LEZIONE 16 ESERCIZI ESERCIZIO N. 1 Calcolare il carico di sicurezza statico (K) di un materiale, sapendo che la provetta desame, del diametro di 20 mm, si rotta sotto un carico di 1300 kgp. Grado di sicurezza 3,5. Le provette impiegate nelle prove di trazione hanno dimensioni normalizzate, la lunghezza utile 10 d Se la provetta ha diametro d=20 mm, la sezione A=314 mm2 e il carico unitario di rottura del materiale vale: R =F/A = 1300 / 314 = 41,4 kgp/mm2 assumendo un grado di sicurezza: a =3,5

si ottiene il carico unitario di sicurezza: K= R / a = 41,4 / 3,5 = 12 kgp/mm2 ESERCIZIO N. 2 In una prova di trazione entro il limite di proporzionalit si misurata una deformazione relativa del provino uguale a = 0,0005. Il provino ha le seguenti dimensioni: d=2Omm l0=10d e il coefficiente dl proporzionalit E = 20000 kgp/mm2. Si determini il valore del carico che ha prodotto la deformazione. Larea della sezione retta del provino : A = 314 mm2 la lunghezza : l = 10d = 200 mm. Se il materiale non stato sollecitato oltre il limite di proporzionalit, la legge di Hooke stabilisce che F l = 20000 = 20000 0,0005 A l si ottiene il carico F = 314*200000*0,0005=3140 kgp ESERCIZIO N. 3 Calcolare il carico di sicurezza dinamico (limite di fatica) di un acciaio (avente carico di rottura R = 600 N/mm2 ). Assumere il coefficiente di sicurezza a= 2,6. Il carico di sicurezza statico Ka K N K = = 76,9 3 mm

K=

=

600 2,6

Dove Kf il carico di sicurezza a fatica (dinamico).

ESERCIZIO N. 4 Una sbarra di acciaio ( E= 21000 kg/mm2; R=40 kgp/mm2 ) avente sezione quadrata di lato 3 cm, lunga 4 m, soggetta ad un carico assiale N 14000 kgp, applicato allestremo inferiore. Si calcoli lallungamento della sbarra e si verifichi la sua resistenza. Larea della sezione della trave A=30*30=900 mm2 lallungamento risulta: Nl 14000 4000 l = = = 2,9mm EA 21000 900 la tensione interna unitaria kgp N 14000 = = = 15,6 A 900 mm Se R=40 kgp/mm2, lasta fruisce ha un coefficiente di sicurezza: 40 a= = = 2,56 15,6 appena accettabile. ESERCIZIO N. 5 Calcolare la sezione dei due tiranti In ferro articolati alle due estremit, che Kgp sostengono un carico F=20000kgp applicato nel loro punto di unione. = 38 mm Poich i due tiranti sono collegati fra loro con cerniere, il carico (F) si decompone secondo le direzioni individuate dai tiranti.

la sezione minima di ciascun tirante per non superare il carico di sicurezza A N/k = 11560/13 = 890 mm2

= 38

Kgp assumendo a = 2,9 mm carico di sicurezza 38 Kgp = = 13 K= a 2,9 mm F 20000 N= = = 11560 Kgp 2 cos 30 2 0,86

C

ESERCIZIO N. 6 Un sistema a due pulegge mobili sospeso allestremit dl una struttura a tre cerniere. Calcolare Il diametro dellasta superiore, supponendo che il carico massimo da sollevare sia di 2000 kgp, ed assumendo li carico dl rottura del materiale R=48 kgp/mm2. La forza motrice necessaria per sollevare il carico Q=2000Kgp sar

Q 2000 = = 500 Kgp 2n 2 2 Il carico complessivo sul vertice della P 2500 = = 4385 Kgp Scomponendo N= tg 30 0,57 Kgp 48 = = 16 fissato a = 3 sar K= a mm 3 sezione dell ' asta per non min ima il carico ammissibile sup erare F=

struttura

P = 2000 + 500 = 2500 Kgp

A

N 4385 = = 274 mm K 16

r=

A

= 9,34 mm

ESERCIZIO N. 7 Ad un albero verticale, rotante a 40 g/min, sono collegati due fili metallici (lunghi 1 m) ai cui estremi sono fissate due sfere pesanti 20Kgp ciascuna. Calcolare il diametro dei fili assumendo il carico di sicurezza del materiale K=12 Kgp/mm2 Nel sistema di riferimento non inerziale, la forza centrifuga Fc tende ad allontanare le sfere dallasse di rotazione. Allequilibrio i momenti delle Forze P e Fc rispetto alla cerniera C devono annullarsi. r r r P+F +R =0 r r M +M =0

F (l h) Pr = 0 m r (l h) = mgr

Allequilibrio la P e la Fc danno origine a una risultante N avente per retta dazione il filo. La N costituisce perci lo sforzo assiale per i fili.

N= A=

N 36 = = 3mm K 12

P + F = 36 Kgp r=

A

1mm

r = l (l h) = 0,83 m

quindi

=

2 n rad = 4,19 60 sec

(l h) =

F G H

F = m r (l h) =

g

P = mg 9,8 = 0.55m 4,19

F = 20(4,19) 0,83 = 300 N = 30 Kgp

ESERCIZIO N. 8 Un sistema a carrucola semplice atto a sollevare carichi di 2000 kgp, sostenuto da un tirante In acciaio ( R=60 kgp/mm2) di sezione circolare. Considerate le dimensioni riportate in figura, determinare il raggio del tirante.Poich F =Q il carico verticale P = F + Q = 2000 + 2000 = 4000 Kgp a!

L' equilibrio dei momenti rispetto r M = 0 P l cos 60 N 2 cos 30 = 0 Il Il se e A tirante tirante a=3 una K=!

N= di

"

N 3470 = = 173mm 20 K

60 Kgp = 20 3 mm sezione min ima"

avr

sottoposto un

carico

a

un

P l cos 60 = 3470kgp 2 cos 30 3470kgp carico di sicurezza

C

r=

A

= 7,5mm

ESERCIZIO 9 Trave incastrata ( dente nellalveolo) con forze perpendicolari allasse. Lincastro ( diversamente dal sostegno) reagisce producendo forze verso lalto o verso il basso e una coppia di momento MA con braccio uguale alla profondit dellincastro. Le reazioni vincolari (dincastro) si calcolano per mezzo delle equazioni di equilibrio. Asse x XA = 0 y z Asse y YA - F1 - F2 = 0 YA = F1 + F2 x Equazione dei Momenti Flettenti lungo asse z (MFZ) calcolati rispetto allestremo A. MAz + aF1 + L F2 = 0 MAz = - aF1 - L F2

Il momento vincolare dellincastro, nel S.R. adottato, negativo, perci ha verso opposto a quello che si era ipotizzato, sar perci.

Calcoliamo ora le tensioni interne Nella sezione S, posta a distanza x dallestremo libero, le caratteristiche di sollecitazione, secondo le convenzioni sui segni, calcolando rispetto al baricentro di S forze e momenti agenti a destra, sono: Nella S ',0

Il valore del momento calcolato allincastro ( x = L ) nel S.R. adottato M = F L F (l b) = F L aF quindi negativo, perci orientato. Notare che il momento della reazione vincolare ha verso opposto alla sollecitazione interna calcolata al vincolo. Se si calcolassero le sollecitazioni interne riducendo al baricentro della sezione S le forze e i momenti agenti a sinistra di S, con il relativo S.R.$ # $ # &%

= F ( L x) + aF aF LF = F x Dove aF LF il momento del vincolo espresso con il segno riferito al S.R. del tronco Sx. Notare che con i due S.R. dei due tronchi abbiamo trovato gli stessi risultati.( ( ' ' 0 ) (

( F + F )( L x) (b x) F aF LF = F ( L x) + F ( L x b + x) aF LF =( ' ' ( ( ' ' ( '

)

0

21

T =F +F)

M

)

fra

F

= F x F ( x b)

0

21

0

T =F

M

= F x

e

l ' incastro

ESERCIZIO 10 Dente nellalveolo uniformemente caricato. Il carico complessivo sar Q = q l dove q il carico per unit di lunghezza della trave. Dalle equazioni di equilibrio si ricavano le reazioni vincolari dincastro.M M3

MAZ il momento prodotto dall'incastro lungo asse z e calcolato rispetto ad A. Per il calcolo delle reazioni vincolari ho supposto che il carico complessivo Q sia applicato nel baricentro del carico posto in l/2. Il momento trovato positivo quindi concorda con quello ipotizzato. In una generica sezione S a distanza convenzioni per tronco Dx. T = qx98

M

= qx

Dove qx il carico complessivo esistente fra x = 0 e x. Il momento flettente nella S posta in x calcolato ipotizzando che il carico qx fra x=0 e x sia posto nel punto medio x/2.

@

x qx = 2 2

74

+

Ql =0 2

64

74

54

R

ql = 0

R

= ql

l l ql = Q = ql = 2 2 2

x

dallestremo libero, tenendo conto delle

ESERCIZIO 11 Ponte (Trave) con parti a sbalzo, uniformemente caricata su due vincoli (Denti, Pilastri) Il carico complessivo Q = qL che posso pensare applicato nel baricentro L/2. Le reazioni vincolari le ricavo dalle equazioni allequilibrio.R + R Q= 0B A B A

R

l l R =0 2 2

Momenti calcolati rispetto al baricentro L / 2.

Caratteristiche di sollecitazione (Taglio T). S.R. del tronco di Sx.0 x