Guía Resumen Prueba 1 Desarrollada 2015

GUIA RESUMEN PRUEBA 1 MAT440 -‐ MAT430

DESARROLLO GUIA

Ejercicio 1

Una pastelería produce chocolate blanco y chocolate amargo. El costo de material y mano de obra por producir un kilo de chocolate blanco es de 6 dólares y el de amargo es de 5 dólares. Suponga que la empresa tiene costos fijos semanales de 1.200 dólares.

a)  Encuentre el costo semanal como función de la cantidad de kilos de chocolates de cada tipo producido a la semana.

Costo de un kilo de chocolate blanco = US$ 6 Costo de un kilo de chocolate amargo = US$ 5 Costos Fijos semanales = US$ 1.200

Cantidad de kilos semanales de chocolate blanco = x Cantidad de kilos semanales de chocolate amargo = y

200.156),( ++= yxyxCCosto semanal:

DESARROLLO

Ejercicio 1


b) Determine el costo semanal de producir 100 kilos de chocolates blanco y 230 kilos de chocolate amargo.

DESARROLLO

950.2200.123051006)230,100( =+⋅+⋅=C

El costo semanal de producir 100 kilos de chocolate blanco y 230 kilos de chocolate amargo es de US$ 2.950.

Ejercicio 1


El ingreso semanal: yxyxI 810),( +=

Luego la utilidad semanal es ),(),(),( yxCyxIyxU −=

( )200.156810),( ++−+= yxyxyxU

200.134),( −+= yxyxU

c) Obtenga la función utilidad semanal como función del número de kilos de cada tipo producida y vendida a la semana. Si vende el kilo de chocolate blanco a 10 dólares y el amargo a 8 dólares.

DESARROLLO

Ejercicio 2

Se modela la superficie de un balón de Rugby. La función de la altura respecto

del plano central viene dado por la función , con todas las

medidas en centímetros. Dibuje las curvas de nivel (indicando puntos de corte)

para la altura de 0, 2, 4 y 6 cm.

DESARROLLO

224,090),( xyyxf −−=

0=z

04,090 22 =−− xy

04,090 22 =−− xy

904,0 22 =+ xy

1904,090

22=+

xy

190225

22=+

xy

15,915 2

2

2

2=+

xy

2=z

24,090 22 =−− xy

44,090 22 =−− xy

864,0 22 =+ xy

1864,086

22=+

xy

186215

22=+

xy

13,97,14 2

2

2

2=+

xy

4=z

44,090 22 =−− xy

164,090 22 =−− xy

744,0 22 =+ xy

1744,074

22=+

xy

174185

22=+

xy

16,86,13 2

2

2

2=+

xy

6=z

64,090 22 =−− xy

364,090 22 =−− xy

544,0 22 =+ xy

1544,054

22=+

xy

154135

22=+

xy

13,76,11 2

2

2

2=+

xy

Ejercicio 2

Se modela la superficie de un balón de Rugby. La función de la altura respecto

del plano central viene dado por la función , con todas las

medidas en centímetros. Dibuje las curvas de nivel (indicando puntos de corte)

para la altura de 0, 2, 4 y 6 cm.

DESARROLLO

224,090),( xyyxf −−=

x

y 15 14,7 13,6 11,6

9,5 9,3 8,6 7,3

z = 0 z = 2 z = 4 z = 6

Ejercicio 4

Una compañía elabora dos tipos de televisores, uno LED y otro del tipo Smart TV. La función de costos conjuntos mensuales esta dada por donde x es el número de televisores LED e y el número de televisores Smart TV a producir.

DESARROLLO

a)  Determine el costo de producir 150 televisores LED y 100 televisores Smart TV al mes

000.20010015041005,01501,0)100,150( 22 +⋅⋅+⋅+⋅=C

150=x 100=y

250.267)100,150( =C

Sean e

El costo de producir de 150 televisores LED y 100 del televisores Smart TV al mes es de $267.250

Ejercicio 4

Una compañía elabora dos tipos de televisores, uno LED y otro del tipo Smart TV. La función de costos conjuntos mensuales esta dada por donde x es el número de televisores LED e y el número de televisores Smart TV a producir.

DESARROLLO

b) Encuentre los costos marginales cuando se producen 100 televisores LED y 100 televisores Smart TV al mes

Derivando con respecto a x e y

yxxyxC 42,0),(

+=∂

∂ xyyyxC 4),(

+=∂

∂

42010041002,0)100,100(=⋅+⋅=

∂

∂

xC

El costo varía en $420 al variar x (TV Led) en una unidad, de 100 a 101, y fijo y en 100.

5001004100)100,100(=⋅+=

∂

∂

yC

El costo varía en $500 al variar y (Smart TV) en una unidad, de 100 a 101, y fijo x en 100.

Ejercicio 6

Demuestre que la función es armónica, es decir cumple con

DESARROLLO

02

2

2

2=

∂

∂+

∂

∂

yf

xf

( ) 1222−

+=∂

∂ yxxxf ( ) 1222

−+=

∂

∂ yxyyf

∂2 f∂x2

= 2x( ), x2 + y2( )−1"

#$

%&'+ 2x( ) x2 + y2( )

−1"#$

%&',= 2 x2 + y2( )

−1+ 2x( )(−1) x2 + y2( )

−2⋅2x

( )222

2

222

2 42

yx

xyxx

f

+−

+=

∂

∂

∂2 f∂y2

= 2y( ), x2 + y2( )−1#

$%

&'(+ 2y( ) x2 + y2( )

−1#$%

&'(,= 2 x2 + y2( )

−1+ 2y( )(−1) x2 + y2( )

−2⋅2y

( )222

2

222

2 42

yx

yyxy

f

+−

+=

∂

∂

Derivando con respecto a x e y, tenemos

Derivando nuevamente con respecto a x e y, tenemos

Ejercicio 6

Demuestre que la función es armónica, es decir cumple con

DESARROLLO

02

2

2

2=

∂

∂+

∂

∂

yf

xf

∂2 f∂x2

+∂2 f∂y2

=4

x2 + y2+−4 x2 + y2( )x2 + y2( )

2

∂2 f∂x2

+∂2 f∂y2

= 0

Sumando ambas derivadas de segundo orden

∂2 f∂x2

+∂2 f∂y2

=2

x2 + y2−

4x2

x2 + y2( )2 +

2x2 + y2

−4y2

x2 + y2( )2 Juntamos terminos

Factorizando ∂2 f∂x2

+∂2 f∂y2

=4

x2 + y2+−4x2 − 4y2

x2 + y2( )2

Simplificando

∂2 f∂x2

+∂2 f∂y2

=4

x2 + y2+

−4x2 + y2

La función es armónica

Ejercicio 8

Se estima que la producción semanal de un articulo, en cierta planta esta dada por la función donde x es el número de trabajadores calificados e y el número de trabajadores no calificados empelados en la planta. En la actualidad, hay 30 trabajadores calificados y 60 no calificados. Aplicar el análisis marginal para calcular el cambio resultante en la producción semanal al agregar un trabajador calificado, si no cambia el número de trabajadores no calificados.

DESARROLLO

Q(x, y) =1200x + 500y+ x2y− x3 − y2

Número de Trabajadores calificados: x = 30 Número de Trabajadores no calificados: y = 60 Se pide la variación respecto a los trabajadores calificados: variable x

∂Q(x, y)∂x

=1.200+ 2xy−3x2

Al agregar un trabajador calificado (de 30 a 31), y mantener los no calificados en 60, la producción aumenta en 2.037 articulos.

∂Q(31, 60)∂x

=1.200+ 2 ⋅31⋅60−3⋅312 = 2037

Ejercicio 10

Un liquido desinfectante contiene x miligramos de un compuesto A, e y miligramos de un compuesto B, produce una respuesta de unidades. ¿Qué cantidad de miligramos de cada componente ocasiona una respuesta máxima?.

DESARROLLO

Derivamos R(x,y)

∂R(x, y)∂x

= y ⋅ 3− x − 2y( )+ xy ⋅ −1( ) = y ⋅ 3− x − 2y( )− xy

a) Determine el punto critico para la situación.

∂R(x, y)∂y

= x ⋅ 3− x − 2y( )+ xy ⋅ −2( ) = x ⋅ 3− x − 2y( )− 2xy

Igualamos a cero

y ⋅ 3− x − 2y( )− xy = 0y ⋅ 3− x − 2y( ) = xy / simplificando y3− x − 2y = x ⇒ 2x + 2y = 3

x ⋅ 3− x − 2y( )− 2xy = 0x ⋅ 3− x − 2y( ) = 2xy / simplificando x3− x − 2y = 2y ⇒ x + 4y = 3

Ejercicio 10


DESARROLLO

a) Determine el punto critico para la situación.

Igualamos a cero, se tienen dos ecuaciones con dos incógnitas 2x + 2y = 3x + 4y = 3

Resolviendo el sistema 2x + 2y = 3x + 4y = 3

⇒2x + 2y = 3x + 4y = 3

/ ⋅− 2

2x + 2y = 3−2x −8y = −6

⇒−6y = −3 / :−6⇒ y = 12

Luego x=1

El punto Critico es (1,1/2)

Ejercicio 10


DESARROLLO

b) Verifique que el punto critico es un máximo .

El punto Critico es (1,1/2)

Volvemos a derivar y reemplazamos en el punto critico

⇒ DRxx 1, 12( ) = −2 ⋅ 12 = −1< 0DRyy = x ⋅ −2( )− 2x = −4xDRxy =1⋅ 3− x − 2y( )+ x ⋅ −1( )− 2y = 3− 2x − 4y

DRxx = y ⋅ −1( )− y = −2y

⇒ DRyy 1, 12( ) = −4 ⋅1= −4 < 0⇒ DRxy 1, 12( ) = 3− 2 ⋅1− 4 ⋅ 12 = −1

D 1, 12( ) = DRxx 1, 12( ) ⋅DRyy 1, 12( )− DRxy 1, 12( )( )2

D 1, 12( ) = −1( ) ⋅ −4( )− −1( )2 = 3> 0

Utilizamos el criterio de la Segunda Derivada

Se tiene que (1,1/2) es un máximo, ya que DRxx 1, 12( ) < 0 y D 1, 12( ) > 0

Ejercicio 12

Un fabricante tiene 80000 dólares para invertir en desarrollo y publicidad de un nuevo producto. Se estima que si se invierte x miles de dólares en desarrollo e y miles de dólares en publicidad, se venderán aproximadamente unidades. ¿Cuánto dinero deberán asignar el fabricante a desarrollo y cuanto a publicidad para maximizar las ventas?

DESARROLLO

DVx = 20 ⋅ 32( ) x12y

Utilizamos el Metodo de Multiplicaremos de Lagrange, con x+y=80

DVy = 20 ⋅1⋅ x32

Dgx =1⋅λDgy =1⋅λ

x + y = 80

Formamos el sistema

30 ⋅ x12y = λ

20 ⋅ x32 = λ

x + y = 80

⇒ 30 ⋅ x12y = 20 ⋅ x

32

⇒3020

⋅ y = x32

x12

⇒32y = x

Ejercicio 12

Un fabricante tiene 80000 dólares para invertir en desarrollo y publicidad de un nuevo producto. Se estima que si se invierte x miles de dólares en desarrollo e y miles de dólares en publicidad, se venderán aproximadamente unidades. ¿Cuánto dinero deberán asignar el fabricante a desarrollo y cuanto a publicidad para maximizar las ventas?

DESARROLLO

Reemplazando x en x+y=80

x + y = 8032y+ y = 80⇒ y = 32

x + y = 80 si y = 32⇒ x = 48

Luego

El fabricante de asignar 48.000 dólares en desarrollo y 32.000 dólares en publicidad

SIGUE PRACTICANDO

Ejercicio 3

La temperatura en grados Celsius en cualquier punto (x, y) de una placa circular de

22 metros de radio es , donde x e y se miden en metros.

Dibuje las curvas de nivel (curvas isotermas) para 0, 20, 40 y 60.

DESARROLLO

22 5,05,0200),( yxyxT −−=

0=z05,05,0200 22 =−− yx

2005,05,0 22 =+ yx40022 =+ yx

222 20=+ yx

20=z

205,05,0200 22 =−− yx1805,05,0 22 =+ yx

36022 =+ yx222 19=+ yx

40=z405,05,0200 22 =−− yx

1605,05,0 22 =+ yx32022 =+ yx222 9,17=+ yx

60=z605,05,0200 22 =−− yx

1405,05,0 22 =+ yx28022 =+ yx

222 7,16=+ yx

x

y

r = 20 r = 19 r = 17,9 r = 16,7

z = 0 z = 2 z = 4 z = 6

∂z∂x

=∂z∂u⋅∂u∂x

),( vufvuz +⋅=

⇒∂z∂x

=12u−1 2 ⋅ v1 2 + ∂f

∂u%

&'

(

)*⋅2x =

12x−1 ⋅ y+1

%

&'

(

)*⋅2x = y+ 2x

yv

vz

yz

∂

∂⋅

∂

∂=

∂

∂⇒

∂z∂y

=12u1 2 ⋅ v−1 2 + ∂f

∂v%

&'

(

)*⋅2y =

12x ⋅ y−1 +1

%

&'

(

)*⋅2y = x + 2y

y ∂z∂x− x ∂z

∂y= y y+ 2x( )− x x + 2y( ) = y2 + 2xy− x2 − 2xy = y2 − x2

y ∂z∂x− x ∂z

∂y= y2 − x2

Queda demostrado

Ejercicio 5

Si , donde . Demuestre que

DESARROLLO

Si , entonces

Derivamos z

Luego

Así

Ejercicio 7

Una empresa produce dos tipos de productos x e y. El costo de material y mano de

obra, en dólares, por producir una unidad de x y una unidad de y esta dada por

DESARROLLO

La utilidad mensual esta dada por

Luego, el ingreso esta dado por , y el costo

Así

a)  Si la compañía vende el producto x a 4 dólares y el y a 6 dólares. Obtenga la

función utilidad mensual como función del número de unidades producidas

U(x, y) = I(x, y)−C(x, y)

yxyxI 64),( += C(x, y) = 3x + 4y+1.000

U(x, y) = I(x, y)−C(x, y)

U(x, y) = 4x + 6y− 3x + 4y+1.000( ) = 4x + 6y−3x − 4y−1.000 = x + 2y−1000U(x, y) = x + 2y−1000

Ejercicio 7

Una empresa produce dos tipos de productos x e y. El costo de material y mano de

obra, en dólares, por producir una unidad de x y una unidad de y esta dada por

DESARROLLO

Derivando la utilidad

b)Determine la utilidad marginal de producir 20 productos del tipo x y 15 del tipo y.

∂U(x, y)∂x

=1∂U(x, y)∂y

= 2

∂U(20,15)∂x

=1∂U(20,15)

∂y= 2

Al variar x, manteniéndose constante y, la utilidad aumenta en US$1. Al variar y, manteniéndose constante x, la utilidad aumenta en US$2.

Reemplazando las derivadas obtenidas en x=20 e y=15

Ejercicio 9

En un supermercado se venden dos productos que compiten entre si a precios de x e y pesos respectivamente. Si el ingreso debido a la venta de esos productos viene dado por Calcule los precios para que el ingreso sea máximo

DESARROLLO

Derivando I(x,y)

Igualamos las derivadas a 0, tenemos el sistema

∂I(x, y)∂x

= −14x + 2y+10 ∂I(x, y)∂y

= −8y+ 2x +14

−14x + 2y = −102x −8y = −14

Utilizamos el criterio de la Segunda Derivada ∂2I(x, y)∂x2

= −14⇒ ∂2I(1, 2)∂x2

= −14 < 0

∂2I(x, y)∂y2

= −8⇒ ∂2I(1, 2)∂y2

= −8 < 0

∂2I(x, y)∂x∂y

= 2⇒ ∂2I(1, 2)∂x∂y

= 2

⇒x =1y = 2

⇒ D 1,2( ) = DIxx 1,2( ) ⋅DIyy 1,2( )− DIxy 1,2( )( )2

D 1,2( ) = −14( ) ⋅ −8( )− 2( )2 =108 > 0

Para maximizar el ingreso los precios de los artículos deben ser de $1 y $2 respectivamente.

Se tiene que (1,2) es un máximo, ya que

DIxx 1, 2( ) < 0 y D 1,2( ) > 0

Ejercicio 11

La temperatura en cualquier punto (x , y) de la curva es T grados Celsius, donde .

DESARROLLO

Derivamos

a)  Encuentre los puntos en la curva donde la temperatura es máxima y donde es mínima.

Utilizamos el Metodo de Multiplicaremos de Lagrange, con

T (x, y) = 4x2 + 24y2 − 2x

∂T (x, y)∂x

= 8x − 2

∂T (x, y)∂y

= 48y

∂g(x, y)∂x

= 8xλ

∂g(x, y)∂y

= 24yλ

g(x, y) = 4x2 +12y2 −1= 0

Formamos el sistema 8x − 2 = λ(8x) (*)

48y = λ(24y) (**)4x2 +12y2 −1= 0 (***)

Despejando λ en (**) se tiene λ = 2

Reemplazamos en (*), (Siempre que y ≠ 0)

8x − 2 = 2(8x) ⇒ 8x − 2 =16x ⇒ x = −0,25

Ejercicio 11


DESARROLLO

a)  Encuentre los puntos en la curva donde la temperatura es máxima y donde es mínima.

Reemplazando en g(x, y) 4(−0,25)2 +12y2 −1= 0 ⇒ y = ±0,25

Luego los puntos son y (−0, 25; − 0, 25) (−0, 25; 0, 25)

Calculando la Temperatura en esos puntos

T (−0,25;−0,25) = 4 −0,25( )2 + 24 −0,25( )2 − 2 −0,25( ) = 2,25

T (−0, 25; 0, 25) = 4 −0, 25( )2 + 24 0, 25( )2 − 2 −0, 25( ) = 2, 25

Como la Temperatura en esos puntos es la misma, tomaremmos otro punto del dominio y verificaremos cual es el punto maximo y el punto minimo. Tomemos (0, 5;0)

T (0, 5;0) = 4 0,5( )2 + 24 0( )2 − 2 0,5( ) = 0

Luego, se tiene que en los puntos y la temperatura es maxima y en la temperatura minima

(−0, 25; − 0, 25)(−0, 25; 0, 25) (0, 5;0)

Ejercicio 11


DESARROLLO

Reemplazando en T(x, y), los puntos encotrados en a)

T (−0,25;−0,25) = 4 −0,25( )2 + 24 −0,25( )2 − 2 −0,25( ) = 2,25

T (−0, 25; 0, 25) = 4 −0, 25( )2 + 24 0, 25( )2 − 2 −0, 25( ) = 2, 25

La temperatura en (-1/4,1/4) y (-1/4,-1/4) es de 2,25ºC y en (1/2,0) es de 0ºC.

T (0, 5;0) = 4 0,5( )2 + 24 0( )2 − 2 0,5( ) = 0

b) Encuentre la temperatura en esos puntos .

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