Mat1. 03 limites

MATEMÁTICA I.

CÁLCULO DIFERENCIAL PARA

ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,

CIENCIA Y TECNOLOGÍA.

CAPÍTULO 3: LÍMITES.

Capítulo 3. Límites.

Matemática I. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 1

Ing. Willians Medina.

Maturín, Agosto de 2015.

3.1.- DEFINICIÓN DE LÍMITE.

Definición intuitiva del límite de una función.

La noción de que las imágenes de una función )(xf tiende a un número L ( Lxf )( )

cuando x tiende a un número 0x ( 0xx ) se puede establecer de la siguiente manera: Si

)(xf puede aproximarse arbitrariamente a un número finito L, tomando a x

suficientemente cercano pero distintos de un número 0x , tanto por el lado izquierdo como

por el lado derecho entonces Lxfxx

)(lim0

.

Notación: 0xx : Indica que “x” tiende a 0x por la izquierda.

0xx : Indica que “x” tiende a 0x por la derecha.

__________ 0x __________

0xx 0xx

En este caso, para que Lxfxx

)(lim0

entonces )(lim)(lim00

xfxx

xfxx

= )(lim0

xfxx

.

Observación: La existencia del límite de una función f en 0xx no depende de si f está

definida en 0xx sino solamente si f está definida para valores cercanos a 0x tanto por la

derecha como por la izquierda.



Ejemplo 3.1.

Sea 5

25)(

2

x

xxf . Utilice la calculadora para determinar y tabular los valores de )(xf

cuando x toma valores 4, 4.5, 4.9, 4.99, 4.999 y cuando x es igual a 6, 5.5, 5.1, 5.01, 5.001.

¿A qué valor parece que se aproxima )(xf conforme x tiende a 5?

4 4.5 4.9 4.99 4.999

6 5.5 5.1 5.01 5.001

Conclusión:

10)(lim5

xfx

105

252

lim5

x

x

x

Ejercicios propuestos.

1. Considere 4

2)(

x

xxf . Utilice una calculadora para determinar y tabular los valores

de )(xf cuando x es igual a 3, 3.5, 3.9, 3.99, 3.999 y cuando x es igual a 5, 4.5, 4.1, 4.01,

4.001. ¿A qué valor parece que se aproxima )(xf conforme x tiende a 4?

En los ejercicios 2 y 3, utilice una calculadora para determinar con cuatro cifras decimales

y tabular los valores de )(xf para los valores especificados de x. ¿A qué valor parece que

se aproxima )(xf conforme x tiende a c?

2. 12

65)(

2

2

xx

xxxf ; x es –4, –3.5, –3.1, –3.01, –3.001, –3.0001 y x es –2, –2.5, –2.9, –

2.99, –2.999, –2.9999; 3c .



3. x

xxf

42)( ; x es –1, –0.5, –0.1, –0.01, –0.001 y x es 1, 0.5, 0.1, 0.01, 0.001;

0c .

Definición formal del límite de una función.

Sea f una función definida en cada número de algún intervalo abierto que contiene a a,

excepto posiblemente en el número a mismo. El límite de )(xf conforme x se aproxima a

a es L, lo que se escribe como

Lxfax

)(lim

si la siguiente proposición es verdadera:

dada cualquier 0 , no importa cuán pequeña sea, existe una 0 tal que

Lxf )( siempre que ax0 .

Ejemplo 3.2.

Utilice la definición de límite para demostrar que 3)54(lim2

xx

.

R. 41

Ejemplo 3.3.

Demuestre, aplicando la definición, que el límite es el número indicado.

7122lim

2

xxx

R. 71,1min


4. Demuestre, aplicando la definición, que el límite es el número indicado.

a) 33lim6

x

b) 77lim2

x

c) 9)12(lim4

xx

d) 5)74(lim3

xx

e) 2)37(lim3

xx

f) 4lim )3( 2

1

xx

g) 10)3( 2lim

2

xxx

h) 21

12

lim1

x

x

x

i) 63

92

lim3

x

x

x



j) 3

1

3

2lim

3

xx

k) 4

1

2

4lim

6

x

x

x

l) 194

lim3

x

x

x

m) 5)2(lim9

xx

n) 35lim4x

x ñ) 21

3lim

6x

x

x

o) 03lim9

xx

p) 3)21(lim 3

4x

x

3.2.- TEOREMAS SOBRE LÍMITES DE FUNCIONES.

Límite de una función constante.

Si c es una constante, entonces para cualquier número a cca

limx

.

Ejemplo 3.4.

Calcular los siguientes límites:

a) 7lim5x

b) 7lim2x

c) )4(lim5x

d) 3lim1x

e) 2lnlim0x

f) 21lim1x

e

R. a) 7; b) 7; c) –4: d) 3 ; e) 2ln ; f) 21 e

Límite de la función identidad.

axa

limx

Ejemplo 3.5.


a) xlim6x

b) xlim2x

c) xlim3x

d) xlim3x

e) xlim2lnx

R. a) –6: b) 2; c) 3; d) 3 ; e) 2ln

Límite de la n-ésima potencia de x .

Si n es cualquier número real positivo, entonces nn axa

limx

.



Ejemplo 3.6.


a) 2lim

3x

x

b) 4lim

2x

x

c) 3lim

2z

x

R. a) 9; b) 16; c) –8.

Límite del producto de una constante por una función.

Si c es una constante cualesquiera, entonces )()( limlimxx

xfcxfcaa

.

Ejemplo 3.7.


a) x3lim5x

b) 25lim4x

x

c) 34lim3x

x

R. a) 15; b) 80; c) –108.

Límite de una función lineal.

Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces bambxma

limx

.

Ejemplo 3.8.


a) 53lim2x

x b) 25lim4x

x c) x27lim2x

R. a) 11; b) –18; c) 11.


5. Calcular los siguientes límites.

a) 72lim4x

x b) 34lim1x

x c) 73lim5x

x d) x31lim2x

Límite de la suma y de la diferencia de dos funciones.

Si Lxfa

)(limx

y Mxga

)(limx

, entonces

MLxgxfa

)]()([limx

Ejemplo 3.9.

Calcular los siguientes límites.



a) )8( 3lim

2z

z b) x37lim3x

c) 42lim

2x

x

R. a) 0; b) –2; c) 0.

Límite de la suma y de la diferencia de n funciones.

Si 11

)(limx

Lxfa

, 22

)(limx

Lxfa

... y nn

Lxfa

)(limx

, entonces

nnLLLxfxfxf

a

2121

)]()()([limx

Ejemplo 3.10


a) 122lim

2x

xx b) 542 2lim

3x

xx

R. a) 7; b) 11.


6. Calcular los siguientes límites:

a) 572lim

3x

xx b) 122lim

2x

xx c) )432 23(lim

1y

yyy

d) )543(lim

1

ttt

Límite del producto de dos funciones.

Si Lxfa

)(limx

y Mxga

)(limx

, entonces

MLxgxfa

.. )]()([limx

Ejemplo 3.11


a) ])12([lim4x

xx b) ])37()34([lim1x

xx

c) ])31()72([lim1x

xx

R. a) 36; b) 28; c) 36.

Límite del producto de n funciones.

Si 11

)(limx

Lxfa

, 22

)(limx

Lxfa

... y nn

Lxfa

)(limx

, entonces



nnLLLxfxfxf

a

2121

.. )]()()([limx

Ejemplo 3.12.


a) ])3()1()27([lim1x

xxx b) ])1()25()73([lim1x

xxx

R. a) 0; b) –56.

Límite de la n-ésima potencia de una función.

Si Lxfa

)(limx

y n es cualquier número real positivo, entonces nn Lxfa

)]([limx

.

Ejemplo 3.13.


a) 4)75(lim2x

x b) 32

2 8

15lim

3r

x

x c) 2)5(lim

2u

u

R. a) 81; b) 3 44 ; c) 9.

Límite del cociente de dos funciones.

Si Lxfa

)(limx

y Mxga

)(limx

, entonces M

L

xg

xf

a

)(

)(lim

x

si 0M .

Ejemplo 3.14.


a) 15

54lim

3x

x

x b)

17lim

4x x

x

R. a) 21 ; b)

274 .



a) 18

43lim

2x

x

x b)

62

53

2

lim2t

t

t c)

43

122lim

1x

xx

x

d) 15

26lim

3x

x

x e)

5

13852

2

lim3x

x

xx f)

1

12

3

lim3x

x

x



g) 2

42

23

lim

u

u

u

h) 2

22

lim0

v

vv

v

Límite de la raiz n-ésima de una función.

Si

Lxfa

)(limx , entonces

nn L)x(fa

limx

con la restricción de que si n es par, 0L .

Ejemplo 3.15.


a) 5

322

3

lim2x

x

xx b)

3

18lim

1

r

r

r

R. a) 35 ; b)

23 .



a) 1

433

2

lim2x

x

xx b) 3

2

2

12

43lim

4x

xx

xx c) 3

17lim

4x x

x

d) 3

5

25lim

3x x

x

e) 13

2lim

1

x

x

x

f) 235

163282

5

lim0

xx

xx

x

g) 3

33

3

2lim

2 x

x

x

Cálculo de límites.

2

8lim

2

y

y

y

Solución.

22

82

2

8lim

2

y

y

y



4

10

2

8lim

2

y

y

y

2

5

2

8lim

2

y

y

y

3.3.- LÍMITES INDETERMINADOS.

Cálculo de límites indeterminados.

Hay un punto importante que conviene discutir:

1. ¿Por qué la división cero sobre cero es “indeterminada”?

Explicación:

Supongamos que se realizará la división exacta:

D

dC (1)

donde C es el cociente, d el dividendo y D el divisor.

Por equivalencia, de la ecuación (1) tenemos:

DCd . (2)

Si 0D y 0d , de la ecuación (2) se tiene que:

)0(.0 C (3)

Ahora bien: ¿Cuál es el número C que al multiplicarlo por cero según la ecuación (3)

reproduce un valor igual a cero? Cualquiera, por lo tanto se dice que C (el cociente) es

indeterminado, pues no se conoce el valor determinado para C.

Para calcular límites indeterminados, es necesario simplificar la indeterminación y luego

aplicar los teoremas dados anteriormente. En la mayoría de los casos de cálculo de límites

algebraicos es necesario realizar operaciones de factorización y racionalización, o una

combinación de ellas.

Si se desea calcular )(

)(limx xg

xf

a

, en el cual por sustitución se obtiene 0

0

)(

)(limx

xg

xf

a

(indeterminado), el objetivo es crear una expresión de la forma )()(

)()(limx xax

xax

a

, que al ser



simplificada proporciona el resultado )(

)(limx x

x

a

y finalmente, al evaluar el límite por

sustitución se tiene )(

)(

)(

)(limx a

a

xg

xf

a

con )(a y )(a no iguales a cero simultáneamente.

Caso 1. Numerador: Polinomio. Denominador: Polinomio.

Una vez que se verifica que el límite es indeterminado (cero sobre cero), se procede a

factorizar ambos polinomios. Se recomienda la factorización aplicando el Método de

Ruffini (excepto si se trata de polinomios de grado 1, pues estos ya están factorizados),

probando en primer lugar con el valor al cual tiende la variable independiente tanto en el

caso del numerador como del denominador. Es necesario verificar que la raíz no se repita, y

si fuere el caso, debe determinarse dicha raíz tantas veces como exista. Una vez hecha la

simplificación de los factores que generan los ceros tanto en el numerador como en el

denominador, se aplican los teoremas de evaluación de límites.

Fórmulas útiles de factorización:

Diferencia de cuadrados: )()(22 bababa

Diferencia de cubos: )()( 2233 bbaababa

Ejemplo 3.16.

x

x

x

22 2)2(lim

0

Solución.

x

x

x

22 2)2(lim

0

adoIndetermin0

0

0

22

0

2)02(2)2( 222222

lim0

x

x

x

x

x

x

x

xx

22222

1

)2(

1

2)2(limlim

00



x

x

x

x

x

xx

22

22

22)2(2

)2(2

2)2(limlim

00

22

2222

)2(2

)2(22)2(limlim

00 xx

x

x

x

xx

22

2222

)2(2

)44(22)2(limlim

00 xx

xx

x

x

xx

22

222

)2(2

4442)2(limlim

00 xx

xx

x

x

xx

2

222

)2(4

42)2(limlim

00 xx

xx

x

x

xx

2

22

)2(4

)4(2)2(limlim

00 xx

xx

x

x

xx

2

22

)2(4

42)2(limlim

00 x

x

x

x

xx

2

22

)02(4

042)2(lim

0

x

x

x

2

22

)2(4

42)2(lim

0

x

x

x

16

42)2( 22

lim0

x

x

x

4

12)2( 22

lim0

x

x

x

Ejemplo 3.16.

xx

xx

x

2

2

lim0

Solución.

adoIndetermin0

0

)0()0(

)0()0(2

2

2

2

lim0

xx

xx

x



)1(

)1(limlim

002

2

xx

xx

xx

xx

xx

1

1limlim

002

2

x

x

xx

xx

xx

10

102

2

lim0

xx

xx

x

1

12

2

lim0

xx

xx

x

12

2

lim0

xx

xx

x

Ejemplo 3.16.

Calcular el siguiente límite;

36

6lim 2

6

x

x

x

Solución.

adoIndetermin0

0

3636

0

36)6(

66

36

6lim 22

6

x

x

x

Factor a simplificar: 6x .

Puesto que se trata de una función racional, se procede a factorizar cada uno de los

polinomios.

El polinomio numerador es de grado 1 y está expresado como 6x , por lo cual no requiere

factorización.

El polinomio denominador, si se factoriza mediante la diferencia de cuadrados, queda

expresado como:

)6()6(362 xxx

)6()6(

6lim

36

6lim

62

6

xx

x

x

x

xx

Al simplificar el factor 6x :



6lim

36

6lim

1

62

6

xx

x

xx

Una vez realizada la simplificación se procede a evaluar el límite:

6636

6lim

12

6

x

x

x

12

1

36

6lim 2

6

x

x

x


b) 32

94 2

2

3lim

x

x

x

R. a) 10; b) 6



a) 5

252

lim5x

x

x

b) 7

492

lim7

x

x

x

c) 5

252

lim5z

z

z d)

16

42lim

4x

x

x

e) 19

132

31

limx

x

x

Respuesta: a) 10; b) 14; c) –10; d) 81 .; e)

21 .

Ejemplo 3.17.

Calcular 2

83

lim2x

x

x.

R. 12



a) 1

13

lim1s

s

s b)

2

83

lim2y

y

y c)

16

84

3

lim2x

x

x

Ejemplo 3.18.

Resolver los siguientes límites:



a) xx

xx

2

3

lim0x

b) 492

16832

2

lim4s

ss

ss

c) 811272

4223245

235

lim1x

xxxx

xxxx

R. a) 1; b) 7

16 ; c) –6.



a) 3

652

lim3x

x

xx b)

36254

201732

2

lim4x

xx

xx

c) 23

102

23

lim2x

xx

xxx d)

562

3223

2

lim1x

xxx

xx

e) 23

13

23

lim1x

xx

xxx f)

272

32234

23

lim3x

xx

xxx

g) 301964

41233234

234

lim2x

xxxx

xxxx h)

10132

6423

23

lim1x

xxx

xxx

i) xxx

xx

6

4323

23

lim2x

j) 18218

35223

2

lim3x

xxx

xx

k) 386

253234

234

lim1x

xxx

xxxx l)

22753

2389534

2345

lim2x

xxx

xxxxx

m) 564322

7832342356

23456

lim1x

xxxxx

xxxxxxn)

2744

1598423

234

2

1lim

x

xxx

xxxx

ñ) 67103

4273234

34

3

2lim

x

xxxx

xxx o)

192727

536815423

23

3

1lim

x

xxx

xxx

p) 2142

314823

23

lim3x

xxx

xxx q)

1716159

2132339234

234

3

1lim

x

xxxx

xxxx

r) 364104

141248234

234

2

1lim

x

xxxx

xxxx



Ejemplo 3.19.


a)

3

2 8

12

2

1lim

xxx

b) x

x

x

22

0

16)16(lim

R. a) 21 ; b)

20481



a)

1

1

1

2

1lim

xx

x

x

b) y

y

y

22

0

2)2(lim

c) x

x

x

9)3( 2

0lim

d) h

xhx

h

33

0

)(lim

Ejemplo 3.20.

Calcular 22

323

2

32lim

x xaxa

axax

a

R. a35 .



a) ax

ax

a

22

limx

b) 22

33

limx ax

ax

a

c) 22

2

2

2)2(lim

x axax

axax

a

d)

axax

axxaax

a

)1(

3lim 2

233 2

x

Ejemplo 3.21.

Calcular 372

92

2

lim3y

yy

y

R. 56





a) 372

92

2

lim3y

yy

y b)

94

2782

3

23

limt

t

t

Caso 2. Suma o diferencia de dos términos donde al menos uno es una raíz cuadrada.


racionalizar el elemento (numerador o denominador) que contenga a la raíz cuadrada. En

este caso, el procedimiento se aplica indistintamente si la raíz cuadrada aparece en el

numerador o en el denominador. El objetivo es eliminar el radical, para posteriormente

realizar la simplificación de los factores que generan los ceros tanto en el numerador como

en el denominador (Caso 1). La forma de racionalización más común es la de binomios, por

lo cual es necesario multiplicar y dividir por la conjugada del elemento que contiene el

radical. En caso que el radical aparezca tanto en el numerador como en el denominador, se

deben racionalizar ambos simultáneamente. En caso de aparecer polinomios, se deben

factorizar, ubicando los factores que contienen a la variable independiente (x) menos el

valor al cual ésta tiende.

La fórmula que se aplica en este caso es el producto de la suma de dos números por su

diferencia para generar una diferencia de cuadrados:

22)()( bababa .

Ejemplo 3.22.

h

h

h

11lim

0

Solución.

adoIndetermin0

0

0

11

0

11

0

11011lim

0

h

h

h

11

111111limlim

00

h

h

h

h

h

h

hh

)11(

)1()1(11 22

limlim00

hh

h

h

h

hh



)11(

1111limlim

00

hh

h

h

h

hh

)11(

11limlim

00

hh

h

h

h

hh

11

111limlim

00

hh

h

hh

110

111lim

0

h

h

h

11

111lim

0

h

h

h

2

111lim

0

h

h

h

Ejemplo 3.22.

xx

x

x 42

42

2

lim2

Solución.

adoIndetermin0

0

88

44

)2(4)2(2

4)2(

42

42

2

2

2

lim2

xx

x

x

xx

xx

xx

x

xx

x

xx 42

42

42

4

42

42

2

2

2

2

2

limlim22

222

22

2

2

)4()2(

)42()4(

42

4limlim

22 xx

xxx

xx

x

xx

xx

xxx

xx

x

xx 42

)42()4(

42

42

22

2

2

limlim22

)2(2

)42()2()2(

42

42

2

2

limlim22

xx

xxxx

xx

x

xx



x

xxx

xx

x

xx 2

)42()2(

42

42

2

2

limlim22

)2(2

])2(4)2(2[)22(

42

42

2

2

lim2

xx

x

x

4

)88()4(

42

42

2

lim2

xx

x

x

8242

42

2

lim2

xx

x

x

Ejemplo 3.22.


a) 4

2lim

4x

x

x b)

1

25lim

1x

x

x

R. a) 41 ; b)

101



a) 1

1lim

1x

x

x b)

x

x

9

3lim

9x

c) 2

2lim

2x

x

x

d) 11

lim0x x

x e)

x

x

42lim

0x

f) 4

53lim

4x

x

x

g) 103

1lim

1x

x

x h)

2

2

3

42lim

0x x

x

i) 52

74

2

2

lim3x

x

x

j) h

xhx

h

lim0

k) x

axa

lim0x

l) h

h

h

22lim

0

m) ax

axax

a

3limx

n) ax

aaxx

a

limx

ñ) 1023

252

2

2

lim1x

xx

xx



o)

11

11lim

0x xx p)

23

12

lim1x

x

x q)

xbxa

xaxb

11lim

0x

Ejemplo 3.23. Calcular los siguientes límites:

a) 375

188lim

1x

xx

xx b)

24lim

0x x

x

R. a) 97 ; b) 4.



a) 2

321lim

4x

x

x b)

x

x

51

53lim

4x

c) 23213

7513lim

3

aa

aa

a

d) axa

xax

ax

32

lim

Caso 3. Suma o diferencia de dos términos donde al menos uno es una raíz cúbica.


racionalizar el elemento (numerador o denominador) que contenga a la raíz cúbica. En este

caso, el procedimiento se aplica indistintamente si la raíz cúbica aparece en el numerador o

en el denominador. El objetivo es eliminar el radical, para posteriormente realizar la


denominador (Caso 1). La forma de racionalización más común es la de binomios, por lo

cual es necesario multiplicar y dividir por el complemento del elemento que contiene el





La fórmula que se aplica en este caso es el producto de la suma (o diferencia) de dos

números por su complemento para generar una suma (o diferencia) de cubos:

3322 )()( babbaaba



3322 )()( babbaaba

Ejemplo 3.24.

Calcular el siguiente límite:

8

23

lim8

y

y

y

Solución.

Factor a simplificar: 8y .

Puesto que en el numerador se tiene una raíz cúbica, se multiplica y divide por el

complemento con el objeto de generar una diferencia de cubos:

Aparece 23 yba

Se debe multiplicar y dividir por: 232322 22.)( yybbaa

Con el objeto de generar: 33333 )2()( yba

adoIndetermin0

0

0

22

88

28

8

2 33

lim8

y

y

y

2323

232333

)2()2()()(

)2()2()()(

8

2

8

2limlim

88

yy

yy

y

y

y

y

yy

][)8(8

22323

3333

)2()2()()(

)2()(limlim

88

yy

y

yy

y

yy

][)8(8

22323

3

)2()2()()(

8limlim

88

yy

y

yy

y

yy

2323

3

)2()2()()

1limlim

(8

2

88

yyyy y

y

2323

3

)2()2()8()8

1lim

(8

2

8

y

y

y



22

3

)2()2()2()

1lim

2(8

2

8

y

y

y

444

1lim

8

23

8

y

y

y

12

1lim

8

23

8

y

y

y

Ejemplo 3.25.


a) 1

13

lim1x

x

x

R. a) 31 .

Ejemplo 3.25.

Calcular el siguiente límite:

1

273

3

lim1x

x

x

Solución.

Factor a simplificar: 1x .

Puesto que en el numerador se tiene una raíz cúbica, se multiplica y divide por el

complemento con el objeto de generar una diferencia de cubos:

Aparece 273 xba

Se debe multiplicar y dividir por: 232322 22.7)7( xxbbaa

Con el objeto de generar: 33333 )2()7( xba

2323

2323

3

3

1x3

3

1x 22.7)7(

22.7)7(

1

27lim

1

27lim

xx

xx

x

x

x

x

]472)7[()1(

)2()7(lim

1

27lim

3233

333

1x3

3

1x

xxx

x

x

x



Con el objeto de evitar la escritura repetitiva, el factor 472)7( 323 xx lo

designaremos como A.

472)7( 323 xxA

Ax

x

x

x

)1(

87lim

1

27lim 3

1x3

3

1x

Ax

x

x

x

)1(

1lim

1

27lim 3

1x3

3

1x

Puesto que a este nivel no es posible simplificar el factor 1x , se procede a la

factorización del polinomio 13 x presente en el denominador:

La factorización de dicho polinomio es: )1()1(1 23 xxxx .

Axxx

x

x

x

)1()1(

1lim

1

27lim 2

1x3

3

1x

Al simplificar el factor 1x presente tanto en el numerador como en el denominador:

Axxx

x

)1(

1lim

1

27lim 2

1x3

3

1x

Una vez realizada la simplificación, se procede a evaluar el límite. Es necesario reemplazar

la expresión correspondiente a A.

]472)7[()1(

1lim

1

27lim

32321x

3

3

1x

xxxxx

x

Al sustituir el valor 1x

]47)1(2)7)1([(]1)1()1[(

1

1

27lim

32323

3

1x

x

x

]482)8[()111(

1

1

27lim

3233

3

1x

x

x

]422)2[(3

1

1

27lim 23

3

1x

x

x



)444(3

1

1

27lim 3

3

1x

x

x

)12(3

1

1

27lim 3

3

1x

x

x

36

1

1

27lim 3

3

1x

x

x

Ejemplo 3.26.

381

69333

33

lim3

1

x

xx

x

Solución.

3)(81

6)(9)(33

381

69333

31

3313

31

3

33

lim3

1

x

xx

x

3)(81

6313

381

6933

271

33

3

33

lim3

1

x

xx

x

33

9)1(3

381

6933 3

3

33

lim3

1

x

xx

x

6

93

381

6933 3

3

33

lim3

1

x

xx

x

6

93

381

6933 3

3

33

lim3

1

x

xx

x

Ejemplo 3.26.

Calcular el siguiente límite: x

x

8

73lim

3

8x

Solución.

En primer lugar se prueba la sustitución directa:



L = x

x

8

73lim

3

8x

=88

873 3

=

0

273 =

0

93 =

0

33 =

0

0= Indeterminado.

La existencia de una indeterminación de la forma “cero sobre cero” es indicativo que el

factor x8 ó 8x está presente o puede “fabricarse” de las expresiones dadas en el

numerador y en el denominador. Obsérvese que el factor x8 ya se encuentra en el

denominador, por lo cual sólo hay que crearlo en el numerador. Dado que aparece una raíz

cuadrada en el numerador, se multiplica y divide por su conjugada:

L = 3

33

73

73

8

73lim

8x x

x

x

x

= )73(

)73(

)8(

)73(lim

3

33

8x x

x

x

x

Multiplicando término a término en el numerador:

L = )73()8(

)7(73739lim

3

2333

8x xx

xxx

* =

** La operación de multiplicación término a término puede omitirse, y en su lugar

simplemente colocar 23 – ( 3 x )

3 “cubo del primer término menos cubo del segundo

término”.

)73()8(

)7(9lim

3

23

8x xx

x

= )73()8(

)7(9lim

3

3

8x xx

x

= )73()8(

79lim

3

3

8x xx

x

= )73()8(

2lim

3

3

8x xx

x

Es necesario racionalizar el numerador. La existencia de 32 x sugiere crear una diferencia

de cubos:

3322)()( babababa

Se dispone de 32 xba , de donde:

* La operación de multiplicación término a término puede omitirse, y en su lugar simplemente colocar 32 – (

37 x )2 “cuadrado del primer término menos cuadrado del segundo término”.



2a ; 3xb

Con el objeto de crear 33ba (eliminando de esta forma la raíz cúbica), es necesario

multiplicar y dividir “L” por 22baba , esto es: )24( 3 23 xx .

L = )24(

)24(

)73()8(

)2(lim

3 23

3 23

3

3

8x xx

xx

xx

x

Multiplicando término a término los factores del numerador:

L = )24()73()8(

24248lim

3 233

3 233 23

8x xxxx

xxxxx

** La operación de multiplicación término a término puede omitirse, y en su lugar

simplemente colocar 23 – ( 3 x )

3 “cubo del primer término menos cubo del segundo

término”.

=)24()73()8(

8lim

3 2338x xxxx

x

Al simplificar el factor x8 presente tanto en el numerador como en el denominador:

L = )24()73(

1lim

3 2338x xxx

Se habrá eliminado la indeterminación de esta manera. La evaluación del límite por

sustitución directa da como resultado:

L = )8824()873(

1

3 233

= )642.24()273(

1

3

=)444()93(

1

=

)444()33(

1

=

)12()6(

1 =

72

1

72

1

8

73lim

3

8x

x

x





b) 2

8

3lim

8x

x

x c)

3

27

3lim

27x

x

x

d) h

h 113

lim0h

e) h

xhx

h

33

lim0

f) x

x3 11lim

0x

g) 2

2103

lim2x

x

x h)

t

aat 3 23 2)(lim

0t

i) ax

ax

a

31

31

limx

j) 2

3 238lim

0x xx

xx

Respuesta: b) 12; c) 27; d) 31 ; e)

3 23

1

x; f)

31 ; g)

121 ; h)

33

2

a; i)

3 23

1

a; j)

41 .

Ejemplo 3.25.


a) 202

25615lim 4

33

2x

xx

xx b)

x

x

8

73lim

3

8x

c) 3 4

33

2

2727lim

0x xx

xx

R. a) 918

5 ; b) 721 ; c)

272



a) 33 2

2

42

4lim

2x xx

x

b) 8

22 3

lim8x

x

x c)

81

2432

3

lim9x

x

x

Caso 4. Suma o diferencia de dos términos donde existe una raíz cuadrada y una raíz

cúbica, en elementos diferentes.


racionalizar el elemento (numerador o denominador) que contenga tanto a la raíz cuadrada

como a la raíz cúbica. Se aplica una combinación de los casos 1, 2 y 3.

Ejemplo 3.26.




a) 1

1

3lim

1x

x

x b)

32

31lim

8x x

x

R. a) 23 ; b) –2.



a) 2

529lim

38x

x

x b)

4

8

3lim

64x

x

x c)

33 5326

3237lim

2x

xx

xx

d) 33 11

11lim

2x xx

xx

Caso 5. Suma o diferencia de dos términos donde existe una raíz cuarta.


racionalizar el elemento (numerador o denominador) que contenga a la raíz cuarta. Se

aplica el caso 2 en una primera oportunidad para reducir la raíz cuarta a una raíz cuadrada,

luego al resultado obtenido, se le aplica el caso 2 nuevamente. Posteriormente se procede

como en el caso 1. Cualquier radical de índice 2 o 3 que genere indeterminación y aparezca

en el elemento que no contiene a la raíz cuarta, debe trabajarse como se explicó

anteriormente.

Ejemplo 3.27.

Calcular 4

24

lim16

x

x

x

R. 41



a) 1

1

4lim

1

x

x

x b)

1

1

4

3

lim1

x

x

x



Ejemplo 3.28.

Calcular 29

202

4

3

lim7

x

xx

x

R. 27

112


21. Calcular los siguientes límites

a) 38

8026 43

lim1x

x

xx b)

211

41

31 43

lim0x x

xx

Caso 6. Suma o diferencia de dos términos donde existe una raíz quinta.


racionalizar el elemento (numerador o denominador) que contenga a la raíz quinta. En este

caso, el procedimiento se aplica indistintamente si la raíz quinta aparece en el numerador o

en el denominador. El objetivo es eliminar el radical, para posteriormente realizar la


denominador (Caso 1). La forma de racionalización más común es la de binomios, por lo

cual es necesario multiplicar y dividir por el complemento del elemento que contiene el





La fórmula que se aplica en este caso es el producto de la suma (o diferencia) de dos

números por su complemento para generar una suma (o diferencia) de quintos:

55432234 )()( babbababaaba

55432234 )()( babbababaaba

Ejemplo 3.29.

Calcular 93

273 5 2

lim3

x

x

x



R. 152 .


22. Calcular los siguientes límites

a) 4

282

5 2

lim2

x

x

x

b) 5

525 5 45 3

lim5

x

xx

x

Un límite importante.

El tipo de limite empleado para definir la pendiente de una recta tangente a una curva es

uno de los más importantes en Cálculo. Este límite es de uso frecuente y recibe el nombre

específico.

x

xfxxfm

x

)()(lim

0

Ejemplo 3.30.

Determine la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función 8123)( 2 xxxf .


23. Determine la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto

))(,( 11 xfx .

a) 267)( xxxf b) 296)( 23 xxxxf

c) 23 32)( xxxf

Ejemplo 3.31.

Para las funciones que se dan a continuación, hallar

x

xfxxf

x

)()(lim

0

.

a) 32)( xxxf b) xxf 4)(

R. a) 232 x ; b) x

42

1.


24. Para las funciones que se dan a continuación, hallar



x

xfxxf

x

)()(lim

0

.

a) xxxf 4)( 3 b) x

xf8

)(

c) 2

4)(

xxf

Límites laterales.

El )(limx

xfa

existe y es igual a L si y sólo si )(limx

xfa

y )(limx

xfa

existen y son iguales

a L.

Ejemplo 3.32.

Realizar la representación gráfica de la función y calcular el límite si existe o no, dar razón.

1Si27

1Si2

1Si32

)(

x x

x

xx

xf

)(lim1x

xf

)(lim1x

xf

)(lim1x

xf

Solución.

Gráfica de la función.

1x 32)( xxf

1 5

0 3

La porción de la gráfica que corresponde a 1x es una recta creciente.

1x , 2)1( f

1x xxf 27)(

1 5

2 3

La porción de la gráfica que corresponde a 1x es una recta decreciente.

La gráfica de la función se ilustra a continuación.





Límites indicados.

xxf 27)( limlim1x1x

)1(27

27

5

32)( limlim1x1x

xxf

3)1(2

32

5

Puesto que )()( limlim1x1x

xfxf

, entonces )(lim1x

xf

existe.

5)(lim1x

xf

Ejemplo 3.32.

Sea h la función definida por

12

14)(

2

2

xSix

xSixxh

Determine, si existen, cada uno de los siguientes límites:

a) )(lim1x

xh

b) )(lim1x

xh

c) )(lim1x

xh

.

R. a) 3; b) 3; c) 3.

Ejemplo 3.33.

Sea f la función definida por

33

339

35

)( 2

xSix

xSix

xSix

xf

Determine cada uno de los siguientes límites:



a) )(lim3x

xf

b) )(lim3x

xf

c) )(lim3x

xf

d) )(lim3x

xf

R. a) 2; b) 0; c) No existe; d) 0.

Ejemplo 3.34. Sea f la función definida por 3

3)(

x

xxf . Determinar )(lim

3x

xf

.

R. 0.


25. En los ejercicios a) a h), dibuje la gráfica de la función y si existe, determine el límite

indicado; si el límite no existe, diga por qué razón.

a)

13

11

12

)(

xSi

xSi

xSi

xf i) )(lim1x

xf

ii) )(lim1x

xf

iii) )(lim1x

xf

b)

44

44)(

xSix

xSixxf i) )(lim

4x

xf

ii) )(lim4x

xf

iii) )(lim4x

xf

c)

34

32)(

xSix

xSixxf i) )(lim

3x

xf

ii) )(lim3x

xf

iii) )(lim3x

xf

d)

228

2)(

2

xSix

xSixxf i) )(lim

2x

xf

ii) )(lim2x

xf

iii) )(lim2x

xf

e)

127

12

132

)(

xSix

xSi

xSix

xf i) )(lim1x

xf

ii) )(lim1x

xf

iii) )(lim1x

xf

f)

24

22

24

)(2

2

xSix

xSi

xSix

xf i) )(lim2x

xf

ii) )(lim2x

xf

iii) )(lim2x

xf

g)

0Si2

04Si)2(42

4Si3

)(2

2

xx

xx

x

xf i) )(lim4x

xf

ii) )(lim0x

xf



h)

0Si2

04Si)2(4

4Si3

)( 2

x

xx

x

xf i) )(lim4x

xf

ii) )(lim0x

xf

i)

0Si15

02Si1

2Si1

)( 2

2

xx

xx

xx

xf i) )(lim2x

xf

ii) )(lim0x

xf

j)

1Si9

1Si3

1,1Si1

1

)(

2

4

x

x

xx

x

xf i) )(lim1x

xf

ii) )(lim1x

xf

k)

3Si362

31Si32

1Si10

)(

xx

xx

xx

xh i) )(lim1x

xh

ii) )(lim3x

xh

l)

2Si2

22Si4

2Si2

)( 2

x

xx

x

xQ i) )(lim2x

xQ

ii) )(lim2x

xQ

m)

2Si8

24Si125

4Si4

2

)(

xx

xx

xx

xf i) )(lim4x

xf

ii) )(lim2x

xf

Ejemplo 3.35.

El dominio de f es ]5,0[ .



Determine:

a) )(lim0x

xf

b) )(lim1x

xf

c) )(lim1x

xf

d) )(lim1x

xf

e) )(lim2x

xf

f) )(lim2x

xf

g) )(lim2x

xf

h) )(lim4x

xf

i) )(lim4x

xf

j) )(lim4x

xf

k) )(lim5x

xf

R. a) 0; b) 2; c) 2; d) 2; e) 5; f) 5; g) 5; h) 2; i) 2; j) 2; k) 0.


26. El dominio de f es .

Determine:

a) )(lim3x

xf

b) )(lim3x

xf

c) )(lim3x

xf

d) )(lim3x

xf

e) )(lim3x

xf

f) )(lim3x

xf

27. El dominio de f es ]5,0[ .

Determine:



a) )(lim0x

xf

b) )(lim1x

xf

c) )(lim1x

xf

d) )(lim1x

xf

e) )(lim2x

xf

f) )(lim2x

xf

g) )(lim2x

xf

h) )(lim4x

xf

i) )(lim4x

xf

j) )(lim4x

xf

k) )(lim5x

xf

Ejemplo 3.36.

Dada

45

423)(

xSikx

xSixxf , determine el valor de k tal que )(lim

4x

xf

exista.

R. 6k

Ejemplo 3.37.

Dada

262

22

2

)(

2

xSix

xSibxa

xSix

xf , determine valores de a y b tales que )(lim2x

xf

y

)(lim2x

xf

existan.

R. 23a , 1b


28. Dada

1

13)(

2 xSikx

xSixkxf , determine el valor de k tal que )(lim

1x

xf

exista.

29. Dada

35

332

32

)(

xSixb

xSibxa

xSiax

xf , determine los valores de a y b tales que

)(lim3x

xf

y )(lim3x

xf

existan.

30. Sea

262

22

2

)(

2

xSix

xSibxa

xSix

xf , determine los valores de a y b tales que

)(lim2x

xf

y )(lim2x

xf

existan.



31. Dada

2

23

2

)(

2

xSixba

xSi

xSixab

xf , determine los valores de a y b tales que )(lim2x

xf

exista.

3.4.- CONTINUIDAD.

Definición de continuidad en un número.

Se dice que la función f es continua en el punto a si y sólo si se satisfacen las tres

condiciones siguientes:

i. )(af existe.

ii. )(limx

xfa

existe.

iii. )()(limx

afxfa

.

Si una o más de estas tres condiciones no se cumplen en a, entonces se dice que la función f

es discontinua en a.

Una función polinomial es continua en todo número.

Una función racional es continua en todo número de su dominio.

Si f y g son dos funciones continuas en el número a, entonces

i. gf es continua en a;

ii. gf es continua en a;

iii. gf . es continua en a;

iv. gf / es continua en a, considerando que 0)( ag .

Ejemplo 3.38.

Estudiar la continuidad y construir las gráficas de las siguientes funciones:

a)

46

42)(

xSix

xSixxf b)

22

26)(

xSix

xSixxf



R. a) Continua en 4x ; b) Continua en 2x .

Ejemplo 3.39.

Estudiar la continuidad y construir las gráficas de las siguientes funciones:

a)

24

24

24

)(2

2

xSix

xSi

xSix

xf b)

212

22)(

xSix

xSixxf

R. a) Continua en 2x ; b) Discontinuidad esencial en 2x .

Ejemplo 3.40.

Determine los números en los que la función siguiente es continua:

1

132)(

2 xSix

xSixxf

R. Es continua en ),1()1,( .

Ejemplo 3.41.

Determine los números en los que la función siguiente es continua:

9

1)(

2

3

x

xxf

R. 3x , 3x .


32. Estudiar la continuidad y construir las gráficas de las siguientes funciones:

a)

1

11)(

2 xSixx

xSixxf 10 x

b)

1

11)(

2 xSixx

xSixxf 10 x

c)

12

11

1)(

2

xSi

xSix

xxf 10 x

d)

232

223

21

)(

xSix

xSix

xSix

xf 20 x ; 20 x



e)

212

222

21

)(

xSix

xSix

xSix

xf 20 x ; 20 x

Ejemplo 3.42.

Determine el valor de la constante k que hagan a la función continua en todo número.

a)

41

473)(

xSixk

xSixxf

R. a) 5k .


33. Determine el valor de A para que la función dada sea continua en el punto de abcisa

indicado.

a)

2

21)(

2 xSixA

xSixAxf 20 x

b)

3

34)(

2 xSiAxA

xSixf 30 x

c)

1

11

1)(

xSiAx

xSix

xxf 10 x

d)

0

01)(

2 xSiAx

xSixf 00 x

e)

12

11

1)(

24

xSiA

xSix

xxxxf 10 x

f)

2

22

4)(

2

xSiA

xSix

xxf 20 x

g)

1 ó 1

11)(

41

3

xxSiA

xSixxf 10 x ; 10 x



Ejemplo 3.43.

Determine los valores de las constantes c y k que hagan a la función continua en todo

número.

123

123

22

)(

xSikx

xSikxc

xSicx

xf

R. 31c ,

32k .


34. Determine los valores de A y B, para que la función dada sea continua en 0x , si:

a)

42

41

1

)(

xSix

xSiBxA

xSix

xf 10 x ; 40 x

b)

52

53

312

)(2 xSix

xSiBxA

xSix

xf 30 x ; 50 x

c)

312

3373

363

)(

xSiBx

xSiBxA

xSiAx

xf 30 x ; 30 x

d)

1

111

11

)(4

6

xSixB

xSix

xxSiA

xf 10 x ; 10 x

e)

142

11

11

)(

2

xSix

xSiBxA

xSixx

xf 10 x ; 10 x

f)

3

31

1

)( 2

xSiBx

xSix

xSiAx

xf 10 x ; 30 x



g)

11

12

21

)(

xSix

xSiBxA

xSix

xf 20 x ; 10 x

h)

14

1132

1

)( 2

xSi

xSiBxAx

xSiBxA

xf 10 x ; 30 x

i)

146

12

4

)(21

21

xSiBx

xSiBxA

xSiAx

xf 21

0 x ; 10 x

j)

23

218

4

15

)(

xSiBx

xSixAB

xSiAx

xf 10 x ; 20 x

35. Sea “h” una función definida por:

11

11

11

1

11

1

)(

3

3

xSix

xxSid

xSicbx

xSia

xSix

x

xh

Encuentre los valores de a , b , c y d para que la función “ h ” sea continua en 10 x y

10 x .

Ejemplo 3.44.

Acerca de la función dibujada en la figura adjunta



En los incisos (a) – (c) confirme analíticamente por qué f es discontinua en el número

indicado.

a) En 3x ; b) en 1x ; c) en 3x . d) ¿Cuáles de las discontinuidades de los incisos (a)

– (c) son esenciales? ¿Por qué? e) ¿Cuáles de las discontinuidades de los incisos (a) – (c)

son removibles? ¿Qué haría para eliminar la discontinuidad?

R. a) existe No )(lim3

xfx

; b) )()1( lim1

xffx

; c) existe No )(lim3

xfx

; d) En 3x y

3x , El límite no existe; e) En 1x , 5)1( f .


36. Acerca de la función dibujada en la figura adjunta

En los incisos (a) – (c) confirme analíticamente por qué f es discontinua en el número

indicado.

a) En 0x ; b) en 2x ; c) en 4x . d) ¿Cuáles de las discontinuidades de los incisos (a)

– (c) son esenciales? ¿Por qué? e) ¿Cuáles de las discontinuidades de los incisos (a) – (c)

son removibles? ¿Qué haría para eliminar la discontinuidad?



3.5.- LÍMITES INFINITOS.

Si a es cualquier número real y si 0)(limx

xfa

y cxga

)(limx

, donde c es una constante

diferente de 0, entonces:

i. Si 0c y 0)( xf a través de valores positivos de )(xf , entonces )(

)(lim

x xf

xg

a

ii. Si 0c y 0)( xf a través de valores negativos de )(xf , entonces )(

)(lim

x xf

xg

a

iii. Si 0c y 0)( xf a través de valores positivos de )(xf , entonces )(

)(lim

x xf

xg

a

iv. Si 0c y 0)( xf a través de valores negativos de )(xf , entonces )(

)(lim

x xf

xg

a

El teorema anterior también es válido si se sustituye “ ax ” por “ ax ” ó “

ax ”.

Ejemplo 3.45.

4

2lim 2

2x

x

x

Solución.

Aplicando los teoremas.

)4(lim

)2(lim

4

2lim 2

2x

2x

22x

x

x

x

x

4limlim

2limlim

2x

2

2x

2x2x

x

x

44

22

0

4

Solución exacta del límite.



)2()2(

2lim

4

2lim

2x2x2

xx

x

x

x

2

1lim

2x

x

22

1

0

1

Conclusión.

4

2lim 2

2x x

x

Ejemplo 3.45.


a) 3

1lim

0xx

b) 1

2lim

1x

x

x

R. a) ; b) .



a) 6

1lim

6x

x

b) 6

1lim

6x

x

c) 3

1lim

0xx

d) 1

2lim

1x

x

x e)

1

2lim

1x

x

x

Ejemplo 3.46.

Calcular 32

22

2

lim3x

xx

xx

R. .





a) 92

4lim

3x x

x b)

4

22lim

2x

x

x c)

4

22lim

2x

x

x

d) 2)2(

2lim

2x

x

x e)

2

11lim

0x xx f)

23

2 3lim

0x xx

x

g) 32

3

35

42lim

0x xx

x

h)

4

3

2

12lim

2x xx

i)

4

3

43

22lim

4xxxx

j) 1

522

23

lim1x

x

xx k)

32

22

2

lim3x

xx

xx

l) 12

2092

23

lim3x

xx

xxx m)

232

262

2

lim2x

xx

xx n)

2510

252

2

lim5x

xx

x

Ejemplo 3.47.

Calcular 2

42

lim2x

x

x

R.



a) 2

2lim

2x

x

x b)

1

13

lim1x

x

x c)

2

42

lim2x

x

x

d) 2

4 2

lim2x

x

x e)

2

4 2

lim2x

x

x f)

x

x 23lim

0x

g) x

x 23lim

0x

h) 3

92

lim3x

x

x i)

4

16 2

lim4x

x

x

Ejemplo 3.48.

Calcular 12

1

2lim

1x

xx

x

R. .




40. Calcular 242

2lim

2x xx

x

Ejemplo 3.49.

Calcular x

x

cos1

sen lim

x

R. .



a) x

xsen lim

0x

b) x

x

cos1lim

0x

c) x

x

sen 1

coslim

2x

Ejemplo 3.50.

El dominio de f es ]3,2[ .

Determine:

a) )(lim2x

xf

b) )(lim1x

xf

c) )(lim1x

xf

d) )(lim0x

xf

e) )(lim1x

xf

f) )(lim1x

xf

g) )(lim1x

xf

h) )(lim2x

xf

i) )(lim2x

xf

j) )(lim3x

xf

R. a) 0; b) ; c) ; d) 0; e) ; f) ; g) No existe; h) 1; i) ; j) 0.




42. El dominio de f es ]4,4[ .

Determine:

a) )(lim4x

xf

b) )(lim2x

xf

c) )(lim2x

xf

d) )(lim0x

xf

e) )(lim2x

xf

f) )(lim2x

xf

g) )(lim3x

xf

h) )(lim3x

xf

i) )(lim3x

xf

j) )(lim4x

xf


¿Cuál es el valor de cada uno de los límites siguientes?

a) )(lim3x

xf

b) )(lim2x

xf

c) )(lim0x

xf

d) )(lim2x

xf

e) )(lim2x

xf

f) )(lim3x

xf

g) )(lim3x

xf



h) ¿En qué números es discontínua f? i) ¿Cuáles de las discontinuidades del inciso (h) son

esenciales? j) ¿Cuáles de las discontinuidades del inciso (h) son removibles? ¿Cómo

redefiniría la función para eliminar las discontinuidades?


¿Cuál es el valor de cada uno de los límites siguientes?

a) )(lim2x

xf

b) )(lim2x

xf

c) )(lim1x

xf

d) )(lim0x

xf

e) )(lim1x

xf

f) )(lim1x

xf

g) )(lim2x

xf

h) ¿En qué números es discontinua f? i) ¿Cuáles de las discontinuidades del inciso (h) son

esenciales? j) ¿Cuáles de las discontinuidades del inciso (h) son removibles? ¿Cómo

redefiniría la función para eliminar las discontinuidades?

Asíntota vertical.

La recta ax es una asíntota vertical de la gráfica de la función f si al menos uno de los

siguientes enunciados es verdadero:

i.

)(limx

xfa

ii.

)(limx

xfa

iii.

)(limx

xfa

iv.

)(limx

xfa

Para determinar las asíntotas verticales, se deben calcular los valores de x que anulan el

denominador. Estos valores son las posibles asíntotas verticales de la gráfica de )(xf .



Una vez conocidos los valores de x que representan posibles asíntotas verticales, se

determinan los límites por la derecha y por la izquierda de éstos valores. Si alguno de los

límites calculados es infinito, entonces el valor indicado de x es una asíntota vertical de la

gráfica de la función. Si el límite no es infinito, entonces el valor indicado de x no es una

asíntota vertical de la gráfica de la función.

Ejemplo 3.51.

Determine las asíntotas verticales de la gráfica de la función f definida por:

a) 3

3)(

xxf b)

2

32)(

2

2

xx

xxxf

R. a) 3x ; b) 2x .


45. Encuentre las asíntotas verticales en cada una de las siguientes funciones.

a) x

xf1

)( b) 4

1)(

xxf c)

xxf

1)(

d) x

xxxf

13)(

2 e)

3

2)(

xxf f)

1

1)(

x

xxf

g) 1

)(2

x

xxf h)

2

3

2 32)(

x

xxxf i)

1

1)(

2

xxf

j) 1

)(2

x

xxf k)

1

1)(

2

x

xaxf l)

9

1)(

2

2

x

xxf

m) 1

1)(

2

x

xxf n)

2

3

4)(

x

xxf

ñ)

)4(

1)(

2

xx

xxf

o) 1

)(2

2

x

xxf p)

9)(

2

x

xxf q)

2

3

31

1)(

x

xxf

r) 2)3(

2)(

xxf



3.6.- LÍMITES AL INFINITO.

Sea 01

1

1

01

1

1

...

...)(

bxbxbxb

axaxaxaxf

m

m

m

m

n

n

n

n

donde 0na y 0nb , se tiene:

mn

mnb

amn

xfn

n

Si

Si

Si0

)(limx

Relaciones importantes:

Para todo k constante y 1n se cumple:

0limx

nx

k y 0lim

x

nx

k

Ejemplo 3.52.

1lim

2

x x

x

Solución.

1lim

lim

1lim

x

2

x2

x

x

x

x

x

1limlim

lim

xx

2

x

x

x

1

adoIndetermin

2

2

2

2

1lim

1

2lim

xx

x

x

x

x

x

x



22

2

2

1lim

x

xx

x

x

x

2

11

1lim

x

xx

2x

x

11lim

1lim

xx

2xx

x

1lim

1lim

1lim

xx

00

1

0

1

Conclusión.

1

lim

2

x x

x

Ejemplo 3.52.

1

2lim

2

x

x

x

Solución.

1lim

2lim

1

2lim

x

2

x2

x

x

x

x

x

1limlim

2limlim

xx

x

2

x

x

x



1

2

adoIndetermin

2

2

2

2

1

2

lim1

2lim

xx

x

x

x

x

x

x

22

22

2

1

2

limx

xx

x

xx

x

2

2

11

21

limx

xx

x

2x

2x

11lim

21lim

xx

x

2xx

2xx

1lim

1lim

2lim1lim

xx

x

00

01

0

1

Conclusión.

1

2lim

2

x x

x



Ejemplo 3.52.

Determine:

a) 14

523

2

limx

x

xx b)

52

34lim

x

x

x c)

53

2 2

limx

x

xx

R. a) 0; b) 2; c) .



a) 3

3lim

x x

b) 2

2

431

653lim

x xx

xx

c) 1

2

limx x

x

d) 12

22lim

x

x

x e)

x

x

32

12lim

x

f) 2

12 2

limx

x

x

g) 73

326

25

limx

xx

xx h)

28

5243

23

limx

xx

xx i)

xx

xx

75

7422

3

limx

j) 925

1266

7

limx

xx

xx k)

1

1lim

x x

x

x l)

16

223 78

limx

x

xx

m) 2

33

34

3

limx

x

xx n)

xx

xx

75

7422

3

limx

ñ)

2349

2

2

3

limx x

x

x

x o)

5

)23()32(5

23

limx

x

xx p)

x

x

2

8lim

3

x

q) 5

5

1

1lim

x x

x

r) xx

x

10

2

limx

s) )1(

12lim

x xx

x

t) 3

32lim

x xx

x

u) 13

3

limx x

x v)

x

x

xx1

1

limx

w)

2

2

limx

x

n

x

n

x

m

x

m

x) 9

4lim 2

2

x

x

xx y) 4

51

32lim

x x

x



z) 2

2

84

236lim

x x

xx

Ejemplo 3.53.

Determine:

a) 52

43

2lim

x

x

x b)

52

43

2lim

x

x

x

R. a) 2

3 ; b) 2

3



a) 4

42

limx

x

x b)

x

x

x

12

lim

c) x

x

x

12

lim

d) 23

52

limx

xx

x e)

72

5lim

2x

xx

x f)

34

12

2

2

limx

x

x

g) 43

183 3

limx

x

xx h)

5

322

lim

w

ww

w

i) 2

4

25

23lim

x

xx

x

j) 2

3 62

32

8lim

x xx

xx

k) 3 9

3

85

26lim

x x

xx

l) 3 3 227

2lim

x xx

x

m) 1

432

4

3

limx

x

xx n)

3)23(

32lim

x

x

x

ñ)

1

2

1

122

limxxx

o) x

xx

35

112

limx

p) 1

limx

x

xxx q)

xxx

x

limx

Ejemplo 3.54.

Determine:



a) xx

12lim

x

b) xxx 23 2lim

x

R. a) 0; b) .



a) )2(lim2

x

xxx

b) )2(lim2

x

xxx

c) )(limx

xax

d) )1(limx

xx

e) ))((limx

xaxx

f) )65( 2lim

x

xxx

g) )319( 2lim

x

xx

h) )1( 2lim

x

xxx

i) )1( 3 33 3lim

xxxx

49. Demuestre que:

a) 2

(lim )2

x

axxax

b) 2

(lim ))()(x

baxbxax

c) 1limx

xxxx

50. Sea 1

)(

xc

bxaxf , determine a , b y c para que se cumpla lo siguiente:

a) 21)(lim

x

xf b)

)(lim

31

x

xf c) 1)(lim2x

xf

Asíntota horizontal.

La recta by es una asíntota horizontal de la gráfica de la función f si al menos una de las

proposiciones siguientes es verdadera:

i. bxf

)(limx

, y para algún número N, si Nx , entonces bxf )( .

ii. bxf

)(limx

, y para algún número N, si Nx , entonces bxf )(



Ejemplo 3.55.

Obtenga las asíntotas horizontales de la gráfica de la función definida por 1

)(2

x

xxf .

Ejemplo 3.56.

Determine si x

xxxxf

41

534)(

2

tiene asíntotas horizontales y verticales.

Solución.

Asíntotas horizontales.

x

xxxxf

xx 41

534)(

2

limlim

x

xx

xxx

xfxx 41

534

)(

2

limlim

x

x

x

x

x

x

xx

xfxx 41

534

)(

2

limlim

41

534

)(

2

2

limlim

x

x

xx

xfxx

41

534

)(2

2

limlim

x

x

xx

xfxx

41

534

)(22

2

limlim

x

x

x

x

x

xfxx



41

53

4

)( limlim

x

xxf

xx

4

54)(lim

xfx

4

52)(lim

xfx

4

7)(lim

xfx

4

7)(lim

xfx

47y es una asíntota horizontal de la gráfica de la función.

x

xxxxf

xx 41

534)(

2

limlim

x

xx

xxx

xfxx 41

534

)(

2

limlim

x

x

x

x

x

x

xx

xfxx 41

534

)(

2

limlim

41

534

)(

2

2

limlim

x

x

xx

xfxx

41

534

)(2

2

limlim

x

x

xx

xfxx



41

534

)(22

2

limlim

x

x

x

x

x

xfxx

41

53

4

)( limlim

x

xxf

xx

4

54)(lim

xfx

4

52)(lim

xfx

4

3)(lim

xfx

4

3)(lim

xfx

43y es una asíntota horizontal de la gráfica de la función.

Asíntotas verticales.

Posible asíntota vertical.

041 x

14 x

41x

x

xxxxf

xx 41

534)(

2

limlim41

41

)(41

)(5)(3)(4)(

41

41

412

41

lim41

xfx

11

)(4)(

45

43

161

lim4

1

xfx



0)(

45

43

41

lim4

1

xfx

0

1)( 4

5

lim41

xfx

0

1)( 4

5

lim41

xfx

0)( 4

1

lim41

xfx

)(lim4

1

xfx

41x es una asíntota vertical de la gráfica de la función.

Asíntota oblicua.

La gráfica de la función f tiene la recta bxmy como una asíntota oblicua si alguna de

las proposiciones siguientes es verdadera:

i. 0])()([limx

bxmxf y para algún número 0M , bxmxf )( siempre que

Mx .

ii. 0])()([limx

bxmxf y para algún número 0M , bxmxf )( siempre que

Mx .

Las constantes m y b se determinan mediante las ecuaciones:

x

xfm

)(lim

x

])([limx

xmxfb

Condición de existencia de asíntotas oblicuas.

Para que exista la asíntota oblicua de la gráfica de una función, el grado del numerador

debe exceder en una unidad al grado del denominador.

Ejemplo 3.56.

Sea 1

3)(

2

x

xxh . Determine las asíntotas de la gráfica de h.




51. Encuentre las asíntotas en cada una de las siguientes funciones.

a) x

xf1

)( b) 4

1)(

xxf c)

xxf

1)(

d) x

xxxf

13)(

2 e)

3

2)(

xxf f)

1

1)(

x

xxf

g) 1

)(2

x

xxf h)

2

3

2 32)(

x

xxxf i)

1

1)(

2

xxf

j) 1

)(2

x

xxf k)

1

1)(

2

x

xaxf l)

9

1)(

2

2

x

xxf

m) 1

1)(

2

x

xxf n)

2

3

4)(

x

xxf

ñ)

)4(

1)(

2

xx

xxf

o) 1

)(2

2

x

xxf p)

9)(

2

x

xxf q)

2

3

31

1)(

x

xxf

r) 2)3(

2)(

xxf

3.7.- LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS.

1sen

lim0x

x

x 1

)(

)(senlim

0x

xk

xk 1

)(

)(senlim

0x

n

n

xk

xk

Tabla de valores especiales de las funciones trigonométricas.

(rad) (º) sen cos tan csc sec cot

0 0° 0 1 0 1

61 30° ½ 2/3

3/1

2 3/2

3

4

1 45° 2/1

2/1

1 2 2 1

3

1 60° 2/3 ½ 3 3/2

2 3/1

2

1 90° 1 0 1 0

32 120º 2/3

– ½ 3 3/2

– 2 3/1



43 135º 2/1

2/1

– 1 2

2 – 1

65 150º ½ 2/3

3/1

2 3/2

3

180° 0 – 1 0 – 1

67 210º – ½ 2/3

3/1

– 2 3/2

3

45 225° 2/1

2/1

1 2 2 1

34 240º 2/3

– ½ 3 3/2

– 2 3/1

2

3 270° – 1 0 – 1 0

35 300º 2/3

½ 3 3/2

2 3/1

47

315º 2/1

2/1

1 2

2 1

6

11 330º – ½ 2/3

3/1

– 2 3/2

3

2 360° 0 1 0 1

Ejemplo 3.57.


a) x

x

coslim

0x

b) x

x4senlim

0x

c) x

x

5sen

3lim

0x

d) x

x

7sen

9senlim

0x

e) xx

x

23

sen2lim

0x

f) x

x

sen lim

0x

R. a) 0; b) 4; c) 53 ; d)

79 ; e)

21 ; f) 0.



a) x

x

sen1

coslim

2x

b)

x

x

sen1

cos1lim

0x

c) x

x

3

4senlim

0x

d) x

x

3sen

2lim

0x

e) x

x

6sen

3senlim

0x

f) x

x

9sen

2senlim

0x

g) x

x

cot

3csclim

0x

h) x

xx

sen

32

lim0x

i) )7(sec)4(tan

)4(cos)(sen82

3

lim0x xx

xx



j) x

xx sen 1sen 1lim

0x

Ejemplo 3.58.


a) 2

3senlim

0x x

x

b) 5

5

4

2senlim

0x x

x

R. a) 0; b) 8.



a) 2

2

2

cos1lim

0x x

x

b) x

x2

2

cos1

4lim

0x

c) x

x

2

10x

2

2

cos1

3lim

d) x

x

3sen 2

2

lim0x

e)

2

2

2sen

1lim

0x

x

x f)

xx

1senlim

0x

Ejemplo 3.59.

Calcular 2

cos1lim

0x x

x

R. 21



a) x

x

4

2cos1lim

0x

b) x

x4cos1lim

0x

c) x

x

sen

cos1lim

0x

d) x

x

3sen

2cos1lim

0x

e) x

x

2sen

3cos12lim

0x

f) 2

3

4

cos1lim

0x x

x

g) x

xx

cos1

sen lim

0x

Ejemplo 3.60.




a) x

x

2

tanlim

0x

b) 4

4

4

2tanlim

0x x

x

R. a) 21 ; b) 4.



a) x

x

3

7tanlim

0x

b) x

xx

cos1

tansen lim

0x

c) x

xx

cos1

sen tanlim

0x

d) x

xx

tan1

cossen lim

4x

e) )(tan

)(3sen

21

lim0x x

x

Ejemplo 3.61.

Calcular x

axa )(sen)(senlim

0x

R. acos



a) x

axa )(cos)(coslim

0x

b) x

axa

x

)(tan)(tanlim

0

Ejemplo 3.62.

Calcular )5(cos1

)3(cos1lim

0x x

x

.

R. 259



a) )3(tan)3(sen

)2(tan)2(senlim

0 xx

xx

x

b) )]3(sec1)[4(sen

)]4(sec1[senlim

0 xx

xx

x

Ejemplo 3.63.

)2cotcsc( 23lim

0

xxxx

Solución.



)02(cot)0(csc)0()2cotcsc( 2323lim

0

xxxx

)()()0()2cotcsc( 23lim

0

xxxx

adoIndetermin)2cotcsc( 23lim

0

xxxx

x

x

xx

xx

xxx 2sen

2cos

sen

1limlim 2

323

00

)2cotcsc(

xx

xxxxx

xx 2sen sen

2cos)2cotcsc(

2

323

limlim00

)cossen 2(sen

2cos)2cotcsc(

2

323

limlim00 xxx

xxxxx

xx

xx

xxxxx

xx cossen2

2cos)2cotcsc(

3

323

limlim00

x

x

x

xxxx

xx cos2

2cos

sen)2cotcsc(

3

323

limlim00

x

x

x

xxxx

xxx cos2

2cos

sen)2cotcsc( limlimlim

0003

323

x

x

x

xxxx

xxx cos2

2cos

sen

1)2cotcsc( limlimlim

000

3

3

23

x

x

x

xxxx

x

x

x cos2

2cos

sen

1)2cotcsc( lim

lim

lim0

0

0

3

3

23

x

x

x

xxxx

x

x

x cos2

2cos

sen

1)2cotcsc( lim

lim

lim0

0

03

23

x

x

x

xxxx

x

x

x cos2

2cos

sen

1)2cotcsc( lim

lim

lim0

0

03

23



)0(cos2

)0(cos

)1(

1)2cotcsc(

3

23lim

0

xxxx

)1(2

1

1

1)2cotcsc( 23

lim0

xxxx

2

1)2cotcsc( 23

lim0

xxxx

Límites trigonométricos con cambio de variables.

El objetivo es determinar )(limx

xfa

, donde 0a y )(xf contiene funciones

trigonométricas. Los límites de funciones trigonométricas en los cuales la variable

independiente tiende a un valor distinto de cero y la indeterminación no se elimina

mediante simplificación, se determinan aplicando un cambio de variables.

El cambio de variable consiste en introducir una nueva variable, definida como axu ,

de tal manera que si ax , entonces 0u , luego )()( limlim0x

uxf gua

.

Los límites 1sen

lim0

u

u

u

, 1)(

)(senlim

0

uk

uk

u

y 1)(

)(senlim

0

n

n

uk

uk

u

se pueden aplicar ahora

para calcular el límite propuesto.

Las siguientes identidades trigonométricas son útiles para redefinir )(xf como )(ug .

xxx cossen 2)(2sen

xxx 22 sencos)(2cos

)sen (cos)sen (cos)(2cos xxxxx

1cos2)(2cos 2 xx

xx 2sen21)(2cos

abbaba cossen cossen )(sen bababa sen sen cos cos)( cos

abbaba cossen cossen )(sen bababa sen sen cos cos)( cos

Ejemplo 3.63.

Resolver el siguiente límite:



x

x)9(cos1lim

0x

Solución.

x

x

x

x

lim

)9(cos1lim)9(cos1

lim

0x

0x

0x

x

x

lim

)9(coslim1lim

0x

0x0x

0

0cos1

0

11

0

0

adoIndetermin

)9(cos1

)9(cos1)9(cos1lim

)9(cos1lim

0x0x x

x

x

x

x

x

)]9(cos1[

)9(cos1lim

2

0x xx

x

)]9(cos1[

)9(lim

2sen

0x xx

x

)9(cos1

)9(lim

)9(lim

sensen

0x0x x

x

x

x

)9(cos1

)9(lim

9

9)9(lim

sensen

0x0x x

x

x

x

)9(cos1

)9(lim

9

)9(9lim

sensen

0x0x x

x

x

x

)9(cos1

)9(lim

9

)9(lim9

sensen

0x0x x

x

x

x



cos01

0sen)1(9

11

09

2

0

0

Conclusión.

0)9(cos1

lim0x

x

x

Ejemplo 3.63.

2)4(

2sen 1lim

4/ x

x

x

Solución.

2

4

4

2 )](4[

)]([2sen 1

)4(

2sen 1lim

4/

x

x

x

2

2

2 )(

)(sen 1

)4(

2sen 1lim

4/

x

x

x

22 )0(

11

)4(

2sen 1lim

4/

x

x

x

0

0

)4(

2sen 12lim

4/

x

x

x

adoIndetermin)4(

2sen 12lim

4/

x

x

x

Cambio de variable.

4 xu

2

4

4

2 )](4[

)(2sen 1

)4(

2sen 1limlim

04/

u

u

x

x

ux

2

2

2 )4(

)(2sen 1

)4(

2sen 1limlim

04/

u

u

x

x

ux



2

2

2 )4(

)(2sen 1

)4(

2sen 1limlim

04/ u

u

x

x

ux

2

2

2 16

)(2sen 1

)4(

2sen 1limlim

04/ u

u

x

x

ux

2

22

2 16

)2cossencos2sen (1

)4(

2sen 1limlim

04/ u

uu

x

x

ux

22 16

)2cos)1()0(2sen (1

)4(

2sen 1limlim

04/ u

uu

x

x

ux

22 16

)2cos0(1

)4(

2sen 1limlim

04/ u

u

x

x

ux

22 16

2cos1

)4(

2sen 1limlim

04/ u

u

x

x

ux

u

u

u

u

x

x

ux 2cos1

2cos1

16

2cos1

)4(

2sen 122 limlim

04/

)2cos1(16

2cos1

)4(

2sen 12

2

2 limlim04/ uu

u

x

x

ux

)2cos1(16

2sen

)4(

2sen 12

2

2 limlim04/ uu

u

x

x

ux

)2cos1(4

1

4

2sen

)4(

2sen 12

2

2 limlim04/ uu

u

x

x

ux

)2cos1(4

1

4

2sen

)4(

2sen 1limlimlim

004/2

2

2 uu

u

x

x

uux

)2cos1(4

1

2

2sen

)4(

2sen 1limlimlim

004/

2

2 uu

u

x

x

uux

)2cos1(4

1

2

2sen

)4(

2sen 1limlimlim

004/

2

2 uu

u

x

x

uux

)]0cos(1[4

1)1(

)4(

2sen 1 2

2lim4/

x

x

x



)11(4

1)1(

)4(

2sen 12lim

4/

x

x

x

)2(4

1

)4(

2sen 12lim

4/

x

x

x

8

1

)4(

2sen 12lim

4/

x

x

x

Ejemplo 3.63.

Calcular 2

2

coslim

x

x

x

R. –1



a)

22

sen1lim

x

x

x

b) x

x

sen

cos1lim

x

Ejemplo 3.64.

Calcular x

x

sen1

)2(sen 2

2

limx

R. 8.



a) 3018

)5(3sen lim

3

5x

x

x b)

)(sen

)(

23

32

2

lim

y

y

y

c) πx

x

cos1lim

x

d)x

x

cos

sen 1lim

2

3x

e) )(sen

)(lim 2

2

x x

x

f) )2(cos

)(sen)(coslim

4x

x

xx



Repaso y discusión.

Verdadero o falso.

1.- Si Lxfc

)(limx

, entonces Lcf )( .

2.- Si )()( xgxf para todos los números reales distintos de 0x , y Lxf

)(lim0x

,

entonces Lxg

)(lim0x

.

3.- Si 0)( xf para 0x , ha de existir un número c tal que 001.0)( cf .

4.- Para funciones polinómicas los límites laterales existen siempre y son iguales.

5.- Si f no está definida para cx , el límite de f para cx no existe.

6.- Si Lxfc

)(limx

y Lcf )( , f es continua en c.

7.- Si )()( xgxf para cx con )()( cgcf una de las dos ha de ser discontinua en c.

8.- Si f es continua en c , )()( xgxf para cx y )()( cgcf , g tiene una

discontinuidad evitable en c.

9.- Si f es continua en ba , , f ha de alcanzar un máximo y un mínimo en ba , .

10.- Una función racional puede tener un número infinito de discontinuidades.

11.- Una función puede tener a lo sumo una asíntota horizontal.

12.- Una función puede tener a lo sumo dos asíntotas horizontales.

13.- Si )(xp es un polinomio, la función dada por 1

)()(

x

xpxf tiene una asíntota vertical

en 1x .

14.- Si

)(limx

xfc

y

)(limx

xgc

, entonces 0)]()([limx

xgxfc

.

15.- La gráfica de f puede cruzar una asíntota horizontal de f.

16.- Las funciones polinómicas no tienen asíntotas verticales ni horizontales.

17.- Si f tiene una asíntota vertical en 0x , f no está definida en 0x .

18.- Si f tiene una asíntota vertical en 0x y f es asimétrica respecto del eje y, 0x es

una asíntota par.



19.- Si )(xp es un polinomio y la función dada por 2)1(

)()(

x

xpxf tiene una asíntota

vertical impar en 1x , )1( x es un factor de )(xp .

20.- Si f es continua en , , no tiene asíntotas verticales.



RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.

3.1.- DEFINICIÓN DE LÍMITE.

1. 0.2679, 0.2583, 0.2516, 0.2502, 0.2500, 0.2361, 0.2426, 0.2485, 0.2498, 0.2500;

41)(lim

4

xfx

2. 0.2500, 0.2000, 0.1549, 0.1441, 0.1430, 0.1429, 0, 0.0769, 0.1304, 0.1416, 0.1427,

0.1428; 71)(lim

3

xfx

.

3. 0.2361, 0.2426, 0.2485, 0.2498, 0.2500, 0.2679, 0.2583, 0.2516, 0.2502, 0.2500;

41)(lim

0

xfx

.

4. a) Se cumple para todo ; b) Se cumple para todo ; c) 21 ; d)

41 ; e)

31 ;

f) 31,1min ; g)

141,1min ; h) ; i) ; j) 15,1min ; k)

328,1min ; l)

32,1min ; m) )38(,1 min ; n)

)38(,1 min , ñ) ,1min ; o) 3 ; p)

46362

2,1

33min

3.2.- TEOREMAS SOBRE LÍMITES DE FUNCIONES.

5. a) –1; b) 7; c) 8; d) –5. 6. a) 25; b) 1; c) –10; d) 8.

7. a) 32 ; b)

141 ; c)

81 ; d) 1; e) 2; f) 0; g)

27 ; h) –1.

8. a) 1431 ; b)

32 ; c) 3

313

274 4 ; d)

21 ; e)

23 ; f) –3; g) 0.

3.3.- LÍMITES INDETERMINADOS.

10. a) 3; b) 12; c) 83 .

11. a) 1; b) –1; c) –15; d) –1; e) 32 ; f)

5413 ; g)

114 ; h) –2; i) 0; j) ; k) 0; l)

4397 ; m)

32 ; n)

103 ;

ñ) 227134 ; o) ; p)

197 ; q) –2; r)

914 .

12. a) 2; b) 41 ; c) 6; d) 23 x 13. a) a2 ; b) a

23 ; c) ; d)

1

13 2

a

a.



14. a) 56 ; b) 3 .

15. a) 21 ; b)

61 ; c) 2

41 ; d) –2; e)

41 ; f)

61 ; g) –6; h)

121 ; i)

21 ; j)

x2

1 ; k) a2

1 ; l) 241

; m) a2

1 ; n) a23 ; ñ)

23 ; o)

21 ; p) 2; q)

21 .

16. a) 34 ; b)

31 ; c)

87

53 ; d) a3 .

18. a) 12; b) 481 ; c)

29161 19. a)

512 ; b) 3; c) 4; d)

23 .

20. a) 2; b) 34

21. b)

367

22. a) 101 ; b)

51

23. a) xm 26 ; b) 9123 2 xxm ; c) xxm 66 2

24. a) 43 2 x ; b) 3

4

x; c)

3

8

x

25. a) i) –3, ii) 2, iii) No existe; b) i) 8, ii) 0, iii) No existe; c) i) 1, ii) 1, iii) 1; d) i) 4, ii) 4,

iii) 4; e) i) 5, ii) 5, iii) 5; f) i) 0, ii) 0, iii) 0; g) i) 0, ii) 2; h) i) No existe, ii) No existe; i) i)

No existe, ii) 1; j) i) 1, ii) 1; k) i) No existe, ii) 9; l) i) No existe, ii) No existe; m) i) -8, ii)

No existe.

26. a) 2; b) 0; c) No existe; d) 0; e) 0; f) 0.

27. a) 4; b) 2; c) 2; d) 2; e) 3; f) 1; g) No existe; h) 1; i) 1; j) 1; k) 4.

28. 2k 29. 3a , 6b 30. 23a , 1b

31. 31a ,

25b .

3.4.- CONTINUIDAD.

32. a) Discontinuidad evitable en 10 x , 0)1( f ; b) Continua en 10 x ; c) Continua en

10 x ; d) Continua en 20 x , Discontinuidad esencial en 20 x ; e) Discontinuidad

esencial en 20 x , Discontinuidad esencial en 20 x .

33. a) 21A ; b) 1A ,

34A ; c)

21A ; d) 1A ; e) 1A ; f) 4A ; g) 4A ,

4A



34. a) 3A , 4B ; b) 10A , 23B ; d) 23A ,

21B ; e)

23A ,

21B ; f) 2A ,

6B ; g) 23A ,

21B ; h)

43A ;

41B ; i)

34A ,

32B ; j)

37516A ,

375704B

35. 3a , 0b , 3c , 3d .

36. a) )()0( lim0

xffx

; b) existe No )(lim2

xfx

; c ) existe No )(lim4

xfx

; d) En 2x y

4x ; e) En 0x ; f) 3)0( f .

3.5.- LÍMITES INFINITOS.

37. a) ; b) ; c) ; d) ; e) .

38. a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) ; j) ; k)

; l) ; m) ; n) .

39. a) ; b) ; c) No existe; d) No existe; e) ; f) ; g) ; h) ; i) .

40. . 41. a) ; b) ; c) .

42. a) ; b) 2; c) ; d) 0; e) ; f) 0; g) ; h) ; i) No existe; j) 0.

43. a) 0; b) No existe; c) 3; d) ; e) ; f) 1; g) 4; h) En 2x , 0x , 2x y 3x ;

i) En 2x , 2x y 3x ; j) En 0x , 3)0( f .

44. a) 1; b) 0; c) No existe; d) 0; e) ; f) 0; g) –1; h) En 2x , 1x , 0x , 1x y

2x ; i) En 2x , 1x y 1x ; j) En 0x y 2x , 0)0( f , 1)2( f .

45. a) 0x ; b) 0x ; c) 0x ; d) 0x ; e) 3x ; f) 1x ; g) 1x ; h) 23x ; i)

1x , 1x ; j) 1x , 1x ; k) 1x , 1x ; l) 3x , 3x ; m) No existe; n) No

existe; ñ) 0x , 4x ; o) 1x , 1x ; p) 3x , 3x ; q) 3

1x , 3

1x ; r) 3x

3.6.- LÍMITES AL INFINITO.

46. a) 0; b) 43 ; c) ; d) 0; e)

32 ; f) ; g) 0; h)

21 ; i) ; j) ; k) 1; l) ; m)

43 ; n) ; ñ) ; o) 72; p) 0; q) –1; r) ; s) 0; t) 2; u) 0; v) –1; w)

nm ; x) 2; y) No

existe; z) 321 .

47. a) 1; b) 1; c) –1; d) 1; e) –1; f) 2

1 ; g) 31 ; h) –1; i)

2

3 ; j)

32 ; k) –3; l)

31 ; m) ; n)

0; ñ) 0; o) ; p) 1; q) 1.

48. a) –1; b) ; c) 0; d) 0; e) a21 ; f)

25 ; g) 0; h) 0; i) 0.



50. 2

3a ; 4b ; 3c .

51. a) A.H: 0y , A.V: 0x , A.O: b) A.H: 0y , A.V: 0x , A.O:

c) A.H: 0y , A.V: 0x , A.O: d) a) A.H: , A.V: 0x , A.O: 3 xy

e) A.H: 0y , A.V: 3x , A.O: f) A.H: 1y , A.V: 1x , A.O:

g) A.H: , A.V: 1x , A.O: 1 xy h) A.H: , A.V: 23x , A.O: 42 xy

i) A.H: 0y , A.V: 1x y 1x , A.O:

j) A.H: 0y , A.V: 1x y 1x , A.O:

k) A.H: 0y , A.V: 1x y 1x , A.O:

l) A.H: 1y , A.V: 3x y 3x , A.O:

m) A.H: 0y , A.V: , A.O:

n) A.H: , A.V: , A.O: xy

ñ) A.H: 0y , A.V: 0x y 4x , A.O:

o) A.H: , A.V: 1x y 1x , A.O: xy

p) A.H: 1y , A.V: 3x y 3x , A.O:

q) A.H: , A.V: 3

1x y 3

1x , A.O: xy31

r) A.H: 0y , A.V: 3x , A.O: .

3.7.- LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS.

52. a) 0; b) 0; c) 34 ; d)

32 ; e)

21 ; f)

92 ; g)

31 ; h) 3; i) 2; j) 1.

53. a) 21 ; b) 4; c) 12; d)

91 ; e)

41 ; f) 0. 54. a) 0; b) 0; c) 0; d) 0; e)

49 ; f)

83 ; g) 2.

55. a) 37 ; b) 0; c) 0; d)

2

2 ; e) 0. 56. a) asen ; a2sec

57. a) 278 ; b)

94 58. 0; b) 1.

56. a) 61 ; b) 0; c) 0; d) 0; e) 1; f)

2

2.



BIBLIOGRAFÍA.

APOSTOL, T, Calculus., REVERTÉ Ediciones, S.A de C.V. México, 2009.

DEMIDOVICH, B y otros. Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático. Editorial MIR,

Moscú, 1977.

DEMIDOVICH, B. 5000 Problemas de Análisis Matemático. Editorial Paraninfo, 1988.

LANG, S, A Second Course in Calculus, 2 ed., Adisson – Wesley Publishing Company,

Inc., California, 1969.

LARSON, R y HOSTETLER, R, Cálculo y Geometría Analítica, 2 ed., Editorial

Interamericana de Venezuela, C.A., división de Mc Graw – Hill Internacional, Caracas,

1986.

LARSON, R, HOSTETLER, R y EDWARDS, B, Cálculo con Geometría Analítica, 8 ed.,

Mc Graw – Hill Interamericana Editores S.A de C.V, México, 2006.

LARSON, R y EDWARDS, B, Cálculo, 9 ed., Mc Graw – Hill Interamericana Editores

S.A de C.V, México, 2010.

LEITHOLD, L, El Cálculo, 7 ed., Oxford University Press México, S.A de C.V. México,

1998.

PURCELL, E, VARBERG, D y RIGDON, S, Cálculo, 9 ed., Pearson Educación de

México, S.A de C.V, México, 2007.

SPIEGEL, M. Cálculo Superior., Mc Graw – Hill Interamericana de México, S.A de C.V.

México, 1991.

THOMAS, G, Cálculo Infinitesimal y Geometría Analítica., Aguilar S. A de Ediciones.

Madrid, 1979.

ZILL, D, y WRIHGT, W. Cálculo de una variable. Cuarta edición. Mc Graw – Hill /

Interamericana Editores S.A. de C.V. México, 2011.



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