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CÓNICAS Guillermo Mejías

Resumen

En este trabajo se hace un estudio de las cónicas clásicas como secciones de un cono y como lugares geométricos y se estudian sus propiedades reflexivas. Se explican dos tipos de aplicaciones: telescopios y sistemas de localización de naves.

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Índice

1. Cónicas……………………………………………………………………………………...………… 2 1.1 Las cónicas como secciones de un cono.……………………………………...……. 2 1.2 Las cónicas como lugares geométricos……….……………………………...……... 2

1.2.1 La circunferencia………………...……………………...…………………… 2 1.2.2 La elipse.………………………………………...……………………………….. 3 1.2.3 La parábola……………………...………………...……………………………. 4 1.2.4 La hipérbola…………………………………………..………………………… 5

1.3 Las cónicas como ecuaciones de segundo grado………………………………... 7 2. Propiedades reflexivas de las cónicas. ……………………………………...……...…….. 7 3. Cónicas y telescopios……………………….……………………………………………..…...… 8 4. Hipérbolas y el sistema LORAN de localización…………………………………......... 9

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1. Cónicas En este trabajo presentamos las cónicas tradicionales: la circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola. 1.1 Las cónicas como secciones de un cono. Consideramos un cono con dos troncos unidos por el vértice. Se llama generatriz del cono a cualquier recta sobre su superficie que pasa por el vértice y eje a la recta que une el vértice con el centro de la base. Las cónicas se obtienen al cortar el cono por un plano. Llamamos ω al ángulo que forma el eje del cono y su generatriz y α al que forma el plano con la altura (Fig 1). Si α=90º, el plano es horizontal y se obtiene una circunferencia. Si ω<α<90º, se obtiene una elipse. Si α=ω el plano es paralelo a la generatriz y se obtiene una parábola. Si 0<α<ω, se obtienen las dos ramas de una hipérbola. Hay casos especiales de corte: cuando α=0º se obtienen dos rectas que se cortan en el vértice del cono, cuando α=ω y el plano contiene a la generatriz, se tiene una recta y cuando el corte del plano horizontal es a la altura del vértice del cono, se obtiene un punto. Estas son cónicas degeneradas. (Reinhardt, Soeder & Falk, 1984)

1.2 Las cónicas como lugares geométricos. (Riddle, 1997) La distancia entre dos puntos del plano P(a,b) y Q(c,d) se define como

𝑑(𝑥, 𝑦) = √ (𝑎 − 𝑐)2 + (𝑏 − 𝑑)2. La circunferencia Una circunferencia es el conjunto de los puntos (x,y) del plano, tales que la distancia de (x,y) a un punto fijo, llamado centro, es una constante fija, llamada radio. Si hacemos coincidir el centro de la circunferencia con el origen 𝐶 = (0,0), llamamos r al radio y P(x, y) es cualquier punto de la circunferencia, la distancia de P a C es:

𝑑(𝐶, 𝑃) = √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 = 𝑟

Fig 1 (Reinhardt, Soeder & Falk, 1984)

Fig 2

3

Por tanto, elevando al cuadrado, la ecuación de una circunferencia es:

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2

Si el centro es un punto cualquiera (a,b), en lugar de ser el origen se obtiene: (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2

(Fuller & Tarwater, 1995). Por ejemplo, una circunferencia de centro (1,2) y radio 3 sería:

(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 = 9.

La elipse Una elipse es el conjunto de los puntos (x,y) del plano, tales que la suma de las distancias de (x,y) a un par de puntos fijos distintos, llamados focos, es una constante fija. Si colocamos los focos en (-c,0), en (c,0) y llamamos 2a a la constante fija,

√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 + √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = 2𝑎 Pasando la segunda raíz a la derecha y elevando al cuadrado queda:

(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 + (𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2

Y operando obtenemos: 𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = 𝑎2 + 𝑐𝑥.

Elevando otra vez al cuadrado: 𝑎2((𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2) = 𝑎4 + 2𝑎2𝑐𝑥 + 𝑐𝑥2.

Que, dejando un 1 a la derecha se puede escribir como: 𝑥2

𝑎2 +𝑦2

𝑎2−𝑐2 = 1.

𝑎2 − 𝑐2 es positivo, si lo llamamos 𝑏2, la ecuación de la elipse queda:

𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2= 1

El centro de la elipse es el origen. Cuando x es 0 y es igual a ±b y cuando y es 0 x es igual a ±a. En la elipse de la fig 3 a>b, el eje x es el eje mayor y el eje y es el eje menor. Si a<b, la elipse es como en la fig 4.

Se llama excentricidad a 𝑒 =𝑐

𝑎 . Esta cantidad mide como de “lejana” es la forma

de la cónica con respecto a la de la circunferencia (ver fig 10). Puesto que a>c, la excentricidad es un número que siempre está entre 0 y 1. Sirve para ver si la elipse es más o menos achatada. Si 𝑒 = 0 los dos focos coinciden y la elipse es una circunferencia. Si 𝑒 = 1 los focos están tan alejados que la elipse se estira hasta convertirse en un segmento. Si el centro de la elipse está en un punto cualquiera (h,k), en lugar de estar en el origen, se obtiene:

Fig 3

Fig 4

4

(𝑥 − ℎ)2

𝑎2+

(𝑦 − 𝑘)2

𝑏2= 1

(Fuller & Tarwater, 1995) Por ejemplo, una elipse de centro (1,2), con a=3 y b=2 es:

(𝑥 − 1)2

9+

(𝑦 − 2)2

4= 1

Y su gráfica es horizontal como la de la fig 3 pero con el centro en el punto (1,2). Con el mismo centro, a=2 y b=3 su ecuación es:

(𝑥 − 1)2

4+

(𝑦 − 2)2

9= 1

y su gráfica sería vertical como la de la fig 4, también con el centro en el punto (1,2). La parábola Una parábola es el conjunto de los puntos (x,y) del plano, que están a la misma distancia de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija, llamada directriz, que no contiene al foco. Si el foco es (c,0) y la directriz es x=-c. Como 𝑑(𝑃, 𝐹) = 𝑑(𝑃, 𝐷) (Fig 5)

√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 = |𝑥 + 𝑐| Elevando al cuadrado: 𝑥2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐2 + 𝑦2 = 𝑥2 + 2𝑐𝑥 + 𝑐2 Y simplificando:

𝑦2 = 4𝑐𝑥

Si en todo lo anterior se intercambia la x con la y, la parábola es como en la fig 6 y su ecuación es:

𝑥2 = 4𝑐𝑦 La excentricidad de la parábola es 1. La “lejanía” de su forma con respecto a la de la circunferencia está entre la de la elipse y la de la hipérbola (ver fig 10). Si el vértice de la parábola está en un punto cualquiera (h,k), en lugar de estar en el origen, se obtiene:

(𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑐(𝑥 − ℎ) 𝑜 (𝑥 − ℎ)2 = 4𝑐(𝑦 − 𝑘) (Fuller & Tarwater, 1995)

Fig 5 Fig 6

5

Por ejemplo, una parábola con el vértice en (1,1) y distancia al foco 2 tiene la ecuación:

(𝑦 − 1)2 = 8(𝑥 − 1) y su gráfica sería como la de la fig 5 pero desplazada una unidad hacia arriba y una hacia la derecha. Un ejemplo como el de la fig 6 con distancia al foco 3 sería:

𝑥2 = 12𝑦 La hipérbola Una hipérbola es el conjunto de los puntos (x,y) del plano, tales que la diferencia entre las distancias de (x,y) a un par de puntos fijos distintos, llamados focos, es una constante fija. Si colocamos los focos en (-c,0), en (c,0) y llamamos 2a a la constante fija,

√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 − √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = ±2𝑎 Pasando la segunda raíz a la derecha y elevando al cuadrado queda:

(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 = 4𝑎2 ± 4𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 + (𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2

Y operando obtenemos: ±𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = 𝑎2 + 𝑐𝑥 Elevando otra vez al cuadrado: 𝑎2((𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2) = 𝑎4 + 2𝑎2𝑐𝑥 + 𝑐𝑥2

Que se puede escribir de la siguiente manera: 𝑥2

𝑎2 −𝑦2

𝑐2−𝑎2 = 1

Llamando 𝑏2 a 𝑐2 − 𝑎2 la ecuación de la hipérbola queda: 𝑥2

𝑎2−

𝑦2

𝑏2= 1 (1)

Cuando se intercambia x e y en lo anterior se obtiene una hipérbola como en la fig 8 y su ecuación es:

𝑦2

𝑎2−

𝑥2

𝑏2= 1 (2)

En este caso la excentricidad, 𝑒 =𝑐

𝑎 , es siempre mayor que 1 porque c>a (ver fig

10). Si e está cerca de 1 es porque c y a son parecidos, de la expresión 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 se tiene que b es pequeño comparado con a y la hipérbola tiene un aspecto más alargado horizontalmente en el caso (1) y verticalmente en el caso (2). Si el centro de la hipérbola está en un punto cualquiera (h,k), en lugar de estar en el origen, se obtiene:

(𝑦 − 𝑘)2

𝑎2−

(𝑥 − ℎ)2

𝑏2= 1

(Fuller & Tarwater, 1995)

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Un ejemplo de hipérbola como la de la fig 7 con 𝑎=2 y 𝑏=4 es: 𝑥2

4−

𝑦2

16= 1.

Un ejemplo de hipérbola del tipo de la fig 8 pero centrada en el punto (2,3) con 𝑎=2

y 𝑏=4 es: (𝑦−3)2

4−

(𝑥−2)2

16= 1.

La hipérbola es la única cónica que tiene asíntotas. Para obtenerlas, despejamos 𝑦 de (1) y se obtiene:

𝑦 = ±√𝑏2

𝑎2(𝑥2 − 𝑎2)

Vamos a realizar el razonamiento con el signo +, con el signo – se haría de la misma forma. La pendiente de la asíntota, m, se obtiene como:

𝑚 = lim𝑥→∞

𝑓(𝑥)

𝑥= lim

𝑥→∞√

𝑏2

𝑎2

(𝑥2 − 𝑎2)

𝑥2= √

𝑏2

𝑎2=

𝑏

𝑎

Por otro lado:

𝑛 = lim𝑥→∞

(𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥) = lim𝑥→∞

√𝑏2

𝑎2(𝑥2 − 𝑎2) −

𝑏𝑥

𝑎= lim

𝑥→∞

𝑏

𝑎(√𝑥2 − 𝑎2 − 𝑥)

Como sale una indeterminación del tipo ∞-∞ multiplicamos y dividimos por el

conjugado, es decir, √𝑥2 − 𝑎2 + 𝑥 y se obtiene:

lim𝑥→∞

𝑏

𝑎·

𝑥2 − 𝑎2 − 𝑥2

√𝑥2 − 𝑎2 + 𝑥 = lim

𝑥→∞

−𝑏𝑎

√𝑥2 − 𝑎2 + 𝑥 = 0

Por tanto, una asíntota de la hipérbola es 𝑦 =𝑏

𝑎· 𝑥 y la otra es 𝑦 = −

𝑏

𝑎· 𝑥.

De la misma forma se comprueba que las asíntotas de (2) son:

𝑦 =𝑎

𝑏· 𝑥 y 𝑦 = −

𝑎

𝑏𝑥.

Fig 7

Fig 8

7

Fig 9

Fig 9

1.3 Las cónicas como ecuaciones de segundo grado. Desde el punto de vista algebraico una cónica es una ecuación de segundo grado en las variables x, y es decir, la ecuación general de una cónica viene dada por una expresión de la forma:

𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑣 + 𝐹 = 0 Donde A, B y C no son 0 a la vez. Según sean A, B, C, D, E y F esta ecuación determinará una cónica u otra. (De Guzmán, 1974). Si, por ejemplo, A=C=1, B=D=E=0 y F=-r2 = -4, se obtiene la circunferencia 𝑥2 +𝑦2 = 4 (A y C son iguales).

Si A=1/4, C=1/9, B=D=E=0 y F=-1, se obtiene la elipse 𝑥2

4+

𝑦2

9= 1 (A y C son

distintas, con el mismo signo). Si C=1, D=-8 y A=B=E=F=0, se obtiene la parábola 𝑦2 = 8𝑥 (A o C son nulas).

Si A=2, C=-3, B=D=E=0 y F=-1/6, se obtiene la hipérbola 𝑥2

3−

𝑦2

2= 1 (A y C tienen

distinto signo).

2. Propiedades reflexivas de las cónicas La ley de reflexión de la luz afirma que el ángulo que forma un rayo con la tangente de una superficie a la que llega es igual al ángulo con el que sale. Las cónicas tienen las siguientes propiedades geométricas (fig 11):

La tangente a un punto P de una parábola forma el mismo ángulo con la paralela al eje de simetría que pasa por P que con el segmento que une P y el foco.

La tangente a un punto P de una elipse forma ángulos iguales con los segmentos que unen P y los focos.

La tangente a un punto P de una hipérbola forma ángulos iguales con los segmentos que unen P y los focos.

Fig 10

(Hyperphysics.phy-astr.gsu.edu, 2014)

8

(Cónicas. Propiedades métricas y ópticas, 2014)

Como consecuencia, se tienen las siguientes: Propiedades de reflexión de las cónicas: En una sección de espejo con forma de parábola, un rayo que sale de su foco se refleja sobre su superficie saliendo paralelamente al eje de la parábola y un rayo que llegue a la parábola paralelo a su eje, se refleja en ella dirigiéndose al foco. Esta propiedad es la que se usa por ejemplo, en tres dimensiones, en los faros clásicos de los coches para que la luz de la bombilla salga paralelamente a la carretera (fig 12). (Alegría, 2014) En una sección de espejo con forma de elipse, un rayo que parte de uno de sus focos se refleja sobre la superficie parabólica dirigiéndose al otro foco.

Esta propiedad se usa por ejemplo, en tres dimensiones, en las cámaras de eco. Cuando se susurra en uno de los focos, se oye perfectamente en el otro foco (fig 13). También en la destrucción de piedras en el riñón se usa esta propiedad para evitar daños en los tejidos sanos, colocando el emisor de radiación en un foco y el cálculo en otro. (Alegría, 2014) En una sección de espejo con forma de hipérbola, un rayo que llega a la superficie apuntando a uno de los focos se refleja sobre la superficie dirigiéndose hacia el otro foco y si el rayo parte de uno de los focos, se refleja alejándose del segundo foco. Vemos ejemplos de aplicaciones de la reflexión en hipérbolas a continuación.

(Alegría, 2014)

Fig 11

Fig 12 Fig 13

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3. Cónicas y telescopios

Estas propiedades de la parábola y de la hipérbola se utilizan para construir telescopios. El caso más sencillo es el del telescopio de foco primario que se construye con un espejo parabólico y el visor se coloca en el foco de la parábola (fig 14a). Presentan el problema de que el visor obstaculiza el campo de visión. Una primera solución es el telescopio newtoniano, consiste en colocar un espejo plano formando un ángulo de 45º con el eje del espejo parabólico, entre él y el foco, esto permite colocar el visor en un lateral, fuera del telescopio (fig 14b). Sin embargo, cuando el seguimiento de un cuerpo celeste necesita hacerse durante mucho tiempo, el telescopio debe moverse y si es muy grande, no es fácil colocar al observador. Otra opción es poner un segundo espejo, de forma hiperbólica que dirija los rayos hacia un punto tras el espejo parabólico (fig 14c). El foco de la parábola debe coincidir con uno de los de la hipérbola. Los telescopios así construidos se denominan de tipo Cassegrain

(Fuller & Tarwater, 1995).

Ejemplo de cálculos para la colocación del visor en un telescopio de foco primario Supongamos que se dispone de un espejo con forma parabólica cuyo diámetro es 6 m y una profundidad de 1 metro. Para calcular dónde colocar el visor hallamos el foco de la parábola del modo siguiente: Se coloca el vértice del espejo en el origen, el foco sobre el eje X y la parábola abierta hacia la derecha, un punto de ella será (1,3). Usando la fórmula y2=4cx y sustituyendo el punto, obtenemos que 9=4c, por tanto c=2’25 m. Esta es la distancia al origen, sobre el eje de abscisas, en la que hay que colocar el visor (fig 15).

Fig 14

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Ejemplo de obtención de la posición del visor de un telescopio newtoniano Si en el ejemplo anterior queremos poner el visor en un lateral, supongamos que el espejo pequeño, plano, colocado a 45º del eje está a una distancia, por ejemplo, de 1’25 m del vértice. Hemos visto que la expresión para la parábola es y2=9x y la distancia del vértice al foco es c=2’25, por tanto, la distancia del visor al eje de la parábola debe ser 2’25-1’25=1 m (fig 16). Ejemplo de obtención de la ecuación de los espejos en un telescopio Cassegrain Se puede calcular la ecuación de la parábola y de la hipérbola con las que se construye el espejo primario y secundario respectivamente, si por ejemplo se conoce la distancia entre el vértice, V, del espejo parabólico y su foco, F, la distancia entre el vértice del mismo y el lugar en el que se quiere colocar el espejo hiperbólico, así como la distancia entre el segundo foco, F’ (detrás del espejo parabólico), de la hipérbola y V. Supongamos, por ejemplo, que estas medidas son 10 m, 9 m y 2 m, respectivamente, es decir (fig 17):

𝑉𝐹 = 10 𝑉𝐻 = 9 𝐹’𝑉 = 2 Suponemos que V está en el origen y el eje de la parábola y el eje mayor de la hipérbola sobre el eje de abscisas. Hacemos coincidir el foco F de la parábola con el foco de la derecha de la hipérbola. La ecuación de la parábola es 𝑦2 = 4𝐶𝑥. Como la C es la distancia del vértice al foco C=10. Por tanto la ecuación de la parábola es: y2=40x. La ecuación de la hipérbola, al estar sobre el eje x es:

(𝑥 − ℎ)2

𝑎2−

𝑦2

𝑏2= 1

Donde (h, 0) es su centro. La distancia focal entre F y F’ es 2𝑐 = 𝐹’𝑉 + 𝑉𝐹 = 2 +10 = 12 m, por tanto c=6. Por otro lado, HF=VF-VH=10-9=1m, por tanto la distancia del centro de la hipérbola a su vértice es igual a: 𝑎 = 𝑐 − 1 = 5. Para obtener b usamos 𝑏2 = 𝑐2 − 𝑎2 = 36 − 25 = 11. Sabemos que el centro de la hipérbola es (h, 0) con ℎ = 𝑉𝐹 − 𝑐 = 10 − 6 = 4. Por tanto la ecuación de la

Fig 15 Fig 16

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hipérbola es: (𝑥 − 4)2

25−

𝑦2

112= 1

4. Hipérbolas y el sistema LORAN de localización LORAN (long range navigation) es un sistema de ayuda a la navegación que sirve para localizar la posición de una nave. Consiste en mandar una señal de radio desde dos estaciones alejadas, A y B, de posición conocida, a un receptor, X, cuya posición se quiere conocer. La diferencia de tiempo de llegada entre una y otra permite saber cuál es la estación emisora que está más cerca y cuanto más cerca que la otra está de X. Esta información da la expresión de una hipérbola con los focos en A y B. Una tercera estación, C, junto con una de las primeras, A o B (o dos estaciones nuevas C y D) generan una segunda hipérbola de la misma forma. La intersección de ambas hipérbolas determina el punto donde está X. La ecuación de las hipérbolas se obtiene del siguiente modo: Si llamamos dt al tiempo que pasa desde que llega la primera señal a X hasta que llega la segunda, como la velocidad de las ondas de radio es 295 Km/ms, y la velocidad es igual a espacio dividido por el tiempo, podemos deducir cuánto más cerca está la primera estación que la segunda de X. A esta distancia la llamamos ds y será ds=dt*295. Si la señal de A fuese la que llega primero, se debe cumplir que la distancia de B a X es igual a la distancia de A a X mas ds, d(X,A)+ds=d(X,B), es decir X es uno de los puntos del plano, tal que la diferencia entre las distancias de X a un par de puntos fijos A y B (focos) es una constante fija, ds. Esta es precisamente la definición de hipérbola de focos A y B. Ejemplo de localización de un barco con el sistema LORAN Supongamos que las emisoras están en los puntos A(0,0), B(0,600), C(600,0), y el barco que se quiere localizar está en X(x,y). Medimos el espacio en kilómetros y el tiempo en milisegundos. Supongamos también que la señal de B llega a X 0’339 ms antes que la de A. Como antes, podemos deducir que ds=0’339*295=100 Km es la distancia a la que B está más cerca de X que A. Por tanto, d(X, A)=100+d(X,B) y usando la fórmula de la distancia entre dos puntos que vimos en el primer apartado, se tiene que:

√(𝑥2 + 𝑦2) = √𝑥2 + (𝑦 − 600)2 + 100 (2)

Fig 17

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Esta es la fórmula de una hipérbola de focos (0,0) y (0,600) (línea roja en la figura 18). Análogamente, si la señal de C llega a X 0’678 ms antes que la de A, C estará a 0’678 · 295 = 200 Km más cerca de X que A. Por tanto, 𝑑(𝑋, 𝐴) = 200 + 𝑑(𝑋, 𝐵) y

√(𝑥2 + 𝑦2) = √(𝑥 − 600)2 + 𝑦2 ) + 200 (3) Esta es la fórmula de una hipérbola de focos (0,0) y (600, 0) (línea azul en la figura 18). De la misma forma que hemos explicado en la deducción teórica de la ecuación de una hipérbola (elevando dos veces al cuadrado), las dos ecuaciones anteriores se pueden expresar de la siguiente forma polinómica: 𝑥2 + 𝑦2 − (1750 − 6𝑦)2 = 0 𝑥2 + 𝑦2 − (800 − 3𝑥)2 = 0 (Alegría, 2014):

Resolviendo este sistema de ecuaciones con un ordenador, se obtienen cuatro puntos:

X1=(139.44, 355.28), X2=(425.07, 212.46), X3=(471.50, 394.08) y X4=(168.28, 242.47),

de los que solo X3=(471.50, 394.08) cumple las ecuaciones (2) y (3), es decir X=X3.

Fig 18

A C

B

X

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Bibliografía Riddle, D. (1997). Geometría Analítica (6ª ed.). México: International Thompsom. Reinhardt, F., Soeder, H., & Falk, G. (1984). Atlas de Matematicas. Madrid: Alianza Editorial. Fuller, G., & Tarwater, D. (1995). Geometría Analítica (7ª ed.). Wilgmington: Adison-Wesley Iberoamericana. De Guzmán, M. (1974). Matemáticas en el Mundo Moderno. Madrid: Blume. Hyperphysics.phy-astr.gsu.edu, (2014). Conic Sections. [En línea] Disponible en: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/math/consec.html [Accedido10 Dic. 2014]. Cónicas. Propiedades métricas y ópticas. (2014). 1st ed. [PDF] Disponible en: https://alojamientos.uva.es/guia_docente/uploads/2012/473/45992/1/Documento12.pdf [Accedido10 Dic. 2014]. Alegría, P. (2014). Las Cónicas y sus Aplicaciones. 1st ed. [PDF] Disponible en: http://www.ehu.es/~mtpalezp/conicas.pdf [Accedido10 Dic. 2014].