TECNICO LABORAL EN MECÁNICA AUTOMOTRÍZ ASIGNATURA DE MATEMATICASGUIA DE CLASE No 1

NOMBRE DEL ESTUDIANTE:FECHA:DOCENTE: JOHN JAIRO ESCOBAR MACHADO

UNIDAD: NÚMEROS RACIONALES TIEMPO: 6 HorasACTIVIDADES: OPERACIONES BÁSICAS CON NÚMEROS FRACCIONARIOS OPERACIONES BÁSICAS CON NÚMEROS DECIMALES

OBJETIVO: Al finalizar esta unidad el estudiante tendrá la habilidad de analizar y resolver todo tipo de ejercicios con los números racionales.

1. NÚMEROS RACIONALES

El conjunto de los números racionales se denota por y se define de la manera siguiente:

= {Es de la forma,

ab

; a y b ∈ Z .}

Así por ejemplo, la representación de los números

−52

,

−12

,

32 y

72 , en una recta

numérica real es:

Recordemos además que si, el número racional

ab se puede considerar como el cociente que se obtiene al

dividir a por b; en donde b indica el número de partes en que se divide la unidad y se llama denominador y a el número de partes que se toman y se llama numerador. Y teniendo en cuenta que el número racional ab es un cociente, entonces tenemos que:

−52

=−2 .5,

−12

=−0 .5,

32=1.5

y

72=3 .5

.

1.1. OPERACIONES CON NÚMEROS FRACCIONARIOS

1.1.1. SUMA:

ab +

cd =

a×d+b×cb×d

Ej.

37 +

85 =

15+5635

=

7135

1.1.2. RESTA:

ab -

cd =

a×d−b×cb×d

Ej.

94

23 =

27−812

=

1912

1.1.3. MULTIPLICACIÓN:

ab ¿

cd =

a×cb×d

Ej.

56 ¿

79 =

3554

1.1.4. DIVISIÓN:

ab

cd =

a×db×c

Ej.

85

67 =

5630

=

2815 que es el resultado de simplificar por 2.

1.2. NÚMEROS MIXTOS: a

bc =

(a×c )+bc

Ej. 3

78 =

318

Para convertir un número fraccionario en un número mixto, hay que hacer una división.

Ej.

378

37 8 →denominador 5 4 →parte entera

numerador ↵ Entonces,

378 =

458

1.3. OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES

1.3.1 SUMA: Se deben colocar los sumandos uno debajo del otro de tal manera que las unidades, décimas, centésimas, etc. de uno de los sumandos queden formando columna con las del otro sumando.

Ej. 25,23 +19,718

25,18 + 19,718 44,898 Entonces, 25,23 +19,718 = 44,898

1.3.2. RESTA: Se coloca el sustraendo debajo del minuendo de tal manera que las unidades queden debajo de las unidades, las décimas debajo de las décimas, etc. y se restan como si fueran números enteros. Si el minuendo no tiene igual número de cifras decimales que el sustraendo, se agregan ceros al minuendo hasta igualar el número de cifras decimales.

Ej. 5,14 – 3,568

5,140

3 ,568 1,572

1.3.3. MULTIPLICACIÓN:Se multiplican como si fueran números enteros y luego se separan en el producto, de derecha a izquierda, tantas cifras decimales como haya en los dos factores.

Ej. 45,3 ¿ 8,29

45,3 ¿ 8,29

_____________

4077 906 3624 _______________

375,537Entonces,

45,3 ¿ 8,29 = 375,5371.3.4. DIVISIÓN:Se multiplica tanto el dividendo, como el divisor por la potencia mayor de diez, para convertir ambos decimales en números enteros y se divide normalmente.

Ej. 36,4 6,25

36,4 10 = 364

6,25 100 = 625como se debe multiplicar por la mayor potencia, entonces 36,4 ¿ 100 = 3640la división queda: 3640 625

5150 5,824 1500 2500 0Ejercicios

1.

59 +

46 =

2.

215 +

73 =

3.

614 +

821 +

96 =

4.

148

115 =

5.

822

1211 =

6.

159

221

549 =

7.

187

827 =

8.

4212

2214 =

9.

98

632 =

10.

13

46 =

11. 0,63 + 9,072

12. 10,03 + 5,008

13. 8,435 3,998

14. 100,1 90,9098

15. 325,42 1,4

16. 23,8 3,28

17. 0,035 0,7

18. 215,88 14

TECNICO LABORAL EN MECÁNICA AUTOMOTRÍZ ASIGNATURA DE MATEMATICASGUIA DE CLASE No 2

NOMBRE DEL ESTUDIANTE:FECHA:DOCENTE: JOHN JAIRO ESCOBAR MACHADO

UNIDADES: REGLA DE TRES SIMPLE TIEMPO: 2 Horas UNIDADES DE MEDIDA TIEMPO: 4 HorasACTIVIDADES: OPERACIONES CON PROBLEMAS DE REGLA DE TRES SIMPLE Y PORCENTAJES OPERACIONES CON UNIDADES DE MEDIDA

OBJETIVO: Al finalizar esta unidad el estudiante tendrá la habilidad de resolver problemas de regla de tres simple directa e inversa y realizar todo tipo de conversiones de las unidades de medida.

2.1. REGLA DE TRES SIMPLE

En la vida diaria se presentan situaciones en las que se relacionan dos magnitudes directa o inversamente proporcionales. Estos problemas se conocen como problemas de regla de tres simple directa o inversa porque en ellos aparecen tres datos conocidos y uno que no se conoce. Este cuarto dato que debe calcularse se representa con una letra, generalmente la letra X, a la que llamamos incógnita.

2.1.1. REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA

Sean a, b y c números cualesquiera , I y II las magnitudes y X la incógnita, entonces,

I II I II a b a b ,o, c X c X

si las dos magnitudes aumentan o las dos magnitudes disminuyen, entonces la regla de tres simple es directa y se relacionan en diagonales (como se muestra en la ilustración anterior), y la incógnita se calcula:

X=b×c

a,

donde, el número que está relacionado con la incógnita (X) va en el denominador y los otros dos números se multiplican en el numerador.

Ej. Un técnico recibe $ 198000 por reparar 4 computadores. ¿Cuánto ganará el técnico si repara 6 computadores?

Computadores Valor ($) 4 198000 6 X

entonces,

X=6×1980004

=297000

R/. El técnico recibe $ 297000 por reparar los 6 computadores.

2.1.2. REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA

Sean a, b y c números cualesquiera , I y II las magnitudes y X la incógnita , entonces,

I II I II a b a b ,o,

c X c X

si la primera magnitud aumenta y la segunda magnitud disminuye o la primera magnitud disminuye y la segunda magnitud aumenta, entonces la regla de tres simple es inversa y se relacionan en línea (como se muestra en la ilustración anterior), y la incógnita se calcula:

X=a×b

c,

donde, el número que está relacionado con la incógnita (X) va en el denominador y los otros dos números se multiplican en el numerador.

Ej. 20 obreros tardan 6 días en realizar un trabajo. ¿ Cuánto tiempo tardará 8 obreros igualmente hábiles?

Obreros Tiempo (días) 20 6

8 X

entonces,

X=20×68

=15

R/. 8 obreros tardan en realizar el trabajo en 15 días.

Ejercicios

1. Por 5 turnos nocturnos un empleado recibió $ 112500. ¿Cuánto dinero recibirá por trabajar 9 turnos nocturnos?

2. Juan dispone de dinero para comprar 4 repuestos electrónicos que cuesta $ 3600 cada uno. Pero al llegar al almacén los encuentra en promoción cada repuesto a $ 2400. ¿Cuántos repuestos puede comprar Juan con el mismo dinero?

3. ¿Cuánto dinero recibirá Inés por 15 días de trabajo si gana $ 300000 por 9 días?

4. A una velocidad promedio de 80 Km/h, Pedro gastó 3horas en hacer un viaje. ¿Cuánto tiempo empleará si la velocidad es de 60 Km/h en promedio?

5. Si para empacar 360 frascos de aceite se necesitan 15 cajas de cartón. ¿Cuántas cajas se necesitan para empacar 480 frascos iguales?

6. Por un lote avaluado en $ 2500000 se pagan $ 150000 de impuesto predial. ¿Cuál será el impuesto que deba pagar un lote avaluado en $ 30000000 situado en el mismo sector urbano?

7. Los alumnos de un curso han recolectado dinero para realizar una excursión de 8 días y con la suma recolectada pueden viajar 20 estudiantes. Si la excursión disminuye a sólo 5 días, ¿cuántos estudiantes pueden ir con el mismo dinero?

8. Carlos demora 45 minutos para ir hasta la escuela más cercana a la casa, viajando en la bicicleta a 28 Km/h. ¿Cuánto tiempo demorará si viaja en el bus que viaja a 60

Km/h en promedio?

9. Un camión transporta 12 toneladas de cemento en 5 viajes. ¿Cuántos viajes deberá realizar para transportar 60 toneladas?

10. Para confeccionar un vestido de 2 piezas, se necesita 2.20 metros de paño de 1.50 de ancho. ¿Cuántos metros deberá comprar si el paño que encontró solo tiene 1.10 metros de ancho?

2.1.3. PORCENTAJE

El resultado de calcular un tanto por ciento de un número se llama porcentaje.Por ejemplo el 35 por ciento se representa de la siguiente manera: 35%. Además se puede representar como:

35%=35100

=0 .35

Una forma de calcular un porcentaje es por medio de una regla de tres simple directa.

Ej. Hallar el 35 % de $ 250000.

Capital Porcentaje (%) $ 250000 100 X 35

entonces,

X=250000×35100

=87500

R/. El 35% de $ 250000 es $ 87500.

Otra forma de calcular el ejemplo anterior es utilizando la equivalencia decimal del porcentaje, entonces

$ 250000 0.35 = $ 87500

Sabiendo que un tanto por ciento se puede calcular por medio de una regla de tres simple directa, entonces en un problema también se puede encontrar el porcentaje.

Ej. En una empresa hay 880 empleados de los cuales sólo 44 son mujeres.¿Qué tanto por ciento de los empleados representa las mujeres?

Empleados Porcentaje (%) 880 100 44 X

entonces,

X=44×100880

=5

R/. El 5 % de los empleados son mujeres.

Y por último se puede calcular el número del cual se conoce el porcentaje.

Ej. Por la compra de un electrodoméstico, Carmen recibió una rebaja de $ 6240 que corresponde al 12% del precio inicial del electrodoméstico. ¿Cuál era el precio inicial?

Capital Porcentaje (%) X 100 6240 12

entonces,

X=6240×10012

=52000

R/. El precio inicial del electrodoméstico era de $ 52000.

Ejercicios

1. Un vendedor recibe una comisión del 5% sobre las ventas que realiza. ¿Cuánto dinero recibirá después de vender $ 8500000?

2. ¿Qué tanto por ciento de rebaja recibió Mario si por comprar drogas facturadas en $ 14200 pagó $ 13845?

3. Jorge gana mensualmente un sueldo de $ 385000. Además recibe el 5% de su sueldo básico como subsidio de transporte y 8% por antigüedad. ¿A cuánto asciende su sueldo mensual?

4. Suponiendo que la población de Bogotá es de 6000000 de habitantes aproximadamente y solo 1800000 tiene casa propia. a. ¿Qué tanto por ciento de los habitantes tienen casa propia? b. ¿Qué tanto por ciento no tiene casa propia?

5. En una carpintería se fabrica asientos a un costo de $ 21800. Si le gana el 30% sobre el costo al venderlos. a. ¿Cuánto gana por cada asiento? b. ¿Cuál es el precio de venta de cada asiento?

6. En la sección A de una fábrica salieron 7 empleados de vacaciones que representan el 10% del total, y en la sección B salió un 7% que corresponden a 14 empleados. ¿Cuántos empleados hay en cada sección?¿Cuántos empleados hay en las dos secciones?

2.2. UNIDADES DE MEDIDA

Una unidad de medida es una cantidad estandarizada de una determinada magnitud física. En general, una unidad de medida toma su valor a partir de un patrón o de una composición de otras unidades definidas previamente. Cada unidad tiene un símbolo asociado a ella, el cual se ubica a la derecha de un factor que expresa cuántas veces dicha cantidad se encuentra representada. Es común referirse a un múltiplo o submúltiplo de una unidad, los cuales se indican ubicando un sufijo delante del símbolo que la identifica.

En esta unidad es motivo de estudio las unidades de medida de tensión, corriente y resistencia y es necesario tener en cuenta que:

La tensión es la fuerza que impulsa a la corriente.La corriente es lo que se mueve o desplaza.La resistencia es lo que se opone o limita el paso de la corriente.

En la siguiente tabla se resume cada magnitud con su respectivo símbolo, unidad e instrumento.Magnitud Símbolo Unidad Símbolo Instrumento Símbolo

Tensión E Voltio V Voltímetro

Corriente I Amperio A Amperímetro

Resistencia R Ohmio Ω Ohmetro

Tabla de los múltiplos y submúltiplos de las unidades.Múltiplos Submúltiplos

Símbolo Nombre Símbolo NombreD Deca d deciH Hecto c centiK Kilo m miliM Mega µ microG Giga n nanoT Tera p picoP Peta f femtoE Exa a attoZ Zetta z zeptoY Yotta y yocto

Notemos que cada múltiplo se escribe con letra mayúscula y cada submúltiplo con letra minúscula.

En la siguiente tabla esta cada uno de los múltiplos y submúltiplos con sus respectivas equivalencias.

Múltiplos 10-24 Y 1024

10-21 Z 1021

10-18 E 1018

10-15 P 1015

10-12 T 1012

10-9 G 109

10-6 M 106

10-3 K 103

10-2 H 102 10-1 D 10

V, A,Ω

10-1 d 10

10-2 c 102

10-3 m 103

10-6 µ 106

10-9 n 109

10-12 p 1012

10-15 f 1015

10-18 a 1018

10-21 z 1021

10-24 y 1024

Submúltiplos

Con los valores anteriores se puede realizar las conversiones que se requieran.

Ej. Convertir 9 GV a fV.

Para realizar esta conversión se puede hacer de las siguientes formas:

1ª forma: Con una regla tres simple directa. 1º Paso GV V 1 109

9 X

entonces,

X = 9 10 9 1 X = 9 109 V

2º Paso V fV 1 1015

9 109 X

entonces,

X = 9 10 9 10 15 1 X = 9 1024 fV

2ª forma: Por medio de la notación científica.

9 GV 10 9 V 10 15 fV 9 1024 fV 1 GV 1 V

Ejercicios

Realizar las siguientes conversiones:

1. 15 µA a TA

2. 0.42 GΩ a zΩ

3. 100 TV a PV

4. 18.5 aA a zA

5. √25 HΩ a Ω

6. 80000 pV a V

7. 62.3 YA a yA

8. 0.02 ZΩ a zΩ

9. 105 cV a DV

10. 10-10 EA a nA

TECNICO LABORAL EN MECÁNICA AUTOMOTRÍZ ASIGNATURA DE MATEMATICASGUIA DE CLASE No 3

NOMBRE DEL ESTUDIANTE:FECHA:DOCENTE: JOHN JAIRO ESCOBAR MACHADO

UNIDADES: CONCEPTOS PREVIOS TIEMPO: 3 Horas MOVIMIENTO Y FUERZA (DINÁMICA) TIEMPO: 9 HorasACTIVIDADES: FÍSICA MECÁNICA FUERZA LEYES DE NEWTON

OBJETIVO: Al finalizar esta unidad el estudiante tendrá la habilidad de analizar y resolver problemas de la cinemática, movimiento y fuerza (dinámica).

3.1. CONCEPTOS PREVIOS

El estudio del movimiento de objetos, y los conceptos afines de fuerza y energía, forman el campo llamado mecánica. Por costumbre se divide a la mecánica en dos partes: cinemática, que es la descripción de cómo se mueven los objetos y dinámica, que trata de por qué se mueven los objetos y como lo hacen. En esta primera parte de la guía nos ocuparemos de la cinemática.

A continuación formularemos las ecuaciones canónicas de los movimientos en una y dos dimensiones.

3.1.1. Movimiento uniformemente rectilíneo (a = 0)

Desplazamiento: x = vt (Km, m, cm, mm,…) Velocidad: v = x (Km/h, m/s,…) t Tiempo: t = x ( h, min, s,…) v3.1.2. Movimiento uniformemente acelerado (a = constante)

x = v0t ± 1at2

2 v = v0 + at v2 = v2

0 ± 2ax

3.1.3. Caída de los cuerpos

Las ecuaciones de la caída de los cuerpos son las mismas del movimiento uniformemente acelerado pero cambiamos la aceleración (a) por la aceleración de la gravedad (g), su valor aproximado es g = 9.8 m/s2

y a x por y.

3.1.4. Tiro Parabólico

ax = 0 vx = v0cosα x = v0cosα tay = - g vy = v0senα – gt y = v0senα t – gt2

Ejercicios de repaso

1. ¿Cuál debe ser la velocidad promedio para viajar 220 Km en 2.25 h?

2. Auna velocidad promedio de 31 Km/h, ¿qué distancia recorrerá un ciclista en 135 min?3. Un pájaro puede volar a 30 Km/h. ¿Cuánto tardará en volar 22 Km?4. Supongamos que se diseña un aeropuerto para aeronaves pequeñas. Determinado tipo de avión, que podría usar ese aeropuerto, debe alcanzar una velocidad de despegue de 100 Km/h, y puede acelerar a 2 m/s2. Si la pista tiene de longitud, ¿puede el aeroplano alcanzar la velocidad adecuada para el despegue?5.¿Cuánto tarda un automóvil en recorrer 30 m si acelera partiendo del reposo a una tasa de 2 m/s2? 6. Supongamos que se deja caer una pelota desde una torre de 70 m de altura. ¿Hasta qué altura habrá caído al transcurrir 1, 2 y 3 segundos?7. Una persona arroja una pelota hacia arriba, al aire, con una velocidad inicial de 15 m/s. Calcular (a) la altura que alcanza, y (b) el tiempo que pasa la pelota en el aire antes de regresar a la mano.8. Se arroja una piedra en sentido horizontal desde un barranco de 100 m de altura. Choca con el piso a 90 m de distancia de la base del barranco. ¿A qué velocidad fue lanzada?9. A un balón de fútbol lo patean a un ángulo θ = 37° con una velocidad de 20 m/s. Calcule (a) la altura máxima, (b) el tiempo que viaja hasta que pega en el suelo, y (c) la distancia a la llega al suelo.10. Un tigre salta en dirección horizontal desde una roca de 15 m de altura, con una velocidad de 4 m/s. ¿A qué distancia de la base de la roca llegará al suelo?

3.2. MOVIMIENTO Y FUERZA (DINÁMICA)

En forma intuitiva podemos definir a la fuerza como cualquier tipo de empuje o jalón sobre un objeto. Un método para medir en forma cuantitativa la magnitud o intensidad de una fuerza es usar una báscula de resorte. Esta báscula se usa normalmente para determinar el peso de un objeto. El peso es la fuerza de gravedad actuando sobre un cuerpo. Podemos representar cualquier fuerza mediante una flecha en un diagrama, igual como se hace con la velocidad. La dirección de la flecha es naturalmente la dirección del empuje o el jalón, y su longitud se traza proporcionalmente a la intensidad o magnitud de la fuerza.Para empujar un objeto por una mesa a velocidad constante, se necesita tan sólo la fuerza de la mano, sólo para equilibrar la fuerza de fricción. La fuerza de empuje es de igual magnitud que la fuerza de fricción, pero tienen direcciones opuestas, y por lo tanto, la fuerza neta sobre un objeto, que es la suma vectorial de las dos fuerzas, es cero.

3.2.1. Primera Ley de Newton del movimiento

Todo cuerpo continúa en su estado de reposo o de velocidad uniforme en línea recta a menos que una fuerza neta que actúe sobre él lo obligue a cambiar ese estado. A esta primera ley de newton se llama con frecuencia ley de inercia.

3.2.2. Segunda Ley de Newton del movimiento

La aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él, e inversamente proporcional a su masa. La dirección de la aceleración es la misma de la fuerza neta aplicada.

Con frecuencia se confunden los términos masa y peso entre sí, pero es importante diferenciarlos. Masa es una propiedad de un cuerpo, es una medida de la inercia o “cantidad de materia” de un cuerpo. Por otro lado, peso es una fuerza, la fuerza de gravedad que actúa sobre el cuerpo. Para visualizar la diferencia, supongamos que llevamos un objeto a la luna. Allá pesará una sexta parte de lo que pesaba en la tierra, ya que la fuerza de gravedad es más débil, pero la masa seguirá siendo la misma. El patrón de medida de la masa en el sistema internacional (SI), es el kilogramo (Kg).

La segunda ley de Newton en forma de ecuación:

F = ma

en donde, a representa la aceleración, m la masa y F la fuerza neta. Por fuerza neta se entiende la suma

vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Mediante la segunda ley de Newton podemos dar una definición más precisa de fuerza, es una acción capaz de acelerar un objeto. Las unidades en que se mide la fuerza están resumidas en la siguiente tabla.

Sistema Masa FuerzaSI Kilogramo (Kg) Newton (N)cgs Gramo (g) dinaInglés slug libra (lb)

La unidad de masa slug, se define como la masa que adquiere una aceleración de 1 pie/ s2.

Donde,1 N = 1 Kg . m/ s2 1dina = 10-5 N1 dina = 1 g . cm/ s2 1 lb = 4.45 N1 libra = 1slug . pie/ s2

Ej. 1. Calcular la fuerza neta que se necesita para acelerar un automóvil deportivo de 1500 Kg de peso a ½ g.

Solución

F = ma = (1500Kg)(0.5)(9.8 m/s2) = 7350 N

Ej. 2. ¿Qué fuerza neta se necesita para desacelerar a un automóvil que pesa 1500 Kg desde una velocidad de 100 Km/h hasta reposo, en una distancia de 55 m?

Solución

Tomando la ecuación de velocidad del movimiento uniformemente acelerado, para encontrar la aceleración. v2 = v2

0 ± 2ax

de modo que a = v 2 – v 2 0 2x a= 0 – (28 m/s) 2 2(55 m) a = – 7.1 m/s2

La fuerza neta necesaria es entonces

F = ma = (1500 Kg)( – 7.1 m/s2) = – 10650 N

3.2.3. Tercera Ley de Newton del movimiento

Siempre que un objeto ejerce una fuerza sobre otro objeto, el segundo ejerce una fuerza igual y opuesta sobre el primero.

3.2.4. Fuerza de gravedad y fuerza normal

La fuerza de gravedad sobre un cuerpo (Fg), que también es su peso (w), se puede representar mediante

Fg = w = mg

La dirección de esta fuerza es hacia abajo, hacia el centro de la tierra.

Para un objeto que descansa sobre una mesa, la mesa es la que ejerce una fuerza hacia arriba. La mesa se comprime ligeramente bajo el objeto, y por su elasticidad, empuja al objeto hacia arriba. La fuerza que ejerce la mesa se llama, con frecuencia, la fuerza de contacto, porque se da cuando dos objetos están en

contacto. Cuando una fuerza de contacto obra en dirección perpendicular a la superficie común de contacto, se le llama en general la fuerza normal. “Normal” quiere decir perpendicular; por lo mismo se identifica con FN en el diagrama. FN

Fg Las fuerzas de la figura anterior actúan ambas sobre una caja, que permanece en reposo sobre una superficie, y entonces la suma vectorial de esas dos fuerzas debe ser cero.

Ej.1. Un amigo le regala a usted una caja de 10 Kg de caramelos. La caja descansa sobre una superficie lisa, sin fricción, de una mesa. (a) Calcule el peso de la caja y la fuerza normal que obra sobre ella, (b) Ahora su amigo se recarga sobre la caja con una fuerza de 40 N, calcule el peso de la caja y la fuerza normal que actúa sobre ella, y (c) Si su amigo tira de caja hacia arriba con una fuerza de 40 N, ¿cuál es ahora el peso de la caja y fuerza normal sobre ella?

Solución

(a) Como la caja descansa sobre la mesa, el peso es FN

w = mg = (10 Kg)( 9.8 m/s2) = 98 N

mg La fuerza neta (F) sobre la caja es F = FN – mg. Como la caja está en reposo, la fuerza neta sobre ella es cero (F = ma, y a = 0). Así,

FN – mg = 0,

entonces FN = mg = 98 N

La fuerza normal es 98 N.

(b) Su amigo se recarga sobre la caja con una fuerza de 40 N, entonces ahora hay tres fuerzas que obran sobre la caja; el peso de la caja sigue siendo 98 N

FN

40 N

w = mg = 98 N

mg

La fuerza neta es F = FN – mg – 40 N, y es igual a cero, porque la caja permanece en reposo, entonces

FN – mg – 40 N = 0

de modo que

FN = mg + 40 N = 98 N + 40 N = 138 N,

lo cual es algo mayor que la fuerza en (a).

(c) El peso de la caja sigue siendo 98 N y actúa hacia abajo. La fuerza que su amigo ejerce y la fuerza normal actúan ambas hacia arriba (dirección positiva).

FN

40 N

w = mg = 98 N

mg

Como se ve en la figura, la caja no se mueve, porque la fuerza hacia arriba de su amigo es menor que el peso. La fuerza neta, es nuevamente cero, es igual

F = FN – mg + 40 N = 0

entonces,

FN = mg – 40 N = 98 N – 40 N = 58 N

El tirón del amigo hacia arriba no es suficiente para mover la caja.

Ej.2. Calcule la suma de las dos fuerzas que obran sobre el pequeño bote de la siguiente figura.

Solución

y (a) F1 = 40 N (b) F1y 45° F1x x 37° F2x

F2y

F2 = 30 N

Esas dos fuerzas de La figura (a), se muestran resueltas en el plano cartesiano en la figura (b). Las componentes de F1 y F2 son

F1X = F1 cos 45° = (40 N)(0.707) = 28.3 N F1y = F1 sen 45° = (40 N)(0.707) = 28.3 N F2X = F2 cos 37° = (30 N)(0.799) = 24.0 N F2y = – F2 sen 37° = (30 N)(0.602) = – 18.1 N

F2y es negativa, porque apunta hacia el eje negativo del eje y. Las componentes resultantes son

FR y FR

FR x

FR x = F1x + F2X = 28.3 N + 24.0 N = 52.3 N FR y = F1y + F2X = 28.3 N – 18.1 N = 10.2 N

Por el teorema de Pitágoras, tenemos _____________ _________________ FR = √ (FRx)2 + (FRy)2

= √ (52.3 N)2 + (10.2 N)2 = 53.3 N

La única duda que queda es el ángulo que hace la fuerza resultante neta FR con el eje x. Empleamos la siguiente ecuación:

tan θ = FRy / FRx tan θ = 10.2 N = 0.195 52.3 N θ = 11°

3.2.5. Fuerza de fricción cinética

Cuando un cuerpo se mueve por una superficie áspera, la fuerza de fricción cinética obra en sentido contrario al del movimiento del cuerpo. La magnitud de esa fuerza depende de la naturaleza de las dos superficies deslizantes. Para unas superficies determinadas es proporcional a la fuerza normal entre ellas, aquella que uno de los objetos ejerce sobre otro, perpendicular a su superficie común de contacto (véase la figura). La fuerza normal sobre un cuerpo que resbala sobre una superficie horizontal es igual al peso del cuerpo (mg). La fuerza de fricción no depende mucho de la superficie total de contacto; esto es, la fuerza de fricción sobre un ladrillo es esencialmente la misma si se desliza sobre una cara amplia, o sobre su extremo, siempre y cuando las superficies tengan la misma calidad.

FN

FA

Ffr

mg

Podemos transformar una proporción en una ecuación si introducimos la constante de proporcionalidad (μk), entonces tenemos:

Ffr = μk FN (fricción cinética)

Es una ecuación aproximada, pero razonablemente exacta y muy útil. El término μk se llama coeficiente de fricción cinética, y su valor depende de las dos superficies. Algunos valores medidos para una diversidad de superficies aparecen en la siguiente tabla.

Superficies Coeficiente de fricción estática

μs

Coeficiente de fricción cinética

μk

Madera sobre maderaHielo sobre hieloMetal sobre metal (lubricado)Acero sobre acero (sin lubricar)Hule sobre concreto secoHule sobre concreto mojado

0.40.1

0.150.71.00.7

0.2 0.03 0.07

0.60.80.5

Hule sobre otras superficies sólidasTeflón sobre teflón en aireTeflón sobre acero en aireRodamientos de bolas lubricadosArticulaciones del cuerpo humano

1 – 4 0.04 0.04 < 0.01 0.01

1 0.04 0.04 < 0.01 0.01

Sin embargo estos valores son aproximados, porque depende de si las superficies están mojadas o secas, o de hasta qué grado se han lijado o frotado, o de si tienen muchas ralladuras, y de otros factores por el estilo. Lo que hemos estado describiendo es la fricción cinética, cuando un cuerpo resbala sobre otro. También existe la fricción estática, que es la fuerza paralela a las dos superficies, la cual puede presentarse aun cuando no haya deslizamiento. La fricción estática está determinada por F fr = μs FN, siendo μs el coeficiente de fricción estática. Al aumentar la magnitud de la fuerza aplicada (FA) sobre un cuerpo, la fuerza de fricción estática aumenta en forma lineal para equilibrarla exactamente, hasta que la fuerza aplicada llega a μs FN. Si la fuerza aplicada aumenta más, el cuerpo comenzará a moverse y la fuerza de fricción bajará hasta un valor constante, característico de la fricción cinética.Ej.1. Una caja de 10 Kg descansa en un piso horizontal. El coeficiente de fricción estática es μs = 0.4, y el de fricción cinética es μk =0.3. Calcule la fuerza de fricción que obra sobre la caja si se ejerce una fuerza horizontal externa (FA) cuya magnitud es (a) 0 N, (b) 10 N, (c) 20 N, (d) 38 N, y (e) 40 N.

Solución

(a) Como no se aplica fuerza en este primer caso, la caja no se mueve, entonces F = FN – mg = 0, por consiguiente, FN = mg = (10 Kg)(9.8 m/s2) = 98 N y Ffr = 0.

(b) La fuerza de fricción estática se opone a cualquier fuerza aplicada, hasta llegar a un máximo de μs FN = (0.4)(98 N) = 39.2 N, y la fuerza aplicada es de FA = 10 N. Por lo cual la caja no se moverá, y como FA – Ffr =0, entonces Ffr = 10 N.

(c) Tampoco es suficiente una fuerza de 20 N aplicada para mover la caja. Así que, Ffr = 20N.

(d) La fuerza aplicada de 38 N todavía no es lo suficientemente grande como para mover la caja, entonces Ffr = 38 N.

(e) Una fuerza de 40 N hará que la caja comience a moverse, porque es mayor que la fuerza máxima de fricción estática de 39.2 N. En adelante se tiene fricción cinética, en lugar de fricción estática, y la magnitud en este caso es Ffr = μk FN =(0.3)(98 N) = 29 N. Ahora tenemos una fuerza neta horizontal sobre la caja, cuya magnitud F = 40 N – 29 N = 11 N, por ello la caja se acelerará a una tasa, a = F/m = 11 N / 10 Kg = 1.1 m/s2, siempre y cuando la fuerza aplicada siga siendo de 40 N.

Ej.2. Una caja que pesa 10 Kg es arrastrada sobre una superficie horizontal, mediante una fuerza (FP) de 40 N, que se aplica a un ángulo de 30°, y supongamos que el coeficiente de fricción cinética es igual a 0.3. Calcule la aceleración.

Solución FN

FP

Ffr

mg

La fuerza que ejerce la persona (FP), tiene las componentes en los ejes de x e y, las cuales son

FPx = FP cos 30° = (40 N)(0.866) = 35 N FPy = FP sen 30° = (40 N)(0.50) = 20 N

La fuerza con la que el piso empuja el paquete hacia arriba, la fuerza neta es,

F = FN – mg + FPy = 0

entonces, FN = mg – FPy = 98 N – 20 N = 78 N

Para la dirección x, tenemos que la fuerza de fricción es igual a μk FN =(0.3)(78 N) = 23 N. Entonces

F = FPx – Ffr = 35 N – 23 N = 12 N, como F = max, entonces

max = 12N ax = 12 N = 1.2 m/s2. 10 KgEjercicios

1. ¿Cuánta tensión debe resistir una cuerda que se usa para acelerar un automóvil de 1200 Kg a 0.6 m/s2? No tener en cuenta la fricción.2. ¿Qué fuerza se necesita para acelerar una bicicleta de 80 Kg de masa, incluyendo su ciclista, a una tasa de 1.85 m/s2?3. Una fuerza de neta de 225 N acelera un objeto 4.2 m/s2. ¿Cuál es la masa del objeto?4. ¿Cuál es el peso de un astronauta de 70 Kg (a) en la tierra, (b) en la luna (g = 1.7 m/s2), (c) en Venus (g = 8.7 m/s2), y (d) en el espacio exterior viajando a velocidad constante?5. ¿Qué fuerza promedio se necesita para detener un automóvil de 1000 Kg en 6 s cuando viaja a 90 Km/h?6. ¿Cuál es la fuerza promedio que ejerce un tirador de bala sobre la bala de 7 Kg si recorre una distancia de 2.8 m y la suelta con una velocidad de 13 m/s?7. Una caja que pesa 70 N descansa sobre el piso. Una cuerda amarrada a la caja va hacia arriba, pasa por una polea y de su otro extremo se cuelga un peso. Calcule la fuerza que el piso ejerce sobre la caja cuando el peso que cuelga del otro lado de la polea es (a) 30 N, (b) 60 N y (c) 90 N.8. Las dos fuerzas F1 y F2 que se ven en la siguiente figura, obran sobre un objeto de 10 Kg; si F1 = 12 N y F2 = 15 N, calcule la fuerza neta sobre el objeto y su aceleración para cada uno de los casos, (a) y (b). F1 y y x F2

90° F2 120° x

(a) (b) F1

9. El coeficiente de fricción cinética entre una caja de 20 Kg y el piso es 0.3. ¿Qué fuerza horizontal se necesita para mover la caja a una velocidad uniforme por el piso? 10. Hay dos cajas en contacto, con masas de 80 y 110 Kg, y están en reposo sobre una superficie horizontal. Sobre una caja se ejerce una fuerza de 650 N. El coeficiente de fricción cinética es 0.2. Calcule (a) la aceleración del sistema, y (b) la fuerza que ejerce cada caja sobre la otra.