UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICAANTONIO JOSE DE SUCREVICE-RECTORADO DE BARQUISIMETODEPARTAMENTO DE ESTUDIOS BASICOS.SECCION DE FISICA

Unidad I de Fsica II, correspondientes a :

INDICE

CONTENIDOPAGINA

Introduccin01

UNIDAD I .Primera parte. 20%

La carga elctrica01

Tipos de Materiales02

La Ley de Coulomb03

Campo Elctrico04

Dipolo Elctrico06

Movimiento de cargas .07

Ley de Gauss07

Flujo Elctrico08

Problemas11

UNIDAD I. Segunda parte 10%

Potencial Elctrico13

Potencial debido a cargas puntuales13

Superficies equipotenciales.14

Problemas14

Problemas de potencial Elctrico15

1.-.INTRODUCCION:

En esta primera unidad del curso de Fsica II, se encuentra conformada por dos partes, una de 20% y otra de 10%, ambas se encuentra descritas en este manual de apuntes, para la primera parte comenzaremos el estudio de la electricidad con la electroesttica que trata cargas en reposo, posteriormente de introducir la definicin de carga elctrica estudiaremos brevemente los conceptos de conductores y aisladores, como tambin, la forma como un conductor puede adquirir una carga.

Luego analizaremos la Ley de Coulomb que describe la fuerza elctrica producida por una carga elctrica sobre otra, seguidamente se introduce el concepto de Campo Elctrico, cmo se representa grficamente y su efecto sobre cargas y dipolos elctricos. Finalmente se estudiar la Ley de Gauss Ley de Gauss, que es usada para encontrar el Flujo Elctrico y el campo elctrico, se emplea preferiblemente en aquellos ejercicios donde existe gran simetra de carga.

1.1-. CARGA ELCTRICA La palabra CARGA, significa dotar con electricidad o la propiedad de electrificacin. La propiedad de carga elctrica de la materia se designa por medio de la letra q o Q, la cual puede ser un escalar positivo o negativo.

El padre fundador Franklin descubri que cuando una barra de vidrio se frota con seda, el vidrio t y la seda tienen cargas opuestas , la del vidrio por deficin es positiva y la seda negativa. Otro experimento pero con una barra de caucho y fue frotada con un fieltro, se observ que la barra de caucho se cargo negativamente (por definicin) y el fieltro positivamente . Ambos experimentos se observa un proceso de electrificacin por frotacin donde hay transferencia de cargas , en el caso del primer experimento (Vidrio y seda), los electrones del vidrio (no todos) pasan a la seda, quedando la seda cargada negativamente y el vidrio positivamente

Ahora un objeto tiene una carga positiva (+q) , significa que el objeto tiene la propiedad de electrificacin que lo hace ser repelido por una barra de vidrio frotada con seda . Cuando se dice que tiene una carga negativa, se da entender que el objeto tiene la propiedad de electrificacin que lo hace ser repelido por una barra de caucho frotada con fieltro .

Durante los experimentos se observo que dos partculas con la misma propiedad de electrificacin (cargadas positivamente o negativamente) experimente cada una fuerzas de repulsin de igual magnitud. Si las cargas son opuestas, entre ellas existe una fuerza elctrica de atraccin de igual magnitud.

Nota: Cuando se dice que las cargas son iguales es porque son del mismo signo, pero no necesariamente deben ser de la misma magnitud.

1.1.1-. Cuantizacin de la carga.La materia esta formada por tomos elctricamente neutros, cada tomo posee un ncleo donde se encuentran los protones (carga positiva) y los neutrones (no poseen carga), el nmero de protones representa el NUMERO ATOMICO DEL ELEMENTO y se denota con la letra Z, alrededor del ncleo, existe un nmero igual de electrones pero con carga negativa, tanto la carga del protn como la del electrn son iguales en magnitud y se representa: Protn = e Electrn = -e

Siendo e la unidad fundamental de la carga. e = 1,602 x10-19

Nota: Las carga de un protn o electrn es una propiedad intriseca de la partcula, es decir es propia de ellos , como tambin lo son la masa y el espin (su rotacin).

Todas las cargas observables se presentan en cantidades enteras de la unidad fundamental de carga e, en otras palabras la carga esta cuantizada y se relaciona con la carga por medio de:

Q = Ne.N= nmero entero.e= carga fundamentalQ = carga.

Cuando dos objetos elctricamente neutros se frotan entre si, uno adquiere carga negativa (cargado negativamente) y el otro con un dficit de electrones (cargado positivamente), la carga total es la suma de los dos objetos y no cambia, es decir la carga se CONSERVA, entonces la Ley de Conservacin de la carga es una ley fundamental de la naturaleza.La unidad en el Sistema Internacional (SI) de la carga es el Culombio y la carga fundamental ( e) se relaciona con el Culombio por medio de:e = 1.602 x 10 -19 C

Submltiplos del Culombio1 nC (nanoculombio) = 10-9C , 1 C (microculombio)= 10-6 C1 C (miliculombio) =10-3 C

Ejemplo N1Una carga de 50 nc (1nC = 1x10-9 c) , se puede producir en el laboratorio simplemente frotando entre dos objetos, cuntos electrones deben transferirse para producir esta carga?.

Solucin:Como datos tenemos: Q= 50 nC y e0 -1.6 x10-19 c y deseamos saber cunto es N = ? Si empleamos la ecuacin Q= Ne N = 3,12 x1011

1.2-. Tipos de Materiales

Primeramente, los tomos son elctricamente neutros, es decir un tomo en su conjunto no tiene carga elctrica debido a que las fuerzas elctricas entre tomos son pequeas, pero no cero. Ahora bien los electrones de un tomo, que se representa por la letra ( e ) y tienen carga e se mueven describiendo rbitas en regiones parecidas a capas alrededor del ncleo, el cual es mucho ms pesado por contener los neutrones (n) y los protones ( p ) que tienen una carga positiva +e , entonces cuando se dice que un tomo es neutral es porque el nmero de electrones es igual al nmero de protones. Tambin debemos mantener presente que los electrones que estn ms cerca del ncleo son difciles de retirar debido a la fuerza de atraccin que existe, en cambio los electrones que se encuentra ms retirado del ncleo se pueden separar con mayor facilidad, est condicin (la facilidad de retirar los electrones del ncleo) determina en gran parte las propiedades fsica y qumicas del elemento, en tal sentido un tomo que ha perdido uno o ms electrones se llama ION POSITIVO y en caso contrario que ha ganado electrones se llama ION NEGATIVO.

Conductores: (llamados conductores elctricamente neutros)Si los electrones externos de los tomos, en la materia son fcilmente de retirar como que estuvieran casi libres y se pueden mover a travs del material casi sin impedimentos, estos materiales son BUENOS CONDUCTORES. Los metales como la plata, el cobre y el aluminio.

Existen otros materiales que cuando se enfran a temperaturas muy bajas tienen electrones que se mueven con facilidad, estos se llaman SUPERCONDUCTORES.

F:1.1Los Aislantes o No conductores (llamados tambin aislante elctricamente neutros) , su propiedad de electrificacin (es decir de carga) no es mvil, resulta mucho ms difcil transferir carga , tienen polarizacin pero ocurre internamente a escala atmica o molecularmente.

1.2.1-. Polarizacin, carga por conduccin y carga por Induccin:

Ejemplo N2: (Polarizacin )

F:1.1 ConductorF:1.1Dado los siguientes dos casos, en cada uno se aproxima por el lado derecho una barra cargada positivamente (exceso de carga positiva o perdida de electrones), la barra no ENTRA EN CONTACTO CON EL MATERIAL, qu ocurre en cada caso :

aislanteAtraccin de un aislante elctricamente neutroF:1.2Caso N1: El material conductor elctricamente neutro, permite una polarizacin en sus extremos debido al movimiento de cargas positivas (fuerza de repulsin entre las cargas positivas de la barra y el material) hacia la izquierda y negativas a la derecha (fuerza de atraccin entre las cargas positivas de la barra y las negativas del material.

Caso N2: El material aislante elctricamente neutro, las cargas se alinean pero no se desplza permite una polarizacin en sus extremos debido al movimiento de cargas positivas (fuerza de repulsin entre las cargas positivas de la barra y el material) hacia la izquierda y negativas a la derecha (fuerza de

F:1.4Ejemplo N3 :Una esfera se coloca sobre una base aislante y conectada por extremo a tierra por medio de un cable conductor, por el lado derecho se aproxima (sin tocarla) un conductor cargado 2q ,el conductor se rompe y luego se retira el material cargado con 2q. Cmo quedan las esferas cargadas despus de la experiencia:

Solucin: Cuando se aproxima una barra cargada con 2q, la esfera se polariza tal como se muestra en la figura superior, los protones que estn justo donde se encuentra el cable hacen que los electrones que estn en tierra suban y formen pares, como se rompe el cable conductor, los electrones que subieron no pueden bajar, por lo tanto las cargas negativas que se movieron al lado derecho tienen que colocarse en la superficie, finalmente se puede decir:La esfera queda cargada inducida de -2q.

.

F: 1.5aF: 1.5.bEjemplo N4: Se posee una barra de caucho sostenida por un hilo de naylon (f:1.5.a), la barra previamente fue frotada con piel, eso quiere decir que la piel le transfiri cargas negativas a la barra de caucho quedando cargada negativamente, se le aproxima una barra de vidrio frotada con tela., qu tipo de fuerza surge entre estos dos materiales.b-. En el caso 1.5.b, que tipo de fuerza se presenta entre los materiales.

Nota: Se puede concluir, que mientras la interaccin gravitacional es siempre atractiva, la interaccin elctrica puede ser atractiva o repulsiva. La carga elctrica siempre se conserva. Esto es, cuando se frota un cuerpo contra otro no se crea carga en el proceso. El estado de electrizacin se debe a la transferencia de carga de un cuerpo a otro. Por lo tanto, un cuerpo gana cierta cantidad de carga negativa mientras que el otro gana la misma cantidad de carga positiva.

ABF.1.6Ejemplo N5Se muestran dos slidos conductores A y B (F.1.6), cargados con Q y Q respectivamente, sealar la carga que existe en su interior y en su superficie.

Solucin:Para el slido cargado positivamente A, el exceso de carga se ubica en la superficie y en su interior la carga neta es cero.Para el otro caso en la superficie se encuentra la carga negativa y en su interior de neutra.

F.1.7 4QBEjemplo N6.

F.1.7 + + + + + + + +Se posee una esfera B que tiene una capa aisladora, en su interior es neutra, se aproxima otra esfera de igual tamao pero cargada positivamente 4Q (ver figura 1.7), se ponen en contacto, la pregunta es: La esfera aisladora queda cargada despus que se retira la esfera cargada?

Solucin:Por tener una capa aislante, no se pueden intercambiar electrones de un slido a otro, se puede originar un movimiento de carga en el interior del slido B (positivas en un lado y negativas en otro), pero hasta ah, una vez que se retira la esfera cargada, las cargas vuelven agruparse.

-2QF:1.8Ejemplo N7:Se posee dos esferas de igual tamao conductoras elctricamente neutras, conectadas por medio de un alambre conductor, se aproxima una tercera esfera cargada negativamente, tal como se indica en la figura F.1.8, pero sin ponerse En contacto (con las dos existentes), sealar el signo de la carga en cada esfera si:a-. Se rompe el alambre y luego se retira la esfera C (cargada negativamente).b-. Se retira la esfera C y luego se rompe el alambre.

Solucin:

a-. Cuando se acerca la esfera cargada negativamente, las cargas positivas de las dos esferas se colocan en un extremo y las negativas en otro, tal como se indica en la figura 1.8. Ahora cuando se rompe el alambre conductor y se mantiene la excitacin (esfera con carga negativa), las cargas no pueden retornar a sus posiciones de equilibrio electroesttico y se tienen que ir a la superficie de cada una, por lo tanto las dos esferas quedan una con cargas inducidas tanto una con positiva y la otra cargada negativamente.

b-. Cuando se retira la excitacin, antes de romper el alambre, las cargas retornan a sus posiciones iniciales, por lo tanto continan las esferas neutras.

1.5-. Ley de Coulomb:

La fuerza ejercida por una carga puntual sobre otra est dirigida a lo largo de la lnea que las une y fue estudiada por Charles Coulomb (1736-1806). Esta fuerza es repulsiva si las cargas tienen el mismo signo y atractiva si tienen signos opuestos. La fuerza vara inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa las cargas ( r ) y es proporcional al valor de cada una de ellas.

Donde = 1/ K entonces K = 9x109 N.m2/C2 se conoce como la permisividad del espacio vaco, la ley de Coulomb describe la fuerza entre dos partculas cargadas que estn en reposo y el estudios que se haga sobre ellas se llama electroesttica.Permitividad del Vaco (o): Se define de forma que

o= 8.8510-12 C2/N m2

Si el medio en el que se encuentran las cargas es distinto al vaco, se comprueba que la fuerza elctrica es veces menor, de esta forma se define la Permitividad del Medio como = K o.. Siendo k la Constante Dielctrica del Medio.

Nota: a lo largo de este tema estudiaremos procesos en los que la carga no vara con el tiempo. En estas condiciones se dice que el sistema est en Equilibrio Electrosttico.

Nota: En el caso que existan varias cargas, la fuerza neta sobre cualquiera de ellas ser la suma vectorial de las fuerzas debidas a cada una de las otras.

Direccin de la fuerza:La direccin de la fuerza depende de si las caras tienen el mismo signo o signo opuesto, su de notacin es la siguiente:

q1 q2 q3 0,3 mts 0,2 mts F: 1.9F12 = fuerza que ejerce la carga dos sobre la una

Ejemplo N`8: (Ley de Coulomb).Tres partculas cargadas se encuentran en una lnea, tal como se muestra en la figura, determinar la fuerza neta sobre la carga q3. (Ver figura 1.9)

Solucin:

F32 F31--La fuerza neta sobre q3, es la suma de las fuerzas ejercida por q2 sobre q3 y la que ejerce q1 sobre q3.

El diagrama es el siguiente: (aplicando el principio de superposicin) F32 = (9x109) (-4x106) (5x106)/ (0.2)2 F32 =-4.5x1024 N

F31= (9x109) (-4x106) (-3x106)/ (0.5)2 F31=4.3x1023 N

-2C F.1.11 1.25 mts 3CF= F31 + F32= -4.06x1024 N

Ejemplo N9: (Fuerza entre dos cargas)Dada las siguientes cargas puntuales, (ver figura F.1.11) encontrar:

a-. Calcule la fuerza elctrica de cada carga ejerce sobre la otra.b-. Representa estas fuerzas un par de fuerzas de la tercera Ley de Newton.

-2C F1 F2 3C Solucin:

a-. Para la magnitud de la fuerza elctrica que ejerce cada una sobre la otra, se usan los valores absolutos, por lo tanto:

F12 = K (| -2C| | 3C| / (1,25)2 F12= 3,4 x1010 N

b-. Vemos el siguiente diagrama de fuerza:

Ambas fuerzas forman un par de fuerzas de la tercera Ley de Newton.

Nota: Muchas fuerzas comunes se les pueden llamar fuerzas de contacto, ejemplo cuando se empuja una caja, por su parte la fuerza gravitacional como la elctrica actan a distancia

F.1.13 0.15 mts =5Ejemplo N10. (Fuerza elctrica)Dos esferas idnticas cargadas, con masa de 2Kg cada una, cuelgan y se encuentran en equilibrio, tal como se indica en la figura F.1.13, encontrar la magnitud de la carga en cada esfera

Solucin:

F.1.14 TTy FeTx MgEl diagrama de cuerpo libre para la esfera de la derecha, se observa en la figura F.18.Por estar en equilibrio, tenemos que la sumatoria de fuerzas viene dada:En x:Fe=T Sen (1)En y:T Cos = Mg (2) Despejamos de 2 la tensin: T = Mg/Cos (3), luego sustituimos en 1 y nos queda:

D Q Q F.1.14.aFe =Mg Tan , pero Fe = K Q2/r2, entonces: Q2 = r2(Mg Tan )/K

Ejemplo N11. (Fuerza elctrica)Dos esferas idnticas cargadas con carga Q cada una y de masas m,se encuentran en un plano inclinado tal como se muestra en la figura 1.14 a, el plano forma un ngulo con respecto a la horizontal, despreciando la friccin, encontrar la distancia d que debe estar separadas para estar en equilibrio.

N Fe mgSolucin: Paso N1: hacer el diagrama de cuerpo libre.

Paso N2: para la condicin de equilibrio se tiene:

Fx = Fe-mgSen=0 donde Fe = kQ2/d2Sustituimos: d=( kQ2/mgSen)

RESUMEN:1. Existen dos clase de cargas elctrica, llamadas positiva y negativa.2. La carga elctrica esta cuantizada y siempre se presenta en mltplos enteros de la unidad fundamental de carga e . El rpotn es e y el electrn es - e. e= 1,602 x 10-19 C3. La carga se conserva, en un proceso ni se crea ni se destruye slo se transforma.4. Los materiales conductores elctricamente neutros poseen cargas positivas y negativas en igual nmero, tienen la facilidad de que sus cargas negativas se transfieran de un material a otro o aceptar cargas negativas. En el caso de los aisladores solamente la cargas se mueven internamente pero no acepta transfiere electrones.5. La Ley de Coulomb permite determinar la fuerza elctrica entro dos cargas

F:1.161.6-. El Campo Elctrico

Capo debido a una carga q crea un campo elctrico E en todo el espacio alrededor de ella, tal como se muestra en la figura 1.16.

F:1.17 a-.Cargas de b-. Cargas de signos igual signo contrariosAhora si en el rea dnde se encuentra q se coloca otra carga de prueba qo , sobre esta carga va existir una fuerza elctrica producida por q y viene dada:

F = q E ( Ec. 2)

F = fuerza elctrica sobre q. Q = carga prueba .

En la figura 1.17 se seala como se comporta el campo elctrico cuando dos cargas se aproximan , ya sean de igual signo (a) o de signos contrarios (b).

Es importante sealar que el campo en un punto no depende de la carga colocada en ese punto, es creado por otras cargas estticas, por tal motivo el campo E se le llama Campo Electroesttico. La unidades del campo elctrico son: Newton /coulomb (N/C).Es ms la carga de prueba se puede mover debido a la accin de las fuerzas elctricas ah existentes

F.1.18Q E pQ p ESe puede decir, que el campo elctrico depende de la configuracin especfica de las cargas que lo crean, de igual forma que el campo gravitatorio que depende de la forma y las masas que lo producen.

1.6.1 -.Para determinar el campo elctrico producido por cargas puntuales, se tiene:E =( K Q1)/r2 r (Ec: 3)

Donde:Q1 = carga generadora del campo.r = distancia entre el punto y la carga generadora del campo.r= vector unitario.

El campo grficamente viene dado de la siguiente manera, ver figura 1.18

1.6.2-.Campo Elctrico debido a una distribucin contina de carga.Dependiendo de la forma de la distribucin, se definen las siguientes distribuciones de carga . Si una carga se distribuye de manera:

Uniformemente a lo largo de una Lnea de longitud L, la densidad de carga lineal = q/L. E= k dq/r2

Uniformemente a lo largo de una superficie de rea A, la densidad de carga superficial es = q/A .E= k dq./ r2

Uniformemente a lo largo de un volumen , la densidad de carga volumtrica = Q/VEn caso de no existir una distribucin no uniforme, las densidades se pueden expresar en funcin de las derivadas de la carga entre la derivada de la longitud, segn sea el caso.

8 nC (q1)3m P1 1m 12nC (q2) 3 m P2Ej:126Ejemplo N12:Encontrar el campo elctrico total en los puntos P1 y P2 debido a las cargas dadas.

Solucin : Paso N1: Para el puntos P1y P2, los diagramas vectoriales son:

E2 P2 P1 E1 E1 E2

Paso N2:Los campos producidos por cada carga vienen dados:E =( K Q1)/r2 (Ec general del campo debido a cargas puntuales)E1p1 = K (8x10-9)/(3)2 (-j) = 7.9(-j) Newton E2p1 = K (12x10-9)/(1)2 (j) =108(j) Newton

E1p2 = K (8x10-9)/(7)2 (-j) =1,47(-j) Newton E2p2 = K (12x10-9)/(3)2 (j) =12(-j) Newton

ExF.1.19Ejemplo N13 (Campo elctrico debido a una distribucin lineal)Se posee una barra de longitud L, con una densidad lineal y una carga total Q, determinar:a-. El campo en el punto p, ubicado a una distancia a del extremo de la barra. (Ver figura F.1.19)

Solucin:Ecuaciones: = q/L pero dq = dL= dX , E= K dQ/r2 = k dx/r2

Asumiendo el origen donde se encuentra el punto p, tenemos que los lmites de integracin van desde 0 hasta (L). El campo (Ex), se encuentra hacia la parte positiva del eje x, por lo tanto el vector r es i.

Por otro lado la distancia entre el dX y el punto es r, pero tambin la distancia entre dX y el origen es X, en tal sentido r=Xo-X.

Finalmente nos queda la integral de la siguiente forma:

F:1.2 E Ey Ex h r x dq=dx++++++++++++++++F.1.20Ex= k dX/(Xo-X)2

Ejemplo N14 (Campo elctrico debido a una distribucin lineal)Se posee una barra de longitud L (ver figura 1.20), indicar la direccin y sentido del campo elctrico en el punto p, ubicado a una altura h de la barra.

Solucin;

En el dibujo se indica el campo, como existe simetra con respecto al eje Y, las componentes del campo en X se cancelan.

Ecuaciones: = q/L pero dq = dl= dX , Ey= K dX Cos /r2 [ j ] Para esta integral la podemos plantear de dos maneras:I Caso: Dejarla en funcin de la longitud y hacemos los siguientes cambios : r2=(h2+x2); Cos =h/(h2+x2)1/2 : Ey= K dX /(h2+x2) 3/2

II caso: Dejarla en funcin de los ngulos y este paso se recomienda cuando la distribucin es infinita. Los cambios de variables son los siguientes:Tan = X/h x= hTan dx = h Sec2 d y Cos = h/r r = hSec ( ) Si sustituimos en la expresin del campo que es Ey= K dX Cos /r2 [ j ] Ey= K Sec2 d Cos / h2 Sec2 [ j ] simplificamos y la integral queda:Ey= K Cos d/h = (k /h) (Sen 2 -Sen 1 ) y en caso que exista la componente en x del campo su expresin es: Ex= (k /h) (Cos 2 -Cos 1 ) , todo esto se reduce a la siguiente expresin:

P h Ejem: 15E = 2k / h , esta es la expresin del campo ubicado a una altura h sobre una barra infinita, que vendra a ser la componente del eje y debido a que las componentes del eje x se cancelan

Ejemplo N15.Se posee una barra lineal infinita tal como se muestra en la figura, en el punto p encontrar el campo elctrico producido por la barra.

Et EyEx P h dq Ejem: 15Solucin: Paso N1: Colocamos el sistema de referencia y los vectores del campo en el punto p

Paso N2: Empleando las ecuaciones para barras infinitas se tiene:

Ey =k /h) (Sen 2 -Sen 1 )

Ex= (k /h) (Cos 2 -Cos 1 ), de estas expresiones los ngulos son: 1 =0 y 2 =/2, evaluamos y nos queda:

Ey =k /h) (Sen 90-Sen 0 )= k /hEx= (k /h) (Cos 90 -Cos 0 )= -(k /h), el negativo es debido al sentido de la componente en el eje x.

F:1.21ZZyEjemplo N16:Se posee un anillo de radio a ubicado en el plano y-z (ver figura 1.21, tiene una densidad , uniforme, calcular el campo elctrico en el punto p, ubicado a una distancia X del eje central del anillo.

Solucin:Como la distribucin tiene simetra con los ejes y-z, implica que las componentes del campo correspondiente a los ejes y-z se anulan, el ngulo vara desde (0 hasta 2), iene dado por: E= k dq./ r2 Donde dq = dl (dl = a d ) sustituimos y nos queda:E= k ( a d .)/ r2 ,pero r viene dada r2 =(a2+x2) , por otro lado el campo en p tiene solamente componentes en el eje X, por existir simetra con los ejes Y y Z, entonces la componente del campo en X viene dada:

E Ez Ey p H ryxEx= k (a Sen d)/ (a2+x2)

Ejemplo N17:Se posee un disco de radio a, tiene una densidad superficial , uniforme, calcular el campo elctrico en el punto p, ubicado a una distancia h del eje central del anillo.

Como es una distribucin lineal superficial, vara el radio (0 hasta a) y el ngulo (0 hasta 2). El campo viene dado por: E= k dq./ r2 Donde dq = dA (dA = dr d ) sustituimos y nos queda: E= k ( dR d.)/ r2 Pero r viene dada r2 =(h2+R2) , por otro lado el campo en p tiene solamente componentes en el eje Z, por existir simetra con los ejes Y y x, entonces lacomponentes del campo viene dada :Ez= k (R dr (Sen d.))/ (h2+R2)

Nota: Si este problema se cambia por un anillo de radio interior a y radio exterior b, el planteamiento cambia con respecto a los radios, por el hecho que hay que integrar desde a hasta b.En todo lo dems queda igual.

1.7-. Dipolo Elctrico (P)

Un dipoloBarra cargada + conductor++++++++ _ + _ + _ +En los materiales conductores, la separacin de las cargas ocurre en distancias macrocpicas del orden del tamao fsico del conductor

F:1.23 q P-qmismo, esta separacin forma lo llamado Dipolo Elctrico macrocpico, cargas de igual magnitud, separadas una cierta distancia.Consiste en dos cargas puntuales de igual magnitud, pero de signo opuesto, separadas por una distancia d, el dipolo como tal es elctricamente neutro, esto conduce a decir lo siguiente que el campo elctrico tiende a cero en puntos que son muy alejados del dipolo (distancias mucho mayores a d), para aquellas distancias comparables con d el campo elctrico no es nulo .Entonces tenemos:P = d. | q | (Ec: 4)Donde:P=momento bipolar. d= vector posicin. Q= carga del dipolo. El momento bipolar va de la carga negativa a la positiva, tal como se indica en la figura 1.23.

Cuando un dipolo se coloca en una regin donde existe un campo elctrico uniforme (creado por otras cargas), la fuerza total sobre el dipolo es cero, pero el torque sobre el dipolo depende de la orientacin del momento bipolar con respecto a la direccin del campo elctrico existente. El torque se determina: = P x E (EC:5)

Siempre el dipolo, rotar para alinearse en la direccin del campo elctrico, una vez hecha tal alineacin el torque es cero.

Ejemplo N18. (Dipolo)

F:1.24Q1 Q2 b D LCalcule el campo elctrico de un dipolo en un punto b. Ver figura N1.24.

Solucin:

E1 E2Asumimos que las cargas se encuentran sobre el eje x, entonces el campo debido a la carga positiva va en sentido positivo del eje x y el campo debido a la carga negativa va en sentido negativo del eje x.

E =( K Q1)/r2 r (Ec. 6) Para cada campo se tiene:

E1 =( K Q1)/(D/2+L)2 -i , E2 =( K Q2)/(L-D/2)2 i

Otro aspecto, que debe determinar del dipolo elctrico es su energa (U), viene dada: U = - |P E| Cos dnde:

F:1.25 Q dq -QP= Magnitud del dipolo. E =magnitud del campo elctrico donde se encuentra el dipolo. = ngulo entre el vector P y E. Ejemplo N19. (Dipolo)

Se posee el siguiente dipolo, se expone a la accin de un campo elctrico, producido por una distribucin lineal positiva, encontrar hacia dnde tiende a moverse el dipolo.

FQF-Q F:1.26Solucin: Paso N1: Hacer el diagrama de fuerza, las componentes en el eje x se cancelan, pero las del eje y se suman, por lo tanto el dipolo tiende a moverse en el eje y en sentido positivo (J)

1.8-. Movimiento de cargas en un campo uniforme.

Cuando una partcula de carga q y masa m, se coloca en una regin donde existe un campo elctrico constante E, sobre la partcula existe una fuerza neta F, que viene dada:

F = Fe =qE, pero F =ma, entonces tenemos qE=ma, donde a = qE/m(Ec:8)

NOTA: Si el campo elctrico E es constante la aceleracin de la carga tambin lo es, por lo tanto de la ecuacin N8, se observa que si la carga es positiva la aceleracin apunta en la misma direccin del campo dnde se encuentra la carga, en caso de ser negativa su aceleracin apunta en sentido contrario al campo.

F.1.27 q q++++++++++----------Ejemplo N20 (Carga en movimiento)

Una carga positiva q se libera desde el reposo tal como se muestra en la figura F.1.27, determinar, la distancia recorrida, la velocidad final al terminar al transcurrir un tiempo t y energa cintica final.

Solucin:

La aceleracin viene dada: a = qE/ m (1) De las ecuaciones de cinemtica en una dimensin:Xf=Xi +vi t+1/2 at2 Pero si Vi = y Xi = 0, tenemos: Xf=1/2 at2 =1/2 qEt2/m

Vf =at =qEt/m Luego la energa cintica viene dada K =1/2 m Vf2

Si se lanza un electrn hacia arriba y que pase entre las placas , este va describir una trayectoria parablica, mientras se encuentre entre ellas, y eso ocurre debido a las fuerzas que actan sobre l (atraccin y repulsin), si se desea determinar la distancia en x , viene dada: x=Vix t(Ec.9) Y en y: y=1/2ay t(Ec:10)

F:1.28I II III IV -2Ejemplo N21:Se posee tres lminas, tal como se indica en la figura N1.28, encontrar en zona (s) el campo es:a-. Nulo.b-.Mximo.

Solucin:Procedemos a establecer las lneas de campo para cada distribucin.

F.1.29I II III IVE1 E2 E3 -2Se observa en la figura N1.29 que en las regiones I y IV el campo se anula (vectorialmente) y en la regin N3 es mximo (tienen la misma direccin y sentido).

1.9-. Campo Debido a placas Infinitas:El campo elctrico, debido a placas infinitas viene dado en magnitud:E = / 2

P REj-20Ejemplo N22:

Determine el campo elctrico en un punto p ubicado a una altura R de una lmina infinita con densidad superficial .Ver figura Ej-20.

Solucin:

P r R xyF:20-1Paso N1: Tomamos como bandas rectangulares, de manera tal de dividir el plano en varias bandas tal como se seala en la figura 20-1

Z Ez P r Ex RF: 20-2Paso N2: El diagrama vectorial para una banda sencilla con distribucin lineal viene dado: Ver figura 20-2. Recuerde que de acuerdo al sistema de referencia por simetra la componente Ey se cancelan quedando nicamente Ez.

Este campo viene dado dE= dz/( 2 r), pero dEz = Cos ( ) dy/( 2 r), esta integral se evala desde (- hasta ), realizamos un cambio trigonomtrico:

Tan = y/R dy =R Sec2 d =Rd / Cos2Pero Cos = R/r sustituimos: = 1 /2 Cos ( ) dy / ( r ) = = {Cos ( ) . R }/ Cos ( ) . R Cos2 ( ) . R = d, necesitamos conocer los nuevos lmites , los cuales van -/2 hasta /2, evaluando nos queda: E = / 2

Resumen :1. Las lneas de campo elctrico ayudan a visualizar la direccin y sentido del campo elctrico producido por una carga. Estas lneas son tangentes al campo elctrico ene se punto.2. El campo se relaciona con la fuerza elctrica por medio de : E= F/q. 3. La unidades del campo son Newton /Coulomb.4. El campo debido a cargas puntuales viene dado: E =( K Q1)/r2 5. El campo debido a una distribucin es: E =( K Q1)/r2 )6. El dipolo viene dado: P= N. Q7. El campo es debido a placas infinitas: E = / 28. El dipolo viene dado P = 2ag 9- La energa potencial elctrica viene dada: U =- P . E Cos 10-. El torque =Px E

2-. Ley de Gauss

Antes de este tema, se pudo determinar el campo elctrico producido por cualquier tipo de distribucin de cargas en reposo, pero en algunos casos resulta un poco complicado debido a las integrales cuando se posee una distribucin contina de carga, en este sentido se presenta la Ley de Gauss para ese tipo de configuraciones de carga que poseen una gran simetra, tales como cascarones esfrico, cilindros y lminas infinitas de carga. Realmente la Ley de Gauss es una consecuencia por decir as de la Ley de Coulomb, pero Gauss relaciona el flujo debido al campo elctrico existente a travs de cualquier superficie cerrada llamada superficie, se podra a segurar que esta Ley es ms fundamental que la Ley Coulomb, debido a que aporta una visin ms especifica de ciertas propiedades de los campos elctricos y de que manera se distribuyen las cargas en los materiales.= flujo elctrico.E= campo elctricodS = rea de la superficie gaussiana.qint = carga neta encerrada por la superficie gaussiana.o = permitividad del vaco

Nota: Esta ley slo puede aplicarse a problemas con gran simetra.Si la carga neta encerrada es cero, entonces el campo elctrico es cero

Vamos a ver cada una de las aplicaciones de la Ley de Gauss.

2.1-. El Flujo Elctrico

El flujo elctrico, representa el nmero de lneas del campo elctrico que atraviesa cierta superficie. Si la superficie considerada encierra una carga, el nmero de lneas que atraviesa dicha superficie ser proporcional a la carga neta. Las unidades del flujo son N. m2IC

= E.dsCos= Q/o

Nota: Para una superficie cerrada el flujo ser negativo si la lnea de campo entra y positivo si sale. En general, el flujo neto para una superficie cerrada ser cero.

S1 S2 Q1 Q2 S3 Q3 F:1.30Ejemplo N23 (Carga discretas)Para las siguientes cargas, encerradas por las superficies, determinar el flujo elctrico en cada caso:

Solucin:

Paso N1: para distribuciones discretas se emplea la ecuacin. Para la superficie S1 S1=(Q1)/o ,para S2 S2=(Q2+Q3)/o y el flujo de S3 es cero. (No hay carga encerrada)

E dS1 dS3 E dS2 F:1.31Ejemplo 24.(Flujo elctrico) Supongamos un cilindro de radio R (F:1.30), colocado en el seno de un campo elctrico uniforme (E ) con su eje paralelo al campo. Calcula el flujo de campo elctrico a travs de la superficie cerrada.

Solucin:

Paso N1:El flujo total es la suma de tres trminos, dos que corresponden a las bases (b1 y b2) ms el que corresponde a la superficie cilndrica. En sta ltima el flujo es cero, por el hecho que los vectores superficie (dS3) y campo ( E ) son perpendiculares. As Paso N2: por lo tanto el flujo total es: = EdsCosK+ EdsCos0

R Q F:1.32Ejemplo 25.-(Flujo debido a una carga encerrada por una superficie esfrica) Una carga puntual Q est situada en el centro de una superficie esfrica de radio R. Calcular el flujo neto de campo elctrico a travs de dicha superficie.

Solucin:

El flujo viene dado por: = E.dsCos rPor lo tanto debemos encontrar el campo elctrico producido por la carga que es: E = KQ/r2 , pero el radio r=R, porque a esa distancia es que se desea encontrar el campo elctrico.

Ahora sustituimos e integramos:= KQ/R2.dsCos, donde ds = 8r dr, para una esfera de radio R, nos queda: = KQ/R2.4R2 = 4KQ, observe que es independiente del radio.

S2 S1 Q F:1.33Ejemplo 26(Flujo elctrico) Se poseen varias superficies centradas en una esfrica que contiene una carga Q.

Solucin:

El flujo a travs de la superficie esfrica es

Como el nmero de lneas que atraviesan las dos superficies es el mismo, se cumple que los flujos son iguales, por lo tanto el

flujo es independiente de la superficie empleada.

NOTA: Es importante sealar lo siguiente, el campo elctrico debido a una lmina infinita viene dado por:

F.1.34 ExE = /2(Ec: 7)

Ejemplo N27 (Flujo)Determinar los flujos parciales del siguiente slido (cubo) de lado a

Solucin:

F:1.35 ds1 ds2ds3 Ey ds4 ds5 ds6El slido posee seis (6) superficies, por lo tanto se determinan 6 flujos parciales, cada uno viene dado por la siguiente ecuacin:Ver F.1.35

= E.dsCos, entonces tenemos:

Que para las superficies 1,2,4 y 6 el ngulo formado entre el vector ds y el vector del campo ( E ) es de 90, por lo tanto los flujos parciales son cero.

F.1.36 La)b)c)qq R q -2qEn el caso de la superficie 3 el ngulo es de 180 y para la superficie 5 es de 0, en tal sentido los flujos parciales son:

3= E.dsCos = -EL2 5= E.dsCos = EL2

Es posible que existan ejercicios donde nos den cargas puntuales o distribuciones continuas de cargas, y manden a determinar el flujo total, para este caso se emplea la segunda parte de la ecuacin N11, que es la siguiente:

= Q/o donde Q representa la carga encerrada por la superficie cerrada.

Ejemplo N28 (Flujo)Determinar el flujo en cada caso Solucin:

a-.Por Ley de Gauss el flujo viene dado:= Q/o = q/o

b-. De igual forma para la parte que en la parte a , = Q/o = q/o

c-. El flujo viene dado = (q-2q)/o = - q/o

Por tal motivo no se necesita llevar a cabo la integracin directa del campo elctrico sobre cada superficie.

2.2-. Configuracin interna de los slidos para los ejercicios de Gauss.Generalmente se trabaja con esferas o cilindros, y pueden tener las siguientes configuraciones internas:

a-.Conductores o metlicos, recordando que en su interior son elctricamente neutros y se puede presentar el caso que posean un exceso de carga positiva o negativa segn el caso.

b-. Aislador o no conductor, poseen un slo tipo de carga en su interior , distribuida en forma de volumen, la cual se determina por medio de la densidad volumtrica =Q/V .

2.3-. Induccin Elctrica.En ciertos problemas de Gauss, cuando estamos en presencia de una carga puntual en el interior de uno o ms solidos o tenemos varios solidos , se puede originar la induccin Elctrica, a continuacin se presentas las posibles condiciones para generar la induccin elctrica en un problema de Gauss.

1. Se posee una carga de prueba en el interior de slido conductor.2. Cuando se tiene una slido conductor en el interior de otro slido conductor.3. Se tiene un slido No conductor en el interior de otro slido conductor.

F.1.39 QR1Ejemplo N29 .(Ley de Gauss-Slido conductor)Se posee una esfera de radio R1 (ver figura N1.39), conductora con una carga Q en su superficie, determinar el campo elctrico aplicando el Teorema de Gauss para un radio gaussiano:a-. RR1.

Solucin:

F.1.40 QR R1a-. En la figura F.1.40, se usa un radio gaussiano menor a R1, la carga encerrada es cero por lo tanto el campo es cero. E1 = 0 [N/C]

b-. Si R>R1, la carga encerrada es Q, por lo tanto el campo viene dado: E = q/(4R2 ) [N/C]

Nota: Es importante aclarar lo siguiente antes de continuar, una cosa es la condicin Gaussiana, es decir si r>a o r