1

Odabrana poglavlja opće fizike

Harmoničko titranje

Silvia Aunedi

Sveučilište u Zagrebu

Fizički odsjek Prirodoslovno-matematičkog fakulteta

Bijenička cesta 32, 10000 Zagreb

.

2

Uvod Periodično gibanje vrlo je čest oblik gibanja u prirodi, pa je stoga i vrlo čest predmet proučavanja

fizičarima. To je gibanje koje se redovito ponavlja, i objekt se vraća u dani položaj nakon fiksnog

vremenskog intervala. U svakodnevnom životu mogli bismo izmjenu dana i noći, izmjenu

godišnjih doba, mjesečeve mjene, sjedenje za stol svake večeri, identificirati kao oblike

periodičnog gibanja. Osim ovih primjera čitav niz drugih sustava pokazuje takvo gibanje. Na

primjer, elektromagnetske valove karakterizira osciliranje vektora električnog i magnetskog polja,

u izmjeničnim krugovima naboj, struja i voltaža mijenjaju se periodički s vremenom. Poseban

oblik periodičnog gibanje je jednostavno harmonijsko gibanje u kojem je sila na objekt

proporcionalna njegovu položaju relativno na položaj ravnoteže i uvijek usmjerena prema

položaju ravnoteže. Jednadžba gibanja ovakvog sustava i njeno rješenje uvelike olakšava

rješavanje cijele klase fizikalnih problema.

Linearne diferencijalne jednadžbe Osnovni paket kojim se koristimo u proučavanju harmonijskih oscilatora jesu diferencijalne

jednadžbe. Te se jednadžbe javljaju u različitim poljima fizike, pa čak i u drugim znanostima. I

često su gotovo identične. Tako da mnogi fenomeni u tim različitim poljima imaju svoje analoge.

Najjednostavniji primjer bila bi propagacija zvučnih valova koja je u mnogočemu analogna

propagaciji svjetlosnih valova. Pa bi nam stoga proučavanje fenomena u jednom polju omogućilo

samo proširenje našeg znanja u drugom polju. Te se diferencijalne jednadžbe nazivaju linearne

diferencijalne jednadžbe. Sastoje se od sume nekoliko članova. Svaki član predstavlja derivaciju

zavisne varijable u odnosu na nezavisnu varijablu i pomnoženu nekom konstantom [1].

I. Jednostavno harmoničko titranje Možda je jedan od najjednostavnijih sustava čije je gibanje opisano linearnom diferencijalnom

jednadžbom masa na opruzi. Jedan takav sustav prikazan je na slici 1.

3

Slika 1: Tijelo mase m pričvršćeno na

oprugu giba se na glatkoj podlozi

Sustav na slici sastoji se od opruge zanemarive mase i konstante k i tijela mase m pričvršćenog

na oprugu [2]. Tijelo je slobodno da se giba na podlozi bez trenja. Kad opruga nije ni rastegnuta

ni stisnuta kao u slučaju (a) i (c) kažemo da se tijelo nalazi u položaju ravnoteže, i označili smo

ga sa 0x (slučaj (b)). U tom položaju sve su sile izbalansirane. Kada potom tijelo pomaknemo

iz položaja ravnoteže na položaj x , na njega djeluje linearna sila proporcionalna položaju tijela i

dana Hookeovim zakonom:

kxF (1)

Ovu silu nazivamo povratnom silom, budući je uvijek usmjerena prema položaju ravnoteže i

prema tome suprotno pomaku od tog položaja.

Sada kada znamo zakon sile želimo naći izraz pomoću kojeg možemo računati položaj mase.

Ubacimo li ovu linearnu povratnu silu u drugi Newtonov zakon maF , te će dvije

jednadžbe zajedno dati linearnu diferencijalnu jednadžbu koja opisuje jednostavno harmonijsko

gibanje našeg sustava:

kxma (2)

xmk

dtxd

2

2

(3)

Ako odaberemo da je izraz mk , jednadžbu možemo napisati u obliku

4

xdt

xd 2

2

(4)

Dobivena diferencijalna jednadžba opisuje gibanje i bilo kojeg drugog sustava na kojeg kad ga se

pomakne iz položaja ravnoteže djeluje povratna sila.

Sljedeće što nas zanima jest rješenje ove jednadžbe. Drugim riječima, zanima nas funkcija )(tx

čija je druga derivacija upravo negativ originalne funkcije pomnožene sa . Trigonometrijske

funkcije sinus i kosinus ponašaju se upravo na taj način i vrlo dobro opisuju položaj tijela koje

oscilira. Možemo izgraditi riješenje na jednoj od njih. Neka to bude kosinus funkcija:

)cos()( tAtx (5)

gdje su ,A konstante.

Provjerimo eksplicitno da li druga derivacija ove jednadžbe zadovoljava jednadžbu (4):

tAtdtdA

dtdx sin(cos( (6)

tAtdtdA

dtxd cos()sin(2

2

(7)

Uspredbom jednadžbi (7) i (5) , vidimo da je xdtxd 22 , i jednadžba (4) je zadovoljena.

Parametri ,A rekli smo su konstante gibanja. Prvo, A , označava amplitudu gibanja, tj.

maksimalnu vrijednost položaja čestice u negativnom i u pozitivnom smjeru x .

Konstanta označava kutnu frekvenciju, mjerenu u rad/s, koja mjeri broj oscilacija po jedinici

vremena, mk . Konstantni kut predstavlja faznu konstantu (ili početni fazni kut) , i

zajedno sa amplitudom A jednoznačno je određena iz početnih uvjeta, odn. položaja i brzine

čestice u 0t . Budući je na Slici 1. tijelo postavljeno na način da je u trenutku 0t u svom

maksimalnom položaju x = A, a fazna konstanta je = 0, grafički prikaz gibanja izgleda kao na

Slici 2.

5

Slika 2. x-t graf za specijalan slučaj u kojem je x = A u 0t , pa prema tome i = 0

I posljednje, veličinu tcos( nazivamo faza gibanja. Budući je položaj )(tx periodična

funkcija, njegova vrijednost bit će ista kadgod se faza poveća za 2 rad. Iz ovog posljednjeg

možemo izvesti vezu između kutne frekvencije i vremena potrebnog da čestica

prijeđe puni ciklus oscilacije, odn. perioda T . Kroz vrijeme T faza se poveća za 2 radijana, iz

čega slijedi

2)()(( tTt

pojednostavljenjem dobijemo 2T , i konačno

(8)

Inverz perioda nazivamo frekvencija gibanja Tf 1 .

Kao i kutna frekvencija , period T i frekvencija f ne ovise o parametrima gibanja A i , već

samo o fizikalnim svojstvima sustava, u našem slučaju o masi m tijela i konstanti opruge k .

Prema jednadžbama (6) i (7) za brzinu i akceleraciju tijela koje harmonijski oscilira vidimo da su

maksimalne vrijednosti tih veličina A za brzinu i A2 za akceleraciju, upravo zbog

svojstva sinus i kosinus funkcija koje osciliraju između .1

Sljedeća slika, Slika 3. lijepo pokazuje kako se pri proizvoljnoj vrijednosti fazne konstante

ponašaju položaj x, brzina v i akceleracija a tijela. U bilo kojem trenutku t brzina je van faze za

2 radijana u odnosu na položaj (x je max ili min kad je v nula i obratno), a akceleracija se

razlikuje u fazi za radijana u odnosu na položaj x (kad je x max a ima najveći iznos, ali

suprotnog je smjera)

6

Slika 3. Grafički prikaz jednostavnog harmonijskog gibanja

Energija jednostavnog harmonijskog oscilatora Ukupna mehanička energija našeg sustava na Slici 1 je konstantna, budući smo pretpostavili da

između podloge i tijela nema trenja. Nadalje, pretpostavili smo da je masa opruge zanemariva,

tako da kinetičkoj energiji sustava doprinosi samo ona od tijela mase m. I dana je sljedećim

izrazom

)(sin21

21 2222 tAmmvK (9)

Elastična potencijalna energija pohranjena u opruzi za bilo koje produljenje x glasi

7

)(cos21

21 2222 tAkkxU (10)

Oba izraza su pozitivna i ako iskoristimo da je mk i iskoristimo odgovarajući identitet za

sinus i kosinus, zbrojem ovih dviju energija dobijemo vrlo jednostavan izraz za ukupnu

mehaničku energiju sustava

2

21 kAUKE = konst. (11)

Grafički prikazi ovisnosti kinetičke i potencijalne energije o vremenu i o položaju uz uvijet da je

= 0 prikazani su ispod na Slici 4.

Vidimo K i U su uvijek pozitivne veličine i kroz cijelo vrijeme njihov zbroj je konstantan i jednak

2

21 kA , tj. jednak ukupnoj mehaničkoj energiji sustava.

8

Sljedeći prikaz, Slika 5, ilustrira položaj, brzinu, akceleraciju, kinetičku i potencijalnu

energiju sustava masa-opruga kroz jedan puni period gibanja.

Slika 5. Jednostavno harmonijsko gibanje sustava masa-opruga pre čemu parametri u

tablici odgovaraju uvjetima takvim da je u t=0, x=A , i time je općenito x=Acos ωt

Harmonijski oscilator i kružno gibanje

Vratimo se sada još jednom na pitanje rješenja diferencijalne jednadžbe. Važno je reći da se do

njega došlo pogađanjem. Jednom davno netko je predložio da bi to mogla biti sinus, odn. kosinus

funkcija. Ipak, bio je to promišljen pogodak, jer osciliranje mase na opruzi nalikuje uniformnom

kružnom gibanju sjene neke čestice [3], ili kao što je vidljivo u uobičajenim eksperimentalnim

postavima za demonstraciju veze između ova dva gibanja, rotirajući se disk okreće konstantnom

kutnom brzinom, i pritom sjena loptice pričvršćene na disk oscilira naprijed nazad.

9

Za detaljnije razmatranje ove veze pogledajmo kružnice na Slici 6. Čestica se nalazi u točki P na

obodu referentne kružnice radijusa A. Referentni položaj je položaj točke P u vrijeme 0t

kada linija povučena od ishodišta do točke P zatvara kut sa x osi. U neko vrijeme 0t

čestica prijeđe udaljenost t tako da je kut što ga pravac iz ishodišta do točke P sada zatvara sa

x osi je kut t .

Slika 6: veza između uniformnog kružnog gibanja i jednostavnog harmonijskog gibanja

Kako se čestica giba po kružnici tako projekcija točke P na x os, točka Q, oscilira naprijed

nazad između granica A . Njihova je x koordinata uvijek ista, i iz pravokutnog trokuta vidimo

ona glasi:

)cos()( tAtx (12)

To je upravo jednadžba koja opisuje položaj tijela koje oscilira, u ovom slučaju to je projekcija Q

koja oscilira duž x osi.

Na sličan način dolazimo i do izraza za x komponentu brzine i akceleracije čestice na obodu,

)sin( tAvx (13)

)cos(2 tAax (14)

10

što se u potpunosti slaže sa izrazima za brzinu i akceleraciju točke Q kada uzmemo prvu i drugu

derivaciju po vremenu jednadžbe (12).

Nadalje, ova geometrijska interpretacija pokazuje da je vrijeme potrebno da čestica u P prijeđe

puni krug gibajući se konstantnom kutnom brzinom jednako periodu oscilacije T , drugim

riječima kutna brzina točke P jednaka je kutnoj frekvenciji oscilacije duž x osi.

Radijus kružnice A odgovara amplitudi oscilacije, a referentni kut faznoj konstanti .

Iz svega možemo zaključiti kako jednostavno harmonijsko gibanje po pravcu može biti prikazano

kao projekcija uniformnog kružnog gibanja po promjeru referentne kružnice.

Puno se vremena provodi u proučavanju jednostavnih harmonijskih oscilatora i jednadžbi

koje opisuju njihovo gibanje. Razlog je taj što se mogu iskoristiti kao vrlo dobri modeli za brojne

fizikalne fenomene. Na početku su spomenuti još neki sustavi koji prolaze harmonijske oscilacije,

elementi medija prilikom propagacije valova osciliraju oko položaja ravnoteže, mehanički sustavi

kao što su njihala sa malim pomacima, komplicirana međudjelovanja u kemijskim reakcijama, i

mnogi drugi. Vidimo, to su sve potpuno različiti sustavi. I u čemu je onda bit. To je jednostavno

način na koji priroda odgovara kad se bilo koji stabilan sustav pomakne iz ravnoteže.

II. Prigušeno titranje

Stvarni oscilatori međutim nisu idealni sustavi koji će beskonačno oscilirati pod

utjecajem samo jedne linearne povratne sile. Na stvarne sustave djeluju i neke druge sile

kao što su sile trenja, otpor zraka i sl. koje s vremenom uzrokuju opadanje ukupne

mehaničke energije sustava i time guše njegove oscilacije. Takvo gibanje nazivamo

prigušenim. Jedan takav sustav prikazan je na Slici 7.

Slika 7. Tijelo mase m

pričvršćeno na oprugu i

uronjeno u tekućinu

određenog viskoziteta

11

U ovom slučaju na masu djeluje sila trenja proporcionalna brzini objekta i pritom djeluje

u smjeru suprotnom od smjera gibanja tijela. Rezultat je prigušenje oscilacija. Sila

gušenja dana je izrazom ,vFtr b gdje je b koeficijent prigušenja. Preko Newtonovog

zakona gibanja dolazimo do jednadžbe koja opisuje gibanja promatranog sustava.

,02

2

2

2

xmk

tx

mb

tx

txbxk

txm

m tropr FFa

gdje je 20mk kutna frekvencija neprigušenog harmonijskog oscilatora ili prirodna

frekvencija sustava. Koeficijent gušenja koji smanjuje frekvenciju titranja ω dan je

izrazom 2mb . Jednadžba gibanja je sada

,02 202

2

x

tx

tx (15)

a rješenje glasi

)cos()cos()()( tAettatx t (16)

Kutna frekvencija oscilacija jednaka je .220

2 Porebno je spomenuti i još jednu

veličinu, a to je faktor dobrote titrajnog sistema Q , veličina koja je zapravo mjera

gušenja oscilacija i što je Q veći to je prigušenje manje..

)()( TtataTTQ

12

Na slici niže možemo vidjeti kako se ponaša elongacija u ovisnosti o vremenu za dva

sustava s različitim gušenjem, te tako i s različitim faktorima dobrote.

Općenito, kada je sila prigušenja mala, oscilacije tijela i dalje traju, ali im amplituda

opada s vremenom, sve dok se gibanje potpuno ne zaustavi. Slika 8 prikazuje tu

situaciju.

13

Slika 8. Graf ovisnosti elongacije o vremenu za prigušeni oscilator

Na grafu plave iscrtkane linije predstavljaju anvelopu oscilatorne krivulje. Anvelopa je

opisana eksponencijalnim članom u jednadžbi (16) i predstavlja eksponencijalni pad

amplitude oscilacije u vremenu. Nadalje, za gibanje uz zadanu masu i konstantu opruge,

oscilacije će sve brže trnuti kako se maksimalna vrijednost sile trenja trF približava

maksimalnoj vrijednosti povratne sile opruge oprF . U tom smislu postoje tri slučaja

gibanja našeg sustava što je grafički prikazano na Slici 9.

Slika 9. Grafički prikaz položaja u ovisnosti o vremenu za slučaj (a) potkritično gušenje, (b)

kritično gušenje i (c) natkritično gušenje

14

1. Slučaj: Ftr(max)=bvmax < kA i δ=b/2m < ω0 , opisan je plavom krivuljom i predstavlja

potkritično gušenje

2. Slučaj: vrijednost koeficijenta gušenja b se povećava, amplituda oscilacija sve

brže i brže opada, sve dok b ne dosegne svoju kritičnu vrijednost bc tako da je

bc /2m = ω0. U ovom slučaju sustav pušten iz neravnotežnog položaja približi se,

ali nikad ne prijeđe položaj ravnoteže. Radi se o slučaju kritičnog gušenja i

prikazano je crvenom krivuljom.

3. Slučaj: Ftr(max)=bvmax > kA i δ=b/2m > ω0, tj. medij je toliko viskozan da

maksimalan znos sile trenja nadilazi maksimalni iznos sile opruge, te takvo

gušenje nazivamo natkritičnim gušenjem. Prikazano je crnom krivuljom. Ovakav

sustav kad ga se pomakne iz ravnotežnog položaja ne oscilira već se vrati u

ravnotežni položaj. Kako se gušenje povećava tako se i vrijeme potrebno za

povratak u ravnotežni položaj povećava.

Slučajevi 2 i 3, gdje je trenje veliko, su tzv. aperiodična titranja. Budući kutne brzine ω

nema, niti rješenje (16) jednadžbe gibanja za njih nije valjano.

Ako govorimo o mehaničkoj energiji, kad god je trenje prisutno u sustavu, bilo da se radi

o natkritičnom ili potkritičnom gušenju, ona s vremenom postane jednaka nuli, tj.

transformira se u druge oblike energije: unutarnju energiju tijela i viskozne tekućine.

15

III. Prisilno titranje

Tipičan primjer tjeranog oscilatora jest gušeni oscilator na kojeg djeluje i vanjska sila

koja se periodički mijenja u vremenu, kao npr. sila oblika tAo sin , gdje je ω kutna

frekvencija sile prisile, a A0 konstanta. Općenito frekvencije sile prisile je varijabla, dok

je prirodna frekvencija ω0 fiksirana vrijednostima k i m. Opća jednadžba gibanja za ovaj

sustav dana je izrazom

tAxtx

tx sin2 0

202

2

(17)

Nakon što vanjska sila krene djelovati na tijelo u mirovanju, amplituda oscilacija se

povećava. Nakon dovoljno dugo vremena input energije u sustav putem vanjske sile po

jednom ciklusu izjednačit će se s količinom mehaničke energije pretvorene u unutarnju

energiju sustava za svaki taj ciklus, i postiže se stacionarno stanje u kojem se oscilacije i

dalje nastavljaju, ali s konstantnom amplitudom za danu silu prisile.

Drugim riječima, ako prigušenje na sustav nije zanemarivo, nakon dovoljno dugo

vremena output x gušenog titrajnog sustava pod utjecajem vanjske periodične pobude će

praktički prijeći u harmonijske oscilacije s frekvencijom istom kao i frekvencija

vanjske pobude. Ono stoga glasi:

)cos( tAx (18)

gdje je amplituda A jednaka

16

a faza je dana sljedećim izrazom

Za mala gušenja, amplituda je velika kada je frekvencija pogonske sile blizu prirodne

frekvencije oscilacije ω02=k/m, tj. kada je .0 Pojavu takvog znatnog porasta

amplitude blizu vlastite frekvencije sustava nazivamo rezonancija, a ω0 također nazivamo

rezonantnom frekvencijom sistema.

Na ovom grafu prikazana je ovisnost amplitude kao funkcije frekvencije A(ω) za tjerani

oscilator sa i bez gušenja i omjera frekvencija 0 .

17

Primjećujemo da se širina krivulje smanjuje, a visina povećava što je gušenje slabije, te

se sa povećanjem gušenja frekvencija pri kojoj amplituda ima maksimum pomiče prema

nižim vrijednostima.

U stacionarnim uvjetima i pri bilo kojoj frekvenciji pogonske sile, energija koja se unosi

u sustav jednaka je izgubljenoj energiji uslijed gušenja , tako da ukupna energija

oscilatora ostaje konstantna. Izostavimo li silu gušenja (δ=0) iz jednadžbe za amplitudu

stacionarnog stanja A(ω) vidimo da ona teži u beskonačnost kako 0 i kao i

prenesena energija budući ona ovisi o amplitudi( 22kAE ) [5]. Drugim riječima, ako

nema gubitka energije u sustavu a mi i dalje nastavljamo djelovati vanjskom periodičnom

silom na njeg, amplitude gibanja neograničeno raste. Međutim takvo gibanje se ne javlja

u praksi jer je u stvarnosti uvijek prisutno neko gušenje.

Nadalje, što se dešava s kutom φ koji mjeri vremensku razliku između pomaka

)cos( tAx i pogonske sile koja se mijenja kao sin(ωt), najbolje prikazuje sljedeći

graf:

Na grafu je prikazana ovisnost razlike u fazi između njihala i vanjske pobude kao

funkcije omjera frekvencija 0 . Primjećujemo da krivulje teže ka nuli za vrlo male

frekvencije , tj. vanjska pobuda i njihalo su u fazi, te da se za frekvencije puno veće

18

od vlastite frekvencije titranja 0 krivulje približavaju ka , odnosno njihalo i pobuda

su u protufazi. Za razliku u fazi od 2 sustav je u rezonanciji. Nagib krivulja ovisi o

faktoru gušenja, te stoga najstrmija krivulja odgovara najmanjem gušenju, a krivulja sa

najmanjim nagibom odgovara najvećem gušenju.

U diskusiji o oprugama, pretpostavili smo da kruta tijela ostaju nepromjenjena u obliku,

veličini i sl. pri utjecaju neke vanjske sile, no u stvarnosti sva su tijela podložna

deformaciji. Kako se te promjene na tijelu dešavaju unutarnje sile opiru se deformaciji.

Dvije veličine su važne kod diskusije o elastičnim svojstvima krutih tijela, a to su

deformacija(strain) i naprezanje(stress). Naprezanje je ustvari vanjska sila po jedinici

površine poprečnog presjeka koja djeluje na tijelo, a deformacija(strain) je mjera stupnja

deformacije. Za dovoljno mala naprezanja te su dvije veličine međusobno

proporcionalne, a konstantu proporcionalnosti nazivamo modul elastičnosti. Modul

elastičnosti ovisi o materijalu koji se napreže i o prirodi naprezanja.

Kod većine materijala vrijedi Hookeov zakon, tj., za dovoljno male sile koje taj mater-ijal

stlačuju ili navlače, vrijedi da je produljenje tj. skraćenje proporcionalno sili, što je

posljedica aproksimacije krivulje potencijalne energije međudjelovanja atoma s

parabolom, u područjima blizu ravnotežnog položaja.

Hookeov zakon se izražava kao:

gdje je F iznos sile naprezanja kojom djelujemo, S površina presjeka (tj. F/S je sila

naprezanja po jedinici presjeka), l produljenje, tj. skraćenje, a l je početna dimenzija u

smjeru istezanja (tj. ll je relativno istezanje), te E Youngov modul (modul elastičnosti)

koji ovisi samo o materijalu.

19

Ovim grafom se želi pokazati kako će se materijal ponašati pri sve većem naprezanju.

Krivulja u području malih naprezanja do točke A, opisuje elastično ponašanje materijala,

pri kojem se po prestanku djelovanja sile materijal vraća u prvobitno stanje. Točku A

nazivamo elastični limit supstance. Definiramo ju kao maksimalno naprezanje kojim

možemo djelovati na tijelo prije negoli se ono nepovratno deformira. Kada sila

naprezanja prijeđe elastični limit tijelo ostaje trajno deformirano. Ako se i dalje nastavlja

s naprezanjem, tj na grafu dostignemo točku B, točku kidanja, materijal puca.

Upravo rezonancija ima takvo razorno djelovanje na objekte što u konačnici dovodi do

njihova razaranja.

Rezonancija koja nastaje kod prisilnog titranja opaža se u prirodi i u svakodnevnom

životu. Recimo, u straim filmovima može se vidjeti stupanje vojnika preko drvenog

mosta. I ako se frekvencija stupanja vojnika poklopi s vlastitom frekvencijom mosta, tj.

ako se postigne rezonancija, može doći do raspadanja mosta.

Kao ekstremni primjer uzima se razorno djelovanje rezonancije na mostu Tacoma

Narrows Bridge u Washingtonu, SAD 1940. godine.

20

Vjetar odgovarajućeg smjera i brzine pobudio je most na gibanje (njihanje) te kako je

frekvencija gibanja bila u blizini rezonantne frekvencije mosta, amplituda gibanja

postajala je iz sata u sat sve veća te konstrukcija mosta naposljetku nije izdržala i most se

srušio.

Međutim, u slučaju Tacoma mosta, neki drugi procesi doveli su do njegova razaranja.

Slijedi samo kratki opis što se ustvari desilo tog dana 1940. godine.

Uz rezonanciju pri prisilnom titranju postoji vrlo specificna rezonancija izmedu vlastitih

frekvencija sustava koji može titrati torzijski i transverzalno (most Tacoma Narrows ili

krilo aviona).

Prva ideja o razlogu rušenja mosta bila je tzv. vortex shedding, odnosno stvaranje i

otkidanje vrtloga sa strane mosta niz vjetar. Medutim, frekvencija kidanja vrtloga nije

bila blizu ni jednoj vlastitoj frekvenciji mosta.

Kako raste brzina vjetra vlastita frekvencija transverzalnih oscilacija raste, a torzijskih

pada. Ako se poklope, jedan mod torzijskih oscilacija energijom "hrani" transverzalne

oscilacije. U konacnici može se pokazati da tada zapravo imamo slobodno titranje uz

negativno trenje.

Osnovna razlika izmedu prisilnog titranja i ovog koje se naziva samopobudujuće

oscilacije ili flutter je ta što kod prisilnog titranja bez trenja amplituda raste linearno u

vremenu, dok kod fluttera amplituda raste eksponencijalno.

Danas se mostovi i avioni dodatno testiraju kako bi se demonstriralo da pri uvjetima u

kojima bi se mogli naci nece doci do fluttera. (model se testira u aero tunelu, a avioni se

dodatno testiraju poniranjem do maksimalne brzine). Bitno je napomenuti da je sila

prisile u slucaju kratkog trajanja, npr avion pri velikoj brzini naleti na turbulentni paket

zraka koji, ako je brzina dovoljno velika okine flutter [4].