HAKIKAT KONSEP MATEMATIKA

A. HAKIKAT BILANGAN

Seorang anak bertanya : “Apa artinya 4?”.Penjelasan berikut ini mana

yang menurut anda akan memberikan sesuatu pemahaman yang tepat

tentang konsep 4?.

1. Tunjukkan lambang bilangan 4 dan katakan bahwa inilah 4.

2. Peganglah 4 jari dan katakana kepadanya bahwa inilah suatu

himpunan 4.

3. Tunjukkan kepadanya beberapa himpunan dari 4 dan ceritakan

bahwa masing-masing himpunan mempunyai 4 elemen.

4. Katakan kepadanya bahwa 4 lebih dari 3

5. Katakan kepadanya bahwa 4 kurang dari 5.

Tidak satupun dari penjelasan diatas yang menghasilkan pemahaman

yang mantap kepada anak tentang konsep 4, karena tidak satupun dari lima

penjelasan diatas yang mencerminkan hakikat yang benar tentang

empatan.Kemungkinan anda menduga bahwa penjelasan pada butir 3 akan

menghasilkan pemahaman yang mantap tentang konsep 4.Anda perlu ingat

bahwa butir 3 tidak menampakkan tekanan proses pemasangan atau

korespondensi 1 – 1 dari himpunan yang ditunjukkan.Sebelum kita

menggali hakikat empatan marilah kita kaji hakikat sesuatu yang dapat

anda pahami melalui pengalaman menurut hakikat konsep beberapa

(banyak) kali.

Yang kita maksud dengan mengatakan suatu himpunan mempunyai 4

anggota adalah himpunan itu dan semua himpunan dialam semesta dapat

dipasangkan 1- 1 dengan jari tangan sehingga memberikan sifat

empatan.Tentu saja kita dapat memilih sembarang benda yang dijumpai

sehari-hari untuk mengenal himpunan dengan 4 anggota, misalnya

himpunan sisi sebuah bujursangkar, himpunan kaki seekor sapi dan

sebagainya.

Dari pengertian tentang hakikat konsep 4, kita melihat dua hal yang harus

disampaikan :

1. Himpunan dari 4 elemen harus dapat diidentifikasi oleh anak

dengan jelas.

2. Anak kemudian diberi tugas untuk mencari himpunan lain yang

banyak anggotanya 4 yaitu dengan cara memasang 1- 1 anggota

himpunan yang dicari dengan himpunan lain yang mempunyai 4

anggota.

Konsep empatan adalah sifat dari sebuah himpunan yang dapat

diletakkan dalam korespondensi 1 – 1 dengan huruf a, b, c, dan d.

B. HAKIKAT LAMBANG BILANGAN

Menurut sejarah perkembangan matematika, sejak zaman kuno orang

telah menggunakan lambang untuk menyatakan konsep banyaknya

anggota suatu himpunan.Mereka yang hidup digua membuat gambar 3

rusa atau membuat 3 coretan (goresan) pada batu dinding gua untuk

menyatakan banyaknya rusa hasil buruan mereka.Selain itu, mereka juga

menggunakan onggokkan batu (kerikil), tumpukkan potongan kayu untuk

menyatakan banyaknya sesuatu.Dari sejarah ini kita mengetahui bahwa

banyak lambang yang dapat digunakan untuk menyatakan suatu bilangan

tertentu.

Meskipun hanya ada satu bilangan 4, lambing yang digunakan

bermacam-macam.Masing-masing lambang menyatakan nama dari

bilangan 4.

Beberapa nama yang berbeda dari 4 adalah

Empat 22

√16

IV 28 : 7

Papat 9 – 5 100dua

1 + 3 124 – 5! (12 x 2) - 20

1 x 4 (20 : 2) - 6

(17 – 5) : 3 catur

Hakikat lambang bilangan harus secara tetap disadari oleh seorang

guru bahwa sistem lambang bilangan tidak lain adalah nama bilangan.Jika

guru tidak menyadari perbedaan antara konsep bilangan dan nama

bilangan, maka ia dapat menjerumuskan muridnya ke kesalahan konsep

yang serius.Contoh beberapa banyaknya dua didalam 22?

Jika anda menjawab 2, maka anda memandang 22 sebagai suatu

nama.

Jika terdapat kemungkinan berkembanganya salah konsep, anda

sebaiknya membedakan antara bilangan dan lambang bilangan.Dalam hal

ini anda perlu menjelaskan bahwa lambang bilangan adalah nama dari

bilangan.Prosedur umum yang telah diterima menyebutkan bahwa apabila

anda tidak menyebutkan kata “bilangan” atau “ lambang bilangan”, maka

yang dimaksud adalah konsep bilangan.Misalnya, 3 ditambah 2 sama

dengan 5 secra tegas mengacu kepada bilangan 3, bilangan 2 dan bilangan

5.Jika kita bermaksud mengacu pada nama, barang kali anda mengatakan

lambing bilangan 3 dan lambang bilangan 2 digunakan untuk

melambangkan 32.Kadang-kadang seperti halnya konsep lambang

bilangan, pemahaman tentang hakikat suatu konsep akan membentuk anda

untuk menghindari ketidakjelasan dalam mengembangkan konsep.

C. HAKIKAT PENGAJARAN ( Operasi )

Murid Sekolah Dasar telah mempunyai pengalaman tentang operasi biner.

Makna dari operasi biner adalah mengambil dua bilangan ( “bi” artinya dua )

untuk mendapatkan bilangan yang ketiga. Sebagai contoh, jika operasi biner

yang dipilih adalah penjumlahan dan kita awali dengan dua bilangan 3 dan 4,

maka akan diperoleh bilangan ketiga yaitu 7. Jika operasi biner yang dipilih

adalah perkalian dan kita awali dengan bilangan 3 dan 4, maka akan diperoleh

bilangan ketiga yaitu 12. Kita bisa melihat bahwa pengambilan dua bilangan

tetapi dengan operasi biner yang berbeda, dapat menghasilkan bilangan ketiga

yang tidak sama.

Hakikat kedua operasi di atas ( penjumlahan dan perkalian ) adalah

keduanya mewakili suatu konsep abstrak yang digeneralisasikan dari keadaan

yang berlangsung sehari – hari. Sebagai contoh, kita dapat melukiskan 2×3 = 6

dalam tiga situasi :

Hakikat operasi yang dikembangkan dari tiga situasi di atas akan menjadi

bermakna dalam memperkenalkan operasi. Seorang guru perlu mencari model

atau mencari keadaan sehari – hari untuk menjelaskan makna dari suatu

operasi.

Di samping operasi biner, ada beberapa operasi singular ( tunggal ) yang

juga perlu diketahui anak. Operasi tunggal melibatkan suatu bilangan. Sebagai

contoh, operasi pengkuadratan bilangan 3 akan menghasilkan bilangan 9.

Istilah “mengkuadratkan” barangkali dapat dibawa dari keadaan sehari – hari,

yaitu luas bujursangkar dicari dengan mengalikan panjang suatu sisi dengan

dirinya sendiri. Mendapatkan akar pangkat 2 dari suatu bilangan adalah operasi

tunggal yang lain. Sebagai contoh, akar pangkat 2 dari 9 adalah 3.

D. HAKIKAT PEMECAHAN MASALAH

Pemecahan masalah adalah proses mengorganisasikan konsep dan

keterampilan kedalam pola aflikasi baru untuk mencapai suatu tujuan. Ciri

utama dari proses pemecahan masalah adalah berkaitan dengan masalah-

masalah yang tidak rutin (unroutine problem).

Hakikat pemecahan masalah nyata mempunyai dampak yang besar dalam

mengembangkan konsep dan keterampilan pemecahan masalah. Apabila siswa

anda bekerja dalam soal cerita, maka anda tidak sedang bertugas untuk

mencapai tujuan mengajarkan pemecahan masalah. Soal bentuk cerita itu

benar-benar merupakan modal pemecahan masalah jika soal yang serupa

dijamin belum pernah diajarkan atau belum pernah dikenal oleh anak.

Langkah-langkah berikutnya yang perlu dikembangkan dalam proses

pemecahan masalah adalah:

1. Siswa memahami masalahnya.

Pemahaman siswa tentang masalah yang dihadapi dapat diketahui dari

kemampuan siswa mengidentifikasi fakta dan kondisi, menyebutkan tujuan

yang ingin dicapai, serta mentransfer situasi masalah menjadi situasi yang

matematis (misalalnya menjadi kalimat terbuka)

2. Siswa menyusun strategi penyelesaian.

Beberapa petunjuk yang dapat digunakan untuk mengetahui kemampuan

siswa menyusun strategi adalah adanya beberapa pilihan (alternative)

strategi yang dihasilakan siswa, adanya usaha siswa untuk menggunakan

fakta dan kondisi yang tersedia, serta adanya estimasi jawaban atau

penyelesaian.

3. Siswa melaksanakan strategi.

Kemampuan melaksanakan strategi dapat ditunjukan dengan pembuatan

tabel, samapai diperoleh jawabana atau penyelesaian.

4. Siswa melaksanakan pengujian jawaban.

Kemampuan melaksanakan pengujian jawaban dapat ditunjukan dari

proses interpretasi dan evaluasi jawaban yang diperoleh.

E. HAKIKAT PENGUKURAN

Dasar dari semua pengukuran adalah membandingkan. Sebelum anak

diharapkan menguasai sembarang konsep yang berkaitan dengan pengukuran,

anak itu harus memahami hakikat membandingkan. Anak sebaiknya dibuat

peka oleh guru dalam menyelididki hakikat perbandingan setelah anak itu

dihadapakan pada sembarang jenis pengukuran.

Ukuran satuan diperlukan untuk membandingkan panjang dua keadaan.

Ukuran satuan dapat anda pilih sendiri pada saat anda menanamkan konsep

mengukur yaitu pada saat anda menjelaskan pertama kali bagaimana

membandingkan dua hal. Anda boleh memilih benda-benda yang tidak lurus.

Pada saatnya tentu saja anda memerlukan satuan baku (misalnya cm dan m)

untuk menyatakan ukuran panjang hasil pengukuran suatu benda.

Hakikat dasar pengukuran adalah membandingkan sesuatu dengan sesuatu

yang lain yang sudah diketahui.

F. HAKIKAT GEOMETRI

Seringkali suatu langkah yang memuat pertimbangan tentang hakikat dasar

suatu konsep memungkinkan anda membangun struktur aljabar yang lengkap

dari sekumpulan konsep. Sebagai contoh, urutan konsep yang didasarkan pada

hakikat konsep untuk membawanya ke sruktur terpadu.

Arahan: gambarkan dua titik pada selembar kertas. Tempatkan ujung pensil

pada salah satu titik dan goreskan berkeliling sembarang tanpa

mengangkat pensil sampai berakhir di titik yang kedua.

Arahan: sekarang gambarkan sebuah titik pada selembar kertas. Tempatkan

ujung pensil anda pada titik itu dan goreskan keliling sembarang tanpa

mengangkat pensil smapai berakhir di titik semula.

Sekarang kita lihat bagaimana pemahaman tentang hakikat dasar suatu

kurva berdasarkan adanya titik ujung dan berdasarkan adanya titik potong,

untuk mengklasipikasikan (mengelompokkan) kurva-kurva geometris.

Kurva-kurva dengan titik ujung kurva-kurva dengan titik potong

Kurva-kurva tanpa titik-tik potong & tanpa titik ujung

kurva tertutup sederhana

Konsep-konsep geometris di atas (titik ujung, titik potong kurva tertutup

sederhana) merupakan sebagian dari keseluruhan konsep dasar geometri yang

digunakan untuk klasifikasi kurva.

Steruktur darsar dari beberapa cabang matematika, misalnya geometri,

adalah menentukan cara meurutkan uraian atau penjelasan dalam rangka

mengembangkan daerah konsep yang terpadu. Dalam memahami makna dari

konsep geometri akan memnatu kita dalam menemukan urutan logis yang

mudah diterima oleh anak.