1

G a z d a s á g i m a t e m a t i k a 1 1 0 0 p o n t o s k o l l o k v i u m G a á l L á s z l ó

2 0 1 2 / 1 3 / 1 .

Gyakorló feladatok a 100 pontos

kollokviumra

Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát!

1. Elmélet (14+3+3=20 pont)

a) Tétel kimondása+ bizonyítás

b) Tétel kimondása vagy definíció

c) Tétel kimondása vagy definíció

2. Sorozatok, sorok, stb (0. és 1. Zh anyaga) (3+6+5+6=20 pont)

2.1

a) Az adott xxf 5)( és 3 4)( xxg függvények esetében határozza meg a fgh összetett

függvényt, írja fel az f,g és h függvények értelmezési tartományait is!

b) Vizsgálja meg az )(,15

43Nn

n

nan sorozatot monotonitás, korlátosság és konvergencia szempontjából!

c) Állapítsa meg a 1 4

3

nn

végtelen sorról, hogy konvergens-e; ha igen, számítsa ki az összegét!

d) Számítsa ki a következő függvény-határértéket: 20136

1452lim

x

xx

x

!

2

G a z d a s á g i m a t e m a t i k a 1 1 0 0 p o n t o s k o l l o k v i u m G a á l L á s z l ó

2 0 1 2 / 1 3 / 1 .

2.2

a) Adja meg az 1)25ln()( xxf függvény inverzét és írja fel az f és 1f függvények értelmezési

tartományait is!

b) Vizsgálja meg az )(,1

24Nn

n

nan sorozatot monotonitás, korlátosság és konvergencia

szempontjából!

c) Határozza meg a következő függvény-határértéket:

17

12

32lim

x

x x

x!

d) Adja meg a „p” paraméter értékét úgy, hogy az alábbi függvény folytonos legyen! Válaszát indokolja!

5,

5,6)(

5

xhap

xhaexf

x

2.3

a) Írja Adott a következő két függvény :

23)( xxf xxg 81)(

Képezze a h= gf és a j= fg összetett függvényt! Írja fel az f,g,h,j függvények értelmezési tartományát!

b) Állapítsa meg az )(,43

17Nn

n

nan sorozat határértékét és a határérték definiciója alapján adja meg az

Nn0 küszöbszámot tetszőleges 0 -hoz, majd 210 -hoz!

c) Határozza meg a következő függvény-határértéket: 187

1492

2

2lim

xx

xx

x

!

d) Folytonos-e az alábbi függvény! Válaszát indokolja!

0,4

0,9)(

2

xhax

xhaxxf

3

G a z d a s á g i m a t e m a t i k a 1 1 0 0 p o n t o s k o l l o k v i u m G a á l L á s z l ó

2 0 1 2 / 1 3 / 1 .

2.4

a) Adott a következő két függvény :

xxf 7)( 5 32)( xxg

Képezze a h= gf és a j= fg összetett függvényt!

Írja fel az f,g,h,j függvények értelmezési tartományát!

b) Vizsgálja meg az alábbi sorozatot monotonitás, korlátosság és határérték szempontjából: 15

43

n

nan !

c) Számítsa ki az alábbi határértéket!

6

573lim

6 x

x

x

d) Folytonos-e az alábbi függvény! Válaszát indokolja!

0,5

0,1)(

xhax

xhaexf

x

3. Gazdasági függvények (12+4+4=20 pont)

3.1

Adott egy termék keresleti függvénye (kg): 6

40)(

x

exf , )( Rx

, x a termék egységára(ezer Ft/kg)

a) Milyen egységár mellett lesz a bevétel maximális, és mekkora ennek az értéke?

b) Állapítsa meg az )(xf keresleti függvény elaszticitását az 380x helyen és értelmezze a kapott eredményt!

c) Adja meg az 8523)( 24 xxxxf függvény grafikonját a ))1(;1( f pontban érintő egyenes

egyenletét!

4

G a z d a s á g i m a t e m a t i k a 1 1 0 0 p o n t o s k o l l o k v i u m G a á l L á s z l ó

2 0 1 2 / 1 3 / 1 .

3.2

Adott egy termék keresleti függvénye (kg): xxf 8,01200)( , 15000 x

, x a termék egységára(ezer Ft/kg)

a) Milyen egységár mellett lesz a bevétel maximális, és mekkora ennek az értéke?

b) Állapítsa meg az )(xf keresleti függvény elaszticitását az 8000x helyen és értelmezze a kapott

eredményt!

c) Adja meg az 1272)( 34 xxxxf függvény grafikonját a ))1(;1( f pontban érintő egyenes

egyenletét!

3.3

Ismeretes, hogy egy cég valamely termékének )(xB árbevételi, illetve )(xK költségfüggvénye a következő:

25,080)( xxxB illetve 200010)( xxK ahol ]200;80[x a termék darabszámban kifejezett

mennyisége.

a) Határozza meg a termék azon darabszámát, amelynek értékesítése esetén a cég nyeresége maximális

lesz! Számítsa ki a maximális profit értékét is!

b) A fedezeti pont a nulla veszteséghez és profithoz tartozik. Határozza meg, hogy fedezeti pont milyen

termelési mennyiséghez tartozik!

c) Adja meg az 932)( 2 xxxf függvény grafikonját a ))2(;2( f pontban érintő egyenes

egyenletét!

3.4

Adott egy termék keresleti függvénye (kg): 24,048000)( xxf , 2500 x

, x a termék egységára(ezer Ft/kg)

a) Milyen egységár mellett lesz a bevétel maximális, és mekkora ennek az értéke?

b) Állapítsa meg az )(xf keresleti függvény elaszticitását az 1000x helyen és értelmezze a kapott

eredményt!

5

G a z d a s á g i m a t e m a t i k a 1 1 0 0 p o n t o s k o l l o k v i u m G a á l L á s z l ó

2 0 1 2 / 1 3 / 1 .

c) Adja meg az 118)( 23 xxxxf függvény grafikonját a ))2(;2( f pontban érintő egyenes

egyenletét!

4. Integrálok (3+5+6+6=20 pont)

4.1

a) dxxx )5)(62( 2

b) dxx

x5

02 17

8

c) Számítsa ki a következő improprius integrált: dxx4

3

5.

d) Számítsa ki az 1072 xxy egyenlettel adott parabola és a koordináta tengelyek által bezárt korlátos

síktartomány területének mérőszámát!

4.2

a) dxx

xxx 22743

b) dxx

x3

032 )1(

11

c) Számítsa ki a következő improprius integrált: dxx

2

4

2.

d) Számítsa ki az x

xxf2

8)( függvény grafikonja alatti terület mérőszámát az ]5;1[x zárt intervallumon!

4.3

a) dxx

xxx2

2 3243

b) dxxx

7

2

2 25

6

G a z d a s á g i m a t e m a t i k a 1 1 0 0 p o n t o s k o l l o k v i u m G a á l L á s z l ó

2 0 1 2 / 1 3 / 1 .

c) Számítsa ki a következő improprius integrált: dxx

0

77ln .

d) Számítsa ki az 25,2)( xxf és a 95,3)( 2xxg függvények görbéi által bezárt korlátos síktartomány

területének mérőszámát!

4.4

a) dxx

x

xx

5

225453

b) dxxx

2

0

2 947

c) Számítsa ki a következő improprius integrált: dxx

1

3

6.

d) Számítsa ki az 24)( xxf és a 126)( xxg függvények görbéi által bezárt korlátos síktartomány

területének mérőszámát!

4.5

a) dxx

xx2

7)35( 2

b) dxxx

1

0

32 )12(3

c) Számítsa ki a következő improprius integrált: dxx

0

2)96(

1.

d) Számítsa ki az 2092 xxy egyenlettel adott parabola és az x tengely által bezárt síkidom területének

mérőszámát!

7

G a z d a s á g i m a t e m a t i k a 1 1 0 0 p o n t o s k o l l o k v i u m G a á l L á s z l ó

2 0 1 2 / 1 3 / 1 .

5. Kétváltozós függvények (18+2=20 pont)

5.1

Egy üzem kétféle terméket hoz forgalomba, jelöljük A-val az egyiket és B-vel a másikat. Jelentse a

xyyxyxT 1243100);( 23 ; Ryx,0 ; függvény a két termék negyedévi eladásából származó

(millió forintban megadott) tiszta bevételt, ahol x és y rendre az A, illetve a B termék 1000 darabban kifejezett

mennyiségét jelenti.

a) Milyen eladási darabszámok esetén érne el az üzem maximális negyedévi tiszta bevételt, és mekkora ez

a maximális bevétel?

b) Írja fel a );( yxT függvény esetére a (14;3) ponthoz tartozó x változó szerinti )(1 xT szintfüggvényt!

5.2

Egy üzem kétféle terméket hoz forgalomba, jelöljük A-val az egyiket és B-vel a másikat. Jelentse a

2002216432);( 22 yxxyyxyxK ; Ryx,0 ; költségfüggvény a két termék havi előállítási

költségét (millió forintban), ahol x és y rendre az A, illetve a B termék 1000 darabban kifejezett mennyiségét

jelenti.

a) Milyen termékösszetétel esetén lesz a havi költség minimális, és mekkora ez a minimális költség?

b) Írja fel a );( yxK függvény esetére a (2;35) ponthoz tartozó y változó szerinti )(2 yK szintfüggvényt!

5.3

Adott a 1234);( yxyxf kétváltozós függvény.

a) Írja fel a (6;-2,5) ponthoz tartozó x változó szerinti szintfüggvényt!

b) Határozza meg a Lagrange-féle módszerrel az adott );( yxf függvény lehetséges szélsőérték pontjainak

x, y, z koordinátáit a 0172);( 22 yxyx feltétel mellett!

5.4

Adott a 42);( 22 yxyxf kétváltozós függvény.

a) Írja fel a P(2;-10) ponthoz tartozó y változó szerinti szintfüggvényt!

b) Határozza meg a Lagrange-féle módszerrel az adott );( yxf függvény lehetséges szélsőérték pontjainak x, y,

z koordinátáit a 01743);( yxyx feltétel mellett!

8

G a z d a s á g i m a t e m a t i k a 1 1 0 0 p o n t o s k o l l o k v i u m G a á l L á s z l ó

2 0 1 2 / 1 3 / 1 .

5.5

Adott a 18)2()3();( 22 yxyxf kétváltozós függvény.

a) Írja fel a P(-2;-3) ponthoz tartozó y változó szerinti szintfüggvényt!

b) Határozza meg a Lagrange-féle módszerrel az adott );( yxf függvény lehetséges szélsőérték pontjainak x, y,

z koordinátáit a 0132);( yxyx feltétel mellett!