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1 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 5

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MATEMÁTICA

SEMANA 5

INECUACIONES Y DESIGUALDADES

PARTE II



ÍNDICE

OBJETIVOS ESPECÍFICOS ...................................................................................................................... 4

INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................... 4

INECUACIONES FRACCIONARIAS ......................................................................................................... 5

INECUACIONES RACIONALES ................................................................................................................... 11

COMENTARIO FINAL .......................................................................................................................... 15

REFERENCIAS ..................................................................................................................................... 16


INECUACIONES Y DESIGUALDADES

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Aplicar el procedimiento que permite resolver inecuaciones fraccionarias.

INTRODUCCIÓN

Existen inecuaciones que se escriben a través de fracciones tal como se muestra en los siguientes

ejemplos:

a)

0

5

13

x

xx

b) 13

1

x

x

c) 124

22

x

x

x

Este tipo de inecuaciones corresponde a las que se estudiarán durante el desarrollo de esta

semana, donde se trabajarán los diferentes procedimientos, que permiten resolver tales

inecuaciones.


INECUACIONES FRACCIONARIAS

Una inecuación fraccionaria se define de la forma

0

dcx

bax, el símbolo puede ser o, .

Para resolver este tipo de inecuaciones se debe efectuar el siguiente proceso:

1) Se realiza la restricción, la cual nace de exigir que el denominador sea diferente a cero.

2) Se calculan los puntos críticos, estos se obtienen de la exigencia de que cada factor sea cero.

3) Se construye la tabla de signos (estudiada en la semana anterior), vista en este módulo en

cada ejemplo.

4) Se extrae la solución de la tabla.

Ejemplos desarrollados:

1) Resolver

05

12

x

x:

Solución:

Restricción: 5

05

x

x

Se exigió denominador diferente a cero, con esto se obtuvo que el 5 no puede ser parte de la

solución.

Se exige que cada paréntesis, sea cero, con esto se obtienen los puntos críticos:


Tabla de valores:

Para obtener los signos de la tabla se debe reemplazar un número de cada intervalo en las

expresiones 12 x y 5x . Por ejemplo:

En el intervalo

2

1, se puede considerar cualquier número menor a

2

1, en este caso se

elige el 1 y se observa que:

112112 Resultado negativo


En el intervalo

5,

2

1se puede considerar el 0, luego se observa:

1102 Resultado positivo


En el intervalo ,5 se puede considerar el 6, luego se obtiene:




Solución parcial:

5,

2

1ps

Solución final:

5,

2

1fs

Estos intervalos se obtienen pensando en que la inecuación es:

Es decir hay que considerar aquellos valores reales que hacen que la expresión 5

12

x

x, sea

negativa, luego de la tabla interesa el resultado negativo, esto es:

Se observa que el signo menor remarcado corresponde al intervalo

5,

2

1, considerando

cerrado el intervalo, porque el símbolo de la inecuación incluye al , pero en la restricción se

tenía que el 5 no podía ser solución, es por esto que se debe abrir el 5 y el resultado final es

5,

2

1.


2) Resolver 01

2

x

x:

Solución:

Restricción:1

01

x

x

Puntos críticos:

Tabla de valores:

Se observa que este proceso se generaliza cuando existe una cantidad mayor de factores tal como

se muestra a continuación:

3)

3 1 50

1 2 6

x x

x x x

Restricción:


Puntos críticos:

Tabla de valores:

Entonces:

1

6 5 1 23

, , ,ps

1

6 5 1 23

, , ,ps


1) Resolver:

a)

05

17

x

x

b)

019

512

xx

xx

c)

0

2

61

x

xx

Ejercicio propuesto

A continuación, se sugiere revisar los videos n° 1 y n° 2 de la semana que aparece en el apartado

de “Videos de la semana”. Posteriormente desarrolle los siguientes ejercicios:


INECUACIONES RACIONALES

En estas inecuaciones se observa que en la parte de la derecha de la inecuación no aparece el

cero, sino que otra expresión, por ejemplo:

a) 13

1

x

x

b) 2112

x

x

x

x

Para resolver este tipo de inecuaciones se debe sumar algebraicamente las fracciones y luego se

sigue con el proceso de las inecuaciones de la forma 0

dcx

baxtal como se muestra en los

siguientes ejemplos:

1) Resolver 13

1

x

x:

Solución:

Primero se debe dejar el cero a la derecha: 013

1

x

x

Se saca mínimo común múltiplo:

Restricción: 3

03

x

x

Puntos críticos: 3

03

x

x


Tabla de valores:

Se observa que -2 es negativo siempre.

Entonces: fp ss ,3

2) Resolver 1

9

2

3 2

xx

x

:

Solución:

Restricción:


Puntos críticos:

Tabla de valores:

Entonces:


1) Resolver:

a) 12

5

x

x

b) 24

3

2

22

xx

x

Ejercicios propuestos

A continuación, se sugiere revisar el video n° 3 que aparece en el apartado de “Videos de la

semana”. Posteriormente desarrolle los siguientes ejercicios:


COMENTARIO FINAL

Una inecuación fraccionaria o racional es finalmente una inecuación que involucra fracciones

algebraicas y que contiene una variable incógnita. Si es una fracción que está acompañada por un

símbolo de desigualdad y el número cero es el que aparece en el lado derecho de dicha

inecuación, entonces esta inecuación se resuelve a través del siguiente proceso, primero se

determinan las restricciones, luego los puntos críticos, se construye la tabla de valores y

finalmente se rescatan los intervalos solución de la inecuación. Mientras que si la inecuación

involucra sumas algebraicas, entonces se debe resolver primero la suma algebraica y luego se

repite el proceso anterior.


REFERENCIAS

Purcell, E. y Varberg, D. (1993). Cálculo con geometría analítica. Prentice-Hall Hispanoamericana.

Stewart, J. (1999). Cálculo, trascendentes tempranas. México: Thomson.

Zill, D. y Dewar, J. (1999). Álgebra y trigonometría. Colombia: McGraw- Hill.

PARA REFERENCIAR ESTE DOCUMENTO, CONSIDERE:

IACC (2015). Inecuaciones y desigualdades. Matemática. Semana 5.


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