UNIVERSIDAD DE LA SERENA

UNIVERSIDAD DE LA SERENA

FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO MATEMTICA

GUIA DE EJERCICIOS Y CONTENIDOS

LGEBRA LINEAL

1er SEMESTRE 2011MATRICES

Definicin 1:

Una matriz sobre un cuerpo IK, es una ordenacin rectangular de la forma:

= A, donde Aij son escalares de IK.

Notacin 2: A= ( Aij) 1 ( i ( m, 1 ( j ( n

Observaciones 3:

Los elementos Ai1, Ai2, ..., Ain son los elementos de la i-sima fila de A.

Los elementos A1j, A2j, ..., Amj son los elementos de la j-sima columna de A.

El conjunto al cual pertenecen las matrices se denota por Mm,n ( IK), en particular

si IK= IR anotamos Mm,n. ( IR )

Definicin 4:

Sea A ( Mm,n (IK) se dice que A es una matrz cuadrada si m = n.

Ej.: A= entonces A ( M2,2 ( IR )

Definicin 5:

Sean A = ( Aij), B= (Bij) en Mm,n ( IK) se dice que A = B, si y slo si Aij= Bij ( i, j.

Definicin 6:

Sea A = ( Aij) ( Mm,n ( IK ), A se llama matriz nula o matriz cero, si y slo si Aij = 0IK, ( i, j.

Operatoria de matrices:

Definicin 7:

Sean A, B( Mm,n ( IK), C ( Mn,p(IK) se define:

i) Suma de A con B como:

A + B = ( Aij) + ( Bij) = (Aij + Bij) (Mm,n( IK).

ii) Producto de un escalar ( por A ( ponderacin)

(A= ( ( Aij) = (( Aij ) ( Mm,n ( IK)

iii) Producto de A con C como:

A C= ( Aij) ( Cij) = ( Dij) ( Mm,p ( IK ), donde Dij= Aik Ckj.

Propiedades 8 :

Sean A, B, C( Mm,n (IK) y (, ( ( IK.

En la suma, se cumple: En el producto se cumple:

i) (A + B)+C= A+(B+C) i) (A B) C=A (B C),( A ( Mm,n(IK)

ii) A + 0m = A B( Mn,p(IK) y C ( Mp,q (IK)

iii) A +-A= 0M ii) A ( B+C) = A B + A C, (A( Mm,n(IK),

iv) A + B= B+ A ( B, C ( M n, p(IK)

v) ( ( A + B) = (A + (B iii) ((A)B= A ((B) = ( (A B), (A( Mm,n y

vi) (( + ( )A= (A + (A B ( Mn,p con ( ( IK.

vii) 1k A = A ; 0k A = 0MDefinicin 8:

Sea A( Mn ( IK ) se define A1 = A y Am+1 = Am A , m ( IN

Proposicin 10: Sea A( Mn( IK), entonces Am+ r = Am Ar , ( m, r (IN.

Definicin 11:

Sea A( Mn(IK) , A es la matriz identidad de Mn( IK ) si :

A= ( Aij) donde Aij = (ij=, a (ij se le llama delta de Krnecker.

Propiedad 12: A In = In A = A con A( Mn( K) e In identidad de Mn( IK)

Definicin 13:

Se dice que una matriz A( Mn( IK) es invertible si existe una matriz denotada por

A-1 ( Mn(IK) tal que A A-1 = A-1 A = InObservacin 14: existen matrices cuadradas no invertibles.

Definicin 15: ( algunas matrices especiales)

i)Traspuesta: Sea A = (Aij) ( Mm,n(IK), se llama matriz traspuesta de A a la matriz denotada por At, donde At= (Aji) ( Mn,m(IK)

ii)Simtrica: Sea A( Mn(IK), A se llama simtrica si A = Atiii)Antisimtrica: sea A = ( Aij) ( Mn( IK), se llama antisimtrica si A = -At.

iv) Sea A = ( Aij) (Mn( IK ), se llama

a) Triangular superior ssi Aij = 0,( i > j

b) Estrictamente triangular superior ssi Aij = 0, ( i ( j

c) Triangular inferior ssi Aij = 0, ( i 1 .

Notacin 39: Si A es una matriz cuadrada n x n sobre un cuerpo K, con n ( 1, entonces el smbolo A(i | j) representa la matriz (n 1) x (n ( 1) que se obtiene de la matriz A, quitando la i-sima fila y la j-sima columna de A.

Definicin 40: Sea A = ( Mn (IK) , se define el determinante de A por :

a) det (A11) = A11 ,

b) det(A) = con n >1 Proposicin 41: Sea A = una matriz cuadrada n x n, sobre un cuerpo IK. Si

n ( 1 e i ( {1,2,....,n}, es cualquiera pero fijo, entonces:

det(A) = .

Propiedades de los Determinantes 42

En los siguientes enunciados, A = es una matriz n x n, sobre un cuerpo IK.

1.- Det(A) = Det (At).

2.-Si B es la matriz que se obtiene de la matriz cuadrada A ( Mn x n(IK), intercambiando dos filas ( o columnas ) de A, entonces det(B) = ( det(A).

3.-Si A tiene una fila ( o columna ) de ceros, entonces det(A) = 0.

4.-Si A tiene dos filas ( o columnas ) idnticas, entonces det(A) = 0.

5.-Si A es triangular, esto es, si las componentes de A son cero, encima o debajo de la diagonal principal, entonces det(A) = . Es decir, el determinante de A es el producto de los elementos de la diagonal principal. En particular det( In) = 1 , donde In es la matriz identidad n x n.

6.-Si B es la matriz que se obtiene de la matriz A, multiplicando una fila

( o columna ) por k ( IK ,k ( 0 , entonces det(B) = k(det(A).

7.-Sean B = , D = matrices que se obtienen de la matriz A = , difiriendo de ella slo en la t-sima fila, y verificndose que:

( j = 1,2,....,n. Entonces det(A) = det(B) + det(D).

8.-Sea B la matriz que se obtiene de la matriz A, reemplazando la t-sima fila de A, por la misma t-sima fila mas k veces la s-sima fila, con s ( t. Entonces det(B) = det(A).

9.-Sean A , B matrices cuadradas n x n, sobre un cuerpo IK. Entonces

det(AB) = det(A)(det(B).

Observacin 43: Observemos que, de las propiedades (2) , (6) y (8), se concluye que: Si A ( Mn x n(IK) y e es la operacin elemental de filas tal que:

a) Ft ( kFt , entonces: det(e(A)) = kdet(A) , k ( 0 .

b) Ft ( Ft + kFs , ( s ( t ) entonces: det(e(A)) = det(A).

c) Ft ( Fs , ( s ( t ) entonces: det(e(A)) = (det(A).

Definicin 44: Sea A = () una matriz cuadrada sobre un cuerpo IK. El escalar , se llama cofactor i,j de A, y la matriz n x n, (), se dice que es la matriz de los cofactores de A.

Definicin 45: Sea A = () matriz cuadrada n x n, sobre un cuerpo IK. La transpuesta de la matriz de los cofactores de A, se llama la matriz adjunta de A y se denota adj(A).

Teorema 46: Si A es una matriz cuadrada n x n, sobre un cuerpo IK, entonces A((adj(A)) = (adj(A))(A = det(A)(.

Corolario 47: Sea A una matriz cuadrada n x n, sobre un cuerpo IK. Entonces A es invertible si y slo si, det(A) ( 0. Adems si A es invertible, la inversa de A es

A-1 = adj(A).

Teorema 48: ( Regla de Cramer )

Sea A = ) matriz cuadrada n x n, sobre un cuerpo K, B = con

b1,...., bn ( K, y X = . Entonces el sistema AX = B tiene una nica solucin, si y slo si, det(A) ( 0. En este caso la solucin nica est dada por: , donde es la matriz que se obtiene de A reemplazando la j-sima columna de A por B = .

GUIA EJERCICIOS : MATRICES , SISTEMAS DE ECUACIONES Y DETERMINANTES.

1.-Consideremos las siguientes matrices sobre IR.

A = , B = , C = , D = , E = y

F =. Calcular si es posible: D + F, AB + C, BF + A, C2, A(BD),

(C + E)A, 3A + Bt, BtAt, (A B)t, Ct + BA, At D, DAt.

2.-Resolver la ecuacin matricial para X ( : 2X + A = (3AB)t ( 3I2 , donde At = y B =.

3.-Encontrar X ( que resuelva la ecuacin matricial 3X ( At = ((A + B)2)t, donde A = y B = .

4.-Sea X = ( 2 ( -1) ( . Encontrar ( ( IR, tal que X.

5.-Sea A = . Calcular f(A) donde f(x) = 2x3 4x + 5.

6.-Sea A = . Encontrar u = tal que Au = 3u.

7.- Obtener todas las matrices en que conmutan con:

a) b)

8.-Hallar todas las matrices 3 x 3 con coeficientes reales que conmutan con la matriz D = donde a , b, c son reales todos distintos.

9.-

Supongamos que la matriz cuadrada 2 x 2 con elementos reales, A, conmuta con toda matriz cuadrada 2 x 2 sobre IR. Demostrar que A = con k ( IR.

10.-Encontrar una matriz cuadrada 2 x 2, A sobre IR, tal que: A2 = .

11.-Encontrar las matrices X ( tales que: a) X2 = b) X2 = .

12.-Sean ( Mn x n(K) invertibles. Demostrar que el producto:

es una matriz invertible y = .

13.-Sea A una matriz cuadrada n x n sobre un cuerpo K. Demuestre que si A tiene una fila ( o columna ) nula, entonces A no es invertible.

14.-Sea A = . Calcular An ( n ( Z+.15.-Sea A matriz cuadrada n x n sobre un cuerpo K. Se define la traza de A como la suma de los elementos de la diagonal principal de A, es decir, si A = entonces traza de A = tr(A) = . Si A = y B = son matrices n x n sobre K, demuestre que:

a) tr(A + B) = tr(A) + tr(B) b) tr(AB) = tr(BA)

16.-Demostrar que no existen matrices A , B ( tales que AB = I2 + BA .

17.-En cada uno de los siguientes casos, encontrar una matriz escalonada reducida por filas R tal que A ( R.

a) A = b) A = c) A =.

18.-En cada caso, encontrar una matriz escalonada reducida por filas R (sobre IR) y matrices elementales tales que R = .

a) A = b) A = c) A = .

19.-Encontrar los valores de a , b ( IR de modo que las matrices:

y sean equivalentes por filas.

20.-Sea A = . Demostrar que A ( I3 y escribir A como un producto de matrices elementales.

22.-Sea A = ( . Encontrar matrices elementales tales que .

23.-Demostrar que las siguientes dos matrices sobre IR no son equivalentes por filas: A = , B = .

24.-Hallar una matriz sobre los complejos C, escalonada reducida por filas que sea equivalente a la matriz: A = . Cules son las soluciones del sistema AX= 0?

25.-Encuentre la matriz inversa de A = ( .

26.-Sea IK un cuerpo, f(x) = ( IK(x( y A una matriz cuadrada n x n, sobre IK. Se dice que A anula a f(x), si y slo si:

f(A) = . Esto es f(A) es la matriz nula n x n.

Encontrar un polinomio de tercer grado con coeficientes reales que se anule con la matriz A =

27.-Encontrar los valores de k , t , s en los reales, de modo que la matriz:

sea equivalente por filas a la matriz: .

28.-Consideremos las matrices E1= y E2 =. Sean e1 , e2 las operaciones elementales de filas tales que: . Calcular donde A = .

29.-Sean a , b , c , d nmeros reales, tales que ad bc ( 0 y d ( 0. Sea A = .

a) Demostrar que A ( I2 .

b) Escribir A como un producto de matrices elementales.

30.-Sea K cuerpo. Una matriz cuadrada n x n, D sobre K, se dice que es antisimtrica, si y slo si: Dt = (D.

a) Sea A una matriz cuadrada n x n sobre K. Escribir A como la suma de una matriz simtrica y una matriz antisimtrica.

b) Utilizar (a), para escribir la matriz A = ( M3 x 3(IR), como la suma de una matriz simtrica y una matriz antisimtrica.

c) Utilizar (a), para escribir la matriz A = ( M3 x 3(IR), como la suma de una matriz simtrica y una matriz antisimtrica.

31.-Sea A una matriz cuadrada n x n, invertible. Demuestre que:

32.-Sean A , B matrices n x n, y supongamos que B es invertible. Demuestre que:

( n ( Z+.

33.-Sean A , B matrices n x n sobre un cuerpo K, con B invertible. Si f(x) ( K(x(, demuestre que:

34.-Sean A = , B = y D = A-1B A. Calcular Dn, n ( Z+.

35.-En cada caso encontrar los valores ( , ( ( C ( complejos ), de modo que

i) ( ii) ( iii) (

36.-Si A = ( M3 x 3(IR), encontrar todas las soluciones del sistema:

AX = 2X, donde X = .

37.-Encuentre una matriz P ( M3 x 3(IR), de modo que:

.

38.-Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones en los reales IR.

39.-Discutir las soluciones de cada sistema, en relacin a los diferentes valores de ( ( IR.

40.Estudiar las soluciones del sistema sobre IR, en relacin a los diferentes valores de k ( IR

41.- Sea A = . Para qu X =, existe un escalar k ( IR tal que

AX = kX ?

42.- Resolver los siguientes determinantes aplicando propiedades y por la definicin,

i) ii) iii) donde (3= 1 y (( 1

43.-Evaluar el determinante de cada matriz, y determinar los valores de x ( C, para los cuales el determinante es cero.

i) ii) iii)

44.- Demostrar que:

= ( x-1)3 (x+3) ; =( y - x) (z - x) ( z y)

45.-Sea A = . Sea p(x) = det( xI3 ( A ). Encontrar las races reales del polinomio p(x). Se define A( = { X ( M2 x 1(IR) / AX = (X }. Encontrar A( para cada ( ( IR raz de p(x).

46.-Demostrar utilizando las propiedades de los determinantes que:

i) = a(b ( a)(c ( b)(d ( c) ii) = (a ( 1)3(a + 3)

iii) = a3(a + 14) iv) = b3(4a + b)

47.- Resolver

i) =0 ii) =0

48.-Calcular la adjunta de cada matriz. Utilizar este resultado para encontrar la inversa, si es que existe.

i) ii) iii) iv) ( M3 x 3(C)

49.- Utilizando determinantes resolver.

i) ii)

50.- Discutir el sistema utilizando regla de Cramer y resolver.

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