Harmonijske oscilacije - Predavanje

SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Sistemi slobode

Fiziki parametri radne i ivotne sredine Prof. dr Dragan Cvetkovi

Minimalan broj generalisanih koordinata kojim se u potpunosti definie poloaj dinamikih taaka sistema, predstavlja stepen slobode sistema. Za neki sistem kaemo da ima jedan stepen slobode ako se njegova geometrijska konfiguracija moe u svakom trenutku opisati jednim jedinim brojem. Mehaniki sistem sa n stepeni slobode je sistem koji za definisanje svoje konfiguracije zahteva n brojeva.Nepriguen sistem sa dva stepena slobode

Sistemi sa jednim stepenom slobode kretanja


Teorija sistema sa jednim stepenom slobode omoguuje da kod mnogih maina objasnimo pojavu rezonanse, da odredimo sopstvene frekvencije izvesnog broja konstrukcija, da shvatimo principe rada veine instrumenata za merenje vibracija, da razmotrimo problem oslanjanja na oprugama i izolaciju vibracija. Pored svega, izvestan broj praktinih problema moe biti idealizovan sa oznaenim sistemom, a izvedeni zakljuci znaajno pragmatini.


SLOBODNE VIBRACIJE Horizontalni harmonijski oscilator Harmonijski oscilator koga ini masa m i opruga krutosti c, izvodi harmonijske oscilacije po glatkoj horizontalnoj ravni, kada se masa m izvede iz ravnotenog poloaja za amplitudu Az i pusti.


c mAz

Zanemarujui masu opruge i trenje na podlozi, a kako se sila teine mg ponitava sa normalnom komponentom otpora podloge Fn, to e se kretanja mase po podlozi vriti samo pod uticajem sile elastinosti podloge (cx), koja je proporcionalna izduenju opruge. Diferencijalna jednaina kretanja:

&& + cx = 0 mx

je istog oblika kao kod harmonijskog kretanja.Sistemi sa jednim stepenom slobode kretanja


Dobijena je homogena diferencijalna jednaina drugog reda.Opti integral ve opisane diferencijalne jednaine je:

z = C1 cos t + C2 sin t

Konstante C1 i C2 se odreuju iz poetnih uslova tako da je:t = 0, z (t ) = z (0) z (0) = C1 sin 0 0 + C2 cos 0 0 z (0) = C2

& (t ) = z & ( 0) t = 0, z & (0) = C1 0 cos 0 0 C 2 0 sin 0 0 z & (0) = C1 0 C1 = z & ( 0) z

0

z (t ) =

& ( 0) z

0

sin 0 t + z (0) cos 0 t


Vertikalni harmonijski oscilator


A

CB

O oprugu AB obeena je masa m ispod koje se nalazi podloga. Izmicanjem odloge nastae oscilovanje u vertikalnom pravcu, ija je diferencijalna jednaina kretanja:

&& = cz + mg mz&& mzCZ Z Z

&& z + 2z = g

Vertikalni harmonijski oscilator sa podlogom

nehomogena diferencijalna jednaina drugog reda sa konstantnim koeficijentima, koja ima opti integral u obliku zbira opteg integrala homogene i partikularnog integrala nehomoge jednaine: g z = C1 cos t + C2 sin t + 2



Amlituda oscilovanja se postie za poluperiod oscilovanja:T = 2 Az = zmax = 2g

2

=2

G c

Az = 2 zs

gde je: zs statiki ugib opruge



U drugom sluaju vertikalnog harmonijskog oscilatora, masa m, obeena na oprugu AB, AB krutosti c, pod uticajem sile teine mg izduie oprugu za:A

mg g pa e materijalna taka zauzeti l = z s = = 2 c ravnoteni poloaj.

A c c

B m B m mg

l = zs

Ako se nakon toga izvede iz ravnotenog poloa i pusti, nastupie oscilovanje u vertikalnom pravcu oko ravnotenog poloaja, koje opisuje diferencijalna jednaina kretanja,Sistemi sa jednim stepenom slobode kretanja


&& + c ( z + zs ) = mg mz&& z + 2z = 0kao homogena sa konstantnim koeficijentima.

Opti integral ve opisane diferencijalne jednaine je:

z = C1 cos t + C2 sin tTeina tela mg nema nikakvog uticaja na proces oscilovanja, jer je uravnoteena sa silom elastinosti czs pa se problem svodi na problem horizontalnog oscilatora, odnosno na oscilovanje mase oko ravnotenog poloaja.


Fiziki parametri radne i ivotne sredine Prof. dr Dragan Cvetkovi pomeranje Az pomeranje

z = Az sin t

frekvencija

c

Period, Tn [s] 1 Frekvencija, f = [Hz=1/s]T

= 2f =

c m

Masa i opruga Kada je teorijski sistem mase i opruge jednom pokrenut, njegovo kretanje se nastavlja sa konstantnom frekvencijom i amplitudom. Sistem e tada oscilovati sinusoidalnom talasnom formom.Sistemi sa jednim stepenom slobode kretanja

Slobodne vibracije bez priguenja


Slobodne vibracije bez priguenja mogu se analizirati na primeru vertikalnog harmonijskog oscilatora koji je sastoji od mase i opruge. Oscilator se kree samo u jednom pravcu - z. Sistem sa jednim stepenom slobode ije se kretanje moe opisati samo jednom koordinatom -z.c B m z(t) A




Kretanje tela je harmonijsko sa periodom T:

m = 2 T= c 0

2

0 = 2f 0

i frekvencijom koja je jednaka sopstvenoj frekvenciji sistema:

1 f0 = 2

c 1 = m 2mg = cz s

g zs

Period, kruna frekvencija i frekvencija oscilovanja zavisi od parametara sistema krutosti opruge i mase tela. Mogu se odrediti ako je poznat statiki ugib opruge zs.




Teorijski nepriguene slobodne oscilacije traju zauvek. Meutim ovo se ne deava jer sve slobodne vibracije nestaju posle izvesnog vremena zbog priguenja koje postoji u svakom sistemu.


Sprezanje opruga


Frekvencija oscilovanja, odnosno sopstvena frekvencija slobodnih oscilacija, moe se poveati poveanjem krutosti opruge.

1 f0 = 2

c m

Poveanje krutosti sistema masa/opruga moe se postii sprezanjem opruga. Opruge mogu biti spregnute u rednu i paralelnu vezu. Vie spregnutih opruga razliitih krutosti moe se zameniti jednom oprugom ekvivalente krutosti.Sistemi sa jednim stepenom slobode kretanja

Sprezanje opruga - paralelna veza


Sistem kod koga je masa m vezana na dve paralelne opruge moe se zameniti jednom oprugom ekvivalentne krutosti c*. Kod sistema paralelnih opruga sve opruge e imati isto statiko izduenje usled delovanja teine tela mase m. Opruga vee krutosti definie statiko izduenje. z s = z1 = z 2c1z1 c2z2

U statikom ravnotenom poloaju sila teine i elastine sile u oprugama su u ravnotei:

mg

mg = c1 z1 + c 2 z 2Sistemi sa jednim stepenom slobode kretanja

(1)

Sprezanje opruga - paralelna veza


Kod ekvivalenetnog sistema opruga krutosti c* imae isto statiko izduenje usled delovanja teine tela mase m kao i pojedinne opruge u posmatranom sistemu. U statikom ravnotenom poloaju sila teine i elastina sile u opruzi krutosti c* su u ravnotei:

mg = c * z sc1z1 c2z2 c*z

(2) Izjednaavanjem (1) i (2) dobija se: izraza

mg = c * s = c1 z1 + c2 z 2z s = z1 = z 2

c* = c1 + c2mg mg Sistemi sa jednim stepenom slobode kretanja

Fiziki parametri radne i ivotne sredine Sprezanje opruga - paralelna veza (+) Prof. dr Dragan Cvetkovi

U sluaju kada sistem ima vie opruga ekvivalentna krutost se rauna kao:

c* =

cii =1

n

Ekvivalentna krutost jednaka je zbiru krutosti pojedinih opruga.c1z1 c2z2 c*z

mg

mg Sistemi sa jednim stepenom slobode kretanja

Sprezanje opruga - redna veza


Sistem kod koga je masa m vezana na dve redne opruge moe se zameniti jednom oprugom ekvivalentne krutosti c*. Kod sistema rednih opruga masa m e usled teine tela razliito statiki izduiti opruge u zavisnosti od njihovih krutosti.mg mg = c1 z1 z1 = c1 mg = c2 z 2 z 2 = mg c2

c1z1 c2z2


Fiziki parametri radne i ivotne sredine Sprezanje opruga - redna veza (+) Prof. dr Dragan Cvetkovi

Kod ekvivalentnog sistema masa m e usled teine tela statiki izduiti oprugu u zavisnosti od njene krutosti c*: mg mg = c * z z = c* Ukupno statiko izduenje opruge krutosti c* jednako je zbiru statikih izduenja pojedinanih opruga:z = z1 + z 2c1z1 c2z2 c*z

mg mg mg = + c* c1 c2 1 1 1 = + c * c1 c 2 c* = c1c2 c1 + c2

mg


Sprezanje opruga - redna veza


U sluaju kada sistem ima vie opruga ekvivalentna krutost se rauna kao:1 = c*

1 i =1 ci

n

Reciprona vrednost evivalentne krutosti jednaka je zbiru recipronih vrednosti krutosti pojedinih opruga.c1z1 c2z2

c*z



Slobodne vibracije sa priguenjem

c

b

m Z(t)




Realni sistemi imaju odreeno pruguenje koje dovodi do smanjenja amplitude oscilovanja i postepenog prestanka kretanja sistema - nestajanja oscilacija. Mehanizmi priguenja (viskozno priguenje, trenje) uzrokuju da se vibraciona energija nepovratno gubi npr. pretvaranjem u toplotnu energiju pri trenju.c b

Mehaniki sistem je neto komplikovaniji sadri priguiva koji smanjuje brzinu kretanja sistema masa/opruga. Sila viskoznog priguenja je proporcionalna brzini: & (t ) b konstanta priguenja P = bz [Nm/s]Z(t)

m




Oscilator sa priguenjem se kree samo u jednom pravcu - z. Sistem sa jednim stepenom slobode ije se kretanje moe opisati samo jednom koordinatom -z.

c

b

m Z(t)


Fiziki parametri radne i ivotne sredine Slobodne vibracije sa priguenjem (+) Prof. dr Dragan Cvetkovi

Na telo mase m deluju sile Fc i Fb istih vrednosti kao sile na krajevima opruge i viskoznog priguivaa.Fc = cz (t )

& (t ) Fb = bz

Fc = cz (t )

& (t ) Fb = bz

m

Primenom II Njutnovog zakona (F = ma) ma dobija se jednaina kretanja:

mZ(t)

Fc = cz (t )

&(t ) = cz (t ) bz & (t ) m& z

& (t ) Fb = bz

m

Kada se telo kree na dole, vektor ubrzanja je takoe usmeren na dole u pravcu z-ose. ose Sila Fc i Fb koje deluju na masu usmerene su u suprotnom smeru otuda znak minus.Sistemi sa jednim stepenom slobode kretanja

Fiziki parametri radne i ivotne sredine Slobodne vibracije sa priguenjem (+) Prof. dr Dragan Cvetkovi

Jednaina kretanja se moe napisati u obliku:

&(t ) + bz & (t ) + cz (t ) = 0 : m m& z b c & &(t ) + z & (t ) + z (t ) = 0 z m mUvoenjem smena: c b = 2 = 2 m m

& &(t ) + 2 z & (t ) + 2 z (t ) = 0 zgde je: koeficijent guenja.



Prinudne vibracije

c

c

b

Z(t)

F0 sin t

Z(t)

F0 sin t


Prinudne vibracije


Ako na mehaniki sistem deluje neka spoljanja sila nastaju prinudne vibracije koje mogu biti: prinudne nepriguene vibracije prinudne priguene vibracije U inenjerskim sistemima pobudna sila nije uvek harmonijska. Sloeni periodini siganali se mogu predstaviti kao zbir prostih, harmonijskih signala.FFT

c

c

b

Z(t)

F0 sin t

Z(t)

F0 sin t


Prinudne nepriguene vibracije


Na sistem masa/opruga deluje poremeajna (prinudna) sila harmonijskog karaktera u pravcu z-ose. ose Dijagram sila koje deluju na masu m prikazan je na slici.Fc = cz (t )

Prinudna (poremeajna) sila

mF0sint

F0 sin tgde je: - kruna frekvencija prinudne sile ili prinudna frekvencija F - amplirtuda prinudne sile

Fc = cz (t )

Poremeajna sila izvodi telo iz ravnotenog kretanja za z(t). Primenom II Njutnovog zakona formira se jednaina kretanja:z(t)

Fc = cz (t )

&(t ) = F0 sin t cz (t ) m& z

z(t)

F0sint


Prinudne nepriguene vibracije&(t ) + cz (t ) = F0 sin t : m m& z & &(t ) + z F0 c z (t ) = sin t m m - sopstvena kruna frekvencija


Jednaina kretanja se moe predstaviti u obliku:F = cz (t )

z(t)

F = cz (t )

F0 & &(t ) + z (t ) = z sin t m2

z(t)

F0sint


Prinudne nepriguene vibracije


U statikom reimu, kada je sila konstantna (=0) telo osciluje oko statikog ugiba usled dejstva konstantne sile F. F0zs = c

U dinamikom reimu amplituda raste i menja se po zakonu:zd = 1 ( )2 zszd / z s

Amplituda znaajno raste u podruju oko sopstvene frekvencije koje se naziva rezonantno podruje. Odnos prinudne i sopstvene frekvencije odreuje amplitudu prinudnih vibracija.

/


Prinudne nepriguene vibracijeAko bi prinudna sila dejstvovala statiki, : amplituda prinudnog kretanja bi bila: Meutim, dejstvuje li dinamiki, amplituda e biti: silazd =


zs =

F hm h = = c m 2 2

zs h h = = 2 2 2 (1 2 ) 1 2

Odnos amplituda zd i zs, predstavlja dinamiki faktor pojaanja ili mnoilac rezonanse (magnification factor)

d =

zd 1 = zs 1 2


Prinudne nepriguene vibracijeNormalizovana uestanost:


=

Kada je prinudna uestanost mnogo manja od sopstvene amplituda prinudnih vibracija je bliska statikom ugibu.d

U podruju rezonanse amplituda znaajno raste. /

Kada je prinudna uestanost mnogo vea od sopstvene praktino prinudne vibracije ne postoje.Sistemi sa jednim stepenom slobode kretanja

Rezonansa


Ako se frekvencija pobude poklopi sa sopstvenom frekvencijom sistema dolazi do rezonanse i opasnih vibracija.


RezonansaKada je kruna frekvencija poremeajne sile


0odnosno mnogo manja od krune frekvencije slobodne oscilacije > , ampituda prinudnih oscilacija brzo opada, tako da da prinudne oscilacije praktino ne postoje. Ovaj zakljuak ima praktian znaaj, jer ukazuje na mogunost da se prinudne oscilacije i pored dejstva sile mogu eliminisati. Sistemi sa jednim stepenom slobode kretanja

Prinudne priguene vibracije


U statikom ravnotenom poloaju kada je opruga rastegnuta za vrednost statikog ugiba telo se ne kree tako da na njega ne deluje sila priguenja. Kada se opruga istegne za z(t) pod dejstvom sile F(t) na krajevima opruge deluju jednake sile elastinosti Fc suprotnog smera. Na krajevima viskoznog priguivaa deluju jednake sile priguenja Fb suprotnog smera.

F = cz (t )c b c

& Fb = bz

b

F = cz (t )Z(t)

& Fb = bz

Prema III Njutnovom zakonu za svaku silu postoji sila reakcije koja deluje u suprotnom smeru.Sistemi sa jednim stepenom slobode kretanja

Prinudne priguene vibracije


Na telo mase m deluju sile Fc i Fb istih vrednosti kao sile na krajevima opruge i viskoznog priguivaa, kao i prinudna sila F(t) u suprotnom smeru. & F = cz (t ) F = bzb

mc

F = cz (t )c b

& Fb = bz

Primenom II Njutnovog zakona (F=ma) dobija se jednaina kretanja:

b

&(t ) = F (t ) bz & (t ) cz (t ) m& zkoja se moe napisati u obliku:&(t ) + bz & (t ) + cz (t ) = F (t ) : m m& z & &(t ) + z F (t ) c b & (t ) + z ( t ) = z m m m

F = cz (t )Z(t)

& Fb = bz

& &(t ) + 2z & (t ) + 2 z (t ) = z

F (t ) m


Prinudne priguene vibracije (+)2


F (t ) & &(t ) + 2z & (t ) + z (t ) = z m Reenje ima dva dela:

z (t ) = z h (t ) + z p (t )zh(t) - reenje homogene dif. jednaine kada je F(t)=0, slobodne priguene vibracije zh(t) - partikularno reenje nehomogene dif. jednaine prinudne vibracije


Prinudne priguene vibracije Animacija


n sopstvena frekvencija odnos priguenja

prinudna frekvencija () F prinudna sila

prinudna sila pomeraj


Prinudne priguene vibracije Odnos amplitude prinudnih vibracija u dinamikom i statikom reimu definie dinamiki faktor pojaanja:d


d =

zd = zs

[1 ] + 42 2

1

2

2



Osnovni principi izolacije




Da bi se smanjilo prenoenje mehanike energije sa mehanikog sistema koji osciluje na postolje gde je maina oslonjena potrebno je smanjiti dinamiki faktor pojaanja. U tom cilju ugrauju se antivibracioni materijali i elementi izmeu maine i postolja - gumeni podmetai, opruge i sl. Ugraenim elemenom potrebno je smanjiti prenos vibracija sa izvora na podlogu.


Fiziki parametri radne i ivotne sredine Osnovni principi izolacije Prof. dr Dragan Cvetkovi Ponekad maina moe biti kruto vezana za velike betonske blokove koji se tada zajedno sa mainom izoluju.

U ovom sluaju se poveava masa sistema to dozvoljava da krutost opruge bude vea a sopstvena frekvencija ista.fn = 1 2 c m




Rezultat primene antivibracionih elemenata ili izolatora vibracija moe se vrednovati preko: koeficijenta prenoenja koji predstavlja odnos istih fizikih veliina najee sila - odnos prenete i pobudne silep= Fpr F = preneta sila pobudna sila

efikasnosti izolacije koja izraava izolacionog sistema u prcentimae = (1 p ) 100%

efektivnost




Mogu se razlikovati tri sluaja oslanjanja mainskog sistema na podlogu (fundament, oslonac): Direktna (kruta) veza maine mase m sa podlogom Maina mase m je preko sistema opruga vezana sa podlogom Maina mase m je vezana sa podlogom preko izolaciong sistema koga karakterie pored krutosti i priguenje


Osnovni principi izolacijeIzolovanje vibracija po svojoj sutini podrazumeva izbor sistema oslanjanja (veze) izvora sa podlogom (temelj maine, nosea konstrukcija). U ovom sluaju, element sistema oslanjanja je specijalni deformabilni element ija je krutost srazmerno manja od krutosti vibrozatitnog sistema. Osnovna funkcija vibrozatitnih elemenata je smanjenje prenosa vibracija sa izvora na podlogu vibrozatitni sistem.


Rezultat izolacije vibracija, ili efikasnost, vrednuje se koeficijentom koji se naziva: Prenosivost - transmissibility

Fpr zd z z c F = d = d = p= k = zs F0 / c F0 F0 Fpo

gde je: Fpr Preneta sila (Fk) Fpo Poremeajna sila (F0) p prenosivost


Sistemi za izolaciju vibracija 1. Prvi sluaj


2. Drugi sluajp= 1 1 2

Kruto oslanjanje izvora vibracija na podlogu

Funkcionalna zavisnost prenosivosti i normalizovane frekvencije p,() identina je zavisnosti d,()

Model oslanjanja izvora vibracija na podlogu preko sistema opruga

c=p = 1.


Osnovni principi izolacije3. Trei sluaj


Preneta sila u ovom sluaju je rezultanta sile u opruzi i sile priguenja. Izmeu ove dve sile postoji fazna razlika od /2, pa je preneta sila, kao njihova rezultanta, jednaka njihovom vektorskom zbiru.

Fpr = z0 c + ( b )2

2

Prenosivost u ovom sluaju bie jednakap= 1 + ( 2 )2 2 2

(1 2 ) + ( 2 )


Materijali Antivibracioni elastini podmetai


Optereenje (kg)

Optereenje (kg)

statiki ugib (mm)

sopstvena frekvencija (Hz)


Materijali Antivibraciona elastina podloga


Optereenje (kg)

Optereenje (kg)

statiki ugib (mm)



Materijali Antivibracioni elastina podloga


Optereenje (kg)

Optereenje (kg)

statiki ugib (mm)



Materijali





Documents

Harmonijske oscilacije - Predavanje