionario de opinión. ¿Cuál sería elnúmero de clientes por cada grupo?

4. En una población bajo estudio existen 2 000 mujeres y 8 000 hombres. Si vamos aseleccionar 250 individuos de esta población ¿cuántos deberán ser mujeres para quela muestra sea considerada representativa?

62

TABLASESTADÍSTICAS

63

64

Áreas bajo la curva normal 0 z

Área

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

−3.4 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0002 −3.3 0.0005 0.0005 0.0005 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0003 −3.2 0.0007 0.0007 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0005 0.0005 −3.1 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 0.0007 0.0007 −3.0 0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010

−2.9 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014 −2.8 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.0020 0.0019 −2.7 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026 −2.6 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036 −2.5 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048

−2.4 0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0.0064 −2.3 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084 −2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110 −2.1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143 −2.0 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183

−1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233 −1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294 −1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367 −1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455 −1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559

−1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681 −1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823 −1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985 −1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170 −1.0 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379

−0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611 −0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867 −0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148 −0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451 −0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776

−0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121 −0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483 −0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859 −0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247 −0.0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641

TMP_Apendice-A.indd 735 6/8/12 7:33 PM

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879

0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389

1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319

1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936

2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986

3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998

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Apéndice A Tablas y demostraciones estadísticas