Harmonické vlnění

Harmonické vlnění

kxtAv

xtAtx

coscos,• harmonická vlna:

• šíření harmonických kmitů

22

T

T

vk• vlnový vektor:

2

T• perioda kmitů:

vT• vlnová délka:

kxtiv

xi

ti AeeAetx ,• harmonická vlna:

rktiAetr ,• harmonická vlna v prostoru:

Odraz vlnění

• obecná vlna

x

• x = 0 y = 0

vtxgvtxfy

x

x

x

vtfvtg

vtxfvtxfy

vtxf

vtxf

Stojaté vlnění

• odraz periodické vlny

vtxfvtxfy

vxtievtxf /

vxtievtxf /

kxev

xey titi sin2sin2

• uzly nkxv

x

2

nx

,3,2,1,0n

Stojaté vlnění

• vlny v ohraničené oblasti

• uzly musí být v x = 0 a x = L

L

nk

kxev

xey titi sin2sin2

• struna délky L upevněná na obou koncích

2

k

nkLv

L ,3,2,1n

Ln n 2

,3,2,1n0 n

L

vnn ,3,2,1n

L

v 0 základní frekvence

1n

L21 01

2n

L2 02 2

3n

L3

23 03 3

4n

L2

12 04 4

módy

Dopplerův jev

• Christian Doppler, Praha 1842

• pohybující se zdroj vlnění

• zdroj v klidu

• perioda vlnění: T0

• frekvence: f0 = 1 / T0 = v / 0

00 vT

0Tvs

• zdroj v pohybu

• perioda vlnění: T

• frekvence: f = 1 / T = v /

00 Tvs

svv

vff

0

Dopplerův jev

• Christian Doppler, Praha 1842

• zdroj se pohybuje k nám:

svv

vff

0• frekvence:

00 Tvs• vlnová délka:

• zdroj se pohybuje od nás:

svv

vff

0• frekvence:

00 Tvs• vlnová délka:

svzdroj

pozorovatel

pv

0sv 0pv

0sv 0pv

s

p

vv

vvff

0• frekvence vlnění

Dopplerův jev

svzdroj

pozorovatel

pvs

p

vv

vvff

0• frekvence vlnění

vvs

• zdroj se pohybuje ke stojícímu pozorovateli rychlostí zvuku

f0pv

vvs

• zdroj se pohybuje od stojícího pozorovatele rychlostí zvuku

02

1ff 0pv

vvs

• zdroj se pohybuje ke stojícímu pozorovateli rychlostí převyšující rychlost zvuku

0f0pv

Rudý a modrý posuv

svzdroj

pozorovatel

pv

• absorbční spektra hvězd

• rudý posuv – hvězda letící od nás

• modrý posuv – hvězda letící k nám

Mechanika kontinua – napětí, deformace

• napětíS

F [Nm-2 = Pa]

• čistý tah F

F

0l

F

F

l

0

0

l

lle

• deformace

Mechanika kontinua – Hookův zákon

• čistý tah F

F

0l

• Hookův zákon Ee

• E – modul pružnosti

0xxkF

202

1xxkU

Mechanika kontinua - napětí

• čistý tah F

F

• napětíS

F [Nm-2 = Pa]

F

F

• čistý smyk


• napětí

dS

Fd

n

• normálové napětí

dS

Fd nn

• tečné (smykové) napětí

dS

Fd t


• obecné tahové napětí

čistý tah čistý smyk čistý tlak obecné tahové napětí obecné tlakové napětí


• tenzor napětí

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

• čistě tahové složky (tlakové) složky:

zzyyxx ,,

• smykové složky:

yzxzxy ,,

yxxy

zxxz

zyyz


• tenzor napětí

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

• napětí v obecné rovině:

yxxy

zxxz

zyyz

z

y

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

z

y

x

zyx ,,


• tenzor napětí

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

• hlavní roviny

yxxy

zxxz

zyyz

zz

yy

xx

00

00

00

xy

z


• jednoosá napjatost

yy yy

yx

z

• dvojosá napjatost

yy yy

xx

xx

• trojosá napjatost

yy yy

xx

xx

zz

zz

Mechanika kontinua - deformace

• posunutí

ix

ix'ixd

iu

ii uu d

iy

iyd

iy'

iii xyu

k

kk

iiiii dx

x

udxdudxdy

i

ii

i dxdy 22• míra deformace:

i

kk k

ii

iii

ii dx

x

udxdudxdy

2

22

lk lk

lkkllkl

k

k

l

ii

ii dxdxedxdx

x

u

x

udxdy

, ,

22 2

l

k

k

lkl x

u

x

ue

2

1• tenzor malých deformací:


• tenzor deformace

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

eee

eee

eee

e

yxxy ee

zxxz ee

zyyz ee

i

j

j

iij x

u

x

ue

2

1

z

y

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

zyx

z

y

x

zyx

z

y

x

zyx

dx

dx

dx

eee

eee

eee

dxdxdx

dx

dx

dx

dxdxdx

dy

dy

dy

dydydy ,,,,,,

• obecná deformace

dxedxdxdxdydy TTT 2


22222 2

0

0,,2 xxxx

x

xzxxyxxxxxzyx dxe

dx

edxedxedxdxdydydy

• deformace elementu rovnoběžného s osou x

x

z

0,0,xdxxd

zyx dydydyyd ,,


zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

eee

eee

eee

e

yxxy ee

zxxz ee

zyyz ee

i

j

j

iij x

u

x

ue

2

1

2222zyx dydydyl

220 xdxl

0

020

20

22

2l

ll

l

llexx

0

0

l

llexx



zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

eee

eee

eee

e

yxxy ee

zxxz ee

zyyz ee

i

j

j

iij x

u

x

ue

2

1

exx – relativní změna délky elementu, který byl před deformací rovnoběžný s osou x

eyy – relativní změna délky elementu, který byl před deformací rovnoběžný s osou y

ezz – relativní změna délky elementu, který byl před deformací rovnoběžný s osou z


• deformace v rovině

yyxy

xyxx

ee

eee

i

j

j

iij x

u

x

ue

2

1 nechť exx = eyy = 0, exy 0

0

y

y

x

x

x

u

x

u0

x

y

y

x

x

u

x

u

0,,11 xdxxd

ydxxd ,22 ,0

2xd

2yd

1yd

1xd

1

2

j

jj

iii dx

x

udxdy

xyy

xx

x

xxx dxdx

x

udx

x

udxdy ,1,1,1,1,1

xx

yy

y

yx

x

yyy dx

x

udx

x

udx

x

udxdy ,1,1,1,1,1

x

y

x

u

1tg

y

x

x

u

2tg 212

1

2

1

x

y

y

xxy x

u

x

ue



zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

eee

eee

eee

e

yxxy ee

zxxz ee

zyyz ee

i

j

j

iji x

u

x

ue

2

1.

exx – relativní změna délky elementu, který byl před deformací rovnoběžný s osou x

eyy – relativní změna délky elementu, který byl před deformací rovnoběžný s osou y

ezz – relativní změna délky elementu, který byl před deformací rovnoběžný s osou z

exy – je rovna poovině úhlu o který se deformací změní pravý úhel mezi elementy původně rovnoběžnými s osou x a y

exz – je rovna poovině úhlu o který se deformací změní pravý úhel mezi elementy původně rovnoběžnými s osou x a z

eyz – je rovna poovině úhlu o který se deformací změní pravý úhel mezi elementy původně rovnoběžnými s osou y a z

Zobecněný Hookův zákon

eCσ

• elastické koeficienty 34 = 81 (tenzor 4. řádu)

tenzor napětí i,j tenzor defromace ek,l

elastické koeficienty Ci,j,k,l

• tenzory napětí a deformace jsou symetrické 21 nezávislých elastických koeficientů

• izotropní prostředí 2 nezávislé elastické koeficienty

- Youngův modul pružnosti E (modul pružnosti v tahu)

- modul pružnosti ve smyku G

ij

kkkijij Gee

EG

GEG2

3

2

zobecněný Hookův zákon pro izotropní prostředí

Documents

Harmonické vlnění