Guias de Geodesia I

Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.

GUÍA Nº3 GEODESIA I

1) De la figura deduzca analíticamente el efecto de curvatura y refracción en la observación de un ángulo de elevación.

B

A

Rα Rα N.m.m γ

2) Demuestre que

Si: ; Si:

3) Demuestre analíticamente la reducción de una distancia inclinada a una geodésica

4) Calcular la distancia geodésica entre las estaciones A y B.Elipsoide de referencia: Elipsoide internacionala = 6378388; f = 1/297; e = 0.006722670022 Línea A-BEstación A Estación BHa = 4686,19m Hb = 4230,83mIa = 1,40m Ib = 1,45mDistancia inclinada (Di) = 21916,98mAzimut de línea (α) = 325º 37’ 43’’ : latitud media (φm) = -31º 40’ 20’’


1) Solución:

EFECTO DE CURVATURA

B

α’ β’

A γ/2 s E HLínea tangente Al geoide Rα Rα N.m.m γ

De la figura se obtiene lo siguiente:

Además obtenemos que:

; Si consideramos que γ es un ángulo muy

pequeño entonces: ; tras lo cual obtendremos lo siguiente:

Como es un ángulo muy pequeño


S De esta figura se tiene:

Rα γ

por lo tanto

EFECTO COMBINADO DE CURVATURA Y REFRACCIÓN

B’

δ/2 B

α

α’ β’

A γ/2 s E HLínea tangente Al geoide Rα Rα N.m.m γ R’

K = Refracción de la línea AB; por lo tanto R’=


El producto de ; tiende a cero debido al ángulo muy pequeño

Por lo tanto se tiene que:

; al ser muy pequeño , en radianes

; pero K corresponde a la refracción que afecta en su conjunto a

la línea, por lo que se puede decir que K = 2·m, quedando finalmente:

; por lo tanto

2) Solución:

; Si

Reemplazando en se tiene:


Considerando que el producto , es muy pequeño, consideraremos

que:

Quedando finalmente:

3) Solución:

Reducción al horizonte:

B Di A

HbHaS

∆h

dh


N.m.m

Dela figura se tiene que:

Desarrollando por medio de la serie

; Si

Por lo tanto la corrección al horizonte es:

Reducción al nivel del mar:

dh

RαN.m.m

RαRα

hm


Desarrollando por medio de la serie 0

Por lo tanto la corrección al nivel del mar es:

Paso de la cuerda al arco:

Dnmm A1 B1

Rα

θ

Desarrollando por medio de la serie

pero


Por lo tanto la corrección del paso de la cuerda al arco es:

En resumen

4) Elipsoide de referencia: Elipsoide internacionala = 6378388; f = 1/297; e = 0.006722670022 Línea A-BEstación A Estación BHa = 4686,19m Hb = 4230,83mIa = 1,40m Ib = 1,45mDistancia inclinada (Di) = 21916,98mAzimut de línea (α) = 325º 37’ 43’’ : latitud media (φm) = -31º 40’ 20’’

Solución:Reducción a la horizontal:

Reducción al nivel del mar:

Reducción de la cuerda al arco:

Corrección

Por lo tanto la distancia geodésica es:



64

66 65


94

Estación Punto Angulo horizontal Angulo vertical Altura de señal65

hi = 1,44m 9466

00º 00’ 00’’46º 26’ 22,1’’

-----92º 19’ 36,2’’

-----2,00m

66hi = 1,40m

65 ----- 87º 45’ 23,5’’ 2,00m

-Calcular las coordenadas geográficas de 66 y su cotaDistancia inclinada = 10667,98mElipsoide de referencia: Internacional 1924; a = 6.378.388m; e2 = 0,00672267m; f = 1/297.

Solución:Calculo de azimut inverso



; Por lo tanto

; Por lo tanto la distancia geodésica es:

Calculo de cota preliminar 65 66

Corrección de los ángulos zenitales:


Por lo tanto La cota preliminar de 66 es igual a:

Calculo de distancia geodésica preliminar

Si


Calculo de cota definitiva

65 66


Calculo de distancia geodésica definitiva

Calculo de posición por el problema directo

Calculo de latitud

Iteración 1



por lo tanto se cumple la convergencia

Calculo de longitud


Por lo tanto la longitud es:

Por lo tanto las coordenadas geográficas de 65y su cota son:


68


67

66 65

Estación Punto Angulo horizontal Angulo vertical Distancia inclinada Altura de

señal67

hi = 1,46m6866

00º 00’ 00’’94º 36’ 41,59’’

-------------89º 27’ 16’’

-------------17893,074m

-------------0,00m

66hi = 1,40m

6765

00º 00’ 00’’93º 30’ 03’’

90º 41’ 30,02’’87º 45’ 23,5’’

------------10667,978m

1,25m2,00m

65hi = 1,44m

66 ------------- 92º 19’ 36,2’’ ------------ 2,00m

-Calcular las coordenadas geográficas de 65 y su cota.Elipsoide de referencia: SAD-69 Chua; a = 6.378.160m; f = 1/298,25.

Solución:Calculo de azimut inverso



Por lo tanto

68

180º

67 α

Sur



Calculo de altura preliminar 67 66




67 66

Sí


Calculo de altura definitiva

67 66



Por lo tanto


67 66

Sí


Calculo de posición por problema directo

Calculo de latitud de 67 a 66

Ite

ración 1


Iteración 2


Iteración 3


Por lo tanto se cumple la convergencia

Calculo de longitud


Calculo de azimut inverso

Por lo tanto

Calculo de altura preliminar 66 65





66 65

Sí


Calculo de altura definitiva

66 65



Por lo tanto


66 65


Sí

Calculo de posición por problema directo

Calculo de latitud de 66 a 65


Ite

ración 1


Iteración 2


Por lo tanto se cumple la convergencia

Calculo de longitud


Por lo tanto las coordenadas geográficas de 65 y su cota respectiva son:


PROBLEMA DE INTERSECCIÓN INVERSA

Este problema también denominado como pothenot o problema de la carta, tiene como finalidad poder dar posición a un punto en terreno mediante la observación angular


desde este punto en dirección a vértices con coordenadas ya establecidas, es necesario observar tres vértices o puntos trigonométricos como mínimo, es aconsejable cuando se va a ocupar esta solución para determinar posición a un punto, observar mas de tres vértices, con la finalidad de poder efectuar un control al trabajo realizado.

M

γ m1 m2

a b

A X Y B

S

Sa Sb

α β

P

En la figura podemos ver que los vértices A, B y M son puntos trigonométricos con coordenadas establecidas, luego la distancia a, b y el ángulo γ se pueden deducir. Los ángulos α y β son medidos en terreno.

Se deberá calcular la distancia S y los ángulos x e y, con lo cual se tendrá resuelto el problema y posteriormente se trasladara las posiciones al punto P desde A, B y M.

Solución:

1) 2)

3)


4)

5) Igualando 3) y 4) se obtiene:

6) Si 7)8) Dividiendo por senY la expresión anterior:

9) , pero por lo tanto se tiene que:

, dividiendo por, tendremos:

10)

,además

EJERCICIO

Determinar las coordenadas geográficas del punto P.

Vértice Latitud LongitudA -20º 20’ 41.30’’ -68º 36’ 3.08’’B -20º 22’ 6.90’’ -68º 44’ 31.02’’M -20º 32’ 16.93’’ -68º 49’ 24.87’’

Estación Punto Angulo horizontalP A 00º 00’ 00’’

M 100º 35’ 20.70’’B 122º 35’ 30.80’’


Elipsoide de referencia Internacional 1924,

Solución:

P

Sb Sa β

A B X

Y

Sb

a

m2

m1

M

Calculo de azimut inverso y distancia geodésica

γ



Por lo tanto


Calculo de azimut inverso y distancia geodésica



Por lo tanto


Por lo tanto:


Por lo tanto

Calculo de posición de P por el problema directo (Desde M a P)

Calculo de latitud

Iteración 1





Calculo de longitud


Calculo de posición de P por el problema directo (Desde A hacia P)



Calculo de latitud

Iteración 1




Calculo de longitud


Calculo de posición de P por el problema directo (Desde B hacia P)



Calculo de latitud

Iteración 1




Calculo de longitud


Por lo tanto las coordenadas geográficas de P son:


GUÍA Nº 7 GEODESIA I

Calcular las coordenadas geograficas y cota del punto C.

Estación Punto visado Angulo horizontal Angulo vertical Altura de la señalA

hi = 1,58mCB

00º 00’ 00’’299º 31’ 57,50’’

89º 53’ 15,80’’89º 44’ 19,50’’

2,00m2,00m

Bhi = 1,56m

CA

00º 00’ 00’’31º 34’ 4,70’’

90º 16’ 59,80’’90º 19’ 3,40’’

2,00m2,00m

Chi = 1,50m

AB

00º 00’ 00’’87º 57’ 51,30’’

90º 8’ 3,00’’89º 45’ 49,20’’

2,00m2,00m


Sistema geodésico: PSAD-56

Elipsoide de referencia: Internacional 1924,

Nota: Las distancias calculadas son geodésicas.

Solución:Dibujo de la poligonal

B

C


A

Cierre angular de la poligonal

El error de cierre angular se encuentra dentro la tolerancia por lo tanto se puede compensar.

Calculo de la superficie de la poligonal

Del se tiene:

Calculo de



Por lo tanto



Calculo de exceso esférico

Cierre angular del polígono quedando los ángulos compensados y esféricos

Calculo de posición por el problema directo ( A C)

Calculo de latitud

Iteración 1


Iteración 2


; Por lo tanto se cumple la convergencia

Calculo de longitud




Calculo de posición por el problema directo( C B)

Calculo de latitud

Iteración 1


Iteración 2


; Por lo tanto se cumple la convergencia.

Calculo de longitud



Calculo de alturas A C

Corrección de los ángulos cenitales:


C B



HB fijo = 4503,70mHB calculado = 4503,86mError de cierre = -0,16m

Tolerancia para el error de cierre de una nivelación trigonométrica.


El error de cierre de altura se encuentra dentro la tolerancia por lo tanto se puede compensar.

El factor de compensación será:

Compensación de las cotas:

Por lo tanto la cota corregida seria:

Por lo tanto las coordenadas geográficas de C y su cota es:

GUÍA Nº 8 GEODESIA I

Estación Punto visado

Angulo horizontal Angulo vertical Altura de la señal

Distanciainclinada

A hi =

1,40m

CB

00º 00’ 00’’37º 34’ 53,10’’

90º 41’ 30,20’’------------

1,25m------------

17893,074m------------

B A 00º 00’ 00’’ ------------ ---------- -----------


hi = 1,45m

C 47º 48’ 24,00’’ 89º 53’ 37,00’’ 1,34m -----------

C hi =

1,46m

B A

00º 00’ 00’’94º 36’ 42,00’’

90º 13’ 51,00’’90º 41’ 30,20’’

1,34m0,00m

14728,70m------------

Calcule las coordenadas geográficas de C y su cota.

Elipsoide de referencia : Internacional 1924,

Solución:Dibujo de la poligonal

B

C


A

Cierre angular de la poligonal


Calculo de la superficie de la poligonal

Para el calculo de la superficie de la poligonal en este caso un triangulo, utilizaremos la

siguiente expresión: ; siendo , distancias horizontales, las

cuales serán calculadas con la siguiente expresión:

Calculo de

A C



Por lo tanto

C B



Por lo tanto







Por lo tanto los son:

Calculo de distancia horizontal:

Calculo de la superficie:

calculo del exceso esférico:


Cierre angular de la poligonal quedando los ángulos compensados y esféricos




Por lo tanto


Calculo de las distancias geodésicas preliminaresCalculo de distancia geodésica


Calculo de distancia geodésica


Calculo de posición por el problema directo (preliminar)( A C)

Calculo de latitud

Iteración 1


Iteración 2



Calculo de longitud





Calculo de latitud

Iteración 1


Iteración 2


; Por lo tanto se cumple la convergencia.Calculo de longitud


Error en posición =

Arco de paralelo = Arco de meridiano =


Arco de paralelo =

Arco de meridiano =

Error lineal =

Error de posición =

Error en posición = ; para que el error de posición se encuentre dentro

de la tolerancia de I orden.


El error en posición se encuentra dentro de esta tolerancia (I orden) por lo tanto se puede compensar.

Factor de compensación;

Corrección n corrección


CALCULO DEFINITIVO

Calculo del exceso esférico

Reducción de los ángulos horizontales al elipsoideCorrección por efecto de la altura de la estación observada.


Ángulos observados en terreno

Estación Punto visado Angulo leído X’’ Angulo corregido Angulo reducidoA C 00º 00’ 00’’ -0,186’’ 359º 59’ 59,81’’ 00º 00’ 00’’

B 37º 34’ 53,1’’ 1,178’’ 37º 34’ 54,28’’ 37º 34’ 54,47’’




Estación Punto visado Angulo leído X’’ Angulo corregido Angulo reducidoC B 00º 00’ 00’’ 0,219’’ 00º 00’ 0,22’’ 00º 00’ 00’’

A 94º 36’ 42,00’’ -0,195’’ 94º 36’ 41,80’’ 94º 36’ 41,58’’


Estación Punto visado Angulo leído X’’ Angulo corregido Angulo reducidoB A 00º 00’ 00’’ 0,188’’ 00º 00’ 0,19’’ 00º 00’ 00’’

C 47º 48’ 24,00’’ 0,222’’ 47º 48’ 24,22’’ 47º 48’ 24,03’’


Estación Punto visado Angulo leído X’’ Angulo corregido Angulo reducidoA C 00º 00’ 00’’ -0,186’’ 359º 59’ 59,81’’ 00º 00’ 00’’

B 37º 34’ 53,1’’ 1,178’’ 37º 34’ 54,28’’ 37º 34’ 54,47’’B A 00º 00’ 00’’ 0,188’’ 00º 00’ 0,19’’ 00º 00’ 00’’

C 47º 48’ 24,00’’ 0,222’’ 47º 48’ 24,22’’ 47º 48’ 24,03’’C B 00º 00’ 00’’ 0,219’’ 00º 00’ 0,22’’ 00º 00’ 00’’

A 94º 36’ 42,00’’ -0,195’’ 94º 36’ 41,80’’ 94º 36’ 41,58’’

Ángulos interiores reducidos


Cierre angular de la poligonal quedando los ángulos compensados y esféricos.

Calculo de alturas definitivas A C




C B










Calculo de distancias geodésicas definitivasCalculo de distancia geodésica


Calculo de distancia geodésica


Calculo de posición por el problema directo (definitivo)( A C)

Calculo de latitud

Iteración 1


Iteración 2



Calculo de longitud





Calculo de latitud

Iteración 1


Iteración 2


; por lo tanto se cumple la convergencia.Calculo de longitud




Arco de paralelo = Arco de meridiano =

Arco de paralelo =

Arco de meridiano =

Error lineal =

Error de posición =

Error en posición = ; para que el error de posición se encuentre dentro

de la tolerancia de I orden.


El error en posición se encuentra dentro de esta tolerancia (I orden) por lo tanto se puede compensar.


Factor de compensación;

Corrección n corrección

Por lo tanto las coordenadas geográficas C y su cota es:

Documents

Guias de Geodesia I