HANDOUT

ALJABAR LINIER 1

Dosen : SUCIPTO BASUKI, S. Kom., MT

STMIK INSAN PEMBANGUNAN

2015

ii

DAFTAR ISI

Daftar Isi ……………………………………………………………………………… ii

BAB I PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang ……………………………………………………… 1

BAB II MATRIKS

2.1. Pengertian Matriks………………………………………………… 2

2.2. Notasi Matriks ……………………………………………………… 2

2.3. Operasi-Operasi Matriks …………………………………………… 6

2.4. Transpose Suatu Matriks …………………………………………… 9

BAB III JENIS JENIS MATRIKS

3.1. Berdasarkan Jumlah Baris Dan Kolom ……………………………… 12

3.2. Berdasarkan Pola Elemen ………………………………………….. 14

BAB IV TRANSFORMASI ELEMENTER

4.1.Definisi Transformasi Matriks …………………………………… 20

4.2. Operasi Matriks Transformasi …………………………………… 21

4.3. Soal Latihan ……………………………………………………… 24

BAB V PARTISI MATRIKS

iii

5.1. Definisi Partisi Matriks …………………………………………… 27

5.2. Menginverse Matriks Menggunakan Metode Partisi ……………… 30

5.3. Operasi Matriks Partisi …………………………………………… 32

BAB VI VEKTOR

6.1.Devinisi Vektor …………………………………………………… 36

6.2.Operasi – Operasi Pada Vector…………………………………… 37

6.3. Susunan Koordinat Ruang-N……………………………………… 30

6.4. Vektor Di Dalam Ruang Rn……………………………………… 42

6.5. Beberapa Dalil Pada Operasi Vektor…………....………………… 44

6.6. Vektor R3 ………………………… ..............................………… 44

6.7. Panjang Vektor ………………….………………………………… 45

DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………………… 48

1

BAB I PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering berhadapan dengan persoalan yang apabila kita

telusuri ternyata merupakan masalah matematika. Dengan mengubahnya kedalam bahasa atau

persamaan matematika maka persoalan tersebut lebih mudah diselesaikan.Tetapi terkadang

suatu persoalan sering kali memuat lebih dari dua persamaan dan beberapa variabel, sehingga

kita mengalami kesulitan untuk mencari hubungan antara variabel-variabelnya.Bahkan

dinegara maju sering ditemukan model ekonomi yang harus memecahkan suatu sistem

persamaan dengan puluhan atau ratusan variabel yang nilainya harus ditentukan.

Matriks, pada dasarnya merupakan suatu alat atau instrumen yang cukup ampuh untuk

memecahkan persoalan tersebut.Dengan menggunakan matriks memudahkan kita untuk

membuat analisa-analisa yang mencakup hubungan variabel-variabel dari suatu persoalan.

Pada awalnya matrik ditemukan dalam sebuah studi yang dilakukan oleh seorang ilmuan

yang berasal dari Inggris yang bernama Arthur Cayley (1821-1895) yang mana studi yang

dilakukan untuk meneliti persamaan linier dan transformasi linear, awal dari semua ini matrik

dianggap sebagai sebuah permainan karena matrik dapat diaplikasikan, sedangkan pada tahun

1925 matrik digunakan sebagai kuantum dan pada perkembangannya matrik digunakan

dalam berbagai bidang.

2

BAB II MATRIKS

2.1. PENGERTIAN MATRIKS

Matriks adalah suatu kumpulan besaran (variabel dan konstanta) yang tersusun dalam

baris dan kolom berbentuk persegi panjang. Matriks merupakan suatu cara visualisasi

variabel yang merupakan kumpulan dari angka-angka atau variabel lain, misalnya vektor.

Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih

terstruktur.Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi

koordinat, dan lainnya.Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti

dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan.

Beberapa pengertian lain tentang matriks :

1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau

dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.

2. Matriks adalah jajaran elemen (berupa bilangan) berbentuk empat persegi panjang.

3. Matriks adalah suatu himpunan kuantitas-kuantitas (yang disebut elemen), disusun

dalam bentuk persegi panjang yang memuat baris-baris dan kolom-kolom.

2.2. NOTASI MATRIKS

Matriks kita beri nama dengan huruf besar seperti A, B, C, dll. Matriks yang

mempunyai I baris dan j kolom ditulis A=(aij ), artinya suatu matriks A yang elemen-

elemennya aij dimana indeks I menyatakan baris ke I dan indeks j menyatakan kolom ke j

dari elemen tersebut.

Notasi yang digunakan :

Atau Atau

3

Secara umum :

Matriks A=(aij ), i=1, 2, 3,…..m dan j=1, 2, 3,……., n yang berarti bahwa banyaknya baris m

dan banyaknya kolom n.

Contoh :

A= B= C=

Ukuran matriks 2 x 2 2 x 1 1 x 4

Jumlah baris 2 2 1

Jumlah kolom 2 1 4

Matriks yang hanya mempunyai satu baris disebut MATRIKS BARIS, sedangkan

matriks yang hanya mempunyai satu kolom disebut MATRIKS KOLOM. Dua buah matriks

A dan B dikatakan SAMA jika ukurannya sama (mxn) dan berlaku aij = bij untuk setiap i dan j

-1 -3

2 12

2 12

-3

-4

-4

2 3 12 -1

http://4.bp.blogspot.com/_o7okww-u4rc/TDTmBT1EdTI/AAAAAAAAAfU/9A6w57KnzJI/s1600/MatriksA.JPG

4

Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital ditebalkan (misal matriks A,

dituliskan dengan A). Sebagai contoh matriks, perhatikan tabel yang memuat informasi biaya

pengiriman barang dari 3 pabrik ke 4 kota berikut ini:

Pabrik

Kota

Kota

1

Kota

2

Kota

3

Kota

4

Pabrik 1 5 2 1 4

Pabrik 2 2 3 6 5

Pabrik 3 7 6 3 2

Dari Tabel di atas jika disajikan dalam bentuk matriks akan menjadi seperti berikut:

Kolom1 Kolom2 Kolom3 Kolom4

5 2 1 4 Baris1

A = 2 3 6 5 Baris2

7 6 3 2 Baris3

Matriks di atas, kita sebut saja matriks A, memiliki tiga baris yang mewakili

informasi Pabrik (1, 2, dan 3) dan empat kolom yang mewakili informasi Kota (1, 2, 3, dan

4). Sedangkan informasi biaya pengiriman dari masing-masing pabrik ke tiap-tiap kota,

diwakili oleh perpotongan baris dan kolom. Sebagai contoh, perpotongan baris 1 dan kolom 1

adalah 5, angka 5 ini menunjukkan informasi biaya pengiriman dari pabrik 1 ke kota 1, dst.

Secara umum, bentuk matriks di atas dapat dituliskan seperti berikut:

5

a11 a12 a13 a14

A = a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

dimana, pada notasi elemen matriks, angka sebelah kiri adalah informasi baris sedangkan

angka di kanan adalah informasi kolom, contoh a23 berarti nilai yang diberikan oleh baris ke-

2 dan kolom ke-3.

Setiap bilangan pada matriks disebut elemen(unsur) matriks. Letak suatu unsur

matriks ditentukanoleh baris dan kolom di mana unsur tersebut berada.Misalnya, pada

matriks di atas unsur 25 trletak pada baris ke-3 dan pada kolom ke-2. Suatu matriks

dinyatakan dengan huruf kapital A , B , C ,. . . . dan seterusnya, sedangkan unsur matriks

dinyatakan dengan huruf kecil a, b , c , . . ., dan seterusnya.

Contoh :

Matriks A mempunyai dua baris dan dua kolom. Oleh karena itu kita katakan

bahwa matriks A berordo 2 x 3 ditulis A2x3 atau ( a23 ) .Ordo suatu matriks ditentukan

oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom dalam matriks tersebut.

http://4.bp.blogspot.com/_o7okww-u4rc/TDajKbWOUoI/AAAAAAAAAfk/Ggai_OLiZX4/s1600/matriks.png

6

2.3. OPERASI – OPERASI MATRIKS

PENJUMLAHAN MATRIKS

Penjumlahan matriks hanya dapat dilakukan terhadap matriks-matriks yang

mempunyai ukuran (orde) yang sama. Jika A=(aij ) dan B=(bij ) adalah matriks-matriks

berukuran sama, maka A+B adalah suatu matriks C=(cij ) dimana (cij ) = (aij ) +(bij ) atau

[A]+[B] = [C] mempunyai ukuran yang sama dan elemennya (cij ) = (aij ) +(bij )

Contoh :

A. 6 3 5 2

B. 8 5 9 4

A+B : 6 + 8 3 + 55 + 9 2 + 4

= 14 8 14 6

PENGURANGAN MATRIKS

Sama seperti pada penjumlahan matriks, pengurangan matriks hanya dapat dilakukan

pada matriks-matriks yang mempunyai ukuran yang sama. Jika ukurannya berlainan maka

matriks hasil tidak terdefinisikan.

Contoh :

A. 1 23 4

B. 4 32 1

A – B : 1 23 4

- 4 32 1

= 1 − 4 2 − 33 − 2 4 − 1

= −3 −11 3

7

PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS

Beberapa hal yang perlu diperhatikan :

1. Perkalian matriks dengan matriks umumnya tidak komutatif.

2. Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama dengan

jumlah banyaknya baris matriks kedua.

3. Jika matriks A berukuran mxp dan matriks pxn maka perkalian A*B adalah suatu

matriks C=(cij ) berukuran mxn dimana

cij = ai1b1j + ai2b2j +ai3b3j + ………………….+ aipbpj

Contoh :

A. 5 3 4 7 6 1

B. 2 6 4 8 5 7

A .B : 5 3 4 7 6 1

× 2 6 4 8 5 7

: 5 . 2 + 3 . 4 + 4 . 5 5 .6 + 3 . 8 + 4 . 7 7 . 2 + 6 . 4 + 1 . 5 7 . 6 + 6 . 8 + 1 . 7

: 10 + 12 + 20 30 + 24 + 28 14 + 24 + 5 42 + 48 + 7

: 42 82 42 97

B .A : 2 6 4 8 5 7

× 5 3 4 7 6 1

: 2 . 5 + 6 . 7 2 . 3 + 6 . 6 2 . 4 + 6 . 1 4 . 5 + 8 .7 4 . 3 + 8 . 6 4 . 4 + 8 . 1 5 . 5 + 7 . 7 5 .3 + 7 . 6 5 . 4 + 7 . 1

: 10 + 42 6 + 36 8 + 620 + 56 12 + 48 16 + 825 + 49 15 + 42 20 + 7

: 52 42 1476 60 2474 57 27

8

PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR

Jika k adalah suatu bilangan skalar dan A=(aij ) maka matriks kA=(kaij ) yaitu suatu

matriks kA yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k.

Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau dibelakang matriks.

Misalnya [C]=k[A]=[A]k dan (cij ) = (kaij )

Contoh :

A. 6 35 2

B. 8 59 4

K .A : 2 6 35 2

= 2 . 6 2 . 32 . 5 2 . 2

= 12 610 4

K .B : 2 8 59 4

= 2 . 8 2 .52 . 9 2 . 4

= 16 1018 8

9

2.4. TRANSPOSE MATRIKS

Pengertian Transpose Matriks - Yang dimaksud dengan transpose matriks adalah ketika

pada sebuah matriks dilakukan pertukaran antara dimensi kolom dan barisnya. Definisi lain

dari matriks transpose adalah sebuah matriks yang didapatkan dengan cara memindahkan

elemen-elemen pada kolom menjadi elemen baris dan sebaliknya. Biasanya sebuah matriks

transpose disimbolkan dengan menggunakan lambang tanda petik (A') ataupun dengan huruf

T kecil di atas (AT). Perhatikan gambar berikut:

Pada gambar di atas dapat didefinisikan bahwa matriks m x n berubah menjadi m x n. Jika

kita perhatikan, elemen-elemen yang ada pada baris satu berubah posisi menjadi elemen

kolom 1.Elemen pada baris 2 berubah menjadi elemen pada kolom 2, begitu juga dengan

elemen pada baris ke 3 berubah posisi menjadi elemen kolom ke 3. Sekarang mari kita lihat

sifat-sifat yang berlaku untuk transpose matriks.

Beberapa Sifat Matriks Transpose :

(i) (A+B)T = AT + BT

(ii) (AT)T = A

(iii) k(AT) = (kA)T

(iv) (AB)T = BT AT

http://www.rumusmatematikadasar.com/2015/01/pengertian-transpose-matriks-sifat-sifatnya-serta-contoh-soal-dan-pembahasan.htmlhttp://2.bp.blogspot.com/-t-YaZRArQ_Q/VL0epaymQxI/AAAAAAAAHJs/nN88FcehpTM/s1600/Pengertian+Transpose+Matriks,+Sifat-sifatnya+serta+Contoh+Soal+dan+Pembahasan+1.png

10

Contoh Transpose Matriks :

A 2 43 5

B 6 87 9

C 3 58 6

1. (A+B)T = 2 43 5

+ 6 87 9

T = 2 + 6 4 + 83 + 7 5 + 9

T

= 8 12

10 11 T

=

8 1012 11

2. AT – B = 2 43 5

T + 6 87 9

= 2 34 5

- 6 87 9

= 2 − 6 3 − 84 − 7 5 − 9

= −4 −5−3 −4

3. 2(A)T = 2 2 43 5

T = 2 2 34 5

= 2 . 2 2 . 32 . 3 2 . 5

= 4 66 10

4. (AB)T = 2 43 5

× 6 87 9

T = 2 . 5 + 4 . 7 2 . 8 + 4 . 93 . 6 + 5 .7 3 . 8 + 5 . 9

= 10 + 28 16 + 3618 + 35 24 + 45

= 38 5253 69

11

5. 3(C)T = 3 3 58 6

T = 3 3 85 6

= 3 . 3 3 . 83 . 5 3 . 6

= 9 24

15 18

6. 2(A+B-CT) = 2 2 43 5

+ 6 87 9

− 3 58 6

T

= 2 2 43 5

+ 6 87 9

− 3 85 6

= 2 8 12

10 14 −

3 85 6

= 2 5 45 8

= 2 . 5 2 . 42 . 5 2 . 8

= 10 810 16

12

BAB III JENIS-JENIS MATRIKS DAN PENGERTIANNYA.

3.1. BERDASARKAN JUMLAH BARIS DAN KOLOM

1. Matriks baris

Matriks baris yaitu matriks yang hanya terdiri dari satu baris atau matriks yang

berordo 1 x n dengan n > 1.

contoh:

Matriks A, memiliki 1 baris dan 4 kolom sehingga ordo matriks A adalah 1 x 4.

2. Matriks Kolom

Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom atau matriks yang

berordo n x 1 dengan n > 1, contoh:

Matriks B, memiliki 3 baris dan 1 kolom sehingga ordo matriks B aalah 3 x 1.

http://3.bp.blogspot.com/-k9Q-isXH01E/VcpwXTPmR4I/AAAAAAAAG2o/xbkMFf4u1tA/s1600/matriks+baris.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-J2LidUCZgeE/VcpwYOkes9I/AAAAAAAAG3E/k9PxdtVAmAo/s1600/matriks+kolom.png

13

3. Matriks Persegi

Matriks persegi yaitu matriks yang mempunyai banyak baris sama dengan banyak

kolom atau matriks n x n (sering disebut berordo n), contoh:

Pada matriks C, terlihat bahwa banyak baris matriks C sama dengan banyak

kolomnya. Dalam hal ini, matriks C memiliki banyak baris 3 dan banyak kolom

3.Sehingga, ordo matriks C adalah 3 x 3.Dalam suatu matriks persegi, elemen-elemen

yang terletak pada garis hubung elemen a11 dengan ann disebut diagonal utama,

sedangkan elemen-elemen yang terletak pada garis hubung an1 dengan elemen a1n

disebut diagonal samping. Pada matriks persegi C di atas yang elemen-elemen yang

termasuk diagonal utama adalah 6, 8, dan 4. Sedangkan, elemen-elemen yang

termasuk diagonal samping adalah 3, 8, dan 1

4. Matriks tegak

Matriks tegak adalah matriks dengan banyak baris lebih banyak dibandingkan dengan

banyak kolom, contoh:

Matriks E, memiliki baris lebih banyak daripada banyak kolom. Dalam hal ini matriks

E memiliki banyak baris 3 dan banyak kolom 2.

http://3.bp.blogspot.com/-UKnq6-Ih5fM/VcpwZF1kfbI/AAAAAAAAG3k/H9HiLYTduQ0/s1600/matriks+tegak.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-XVt1nCL5YHY/VcpwYePMtUI/AAAAAAAAG3Y/4_ooiADmxK4/s1600/matriks+persegi.png

14

5. Matriks Datar

Matriks datar merupakan matriks dengan banyak kolom lebih banyak dibandingkan

dengan banyak baris, contoh:

Matriks F, memiliki banyak baris yang kurang dari banyak kolom. Dalam hal ini

matriks F meiliki banyak bari 2 danya banyak kolom

3.2. BERDASARKAN POLA ELEMENNYA

6. Matriks Nol

MATRIKS NOL, adalah matriks yang semua elemennya nol

Matriks ini di lambangkan dengan 0 .jika ordo di pentingkan matriks nol ini dapat di

tulis beserta jumlah baris dan kolom nya.

1. A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0

2. A*0=0, begitu juga 0*A=0.

Contoh :

023 0 0 0 0 0 0

053

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

http://4.bp.blogspot.com/-HakAW5FRrR8/VcpwXQBd5KI/AAAAAAAAG2w/Lf3b4ahJTsY/s1600/matriks+datar.png

15

7. Matriks Identitas

Dari sifat bilangan real, 1 merupakan identitas dari operasi perkalian, karena n ∙ 1 = 1 ∙ n

= n. Identitas yAAang serupa juga terdapat dalam perkalian matriks. Perhatikan matriks

berordo 2 × 2, Walaupun perkalian matriks secara umum tidak komutatif, jika kita

dapat menemukan matriks B sedemikian sehingga AB = BA = A, maka B merupakan

kandidat utama untuk menjadi matriks identitas, disimbolkan dengan I.

Jika i = j maka a i j = i , i > i / i < j = 0

Contoh : 1 0 00 1 00 0 1

8. Matriks diagonal

Sebuah matriks bujur sangkar yang unsur-unsurnya berada di garis diagonal utama

dari matriks bukan nol dan unsur lainnya adalah nol disebut dengan matriks diagonal.

Jika i = j maka aij ≠ 0 dan i < j i < j = 0

Contoh :

F 5 0 00 6 00 0 7

9. Matriks satuan

Matriks satuan (matriks identitas), yaitu matriks diagonal yang entri entri pada

diagonal utamanya adalah bilangan satu dan entri entri laiannya adalah bilang nol.

Satuan ini di lambangkan dengan 𝐼𝑛 , dimana n adalah ordo dari matriks tersebut .

Berikut ini adalah beberapa contoh nya :

𝐼𝑛= 1 00 1

, 𝐼3= 1 0 00 1 00 1 1

, 𝐼4=

1 0 0 00 1 0 00 1 0 00 0 0 1

16

10. Matriks sekalar

Matriks sekalar yaitu matriks diagonal yang semua entri pada diagonal utamanya

bernilai sama,tetapi tidak nol,atau c ≠ 0 seperti contoh di bawah ini

A= 3 0 00 3 00 0 3

Pengaruh perkalian sebarang matriks dengan matriks sekalar adalah seperti

mengalikan matriks sebarang tersebut dengan sekalar c

11. Matriks segitga atas

Matriks segitiga atas adalah matriks bujur sangkar yang semua entri di bawah

diagonal utama bernilai nol

Berikut adalah 2 contoh nya

A = −5

2

7 3

0 0 − 1 B =

0 2 − 1 80 0 3 60 0 4 90 0 0 1

17

12. Matriks segitiga bawah

Matriks segitiga bawah adalah matriks bujur sangkar yang semua entri di atas

diagonal utamanya bernilai nol .

Sebagai contoh

A = 0 0 05 7 00 0 0

, B =

0 0 0 00 4 0 0

3 2 − 6 0

0 − 7 5

9 1

13. Matriks invers

Matriks bujusangkar A di sebut mempunyai invers jika terdapat matriks B yang

sedemikian rupa sehingga memenuhi BA = AB = I.

untuk perlambangan, invers matriks B biasanya di nyatakan oleh 𝐴−1 .

untuk berordo 2 x 2 rumus pencarinya adalah seperti di bawah ini .

Jika A 𝑎 𝑏𝑏 𝑑

, maka 𝐴−11

𝑎𝑑−𝑏𝑐 𝑑 − 𝑐−𝑏 𝑑

Untuk orde yang lain , misalnya ,3x3 dst metode pencarian invers matriks akan di

bicarakan pada bab selanjut nya

18

14. Matriks bujur sangkar

Matriks bujur sangkar yaitu matriks banyak yang baris nya sama dengan banyak

kolomnya.

Dalam matriks bujursangkar ini di kenal diagonal utama yaitu entri entri yang

mempunyai nomor baris yang sama dengan nomor kolom .

sebagai contoh :

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

15. Matriks simetris

Matriks simetris merupakan matriks persegi dengan elemen pada baris ke-i kolom ke-

j sama dengan elemen pada baris ke-j kolom ke-i, contoh:

S = 6 7 −13 8 −2−1 −2 4

Matriks S dikatakan matriks simetris karena memiliki ordo 3 x 3 (matriks persegi) dan

dengan elemen pada baris ke-i kolom ke-j sama dengan elemen pada baris ke-j kolom

ke-i.

Kali ini ditunjukkan oleh elemen pada baris ke-1 dan kolom ke-2 sama dengan

elemen pada baris ke-2 kolom ke-1 yaitu 3, elemen pada baris ke-1 kolom ke-3 sama

dengan elemen pada baris ke-3 kolom ke-1 yaitu -1, dan elemen pada baris ke-2

kolom ke-3 sama dengan elemen baris ke-3 kolom ke-2 yaitu -2.

19

Jika A = 𝐴𝑡 . sebagai contoh berikut ini :

A = 3 1 − 2

1 5 4 −2 4 0

B =

0 7

5

8− 1

7 5 0 2 5

8 0 − 3 12

−1 2 12 36

Dari contoh di atas terlihat bahwa entri-entri pada diagonal utama sebagai sumbu

pencerminan sedangkan entri pada baris ke –i kolom ke –j akan di cerminkan

sehingga sama dengan entrim pada kolom ke –I baris ke –j akan di cerminkan

sehingga sama dengan entri pada kolom ke –i baris ke –j (𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖

Sebuah bujur sangkar disebut simentri-miring jika 𝐴𝑇 = -A.

Matriks S dikatakan matriks simetris karena memiliki ordo 3 x 3 (matriks persegi) dan

dengan elemen pada baris ke-i kolom ke-j sama dengan elemen pada baris ke-j kolom

ke-i.

Contoh :

Tentukan a, b, dan c sedemikian rupa sehingga matriks A menjadi matriks simentri-

miring.

A = 0 1 0𝑎 0 2𝑏 𝑐 0

20

BAB IV TRANFORMASI ELEMENTER PADA BARIS DAN KOLOM SUATU

MATRIKS

4.1. DEFINISI TRANSFORMASI ELEMETER

Yang dimaksud dengan transformasi pada baris atau kolom suatu matriks A adalah sebagai

berikut:

1. Penukaran tempat baris ke-i dan baris ke –j dan ditulis 𝐻𝑖𝑗 (A) untuk transformasi pada

baris dan 𝐾𝑖𝑗 (A) untuk transformasi kolom.

Contoh:

a.PENUKARAN BARIS

A= 1 2 02 3 10 1 1

𝐻12(A) = 2 3 11 2 00 1 1

𝐻12(A) berati menukar baris ke-1 matriks dengan baris ke-2

2. Memperkalikan baris ke-i dengan suatu bilangan skalar h≠0 ditulis 𝐻𝑖(h)(A) dan

memperkalikan kolom ke-i dengan skalar K≠0 ditulis 𝐾𝑖(k)(A)

Contoh:

A = 1 2 02 3 10 1 1

𝐻2(-2)(A) = 1 2 0−4 −6 −20 1 1

𝐾3(1/2)(A) = 1 2 02 3 1/20 1 1/2

21

3. Menambahkan kolom ke-i dengan K kali kolom ke-j ,di tulis 𝐾𝑖𝑗 (k-) (A) dan menambah

baris ke-i,dengan H kali baris ke-j,d tulis 𝐻𝑖𝑗 (h) (A)

Contoh:

A = 1 2 02 3 10 1 1

𝐻23 −1 (𝐴)

𝐻2+(−1 . 𝐻3) =

1 2 02 2 00 1 1

𝐾31 2 (𝐴)

𝐾3+(2 .𝐾1) =

1 2 22 2 40 1 1

4.2. OPEREASI OPERASI TRANFORMASI ELEMENTER TERBAGI MENJADI 6:

A: 5 6 7 8 9 01 2 3

1. Transformasi baris ke-i dengan kolom-j (H i j)

Contoh 1:

𝐻12 𝐴 : 8 9 0 5 6 71 2 3

22

2. Transformasi kolom ke-i dengan kolom ke-j (k i j)

Contoh 2:

𝐾23 𝐴 : 5 7 68 0 91 3 2

3. Perkalian baris ke-i dengan skala (ƛ) . 𝐻 (𝑖) (ƛ)

Contoh 3:

𝐻2(2)(𝐴) : 5 6 7

8𝑥2 9𝑥2 0𝑥21 2 3

= 5 6 716 18 0 1 2 3

4. Perkalian kolong ke-i dengan skalar(ƛ) . (𝐾(𝑖)(ƛ) )

Contoh 4:

𝐾(3)(−2)(𝐴) : 5 6 7𝑥 −2

8 9 0𝑥 −2 1 2 3𝑥(−2)

= 5 6 − 148 9 01 2 − 6

23

5. Penjumblahan baris ke-i dengan hasil perkalian baris ke-j dengan skalar (ƛ).(𝐻𝑖𝑗 (ƛ) )

Contoh 5:

𝐻12(-2)(A) : 5 + 8𝑥 − 2 6 + 9𝑥 − 2 7 + (0𝑥 − 2)

8 9 3 1 2 3

: 5 + (8 . −2) 6 + (9 . −2) 7 + 0 . −2

8 9 01 2 3

: −11 − 12 7

8 9 0 1 2 3

6. Penjumblahan kolom ke-i dengan hasil perkalian kolom ke-j dengan skalar (ƛ).(𝐾𝑖𝑗 (ƛ))

Contoh 6:

𝐾23(2) : 5 6 + 7𝑥2 78 9 + 0𝑥2 01 2 + 3𝑥2 3

: 5 6 + 14 78 9 + 0 01 2 + 6 3

: 5 20 78 9 01 8 3

24

4.3. SOAL LATIHAN

1.Diketahui : A = 2 3 73 6 47 2 3

B = 3 2 45 6 76 3 2

Tentukan :

1.𝐻12 (A) 5.𝐻12(2) (A) 9.𝐻3(2) (B)

2.𝐾23 (A) 6.𝐾23(2) (A) 10.𝐾3(-2) (B)

3.𝐻3(2) (A) 7.𝐻12 (B) 11.𝐻12(2) (B)

4.𝐾3(-2) (A) 8.𝐾23 (B) 12.𝐾23(2) (B)

#JAWAB

1. 𝐻12 (A) = 3 6 42 4 57 2 3

2. 𝐾23 (A) = 2 5 43 4 67 3 2

3.𝐻3(2) (A) = 2 4 53 6 4

7𝑥2 2𝑥2 3𝑥2 =

2 4 53 6 4

14 4 6

4.𝐾3(-2) (A) =

2 4 5𝑥(−2)3 6 4𝑥(−2)7 2 3𝑥(−2)

= 2 4 −103 6 −87 2 −6

25

5.𝐻12(2) (A) = 2 + (3𝑥2) 4 + (6𝑥2) 5 + (4𝑥2)

3 6 47 2 3

= 2 + 6 4 + 12 5 + 8

3 6 47 2 3

= 8 16 133 6 47 2 3

6.H23(2)

(A) =

2 4 + (5 × 2) 53 6 + (4 × 2) 47 2 + (3 × 2) 3

= 2 4 + 10 53 6 + 8 47 2 + 6 3

= 2 14 53 14 47 8 3

7. H12(B) = 5 6 73 2 41 3 2

8. K23(B) = 3 4 25 7 61 2 3

9. K2(3)

(B) = 3 2 45 6 7

1 × 2 3 × 2 2 × 2

= 3 2 45 6 72 6 4

26

10. K3(-2)

(B) =

3 2 4 × (−2)5 6 7 × (−2)1 3 2 × (−2)

= 3 2 −85 6 −141 3 −4

11. H12(2)

(B) = 3 + (5 × 2) 2 + (6 × 2) 4 + (7 × 2)

5 6 71 3 2

= 3 + 10 2 + 12 4 + 14

5 6 71 3 2

= 13 14 185 6 71 3 2

12. K23(2)

(B) =

3 2 + (4 × 2) 45 6 + (7 × 2) 71 3 + (2 × 2) 2

= 3 2 + 8 45 6 + 14 71 3 + 4 2

= 3 10 45 14 71 7 2

27

BAB V MATRIKS PARTISI

5.1. DEFINISI MATRIKS PARTISI

Matriks partisi adalah adalah membagi matriks menjadi beberapa matriks yang ukurannya

lebih kecil dengan memasukan garis horizontal dan vertikal antara baris dan kolom matriks.

Matriks-matriks yang ukurannya kecil hasil partisi matriks disebut sub matriks.

Partisi matriks digunakan untuk menyederhanakan matriks yang ukurannya besar menjadi

matriks kecil sehingga lebih mudah dioperasikan untuk tujuan tertentu.

Setiap sub matriks hasil partisi selalu dapat dikembalikan ke dalam matriks asalnya.

Latihan 5.2 (perkalian partisi)

Diberikan

Solusi :

Jadikan Z1 menjadi matriks (m + n ) x (p + q) dan Z2 matriks (p +q) x (r + s) , sehingga

A1 merupakan aturan m × p dan A2 merupakan aturan p × r. Kemudian semua submatriks

didefinisikan dengan baik. Dengan aturan perkalian matriks biasa kita mmpunyai

http://4.bp.blogspot.com/-sHDptn-fMXQ/VFlOi_UweAI/AAAAAAAAAo4/eP_Hfe99YJg/s1600/11.jpg

28

Contoh lain.... ^_^

http://4.bp.blogspot.com/-LfOHANedtB0/VFlO1IwEG1I/AAAAAAAAApA/FOwkcZMQQlQ/s1600/122.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-kuFnr_J0zn8/VFlPdwiw0FI/AAAAAAAAApI/sn2iKruy78k/s1600/13.jpg

29

maka

http://3.bp.blogspot.com/-sILQwraDo9E/VFlQH1CkBXI/AAAAAAAAApQ/JlBaQEfQUtk/s1600/14.jpg

30

Operasi matriks memang sudah sama-sama kita pelajari di bangku SMA.Banyak sekali

manfaat dari adanya matriks, salah satunya adalah untuk memudah penyelsaian persamaan

simultan. Tipe matriks, Operasi penjumlahan, perkalian, transpose, determinan, kofaktor,

adjoin dan proses invers matriks dibahas detail dengan contoh-contoh soal yang

representatif.

Berikut adalah beberapa materi penting terkait perhitungan matriks dengan sumber “Modern

Power System Control” oleh Prof. Dr. Ir. Imam Robandi, MT.

5.2. MENGINVERSE MATRIKS MENGGUNAKAN METODE PARTISI

Matriks sangat penting dalam penyelesaian Multi-Equation Multi-Variable (MEMV), berikut

adalah contoh MEMV

Persamaan diatas dapat dinyatakan dalam bentuk matriks dengan komponenya yaitu matriks

koefisien, matriks variabel dan matriks output sebagai berikut

Dari persamaan tersebut maka persamaan awal dapat dinyatakan dengan

http://4.bp.blogspot.com/-hblkv4nwJEs/VOx9NqWsUtI/AAAAAAAAAH0/lGZ0-Lf-1Uo/s1600/1.PNGhttp://1.bp.blogspot.com/-fzMloAE3WE4/VOx9NtXdQgI/AAAAAAAAAH8/jA_Idcyy5NA/s1600/2.PNGhttp://3.bp.blogspot.com/-mrSaX0tzaBI/VOx9Nxb1krI/AAAAAAAAAH4/THKiRA5zpEE/s1600/3.PNG

31

Dengan hanya berbekal kemampuan menguasai invers matrix dengan dimensi 2x2, maka kita

dapat melakukan invers matriks yang berdimensi mxn dengan sangat mudah.Motode partisi

dapat membantu perhitungan invers dari matriks-matriks yang berorder tinggi.

Matriks inversi A dinotasikan dengan A-1

yang merupakan pembagian adjoin

matriks A dengan determinannya, seperti berikut

Dari persamaan tersebut, maka diketahui bahwa dimensi matriks A sangat besar, maka

perhitungan adjoin dan determinannya menjadi sangat rumit. Oleh karena itu, perlu

pemecahan menggunakan metode partisi agar dimensi matriks menjadi lebih kecil.

Metode partisi adalah salah satu metode yang dapat digunakan untuk menginverse matriks

yang berdimensi besar. Sebuah matriks yang akan dicari inversnya dipartisi menjadi 4

matriks sebagai berikut:

http://1.bp.blogspot.com/-jDunz0mhWFU/VOx9OWV7t4I/AAAAAAAAAIY/sWfTePG2_Eg/s1600/4.PNGhttp://3.bp.blogspot.com/-BOmed4cxceo/VOx9O_DUTrI/AAAAAAAAAIM/3zq0zM6wZz0/s1600/5.PNG

32

Syarat utama dari proses partisi adalah matriks A1 dan A4 harus bujur sangkar. Untuk

memudahkan pengoperasian inversi dari matriks A yaitu A-1

dapat ditulis sebagai berikut:

5.3. OPERASI MATRIKS PARTISI

a. Penjumblahan dan pengurangan matrick partisi

Contoh :

A =

1 2 3 4538

649

7 85 60 1

B =

4 3 2 1763

652

5 44 31 0

𝐴11= 1 25 6

𝐴12= 3 44 8

𝐴21= 3 48 9

𝐴22= 5 60 1

𝐵11= 4 37 6

𝐵12= 2 15 4

𝐵21= 6 53 2

𝐵22= 4 31 0

http://3.bp.blogspot.com/-Pc6woXepBpc/VOx9PPg6pHI/AAAAAAAAAIQ/LIN5JONafeE/s1600/6.PNGhttp://1.bp.blogspot.com/-gLQ6YoQNuMo/VOx9Pi1xKkI/AAAAAAAAAIc/pRHe-ol3nCk/s1600/7.PNG

33

a). A + B = 1. 𝐴11+ 𝐵11 = 1 25 6

+ 4 37 6

= 5 5

12 12

2. 𝐴12+ 𝐵12 = 3 47 8

+ 2 15 4

= 5 5

12 12

3. 𝐴21+ 𝐵21 = 3 48 9

+ 6 53 2

= 9 9

11 11

4. 𝐴22+ 𝐵22 = 5 60 1

+ 4 31 0

= 9 91 1

A + B =

5 5 5 51299

129

11

12 129 91 1

b. PENGURANGAN

A – B = 1.𝐴11- 𝐵11 = 1 25 6

- 4 37 6

= −3 −1−2 0

2 . 𝐴12 - 𝐵12 = 3 47 8

- 2 15 4

= 1 32 4

3. 𝐴21- 𝐵21 = 3 48 9

+ 6 53 2

= −3 −15 7

4. 𝐴22- 𝐵22 = 5 60 1

+ 4 31 0

= 1 3−1 1

A – B =

−3 −1 1 3−2−35

0−17

2 41 3−1 1

34

c. PERKALIAN MATRICK PARTISI

A * B = 𝐴11 𝐴12𝐴21 𝐴22

X 𝐵11 𝐵12𝐵21 𝐵22

= 𝐴11𝐵11 + 𝐵12𝐵21 𝐴11𝐵12 + 𝐴12𝐵22𝐴21𝐵11 + 𝐴22𝐵21 𝐴21𝐵12 + 𝐴12𝐵22

= 𝐴11 𝐵11 = 1 25 6

X 4 37 6

= 4 𝑥 14 3 + 1220 𝑥42 15 + 36

= 18 1562 51

= 𝐴12 𝐵21 = 3 47 8

X 6 53 2

= 18 𝑥 12 15 + 842 𝑥20 35 + 15

= 30 2362 51

= 𝐴11 𝐵11 + 𝐴12𝐵21 = 18 1562 51

+ 30 2366 11

= 48 3828 102

= 𝐴21 𝐵11 = = 3 48 9

X 4 37 6

= 12 + 28 9 + 2432 + 63 27 + 24

= 40 3395 51

= 𝐴22 𝐵21 = 5 60 1

X 6 53 2

= 30 + 18 30 + 12

0 + 3 5 + 10 =

48 423 15

= 𝐴21 𝐵11 + 𝐴22𝐵21 = 40 3395 51

+ 48 423 15

= 88 7598 66

= 𝐴11 𝐵1 2= 1 25 6

X 2 15 4

= 2 + 10 1 + 810 + 30 6 + 24

= 12 940 30

= 𝐴12 𝐵22 = 3 47 8

X 4 31 0

= = 12 + 4 9 + 028 + 8 21 + 0

= 26 936 21

= A11 . B12 + A12 . B22 = 12 + 26 9 + 940 + 36 30 + 21

= = 38 1876 51

35

= A21 . B12 = 3 48 9

X 2 15 4

= 5 + 20 3 + 16

16 + 45 8 + 36 =

26 1961 44

= A12 . B22 = 5 60 1

X 4 31 0

= 20 + 6 3 + 16

16 + 45 8 + 36 =

26 151 0

= A21 . B12 + A12 . B22 = 26 1961 44

+ 26 151 0

= 52 3462 44

A x B =

48 38 28 181288898

1027080

76 5052 3462 44

36

BAB VI

VEKTOR

6.1. PENGERTIAN

Banyak kuantitas fisik, seperti luas, panjang, massa dan temperatur, dapat dijelaskan

secara lengkap apabila besaran kuantitas tersebut telah diberikan. Kuantitas seperti ini

dinamakan skalar.Kualitas fisik lainnya disebut vektor, penjelasannya tidak begitu lengkap

sehingga baik besarannya maupun arahnya dapat dispesifikasikan.Sebagai contoh, angin yang

bergerak pada umumnya digambarkan dengan memberikan kecepatan dan arahnya, misalnya

mendekati 20 mil / jam.

Vektor-vektor dapat dinyatakan secara geometris sebagai segmen – segmen garis terarah

ataupun panah-panah di ruang-2 atau ruang-3; arah panah menentukan arah vektor dan

panjang panah menyatakan besarnya. Ekor panah disebut titik awal (initial point) dari

vektor, dan ujung panah dinamakan titik terminal (terminal point).

Gambar 1.1

B

A

(a) (b)

37

Pada gambar 1.1a, titik awal vector v adalah A da titik terminalnya adalah B, maka dituliskan

v =

AB

Vektor – vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama, seperti pada gambar 3.1b

disebut ekivalen.

Untuk menuliskan panjang vektor vdigunakan notasi |v|

6.2 OPERASI – OPERASI PADA VECTOR

a. Penjumlahan Vektor

Ada 2 metode yang dapat digunakan untuk menjumlahkan 2 buah vektor

a.1 Metode Jajaran Genjang

Gambar 1.2

Vektor hasil (resultant) yaitu a + bdiperoleh dari diagonal jajaran genjang yang

dibentuk oleh vektor a dan bsetelah titik awal dan titik akhir ditempatkan

berimpit.

a

b

a+b

38

a.2 Metode Segitiga

Gambar 1.3

Resultan diperoleh dengan menempatkan titik awal salah satu vektor pada titik

ujung vektor yang lain, maka resultannya adalah vektor bertitik awal di titik

awal adan bertitik ujung di titik ujung b

a+b

a

b

a+b

a

b

39

Catatan :

1. Penjumlahan vektor bersifat komutatif, a + b = b + a

2. Metode Segitiga baik sekali digunakan untuk menjumlahkan lebih dari 2 vektor.

Misalnya a + b + c + d + e , maka resultannya adalah vektor dengan titik awal di

titik awal vektor a dan bertitik ujung di titik ujung vektore

3. Pengurangan vektor a dan b adalah a – b = a + (-b)

b. Perkalian Skalar

Jika k adalah suatu skalar bilangan riil, a suatu vektor, maka perkalian skalar ka

menghasilkan suatu vektor yang panjangnya |k| kali panjang a dan arahnya sama

dengan arah a bila k positif atau berlawanan arah bila k negatif. Bila k = 0 maka ka =0

disebut vektor nol, yaitu vektor yang titik awal dan titik ujungnya berimpit.

Gambar 1.4

a

2a -2a

40

6.3. SUSUNAN KOORDINAT RUANG-N

a. Ruang dimensi satu (R1)

R O P E A

Gambar 1.5

Titik O mewakili bilangan nol, titik E mewakili bilangan 1. Ditulis O(0), E(1), P( 52 )

artinya P mewkili bilangan 52 dan kita letakkan P sehingga OP = 52 satuan ke arah E

(arah positif).

b. Ruang dimensi dua (R2)

Setiap pasangan bilangan riil (koordinat titik) dapat diwakili oleh sebuah titik pada

suatu bidang rata, yang membentuk susunan koordinat di dalam ruang dimensi dua,

ditulis R2.

41

X2

E2

E1 C

B(3,1)

A(1,2)

oX1

D

Gambar 1.6

c. Ruang dimensi tiga (R3)

X1

X2

X3

A D

CB(0,3,3)

Gambar 1.7

42

d. Ruang dimensi n (Rn)

Secara umum untuk Rn dimana n adalah bilangan bulat positif, suatu titik di dalam

Rndinyatakan sebagai n-tupel bilangan riil. Misalnya titik X(x1, x2, ...,xn)

6.4 VEKTOR DI DALAM RUANG RN

Lebihdahulu kita pandang suatu susunan koordinat di R2. Suatu vektor disebut satuan

bila panjangnya = 1.

Kita ambil sekarang vektor satuan :

e1 = OE1 yang titik awalnya O(0,0) dan titik ujungnya adalah E1(1,0)

e2 = OE2 yang titik awalnya O(0,0) dan titik ujungnya adalah E2(0,1)

Kemudian kita tulis e1 = 1e1 + 0 e2

e2 = 0e1 + 1 e2

Yang selanjutnya penulisan itu disingkat dengan

e1 = [1,0]

e2 = [0,1]

Sekarang pandang vektor a yang titik awalnya O(0,0) dan titik ujungnya titik A(a1, a2).

Vektor a disebut vektor posisi dari titik A.

43

e1

e2

A(a1, a2)

a1e1

a2e2

Gambar 1.8

Bilangan – bilangan a1, a2 disebut komponen – komponen dari a

Panjang vektor a adalah 2

2

2

1 aa

Secara umum untuk vektor p yang titik awalnya P(p1, p2) dan titik ujungnya di Q(q1,

q2) :

PQ = (q1 – p1) e1 + (q2 – p2) e2

= [(q1 – p1), (q2 – p2)]

Kesimpulan (untuk Rn):

1. Vektor posisi dari titik A(a1, a2, …, an) adalah OA = [a1, a2, …, an]

2. Vektor bertitik awal di P(p1, p2, …, pn) dan bertitik ujung di Q(q1, q2, …, qn)

adalah PQ = [q1 – p1, q2 – p2, … , qn – pn ]

3. Panjang vektor a = [a1, a2, …, an] adalah |a| = 22

2

2

1 .... naaa

Jarak 2 titik P(p1, p2, …, pn) dan Q(q1, q2, …, qn) adalah panjang vektor PQ yaitu :

|PQ| = 22222

11 )(....)()( nn qpqppq

44

4. Vektor – vektor satuan dari susunan koordinat adalah

e1 = [1,0,0,…,0],

e2 = [0,1,0,…,0],

e3 = [0,0,1,0…,0], dst.

6.5. BEBERAPA DALIL PADA OPERASI VEKTOR

Untuk setiap vektor a = [a1, a2, a3,. . ., an] , b = [b1, b2, b3, . . . , bn] , c=[c1, c2, c3, . . ., cn] Rn,

dan m, k adalah skalar – skalar, maka berlaku :

(1). a + b = b + a

(2). (a + b) + c = a + (b + c)

(3). k(a + b) = ka + kb

(4). a + 0 = a

(5). a + (-a) = 0

(6). (k + m)a = ka + ma

(7). (km)a = k(ma) = m(ka

6.6 VEKTOR 3 RUANG (𝑅3)

Vektor Pada Ruang ( Dimensi 3)

Vektor di ruang 3 adalah vektor yang mempunyai 3 buah sumbu yaitu x , y , z yang saling

tegak lurus dan perpotongan ketiga sumbu sebagai pangkal perhitungan.

Vektor p pada bangun ruang dapat dituliskan dalam bentuk :

1. koordinat kartesius p = (x, y, z)Capture4

2. vektor kolom p

45

xyz

atau, vector baris p=(x,y,z)

𝑎 = 𝑥1𝑦1𝑧1

𝑏 = 𝑥2𝑦2𝑧2

1. 𝑎 +(−𝑏 )=

𝑥1 + (−𝑥2)𝑦1 + (−𝑦2)𝑧1 + (−𝑧2)

2. 𝑎 +(+(−𝑏 )=

𝑥1 + (−𝑥2)𝑦1 + (−𝑦2)𝑧1 + (−𝑧2)

3. k.𝑎 = 𝑘. 𝑥1𝑘. 𝑦2𝑘. 𝑧2

4. k.𝑏 = 𝑘. 𝑥1𝑘. 𝑦2𝑘. 𝑧2

6.7 PANJANG VEKTOR

Sebuah vektor memiliki ukuran panjang. Panjang vektor dinotasikan dengan nama vektor tersebut

O𝑎 atau O𝑏 dan didefinisikan sebagai akar pangkat dua dari jumlah kuadrat masing-masing komponennya.

O𝑎 = 𝑥12 + 𝑦12 + 𝑧12

O𝑏 = 𝑥22 + 𝑦22 + 𝑧22

Contoh Soal :

𝑎 = 123 𝑏 =

345

Tentukan :

1. 2𝑎 +2𝑏

2. –(-2𝑎 +𝑏 )

3. O𝑎

46

4. O𝑏

Jawab :

1. 2𝑎 +𝑏 = 2.12.22.3

+ 2.32.42.5

= 246 +

68

10 =

2 + 64 + 8

6 = 10 =

81216

2. -(-2𝑎 +𝑏 )=- −2.1−2.2−2.3

+ 345 =-

−2−4−6

+ 345

=- −2 + 3−4 + 4−6 + 5

=- 10−1

= −101

3. O𝑎 = 12 + 22 + 32

= 1 + 4 + 9

= 14

4. O𝑏 = 32 + 42 + 52

= 9 + 16 + 25

= 50= 25 x 2 = 5 2

Contoh Soal:

𝑎 = 567 𝑏 =

123

Tentukan =

1. 2𝑎 = 2𝑏

2. 2𝑎 − (𝑏)

3. O𝑎

4. O𝑏

Jawab :

1. 2𝑏 + 2𝑏 = 2.52.62.7

+ 2.12.22.3

= 101214

+ 246 =

10+212+414+6

= 121620

47

2. 2𝑎 - 𝑏 = 2.52.62.7

+ 123 =

101214

+ 123 =

10+112+214+3

= 111417

3. O𝑎 = 52 + 𝑏62 + 72

= 25 + 36 + 49

= 110

4. O𝑏 = 12 + 22 + 32

= 1 + 4 + 9

= 14

48

DAFTAR PUSTAKA

http://ditambul.blogspot.co.id/2014/05/pengertiandefinisi-dan-contoh-matriks.html

http://hmmusu.blogspot.co.id/2010/07/pengertian-matriks_08.html

http://bahanbelajarsekolah.blogspot.co.id/2014/10/pengertian-dan-jenis-jenis-matriks.

Aljabar linier dasar Drs. Mahmud „imrona ,M.T. penerbit erlangga

http://bahanbelajarsekolah.blogspot.co.id/2014/10/pengertian-dan-jenis-jenis-matriks.html?en