Embed Size (px)
Citation preview
HAI ĐƢỜNG THẲNG CHÉO NHAU
VÀ HAI ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG
A. CHUẨN KIẾN THỨC
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
1. Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng trong không gian.
Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Có các trường hợp sau đây xảy ra đối
với a và b :
Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa cả a và b , khi đó theo kết quả tronh hình học
phẳng ta có ba khả năng sau:
- a và b cắt nhau tại điểm M , ta kí hiệu a b M .
- a và b song song với nhau, ta kí hiệu a b .
- a và b trùng nhau, ta kí hiệu a b .
Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa cả a và b , khi đó ta nói a và b là hai
đường thẳng chéo nhau.
2. Các định lí và tính chất.
Trong không gian, qua một điểm cho trước không nằm trên đường thẳng a có một
và chỉ một đường thẳng song song với a .
Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến
đó hoặc đồng qui hoặc đôi một song song.
Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến
của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong
hai đường thẳng đó.
Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng
song song.
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.
Bài toán 01: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT BẰNG QUAN HỆ SONG SONG
PHƢƠNG PHÁP GIẢI.
Phƣơng pháp:
Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng và có điểm chung M và lần lượt chứa
hai đường thẳng song song d và 'd thì giao tuyến của và là đường thẳng đi
qua M song song với d và 'd .
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SCD
A. là đường thẳng đi qua S song song với AB, CD
B. là đường thẳng đi qua S
C. là điểm S
D. là mặt phẳng (SAD)
Lời giải:
b
c
a
γ
β
α
b
c
a
γ
β
α
A
a
b
Δ
βα
Ta có
AB SAB
CD SCD
AB CD
S SAB SCD
,SAB SCD d AB CD S d .
Ví dụ 2. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy là AB
và CD . Gọi ,I J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC và G là trọng tâm của
tam giác SAB .
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và IJG .
A.là đường thẳng song song với AB
B.là đường thẳng song song vơi CD
C.là đường thẳng song song với đường trung bình của hình thang ABCD
D.Cả A, B, C đều đúng
b) Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của IJG và hình chóp là một hình bình
hành.
A. 2
3AB CD B. AB CD C.
3
2AB CD D. 3AB CD
Lời giải:
d
B
D C
A
S
a) Ta có ABCD là hình thang và ,I J là
trung điểm của ,AD BC nên / /IJ AB .
Vậy
G SAB IJG
AB SAB
IJ IJG
AB IJ
SAB IJG MN IJ AB với
,M SA N SB .
b) Dễ thấy thiết diện là tứ giác MNJI .
Do G là trọng tâm tam giác SAB và MN ABnên 2
3
MN SG
AB SE
(E là trung điểm của AB ).
2
3MN AB .
Lại có 1
2IJ AB CD . Vì MN IJ nên MNIJ là hình thang, do đó MNIJ là hình bình
hành khi MN IJ
2 1
33 2AB AB CD AB CD .
Vậy thết diện là hình bình hành khi 3AB CD .
Bài toán 01: CHỨNG MINH HAI ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG.
Phƣơng pháp:
Để chứng minh hai đường thẳng song song ta có thể làm theo một trong các cách sau:
- Chứng minh chúng cùng thuộc một mặt phẳng rồi dùng các phương pháp chứng
minh hai đường thẳng song song trong mặt phẳng.
- Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song vơi đường thẳng thứ ba.
NM
E
JI
D C
A
S
B
G
- Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến
của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong
hai đường thẳng đó.
- Sử dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy lớn AB . Gọi
,M N lần lượt là trung điểm của SA và SB .
a) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất
A. MN song song với CD .
B. MN chéo với CD .
C. MN cắt với CD .
D. MN trùng với CD .
b) Gọi P là giao điểm của SC và ADN , I là giao điểm của AN và DP . Khẳng định
nào sau đây là đúng?
A. SI song song với CD .
B. SI chéo với CD .
C. SI cắt với CD .
D. SI trùng với CD .
Lời giải:
a) Ta có MN là đường trung bình của tam
giác SAB nên MN AB .
Lại có ABCD là hình thang / /AB CD .
Vậy MN AB
MN CDCD AB
.
b) Trong ABCD gọi E AD BC , trong SCD gọi P SC EN .
Ta có E AD ADN EN AND P ADN .
Vậy P SC ADN .
Do
I SABI ANI AN DP SI SAB SCD
I DP I SCD
.
Ta có
AB SAB
CD SCDSI CD
AB CD
SAB SCD SI
.
Ví dụ 2. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy AD và BC .
Biết ,AD a BC b . Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD và SBC . Mặt
phẳng ADJ cắt ,SB SC lần lượt tại ,M N . Mặt phẳng BCI cắt ,SA SD tại ,P Q .
a) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. MN song sonng với PQ .
B. MN chéo với PQ .
C. MN cắt với PQ .
I
P
E
N
M
D
A
S
B
C
D. MN trùng với PQ .
b) Giải sử AM cắt BP tại E ; CQ cắt DN tại F . Chứng minh EF song song với MN
và PQ . Tính EF theo ,a b .
A. 1
2EF a b B.
3
5EF a b C.
2
3EF a b D.
2
5EF a b
Lời giải:
a) Ta có I SAD I SAD IBC .
Vậy
AD SAD
BC IBC
AD BC
SAD IBC PQ
1PQ AD BC
Tương tự J SBC J SBC ADJ
Vậy
AD ADJ
BC SBC
AD BC
SBC ADJ MN
2MN AD BC
Từ 1 và 2 suy ra MN PQ .
b) Ta có
E AMNDE AM BP
E PBCQ
;
F AMNDF DN CQ
F PBCQ
Do đó EF AMND PBCQ . Mà AD BC
EF AD BC MN PQMN PQ
.
K
FE
QP
NM
BC
A
S
J
I
D
Tính EF : Gọi K CP EF EF EK KF
Ta có 1EK PE
EK BCBC PB
, PE PM
PM ABEB AB
Mà 2 2
3 3
PM SP PE
AB SA EB .
Từ 1 suy ra 1 2 2 2
5 5 51
EK PE PEEK BC b
EBBC PB PE EB
PE
Tương tự 2
5KF a . Vậy
2
5EF EK KF a b .
Bài toán 03: CHỨNG MINH BỐN ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG VÀ BA ĐƢỜNG THẲNG
ĐỒNG QUI
Phƣơng pháp:
Để chứng minh bốn điểm , , ,A B C D đồng phẳng ta tìm hai đường thẳng ,a b lần lượt đi
qua hai trong bốn điểm trên và chứng minh ,a b song song hoặc cắt nhau, khi đó
, , ,A B C D thuôc ,mp a b .
Để chứng minh ba đường thẳng , ,a b cđồng qui ngoài cách chứng minh ở §1, ta có thể
chứng minh , ,a b c lần lượt là giao tuyến của hai trong ba mặt phẳng , , trong
đó có hai giao tuyến cắt nhau. Khi đó theo tính chất về giao tuyến của ba mặt phẳng ta
được , ,a b c đồng qui.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi , , ,M N E F lần
lượt là trung điểm của các cạnh bên , ,SA SB SC và SD .
a) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. , ,ME NF SO đôi một song song (O là giao điểm của AC và BD ).
B. , ,ME NF SO không đồng quy (O là giao điểm của AC và BD ).
C. , ,ME NF SO đồng qui (O là giao điểm của AC và BD ).
D. , ,ME NF SO đôi một chéo nhau (O là giao điểm của AC và BD ).
b) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Bốn điểm , , ,M N E F đồng phẳng.
B. Bốn điểm , , ,M N E F không đồng phẳng.
C. MN, EF chéo nhau
D. Cả A, B, C đều sai
Lời giải:
a) Trong SAC gọi I ME SO , dễ thấy
I là trung điểm của SO , suy ra FI là
đường trung bình của tam giác SOD .
Vậy / /FI OD .
Tương tự ta có NI OB nên , ,N I F thẳng
hàng hay I NF .
Vậy minh , ,ME NF SO đồng qui .
b) Do ME NF I nên ME và NF xác
định một mặt phẳng. Suy ra , , ,M N E F
đồng phẳng.
Ví dụ 2. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi , , ,M N E F lần
lượt là trọng tâm các tam giác , ,SAB SBC SCD và SDA . Chứng minh:
a) Bốn điểm , , ,M N E F đồng phẳng.
b) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Bốn điểm , , ,M N E F đồng phẳng.
B. Bốn điểm , , ,M N E F không đồng phẳng.
C. MN, EF chéo nhau
I
F
EN
M
O
A
B C
D
S
D. Cả A, B, C đều sai
b) Ba đường thẳng , ,ME NF SO đồng qui (O là giao điểm của AC và BD ).
a) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. , ,ME NF SO đôi một song song (O là giao điểm của AC và BD ).
B. , ,ME NF SO không đồng quy (O là giao điểm của AC và BD ).
C. , ,ME NF SO đồng qui (O là giao điểm của AC và BD ).
D. , ,ME NF SO đôi một chéo nhau (O là giao điểm của AC và BD ).
Lời giải:
a) Gọi ', ', ', 'M N E F lần lượt là trung điểm
các cạnh , ,AB BC CD và DA .
Ta có 2 2
,' 3 ' 3 ' '
SM SN SM SN
SM SN SM SN
' ' 1MN M N .
Tương tự ' ' 2' '
SE SFEF E F
SE SF
Lại có ' '
' ' ' ' 3' '
M N ACM N E F
E F AC
Từ 1 , 2 và 3 suy ra MN EF . Vậy
bốn điểm , , ,M N E F đồng phẳng.
b) Dễ thấy ' ' ' 'M N E F cũng là hình bình hành và ' ' ' 'O M E N F .
Xét ba mặt phẳng ' ' , ' 'M SE N SF và MNEF ta có :
I
F
E
N
E'
N'
F'
M'O
D
B C
A
S
M
' ' ' 'M SE N SF SO
' 'M SE MNEF ME
' 'N SF MNEF NF
ME NF I .
Do đó theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng , ,ME NF SO
đồng qui.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
19. Cho tứ diện ABCD . Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC . Tìm
giao tuyến của hai mặt phẳng DMN và BCD .
20. Cho hình chóp .S ABC . Gọi 1 2,G G lần lượt là trọng tâm các tam giác SBC và SAB .
a) Chứng minh 1 2GG AC .
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 1 2BG G và ABC .
21. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SCD .
b) Gọi M là một điểm trên cạnh SC . Xác định giao điểm N của SD với ABM . Tứ
giác ABMN là hình gì?
c) Giả sử I AN BM . Chứng minh I thuộc một đường thẳng cố định khi M chạy
trên cạnh SC .
22. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi , , ,M N P Q lần lượt là
trung điểm của các cạnh , , ,SA SB SC SD .
a) Chứng minh MNPQ là một hình bình hành.
b) Gọi I là một điểm trên cạnh BC . Xác định thiết diện của hình chóp với IMN .
23. Cho tứ diện ABCD . Gọi ,I J lần lượt là trung điểm của BC và BD , E là một điểm
thuộc cạnh AD ( E khác A và D ).
a) Xác định thiết diện của tứ diện với IJE .
b) Tìm vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện là hình bình hành.
c) Tìm điều kiện của tứ diện ABCD và vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện là
hình thoi.
24. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của CD và AB .
a) Hãy xác định các điểm I AC và J DN sao cho IJ BM .
b) Tính IJ theo a .
25. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang.Một mặt phẳng cắt các
cạnh , ,SA SB SC và SD lần lượt tại các điểm , , ,M N P Q .
a) Giả sử MN PQ I , AB CD E . Chứng minh , ,I E S thẳng hàng.
b) Giả sử IBC IAD và .
Chứng minh MQ NP AB CD .
26. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thang với AD BC . M là một điểm di động
trong tứ giác ABCD . Qua M vẽ các đường thẳng song song với ,SA SB cắt các mặt
SBC và SAD lần lượt tại ,N P .
a) Nêu cách dựng các điểm ,N P .
b) Tìm tập hợp điểm M sao cho .MNMP lớn nhất.
27. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy AD a và BC b .
Gọi , ,M N P lần lượt là trung điểm các cạnh ,AB CD và SB .
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ADP và SBC .
b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến của ADP và SMN nằm bên trong hình chóp.
28. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi ,I J lần lượt là trọng
tâm các tam giác SAB và SAD , M là điểm trên cạnh SA sao cho 2MA MS . Xác định
thiết diện của hình chóp với mặt phẳng MIJ .
29. Cho hình chóp .S ABC , M là một điểm nằm trong tam giác .ABC Các đường thẳng
qua M và song song ,SA SB và SC cắt các mặt , ,SBC SCA SAB lần lượt tại các
điểm ', ', 'A B C .
a) Nêu cách dựng các điểm ', ', 'A B C .
b) Chứng minh ' ' 'MA MB MC
SA SB SC có giá trị không đổi khi O di động trong tam giác
ABC .
c) Xác định vị trí của điểm M để tích '. '. 'MA MB MC lớn nhất.
30. Cho tứ diện ABCD . Một mặt phẳng cắt bốn canh , , ,AB BC CD DA
Lần lượt tại các điểm , , ,M N P Q .
Chứng minh : . . .
. . .16
AB BCCD ADMANBPCQD . Khi đẳng thức xảy ra thì MNPQ là
hình gì?
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUẬN TỰ LUYỆN
19. Do ,M N lần lượt là trung điểm của
,AB AC nên MN BC .
Vậy
D DMN SBC
MN DMN
BC SBC
MN BC
,DMN SBC d MN BC D d .
N
M
A
BD
C
20. a) Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của
,AB BC .
Do 1 2,G G là trọng tâm các tam giác SBC
và SAB nên 1 22 2,
3 3
SG SG
SN SM
1 2SG SG
SN SM
1 2GG MN . Mặt khác
1 2MN AC GG AC .
b) Ta có
1 2
1 2 1 2
1 2
B BG G
G G BG G
AC ABCD
G G AC
1 2 1 2,BGG ABCD d AC GG
21. a) Ta có
S SAB SCD
AB CDSAB SCD
AB SAB
CD SCD
,d AB CD S d .
d
G1
N
M
S
AD
BC
G2
d
I
N
A
BC
D
S
M
b) Ta có
M SCD ABM
AB CD
AB ABM
CD SCD
'ABM SCD d AB 'M d .
Trong SCD gọi 'N d SD N SD ABM Do MN AB nên tứ giác ABMN là
hình thang.
c) Gọi SAD SBC thì cố định.
Vì
I AN SADI AN BM I SAD SBC
I BM SBC
I .
Vậy I cố định.
22.
a) Ta có 1
2MN AB và
1
2PQ CD
mà AB CD nên MN PQ .
Vậy MNPQ là hình bình hành.
b) Ta có
I IMN ABCD
AB ABCD
MN IMN
AB MN
IMN ABCD IJ AB MN với J AD . Thiết
J
Q
P
M
N
A
B C
D
S
I
diện của hình chớp với IMN là hình thang MNIJ .
23. a) Ta có
,
F IJF ACD
IJ IJF CD ACD IJF ACD FE CD IJ
IJ CD
.
Thiết diện là tứ giác IJEF .
b) Để thiết diện IJEF là hình bình hành thì IJ EF mà 1
2IJ CD nên
1
2EF CD , hay
EF là đường trung bình trong tam giác ACDứng với cạnh CD do đó E là trung điểm
của AD .
c) Để thiết diện IJEF là hình thoi thì trước tiên nó phải là hình bình hành, khi đó E là
trung điểm của AD . Mặt khác IJEF là hình thoi thì IJ IF , mà
1 1,
2 2IJ CD IF AB AB CD .
Vậy điều kiện để thiết diện là hình thoi là tứ diện ABCD có AB CD và E là trung
điểm của AD .
F
J
I
A
B D
C
E
24. a) Trong BCD , từ D kẻ đường thẳng
song song với BM cắt BC tại K . Nối K
và N cắt AC tại I . Trong IKD , từ I kẻ
đường thẳng song song với DK cắt DN
tại J .
Khi đó IJ BM .
b) Do BM là đường trung bình của tam giác CKD nên 3
2 2. 32
aKD BM a .
Gọi H là trung điểm của BC . Khi đó 3
3NK KH HC
HN ACNI HC HC
3 3NK NI KD IJ
1 3
3 3
aIJ KD .
25. a) Ta có SE SAB SCD
I MN SABI MN PQ
I PQ SCD
I SAB SCD , hay I SE .
b) Do
/ /
I IAD IBC
AD BC
AD IAD
BC IBC
H
J
K
M
N
A
B D
C
I
I
N P
Q
E
B C
A
S
D
M
,IAD IBC AB DC I Mặt khác theo giả thiết nên
BC SBCNP BC
BC
SBC NP
Tương tự ta cũng có MQ AD .
Vậy MQ NP BC AD .
26. a) Gọi ,E AM BC F BM AD . Từ
M kẻ các đường thẳng song song với
,SA SB lần lượt cắt ,SE SF tại ,N P .Thì
,N P là các điểm cần dựng.
b) Ta có MN EM
SA EA ,
MP FM AM
SB FB AE nên
1MN MP EM AM
SA SB EA EA .
Theo BĐT CauChy ta có
2
. . . .
. .
4 4
MN MPMN MP SASB
SA SB
SASB MN MP SASB
SA SB
Vậy .
ax .4
SASBm MN MP khi
1
2
MN MP
SA SB hay M là trung điểm của AE và BF ,
do đó tập hợp điểm M là đường trung bình của hình thang ABCD .
P
N
EB C
D
S
M
AF
27.
a) Ta có
,
P ADP SBC
AD BCADP SBC PQ AD BC Q SC
AD ADP
BC SBC
b) Gọi ,I AP SM J DQ SN thì
IJ ADP SMN .
Dễ thấy ,I J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB
và SCD . Gọi K IJ PD ,ta có IJ IK KJ .
Ta có 1
3
IK PI
AD PA
1 1
3 3IK AD a .
Tương tự 2
3
JK DI
PQ DQ
2 2 1 1.
3 3 2 3JK PQ BC b .
Vậy 1
3IJ IK KJ a b .
28. (HS tự giải)
KI J
QP
NM
B C
A
S
D
29.
a) Gọi E AM BC , trong SAE vẽ
đường thẳng đi qua M và song song với
SA cắt SE tại 'A thì 'A là điểm cần dựng.
Các điểm ', 'B C được dựng tương tự.
b) Ta có 'MA SA nên
'
1MBC
ABC
SMA EM
SA AE S
Tương tự '
2MAC
ABC
SMB IM
SB IB S
'
3MAB
ABC
SMC FM
SC FC S
Cộng các đẳng thức 1 , 2 , 3 ta được
' ' '1
MA MB MC
SA SB SC
b) Ta có ' ' '
'. '. ' . . . . .MA MB MC
MA MB MC SASBSCSA SB SC
3' ' '
. .. .
3 27
MA MB MCSASBSCSA SB SCSASBSC
Đẳng thức xảy ra khi ' ' ' 1
3
MA MB MC EM IM FM
SA SB SC EA IB FC M là trọng tâm của
tam giác ABC .
Vậy . .
max '. '. '27
SASBSCMA MB MC .
B'
C'
A'
I
S
A C
B
ME
F
30. Trước tiên do , , ,M N E F đồng phẳng nên theo
định lí Menelauyt trong không gian ta có
. . . 1MA NB PC QD
MB NC PD QA .
Do đó
2
. . . ( . . . ) . . . 1MANBPCQD MANBPCQD MBNC PDQA
Theo BĐT Cau Chy ta có
2 2
.2 4
MA MB ABMAMB
2 2
.2 4
NB NC BCNBNB
2 2
.2 4
PC PD CDPC PD
2 2
.2 4
QD QA ADQDQA
Nhân theo vế các BĐT trên và kết hợp với 1 thu được:
. . .. . .
16
AB BCCD ADMANBPCQD .
Đẳng thức xảy ra khi , , ,M N P Q lần lượt là trung điểm của các cạnh , , ,AB BC CD DA
nên MNPQ là hình bình hành.
ĐƢỜNG THẲNG
VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
A. CHUẨN KIẾN THỨC
A
BD
C
M
N
P
Q
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
1. Vị trí tƣơng đối của đƣờng thẳng và mặt phẳng.
Cho đường thẳng d và mặt phẳng , ta có ba vị trí tương đối giữa chúng là:
d và cắt nhau tại điểm M , kí hiêu M d hoặc để đơn giản ta kí hiệu
M d (h1)
d song song với , kí hiệu d hoặc d ( h2)
d nằm trong , kí hiệu d (h3)
2. Các định lí và tính chất.
Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng và d song song với đường
thẳng 'd nằn trong thì d song song với .
Vậy
'
'
d
d d d
d
Cho đường thẳng d song song với mặt
phẳng . Nếu mặt phẳng đi qua
d và cắt theo giao tuyến 'd thì
'd d .
d
h1
αM
d
h3
α
d
h2
α
d'
d
h3
α
d'
dβ
α
Vậy
'
'
d
d d d
d
.
4. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có
duy nhất một mặt phẳng chứa đường
thẳng này và song song với đường
thẳng kia.
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.
Bài toán 01: CHỨNG MINH ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG.
Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song
song với một đường thẳng thì giao
tuyến của chúng ( nếu có) cũng song
song với đường thẳng đó.
Vậy
'
'
d
d d d
d
.
d'
d
β
α
d
l
m
α
Phƣơng pháp:
Để chứng minh đường thẳng d songsong
với mặt phẳng ta chứng minh d song
song với một đường thẳng 'd nằm trong
.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt
phẳng có tâm lần lượt là O và 'O .
a) Chứng minh 'OO song song với các mặt phẳng ADF và BCE .
b) Gọi ,M N lần lượt là hai điểm trên các cạnh ,AE BD sao cho 1 1
,3 3
AM AE BN BD .
Chứng minh MN song song với CDEF .
Lời giải:
a) Ta có 'OO là đường trung bình của tam
giác BDF ứng với cạnh DF nên 'OO DF
, DF ADF
'OO ADF .
Tương tự, 'OO là đường trung bình của
tam giác ACE ứng với cạnh CE nên
'OO CE , 'CE CBE OO BCE .
d'
d
h3
α
I
O
O'
E
C
A B
D
F
M
N
b) Trong ABCD , gọi I AN CD
Do AB CD nên 1
3
AN BN AN
AI BD AI .
Lại có 1
3
AM AN AM
AE AI AE MN IE . Mà I CD IE CDEF MN CDEF .
Ví dụ 2. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Gọi G là trọng
tâm tam giác SAB , I là trung điểm của AB và M là điểm trên cạnh AD sao cho
1
3AM AD .
a) Đường thẳng đi qua M và song song với AB cắt CI tại N . Chứng minh NG SCD
.
b) Chứng minh MG SCD .
Lời giải:
a) Ta có 1
3
IN BJ AM
IC BC AD ,
1
3
IG
IS
IN IGNG SC
IC IS ,
mà SC SCD
NG SCD .
b) Gọi E là giao điểm của IM và CD
Ta có 1
3
IM AM IM IG
IE AD IE IS
MG SE , SE SCD GM SCD .
N J
E
I
C
A B
D
S
M
G
Bài toán 02: DỰNG THIẾT DIỆN SONG SONG VỚI ĐƢỜNG THẲNG.
Phƣơng pháp:
Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.
Trong phần này ta sẽ xét thiết diện của mặt phẳng đi qua một điểm song song với
hai đường thẳng chéo nhau hoặc chứa một đường thẳng và song song với một
đường thẳng; để xác định thiết diện loại này ta sử dụng tính chất:
' , '
d
d d d M d
M
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình chóp .S ABCD , M và N là hai điểm thuộc cạnh AB và CD , là
mặt phẳng qua MN và song song với SA .
a) Xác định thiết diện của hình chóp .S ABCD khi cắt bởi .
b) Tìm điều kiện của MN để thiết diện là một hình thang.
Lời giải:
a) Ta có
M SAB
SA
SA SAB
,SAB MQ SA Q SB .
Trong ABCD gọi I AC MN
I MNI SAC
I AC SAC
P
I
Q
A
B C
D
S
M N
Vậy
,
I SAC
SA
SA SAC
SAC IP SA P SC
Từ đó ta có ,SBC PQ SAD NP .
Thiết diện là tứ giác MNPQ .
b) Tứ giác MNPQ là một hình thang khi MN PQ hoặc MQ NP .
Trường hợp 1:
Nếu MQ NP thì ta có MQ NP
SA NPMQ SA
Mà NP SCD SA SCD (vô lí).
Trường hợp 2:
Nếu MN PQ thì ta có các mặt phẳng , ,ABCD SBC đôi một cắt nhau theo ba giao
tuyến là , ,MN BC PQ nên MN BC .
Đảo lại nếu MN BC thì
MN
BC SBC
PQ SBC
MN PQ nên tứ giác MNPQ là hình thang.
Vậy để tứ giác MNPQ là hình thang thì điều kiện là MN BC .
Ví dụ 2. Cho hình chóp .S ABCD , có đáy là hình vuông cạnh a và tam giác SAB đều.
Một điểm M thuộc cạnh BC sao cho BM x 0 x a , mặt phẳng đi qua M song
song với SA và SB .
a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi .
b) Tính diện tích thiết diện theo a và x .
Lời giải:
a) Ta có
M SBC
SB
SB SBC
,SBC MN SB
N SC .Tương tự
N SAC
SA
SA SAC
,SAC NI SA I AC
Trong ABCD gọi Q MI AD , thì ta có
,
Q SAD
SA SAD QP SA P SD
SA SAD
.
Thiết diện là tứ giác MNPQ .
b) Do = 1CM CN
MN SBCB CS
Lại có 2CI CN
IN SACA CS
. Từ 1 và 2 suy ra CM CI
IM ABCB CA
Mà AB CD IM CD .
P
Q I
N
B
DC
A
S
M
Ba mặt phẳng , ABCD và SCD đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là
, ,MQ CD NP với MQ CD MQ NP .
Vậy MNPQ là hình thang.
Ta có MN CM DQ PQ
SB CB DA SA , mà
SA SB a MN PQ . Do đó MNPQ là
hình thang cân.
Từ MN CM a x
MN a xSA CB a
,
PN SN BMPN BM x
DC SC BC ,
IM CMIM CM a x
AB CB
Gọi J là trung điểm của IM thì
2
22 2 3
2 2
a xNJ MN MJ a x a x
2 21 1 3 3.
2 2 2 4MNPQS NJ MQ NP a x a x a x .
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
31.Cho hình chóp .S ABCD . Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của AB và BC ; 1 2,G G
tương ứng là trọng tâm các tam giác ,SAB SBC .
a) Chứng minh AC SMN .
b) 1 2GG SAC .
c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ABC và 1 2BG G .
x
x
a-x a-x
P N
Q MJI
32. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên các cạnh , ,SA SB AD
lần lượt lấy các điểm , ,M N P sao cho SM SN PD
SA SB AD .
a) Chứng minh MN ABCD .
b) SD MNP .
c) NP SCD .
33. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai
đường chéo AC và BD . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng qua O ,
song song với AB và SC .
34. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành . Gọi M là trung điểm
của cạnh AB . Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng qua M , song song
với BD và SA .
35. Cho hình chóp .S ABCD . Gọi ,M N là hai điểm bất kì trên hai cạnh SB và CD ,
là mặt phẳng đi qua MN và song song với SC .
Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi .
36. Cho tứ diện ABCD . Gọi , 'O O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABC
và ABD . Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để
a) 'OO BCD là BC AB AC
BD AB AD
.
b) 'OO CBD và 'OO ACD là BC BD và AC AD .
37. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình bình hành ABCD . Gọi M là trung điểm của
SC ; là mặt phẳng qua AM và song song với BD .
a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi .
b) Gọi ,E F lần lượt là giao điểm của với các cạnh ,SB SD . Tính các tỉ số
;SME SMF
SBC SCD
S S
S S
.
c) Gọi ,K ME CB J MF CD . Chứng minh , ,A K J nằm trên một đường thẳng song
song với EF .
38. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB . Gọi ,M N
theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác SCD và SAB .
a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng : ABM và SCD ; SMN và ABC .
b) Chứng minh MN ABC .
c) Gọi d là giao tuyến của SCD và ABM còn ,I J lần lượt là các giao điểm của d với
,SD SC . Chứng minh IN ABC .
d) Tìm các giao điểm ,P Q của MC với SAB , AN với SCD . Chứng minh , ,S P Q
thẳng hàng.
39. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . M là một điểm di
động trên cạnh SC , là mặt phẳng qua AM và song song với BD .
a) Chứng minh luôn chứa một đường thẳng cố định.
b) Tìm các giao điểm ,H K của với ,SB SD . Chứng minh SB SD SC
SH SK SM có giá trị
không đổi.
b) Thiết diện của hình chóp với có thể là hình thang được không?
40. Cho tứ diện ABCD có , ,AB CD a BC AD b AC BD c với. Một mặt phẳng
song song với hai đường thẳng AB và CD cắt các cạnh của của tứ diện theo một
thiết diện là hình thoi. Tính diện tích của thiết diện.
41. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . M và P là hai điểm di động trên các cạnh AD và
BC , sao cho , 0MA PC x x a . Một mặt phẳng qua MP song song với CD cắt
tứ diện theo một thiết diện.
a) Chứng minh thiết diện là hình thang cân.
b) Tìm x để diện tích thiết diện nhỏ nhất.
42. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Một mặt phẳng
thay đổi đi qua AB và cắt ,SC SD tại ,M N .
a) Tứ giác ABMN là hình gì?
b) Chứng minh giao điểm I của AM và BN luôn thuộc một đường thẳng cố định.
c) Chứng minh giao điểm K của AN và BM luôn thuộc một đường thẳng cố định và
AB BC
MN SK không đổi.
43. Cho hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C . Gọi I là trung điểm của cạnh ' 'B C .
a) Chứng minh ' 'AB A IC .
b) M là một điểm thuộc cạnh ' 'A C , ' , ' 'AM A C P B M A I Q . Chứng minh
'PQ AB . Tìm vị trí của M để ' '
2
9A PQ A CIS S
.
44. Cho hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C . , ,I G K lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC ,
'ACC và ' ' 'A B C .Chứng minh
a) 'IG ABC .
b) ' 'GK BB C C .
45. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . I là trung điểm của cạnh AC , J là điểm tuộc cạnh
AD sao cho 2AJ JD . M là một điểm di động trong tam giác BCD sao cho MIJ AB .
a) Tìm tập hợp điểm M .
b) Tính diện tích thiết diện của tứ diện cắt bởi MIJ .
Lời giải:
31.
a) Ta có
MN AC
MN SACAC SAC
.
b) 1 2,G G lần lượt là trọng tâm các tam giác
SAB và SBC nên
1 21 2
2
3
SG SGG G MN
SM SN mà
1 2MN AC GG AC .
Vậy
1 2
1 2
G G ACG G SAC
AC SAC
.
c) Ta có
1 2
1 2 2
1 2
1
B ABC BG G
NM ABC
G G BG G
MN G G
1 2 1 2,ABC BGG d MN GG B d .
d
G1
M
N
A
DC
B
S
G2
32. a) Ta có SM SN
MN ABSA SB
Vậy
MN AB
MN ABCDAB ABCD
.
b) Tương tự SM PD
SD MPSA AD
mà /MP MNP SD MNP .
c) Kẻ ,NR BC R SC , kẻ ,RQ SB Q BC
thì ta có
1SN SR
SB SC và 2
SR BQ
SC BC ,
mặt khác 3SN PD
SB AD .
Từ 1 , 2 , 3 ta có
BQ PDBQ PD
BC AD .
Lại có NR BQ NR PD
Thêm nữa NR BQ
NR PDPD BQ
nên
PDRN là hình bình hành, từ đó ta có
NP DRDR SCD
DR SCD
.
Q
R
P
NM
A
DC
B
S
33. Gọi P là mặt phẳng qua O và song
song với AB và SC
Ta có
O P SAC
SC SAC
SC P
,SAC P OM SC O SA .
Tương tự
N SAB P
AB SAB
AB P
,SAB P MN AB N SB .
,
N P SBC
SC SBC SBC P NP SC
SC P
P BC .
Trong ABCD gọi Q PO AD thì thiết
diện là tứ giác MNPQ .
Q
P
N
M
O
A
B C
D
S
34. Ta có
M ABCD
BD
BD ABCD
,ABCD MN BD N AD
Tương tự ,SAD NP SA P SD
,SAB MR SA R SB
Gọi E MN AC thì
,SAC EQ SA Q SC
Thiết diện là ngũ giác MNPQR .
35. Ta có
M SBC
SC SBC
SC
,SBC MP SC P BC .
Tương tự ,SCD NQ SC Q SD
Trong ABCD gọi I AC PN thì
,SAC IT SC T SA
Thiết diện là ngũ giác MPNQT .
Q
R
P
N
M
A
B C
D
S
E
T
I
Q
P
A
B C
D
S
M
N
36.
a) Gọi , 'I AO BC J AO BD ta có
'AOO BCD IJ do đó
' 'OO BCD OO IJ
'
1'
OA O A
OI O J .
Mặt khác ta có 2OA AB
OI BI
'
3'
O A AB
O J BJ . Từ 1 , 2 , 3 suy ra
BI BJ .
Lại có IB AB IB AB
IC AC BC AB AC
và JB AB JB AB
JD AD BD AB AD
nên . .AB BC AB BD
IB JBAB AC AB AD
1BC AB AC
BD AB AD
.
O'
D
C
B
A
OI
b) Trường hợp 'OO BCD và 'OO ACD
thì ta có
' '
'
BCD ACD CD
OO BCD OO CD
OO ACD
.
Vì vậy 'OO và CD đồng phẳng.
Xét ba mặt phẳng , , 'ABC ABD CDOO đôi
một cắt nhau theo ba giao tuyến là
, , 'AB CO DO nên ba giao tuyến này đồng
quy.Gọi I là điểm đồng quy này thì I là chân
các đường phân giác của các góc ,C D trong
các tam giác ,CAB DAB tương ứng.Theo tính
chất đường phân giác ta có: IA DA
IB DB và
IA CA
IB CB
suy ra 2DA CA BC AC
DB CB BD AD
Kết hợp với đẳng thức 1 ta có
= 1BC AB AC AC AB AC AC AB
BD AB AD AD AB AD AD AB
( Tính chất dãy tỉ số bàng nhau).
Vậy ,BC BD AC AD .
O'
D
CB
A
I
J
O
37. a) Gọi ,O AC BD I SO AM .
Ta có
, , ,
BD
BD SBD SBD EF BD E SB F SD I EF
I SBD
Thiết diện là tứ giác AEMF .
b) Do ,O M lần lượt là trung điểm của ,AC SC
nên I là trọng tâm của tam giác SAC
2
3
IS
IO , mặt khác EF BD nên
2
3
SE SF SI
SB SD SO .
Từ đó ta có 1 2 1
. .2 3 3
SME
SBC
S SM SE
S SC SB
Và 1
.3
SMF
SCD
S SM SF
S SC SD
.
c) Dễ thấy , ,K A J là điểm chung của hai mặt
phẳng ABCD và nên chúng thẳng hàng
. Gọi d ABCD thì
BDd BD
BD ABCD
, mà
BD EF d EF .
Vậy , ,K A J thuộc đường thẳng d song song
với EF .
J
K
F
E
I
O
M
D
A B
C
S
38.
a)
Ta có
,
M ABM SCD
AB SCD ABM SCD IJ AB CD
AB ABM
, ,M IJ I SD J SC .
Gọi
,E SN AB F SM CD EF SMN ABCD
.
b) Do ,M N là trọng tâm của các tam giác SCD
và SAB nên
2 2,
3 3
SM SN SM SNMN EF
SF SE SF SE ,
EF ABCD MN ABCD .
c) Ta có SI SM SN
IJ CDSD SF SE
IN DE ,
DE ABC
MN ABCD .
d) Gọi SAB SCD
H
K
Q
P
JI
N
F
E
DC
A
S
B
M
P CM P SAB
P CM
P CM SAB .
Tương tự gọi Q AN thì Q AN SCD .
Ta có , ,S P Q thuộc nên chúng thẳng hàng.
39. a) Trong ABCD gọi d là đường thẳng đi qua
A và song song với BD thì d cố định
Ta có
A
A d d
d BD
. Vậy luôn chứa
đường thẳng d cố định.
b) Gọi I AM HK , thế thì SB SD SO
SH SK SI nên
2
1SB SD SO
SH SK SI .
Gọi N là trung điểm của MC , ta có
SC SN NC SN NC
SM SM SM SMSN SN SM
SM SM
2 1 2 1 2SN SO
SM SI .
Từ 1 , 2 ta có
2 2 1 1SB SD SC SO SO
SH SK SM SI SI
.
d
K
HI
O
A
BC
D
S
M
c) Xét các mặt phẳng , ,SAB SCD ta thấy
, ,SAB AH SCD MK
SAB SCD d AB CD .
Do đó nếu AH MK AH MK d
AH AH ( vô lí).
Tương tự , NếuAK MH cũng dẫn đến vô lí. Vậy
thiết diện không thể là hình thang.
40. Giả sử căt các cạnh , , ,AC CB BD DA theo
thứ tự tại , , ,M N P Q thì MNPQ là hình bình
hành.
Ta có MN AB PQ và / / / /MQ CD NP
Do đó .MN CN CN AB a
MN CNAB CB CB b
Tương tự .NP BN CD BN a
NP BNCD BC BC b
.
Để MNPQ là hình thoi ta phải có
MN NP CN BN hay N là trung điểm của
BC . Từ dó ta suy ra được , ,M P Q cũng là trung
điểm của các cạnh , ,AC BD AD .
Ta có 2 2 22 2 2
22
2 4 4
a b cBA BC ACBM
.
N
I
O
S
A
C
M
a
b
c
b a
c
N
Q
P
M
A
BD
C
Tương tự 2 2 2
22
4
a b cDM
BM DM MP DB , do đó
2 2 2 2 2 2 22 2 2
2
4 4 2
a b c c a b cMP BM BP
Tương tự ta tính được 2 2 2
2
2
a c bNQ
.
Vậy 2 2 2 2 2 21.
2MNPQS MP NQ a b c a c b
41. a) Ta có
,
M ACD
CD ACD ACD MN CD N AC
CD
Tương tự ,BCD PQ CD Q BD .
Thiết diện là tứ giác MNPQ .
Vì MN CD
MN PQPQ CD
nên MNPQ là hình thang.
Dễ thấy DQ CP x , DM a x , Áp dụng định lí cô sin
cho tam giác DMQ ta có
2 2 2 02 . cos60MQ DM DQ DMDQ
22 2 1
22
MQ x a x x a x
2 23 3x ax a 2 23 3MQ x ax a .
Tương tự ta cũng tính được 2 23 3NP x ax a
N
Q
A
BD
C
M
P
MP NQ .
Vậy MNPQ là hình thăng cân. Dễ thấy ,MN x PQ a x
, đường cao hình thang 2 218 8 3
2h x ax a .
2 2 2 21 1 1[ ( )]. 8 8 3 8 8 3
2 2 2MNPQS a a x x ax a a x ax a
.
b) Ta có
2 22 2 21 1
8 8 3 82 2 2 2MNPQ
a aS a x ax a a x a
Vậy 2
min2 2MNPQ
a aS x .
42.
a) Ta có
AB CD
AB SCDCD SCD
.
Do đó
AB SCD
AB MN AB
SCD MN
,
hay ABMN là hình thang.
b) Ta có
I AM SACI AM BN
I BN SBD
.
Gọi O AC BD
SO SAC SBD , thế thì I SO cố
định.
O
K
I
N
A
B C
D
S
M
c) Lập luận tương tự câu b) ta được K
thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng
SAD và SBC .
Vì / / AB BM
MN ABMN MK
Tương tự BC MB
SK BCSK MK
suy ra
0AB BC
MN SK không đổi.
43. a) Gọi ' 'J AC A C thì IJ là đường trung bình của
tam giác ' 'C B A nên 'IJ AB .
Vậy
'
'/ / ''
IJ A ICAB A IC
AB IJ
.
b) Ta có
' '
' ' '
' '
AB A IC
AB MA B PQ A B
MA B A IC PQ
.
Đặt '
0 1' '
A Mx x
A C .
Ta có '
'
' . '
' . '
A PQ
A IC
S A P A Q
S A C A I
Do 'A M AC nên ' '
'
A P A Mx
A C AC . Gọi N là trung
điểm của 'AC thì ta có
' ' ' '
1' ' ' ' '' ' '
2
A Q A M A M A M
A I A N A C NCA C C M
N
QP
J
I
C
B
A'
C'
B'
A
M
'2
' 2 ' 2' '1 '' ' ' 1
' ' ' ' ' 12 ' '
A MA M A M xA C
A MA C A M xA C A C A M
A C
2
'
'
2
1
A PQ
A IC
S x
S x
.
Do đó
2' 2
'
2 2 2 1 379 1 0
9 1 9 18
A PQ
A IC
S xx x x
S x
.
Vậy để ' '
2
9A PQ A CIS S
thì M nằm trên ' 'A C sao cho
1 37' ' '
18A M A C
.
44.
a) Gọi M là trung điểm của cạnh AC thì
1
3
IM
IB và
1
' 3
MG
MC .
Do đó ''
IM MGIG BC
IB MC
Vậy ' 'IG BC ABC
'IG ABC .
b)
Dễ thấy , , 'C G A thẳng hàng và
' '' ' 2
A G C GAC A C
GC GM
KN
G
M
B'
A'A
C
B
C'
I
Gọi N là trung điểm của ' 'B C
Ta có K là trọng tâm của ' ' 'A B C nên
' ' '2
' '
A K A G A KGK CN
A N GC A N .
Vậy ' ' ' 'GK CN BCC B GK BCC B .
45. a) Ta có
I IJM ABC
AB ABC
AB IJM
,IJM ABC IE AB E BC .
Tương tự ,IJM ABD JF AB F BD
Từ đó ta thấy EF MIJ BCD mà
M MIJ BCD M EF .
Vậy tập hợp điểm M là đoạn EF .
b) Do IE AB
JF AB
nên thiết diện IEFJ là hình
thang.
Dễ thấy ,3 2
a aJF IE . Áp dụng định lí
Côsin ta có 2 2 2 02 cos60IJ AI AJ AIAJ
2 2 24 2 1 132. . .
4 9 2 3 2 36
a a a a a .
Tương tự ta cũng có 2
2 13
36
aIE , do đó
IEFJ là hình thang cân và không khó khăn
E
F
I
A
B D
C
J
M
gì ta có thể tính được diện tích thiết diện là
2 5 51
144
aS .
